Enerji verimli iki boyutlu bir gpr algoritmasının geliştirilmesi

Tam metin

(1)T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ. ENERJĐ VERĐMLĐ ĐKĐ BOYUTLU BĐR GPR ALGORĐTMASININ GELĐŞTĐRĐLMESĐ Levent SEYFĐ DOKTORA TEZĐ Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı. Aralık-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır.

(2)

(3)

(4) ÖZET DOKTORA TEZĐ ENERJĐ VERĐMLĐ ĐKĐ BOYUTLU BĐR GPR ALGORĐTMASININ GELĐŞTĐRĐLMESĐ Levent SEYFĐ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Ercan YALDIZ 2011, 82 Sayfa Jüri Prof.Dr. Mehmet BAYRAK Doç.Dr. Salih GÜNEŞ Doç.Dr. H.Haldun GÖKTAŞ Yrd.Doç.Dr. Ercan YALDIZ Yrd.Doç.Dr. S.Sinan GÜLTEKĐN Tahribatsız algılama teknikleri sayesinde araştırılacak olan sahada kazı gibi zahmetli bir işlem yapmadan aranılan nesnenin varlığı tespit edilebilmektedir. Böylece en az zaman kaybı ve masraf ile yeraltı hakkında bilgi toplanıp kaydedilebilmektedir. Yere nüfuz eden radar (Ground Penetrating Radar, GPR), tahribatsız algılama için birçok alanda kullanılan önemli bir tekniktir. GPR, elektromanyetik dalga gönderme ve yansıyıp geri gelen dalgaları algılaması prensibiyle tarama yapar. Bu tez çalışmasında GPR çalışmasının nümerik olarak modellenmesi ve benzetim çalışmaları Matlab programlama dili aracılığıyla 2 boyutlu olarak gerçekleştirilmiştir. Benzetimler, zamanda sonlu farklar (Finite Difference Time Domain, FDTD) tekniği kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Benzetimlerde yutucu sınır koşulu olarak mükemmel uyumlu tabaka (Perfectly Matched Layer, PML) kullanılmıştır. GPR, portatif bir cihazdır ve şebeke geriliminin olmadığı sahalarda enerjisini pilleri üzerinden sağlamaktadır. Pillerin enerjisi yettiği sürece GPR ile sahada tarama yapılabilmektedir. Pillerin verimli bir şekilde kullanılması GPR’ın etkin kullanımı için oldukça önemlidir. Bu nedenle bu tez çalışmasında enerji tasarruflu yeni bir GPR algoritması geliştirilmiştir. Önerilen algoritma, GPR’ın araştırılan hedefi algılayabileceği minimum elektromanyetik dalga genliğini ayarlamaktadır. Enerji tasarruflu GPR algoritması sayesinde standart algoritmasına kıyasla daha az enerji harcandığı yapılan benzetim çalışmaları ile gösterilmiştir. Önerilen algoritmanın etkinliği, farklı elektriksel özelliklerde düz ve engebeli katmanlar ile farklı boyutta gömülü cisimler için araştırılmıştır.. Anahtar Kelimeler: Enerji tasarrufu, FDTD, GPR, tahribatsız algılama, yere nüfuz eden radar.. iv.

(5) ABSTRACT Ph.D THESIS DEVELOPMENT OF ENERGY EFFICIENT TWO DIMENSIONAL GPR ALGORITHM. Levent SEYFĐ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERING Advisor: Assist.Prof.Dr. Ercan YALDIZ 2011, 82 Pages Jury Prof.Dr. Mehmet BAYRAK Assoc.Prof.Dr. H.Haldun GÖKTAŞ Assoc.Prof.Dr. Salih GÜNEŞ Assist.Prof.Dr. Ercan YALDIZ Assist.Prof.Dr. S.Sinan GÜLTEKĐN Buried objects can be detected in scanned area without any excavation by using non-destructive techniques. Thus, information about subsurface can be collected and recorded with minimum time and cost. Ground Penetrating Radar (GPR) is a significant technique used for non-destructive detection in many areas. GPR sends electromagnetic wave and receives reflected waves from objects to scan a field. In this study, simulations were performed in two-dimensions using Matlab. GPR was modeled with Finite Difference Time Domain (FDTD) Method. Perfectly Matched Layer (PML) was employed as absorbing boundary condition in simulations. GPR is a portable device and works with its battery in fields with no mains supply. Fields can be scanned with GPR until its battery runs out. Efficiently using battery play an important role in effectively utilizing GPR. For this reason, a novel energy efficient GPR algorithm was developed in this study. Proposed algorithm adjusts RF power of GPR minimum level which is enough to detect target. It was shown by simulation results that GPR with energy efficient algorithm consumes less energy compared with common algorithm. Effectiveness of the proposed algorithm was tested for smooth and rough layers and different sized buried objects having various electrical properties. Keywords: Energy saving, FDTD, GPR, ground penetrating radar, non-destructive detection.. v.

(6) ÖNSÖZ. Doktora çalışmam boyunca yardımını benden esirgemeyen, beni yönlendiren ve her zaman motive eden danışman hocam sayın Yrd.Doç. Dr. Ercan YALDIZ’a, tez izleme komitemde bulunan ve beni her zaman destekleyen sayın hocalarım Prof. Dr. Mehmet BAYRAK’a ve Doç. Dr. H.Haldun GÖKTAŞ’a teşekkürü bir borç bilirim. 10101040 nolu proje ile tez çalışmamı maddi olarak destekleyen Selçuk Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinatörlüğüne ve 2006-2011 yılları arasında verdiği yurt içi doktora bursu için TÜBĐTAK’a teşekkür ederim. Tez çalışmam esnasında yaşadığım sıkıntılı günlerimde destekleriyle beni yalnız bırakmayan bölüm öğretim elemanlarına sonsuz teşekkürler. Ayrıca benim tüm kahrımı çeken, en umutsuz anımda bile yanımda olan, desteğini hiçbir zaman esirgemeyen sevgili eşim Öğr. Gör. Dr. Selda UZAL SEYFĐ’ye teşekkürlerimi iletirim. Son olarak, tez çalışmam esnasında kaybettiğim, şu an her ne kadar yanımda olmasa da bana kazandırdığı kişilik ile varlığını her an yanımda hissettirmekte olan babam Rıza SEYFĐ’ye teşekkürü ve dualar göndermeyi bir borç bilirim.. Levent SEYFĐ KONYA-2011. vi.

(7) ĐÇĐNDEKĐLER. ÖZET .............................................................................................................................. iv ABSTRACT ..................................................................................................................... v ÖNSÖZ ........................................................................................................................... vi ĐÇĐNDEKĐLER ............................................................................................................. vii SĐMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ viii 1. GĐRĐŞ ........................................................................................................................... 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ....................................................................................... 3 3. MATERYAL VE YÖNTEM.................................................................................... 10 3.1. Kullanılan Materyal ............................................................................................. 10 3.2. Kullanılan Yöntem ............................................................................................... 10 3.2.1. FDTD ............................................................................................................ 11 3.2.2. GPR yöntemi................................................................................................. 38 3.2.3. RF güç kontrolü ............................................................................................ 45 4. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA...................................................... 47 4.1. Farklı Elektriksel Özelliklere Sahip Bir Katman Đçeren Ortamın GPR Đle Đncelenmesi ................................................................................................................. 48 4.2. Enerji Tasarruflu GPR Algoritmasının Geliştirilmesi ......................................... 49 4.2.1. Đncelenen modeller ........................................................................................ 52 4.2.2. Benzetim sonuçları ....................................................................................... 53 4.3. Enerji Tasarruflu GPR Algoritmasının Her Ortamda Kullanımı Đçin Düzenlenmesi.............................................................................................................. 57 4.3.1. Đncelenen modeller ........................................................................................ 59 4.3.2. Benzetim sonuçları ....................................................................................... 61 4.4. Engebeli Yüzeyde Eğimin Enerji Tasarrufuna Etkisi .......................................... 65 4.5. Küresel Cismin Yarıçapının Enerji Tasarrufuna Etkisi ....................................... 68 5. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER ................................................................................. 71 5.1. Sonuçlar ............................................................................................................... 71 5.2. Öneriler ................................................................................................................ 72 KAYNAKLAR .............................................................................................................. 73 EKLER .......................................................................................................................... 78 ÖZGEÇMĐŞ .................................................................................................................. 81. vii.

(8) SĐMGELER VE KISALTMALAR Simgeler c D E f H J JM , Pr Pt β Γ ∆t ∆x ε εo εr

(9). µ µo µr ρ σ σ* ω. :Alıcı anteni etkin alanı (m2) :Işık hızı, 3x108 m/s :Elektrik akı yoğunluğu :Elektrik alan şiddeti :Frekans :Verici anten kazancı :Manyetik alan şiddeti :Elektrik akım yoğunluğu :Eşdeğer manyetik akım yoğunluğu :Toplam yayılma kaybı (boşluğun kaybı hariç) :Alıcı ve verici antenin verim kayıpları :Yüzey yansıma kaybı (havadan toprağa) :Yüzey yansıma kaybı (topraktan havaya) :Toprak zayıflama kayıpları :Alıcı gücü (Receiving power) :Verici gücü (Transmitting power) :Faz sabiti :Yansıma katsayısı :Birim zaman adımı :Birim konum adımı :Dielektrik sabiti :Boşluğun dielektrik sabiti, 8.8542x10–12 F/m :Bağıl dielektrik sabiti :Ortam empedansı :Dalgaboyu :Manyetik geçirgenlik :Boşluğun manyetik geçirgenliği, 4πx10–7 H/m :Bağıl manyetik geçirgenlik :Elektrik yükü yoğunluğu :Elektriksel iletkenlik : Eşdeğer manyetik iletkenlik :Açısal frekans. Kısaltmalar ABC CMP EDS EM FDTD FM GPR MFBRT. :Yutucu Sınır Koşulları (Absorbing Boundary Conditions) :Genel Orta Nokta (Common Middle Point) :Enerji Yoğunluk Spektrumu (Energy Density Spectrum) :Elektromanyetik :Zamanda Sonlu Farklar (Finite Difference Time Domain) :Faktorizasyon Yöntemi (Factorization Method) :Yere Nüfuz Eden Radar (Ground Penetrating Radar) :Uyumlu Filtre Tabanlı Ters Zaman (Matched-Filter-Based Reverse-Time). viii.

(10) PDE PML PO PSO RCS RF ROC RVM SNR TE TEM TLM TM TSVD. :Kısmi Türev Denklemi (Partial Differential Equation) :Mükemmel Uyumlu Tabaka (Perfectly Matched Layer) :Fiziksel Optik (Physical Optics) :Parçacık Küme Optimizasyonu (Particle Swarm Optimization) :Radar Kesiti (Radar Cross Section) :Radyo Frekans (Radio Frequency) :Alıcı Çalışma Karakteristiği (Receiver Operating Characteristic) :Relevance Vector Machine :Sinyal-Gürültü Oranı (Signal to Noise Ratio) :Enine Elektrik (Transverse Electric) :Enine Elektromanyetik (Transverse Electromagnetic) :Đletim Hattı Matrisi (Transmission Line Matrix) :Enine Manyetik (Transverse Magnetic) :Truncated-Singular-Value-Decomposition. ix.

(11) 1 1. GĐRĐŞ. Tahribatsız algılama tekniklerini kullanarak yüzeyaltı görüntüleme jeofizik, arkeoloji, inşaat mühendisliği, çevre mühendisliği ve askeri uygulamalar gibi birçok alanda bizlere kolaylık sağlamaktadır. Bu teknikler, yere nüfuz eden radar (Ground Penetrating Radar, GPR), sıvı penetrant testi (Liquid Penetration Testing), manyetik parçacık muayenesi (Magnetic Particle Inspection), girdap akım testi (Eddy Current Testing), röntgen, kaçak testi (Leak Testing), ultrasonik, akustik yayılım, termal test ve daha birçok testten oluşmaktadır (Ghasemi ve Abrishamian, 2007). GPR, yüksek çözünürlük kabiliyeti ve algılayabildiği cisimlerin çok çeşitli olması sayesinde bu teknikler arasından ön plana çıkmaktadır. GPR, buzul yapısının ve kalınlığının belirlenmesi, kanalizasyon borularının ve gömülü kabloların bulunması, deniz buzullarının kalınlığının ölçülmesi, göl ve nehirlerin tabanlarının profilinin çıkarılması, Ayın yüzeyaltının taranması, gömülü tehlikeli atıkların belirlenmesi, köprü ve uçak pisti üzerindeki yapısal çatlakların belirlenmesi gibi birçok alanda yaygın bir şekilde kullanılmaktadır (Malhotra ve Carino, 2004). GPR sistemi veri kaydı, kontrol birimi, veri görüntüleme, verici ve alıcı birimlerden oluşmaktadır. Verici birim aracılığıyla GPR, çok kısa darbeli radyo frekans (RF) sinyal gönderir. Gönderilen darbenin zamanlaması kusursuz bir şekilde belirlenmelidir. Bu darbenin taranacak bölgeye (yüzeyaltına) gönderilmesi radar anteni aracılığıyla gerçekleştirilmektedir. Gönderilen RF enerjinin bir kısmı ortamdaki süreksizliklerden veya ortamın elektriksel özelliklerindeki değişikliklerden dolayı yansıyacaktır. Geriye kalan enerji ortama yayılmaya devam edecektir. Yansıyan ve iletilen RF işaretin genliği ortamların elektriksel özellikleri arasındaki farka bağlıdır. Tarama esnasında hedeften veya diğer cisim ve yüzeylerden gelen yansımalar anten aracılığıyla GPR alıcı birimine iletilir ve ardından görüntülemeyi gerçekleştirmek için elde edilen veri işlenir. GPR, taranan bölgedeki farklı elektriksel özelliklere sahip nesneden gelen yansıma işaretini kaydederek görüntü verisini elde etmiş olur (Daniels ve ark., 1988; Alongi ve ark., 1992; Peters ve ark., 1994). GPR taramalarında görüntü verisi üç farklı şekilde oluşturulabilir. Bunlar Atarama (A-scan), B-tarama, C-tarama olarak isimlendirilmektedir. A-tarama görüntüsü, yüzeydeki belirli bir noktadan elde edilen zamana bağlı verilerden oluşmaktadır. Btarama görüntüsü ise ardı ardına gelen birçok noktadan elde edilen A-tarama.

(12) 2 görüntülerinin birleştirilmesinden oluşmaktadır. Bir grup B-tarama görüntüsü ile de 3 boyutlu C-tarama görüntüleri oluşturulmaktadır (Guangrong ve ark., 2009). GPR’ın nümerik olarak modellenmesi (benzetimi yapılması) için önerilen yaklaşımlar, ışın temelli yöntemler (Ray-Based Methods) (Goodman, 1994), frekans domeni yöntemleri (Powers ve Olhoeft, 1994), integral yöntemleri (Ellefsen, 1999), pseudospectral yöntemler (Carcione, 1996) ve zamanda sonlu farklar (Finite Difference Time Domain, FDTD) yöntemi olarak sayılabilir. Bu yaklaşımlar arasında FDTD, GPR modelleme için şimdiye kadar en çok kullanılan yöntem olarak ön plana çıkmıştır (Teixeira ve ark., 1998; Holliger ve Bergman, 2002). FDTD yönteminin göreceli olarak daha basit bir yapıda olması, herhangi bir karmaşık modelleme için hesaplama doğruluğunun yüksek olması ve gerçekçi anten tasarımlarına imkan tanıması, bu yöntemin çok tercih edilen bir yöntem olmasını sağlamıştır (Buchanan ve Gupta, 1995; Taflove, 1995; Irving ve Knight, 2006). Enerji tüketimi GPR kullanıcıları için önemli bir konudur, çünkü GPR ile tarama yapılan alanda genellikle şebeke gerilimine ulaşılamaz. Bu yüzden GPR pilleri tarama gerçekleştirilirken en verimli şekilde kullanılmak zorundadır. GPR’ın verici birimi elektromanyetik (EM) dalga yaymak için pilden enerji tüketmektedir. Bu sebeple verimli şekilde çalışan bir GPR’a sahip olabilmek için verici biriminin çalışmasında harcanan enerji üzerine çalışmaların yoğunlaştırılması yerinde bir uygulama olacaktır. Bir uygulamayı gerçekleştirmeden önce tasarlanması düşünülen sistemin nümerik olarak modellenmesi uygulamanın daha doğru ve kullanışlı bir şekilde tasarlanmasını sağlayacaktır. Bu tez çalışmasında, GPR ile taranacak olan hedefin algılanması şartıyla GPR verici gücünün (RF gücü) en düşük seviyede tutulmasını sağlayacak bir algoritma geliştirilmesi amaçlanmıştır. Bu amaçla FDTD yöntemini kullanarak Matlab ortamında GPR benzetimi gerçekleştirilmiştir. Gerçekleştirilen benzetimlerle GPR’ın RF güç kontrolünü yapan yeni bir algoritma geliştirilmiştir. Bu algoritma ile GPR, verici gücü seviyesini ihtiyacı kadar yükseltecek, böylece tarama için harcanacak enerjinin daha tasarruflu kullanılması sağlanacaktır. Tezin ikinci bölümünde kaynak araştırması yapılarak GPR üzerine yapılmış çalışmalardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde tezde kullanılan materyal ve yöntem, dördüncü bölümde tez kapsamı içerisinde yapılan çalışmalar ve bulgular, beşinci bölümde ise çıkarılan sonuçlar anlatılmıştır..

(13) 3 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI. Benedetto ve arkadaşları, 2005 yılında GPR verileri ile yol yüzeyindeki bozuklukların belirlenmesinde optimum bir işaret işleme algoritmasının güvenilirliğini araştırmışlardır. Bu çalışmada otomatik GPR analizine dayalı yol bozukluklarının tespiti ve sınıflandırılması gerçekleştirilmiş ve deneysel olarak doğruluğu gösterilmiştir. Bozukluk tespiti için bir eşik seviyesi kullanılmıştır. Đkinci bir eşik seviyesi de bozukluğun şeklini belirlemek için kullanılmıştır. Optimum algılama için klasik Neyman-Pearson radar testi kullanılmıştır. Deneysel ölçümler aracılığıyla gerekli olan ayarlamalar yapılmıştır. Alıcı çalışma karakteristik (ROC). eğrisine bakılarak tüm. sistemin performansı değerlendirilmiştir. Sonuçlar, alınan işaretlerin uzaysal korelasyon özelliklerinden faydalanılarak uygun performansın elde edilebildiğini göstermiştir. Roth ve arkadaşları, 2005 yılında yaptıkları çalışmada GPR saçılma alanlarının integral formlarından frekans ve zaman domeni konvolüsyon modellerini türetmişlerdir. Bu aşamada kullanılan ana işlemler, saçılma probleminin Born ya da fiziksel optik (PO) yaklaşımı ile düzgünleştirilmesi, yarı-uzay Green tensorünün yeni bir uzak alan ters saçılma temsilinin uygulanması ve GPR antenleri ve alıcı sistemi için kaynak/alıcı modellerinin oluşturulmasıdır. Üç boyutlu FDTD yöntemi ve ölçüm verileri kullanılarak, konvolüsyon modelinin doğruluğu gösterilmiştir. Hedef yeri, boyutu gibi bilgiler dürtü cevap yaklaşımı kullanan ters konvolüsyon algoritması ile elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, laboratuvar ortamında hedefin gömüldüğü derinliğin ve boyutunun milimetrik doğrulukta belirlenebildiğini göstermiştir. Persico, 2006 yılında yaptığı çalışmada GPR veri işleme ile ilgili doğrusal 2 boyutlu ters saçılma problemi ile ilgilenmiştir. Çoklu frekans verilerinden elde edilen bilgilerle ilgili olarak ölçüm setinin düzeninin etkisi de tartışılmıştır. Varyanitza-Roshchupkina ve Pochanin, 2006 yılında yaptıkları çalışmada toprak dolgulu çukurların GPR görüntülerinin benzetim sonuçlarını ve yer altında gömülü bir plastik borunun darbe işareti saçılmasının bilgisayar benzetim sonuçlarını sunmuşlardır. Counts ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada multistatik GPR sistemi geliştirmişlerdir. Geliştirilen sistem, lineer dizi rezistif-V antenler, mikrodalga anahtarlar, vektör network analizör ve 3 boyutlu konumlandırıcıdan oluşmuştur ve tüm sistem, bilgisayar kontrolü altındadır. Anten dizisi, 2 verici ve 4 alıcıdan oluşturulmuştur. Gömülü hedefler, taranan alanda başka cisimler varken ve yokken taranmıştır. Elde edilen tarama görüntüleri, antenlerin faz gecikmelerini giderebilmesi.

(14) 4 için frekans domeni ışın düzeltici algoritma kullanılarak yeniden düzenlenmiştir. Bistatik ve multistatik görüntüler çok iyi bir şekilde elde edilmiştir. Ficher ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada multistatik GPR’dan elde edilen verilere faktorizasyon yöntemi (Factorization Method, FM) uygulamışlardır. Araştırma Đtalya’da mayın test alanında gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmada el tipi mayın tespit sisteminin gerçekleştirilmesi amaçlanmıştır. Alıcı ve verici antenler birbirinden bağımsız bir biçimde yerleştirilemedikleri için çok küçük multistatik veri kümeleri elde edilebilmiştir. Bu durumun FM’i uygulamayı zorlaştırdığı gözlenmiştir. Kao ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada GPR kullanarak yol yüzeyi kalınlığı ölçümü üzerine yoğunlaşmıştır. Đlk olarak, GPR verilerinden dielektrik sabiti bilgisi ve katman kalınlığını elde etmek için yeni bir algoritma geliştirilmiştir. GPR verilerinden dielektrik sabiti ve katman kalınlığı belirlenmesi için çoğunlukla genel orta nokta (Common Middle Point, CMP) yöntemi kullanılmaktadır. Fakat antenler arası aralık arttıkça, CMP yönteminin uygulanması genellikle hatalı sonuçlar vermektedir. Yeni modelde sadece hava yer geçişinde oluşan etkiler incelenmemiş, aynı zamanda Fermat’ın en kısa yol kuralını kullanarak GPR ölçümlerinde ışın yolu araştırma işlemi de gerçekleştirilmiştir. Her bir katmanın dielektrik sabiti ve kalınlığının belirlenmesi için GPR verilerinin dönüştürülmesi amacıyla en kısa yol kullanılmıştır. Çok katmanlı ortam için iletim hattı matrisi (Transmission Line Matrix, TLM) yöntemi kullanılarak GPR benzetimi gerçekleştirilmiştir. Bu yeni modeli açıklamak için FDTD yöntemi ile oluşturulan zaman sıralı görüntü kullanılmıştır. Ölçüm sonuçları ile benzetim sonuçları kıyaslanarak önerilen yeni modelin önceki modele göre daha doğru ve uygun sonuçlar verdiği görülmüştür. Kovalenko ve arkadaşları 2007 yılında yaptıkları çalışmada darbeli GPR kullanan yeni bir algoritma geliştirerek plastik malzemeden imal edilmiş antipersonel mayın tespitinde iyileştirme gerçekleştirmişlerdir. Geliştirilen algoritma, bir boyutlu GPR yansıma işaretinde bir referans dalga şeklinin varlığını araştıran doğrusal olmayan (nonlinear) bir işaret işleyici olarak uygulanmıştır. Đşlemci, referans dalga şekline sahip tüm yansımaları işaretler ve referans dalga şeklinden farklı yansımaları bastırır. Referans dalga şekli ve diğer algoritma parametreleri, bilinen bir alanda yapılan çalışma sonucunda elde edilen veriler kullanılarak belirlenmiştir. Đşlemci, veri işleme ve mayın tespit sistemine yanlış alarm engelleyici olarak dahil edilmiştir. Geliştirilen algoritma, deneysel veriler kullanılarak test edilmiştir. Performans karşılaştırması yapmak için.

(15) 5 ROC eğrileri kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlar, geliştirilen sistemin verdiği yanlış alarm sayısının daha az olduğunu göstermiştir. Loizos ve Plati’nin 2007 yılında yaptıkları çalışmada bir kamyonete yerleştirilmiş olan GPR sistemi kullanılarak asfalt bir yüzeyin taramasını yapmışlardır. Farklı merkez frekanslı hava kuplajlı iki horn anten kullanılmıştır. Elde edilen radar verileri antenlerin doğruluğunun değerlendirilmesi için analiz edilmiştir. Bu sebeple asfalt katmanının dielektrik sabiti değerleri ve kalınlığı hesaplanmıştır. GPR veri analiz sonuçlarını değerlendirerek iki horn antenin performansı gözlenmiştir. Lopera ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada GPR uygulamalarında yer yüzeyinden gelen yoğun yansımaların ve anten etkileşimlerinin etkisini filtrelemek için yeni bir yaklaşım geliştirmişlerdir. Đlk olarak doğrusal transfer fonksiyonlar kullanılarak antenden ve anten ile yer yüzeyi arasındaki etkileşimlerden kaynaklanan yansımalar giderilmiştir. Đkinci olarak, yüzey yansımasını hesaplayan Green fonsiyonu benzetimi yapılmıştır. Green fonksiyonu, mayınsız arazide elde edilen radar ölçümlerinin tam dalga dönüşümünü kullanarak yer yüzeyi dielektrik katsayısının hesaplanmasından türetilmiştir. Üçüncü olarak, faz kaydırma migrasyon yöntemi 2 boyutlu veri üzerinde uygulanarak anten etkileri giderilmiştir. Laboratuvar ortamında kumlu toprağa gömülü 4 mayının tespiti için önerilen yaklaşım test edilmiştir. Geleneksel yöntemlerle karşılaştırıldığında yeni filtreleme yönteminin mayınların ayırt edilmesinde, derinliğinin ve geometrik özelliklerinin belirlenmesinde daha iyi sonuç verdiği görülmüştür. Oden ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada frekans domeni migrasyon yöntemi ile ters dispersiyon filtresini birleştiren dispersiv migrasyon yöntemini sunmuşlardır. Bu yöntem yere kuplajlı antenler için toprak özelliklerinin bir fonksiyonu olan, anten cevabını içeren tam özellikli bir GPR gerektirmektedir. GPR sistemi cevap spektrumu, ters dispersiyon filtresini kararlı hale getirmek için kullanılmıştır. Sinyal gürültü oranı (Signal to Noise Ratio, SNR) yeterli düzeyde iken dispersiv migrasyon, zayıflamış spektral bileşenleri yeniden oluşturur. GPR sistemi 120 dB ve üzerinde dinamik aralıkta ve ortam kayıp tanjantı 0.3 ve üzerinde olduğu durum için önerilen algoritma, benzetimi yapılan verilere uygulandığında geliştirilmiş çözünürlüğün önemli olduğu görülmüştür. Ayrıca ortam kayıp tanjantı 0.3’ten küçük olduğunda ya da GPR sistemi küçük dinamik aralıklı olduğunda dispersiv migrasyon yönteminin geleneksel migrasyon yöntemine göre bir avantajı olmadığı gözlenmiştir..

(16) 6 Savelyev ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada kara mayını tespitini otomatik olarak yapabilmeyi ve yanlış alarmları azaltmayı amaçlamışlardır. Gömülü mayın ve diğer nesnelerin ayırt edilmesinde geniş bant zaman-frekans analizini araştırmışlardır. Optimum ayırt etme için Mahalanobis uzaklığını bir ölçüt olarak kullanmışlardır. Mayın tespiti başarılı bir şekilde sonuçlandığında elde edilen sonuçlar en uygun özellikleri ve koşulları göstermiştir. Önerilen özelliklerin ayırt edici gücü, Angola’da bir alanda elde edilen veri dizisi üzerinde denenmiştir. Soldovieri ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada duvar arkası görüntüleme üzerine bir boyutlu ters saçılma problemini incelemişlerdir. Burada elektriksel özellikleri ve kalınlığı bilinen bir yüzey arkasındaki tabakanın yerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Tabaka yüzeyinin konumu Dirac (δ) fonksiyonu ile temsil edilmiş. ve. problem. doğrusal. integral. operatörünün. ters. çevrimi. haline. dönüştürülmüştür. Ters çevrim için TSVD (Truncated-Singular-Value-Decomposition) sistemi kullanılmıştır. Yapay veriler kullanılarak, önerilen yaklaşımın performansı ve ters çevrim algoritması üzerinde engelin parametre etkileri değerlendirilmiştir. Ayrıca, basamak frekanslı GPR ile elde edilmiş deneysel veriler incelenmiştir. Tsaipei ve arkadaşları, 2007 yılında yaptıkları çalışmada Amerikan ordusunun test sahasında alt frekans bandında çalışması üzerine kurulu yeni bir yaklaşım kullanarak elde edilen GPR verilerinin analizini gerçekleştirmişlerdir. Bu yaklaşımda 2.5 GHz’in üzerinde bir bant genişliğine sahip radar verilerinden 2 GHz tek geniş bant ve 0.6 GHz 4 dar alt frekans bantları kullanılarak ayrı ayrı radar görüntüleri oluşturulmuştur. Sonuçlar, farklı alt frekans bantlarının önemli farklılıkta ve performansta kara mayını algılanmasını sağladığını göstermiştir. Test sahasında elde edilen mayın algılama sonuçları sunulmuştur. Torrione ve Collins, 2007 yılında yaptıkları çalışmada yüksek miktarda cisim içeren bir alanda elde edilen GPR verilerinden antitank mayını algılanması için doku özellik uygulamasını önermişlerdir. Üç boyutlu doku özelliği çıkarma için yeni bir teknik geliştirilmiş, iki ve üç boyutlu doku özellik kümeleri üzerinde geliştirilmiş sınıflayıcıları kullanarak mayın-yanlış hedef ayrımı için sonuçlar karşılaştırılmıştır. Đki boyutlu doku özellik kümesininkine kıyasla 3 boyutlu özellik kümesi üzerinde eğitilen RVM (Relevance Vector Machine) sınıflayıcı ile daha başarılı sonuçlar alındığı görülmüştür. Wilson ve arkadaşları 2007 yılında yaptıkları çalışmada kara mayınlarının tespiti ve ayırt edilmesi için değişik algoritmalar sunmuşlardır. Bir araca montajı yapılmış.

(17) 7 GPR’dan elde edilmiş verileri kullanmada 4 farklı yaklaşım tartışılmıştır. 41,807.57 m2 lik bir alanda elde edilen veriler üzerinde geniş çaplı bir değerlendirme sunulmuş ve 1,593 adet mayın tespit edilmiştir. Bahsedilen 4 farklı algoritmanın değişik ayarlar ile performansları incelenmiştir. Ho ve arkadaşları, 2008 yılında yaptıkları çalışmada plastik mayınların tespitinde mayın dışı cisimlerden gelen işaretlerden dolayı oluşan yanlış alarm sayısının azaltılması için GPR’ın frekans domeni spektral özelliklerini kullanmayı önermişlerdir. Mayın gibi hedefler ile yanlış alarm veren cisimlerin enerji yoğunluk spektrumu (Energy. Density. edilebileceklerdir.. Spectrum, Đlk. olarak. EDS). birbirinden. FDTD. yöntemi. farklı. oldukları. kullanılarak. için. teorik. ayırt analiz. gerçekleştirilmiştir. Daha sonra GPR ölçümleriyle EDS oluşturma yönteminden bahsedilmiştir. Frekans domeni özelliklerinin tutarlılığı, farklı örnekleme oranlarına ve farklı frekans band genişliğine sahip GPR’lar kullanılarak test edilmiştir. Mayın ve başka malzemelerin yerleştirildiği birkaç test alanından deneysel sonuçlar elde edilmiştir. Sonuçlar, mayın tespiti ve mayının diğer nesnelerden ayırt edilmesinde doğruluk artışı olduğunu göstermiştir. Travassos ve arkadaşları, 2008 yılında yaptıkları çalışmada beton yapılardaki içeriğin özelliklerini araştırmışlardır. Đçerik sayısı, geometrisi ve elektriksel özelliklerini araştırmışlardır. Bunun için Parçacık küme optimizasyonu (PSO) ile uyumlu filtre tabanlı ters zaman (Matched Filter Based Reverse Time, MFBRT) migrasyon algoritmasını birleştiren 2 aşamalı bir algoritma kullanılmıştır. Birinci aşama MFBRT’yi çalıştırmakta ve böylece içerik sayısı ve merkezleri doğru bir şekilde tanımlanabilmiş fakat geometrileri ve elektriksel özellikleri belirlenememiştir. Birinci aşamada elde edilen sonuçlar ile PSO ikinci aşamada kullanılmakta ve parametrik bir yaklaşımla içeriğin geometrisi ve diğer özellikleri belirlenebilmiştir. Üç tür içerik dikkate alınmıştır. Bunlar su, hava ve iletkendir. Stoffel, 1994 yılında yaptığı çalışmada aktif dizi çok fonksiyonlu radarları için sezgisel enerji yönetimi algoritması geliştirmiştir. Geliştirilen algoritmayı test için benzetimler gerçekleştirilmiştir. Radarın maksimum yükte çalıştığı durumlarda önerilen sezgisel enerji yönetimi algoritmasının tasarruf sağladığı gözlenmiştir. Nelander ve Stromberg, 1997 yılında yaptıkları çalışmada çoklu faz dizi radarlarda enerji yönetimini incelemişlerdir. Đzlenen hedefin mesafesine bağlı olarak radardan gönderilen enerji düzeyinin değiştirilmesi amaçlanmıştır. Farklı model, koşul ve yöntemler için enerji yönetimi incelenmiştir..

(18) 8 Fehske ve arkadaşları, 2009 yılında yaptıkları çalışmada hücresel mobil radyo ağlarında mikro alanlar oluşturarak enerji verimliliğini artırmaya çalışmışlardır. Makro alanları mikro düzeyde bölümlendirerek ilgili alandaki toplam enerji sarfiyatının önemli miktarda düşürüldüğü gözlenmiştir. Calder ve Marina, 2010 yılında yaptıkları çalışmada cep telefonlarında enerji tasarrufu. oluşturmak. için. tekrarlı. uygulamaların. zamanlaması. üzerine. yoğunlaşmışlardır. Geliştirdikleri algoritmayı Nokia N95 ve HTC (Android) cep telefonları. üzerinde. kullanarak. önemli. derecede. enerji. tasarrufu. sağladığını. gözlemişlerdir. Yuen ve Sung, 2003 yılında yaptıkları çalışmada mobil ad hoc ağlar için enerji verimliliğini araştırmışlardır. Çalışmanın birinci bölümünde sabit konumlu ağlar göz önünde bulundurulmuştur. Đkinci kısmında ise ağların hareketli olma durumunun enerji verimliliğine etkisini incelemişlerdir. Birinci durumda enerji verimliliğinin kanal yol kayıp oranı, enerji dağıtım modeli ve ağın taşıdığı yük gibi birçok parametreye bağlı olduğu gözlenmiştir. Özellikle kanal yol kayıp oranı yüksek iken iletim mesafesi arttığında enerji verimliliği düşmektedir. Bu yüzden ilgili ağ, bağlantıyı sağlayabileceği kritik mesafede çalıştırılması gerekmektedir. Fakat kanal yol kayıp oranı düşük olduğu zaman, kritik seviyede çalışma sonucunda istenmeyen düzeyde çıkış verisi ve enerji verimliliği oluşmaktadır. Sonuçlar enerji verimliliğinin ağ bağlantısı ile çok yakından ilişkili olduğunu göstermiştir. Đkinci durumda enerji verimliliğini maksimum düzeyde tutacak optimum iletim mesafesi oluşmuştur. Optimum mesafenin ağ hareketliliğinden etkilenmediği ve kritik mesafeden daha büyük olduğu sonucu gözlenmiştir. Ağ, optimum mesafede çalıştırıldığında enerji sarfiyatının %15 ile %73 arasında düşürülebildiği gösterilmiştir. Karimou ve Myoupo 2005 yılında yaptıkları çalışmada hop mobil ad hoc ağlarının çalışmasında enerji tasarrufu sağlamak için bir algoritma geliştirmişlerdir. Geliştirdikleri algoritmada ad hoc ağlarını çalışmaya başlatırken ortalama durum analizi ve rasgele yaklaşımı kullanarak önemli miktarda enerji tasarrufu gözlemişlerdir. Li ve Liu, 2007 yılında yaptıkları çalışmada mobil sensör ağları ile hedef takibinde enerji tasarrufunu araştırmışlardır. Önerdikleri algoritma, hedefin bir sonraki bulunacağı. yeri. tahmin. ederek. o. bölgedeki. sensörleri. etkinleştirmektedir.. Gerçekleştirilen benzetimler sonucunda düşük enerji ile başarılı bir şekilde hedef takibi yapılabileceğini göstermişlerdir..

(19) 9 Lilakiatsakun ve Seneviratne, 2002 yılında yaptıkları çalışmada kablosuz ağlarda iletim kontrol protokolü (TCP) çalışması için performansı artıran ve enerji tasarrufu sağlayan bir algoritma geliştirmişlerdir. Bu algoritma, şimdiye kadar çalışılan diğer sistemlerin aksine hata düzeltmeden daha çok kablosuz hatlardaki paket veri kayıp olasılığını en küçük düzeye indirme mantığına dayanmaktadır. Gerçekleştirilen benzetimler aracılığıyla önerilen algoritmanın TCP performansını artırdığı ve enerji verimliliği sağladığı gösterilmiştir. Liu ve arkadaşları, 2008 yılında yaptıkları çalışmada kablosuz haberleşme ağlarında enerji tasarrufu sağlayacak bir algoritma geliştirmişlerdir. Bir mobil cihazın veri gönderme-alma işlemi yapmadığı boş zaman (uyku) aralıklarını Weibull dağılımı ile modelleyip mobil cihazların uyku aralıklarını zamanlamak için yoğunluk tabanlı Weibull dağılımı denetim stratejisi kullanmışlardır. Önerdikleri sistemin etkinliğini göstermek için örnek benzetimler gerçekleştirilmiştir. Xia ve arkadaşları, 2011 yılında yaptıkları çalışmada kablosuz ağlarda mobil cihazların enerji tasarrufu sağlayacağı bir teknik geliştirmişlerdir. Önerilen sistemde GPS aracılığıyla mobil cihaz kendisine en yakın erişim noktasını (AP) bulabilecektir. Böylece mobil cihazın gereksiz yere yapacağı taramaların sayısını büyük bir oranda düşürerek enerji tasarrufu gerçekleştirilebilmiştir. Literatürde GPR ile ilgili yapılan çalışmalar, sinyal işleme teknikleri ile radar verilerinin iyileştirilmesi, değişik antenlerle daha gelişmiş sonuçlar elde etme ve özellikle mayın tarama konusunda yanlış alarm oranını minimum seviyeye düşürme yönünde yoğunlaşmıştır. GPR’ın enerji sarfiyatı konusunda literatürde çalışma bulunmamaktadır. Bu tez çalışmasında, portatif her elektronik cihazda olduğu gibi GPR için de önemli olan pil kullanım süresinin artırılmasını sağlayacak enerji tasarruflu bir GPR algoritması geliştirilmesi amaçlanmıştır..

(20) 10 3. MATERYAL VE YÖNTEM. 3.1. Kullanılan Materyal. Bu tez çalışmasında materyal olarak bir bilgisayar ve The Mathworks firmasının geliştirdiği Matlab programlama dili kullanılmıştır. Bilgisayar, Intel Core i5 2.53GHz işlemci, 64 bit işletim sistemi, 4GB RAM ve 500GB hafızaya sahiptir. Kullanılan Matlab sürümünün lisans bilgileri Ek-1’de verilmiştir. Matlab, teknik hesaplamalar ile programlamayı birleştiren bir yazılımdır. Ayrıca, Matlab kolay bir kullanım imkanı sunarak kullanıcıların derinlemesine bilgi sahibi olmamasına rağmen hızlı ve zahmetsiz bir şekilde program yazabilmesini mümkün kılar. Matlab programının bazı kullanım alanları •. Gömülü Sistemler. •. Görüntü ve Video Đşleme. •. Hesaplamalı Biyoloji. •. Hesaplamalı Finans. •. Haberleşme Sistemleri. •. Kontrol Sistemleri. •. Mekatronik. •. Sayısal Đşaret Đşleme. •. Test ve Ölçüm. şeklinde sıralanabilir. Matlab ayrıca üniversitelerde ders ortamında kullanılan bir araç haline gelmiştir. Matlab ile programlama ve hesaplama kolaylığı için, Matlab içerisinde araç kutuları (toolbox) oluşturulmuştur. Çalışma konularına özel olarak hazırlanan araç kutularının sayısı otuzun üzerindedir. Bu araç kutuları sayesinde diğer programlama dillerinde onlarca satırlık kodlar yazarak geliştirilecek programlar Matlab ile bir komutla gerçekleştirilebilmektedir.. 3.2. Kullanılan Yöntem. Tez çalışmasında Matlab ortamında iki boyutlu FDTD yöntemi kullanılarak GPR’ın benzetimi gerçekleştirilmiştir. GPR vericisinin çıkış gücü RF güç kontrolü.

(21) 11 yapılarak ayarlanabilir moda dönüştürülmüştür. Böylece enerji tasarruflu GPR algoritması geliştirilmiştir.. 3.2.1. FDTD. FDTD yöntemi, ayrıklaştırılmış Maxwell denklemlerini kullanarak zaman domeninde hesaplamaları yapmaktadır. Frekans domeni verileri Fourier dönüşümü uygulanarak elde edilebilmektedir. Maxwell denklemlerinde bulunan kısmi diferansiyel denklemlerin (Partial Differential Equation, PDE) özellikleri: •. PDE denklemleri doğru sonuçlar verir.. •. Zaman. domeni. PDE’ler. genellikle. matris. içeren. denklemler. oluşturmazlar (frekans domeninde genellikle seyrek matris denklemleri oluşur). •. Kompleks özellikli malzemeler kullanılabilir.. •. PDE hesaplamaları fazla bilgisayar hafızası gerektirmez.. FDTD yönteminin özellikleri: •. Tek. uyarma. ile. geniş. bant. frekans. cevabı. hesaplamalarını. gerçekleştirebilir. •. Her türlü 3 boyutlu nesnelerin benzetimini gerçekleştirir.. •. Farklı iletkenlikteki cisim ya da ortamların etkilerini araştırabilir.. •. Kayıplı dielektrik malzemelerin, manyetik, izotropik olmayan ve kompleks ortam ve nesnelerin benzetimi için frekans bağımlı temel parametreleri içerir.. •. Saçılmış elektromanyetik dalgalar, anten parametreleri, radar kesiti (Radar Cross Section, RCS), yüzeyde oluşan alanlar, akımlar, güç yoğunlukları, yük dağılımları ve ortama nüfuz eden elektromanyetik dalganın hesaplamalarını yapabilir.. FDTD algoritmasının temeli zamana göre türevli elektrik ve manyetik alan bileşenlerini içeren Maxwell denklemlerine dayanmaktadır. Bu denklemler ileri, geri ve merkezi fark denklemleri kullanılarak ayrık denklemler haline dönüştürülebilir. Ayrık zamanlı. denklemlerde. konumdaki. değişikliklerde. yalnızca. en. yakın. komşu. noktalarındaki alan değerleri hesaplamaya katılır. Araştırılacak ortam genellikle Şekil.

(22) 12 3.1’de görülen hücrelere (birim küplere) ayrılarak hesaplamalar gerçekleştirilir. Bu birim hücrelere Yee birim hücreleri denilmektedir (Stutzman ve Thiele, 1998).. ∆x Hz. Ey ∆z. ∆y Ex. (i,j,k) Hx Ez. Hy. z x. y. Şekil 3.1.Yee birim hücreleri. Benzetimi yapılacak olan bölgenin boyutları sınırlı olmalıdır. Hesaplamalar ayrık denklemler aracılığıyla yapıldığı için benzetim ortamının sınırları belirlenmediği takdirde konum ve zaman ekseninde hesaplamalar adım adım gerçekleştirilerek sonsuza dek sürecek ve benzetimi yapmaya çalışan bilgisayar kararsız hale girecektir. Ayrıca, belirlenen bölgenin sınırlarındaki hesaplamalarda elde edilen sonuçlar, sanki gelen elektromanyetik dalga sınırlardan yansıyıp geri dönmüş gibi değerler oluşturur. Benzetimi yapılan ortam için gerçekte böyle bir durum söz konusu değildir. Benzetim esnasında oluşan bu yapay yansımalar FDTD algoritmasının hesaplama mantığından kaynaklanan bir sorundur ve bu sorunun giderilebilmesi yutucu sınır koşulu (Absorbing Boundary Condition, ABC) kullanımı ile mümkün olabilir.. 3.2.1.1. FDTD yöntemi için Maxwell denklemleri. FDTD algoritmasında kullanılabilmeleri için Maxwell denklemleri fark denklemlerine dönüştürülmelidir. Bu dönüşüm bir, iki ve üç boyutlu benzetimler için ayrı ayrı gerçekleştirilir. Kayıplı ve kaynak olmayan bir ortam düşünüldüğünde eşdeğer r manyetik akım yoğunluğu J M.

(23) 13 r r J M = ρ ′H. (3.1). şeklinde ifade edilir. Burada ρ', manyetik kayıpları temsil eden bir katsayıdır. r Elektriksel kayıpların hesabını yapabilmek için de eşdeğer elektrik akım yoğunluğu J ifadesi r r J = σE. (3.2). şeklindedir. σ, elektriksel iletkenliktir. Maxwell denklemleri, Denklem 3.3- 3.6’da verilen bağıntılardan oluşmaktadır (Taflove, 1995). ∇ × = − ∙ − ′ ∙ . = ∙ ∇×. . ∇ ∙ ! = ". + ∙ . ) = 0 ∇ ∙ (. (3.3) (3.4) (3.5) (3.6). burada " hacimsel yük yoğunluğunu ifade etmektedir. Bu denklemler zamanda ve. konumda birinci dereceli PDE’lerin hiperbolik sistemini oluşturur. Ayrıca hem zamanda hem konumda ikinci dereceli tek bir PDE dalga denklemi olarak aşağıdaki gibi düzenlenebilir (kaynaksız, düzgün ve kayıpsız ortam için) (Peterson ve ark, 1998). & . ' . = ∇( . (3.7). 3.2.1.2. Üç boyutlu benzetimler için Maxwell denklemleri. Üç boyutlu kartezyen koordinat sistemindeki formülasyonu bulabilmek için Maxwell denklemlerinde bulunan iki rotasyonel bağıntının x, y ve z yönündeki vektörel bileşenleri göz önünde bulundurulduğunda Denklem 3.8 ve 3.9’da verilen altı denklem elde edilir (Stutzman ve Thiele, 1998)..

(24) 14.  ∂H x 1  ∂E y ∂E z =  − − ρ ′H x  ∂t ∂y µ  ∂z  ∂H y. (3.8a). 1  ∂E z ∂E x  − − ρ ′H y   ∂z µ  ∂x . (3.8b).  ∂H z 1  ∂E x ∂E y =  − − ρ ′H z  ∂t ∂x µ  ∂y . (3.8c).  ∂E x 1  ∂H z ∂H y =  − − σE x  ∂z ∂t ε  ∂y . (3.9a). ∂t. ∂E y ∂t. =. =. 1  ∂H x ∂H z  − − σE y   ε  ∂z ∂x .  ∂E z 1  ∂H y ∂H x =  − − σE z  ∂t ∂y ε  ∂x . (3.9b). (3.9c). Elde edilen bu altı PDE, FDTD algoritması için çekirdek denklemleri oluşturmaktadır.. 3.2.1.3. Đki boyutlu benzetimler için Maxwell denklemleri. Đki boyutlu benzetimlerde x, y ve z eksenlerinin birinde hesaplama yapılmayacağı için o yönde alan değerlerinde herhangi bir değişim olmadığı düşünülür. Benzetimin x-y düzleminde gerçekleştirileceği durum için, z ekseni üzerinde alan değişimleri söz konusu olmadığı için elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin z’ye göre alınan kısmi türevleri sıfır olacaktır. Benzetimin iki boyutlu olarak gerçekleştirildiği durum için Maxwell denklemlerinin iki boyuta indirgenmesi esnasında iki mod ortaya çıkacaktır. Bunlar enine elektrik (Transverse Electric, TE) ve enine manyetik (Transverse Magnetic, TM) modlarıdır. TM modunda benzetimin geometri eksenine (burada z ekseni) dik olan sadece manyetik alan bileşenleri söz konusu olabilir. z ekseni yönünde sadece elektrik alan bileşeni söz konusu olabilecek ve manyetik alan bileşeni bulunmayacaktır. TE modunda da z eksenine dik olarak sadece elektrik alan bileşenleri bulunacak. z ekseni yönünde sadece manyetik alan bileşeni bulunabilecektir. Bu düzenlemeler sonrasında Denklem 3.8 ve 3.9’dan oluşturulan TM modu bağıntıları.

(25) 15. ∂H x 1  ∂E z  =  − − ρ ′H x  ∂t µ  ∂y  ∂H y ∂t. =. 1  ∂E z  − ρ ′H y   µ  ∂x . (3.10a). iki boyutlu TM modu.  ∂E z 1  ∂H y ∂H x =  − − σE z  ∂t ∂y ε  ∂x . (3.10b). (3.10c). şeklindedir. Aynı şekilde elde edilen TE modu bağıntıları. ∂E x 1  ∂H z  =  − σE x  ∂t ε  ∂y . ∂E y ∂t. =. 1  ∂H z  − σE y   ε  ∂x . (3.11a) iki boyutlu TE modu.  ∂H z 1  ∂E x ∂E y =  − − ρ ′H z  ∂t ∂x µ  ∂y . (3.11b). (3.11c). şeklindedir. TM ve TE modları. izotropik yapılar için birbirine bağlı olmadan. kullanılabilirler. Yani bu modlar bağımsız olarak oluşabilirler. TM ve TE modlarının ikisini de içeren problemlerde iki mod için ayrı ayrı elde edilen çözümler süperpozisyon yöntemi kullanılarak birleştirilir.. 3.2.1.4. Bir boyutlu benzetimler için Maxwell denklemleri. Bir boyutlu benzetimlerde incelenecek olan eksenin dışındaki iki eksende elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin değerlerinde hiçbir değişim olmadığı düşünülür. Burada, y ve z eksenlerinde alan değerlerinde değişim olmadığı düşünülürse alan bileşenlerinin y ve z eksenine göre alınan kısmi türevleri sıfır olacaktır. Böylece benzetim, dalga yayılımı x yönünde olan bir boyutlu bir problemi içerecektir. Bir.

(26) 16 boyutlu benzetimler için Maxwell denklemlerini düzenlerken iki boyutlu TM veya TE denklemleri kullanılabilir. Bir boyutlu TE modunu oluşturmak için iki boyutlu TE modu kullanılır. Bu durumda, bir boyuta indirgeme için y ekseni üzerinde alan değerlerinde her hangi bir değişim olmayacağından y parametresine göre alınan türevler sıfır olacaktır. Böylece Denklem 3.11’daki bağıntılar düzenlendiğinde, ∂E x 1 = (− σE x ) ∂t ε. ∂E y ∂t. =. (3.12a). 1  ∂H z  − σE y   ε  ∂x . (3.12b).  ∂H z 1  ∂E y =  − − ρ ′H z  ∂t µ  ∂x . (3.12c). bağıntıları elde edilir. Denklemleri bir boyuta indirgerken de TE ve TM modları söz konusu olmaktadır. Bir boyutlu TE modu için x yönünde elektrik alan bileşeni (Ex) denklemlerde bulunmayacaktır. Bu durumda Ey ve Hz bileşenlerini içeren bağıntılar,. ∂E y ∂t. =. 1  ∂H z  − σE y  − ε  ∂x . bir boyutlu TE modu.  ∂H z 1  ∂E y =  − − ρ ′H z  ∂t µ  ∂x . (3.13a) (3.13b). şeklinde olacaktır. Bir boyutlu TM modunu oluştururken Denklem 3.10’da verilen iki boyutlu TM modu kullanılır. Denklem 3.10’daki bağıntılarda y eksenine göre alınan kısmi türevlerin sıfır olduğu düşünülerek yeniden düzenlenirse,.

(27) 17. ∂H x 1 = (− ρ ′H x ) ∂t µ. ∂H y ∂t. =. (3.14a). 1  ∂E z  − ρ ′H y   µ  ∂x . ∂E z 1  ∂H y =  − σE z ∂t ε  ∂x. (3.14b).    . (3.14c). bağıntıları elde edilir. TM modu söz konusu olduğundan denklemlerde Hx bileşeni bulunmayacaktır. Bu durumda, bir boyutlu TM modu Denklem 3.15’de görüldüğü gibi Hy ve Ez bileşenlerini içeren bağıntılardan oluşmaktadır.. ∂H y ∂t. =. 1  ∂E z  − ρ ′H y   µ  ∂x . ∂E z 1  ∂H y =  − σE z ∂t ε  ∂x. bir boyutlu TM modu.    . (3.15a). (3.15b). Bir boyutlu TE ve TM modları birbirine dik düzlemsel dalgaları ifade etmektedir. Yani, TE veya TM modunun seçiminden bağımsız olarak incelenecek eksen göz önünde bulundurularak ilgili polarizasyona sahip düzlemsel dalga gerçekleştirilir. Bir boyutlu TM ve TE modlarında Denklem 3.14 ve 3.15’de gösterildiği üzere manyetik alan bileşeni ve elektrik alan bileşeni x eksenine dik durumdadır. Bu durum enine elektromanyetik (Transverse ElectroMagnetic, TEM) modunu temsil etmektedir.. 3.2.1.5. Fark denklemlerinin oluşturulması. Burada Yee hücreleri aracılığıyla FDTD algoritmasının temel formüllerinin nasıl oluşturulduğu gösterilecektir. Yee hücrelerindeki elektrik ve manyetik alan bileşenleri, konuma ve zamana göre türev içeren Maxwell denklemlerinin sonlu fark yaklaşımı ile hesaba katılmıştır. Başlangıç olarak Denklem 3.15a kayıpsız durum göz önünde bulundurularak düzenlenirse ρ ′ sıfır olacağından.

(28) 18. ∂H y ∂t. =. 1  ∂E z    µ  ∂x . (3.16a). denklemi elde edilir. Türevin klasik tanımı ile yeniden düzenlenecek olursa. lim. ∆H y ∆t. ∆t →0. =.  ∆E  lim  z  µ ∆x→0 ∆x  1. (3.16b). denklemi elde edilir. Şekil 3.2’de Denklem 3.15’in çözüleceği (x,t) noktası görülmektedir. (x,t). Ez. Hy. Hy’nin değişimi. Zaman. Ez’nin değişimi. ∆t. ∆x (xi,tn). Hy. Ez. Konum. Şekil 3.2. Maxwell denklemlerinin ayrıklaştırılmasının bir boyutlu halde konum-zaman ilişkisi. Bu çizimde konum ve zaman eksenlerindeki adım boyları birbirine eşit gibi gösterildi. Fakat bunlar asıl değerler değildir. (x,t) noktasında zamanda ve konumda ∆x ve ∆t adımlarıyla ayrıklaştırmak Maxwell denkleminin doğruluğundan bir şey eksiltmez.. Yani. türev. denklemleri. ile. fark. denklemleri. değiştirilerek. Denklem. 3.16. ayrıklaştırıldığında. H y (tn +. ∆t ∆t ) − H y (tn − ) 2 2 ∆t. = xi. 1. µ. Ez ( xi +. ∆x ∆x ) − Ez ( xi − ) 2 2 ∆x. (3.17) tn.

(29) 19 denklemi elde edilir. Denklem 3.17, ikinci bir yolla konum xi noktasında sabit tutularak Hy(xi,tn), tn ve tn + şekilde H y (tn −. ∆t ∆t noktalarında Taylor serisine açılarak H y (tn + ) |xi ve benzer 2 2. ∆t ) |x nin elde edilmesi ile gerçekleştirilebilir. Böylece zamanda ve 2 i. konumda birinci dereceden kısmi türev denklemleri, ikinci dereceden doğruluklu merkezi fark yaklaşımı ile elde edilebilir. Denklem 3.17 biraz düzenlenerek. H (t n +. ∆t ∆t ∆t  ∆x ∆x  ) | xi = H (t n − ) | xi + E ( x i + ) − E ( x i − )  µ∆x  2 2 2 2  tn. (3.18). denklemi elde edilir. Bundan sonraki bağıntılarda ifade kolaylığı için x ekseni yönündeki konum değişkeni olarak alt indis şeklinde i, zaman değişkeni olarak üst indis şeklinde n parametreleri kullanılacaktır. Bu şekilde Denklem 3.18 yeniden yazılacak olursa. H in+1 / 2 = H in−1 / 2 +. ∆t [ Ein+1 2 − Ein−1 2 ] µ∆x. (3.19). şeklinde olacaktır. n+1/ 2 Dolayısıyla, Hi , aynı konumdaki fakat ∆t birim zamanı kadar önce H. değerinin ve. xi ± ∆x 2 konumlarında, ∆t/2 önceki zamanlarda E değerlerinin. kullanılmasıyla hesaplanabilir. Bu durum Şekil 3.3’de zaman-konum diyagramında açıklanmaya çalışılmıştır. E’nin xi ± ∆x 2 noktalarındaki değerlerini hesaplamak için Denklem 3.15b’nin kayıpsız ortam için düzenlenmiş halini kullanarak Ez için (n+1/2) anında ve (i+1/2) noktasında merkezi fark yaklaşımı uygulanır. Böylece. Ein++11/ 2 = Ein+1/ 2 +. ∆t [ H in++11/ 2 − H in+1 / 2 ] ε∆x. (3.20). şeklinde elde edilir. Bir boyutlu FDTD benzetiminde H alanını hesaplamak için Denklem 3.19, E alanını hesaplamak için Denklem 3.20 kullanılır..

(30) 20. Zaman n+3/2 ∆t/2. n+1 n+1/2. n. (i,n). n-1/2 ∆x/2. i-1 i-1/2. i. i+1/2 i+1. n+1/ 2. Şekil 3.3. Hi. ve. i+3/2. Konum. Ein++11/ 2 ’nin hesaplanması.. Denklem 3.8 ve 3.9’da belirtilen, üç boyutlu ve zamana bağımlı Maxwell denklemlerinin sonlu farklar (ayrıklaştırılmış) denklemleri 1966 yılında K.S. Yee tarafından oluşturulmuştur (Şekil 3.3 de ifade edilen bir boyutlu durum gibi). Şekil 3.4’den görülebileceği gibi üç boyutlu uzayda E-alan ve H-alan vektörleri birbirlerinin ardı ardına oluştuğundan Yee tarafından oluşturulan algoritma oldukça tutarlıdır. Yani E-alan vektörü H-alan vektörleri ile H-alan vektörü de E-alan vektörleri ile adeta çevrilmiştir. Ampere ve Faraday yasaları bu durumu doğrulamaktadır.. (i,j+1,k+1). z. (i+1,j+1,k+1). ∆x/2. ∆x/2. ∆z/2. (i,j,k+1) ∆z/2. y. Hx Ez. Hy Hz. ∆y/2. Ey (i,j,k). ∆y/2 Ex. (i+1,j,k). x. Şekil 3.4. Birim Yee hücresinde E ve H-alan vektörlerinin yerleşimi.

(31) 21 Bir boyutlu benzetim için elde edilen Denklem 3.20’de biri zaman biri de konum değişkeni olmak üzere iki değişken bulunmaktadır. Fakat üç boyutlu denklemler için üç tanesi konumda, bir tanesi de zamanda olmak üzere toplam dört değişken mevcuttur. Bunlar Denklem 3.21’de gösterildiği gibi ifade edilebilir.. (i, j, k , t ) = (i∆x, j∆y, k∆z, n∆t ). (3.21). Burada ∆x, ∆y ve ∆z sırasıyla x, y ve z eksenlerinde, ∆t ise zamanda gerçekleşen birim artışlardır. i, j, k ve n ise tamsayı değerdeki katsayılardır. Bu andan itibaren yazımı kolaylaştırmak amacıyla Denklem 3.22’da belirtildiği gibi bir gösterim yöntemi kullanılır. u (i∆x, j∆y , k∆z, n∆t ) = u in, j ,k. (3.22). Burada u fonksiyonu, E ya da H-alanını temsilen kullanılmış vektördür. tn=n∆t noktasında u fonksiyonunun x’e göre türevi için Yee’nin ifadesi,. [. u in+1 / 2 , j ,k − u in−1 / 2 , j , k ∂ 2 u (i∆x, j∆y , k∆z , n∆t ) = + O (∆x ) ∂x ∆x. şeklinde olur. Buradaki. ]. (3.23a). )*(∆,)( - terimi Taylor serisi açılımının ikinci dereceden. doğruluklu eklentisidir. ∂u ∂y ya da ∂u ∂z Denklem 3.23a’dakine benzer şekilde hesaplanabilir. u fonksiyonunun zamana göre türevi için Yee’nin ifadesi, u in, +j 1, k/ 2 − u in, −j 1, k/ 2 ∂ 2 u (i∆x, j∆y , k∆z , n∆t ) = + O (∆t ) ∂t ∆t. [. ]. (3.23b). şeklindedir. Şimdi Denklem 3.23’de ifade edilen bağıntılar aracılığıyla, Maxwell’in üç boyutlu denklemlerinin sayısal yaklaşımı (FDTD denklemleri) elde edilebilir. Đlk olarak Denklem 3.8a ele alınırsa,.

(32) 22.  ∂H x 1  ∂E y ∂E z =  − − ρ ′H x  ∂t ∂y µ  ∂z . (3.24). ifadesi, zaman ve konum türevlerinin yerine fark denklemleri konularak.  E yn,i , j ,k +1 / 2 − E yn,i , j ,k −1 / 2   ∆z  En n 1  z ,i , j +1 / 2 , k − E z ,i , j −1 / 2 , k − = µ i , j ,k  ∆y  n  − ρ i′, j , k ⋅ H x ,i , j ,k  . H xn,+i ,1j/,2k − H xn,−i 1, j/,2k ∆t.          . (3.25). elde edilir. Denklem 3.25’ün sağ tarafındaki terimlerin tamamı n zaman adımında hesap edilmektedir. Fakat n zaman adımındaki Hx teriminin hesaplama anında bilgisayar hafızasında kayıtlı olmadığı kabul edildiğinden (o anda Hx teriminin sadece n-1/2 zamanındaki değerinin bilgisayar hafızasında kayıtlı olduğu düşünülür), bu terimi hesaplamak için Denklem 3.26’de belirtildiği gibi bir önceki ve sonraki terimlerin ortalaması alınır.. H xn,i , j ,k =. H xn,+i ,1j/,2k + H xn,−i ,1j/,2k 2. (3.26). Denklem (3.26), (3.25)’de yerine konularak düzenlenirse. H xn,+i ,1j/,2k − H xn,−i ,1j/,2k. elde edilir..  En n  y ,i , j ,k +1 / 2 − E y ,i , j ,k −1 / 2  ∆z  n n ∆t  E z ,i , j +1 / 2 ,k − E z ,i , j −1 / 2 ,k = − µ i , j , k  ∆y   H xn,+i ,1j/,2k − H xn,−i ,1j/,2k  − ρ i′, j , k ⋅    2  .           . (3.27).

(33) 23 Denklemin her iki tarafında da bulunan H xn,+i ,1j/,2k terimi sol tarafta toplanırsa.   ρ′  ρ′  1 + ∆t ⋅ i , j ,k  ⋅ H xn,+i ,1j/,2k = 1 − ∆t ⋅ i , j ,k  ⋅ H xn,−i ,1j/,2k  µ  µ 2  2  i , j ,k i , j ,k    E yn,i , j ,k +1 / 2 − E yn,i , j ,k −1 / 2  ∆t  ∆z +  n µ i , j ,k  E z ,i , j +1 / 2,k − E zn,i , j −1 / 2 ,k − ∆y .       . (3.28). denklemi elde edilir. Son bir düzenleme daha yaparak H xn,+i ,1j/,2k ifadesi. H xn,+i ,1j/,2k.  1−  = 1+  . ρ i′, j ,k ∆t   2µ i , j ,k  ⋅ H n −1 / 2 ρ i′, j , k ∆t  x ,i , j , k  2 µ i , j ,k   ∆t   µ i , j ,k + ρ ′ ∆t  1 + i , j ,k  2µ i , j ,k .   E yn,i , j ,k +1 / 2 − E yn,i , j ,k −1 / 2     ∆z ⋅ n n   − E z ,i , j +1 / 2 ,k − E z ,i , j −1 / 2,k   ∆y  .       . (3.29). şeklinde elde edilir. Benzer şekilde elde edilen Ez bileşeni. E zn,+i ,1j ,k.  σ i , j ,k ∆t 1− 2ε i , j ,k  = σ ∆t  1 + i , j ,k  2ε i , j ,k .    n  ⋅ E z ,i , j ,k   .  ∆t   ε i , j ,k + σ ∆t  1 + i , j ,k  2σ i , j ,k .   H yn,+i+11/ 2/ 2, j ,k − H yn,+i1, j/,2k −1/ 2   ∆x    ⋅  H n+1/ 2 − H xn,+i ,1j/−21/ 2,k   − x ,i , j +1/ 2,k   ∆y  .       . (3.30). şeklindedir. Denklem 3.29 ve 3.30’daki gibi sonuçları izotropik cisimler içeren bir bölgede yazabilmek için her bir alan vektörü için sabit katsayılar tanımlanmalıdır..

(34) 24 ∆x=∆y=∆z=∆s olan kübik bir hücre için (i, j, k) noktasında elektrik alan bağıntılarının katsayıları,. σ i , j ,k ∆t 2ε i , j ,k = σ i , j ,k ∆t 1+ 2ε i , j ,k. (3.31a). ∆t ε i , j ,k ∆s = σ i , j ,k ∆t 1+ 2σ i , j ,k. (3.31b). 1−. C a ,i , j , k. C b ,i , j , k. şeklinde olur. Manyetik alan bağıntıları için (i,j,k) noktasındaki katsayılar,. ρ i′, j ,k ∆t 2µ i , j ,k = ρ i′, j ,k ∆t 1+ 2µ i , j ,k 1−. D a ,i , j , k. (3.32a). ∆t Db ,i , j ,k =. µ i , j ,k ∆s ρ i′, j ,k ∆t 1+ 2µ i , j ,k. (3.32b). şeklinde ifade edilir. Dikkat edilecek olursa Cb ve Db katsayılarının içerisinde ∆s birim konum adımı bulunmaktadır. Denklem 3.29 ve 3.30’da bir kısmı verilen FDTD denklemlerinin tamamı aynı şekilde elde edilebilir. Denklem 3.29 ve 3.30’da ifade edilen konum indisleri Şekil 3.4’deki yapıya uygun hale getirebilmek için düzenlenir. Örneğin, Hx bileşeni için konum indisleri j ve k’ya +1/2, Ez bileşeni için sadece k’ya +1/2 eklenir. Böylece Denklem 3.33 ve 3.34’de verilen sonlu fark denklemleri elde edilmiş olur..

(35) 25. H xn,+i ,1j/+21 / 2,k +1 / 2 = DaHX i , j +1 / 2,k +1 / 2 ⋅ H xn,−i ,1j/+21 / 2,k +1 / 2 + DbHX i , j +1 / 2,k +1 / 2. (. ⋅ E yn,i , j +1 / 2,k +1 − E yn,i , j +1 / 2,k + E zn,i , j ,k +1 / 2 − E zn,i , j +1,k +1 / 2. ). H yn,+i 1+1/ 2/ 2, j , k +1 / 2 = Da HY i +1 / 2, j , k +1 / 2 ⋅ H yn,−i1+1/ 2/ 2, j , k +1 / 2 + DbHY i +1 / 2, j , k +1 / 2. (. ⋅ E zn,i +1, j , k +1 / 2 − E zn,i , j , k +1 / 2 + E xn,i +1 / 2, j , k − E xn,i +1 / 2, j , k +1 H zn,+i +11/ /22, j +1 / 2, k = Da HZ i +1 / 2, j +1 / 2, k ⋅ H zn,−i +11/ 2/ 2, j +1 / 2, k + DbHZ i +1 / 2, j +1 / 2, k. (. ⋅ Exn,i +1 / 2, j +1, k − Exn,i +1 / 2, j , k + E yn,i , j +1 / 2, k − E yn,i +1, j +1 / 2, k. (3.33a). ). (3.33b). ). (3.33c). Exn,+i +11 / 2, j , k = Ca EX i +1 / 2, j , k ⋅ Exn,i +1 / 2, j , k + CbEX i +1 / 2, j , k. (. ⋅ H zn,+i +11/ /22, j +1 / 2, k − H zn,+i +11/ /22, j −1 / 2, k + H yn,+i +11/ 2/ 2, j , k −1 / 2 − H yn,+i 1+1/ 2/ 2, j , k +1 / 2 E yn,+i 1, j +1 / 2, k = Ca EY i , j +1 / 2, k ⋅ E yn,i , j +1 / 2, k + CbEY i , j +1 / 2, k. (. ⋅ H xn,+i ,1j/+21 / 2, k +1 / 2 − H xn,+i ,1j/+21 / 2, k −1 / 2 + H zn,+i −11/ /22, j +1 / 2, k − H zn,+i +11/ /22, j +1 / 2, k Ezn,+i ,1j , k +1 / 2 = Ca EZ i , j , k +1 / 2 ⋅ Ezn,i , j , k +1 / 2 + CbEZ i , j , k +1 / 2. (. ⋅ H yn,+i 1+1/ 2/ 2, j , k +1 / 2 − H yn,+i 1−1/ 2/ 2, j , k +1 / 2 + H xn,+i ,1j/−21 / 2, k +1 / 2 − H xn,+i ,1j/+21 / 2, k +1 / 2. ). (3.34a). ). (3.34b). ). (3.34c). Denklem 3.33 ve 3.34’deki altı denklem Şekil 3.4’deki gibi üç boyutlu bir problem için veya uygun bir şekilde iki boyutlu ve bir boyutlu durumlara indirgenerek kullanılabilir. Son olarak Denklem 3.11’deki Maxwell denklemleri ayrıklaştırılarak tez çalışmasında kullanılan iki boyutlu TE modlu fark denklemleri elde edilmiş olur. Denklem 3.11a ayrıklaştırılarak yazılırsa, 30&/( .,/0&/(,2. . .,/0 ,2. −. 34. =. ; 4 ; 9,6: ,7: 9,6: ,7< 8 56,7 ∆= &. 3 − ∙ .,/0 > ,2. (3.35). şeklinde olur. Burada,. 3 .,/0 = ,2. ;:/ ;</ 0 ?,6: ,7 ?,6: ,7. . olarak alınırsa,. (. (3.36).

(36) 26 . 30&/(. .,/0 ,2. . .,/0 ,2. = @,/,2 ∙ . 34. 3 3 + @A,/,2 ∙ BC,/0 − D ,20 C,/0 ,24. (3.37). şeklinde elde edilir. Benzer şekilde Denklem 3.11b ve 3.11c ayrıklaştırıldığında . 30&/(. =,/,20. . = @,/,2 ∙ . 34. . =,/,20. . 3 3 + @A,/,2 ∙ BC,/0 − D ,20 C,/4 ,20. 30& 3 C,/0 = E,/,2 ∙ + EA,/,2 ∙ B ,20 C,/0 ,20. 30&/(. .,/0 ,20&. −. 30&/(. .,/0 ,2. (3.38) +. 30&/(. =,/,20. −. 30&/(. =,/0&,20. . D (3.39). şeklinde olur. Burada kullanılan @,/,2 , @A,/,2 , E,/,2 , ve EA,/,2 katsayıları Denklem 3.31 ve. 3.32’de verilmiştir.. 3.2.1.6. Sayısal dağılma (Dispersion) ve kararlılık. Benzetim esnasında fark denklemleri kullanılmadan önce birim hücre boyutu (konum adımı) ve zaman adımı belirlenmiş olmalıdır. Başlangıçta hücre boyutu tespit edilir. Sayısal dağılma, hücre boyutunun gereğinden büyük belirlenmesinden meydana gelmektedir. Benzetimde kullanılacak olan kaynak sinyalinin frekansının büyük olması sebebiyle, belirlenen hücre boyutunun sinyalin bir dalgaboyunu yeterince örnekleyecek değere sahip olmaması sayısal dağılmaya neden olmaktadır. Hücre boyutunun belirlenmesinden sonra birim zaman adımı seçilmelidir. Birim zaman adımının uygun değerlerde seçilmesi ile sayısal kararlılığın sağlanması mümkün olabilecektir. Seçilen hücre boyutunda birim zaman adımının uygun küçüklükte seçilmemesi nedeniyle, ilerleyen elektromanyetik dalgayı örneklemede gecikmelerin bulunması kararlılık şartının yerine getirilemediğinin göstergesidir. Şekil 3.5(a)’da ∆x = λ min / 2 ve Şekil 3.5(b)’de ise ∆x = λmin / 8 değerlerinde seçilmiştir. λ min ortama yayılan dalganın minimum dalgaboyunu temsil etmektedir. Bu durumda (b) şıkkında belirtilen değerlerde yapılan benzetimin daha doğru sonuç vereceği aşikardır (Akleman, 1998). Birim hücre boyutu, benzetimde uygulanacak olan en büyük frekansa (fu) sahip sinyalin dalgaboyundan daha küçük değerde seçilmelidir. Fourier analizine bağlı olarak τ genişliğinde bir darbenin frekans tayfı sıfır ile f u = 1 τ arasında olacağı söylenebilir. Nyquist örnekleme kuramına göre hücre boyutu λu / 2 ’den.

(37) 27 küçük olmalıdır, böylece elektrik ve manyetik alanların konumdaki değişiklikleri doğru şekilde örneklenebilir. Burada. f u = v / λu. ve. v dalganın ortamdaki hızını. göstermektedir. Benzetimde kullanılan fark denklemleri de zaten yaklaşımlar kullanılarak oluşturulduğundan birim hücre boyutu sınır değerden daha küçük seçilmelidir. Sayısal dağılmanın benzetim sonuçlarına etkisini en aza indirebilmek için birim hücre boyutu λu / 10 ’dan daha küçük olmalıdır. Birim hücre boyutunun küçük seçilmesi bilgisayarın benzetimi bitirmesi için gerçekleştireceği adım sayısını artıracağından, hücre boyutunun değeri belirlenirken bilgisayar özellikleri de göz önünde bulundurulmalıdır. Eğer bilgisayar yeterince hızlı ise, hücre boyutu örneğin. λu / 20 olarak belirlenebilir. ∆x. ∆x. λmin. λmin (a). (b) Şekil 3.5. Sayısal dağılmanın gösterimi.. Şekil 3.6’da bir boyutlu benzetim için yayılan dalganın dalgaboyundaki örnekleme sayısının faz hızına etkisi gösterilmiştir. Örnekleme sayısı hücre boyutu ile ters orantılı olduğundan hücre boyutu en azından λu / 20 kadar küçük olmalıdır. Benzetimi yapılacak olan yapının geometrisine bağlı olarak daha da küçük hücre boyutu seçilebilir..

(38) 28 Normalize 1.0 faz hızı (v/c) 0.9. 0.8. 0.7. 0.6. 0.5 0. 20 40 60 80 100 Bir dalgaboyundaki örnek sayısı. Şekil 3.6. Bir boyutlu FDTD algoritmasındaki sayısal faz hızının bir dalga boyundaki örnek sayısı ile değişimi. Birim zaman adımı ∆t belirlenirken öncelikle bir boyutlu durum göz önünde bulundurulsun. Bir zaman adımında dalganın ilerlemesi bir hücreden daha fazla olamaz. Çünkü bir zaman adımı boyunca dalga bulunduğu hücreden en yakın komşu hücresine ilerleyebilir. Zaman adımı gereğinden çok az yüksek bile olsa sayısal kararsızlık söz konusu olacaktır. Bir boyutlu durumda sayısal kararlılık sınırı,. ∆t ≤. ∆x c. (3.40). şeklinde olmalıdır (Taflove, 1995). Üç boyutlu benzetimde sayısal kararlılığı garanti edebilmek için,. 1. ∆t ≤ c⋅. 1 1 1 + 2 + 2 2 ∆x ∆y ∆z. (3.41). şartına bağlı olarak birim zaman adımı belirlenmelidir. Denklem 3.40 ilk olarak Courant tarafından ortaya atılmış bir yaklaşımla elde edilmiştir (Isaacson ve Keller, 1967; Sadiku, 2001). Benzetim ortamının boşluk olduğu varsayıldığından bağıntıda c ışık hızı kullanılmıştır. Boşlukta elektromanyetik dalganın hızı ışık hızına eşittir..

(39) 29 Üç boyutlu benzetim için eğer ∆x=∆y=∆z=∆s ise sayısal kararlılık sınırı,. ∆t ≤. ∆s c 3. (3.42). şeklinde olacaktır. Đki boyutlu durumda ise, sayısal kararlılık şartı. ∆t ≤. ∆s c 2. (3.43). şeklini alacaktır. Dağılmayı tekrar ifade edecek olursak, farklı dalgaboylu dalgaların farklı hızlarda yayılmasıdır. Bir boyutlu durumda kararlılık sınırı için birim zaman adımı sınır değerde seçilirse dağılma söz konusu olmamaktadır. Đki boyutlu durumda, birim zaman adımı sınır değerde iken ve dalga yayılması birim hücrelerin köşegeni yönünde (yayılma açısı 45°) iken dağılma olmaz. Dalga yayılması diğer yönlerde (yayılma açısı 45°’den farklı) iken dağılma olacaktır. Bu durum üç boyutlu FDTD hesaplamaları içinde aynıdır. Genel olarak sayısal dağılma hücre boyutunu düşürerek azaltılabilir, fakat tamamen yok edilemez. Dağılma, Şekil 3.7’de ifade edilmeye çalışılmıştır. Burada Denklem 3.41’e bağlı olarak iki boyutlu FDTD benzetiminde yayılma açısı ile normalize edilmiş sayısal faz hızının nasıl değiştiği gösterilmiştir. Burada zaman adımı c∆t = ∆s 2 olacak şekilde seçilmiştir..

(40) 30 Normalize faz hızı, v/c 1 0.99. 0.98 0.97 R=20hücre/λo. 0.96. R=10hücre/λo 0.95 0.94 0. R=5hücre/λo 30 60 90 Dalga yayılma açısı (derece). Şekil 3.7. Đki boyutlu FDTD algoritmasında üç farklı hücre sayısı için sayısal faz hızının dalga yayılma açısı ile değişimi (R: bir dalga boyundaki örnekleme sayısı). Şekil 3.8’de ise sayısal faz hızının aynı yayılma açısı ve birim zaman adımı için birim hücre boyutuna bağlı olarak değişimi görülmektedir. Bu grafikte yayılma açısı 0° ve 90° iken dalga yayılması sırasıyla x ve y-ekseni yönünde olmakta, 45° iken birim hücrenin köşegeni yönünde yayılma olmaktadır. Küçük hücre boyutu seçilmesinin nasıl iyileştirme yaptığı burada açık bir şekilde görülmektedir. Eğer büyük bir hücre boyutu (Nyquist sınırına çok yakın) kullanılırsa, benzetim dalga yayılmasını takip edemeyecektir.. Normalize 1 faz hızı, v/c 0.8 0.6 α = 0˚,90˚. 0.4. α = 45˚. 0.2 0 0. 0.1λo. 0.2λo. 0.3λo. 0.4λo 0.5λo Hücre boyutu. Şekil 3.8. Đki boyutlu FDTD algoritmasında üç farklı yayılma açısı için sayısal faz hızının hücre boyutu ile değişimi.