İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ İKİZ BOŞLUK İÇEREN UZAYIN TİTREŞİMLERİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Hasan Faik KARA
Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ İKİZ BOŞLUK İÇEREN UZAYIN TİTREŞİMLERİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Hasan Faik KARA
(Enstitü No: 501061056)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 13 Ağustos 2008 Tezin Savunulduğu Tarih : 13 Ağustos 2008
Tez Danışmanı : Prof.Dr. Hasan ENGİN Diğer Jüri Üyeleri: Doç. Dr. Abdul HAYIR
Doç.Dr. İrfan COŞKUN (Y.T.Ü.)
ÖNSÖZ
Bu çalışma sırasında gerekli mesaiyi ayıran, bilgi ve tecrübesine müracaat ettiğim danışman hocam sayın Prof. Dr. Hasan ENGİN’ e şükranlarımı sunarım. Bununla birlikte, bilgileriyle her zaman yardımıma koşan Aydın ÖZMUTLU’ya, mesai arkadaşlarım Akif KUTLU’ya ve Murat YILMAZ’a teşekkürü borç bilirim. Bölüm öğretim üyelerine gösterdikleri maddi ve manevi desteklerden dolayı şükranlarımı sunarım.
Ayrıca hayatım boyuca desteklerini esirgemeyen, eğitimimdeki katkılarından dolayı, aileme de müteşekkirim.
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ ii İÇİNDEKİLER iii
ŞEKİL LİSTESİ iv
SEMBOL LİSTESİ viii
ÖZET ix SUMMARY x 1 GİRİŞ 1 2 DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER 5
3 ANALİTİK ÇÖZÜM 9
3.1 Formülasyon ve Çözüm 9
3.2 Sınır Koşullarını Sağlatılması 16 3.2.1 Oyuk iç yüzeyindeki sınır koşulları 16
3.2.1.1 Birinci oyuk iç yüzeyindeki sınır koşullarının sağlatılması 16 3.2.1.2 İkinci oyuk iç yüzeyindeki sınır koşullarının sağlatılması 22
4 SAYISAL UYGULAMALAR 31
4.1 Sayısal Veriler 31
4.2 Sonuçlar 31
4.2.1 U sayısı ile çözümlerin yakınsaklığı 31 4.2.2 Birinci oyuk çevresinde ve iki oyuk arasındaki bölgede gerilme ve yer
değiştirmeler 32 4.2.3 İki oyuk arasındaki mesafenin büyümesi durumunda oyuk
yüzeylerindeki gerilmelerin değişimi 32 4.2.4 Açısal frekans, oyuk yarıçapları ve iki oyuk arasındaki mesafenin çeşitli
değerleri için oyuk yüzeylerindeki ve iki oyuk arasındaki bölgede çözümler 32
5 TARTIŞMA 34 KAYNAKLAR 35 EK A 37 EK B 42 EK C 51 EK D 55 ÖZGEÇMİŞ 64
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa No Şekil 2.1 : Diferansiyel alan elemanındaki gerilmeler……….. 5 Şekil 3.1 : Problemingeometrisi………... 9 Şekil A.1 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=11 için
rr
σ ’nin θ ’e göre değişimi………. 37 1 Şekil A.2 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=11 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 37 1 Şekil A.3 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=11 için
rθ
τ ’nin θ ’e göre değişimi………. 38 1 Şekil A.4 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=11 için
rr
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 38 2 Şekil A.5 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=11 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 38 2 Şekil A.6 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=11 için
rθ
τ ’nin θ ’ye göre değişimi………... 39 2 Şekil A7 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
rr
σ ’nin θ ’e göre değişimi………. 39 1 Şekil A.8 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 39 1 Şekil A.9 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
rθ
τ ’nin θ ’e göre değişimi………. 40 1 Şekil A.10 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
rr
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 40 2 Şekil A.11 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 40 2 Şekil A.12 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
rθ
τ ’nin θ ’ye göre değişimi………... 41 2 Şekil B.1 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =0 ve U=12 için 1
rr
σ ’nin ’e göre değişimi..……… r1 42 Şekil B.2 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =0 ve U=12 için 1
θθ
σ ’nın ’e göre değişimi………. r1 42 Şekil B.3 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =0 ve U=12 için 1
rθ
Şekil B.4 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =0 ve U=12 için 1 ’nin ’e göre değişimi……… r
u r1 43
Şekil B.5 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =0 ve U=12 için 1 uθ’nın ’e göre değişimi………... r1 43 Şekil B.6 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =451 0 ve U=12 için
rr
σ ’nin ’e göre değişimi………. r1 44 Şekil B.7 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =451 0 ve U=12
için σ ’nın ’e göre değişimi……….. θθ r1 44 Şekil B.8 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =451 0 ve U=12
için τ ’nın ’e göre değişimi……….. rθ r1 44 Şekil B.9 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =451 0 ve U=12
için ’nin ’e göre değişimi……… ur r1 45 Şekil B.10 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =451 0 ve U=12
için uθ’nın ’e göre değişimi……… r1 45 Şekil B.11 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =901 0 ve U=12
için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 45 Şekil B.12 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =901 0 ve U=12
için σ ’nın ’e göre değişimi……….. θθ r1 46 Şekil B.13 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =901 0 ve U=12
için τ ’nın ’e göre değişimi………... rθ r1 46 Şekil B.14 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =901 0 ve U=12
için ’nin ’e göre değişimi……… ur r1 46 Şekil B.15 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =901 0 ve U=12
için uθ’nın ’e göre değişimi……… r1 47 Şekil B.16 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1351 0 ve U=12
için σ ’nin ’e göre değişimi……… rr r1 47 Şekil B.17 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1351 0 ve U=12
için σ ’nın ’e göre değişimi……… θθ r1 47 Şekil B.18 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1351 0 ve U=12
için τ ’nın ’e göre değişimi……… rθ r1 48 Şekil B.19 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1351 0 ve U=12
için ’nin ’e göre değişimi……… ur r1 48 Şekil B.20 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1351 0 ve U=12
için uθ’nın ’e göre değişimi……… r1 48 Şekil B.21 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1801 0 ve U=12
için σ ’nin ’e göre değişimi……… rr r1 49 Şekil B.22 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1801 0 ve U=12
Şekil B.23 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1801 0 ve U=12 için τ ’nın ’e göre değişimi……….. rθ r1 49 Şekil B.24 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1801 0 ve U=12
için ’nin ’e göre değişimi……… ur r1 50 Şekil B.25 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ =1801 0 ve U=12
için uθ’nın ’e göre değişimi……… r1 50 Şekil C.1 : ω =1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 51 1 Şekil C.2 : ω=1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi………. 51 2 Şekil C.3 : ω =1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 52 1 Şekil C.4 : ω=1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 52 2 Şekil C.5 : ω =1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 53 1 Şekil C.6 : ω=1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi……….. 53 2 Şekil C.7 : ω =1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’e göre değişimi……… 54 1 Şekil C.8 : ω=1000rad/s, D=20m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nin θ ’ye göre değişimi………. 54 2 Şekil D.1 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 55 1 Şekil D.2 : ω=1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 55 2 Şekil D.3 : ω =1000rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, 0
1 0
θ = ve U=12 için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 56 Şekil D.4 : ω =1000rad/s, D=15m, =4m, a1 a2=4m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 56 1 Şekil D.5 : ω=1000rad/s, D=15m, =4m, a1 a2=4m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 56 2 Şekil D.6 : ω =1000rad/s, D=15m, =4m, a1 a2=4m, 0
1 0
θ = ve U=12 için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 57 Şekil D.7 : ω =1000rad/s, D=15m, =6m, a1 a2=6m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 57 1 Şekil D.8 : ω=1000rad/s, D=15m, =6m, a1 a2=6m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
Şekil D.9 : ω =1000rad/s, D=15m, =6m, a1 a2=6m, 0 1 0
θ = ve U=12 için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 58 Şekil D.10 : ω =1000rad/s, D=17m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 58 1 Şekil D.11 : ω=1000rad/s, D=17m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 58 2 Şekil D.12 : ω =1000rad/s, D=17m, =5m, a1 a2=5m, θ1 = ve U=12 00
için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 59 Şekil D.13 : ω =1000rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 59 1 Şekil D.14 : ω=1000rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 59 2 Şekil D.15 : ω =1000rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, θ1 = ve U=12 00
için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 60 Şekil D.16 : ω =750rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1 =a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 60 1 Şekil D.17 : ω=750rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 60 2 Şekil D.18 : ω=750rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ1 =00 ve U=12 için
rr
σ ’nin ’e göre değişimi………. r1 61 Şekil D.19 : ω =1500rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 61 1 Şekil D.20 : ω=1500rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’ye göre değişimi……….. 61 2 Şekil D.21 : ω =1500rad/s, D=15m, =5m, a1 a2=5m, θ1 = ve U=12 00
için σ ’nin ’e göre değişimi……….. rr r1 62 Şekil D.22 : ω =1500rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, r1=a1 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’e göre değişimi……… 62 1 Şekil D.23 : ω=1500rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, r2 =a2 ve U=12 için
θθ
σ ’nın θ ’e göre değişimi……… 62 2 Şekil D.24 : ω =1500rad/s, D=13m, =5m, a1 a2=5m, θ1 = ve U=12 00
SEMBOL LİSTESİ
ω : Zorlama frekansı
t : Zaman
i
p : Harmonik iç basınç
0
p : Harmonik iç basınç genliği
ρ : Yarı sonsuz ortamın kütle yoğunluğu εxx, εyy, εxy : Şekildeğiştirme bileşenleri
e : Düzlemsel hacim değiştirme oranı E : Elastisite modülü
ν : Poisson oranı λ, μ : Lamé sabitleri
x
n : Sınır eğrisinin dış normal birim vektörünün x bileşeni
y
n : Sınır eğrisinin dış normal birim vektörünün y bileşeni
ˆ
x
t : Sınır eğrisine etki eden dış kuvvetin x bileşeni
ˆ
y
t : Sınır eğrisine etki eden dış kuvvetin y bileşeni
ˆ
U : Yerdeğiştirme vektörü
ˆ
x
U : Sınırdaki yerdeğiştirmenin x bileşeni
ˆ
y
U : Sınırdaki yerdeğiştirmenin y bileşeni
x
U : Yerdeğiştirmenin x bileşeni
y
U : Yerdeğiştirmenin y bileşeni
r
U : Yerdeğiştirmenin radyal doğrultudaki bileşeni
θ
U : Yerdeğiştirmenin açısal doğrultudaki bileşeni
ϕ,ψ : Yerdeğiştirme potansiyelleri
D : Oyuk merkezleri arasındaki mesafe
, 1 2 a a : Oyukların yarıçapları θ r, : Kutupsal koordinatlar θθ θ
σ σ τrr, , r : Kutupsal koordinatlarda gerilme bileşenleri
σ σ τxx, yy, xy : Kartezyen koordinatlarda gerilme bileşenleri
1
k : Boyuna dalga sayısı
2
k : Enine dalga sayısı
1
c : Boyuna dalga hızı
2
c : Enine dalga hızı
n
J : Birinci nevi Bessel fonksiyonu
n
Y : İkinci nevi Bessel fonksiyonu
n
HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ İKİZ BOŞLUK İÇEREN UZAYIN TİTREŞİMLERİ
ÖZET
Boşluk veya farklı tipten bir malzeme içeren elastik bir ortamın dinamik etkiler altındaki davranışı geçmişte pek çok araştırmanın konusu olmuştur. Tüneller, isale hatları, yeraltı santralleri, su altı boru hatları bu tip araştırmaların temel problemleri olmuştur. Bu tür problemler akustik ve optikte de geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Boşluk içeren sonsuz ortamların dinamik etkiler altındaki davranışının incelenmesi, matematik modellemesinin kolay olması nedeni ile de tercih edilmektedir.
Bu çalışmada, ikiz silindirik boşluk içeren ve boşluklardan biri harmonik iç basınçla zorlanan homogen, izotrop ve lineer elastik uzayın davranışı incelendi.
Birinci bölümde, problem tanıtılarak literatürde bulunan bu konuyla ilgili önceki çalışmalardan ve bu çalışmada kullanılan yöntemden bahsedilmiştir.
İkinci bölümde, çözüm için kullanılan temel denklemlerin çıkarılışı gösterilmiştir. Newton’un ikinci yasasından faydalanarak hareket denklemleri yazılmış, homogen, izotrop ve lineer elastik ortamlar için geçerli bünye bağıntıları kullanılarak Navier denklemleri elde edilmiştir.
Üçüncü bölümde, çözüm yöntemi anlatılmıştır. Kuple hareket denklem takımı, Helmholtz yerdeğiştirme potansiyelleri kullanılarak kutupsal koordinatlarda iki adet dalga denklemine indirgenmiştir. İndirgenmiş dalga denklemleri Bessel – trigonometrik fonksiyon serileri yardımıyla analitik olarak çözülmüştür. Çözüm sonunda ortaya çıkan bilinmeyen sabitler delik yüzeyleri üzerinde yazılan sınır koşulları ile hesaplanmıştır.
Dördüncü bölümde Mathematica programı kullanılarak sayısal hesaplamalar yapılmış, oyuk yüzeylerinde ve oyukların çevresinde değişik parametrelere bağlı olarak gerilme ve yer değiştirme bileşenlerin değişimi grafiklerle gösterilmiştir. Beşinci bölümde, çözüm tekniği ve sonuçların kısa bir değerlendirmesi yapılmıştır.
VIBRATIONS OF A SPACE WHICH INCLUDE TWO CAVITIES SUBJECTED TO A HARMONIC FORCING
SUMMARY
Behavior of an elastic medium, which consists of a cavity or a material, under the dynamic effects has been subject of recent studies. Investigations dealing with tunneling, underground pipelining, underwater pipelining and constructing underground power plants are namely the basics of this topic. Also, there are many applications of these problems in acoustics and optics. But also, the response of an infinite medium under the dynamic effects is widely chosen by researchers because its mathematical modeling is easy.
In this study, response of a homogeneous, isotropic and linear elastic infinite medium, which includes two cylindrical cavities, is investigated when subjected to harmonic inner pressure.
In the first part of the study, problem is presented simply and investigations on the same topic found in literature including the methods used before is given.
In the second part, derivation of basic equations is given. Equations of motion that is written based on Newton’s second law and then Navier’s equations are derived using constitutiveequations for homogeneous, isotropic and linear elastic medium.
In the third part, method for solving the equation is explained. Coupled equation of motions is reduced into two wave equations by use of Helmholtz potentials in polar coordinates. These reduced wave equations are solved by using the multiplication series of the Bessel and the trigonometric functions. Unknown coefficients were calculated by applying boundary conditions on the cavities.
In the fourth part, Mathematica software is used to reach the numerical solutions. Variation of displacement and stress components on cavities inner surface and on the
region between two cavities depending on various parameters are shown via graphics.
1 GİRİŞ
İçerisinde boşluk bulunan elastik bir ortamın dinamik etkiler karşısındaki davranışı, geçmişte birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir [5-6]. Tüneller, isale hatları, yeraltı santralleri, su altı boru hatları bu tip araştırmaların temel problemleri olmuştur. Bu tür problemler akustik ve optikte de geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Boşluk içeren sonsuz ortamların dinamik etkiler altındaki davranışının incelenmesi, matematik modellemesinin kolay olması nedeni ile de tercih edilmektedir.
Yarı sonsuz elastik bir ortamdaki gömülü boruların dinamik davranışını [2] no’lu çalışmada incelenmiştir. Bu çalışmada homogen bir zemine gömülü boru hattının etrafının farklı bir malzemeyle doldurulması hali göz önüne alınarak gerçek durum modellenmeye çalışılmıştır. Modelin davranışı Bessel fonksiyonları yardımıyla temsil edilmiş, serbest yüzey ve dolgu bölgesi yüzeyinden dalgaların ardışık yansımaları göz önüne alınmıştır. Bir başka çalışmada ise [16], geometrisinin dairesel kabuktan farklı olması halini göz önüne almışlardır. Çalışmada iç bölgede sonlu eleman modellemesi yapılmış, dış bölgedeyse analitik çözüm teknikleri kullanılmıştır.
Zamana bağlı yüzey kuvvetleri etkisindeki sonsuz uzunluktaki silindirik boşluğun bulunduğu homogen, izotrop ve elastik yarım uzay ortamının davranışını [13] no’lu çalışmada incelenmiştir. Çözümde ardışık yaklaşımlar yöntemi kullanılmış olup çözüm fonksiyonları olarak alınan Henkel – trigonometrik fonksiyon serileri simetrik ve asimetrik kısımlara ayrılarak sınır koşulları boşluk ve serbest yüzey üzerinde sağlatılıp hata azaltılmaya çalışılmıştır.
Kabuk eksenine eğik açıyla gelen düzlem dalgalar etkisinde, yatay katmanlı viskoelastik yarım uzayda gömülü sonsuz uzun silindirik kabuğun üç eksenli davranışını [12] no’lu çalışmada incelemiştir. Bu çalışmada, boru hattını veya tüneli içeren iç bölgede basitleştirilmiş Donell kabuk teorisi, dış bölgedeyse viskoelastik yarım uzay için dolaylı bir integral ifadesinin birleşmesinden elde edilen çözüm
fonksiyonları kullanılmıştır. Dolaylı integral hareketli Green fonksiyonlarıyla ifade edilmiştir.
Taşıt veya sismik yükler altında viskoelastik ortamda gömülü çoklu silindirik boşluklu sistemlerin üç eksenli davranışı [7] no’lu çalışmanın konusu olmuştur. Çalışmada, ana tünel sabit hızlı hareketli araç yüküne ve radyal basınca maruzken ana tünel ve servis tüneli arasındaki zemin etkileşimi araştırılmıştır. Çözüm fonksiyonları olarak Bessel – Fourier fonksiyon serileri kullanılmıştır.
Elastik yarım uzayda gömülü ikiz boşluğun P dalgaları karşısındaki davranışını [11] no’lu çalışmada, Fourier-Bessel serileri yardımıyla bir seri çözümü şeklinde elde edilmiş, daha sonra çözümü tek boşluklu duruma genişletilerek, boşluk sayısının bir yada iki olması durumundaki farklılıkları incelenmiştir.
Tek silindirik boşluğa sahip yarım uzayın, içten zorlanma durumuna karşı gelen davranışını kompleks değişkenler metodunu kullanarak [15] no’lu çalışmada elde edilmiştir. Verruijt, bu çalışmasında, Sokolnikoff ve Muskhelishvili’nin karşılaştığı zorluklardan bahsetmiş ve bu zorlukların birtakım analitik ve sayısal analizlerle aşılabileceğini göstermiştir.
Dairesel silindirik bir boşluk içeren bir elastik yarım uzayda harmonik titreşimleri [4] no’lu çalışmada araştırılmıştır. Kutupsal koordinatlarda yazılan hareket denklemleri, Helmholtz potansiyellerinin kullanılmasıyla iki adet ayrık dalga denklemine indirgenmiştir. İndirgenmiş dalga denklemleri Bessel fonksiyonları ve trigonometrik fonksiyonlar çarpım serileri yardımıyla analitik olarak çözülmüştür.
Elastisite teorisinde karşılaşılan çeşitli sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılan belli başlı altı yöntem vardır. Bunlar;
• Ters Yöntem: Diferansiyel denklem takımı çözülerek probleme cevap bulunacak yerde, ters olarak, denklem takımını sağlayan bir takım fonksiyonlar içinden sınır koşullarını sağlayan çözüm olarak seçilir.
• Yarı Ters Yöntem: Bilinmeyenlerin tümü yerine bir kısmına uygun fonksiyonlar seçilir ve diğer kısmının ise bazı diferansiyel denklemleri ve sınır koşullarını sağlayacak şekilde belirlenmesine çalışılır.
• Direkt Yöntem: Belirli sınır değer problemini oluşturan ilgili diferansiyel denklem takımının tümü, doğrudan doğruya integre edilerek çözümler bulunduktan sonra sınır koşullarının sağlatılmasına çalışılır.
• Enerji Yöntemi: Fiziksel anlamı enerji olan belirli bir integralin ekstrem yapılmasına çalışılmaktadır.
• Sayısal Yöntemler: İncelenen cisim sonlu bir takım parçalara ayrılarak belirli noktalarda yaklaşık çözüm elde edilmesine çalışılır.
• Deneysel Yöntemler: Gerek form gerekse sınır koşulları bakımından karışık problemlerde başvurulan bir yöntemdir.
Bu çalışmada ele alınan problemin geometrisine uygunluğu nedeniyle Direkt yöntem kullanılmıştır. Bir elastisite probleminin direkt yöntemle incelenmesi, problemin diferansiyel denklem takımının belirli sınır koşulları altında doğrudan doğruya çözülmesini amaçlar. Bu açıdan problem, ya altı gerilme bileşenini esas alan Beltrami – Michell uygunluk denklemlerinin denge denklemleri ile birlikte belirli sınır koşulları altındaki çözümüne veya yerdeğiştirme bileşenlerini esas alan Navier denklemlerinin yine belirli sınır koşullarını gerçekleyen çözümünün bulunmasına getirilebilmektedir. Belirli sınır koşulları altında birden fazla kısmi diferansiyel denklemin simültane olarak çözümünde ortaya çıkan güçlük nedeniyle çözümü gerçekleştirebilmek için bir takım yardımcı fonksiyonların kullanılması düşünülmüştür. Elastiste teorisinde gerilme ve yerdeğiştirme bileşenleri, kullanılan yardımcı fonksiyonların çeşitli mertebelerden kısmi türevleri yardımıyla tanımlanmaktadır. Çözülmesi istenen takım Beltrami denklemleriyse tanımlanan fonksiyonlar gerilme fonksiyonları adını alır. Buna karşılık Navier denklemleri çözülmek istenirse kullanılan fonksiyonlara yerdeğiştirme fonksiyonları denir. Bu tür yardımcı fonksiyonlar potansiyel fonksiyonlar olarak adlandırılıp, denge halinde bulunan gerilme sistemlerini doğuran potansiyeller ve yerdeğiştirmeleri üreten potansiyeller olmak üzere iki tip potansiyel tanımlanmaktadır.
Çalışmada, harmonik iç basınçla zorlanan homogen, izotrop ve lineer elastik, ikiz silindirik boşluklu tam uzayın davranışı incelendi. Silindirik boşlukların ekseni boyunca geometri, malzeme özellikleri ve zorlamanın değişmemesi nedeniyle düzlem şekil değiştirme hali göz önüne alındı.
Çözümde, kuple hareket denklem takımı, Helmholtz yerdeğiştirme potansiyelleri kullanılarak kutupsal koordinatlarda iki adet dalga denklemine indirgenmiştir. İndirgenmiş dalga denklemleri Bessel – trigonometrik fonksiyon serileri yardımıyla analitik olarak çözülmüştür. İkinci nevi Bessel fonksiyonlarının özellikle büyük mertebelerinde küçük argüman halinde ekstrem değerler alması dolayısıyla seri sonlu sayıda terim alarak kesilmiştir.
Analitik çözüm sonunda ortaya çıkan bilinmeyenler oyuk yüzeyleri üzerinde yazılan sınır koşulları yardımıyla hesaplanmıştır. Sayısal işlemlerde Mathematica paket programı kullanılarak oyuk yüzeyindeki ve düzlem içinde istenilen noktalarda yerdeğiştirme ve gerilme bileşenlerinin çeşitli parametrelere göre değişimleri grafiklerle gösterilmiştir.
2 DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER
Bu bölümde iki boyutlu lineer elastik ve homogen, izotrop bir ortamdan alınan bir yüzey elemanına etki eden kuvvet sistemine Newton’ un ikinci hareket kanunu uygulanarak düzlem elastisitenin temel denklemleri elde edildi. Homogen, izotrop ve lineer elastik ortamlar için geçerli olan bünye bağıntıları, elde edilen bu denklemlerde kullanılarak yerdeğiştirmeler cinsinden alan denklemleri olan Navier denklemleri elde edildi.
Şekil 2.1 de görüldüğü gibi iki boyutlu lineer elastik ve homogen, izotrop bir ortamdan alınan diferansiyel bir alan elemanında kütle kuvvetlerini ihmal ederek Newton’ un ikinci hareket kanunu uygulayalım.
y yy yy yy dx dy x y σ σ σ +∂ +∂ ∂ ∂ xy xy dy y τ τ +∂ ∂ x xx xx dx x σ σ +∂ ∂ xy xy xy dy dx τ τ τ +∂ +∂ ∂y ∂x xy τ xx xx dy y σ σ +∂ ∂ xx xxdx xxdy x y σ σ σ +∂ +∂ ∂ ∂ xy xy dy y τ τ +∂ ∂ xy xy xy dx dy x y τ τ τ +∂ +∂ ∂ ∂ xy xy dx x τ τ +∂ ∂ x τy xy xy dx x τ τ +∂ ∂ yy yy dx x σ σ +∂ ∂ xx σ yy σ x U y U yy yy dy y σ σ +∂ ∂
Bahis konusu olan elamanın kenarlarına etkiyen kuvvetleri ve ivme bileşenlerini göz önüne alalım. Levha kalınlığını birim olarak alıp x ekseni doğrultusundaki hareket denklemini yazacak olursak;
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 xx xx xx xx xx xx xx xx xy xy xy xy xy xy xy xy x dx dy dx dy dy dy x y x y dx dy dy dx dx dx x y y x U dxdy t σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ ρ ⎡⎛ +∂ +∂ ⎞+⎛ +∂ ⎞⎤ − ⎡⎛ +∂ + ⎢⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎜⎝ ∂ ⎟⎠⎥ ⎢⎜ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎤ + ⎢⎜ + + ⎟ ⎜+ + ⎟⎥ − ⎢⎜ + ⎟+ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ∂ = ∂ σ τ ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎠ ⎦ ⎥ ⎦
ifadesi elde edilir. Hareket denklemini bir kez de y ekseni doğrultusunda yazıp gerekli kısaltmalar ve düzenlemelerden yapıldıktan sonra aşağıdaki hareket denklemleri elde edilir.
2 2 xy xx Ux x y t τ σ ∂ ρ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ (2.1.a) 2 2 xy yy Uy x y t τ σ ρ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ (2.1.b)
Burada σxx , σyy , τxy gerilme tansörünün, Ux ve Uy yerdeğiştirmenin kartezyen
koordinatlardaki bileşenleridir. ρ kütle yoğunluğunu, t ise zamanı göstermektedir. Gerilmeler cinsinden sınır koşulları:
ˆ xxnx xyny x σ +τ = t (2.2.a) ˆ xynx yyny y τ +σ = t (2.2.b)
Burada nx ve ny sınır eğrisinin dış normal birim vektörünün bileşenleri ˆtxvetˆy ise sınırda etki eden dış gerilmenin bileşenleridir.
Yerdeğiştirmeler cinsinden sınır koşulları: ˆ x x U =U (2.3.a) ˆ y y U =U (2.3.b)
Burada ˆ ve ˆUx U sınırdaki yerdeğiştirmenin belirli olan bileşenleridir. Lineer elastik y ve homogen, izotrop ortamlardaki bünye bağıntısı indis gösterimiyle aşağıdaki gibi yazılabilir.
2
ij kk ij ij
τ =λε δ + με (2.4)
λ ve μ Lamé değişmezleri olup, bu değişmezler E Elastisite modülü ve ν Poisson oranı cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir.
(1 )(1 2 ) Eν λ ν ν = + − (2.5.a) 2(1 ) E μ ν = + (2.5.b)
Hacim değiştirme oranı olan εkk ise düzlem şekildeğiştirme hali için aşağıdaki gibidir.
kk xx yy
e=ε =ε +ε (2.6)
Kartezyen koordinatlardaki şekildeğiştirme – yerdeğiştirme bağıntıları:
x xx U x ε =∂ ∂ (2.7.a) y yy U y ε =∂ ∂ (2.7.b) 1 2 y x xy U U y x ε = ⎛⎜∂ +∂ ⎞⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (2.7.c)
(2.7) bağıntıları (2.4) bünye bağıntısı ile birlikte (2.1) hareket denklemlerinde yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa kartezyen koordinatlarda yerdeğiştirmeler cinsinden Navier denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.
2 2 2 ( ) x x U e U x t λ μ+ ∂ + ∇μ =ρ∂ ∂ ∂ (2.8.a) 2 2 2 ( ) y y U e U y t λ μ+ ∂ + ∇μ =ρ∂ ∂ ∂ (2.8.b)
(2.8) Navier denklemlerindeki, ∇2 kartezyen koordinatlarda Laplasyen olup ifadesi aşağıdaki gibidir. 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂
3 ANALİTİK ÇÖZÜM
3.1 Formülasyon Ve Çözüm
Tam sonsuz ortamda, a1 ve a2 yarıçaplı, Şekil 3.1’ de görüldüğü gibi iki silindirik
oyuk göz önüne alalım. z, oyuk ekseni boyunca ortamın geometrisi, malzeme özellikleri ve zorlamanın değişmediği kabul edilirse problem düzlem şekildeğiştirme hali olarak göz önüne alınabilir. Problemin geometrisi nedeniyle kutupsal koordinatların kullanılması uygundur.
2 r 1 r 2 θ 1 a θ1 2 a 0 P i t e−ω D
Yönetici denklemimiz olan Navier denklemi aşağıdaki gibi vektörel formda yazılabilir. 2 2 2 ( ) .U U U t λ μ μ ρ → → → ∂ + ∇∇ + ∇ = ∂ (3.1)
Burada U rr
(
, ,θ t)
yerdeğiştirme vektörünü, ρ kütle yoğunluğunu, λ ve μ Lamé değişmezlerini, ∇ Nabla operatörünü, t’ de zamanı göstermektedir. r ve θ kutupsal koordinatlardır.Sonsuz ortamda bulunan silindirik kabuğu iç yüzeyine p0 genlik, ω açısal frekans, t’ de zaman olmak üzere
0 i t i
p = p e−ω (3.2)
şeklinde değişen, harmonik iç basıncın etkidiği düşünülürse, yerdeğiştirme ve gerilme fonksiyonları da 1. mertebe teorisinin kullanılması sonucu aynı şekilde harmonik fonksiyonlarla ifade edilebilir.
( , , ) ( , ) i t r r U r θ t =u r θ e−ω (3.3.a) ( , , ) ( , ) i t Uθ r θ t =u rθ θ e−ω (3.3.b) ( , , ) ( , ) i t rr r t rr r e ω θ σ θ
σ
= − (3.4.a) ( , , ) ( , ) i t r t r e ω θθ θ σθθ θσ
= − (3.4.b) ( , , ) ( , ) i t r r t r r e ω θ θ τθ θτ
= − (3.4.c) Burada veur uθyerdeğiştirme vektörünün, σ σrr, θθ veτrθ gerilme tansörününkutupsal koordinatlardaki bileşenleridir.
Yerdeğiştirmelere ait (3.3) ifadeleri, (3.1) Navier denkleminde yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, Navier denklemleri aşağıdaki gibi vektörel formda yazılabilir. 2 2 (λ μ+ ∇∇ + ∇ +) .ur μ ur ρω ur 0= (3.5) Burada r r ur=u er +u eθ θr (3.6)
Helmholtz ayırma teoremi kullanılarak ur yerdeğiştirme vektörü ( , )skaler ve ( , )r r ( , )r ez
ϕ θ ψ θr =ψ θ r vektörel potansiyel fonksiyonları cinsinden aşağıdaki yapıda yazılabilir.
( z
ur= ∇ + ∇ ×rϕ r ψer ) (3.7)
Burada, tek çözüm elde edilebilmesi ψr vektörel potansiyelinin diverjansı sıfır olmalıdır, yani:
.(ψez) 0
∇r r =
Potansiyel fonksiyonlarla yazılan yerdeğiştirme vektörüne ait (3.7) ifadesi (3.5) Navier denkleminde yerine yazılırsa bu ayırma işleminin sonunda indirgenmiş dalga denklemi olarak 2 2 1 0 k ϕ ϕ ∇ + = (3.8.a) 2 2 2 0 k ψ ψ ∇ + = (3.8.b)
denklemleri elde edilmektedir. ∇2 kutupsal koordinatlarda Laplasyen olup
2 2 2 2 2 1 1 r r r r θ2 ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂
ile ifade edilmektedir. İndirgenmiş dalga denklemindeki
1 /
k =ω c1 Boyuna dalga sayısı,
2 /
k =ω c2 Enine dalga sayısı,
1 ( 2 ) /
c = λ+ μ ρ Boyuna dalga hızı,
2 /
c = μ ρ Enine dalga hızı,
olarak tanımlanmaktadır.
Yerdeğiştirme vektörünün kutupsal koordinatlardaki bileşenleri potansiyel fonksiyonlar cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
1 r u r r ϕ ψ θ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.9.a) 1 u r θ r ϕ ψ θ ∂ ∂ = − ∂ ∂ (3.9.b)
Gerilme – yerdeğiştirme bağıntılarının kutupsal koordinatlardaki ifadesi aşağıdaki gibidir.
(
2)
r rr r u u u r r θ λ σ λ μ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + + ⎜ + ∂ ⎝ ∂ ⎠⎟ (3.10.a)(
)
1 2 r r u u u r r θ θθ σ λ λ μ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + + ⎜ + ∂ ⎝ ∂ ⎠⎟ (3.10.b) r r u u r u r r θ θ μ θ τ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = ⎜ ∂ − + ∂ ⎝ ⎟⎠ (3.10.c)Çarpanlara ayırma yönteminin kullanılmasıyla (3.8) dalga denklemlerinin çözümü Bessel – trigonometrik fonksiyonlar serisi olarak aşağıdaki gibi elde edilmektedir.
(1) (2) (1) (2) 1 1 1 1 ( , ) ( n n ( ) n n ( )) cos ( n n ( ) n n ( ))sin n r H k r H k r n H k r H k r n ϕ θ ∞ θ =−∞ θ ⎡ ⎤ =
∑
⎣ A +B + C +D ⎦ (3.11.a) (1) (2) (1) (2) 2 2 2 2 ( , ) ( n n ( ) n n n( )) cos ( n n ( ) n n n( ))sin n r H k r H k r n H k r H k r n ψ θ ∞ θ =−∞ θ ⎡ ⎤ =∑
⎣ E +F + G +H ⎦ (3.11.b) Burada Hn( )
x üçüncü nevi Bessel fonksiyonudur ve Jn( )
x ve Yn(
x)
(birinci veikinci nevi Bessel fonksiyonları) cinsinden şu şekilde tariflenmiştir. (1)( ) ( ) ( )
n n n
H x =J x +iY x , Hn(2)( )x =Jn( )x −iY xn( ) (2)( )
n
H x fonksiyonu sonsuzda radyasyon koşulu dolayısıyla atılabilir. Bessel fonksiyonlarının indislerinin tam sayı olması nedeniyle bu sonsuz serileri -∞ yerine sıfırdan başlatmak kabildir. Böylece, her iki oyuk için ϕ(r,θ) ve ψ(r,θ) fonksiyon serileri, (1) (1) (1) (1) (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( ) sin n r A H k r n B H k r n ϕ θ ∞ θ = ⎡ =
∑
⎣ + θ ⎤⎦ n (3.12.a) (1) (1) (1) (1) (1) 1 1 2 1 1 2 1 1 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( )sin n r C H k r n D H k r ψ θ ∞ θ = ⎡ ⎤ =∑
⎣ + θ ⎦ n (3.12.b) (2) (2) (1) (2) (1) 2 2 1 2 2 1 2 2 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( ) sin n r A H k r n B H k r ϕ θ ∞ θ = ⎡ ⎤ =∑
⎣ + θ ⎦ n (3.12.c) (2) (2) (1) (2) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( ) sin n r C H k r n D H k r ψ θ ∞ θ = ⎡ ⎤ =∑
⎣ + θ (3.12.d) ⎦şeklini alır. Burada (1), (2), (1), (2), (1), (2), (1), (2)
n n n n n n n n
A A B B C C D D bilinmeyen değişmezler olup, sınır koşullarının sağlatılmasıyla elde edilecektir.
Bu, (3.12) çözüm fonksiyonlarının (3.9) yerdeğiştirme ifadelerinde yerine yazılmasıyla yerdeğiştirme bileşenleri aşağıdaki gibi elde edilir. (1. oyuk için i=1, 2. oyuk için i=2 olacaktır)
( ) (1) ( ) (1) 2 2 n=0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 n=0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 1 { [-n ( )]sin( ) [ ( )]cos( )} {{ [ ( ) ( )]cos( )} 2 { [ ( ) ( )]sin( )}} 2 i i i r n n i i n n i i i i n n i n i i i n n i n i i u C H r k n D nH r k n r k A H r k H r k n k B H r k H r k n θ θ θ θ ∞ ∞ − + − + = + + − + −
∑
∑
(3.13.a) ( ) (1) ( ) (1) 1 1 n=0 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 n=0 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 1 { [-n ( )]sin( ) [ ( )]cos( )} {{ [ ( ) ( )]cos( )} 2 { [ ( ) ( )]sin( )}} 2 i i i n n i n n i i i n n i n i i i n n i n i i u A H r k n B nH r k n r k C H r k H r k n k D H r k H r k n θ θ θ θ θ ∞ ∞ − + − + = + − − + −∑
∑
(3.13.b)Yerdeğiştirmelere ait (3.13) bağıntılarını, kutupsal koordinatlardaki (3.10) gerilme – yerdeğiştirme bağıntılarında yerine yazarsak, gerilme bileşenleri,
Bessel – trigonometrik fonksiyon serileri cinsinden ifadeleri aşağıdaki gibi olur:
( ) 2 (1) ( ) 2 (1) 1 1 0 ( ) (1) ( ) (1) 2 2 0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 0 ( 1 { { [ ( )]cos( ) [ ( )]sin( 1 { [ ( )]sin( ) [ ( ) cos( )} { [ ( ) ( )]cos( ) 2 i i i i r r n n n i n n i i i i i i n n i i n n i i n i n n i n i i n i n A n H r k n B n H r k n r r C nH r k n D nH r k n r k A H r k H r k n B )} λ σ θ θ θ θ ∞ = ∞ = ∞ − + = = − + − + − + + − +
∑
∑
∑
θ(
)
) 1 (1) (1) 1 1 1 1 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 0 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 ( ) (1) ( ) 2 2 0 [ ( ) ( )]sin( )} 2 { [ ( ) ( )]sin( ) 2 [ ( ) ( )]cos( )}} 2 1 2 { { [ ( )]sin( ) [ n i n i i i n n i n i n i n n i n i i i i n n i i n n i k H r k H r k n k C nH r k nH r k n k D nH r k nH r k n C nH r k n D nH r θ θ θ λ μ θ − + ∞ − + = − + ∞ = − + − + + − − + + − +∑
∑
(1) 2 2 ( ) 1 (1) (1) (1) 2 1 1 2 1 0 ( )]cos( )} { [ ( ) 2 ( ) ( )]cos( ) 4 n i i i n n i n i n i i n r k n k A H r k H r k H r k n θ θ ∞ − + = +∑
− +2 ( ) 1 (1) (1) (1) 2 1 1 2 1 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 0 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 [ ( ) 2 ( ) ( )]sin( ) 4 1 { [ ( ) ( )]sin( ) 2 [ ( ) ( )]cos( )}} 2 i n n i n i n i i n n i n i i n i i n n i n i k B H r k H r k H r k n k C nH r k nH r k n r k D nH r k nH rk n } i θ θ θ − + ∞ − + = − + + − + + − + + −
∑
(3.14.a) ( ) 2 (1) ( ) 2 (1) 1 1 0 ( ) (1) ( ) (1) 2 2 0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 0 2 1 { { [ ( )]cos( ) [ ( )]sin( 1 { [ ( )]sin( ) [ ( ) cos( )} { [ ( ) ( )]cos( ) 2 i i i i n n i n n i n i i i i n n i n n i i n i n n i n i i n n A n H r k n B n H r k n r r C nH r k n D nH r k n r k A H r k H r k n B θ θ i)} λ μ σ θ θ θ θ θ ∞ = ∞ = ∞ − + = + = − + − + − + + − +∑
∑
∑
( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 0 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 ( ) (1) ( ) 2 2 0 [ ( ) ( )]sin( )} 2 { [ ( ) ( )]sin( ) 2 [ ( ) ( )]cos( )}} 2 1 { { [ ( )]sin( ) [ i n i n i i i n n i n i i n i n n i n i i i i n n i n n n i k H r k H r k n k C nH r k nH r k n k D nH r k nH r k n C nH r k n D nH r θ θ θ λ θ − + ∞ − + = − + ∞ = − + − + + − − + − +∑
∑
(1) 2 2 ( ) 1 (1) (1) (1) 2 1 1 2 1 0 2 ( ) 1 (1) (1) (1) 2 1 1 2 1 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 0 ( )]cos( )} { [ ( ) 2 ( ) ( )]cos( ) 4 [ ( ) 2 ( ) ( )]sin( )} 4 1 { [ ( ) ( )]sin( 2 i i i n n i n i n i i n i n n i n i n i i i n n i n i n r k n k A H r k H r k H r k n k B H r k H r k H r k n k C nH r k nH r k n r θ θ θ ∞ − + = − + ∞ − + = + − + + − + + − +∑
∑
( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 ) [ ( ) ( )]cos( )}} 2 i i n n i n i i k D nH r k nH r k n θ θ − + + − (3.14.b) ( ) (1) ( ) (1) 1 1 0 ( ) 2 (1) ( ) 2 (1) 2 2 0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 0 1 { { [ ( )]sin( ) [ ( )]cos( )} 1 { [ ( )]cos( ) [ ( )sin( )} { [ ( ) ( )]sin( ) 2 i i i i r n n n i n n i i i i i n n i i n n i i n i n n i n i i n A nH r k n B nH r k n r r C n H r k n D n H r k n r k A nH r k nH r k n θ i μ τ θ θ θ θ θ ∞ = ∞ = ∞ − + = − = − + + − + − + − + +∑
∑
∑
( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 ( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 0 [ ( ) ( )]cos( )} 2 { [ ( ) ( )]cos( ) 2 i n n i n i i i n n i n i i n k B nH r k H r k n k C H r k H r k n θ θ − + ∞ − + = − +∑
−( ) 2 (1) (1) 1 2 1 2 ( ) (1) ( ) (1) 1 1 2 0 ( ) 1 (1) (1) 1 1 1 1 0 ( ) 1 (1) 1 1 [ ( ) ( )]sin( )}} 2 1 { { [ ( )]sin( ) [ ( )]cos( )} 1 { [ ( ) ( )]sin( ) 2 [ ( ) 2 i n n i n i i i i n n i i n n i n i n n i n i n i n n i k D H r k H r k n r A nH r k n B nH r k n r k A nH r k nH r k n r k B nH r k n θ i θ θ θ − + ∞ = ∞ − + = − + − − + − + + − + + −
∑
∑
(1) 1 1 2 ( ) 2 (1) (1) (1) 2 2 2 2 2 0 2 ( ) 2 (1) (1) (1) 2 2 2 2 2 ( )]cos( )} { [ ( ) 2 ( ) ( )]cos( ) 4 [ ( ) 2 ( ) ( )]sin( )}} 4 n i i i n n i n i n i i n i n n i n i n i i H r k n k C H r k H r k H r k n k D H r k H r k H r k n θ θ θ + ∞ − + = − + + − + + − +∑
(3.14.c) Potansiyel fonksiyonların koordinat takımları arasındaki dönüşümünde aşağıdaki Graff toplama formülü kullanılır.(
)
1 2 1 2 0 1 2 cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) sin( ) 2 sin( ) m m n j n m j m n j m j m n m H k r H k D H k D J k r n m θ ε θ θ θ ∞ − + = ⎧ ⎫ ⎧ = ± − ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭∑
⎩ ⎫ ⎬ ⎭ (3.15.a) ve(
)
2 1 2 1 0 2 1 cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) sin( ) 2 sin( ) n m n j m n j m n j m j m n m H k r H k D H k D J k r n m θ ε θ θ θ ∞ − + = ⎧ ⎫ ⎧ = ± − ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭∑
⎩ ⎫ ⎬ ⎭ (3.15.b) Burada 1, m=0 2, m=1,2,3,.... m ε = ⎨⎧ ⎫⎬ ⎩ ⎭ olacaktır.Kutupsal koordinatlarda hesaplamış olduğumuz yerdeğiştirme ve gerilme bileşenlerini, kartezyen koordinatlardaki bileşenleri cinsinden hesaplayabilmek için aşağıdaki dönüşüm formülleri kullanılmaktadır.
cos sin x r u =u θ −uθ θ (3.16.a) sin cos y r u =u θ +uθ θ (3.16.b) cos 2 sin 2 2 2 rr rr xx r θθ θθ θ σ σ σ σ σ = + + − θ τ+ θ (3.17.a) cos 2 sin 2 2 2 rr rr yy r θθ θθ θ σ σ σ σ σ = + − − θ τ− θ (3.17.b) sin 2 cos 2 2 rr xy r θθ θ σ σ τ = − θ τ− θ (3.17.c)
3.2 SINIR KOŞULLARININ SAĞLATILMASI
3.2.1 OYUK İÇ YÜZEYLERİNDEKİ SINIR KOŞULLARI Birinci oyuk iç yüzeyinde
1 1
r r
σ radyal gerilmesi yük fonksiyonuna, τrθkayma gerilmesi de θ’ nın her değeri için sıfıra eşit olmalıdır.
1 1 1 1 1 1 1 1 0 r r i r r a r a p θ σ τ = = − =
|
=|
(3.18)İkinci oyuk iç yüzeyinde
1 1
r r
σ radyal gerilmesi ve τrθkayma gerilmesi θ’ nın her değeri için sıfıra eşit olmalıdır.
2 2 2 2 2 2 2 2 0 r r r r a r a θ σ τ = = =
|
|
=0 (3.19)3.2.1.1 BİRİNCİ OYUK İÇ YÜZEYLERİNDEKİ SINIR KOŞULLARININ SAĞLATILMASI
Gerilme ve şekil değiştirme ifadelerinde kullanılacak ϕ ve ψ potansiyelleri, birinci oyuktan gelen ϕ ψ(1) (1) potansiyelleri ile ikinci oyuktan gelen ϕ ψ(2) (2) potansiyellerinin toplamıdır. (1) (2) 1 1 2 2 ( , )r ( , )r ϕ ϕ= θ +ϕ θ (3.20.a) (1) (2) 1 1 2 2 ( , )r ( , )r ψ ψ= θ +ψ θ (3.20.b) (3.9) ifadeleri, (3.10) ifadelerinde yerine yazıldığında, birinci oyuk için potansiyeller cinsinden gerilmeler aşağıdaki gibi elde edilir.
(
)
22 2 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) rr r r r r r r r r r ϕ ψ ψ λ ϕ ψ ϕ ψ σ λ μ θ θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + − + ⎜ + + − ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ⎠ (3.21.a)(
)
2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 r r r r r r r r r θθ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ σ λ λ μ θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + ⎜ + + − ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ ⎠ (3.21.b) 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) r r r r r r r r r r r θ 2 2 μ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ τ ψ θ θ θ θ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ = ⎜ − − − + + + ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ θ ⎠ (3.21.c) (3.20) ifadeleri (3.21) ifadelerinde yerine yazılıp bazı düzenlemeler yapılırsa, σrrverθ
(
)
(
)
(
)
(
)
2 (1) (1) 2 (1) 2 2 1 1 1 1 1 2 (1) (1) (1) 2 (1) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (2) (2) 2 (2) 2 2 1 1 1 1 1 2 (2) (2 2 1 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 1 2 ( rr r r r r r r r r r r r r r r r r r ϕ λ ϕ ϕ σ λ μ θ ψ ψ λ ψ ψ λ μ θ θ θ θ ϕ λ ϕ ϕ λ μ θ ψ ψ λ μ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = + + ⎜ + ⎟+ ∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + ⎜ − ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ + + ⎜ + ⎟+ ∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ) (2) 2 1 1 1 1 1 1 1 ) r r r λ ψ ψ(2) θ θ θ ⎛ ∂ ∂ ⎞ + ⎜ + − ⎟ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ (3.22.a) 2 (1) (1) (1) 2 (1) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1) (1) 2 (1) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 (2) (2) (2) 2 (2) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r θ μ ϕ ϕ ϕ ϕ τ θ θ θ θ μ ψ ψ ψ θ μ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ μ ψ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ = ⎜ − − + ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ −∂ +∂ + ∂ ⎞+ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ − ∂ − ∂ +∂ ⎞+ ⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ − ∂ + (2) 2 (2) 2 2 1 1 1 1 1 ) r r r ψ ψ θ ⎛ +∂ + ∂ ⎞ ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ (3.22.b) (3.22) ifadelerinde kullanılacak ϕ(1)ve ψ(1) potansiyelleri, (3.12.a) ve (3.12.b)’deki gibidir. ϕ(2)ve ψ(2)potansiyelleri ise, (3.15.b) de verilen Graff toplama formülünün (3.12.c) ve (3.12.d)’de yerine yerleştirilmesi ile aşağıdaki gibi elde edilir.(1) (1) (1) (1) (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( ) sin n r A H k r n B H k r n ϕ θ ∞ θ = ⎡ =
∑
⎣ + θ ⎤⎦ n (3.23.a) (1) (1) (1) (1) (1) 1 1 2 1 1 2 1 1 0 ( , ) n n ( ) cos n n ( )sin n r C H k r n D H k r ψ θ ∞ θ = ⎡ ⎤ =∑
⎣ + θ (3. ⎦ 23.b)(
)
(
)
(2) (2) (1) (1) 2 2 1 1 1 1 1 0 0 (2) (1) (1) 1 1 1 1 1 0 ( , ) [ ( ) ( 1) ( ) ( ) cos( )] 2 [ ( ) ( 1) ( ) ( )sin( )] 2 n m n m n m n m n m n m n m n m n m m r A H k D H k D J k r B H k D H k D J k r m ε m ϕ θ θ ε θ ∞ ∞ − + = = ∞ − + = ⎧ =⎨ ± − ⎩ ⎫ + ± − ⎬ ⎭∑
∑
∑
(3. 23.c)(
)
(
)
(2) (2) (1) (1) 2 2 2 2 2 1 1 0 0 (2) (1) (1) 2 2 2 1 1 0 ( , ) [ ( ) ( 1) ( ) ( ) cos( )] 2 [ ( ) ( 1) ( ) ( )sin( )] 2 n m n m n m n m n m n m n m n m n m m r C H k D H k D J k r D H k D H k D J k r m ε m ψ θ θ ε θ ∞ ∞ − + = = ∞ − + = ⎧ =⎨ ± − ⎩ ⎫ + ± − ⎬ ⎭∑
∑
∑
(3. 23.d)(3.23) ifadeleri (3.22.a) ifadesinde yerine yazıldıktan sonra n ve m değerlerini sonsuza götürmek yerine sonlu bir U sayısında kesersek, bilinmeyen katsayılar cinsinden gerilme ifadesi şu şekilde elde edilir.
