Lineer olmayan operatörlü denklemler için newton metodu

(1)

LĐNEER OLMAYAN OPERATÖRLÜ DENKLEMLER ĐÇĐN

NEWTON METODU

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Enser EKŞĐ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Abdullah YILDIZ

Haziran 2008

(2)

(3)

TEŞEKKÜR

Beni böyle bir çalışmaya yönlendiren, zamanını ve desteğini esirgemeyen tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Abdullah YILDIZ hocama teşekkür eder, saygılar sunarım.

(4)

ii

ĐÇĐNDEKĐLER

TEŞEKKÜR ... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR ... v

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ ... vi

ÖZET ... vii

SUMMARY ... viii

BÖLÜM 1. TEĞETLER YÖNTEMĐ VE DARALMA DÖNÜŞÜM PRENSĐBĐ ... 1

1.1. Giriş ... 1

1.2. Daralma Dönüşüm Prensibi ... 2

1.3. Newton Metodu (Teğetler Yöntemi) ... 4

BÖLÜM 2. LĐNEER OLMAYAN OPERATÖRLERĐN TÜREVLERĐ ... 9

2.1. Giriş ... 9

2.2. Lineer Olmayan Operatörlerin Fechet Türevi ... 10

2.3. F – Türevlenebilir Operatörler için Riemann Anlamında Đntegrallenebilme ve Ortalama Değer Teoremi ... 16

2.4. Lineer Olmayan Operatörlerin Gato Türevi ... 19

BÖLÜM 3. NEWTON METODU ... 23

3.1. Giriş ... 23

3.2. Banach Uzaylarında Lineer Olmayan Operatörlü Denklemler Đçin Newton Metodu ... 25

(5)

iii

NEWTON METODUNUN UYGULAMALARI ... 37

4.1. Lineer Olmayan Cebirsel Denklem Sistemine Newton Metodunun Uygulanması ... 37

4.2. Newton Metodunun Đntegral Denklemlere Uygulamaları ... 45

BÖLÜM 5. SONUÇ ... 91

KAYNAKLAR ... 92

EKLER ... 93

ÖZGEÇMĐŞ ... 102

(6)

iv

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

∀ ^{: Her}

∈ : Elemanıdır

⊂ : Alt küme

R : Reel sayılar Kümesi

Rⁿ : Tüm sıralı reel sayı n lilerin kümesi

C[a,b] : [a,b]⊂ R üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesi

( )

x0

S_r :x merkezli ve r yarıçaplı açık yuvar ₀

( )

x0

S_r′ ^:x merkezli ve r yarıçaplı kapalı yuvar 0

[ ]

^F^′

( )

^⋅ ⁻¹ : F Operatörünün türevinin tersi

0

D : D’ nin içi F-türevi : Freshe türevi G-türevi : Gato türevi

( )

^x ^h

dF ₀, : Freshe diferensiyeli

(

^X ^Y

)

L , : X’ den Y’ ye sınırlı lineer operatörler kümesi

( ) x

n ^:^xⁿ^dizisi

I : Birim operatör

(7)

v

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ

Şekil 3.1. y = F(x) fonksiyonunun ve ona teğet olan doğruların grafiği ... 23

Şekil 4.1. T (x) = 0 denkleminin kökü ... 58

Şekil 4.2. ¹

( )

³ 0 ) ( ) ( 3 1− xyu y dy−u x =x

∫

denklemimizin çözümü ... 74

Şekil 4.3. [0,1] aralığını 9 alt parçaya böldüğümüzde elde edilen çözüm ... 74

Şekil 4.4. [0,1] aralığını 99 alt parçaya böldüğümüzde elde edilen çözüm ... 75

Şekil 4.5. [0,1] aralığını 9 eşit parçaya böldüğümüzde elde edilen çözüm ... 77

Şekil 4.6. [0,1] aralığını 99 parçaya ayırdığımızda elde edilen çözüm ... 78

Şekil 4.7. Birinci yaklaşımımız sonucunda elde ettiğimiz grafik ... 91

Şekil 4.8. Đkinci yaklaşımımız sonucunda elde ettiğimiz grafik ... 91

Şekil 4.9. Üçüncü yaklaşımımız sonucunda elde ettiğimiz grafik ... 92

Şekil 4.10. Dördüncü yaklaşımımız sonucunda elde ettiğimiz grafik ... 92

Şekil 4.11. Mathematica çözümü (gerçek çözüm) ... 93

Şekil 4.12. Mathematica çözümü ile birinci yaklaşımın mutlak farkı ... 93

Şekil 4.13. Mathematica çözümü ile ikinci yaklaşımın mutlak farkı ... 94

Şekil 4.14. Mathematica çözümü ile üçüncü yaklaşımın mutlak farkı ... 94

Şekil 4.15. Mathematica çözümü ile dördüncü yaklaşımın mutlak farkı ... 95

(8)

vi

ÖZET

Anahtar kelimeler: Lineer olmayan, Operatör, Ardışık yaklaşımlar, Newton metodu.

Lineer olmayan operatörlü denklemler için Newton metodu konusunda yapılanların derlendiği bu tez dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde daralma dönüşüm prensibi, reel değerli ve reel değişkenli fonksiyonlar için Newton metodu verildi.

Đkinci bölümde lineer olmayan operatörlerin Frechet ve Gato anlamında türevleri, Riemann integrali ve ortalama değer teoremi açıklandı.

Üçüncü bölümde Banach uzaylarında lineer olmayan operatörlü denklemler için Newton metodu ifade edildi.

Dördüncü bölümde Newton metodunun lineer olmayan cebirsel denklem sistemlerine, integral denklemlere ve sınır değer problemlerine uygulanışı, örnek problemler ve çözümleri verildi.

(9)

vii

NEWTON METHOD FOR NONLINEAR EQUATIONS OF

OPERATORS

SUMMARY

Key words: Nonlinear, Operator, Iteration process, Newton method.

This thesis is about Newton method for nonlinear equations of operators was explained in four sections.

In the first section, constriction mapping theorem and Newton method for the functions with real variables were given.

In the second section, Frechet and Gato derivatives, Reimann integral of operators and the mean value theorem were explained.

In the third section, Newton method for nonlinear equations of operators in Banach spaces was given.

In the fourth section, application of Newton method to the nonlinear algebraic system equations, integral equations and boundary value problems were given in detail and some exercises were solved about this section.

(10)

BÖLÜM 1. TEĞETLER YÖNTEMĐ VE DARALMA DÖNÜŞÜM

PRENSĐBĐ

1.1. Giriş

X bir Banach uzayı ve F:X → X bir operatör olmak üzere

0 ) (x =

F (1.1)

operatör denklemi verilmiş olsun. Bu denklem

x= Ax

olarak yazılabilirdir.

Tanım 1.1: Eğer x*= Ax* olacak şekilde bir x*∈X vektörü bulunabiliyorsa bu vektöre A operatörünün sabit noktası denir.

X X

A: → operatörünün bir sabit noktasının varlığı aynı zamanda (1.1) denkleminin çözümünün varlığı demektir. Ardışık yaklaşımlar metodu (1.1) şeklindeki denklemlerin çözümünde kullanılan metotlardan biridir. Bu yönteme göre herhangi bir x0∈X vektörü başlangıç yaklaşım olmak üzere terimleri,

,K 2 , 1

, =

= Ax n

x_n _n (1.2)

şeklinde olan

( )

x çözümler dizisi oluşturulur. Eğer n x*∈Xvektörü

( )

x dizisinin n

bir limiti ve A operatörü bu noktada sürekli ise x limiti A operatörünün sabit *

(11)

noktası dolayısı ile (1.1) denkleminin çözümüdür. Buna göre

( )

x dizisinin n

yakınsaklık koşulları (1.1) denkleminin çözümünün varlık koşulları olur.

Ardışık yaklaşımlar ile alakalı ilk teorik sonuçlar Polonyalı matematikçi Stefan Banach tarafından elde edilmiş olup bu teorem “Banach Sabit Nokta Teoremi” veya

“daralma dönüşüm prensibi” olarak bilinir.

1.2. Daralma Dönüşüm Prensibi

Tanım 1.2: X Banach uzayının D cümlesinde tanımlı bir A:D→ X operatörü verilmiş olsun. Eğer ∀x,y∈D için

y x y

A x

A⁽ ⁾− ⁽ ⁾ ≤α − ^(1.3)

olacak şekilde bir 0<α <1 sayısı varsa A:X →X operatörüne daralma dönüşüm operatörü denir. (1.3) koşulu Lipschitz koşuludur. (1.3) ifadesindeki α sayısına daralma katsayısı denir.

Teorem 1.1 (Daralma Dönüşüm Prensibi): D kapalı bir cümle olsun, A:X →X operatörü D’yi D’ye çeviren bir operatör olsun: A(D)⊂D. Bu durumda A operatörünün D’de tek bir sabit x* noktası vardır. Başka bir ifade ile (1.1) denkleminin tek bir x*∈D çözümü vardır, bu çözüm (1.2) formülü ile tanımlanmış

( )

x dizisinin limiti şeklinde bulunabilir. Burada n x ,₀ D’nin herhangi bir vektörüdür.

( )

x dizisinin *n x çözümüne yaklaşma hızı,

0

1 1

* x x

x x

n

n −

≤ −

− αα

(1.4)

eşitsizliği ile verilir.

Đspat: x_n₊₁ = Ax_n, x_n = Ax_n₋₁, n=1,2,K olduğundan (1.3)’e göre

1 1

1 − −

+ − n = n − n ≤ n − n

n x Ax Ax x x

x α

(12)

3

olur. Benzer eşitsizlikler ardı ardına kullanılarak

0 1

1 x x x

x_n₊ − _n ≤αⁿ −

eşitsizliği elde edilir. Buna göre ∀ρ,n∈N^için

(

ⁿ ⁿ

)

n n n

n n

n x x x x x

x ₊_ρ − ≤ ₊_ρ − ₊_ρ₋ +L+ ₊ − ≤ α ⁺^ρ⁻¹+L+α

1 1

₁ ₀

1

1 x x

x

x_n _p _n ⁿ −

−

≤ −

+ − α

α α^ρ

(1.5)

elde edilir. n→∞ iken limαⁿ =0 olduğundan son eşitsizliğe göre

( )

x dizisi n

Cauchy dizisidir. X uzayı tam olduğuna göre öyle x*∈X vektörü vardır ki

* limx_n x

n =

∞

→ olur. Her n=0,1,K için x_n∈D ve D kapalı olduğundan x*∈D olur.

(1.3)’e göre

2K , 1 , 0 ,

*

1 − * = − ≤ − =

+ Ax Ax Ax x x n

x_n _n α _n

ve

0

*

lim − =

∞

→ x_n x

n

olduğuna göre lim ₊₁ − * =0

∞

→ x_n Ax

n veya limx_n ₁ Ax*

n ₊ =

∞

→ ’dır.

Buradan x*= Ax* yani x*∈D vektörü (1.1) denkleminin çözümüdür.

Bunun tek bir çözüm olduğunu gösterelim.

Buna göre y*∈D vektörü (1.1) denkleminin bir diğer çözümü olsun. Bu halde

*

* y Ax Ay x y

x − = − ≤α −

(13)

olduğundan x*−y* =0 ve dolayısı ile x*= y*’dır. (1.5) eşitsizliğinde ρ →∞ iken limite geçilirse (1.4) eşitsizliği elde edilir.

Genel anlamda operatörler için ispat ettiğimiz daralma dönüşüm prensibini özel olarak reel değişkenli ve reel değerli fonksiyonlar için de ispatı yukarıda verilen ispata benzerdir, yalnızca burada A(x) operatörü yerine ϕ(x) fonksiyonunu, D⊂ X cümlesi yerine R’nin bir alt cümlesi olan

[ ]

^a,^b kapalı aralığı alınarak, aşağıdaki gibi yeni bir tanım yapılabilir.

[ ] [ ]

^a^,^b ^a^,^b

: →

ϕ dönüşümü, q<1 ve ^∀^x^,^y^∈

[ ]

^a^,^b ^için

y x q y

x)− ( ) ≤ −

( ϕ

ϕ ^(1.6)

(Lipschitz) koşulunu sağlıyorsa ϕ(x),

[ ]

^a,^b kapalı aralığında bir daralma dönüşümü olur. Buna göre ϕ(x)^’in

[ ]

^a,^b ’de tek bir ^x^*=ϕ

( )

^x^* eşitliğini sağlayan çözümü vardır. Bu çözüm; terimleri,

( )

n

n x

x ₊1=ϕ (1.7)

şeklinde verilmiş olan

( )

xn (iterasyon) dizisinin limiti olarak bulunur.

( )

xn dizisinin x* köküne yaklaşma hızı,

q x x x q

x

n

n −

≤ −

− * 1⁰ ¹ (1.8)

eşitsizliği ile verilir. ϕ(x) için daralma dönüşümü prensibinin ispatı A(x) operatörü için olana benzerdir, bu nedenle burada onun ispatı verilmemiştir.

1.3. Newton Metodu (Teğetler Yöntemi)

Kabul edelim ki

[ ]

^a,^b kapalı aralığında tanımlı f(x) fonksiyonu için f′(x) ve )

(x

f ′′ türevleri var ve sürekli olup sıfırdan farklıdırlar. Öyle ^x0∈

[ ]

^a^,^b var ki

(14)

5

( ) ( )

0 ^. ′′ 0 >⁰

′ x f x

f olsun. Yani f′

( )

x0 ve f ′′

( )

x0 aynı işaretlidirler, buna göre

[ ]

^a,^b

kapalı aralığında

0 ) (x =

f (1.9)

denkleminin tek bir çözümü vardır.

Đspatı:

) (

) ) (

( f x

x x f x = − ′

ϕ ^(1.10)

fonksiyonu için ardışık yaklaşımları

( ) ( )

1 1 1

−

− − ′ −

=

n n n

n f x

x x f

x n=1,2,K (1.11)

şeklinde kurulur, ϕ′(x) türevi

[

⁽ ^).⁽ ⁾

]

⁽² ⁾

)

( f x

x f x x f

′

= ′′

ϕ′

olduğundan ϕ^′

( )

^x^* ⁼⁰ olur ve dolayısı ile ϕ^′(x) sürekli olduğundan x* çözümünün öyle bir komşuluğu vardır ki, bu komşuluktaki bütün x’ ler için ϕ′(x) ≤q<1^olur.

Buna göre de (1.11) formülü ile verilen

( )

x dizisi x* çözümüne yakınsar. Bu n

metodun hatası şöyle formüle edilir. Önce ^f

( )

^x fonksiyonu x*’ın komşuluğunda Taylor serisine açılır. Buna göre

( ) ( )

1

( )(

1 1

) ( )(

* 1

)

²

* 2

* ₋ ₋ ₋ ′′ − ₋

+

′ − +

= n n n f x xn

x x x f x f x

f ξ

Burada ξ, x* ve x_n arasında bir noktadır. ^f

( )

^x^* ⁼⁰ olduğundan

(15)

( ) ( ) ( )

( ) (

1

)

²

1 1

1

1 *

* 2 ₋

−

− − −

′

= ′′

′ −

− n

n n

n

n x x

x f x f x f

x

x f ξ

olur. (1.11) formülü dikkate alındığında

( ) ( ( )

1

)

²

1

2 *

* ₋

−

′ −

= ′′

− _n

n

n x x

x f x f

x ξ

2 1 2

1 *

* 2 x x

M x M

x_n − ≤ _n₋ − (1.12)

olur. Burada M₁ max f (x), M₂ min f (x)

b x b a

x

a ′′ = ′

= ≤ ≤ ≤ ≤ dir.

Eğer x başlangıç yaklaşımı için ₀ * 1 2 ₂ ⁰

1 x −x ≤c<

M M

koşulu sağlanır ise, o zaman teğetler yöntemi daha hızlı yakınsar. Gerçekten de bu durumda (1.12) eşitsizliğinden aşağıdaki

c n

M x M

x_n ²

1

2 2

* ≤

−

eşitsizliği elde edilir.

Problem 1.1: f(x)=e^x −1.5−tan⁻¹x fonksiyonu için f(x)=0 denkleminin

0 =−7

x noktası civarındaki çözümünü Newton yöntemi ile bulunuz.

Çözüm:

( ) ( )

n n n

n f x

x x f

x ₊1 = − ′

formülü kullanılacaktır. Bunun için f′(x) hesaplanacak olursa

(16)

7

(

¹ ²

)

¹

)

( = − + ⁻

′ x e x

f ^x

çıkar. Başlangıç noktası yerine koyulursa

( )

x0 =−0.702 x10⁻¹ f

bulunur. f′

( )

x0 ise

( )

0 =−⁰^.^0190881

′ x f

bulunur. Yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa

984386 4001399296

6770961766 .

1 =−10 x

bulunur. Bu nokta fonksiyonda yerine koyulursa

( )

x1 =−0.226 x10⁻¹ f

çıkar. Gerekli işlemleri yapıldığında aşağıdaki sonuçlara ulaşılır:

786319 3271290859

2791673756 .

2 =−13

x f

( )

x2 =−0.437 x10⁻²

831753 6923873474

0536558542 .

3 =−14

x f

( )

x3 =−0.239x10⁻³

312706 6641347616

1011099568 .

4 =−14

x f

( )

x4 =−0.800x10⁻⁶

579506 3941594621

1012697709 .

5 =−14

x f

( )

x5 =−0.901x10⁻¹¹

300314 3996842508

1012697727 .

6 =−14

x f

( )

x6 =−0.114x10⁻²⁰

155122 3996842531

1012697727 .

7 =−14

x f

( )

x7 =−⁰^.⁰⁰⁰

155122 3996842531

1012697727 .

8 =−14

x f

( )

x8 =−⁰^.⁰⁰⁰

(17)

Grafik 1. f(x)=e^x −1.5−tan⁻¹x fonksiyonunun köküne x₀ =−7 noktamızdan yaklaşım grafiği

(18)

BÖLÜM 2. LĐNEER OLMAYAN OPERATÖRLERĐN

TÜREVLERĐ

2.1. Giriş

Lineer olmayan fonksiyonel denklemlerin incelenmesi yerel olarak lineer operatörlerle yaklaşımları yardımıyla yapılabilir. Bu nedenle normlu uzaylarda lineer olmayan operatörlerin diferensiyel hesabının araştırılması önem taşımaktadır.

Bu bölümde lineer olmayan fonksiyonel analize kısa bir giriş olarak lineer olmayan operatörlerin Freshe ve Gato türevleri tanımlanacak ve operatörlerin Riemann anlamında integralinden bahsedilecektir.

Analizden bilindiği gibi, bir f :(a,b)→R fonksiyonunun bir x₀∈(a,b) noktasında türeve sahip olması

( ) ( ) ( )

0 0

lim f x

h x f h x f

h + − = ′

→ (2.1)

eşitliğini sağlayan bir ^f^′

( )

^x0 ^∈^R sayısının varlığı demektir. Fakat bu eşitliğin

m

n R

R

f : → veya genel olarak X ve Y Banach uzayları olmak üzere f :X →Y şeklindeki operatörler için bir anlamı yoktur. Ancak uygun bir geçiş ile bu kavram operatörler içinde genelleştirilebilir.

(2.1) eşitliğinden yola çıkarak λ(^h)= ^f′

( )

^x0 ^h şeklinde tanımlanan λ:R→R^(h’a göre) lineer dönüşümü için (2.1) eşitliği

(19)

( ) ( )

⁽ ⁾ ₀

lim ⁰ ⁰

0 + − − =

→ h

h x

f h x f

h

λ (2.2)

eşitliğine denk olur. λ:R→R lineer dönüşümü göz önünde tutularak türevin yeni bir tanımı yapılır, şöyle ki; bir f :(a,b)→R fonksiyonunun bir x₀∈(a,b) noktasında türeve sahip olması demek (2.2) eşitliğini sağlayacak şekilde bir λ^lineer dönüşümünün var olması demektir.

Bu tanıma göre f :(a,b)→R fonksiyonunun bir x₀∈(a,b) noktasında türevlenebilir olması demek, x=x₀ +hve w(x)= f(x)− f

( ) (

x0 −λ x−x0

)

^olmak

üzere

( ) ( )

⁽ ^), ⁽ ^, ⁾

)

(x f x₀ x x₀ w x x a b

f = +λ − + ∈

olacak şekilde bir λ:R→R (h’a göre) lineer dönüşümünün ve

) 0 lim (

0 0

− =

→ x x

x w

x x

koşulunu sağlayan bir w:(a,b)→R fonksiyonunun var olması demektir. Bu şekilde bir tanım X ve Y Banach uzayları olması halinde F:X →Y operatörü için de genelleştirilebilir.

2.2. Lineer Olmayan Operatörlerin Frechet Türevi

Tanım 2.1: X ve Y Banach uzayları ve D⊂ X olmak üzere lineer olmayan Y

D

F: → operatörü verilmiş olsun. Eğer

0

D x∈

∀ için

( ) (

0 0

) (

0

)

(x F x A x x w x x

F = + − + − (2.3)

koşulunu sağlayan A∈L(X,Y) operatörü ve

(20)

11

( )

0 lim

0 0

0

− =

−

→ x x

x x w

x

x (2.4)

olacak şekilde W:D→Y operatörü varsa, F(x) operatörüne

0

0 D

x ∈ noktasında Frechet türevlenebilir (F– türevlenebilir) denir. (2.3) ifadesindeki A operatörüne

) (x

F operatörünün x noktasında Frechet türevi denir ₀ F′

( )

x0 veya DF

( )

x0

şeklinde gösterilir. x−x₀ =h alınırsa (2.3) ve (2.4) eşitlikleri sırasıyla

(

x0 h

) ( )

F x0 F

( )

x0 h w⁽h⁾

F + − = ′ + (2.5)

ve

) 0 lim (

0 =

→ h

h w

h (2.6)

şeklinde yazılabilir.

Tanım 2.2: Eğer F(x):D⊂ X →Y operatörü

0

D

x∈ noktasında F- türevlenebilirse

(

^x ^h

)

^F

( )

^x ^h

dF ₀, = ′ ₀

ifadesine F(x) operatörünün x noktasında h artımına uygun Frechet diferensiyeli ₀ (F– diferensiyeli) denir.

Böylece ^dF

(

^x0^,^h

)

⁼^F⁻diferensiyeli, h elemanının F′

( )

x0 lineer operatörü altındaki görüntüsüdür. Eğer, F(x) operatörü x noktasında F- türevlenebilirse, ₀ F(x) x ₀ noktasında süreklidir. Gerçekten de

( )

⁰

lim ₀

0

=

→ w x−x

x x

olduğundan (2.3)’e göre

(21)

( )

0

) ( lim

0

x F x

x F

x =

→

olur.

Eğer A∈L(X,Y) olmak üzere F(x)= Ax ise F(x) operatörü ∀x0 ∈X noktasında F- türevlenebilirdir ve onun Frechet türevi;

(

^x ^h

) ( ) (

^F ^x ^A ^x ^h

) ( )

^A ^x ^Ah

F ₀ + − ₀ = ₀ + − ₀ =

olduğu elde edilir. Türev almada bazı genel kurallar dikkate alınır.

1) D⊂ X açık kümesinde sabit bir F:X →Y operatörü için D üzerinde F′(x)=θ olur.

2) F:X →Y ve G:X →Y , x₀ ∈X noktasında F- türevlenebilir operatörler ve β

α^, birer skaler olmak üzere

(

αF +βG

)

′(x)=αF′

( )

x0 +βG′

( )

x0 ^dır.

3) X, Y ve Z Banach uzayları G(z):Z → X operatörü z₀∈Z noktasında, Y

X x

F( ): → operatörü ^x0 ⁼^G

( )

^z0 ^∈^X noktasında F- türevlenebilir ise

[

^G ^z

]

^Z ^Y

F z G o

F )( )= ( ) : →

( operatörü z noktasında F- türevlenebilir ve onun ₀ Frechet türevi

(

FoG

) ( )

′ z0 = F′

( ) ( )

x0 G′ z0

olur, bu kural zincir kuralı olarak adlandırılır.

Örnek 2.1: D⊂Rⁿ bir açık küme ve

(22)

13

(

^f ^x ^f ^x ^f ^x

)

^x

(

^x ^x ^x

)

^D

x f R D

F: → ^m, ( )= ₁( ), ₂( ),K, _m( ) , = ₁, ₂,K, _n ∈

operatörü verilmiş olsun. Burada f K₁, f_m fonksiyonları D’den R’ye tanımlı reel değerli fonksiyonlardır ve bu fonksiyonların, D üzerinde sürekli i m

x x fi

j

,K 1 ),

( =

∂

∂ ve

n

j =1,K kısmi türevleri var olsun. Bu durumda D’ye ait x=

(

x₁,Kxn

)

ve

(

x h xn hn

)

h

x+ = ₁ + ₁,K, + noktaları için

( ) ( )

m i

h w h a h

a

x x fi h x h x fi

i n in i

n n

n

, , 1 ), (

, , ,

,

1 1

1

K L

K K

= +

+ +

=

− +

+ (2.7)

yazılabilir. Burada

(

w h wm h

)

h

(

h hn

)

h

w( )= ₁( ),K, ( ), = ₁,K,

2 2

1 2

2 2 2

1 w w_m, h h h_n

w

w = + +L+ = +L+

olmak üzere h →0 iken ^w

( )

^h ⁼^o

( )

^h ^dir.

n j

m x i

x A f

j

i( ) , 1, , ve 1, ,

K

K =

 =













∂

= ∂

matrisine f :D→R^m operatörünün Jakobi matrisi veya fonksiyonel matris denir.

(

^Rⁿ ^R^m

)

L

A∈ , operatörü f :D→R^m operatörünün x∈D noktasında Frechet türevidir, yani ^A⁼ ^f^′

( )

^x^. Analizden bilindiği gibi f :D→R^m operatörü x∈D noktasında diferensiyellenebilirse bu noktada

j i

x x f

∂

∂ ( )

kısmi türevleri vardır (2.7)’deki

a ’lar ij

(23)

n j

m x i

x a f

j i

ij ( ), 1, , ve 1, ,

K

K =

∂ =

= ∂

gibi tanımlanır. Eğer

(

^g ^z ^g ^z

)

^z

(

^z ^z

)

^D

z g R R

g:∆⊂ ^ρ → ⁿ, ( )= ₁( ),K, _n( ), = ₁,K, _ρ ∈

operatörü ^z⁰ ⁼

(

^z¹^,^K^,^z^ρ

)

^∈^∆ noktasında, f :D⊂Rⁿ →R^m operatörü

( )

^z ^D

(

^x

(

^x ^x

) )

^x ^g

(

^z ^z

)

^k ⁿ

g

x⁰ = ⁰ ∈ ⁰ = ₁⁰,K, ⁰_n , ⁰_k = _k ₁⁰,K, ⁰_ρ , =1,2... noktasında F- türevlenebilirse

( ) ( ) ( ) ( )

_^











∂

= ∂

 ′













∂

= ∂

′

j i k

j

x x x f

z f z z g

g

0 0

0

0 ,

m i

p k

n

j =1,K, ; =1,K, ; =1,K,

olur. Bu durumda (fog)z = f(g(z)):∆→R^m operatörü z noktasında F-⁰ türevlenebilir ve onun Frechet türevi

( ) ( ) ( ) ( )

ⁿ

( ) (

^m

)

j k

j

i LR R

z z g x

x z f

g x f z g o

f ( ) ,

1 0 0 0

0

0 ∈ ρ











∂

= ∂

′

= ′

′

∑

=

operatörü olur.

Örnek 2.2: ^D⁼

[ ]

^a^,^b ²^xR ^ve ^f

(

^x^,^s^,^u

)

^:^D^→^R fonksiyonu ve onun ^f

(

^x^,^s^,^u

)

kısmi türevi D üzerinde sürekli olsun. Bu durumda

(

^x ^s ^u ^s

)

^ds

f x u x u F

b

a

∫

−

= ( ) , , ( ) )

)(

( (2.8)

şeklinde tanımlanan ^F^:^C

[ ]

^a^,^b ^→^C

[ ]

^a^,^b operatörünün ∀^u0 ∈^C

[ ]

^a^,^b noktasında Frechet türevine sahip olduğunu ve

(24)

15

( )

^u ^h ^h ^x ^f

(

^x ^s ^u ^s

)

^h ^s ^ds

F

b

a

u , , ( ) ( )

)

( ₀

0 ⁼ ⁻

∫

′ (2.9)

eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz.

Çözüm: Her bir ^h

( )

^x ^∈^C

[ ]

^a^,^b ^için

(

^u ^h

) ( )

^F ^u ^h ^x ^f

(

^x ^s ^u ^s

)

^h ^s ^ds ^w

(

^u ^h

)

F

b

u , , ( ) ( ) ,

)

( ₀ ₀

0 0

0 + − = −

∫

− ^(2.10)

dir. Burada 0≤0≤1 olmak üzere

( )( ) ∫ ∫ [ ( ) ( ) ]







 + −

−

=

b

a

u

u x s u s h s f x s u s h s d ds

f x

h u w

1

0

0 0

0, , , ( ) 0 ( ) , , ( ) ( ) 0 (2.11)

olduğu açıktır. r >0 olmak üzere R ’ün kapalı ve sınırlı ³

( ) [ ]

{

^x ^s û ^x ^s â ^b û ^s ^r û û ^s ^r

}

T_r = , , : , ∈ , , ₀( )− ≤ ≤ ₀( )+

kümesi dikkate alınır. ^fu

(

^x,^s,^u

)

fonksiyonu T_r üzerinde düzgün sürekli olduğundan

( )

⁰

,

0 ∃ >

>

∀ε δ ε öyle ki keyfi

(

x1,s1,u1

) (

, x2,s2,u2

)

∈Tr için

(

x₁−x₂

) (

² + s₁−s₂

) (

² + u₁−u₂

)

² <δ ⇒ f_u

(

x₁,s₁,u₁

)

− f_u

(

x₂,s₂,u₂

)

<ε

olur. (2.10) ve (2.11) ifadelerinde h _∞ <δ olsun. Bu durumda her bir ^x^,^s^∈

[ ]

^a^,^b ^ve

[ ]

⁰^,¹

0∈ için

(

x,s,u₀(s)+0h(s)

)

∈Tr olur.

) ( ),

( 0 ) ( ,

, ₁ ₂ ₁ ₀ ₂ ₀

2

1 x x s s s u u s h s u u s

x = = = = = + =

(25)

denirse ^∀^x^,^s^∈

[ ]

^a^,^b ^için ^h _∞ ^<^δ olacağından

( )

_∞

( ) ( ) [ ]

^〈 _∞











  ∈



 



 + −

≤

∫ ∫

^f ^x ^s û ^s ^h ^s ^f ^x ^s û ^s ^h ^s ^d ^ds ^x â ^b ^h

h u w

b

a

u ^, ^, ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰ ^: ^, ε

) ( 0 ) ( , , max

,

1

0

0 0

0

elde edilir. Dolayısı ile h _∞ →0 iken ^w

(

^u⁰^,^h

)

⁼^o

( )

^h _∞ olur. Buradan (2.8) ifadesiyle tanımlı F operatörünün ^u0 ∈^C

[ ]

^a^,^b noktasında F- türevlenebilir olduğu ve (2.9) ifadesinin doğru olduğu görülür.

2.3. F – Türevlenebilir Operatörler için Riemann Anlamında Đntegrallenebilme ve Ortalama Değer Teoremi

Tanım 2.3: X Banach uzayı ve ^f ^:

[ ]

⁰^,¹ ^→ ^X fonksiyonu verilmiş olsun,

[ ]

⁰^,¹

aralığını

1 0=t₀ <t₁ <K<tn₋₁ <tn =

özelliğini sağlayan t₀,t₁,K,t_n noktaları yardımıyla n tane

[

^ti₋₁,^ti

] (

ⁱ =1,K,ⁿ

)

alt aralığa bölünsün. Buna göre

{

t t tn

}

P= ₀, ₁,K,

kümesine

[ ]

⁰^,¹ aralığının bir parçalanması denilir.

{

^t ^k ⁿ

} [

^t ^t

]

^k ⁿ

P t t

t_k = _k − _k ₁, =max ∆ _k : =1,K, , _k ∈ _k ₁, _k , =1,K,

∆ ₋ τ ₋ olmak üzere

∑ ( )

→ ⁿ= ∆

k

P f k t

0 1

lim τ

limiti sonluysa, f fonksiyonu

[ ]

⁰^,¹ aralığında Riemann anlamında integrallenebilirdir denir ve bu limit

(26)

17

∫

¹

0

) ( dtt f

ile gösterilir.

X ve Y Banach uzayları ve

( [

x0^,x0 +∆x

]

=

{

x∈X ^:x=x0 +t∆x^,t∈

[ ]

⁰^,¹

} )

olmak üzere

A^:

[

x0^, x0 +∆x

]

→L⁽X^,Y⁾ operatörü verildiğinde tanıma göre

∫

⁺^∆

( ) ∫ ( ) ∑ ( )

→ = + ∆ ∆ ∆

=

∆

∆ +

=

x x

x

n

k

P A x k x x t

xdt x t x A dx x A

0

1

0 1

0 0

0 lim τ

dir. A sürekli operatör ise yukarıda ifade edilen sonlu toplam dolayısı ile

∫

^∆

+ x x

x

dx x A

0

) (

integrali mevcuttur. Özel olarak A=F′ ise burada F, D⊂ X açık kümesini Y’ye dönüştüren ve

[

^x0,^x0 ⁺^∆^x

]

^⊂^D kapalı aralığında sürekli F- türevlenebilir operatör ise kolayca gösterilebilir ki integral hesabının temel teoreminin (Newton-Leibnitz formülünün) bir genelleştirilmesi olan

( ) ( )

∫

^∆

+

−

∆ +

′ =

x x

x

x F x x F dx x F

0

) 0

( (2.12)

formülü doğrudur.

(27)

Teorem 2.1: (Ortalama Değer Teoremi): F:X →Y operatörü dışbükey bir D⊂ X kümesinde sürekli F- türevlenebilir olsun. Bu durumda her bir x₀, x∈D noktaları için

( )

⁼

∫

^′

(

⁺

(

⁻

) )(

⁻

)

−

1

0

0 0

0

0 0

)

(^x ^F ^x ^F ^x ^x ^x ^x ^x ^dθ

F (2.13)

Lagrange formülü doğrudur.

Đspat: ^x⁼^G⁽⁰⁾⁼ ^x0 ⁺⁰

(

^x⁻^x0

)

^,⁰^≤⁰^≤¹

(

^G^:

[ ]

⁰^,¹ ^→^D

)

olmak üzere

[ ]

^Y

G o

F : 0,1 → operatörü göz önüne alınsın, burada G′(0)=x−x₀ olacağından zincir kuralı dolayısı ile

(

^F ^o^G

) ( )

^′ ^θ ⁼ ^F^′

(

^G⁽⁰⁾

)

^⋅^G^′⁽⁰⁾

veya

( )

(

0 0 0

) (

0 0

(

0

) ) (

0

)

0F x x x F x x x x x

d

d + − = ′ + − −

= F′

(

x0 +0

(

x−x0

) )

d

(

x0 +0

(

x−x0

) )

olur. Buradan (2.12) ifadesine göre

( )

(

⁺ ⁻

)(

⁻

)

⁼ ^′

(

⁺

(

⁻

) ) (

⁺

(

⁻

) )

⁼

′

∫

⁰ ⁰

1

0

0 0

1

0

0 0

0 0 x x x x d0 F x 0 x x d x 0 x x

x F

( ) ( )

∫

^′ ⁼ ⁻

= ^x

x

x F x F dt t F

0

) 0

(

olduğu ve dolayısıyla (2.13) ifadesinin doğruluğu elde edilir.

Teorem 2.2: F:X →Y dışbükey bir E⊂ X kümesinde F- türevlenebilir bir operatör ve E üzerinde

(28)

19

( )

x1 F

( )

x2 L x1 x2

F′ − ′ ≤ −

olacak şekilde bir L>0 pozitif sayısı var olsun. Bu durumda herhangi x₁,x₂∈E noktaları için

( ) ( )

1 2

( )(

2 1 2

)

1 2 ²

2 x x

x L x x F x F x

F − − ′ − ≤ − (2.14)

eşitsizliği doğrudur.

Đspat: Önce (2.13) Lagrange formülünden, sonra F′(x)Frechet türevi için Lipschitz koşulundan herhangi x1,x2 ∈E için

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

[ ] ( )

( )

( ) ( )

∫

−

=

−

≤

′ −

−

′ +

≤

′ −

−

′ +

=

′ −

−

1

0

2 2 1 2

2 1 1

0

2 1 2

2 1 2 1

0

2 1 2

2 1 2 2

1

0 2 0

0 0

x L x x

x d L

x x d x F x x x F

x x x F x F x F

olduğu ve dolayısıyla (2.14) eşitsizliğinin doğru olduğu görülür.

2.4. Lineer Olmayan Operatörlerin Gato Türevi

X ve Y Banach uzayları olmak üzere x₀ ∈X noktasının S komşuluğunda tanımlı Y

S

F: → operatörü verilmiş olsun.

Tanım 2.4: Eğer ∀h∈X için

(29)

( ) ( )

t x F th x F

t

0 0

0

lim + −

→ (2.15)

limiti δ^F

(

^x0^,^h

)

ile gösterilir ve bu limit varsa bu limite F operatörünün x ₀ noktasında Lagrange anlamında birinci varyasyonu denir. Burada yaklaşım Y’nin normu anlamındadır.

Genellikle ^DF

(

^x0^,^h

)

birinci varyasyonu h’a göre lineer olmayan bir operatördür.

Tanım 2.5: ^A^∈^L

(

^X^,^Y

)

olmak üzere F operatörünün x0∈X noktasında

(

^x ^h

)

^Ah

F ₀, =

δ şeklinde birinci varyasyonu varsa F:X →Y operatörü x ₀ noktasında Gato türevlenebilirdir (G – türevlenebilir) denir. A operatörüne F operatörünün Gato türevi (G – türevi) denir ve A=F′

( )

x0 şeklinde yazılır. Bu durumda

(

^x ^h

)

^F

( )

^x ^h

F ₀, = ′ ₀

δ ^(2.16)

birinci varyasyonuna F operatörünün x noktasında Gato diferensiyeli denir. Eğer ₀ Y

X

F: → ve H :X →Y operatörleri x0∈X noktasında G- türevlenebilir ise herhangi α^,β∈R sayıları için αF+βH operatörü x noktasında G- ₀ türevlenebilirdir ve bu türev

(

αF +βH

) ( )

′ x0 =αF′

( )

x0 +βH′

( )

x0

şeklinde olur.

Y X

F: → operatörünün x0 ∈X noktasında F- türevlenebilir olmasından x ₀ noktasında G- türevlenebilir olduğu açıktır. Gerçekten de F operatörünün x ₀ noktasında F- türevlenebilir olması durumunda yeteri kadar küçük h için

(30)

21

(

^x ^h

) ( )

^F ^x ^F

( )

^x ^h ^w

(

^x ^h

)

F ₀ + − ₀ = ′ ₀ + ₀,

olur. Burada h →0 iken ^w

(

^x0^,^h

)

⁼^o

( )

^h ve ^F′

( )

^x0 ^,^F operatörünün x ₀ noktasında Frechet türevidir. Şu halde 0< t <1 için

(

^x ^th

) ( )

^F ^x ^F

( )

^x ^th ^w

(

^x ^th

)

F ₀ + − ₀ = ′ ₀ + ₀,

ve burada t →0 iken ^w

(

^x0^,^th

)

⁼^o

( )

^h dır. Son eşitlikten ise

( ) ( )

^F

( )

^x ^h

t x F th x F

t 0

0 0

0

lim + − = ′

→

olduğu elde edilir. (2.15) ve (2.16) dolayısıyla F operatörü x noktasında Gato ₀ türevlenebilir ve onun x noktasında Gato türevi ₀ F′

( )

x0 olur.

Örnek 2.3:

( )







= + ≠

=

ise 0 , 0 ) , ( ,

0

ise 0 , 0 ) , ( ) ,

,

( ⁴ ²

3

y x

y y x

x y x y

x f

şeklinde tanımlanan f :R² −R¹ operatörü

( )

⁰^,⁰ noktasında G- türevlenebilirdir fakat F- türevlenebilir değildir.

Gerçekten de f fonksiyonunun R ’de sürekli olduğu açıktır. Herhangi ²

(

h1,h2

)

R²

h= ∈ için

( ) ( )

(

⁰^,⁰ ^,

) ( )

⁰^,⁰ _lim ₀

lim ₂

2 4 1 2

2 3 1 2 0 2

1

0 =

= +

− +

→

→ t h h

h h t t

f h h t f

t t

(31)

olduğundan f fonksiyonu

( )

⁰^,⁰ noktasında Gato türevlenebilir ve ^f^′

( )

⁰^,⁰ ⁼⁰^olur.

Fakat

(

^h ⁼ ^h¹² ⁺^h²²

)

olduğundan ve

( )

(

¹⁴ ²²

)

²¹² ²²

3 1 0

2 1

0 , (0,0) lim

lim

h h h h

h h h

f h h f

h

h − = + +

→

limiti var olmadığından f fonksiyonu (0,0) noktasında Frechet türevlenebilir değildir.

(32)

BÖLÜM 3. NEWTON METODU

3.1. Giriş

Lineer olmayan fonksiyonel (cebirsel, diferensiyel, integral vb.) denklemlerin incelenmesinde en çok kullanılan metotlardan biri de Newton metodudur. Đlk kez bu metod reel değişkenli ve reel değerli F:R→R fonksiyonu

0 ) (x =

F (3.1)

şeklindeki denklemler için Newton tarafından ileri sürülmüş ve Banach uzaylarında verilen operatörlü denklemler için L.V. Kantoroviç tarafından genelleştirilmiştir.

Şekil 3.1. y = F(x) denklemi ve ona teğet olan doğruların grafiği

(33)

Newton metodunu (3.1) şeklinde olan skaler denklemler

(

^F^:^R^→^R^halinde

)

^için

tanımlayalım. (3.1) denkleminin *x kökü komşuluğunda F kesin artan ve dışbükey bir fonksiyon olsun (Şekil 1). x köküne yeteri kadar yakın olan * x başlangıç ₀ yaklaşımı seçerek M0

(

x0,F

( )

x0

)

noktasında y=F(x) eğrisine çizilen

( )

x0 F

( )(

x0 x x0

)

F

y= + ′ − teğet denklemi yazılır. F′

( )

x0 ≠⁰ olduğunda bu doğru ile x ekseninin kesiştiği nokta

( )

0 0 0

1 F x

x x F

x = − ′ olur. Sonra M1

(

x1,F

( )

x1

)

noktasında )

(x F

y= eğrisine çizilen teğet denklemi

( )

x1 F

( )(

x1 x x1

)

F

y= + ′ −

yazılır ve F′

( )

x1 ≠⁰ olduğunda bu doğrunun x ekseni ile kesiştiği

( ) ( )

1 1 1

2 F x

x x F

x = − ′

noktası bulunur. F′

( )

x_n₋1 ≠⁰^,n=²^,³^L olduğunda bu işlem benzer şekilde devam ettirildiğinde

( ) ( )

1 ^, ¹^,²^,^L 1

1 =

− ′

=

−

− − n

x F

x x F

x

n n n

n (3.2)

biçiminde tanımlanan

( )

^xn ⊂^R dizisi kurulmuş olur. x₀ −x* yeteri kadar küçük olduğunda

( )

x dizisi x* köküne yüksek hızla yaklaşır. Skaler denklemler için n

verilen bu yönteme ((3.2) ardışık yaklaşımlarına) Newton teğetler metodu adı verilir.