Kodlama Teorisi üzerine

Kodlama teorisi ilk olarak 1940 lı yılların sonlarına doğru bazı mühendislik problemleri ile bağlantılı olarak ortaya çıkmıştır. Bu konu cebirdeki matematik kavramları kullanılarak geliştirilmiş ve “ Cebirsel Kodlama Teorisi ” adını almıştır.

Hata düzeltici kodlar teorisi ise bilgi transferi yada depolanması esnasında orijinal bilgiye yapılan ekleri optimize ve iletilen bilgide meydana gelebilecek hataları düzeltme gibi konularla ilgilenir. Örneğin; bir mesajı bir kanal boyunca hızlı ve

güvenilir bir şekilde iletmek isteyelim kanal bir telefon hattı, yüksek frekanslı bir radyo bağlantısı olabilir. Ekipman eksikliği, insan hatası yada yıldırım sebebiyle bilginin iletimi esnasında hata oluşabilir. Bu hatalardan mesajı korumak için fazladan veri eklenir. Dijital bir haberleşme sistemi aşağıdaki şekilde gösterilir.

İletişimde amaç, kaynaktan gönderilen mesajı doğruluğu yüksek bir olasılıkla iletmektir. Mesajı göndermek için alfabe olarak adlandırılan sonlu kümeler kullanılır. Bu küme genellikle sonlu bir halka veya cisim olarak alınır. İletilecek mesaj,

oluşabilecek hatalardan korunmak üzere şifrelenir. Şifrelenen mesaj, kodun elemanları olan kod sözcükleridir. Kod sözcükleri kanala gönderilir. Bazı terimleri değişmiş yani hata olmuş olabilir. Decoder hata olup olmadığını kontrol eder, hata varsa düzeltir ve orijinal mesaj elde edilip alıcıya gönderilir.

Bir kodun minimum uzaklığı ne kadar büyük olursa o kod o kadar hata düzelteceğinden, minimum uzaklıkları büyük kodların elde edilmesi önemlidir.

Araştırmacıların kodlar üzerine yapmış oldukları çalışmaların bir kısmı sonlu cismi üzerinde yeni kodlar elde edilmesi ve bunlara karşılık gelen cebirsel kodun

oluşturulması ile ilgilidir. Belirli halkalar üzerinde tanımlı kodlar kullanılarak da cisimler üzerinde kodlar elde edilebilir.

q IF

4

Ζ

k

p Ζ

üzerinde tanımlı uzunluğundaki bir lineer negacyclic kodun Gray

dönüşümü altındaki görüntüsünün üzerinde tanımlı cyclic bir kod olduğu Wolfman tarafından 1999 da yaptığı bir çalışmayla gösterilmiştir. Daha sonra bu

çalışma üzerindeki kodlara genelleştirilmiştir. _ n 2 IF 2 2 uIF

IF + halkası üzerinde cyclic, (1+ )u −

2

IF IF

constacyclic kodların Gray dönüşümü altındaki görüntüleri J. Fa Qian, L. Zhang, S. Zhu tarafından 2006 yılında

belirlenmiştir. Bu çalışma ve halkalarına

aynı grup tarafından genelleştirilmiştir.

2 2 2 uIF u IF + + m _p p p +uIF +...+u IF

2008 yılında M.V. Amarra ve F. R. Nemenzo tarafından halkası üzerinde tanımlı _ uzunluğundaki

k

k _p

p uIF IF +

n (1− )u −constacyclic kodun Gray dönüşümü altındaki görüntüsünün, uzunluğunda mertebesi olan üzerinde tanımlı bir quasi-cyclic kod olduğu gösterilmiştir.

_ n pk _pk−1 k p IF 2 ≥ m − ) n pkm

olmak üzere halkaları üzerindeki

constacyclic kodun Gray dönüşümü altındaki görüntüsünün, cismi üzerinde uzunluğunda mertebesi olan quasi-cyclic kod olduğu

k k k _p m p p uIF u IF IF + +...+ 1 − m k p − 1 ( _um k p IF _

P. Udomkavanich , S. Jitman tarafından 2009 da gösterilmiştir.

Böylece, belirli halkalar ve bu halkaları belirlerken kullanılan Galois cisimleri arasında uygun dönüşümlerin tanımlanması yoluyla, belirli halkalardaki kodlarla bu cisimlerdeki kodlar arasındaki ilişkiler belirlenmiştir.

ÖN BİLGİLER

1.1 Kod Tanımı ve Özellikleri

1.1.1 Tanım : Alfabe olarak adlandırılan F_q ={λ₁,λ₂,...,λ_q} sonlu kümesinden alınan elemanların oluşturduğu sonlu dizilerin kümesine q -ary kod denir.

} ,... 1 , ) ,..., , {( ) (F n a₁ a₂ a_n a_iF_q i n

q = = olmak üzere (F )q n in elemanlarına

sözcük denir. n in herhangi bir C alt kümesine n_uzunluğunda bir q F ) ( q -ary kod ve kodunun elemanlarına da C kod sözcüğü denir. 1.1.2 Tanım : Her ,a=(a₁,a₂,...,a_n) b=(b₁,b₂,...,b_n)∈ n q F ) ( için ve arasındaki a b Hamming uzaklığı d(a,b)= { i a_i ≠b_i } şeklinde tanımlanır ve

d: n q F ) ( × n q F ) ( →IN∪{0} (a,b)_ad(a,b) biçiminde tanımlanan dönüşüm n q F b a i )∀ , ∈( ) için d(a,b)≥0 ,d(a,b)=0 ⇔ a=b n q F b a ii ) ∀ , ∈( ) için d(a,b)=d(b,a) n q F b a iii ) ∀ , ∈( ) için d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b) özelliklerini sağlar ve bir metriktir.

1.1.3 Tanım : Bir kodunun C minimum uzaklığı } , , ) y , ( min{ ) (C d x x y x y C d = ≠ ∈ biçiminde tanımlanır.

Uzunluğu n , eleman sayısı ve minimum uzaklığı olan bir koduna koddur denir. Burada kodunun parametreleridir.

m m, , d C _ ) , , (n m d n d C

C , (n,m,d)_kod olsun. Bu parametreler arasında aşağıdaki ilişkiler vardır; m

i ) yeteri kadar büyükse kod fazla sayıda mesajı şifreler. d

ii ) büyükse kod daha fazla hata düzeltir. m

iii ) büyüdükçe küçülür. d n

iv ) küçüldükçe mesaj daha hızlı iletilir.

Kodu belirleyen üç parametreden ikisi belli iken diğerinin alabileceği en iyi değeri belirlemek önemlidir.

1.1.4 Tanım : C bir ary , kod olsun. Verilen ve değerleri için

’nin alabileceği en büyük değer ile gösterilir. Buna − q (n,m,d)_ (n A_q n d C m , d) kodunun sınırı denir.

1.1.1 Örnek : C₁ ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} bir (2,4,1)_koddur.

C₂ ={(0,0,0,0,0),(0,1,1,0,1),(1,0,1,1,0),(1,1,0,1,1)} bir (5,4,3)_koddur.

1.1.1 Teorem : her n≥1 için n q n d q A i) ( , )= ( (ii) A_q(n,n)=q dir. (Roman , 1992) 7 , 10 ≤ ≤ d

n için A₂(n,d) değerleri aşağıda verilmiştir. (Slaone , 1977)

n d =3 d=5 d =7 5 4 2 - 6 8 2 - 7 16 2 2 8 20 4 2 9 40 6 2 10 72-79 12 2

1.1.2 Teorem : Bir 2-ary kod için d tek olmak üzere bir _ kodunun var olması için gerek ve yeter koşul bir

) , , (n m d ) 1 , , 1

(n+ m d+ _ kodunun var olmasıdır. ( Hill , 1986 )

1.1.1 Sonuç : d tek sayı ise A₂(n+1,d +1)= A₂(n,d) çift sayı ise d A₂(n,d)= A₂(n−1,d−1) dir. ( Hill , 1986 )

1.1.2 Örnek : A₂(5,3)= 4 olduğuna göre yukarıdaki sonuçtan A₂(6,4)= 4 tür. (6,4,4) _ kodu aşağıdaki gibi (5,4,3) _ kodundan elde edilen C ,(5,4,3)_ kodu

)} 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 , 0 , 1 ( ), 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 0 , 0 , 0 {( = C , 0 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 ( ), 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 {( = D idi , (6,4,4)_ kodu olur. D )} 0 , 1 , 1

1.1.3 Teorem : C, d minumum uzaklığa sahip bir kod olsun. )

(i d ≥ k+1 ise kodu herhangi bir kod sözcüğündeki C k tane hatayı tespit eder. )

(ii d ≥ t2 +1 ise kodu herhangi bir kod sözcüğündeki tane hatayı düzeltir. C t ( Hill , 1986 )

1.1.2 Sonuç: minimum uzaklığa sahip olan bir C kodu herhangi bir kod sözcüğünde tane hatayı tespit etmekte yada

d 1 − d _⎢⎣⎢ − _⎥⎦⎥ 2 1 d

tane hatayı düzeltmekte kullanılır. ( Ling , 2004 )

1.1.5 Tanım : C , D -ary kodlar olsun. q )

(i kodu C ‘nin kodsözcüklerinde aynı yerdeki elemanlara aynı permütasyon uygulanarak elde edilsin.

D

)

(ii D kodu ‘nin kodsözcüklerinde iki bileşenin yer değiştirmesi ile elde edilsin. C koşullarından en az biri sağlanıyorsa kodu ,D C koduna denktir denir.

1.1.3 Örnek : C ={(0,0,1,1),(0,1,2,1),(1,2,2,0),(1,0,2,1)} 3-ary kodu için ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 2 2 1 0

σ permütasyonu için C kodunun 3.konumundaki sembollere uygulanırsa, } ) 1 , 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 1 , 2 , 1 ( , ) 1 , 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 0 , 0 ( { 1 = C olur.

Daha sonra 1. konumdakilerle 4. konumdakiler yer değiştirildiğinde } ) 1 , 1 , 0 , 1 ( , ) 1 , 1 , 2 , 0 ( , ) 0 , 1 , 1 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 , 1 ( { 2 =

C kodu elde edilir. Buradan C kodu koduna

denktir.

2

C

1.1.4 Teorem : Bir - ary q (n,m,2t+1)_kod

n t _q q t n q n n m ≤ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) 1 ( . ... ) 1 ( . 1 0 . eşitsizliğini sağlar. (Lemmermeyer , 2005)

1.1.6 Tanım : Bir - ary q (n,m,2t+1)_kod için n t _q q t n q n n m = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) 1 ( . ... ) 1 ( . 1 0

. ise bu koda mükemmel kod denir.

LİNEER KODLAR , ŞİFRELEME VE ŞİFRE ÇÖZÜMÜ

2.1 Lineer Kodlar

s p

q= , p asal , s∈Ζ₊ olmak üzere GF(q)=IF_q , q elemanlı Galois cismi için f ,Ζ_p[x] de dereceden asal bir polinom olmak üzere s.

) f ( ] [x p Ζ

IF_q ≅ dir. Özel olarak p asal sayısı için GF(p)= IF_p ≅ Ζ_p dir.

2.1.1 Tanım : R bir halka olmak üzere _{R ,}n _{R üzerinde bir modüldür. R nin her alt} n modülüne R üzerinde bir n_uzunluğunda lineer kod denir.

n q

IF , üzerinde bir vektör uzayıdır. Benzer şekilde nin her alt uzayına üzerinde uzunluğunda bir lineer kod

q IF _ n n q IF q IF denir.

2.1.1 Örnek : kümesi ‘nin bir alt uzayı olduğu

için kodu üzerinde 2_uzunluğunda bir lineer koddur.

{

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) = C

}

2 2 IF 2 IF 2.1.2 Örnek : C ={(0,0,0,0),(0,1,1,2),(0,2,2,1),(1,0,1,1),(1,1,2,0),(1,2,0,2), 4 3 } ) 0 , 1 , 2 , 2 ( , ) 1 , 0 , 1 , 2 ( , ) 2 , 2 , 0 , 2 ( ⊆IF

kümesi ‘nin bir alt uzayıdır. Dolayısıyla C üzerinde 4_uzunluğunda bir lineer koddur. 4 3 IF IF₃ 2.1.2 Tanım : n de q IF x=(x₁,x₂,...,x_n), y=(y₁,y₂,...,y_n) elemanları verilsin. x ve nin farklı bileşenlerinin sayısı olarak y

{

i x y i n

}

y)

x, = _i≠ _i , =1,2,...,

d( biçiminde tanımlanan fonksiyonuna

Hamming uzaklığı

d denir.

C IF_q üzerinde n_uzunluğunda bir lineer kod ise } , , ) , ( min{ d ) (C x y x y C

d = x≠ y ∈ ‘ye kodunun minimum uzaklığıC denir.

2.1.3 Tanım : vektör uzayının boyutlu bir alt uzayı ise ’ye bir

kod adı verilir. Eğer kodunun minimum uzaklığı ile gösterilirse bir lineer koddur denir.

n q IF C , _ ] , d k _ k C _ ] , [ kn C C d(C)=d , [n

2.1.4 Tanım : n vektör uzayının herhangi bir q

IF x=(x₁,x₂,...,x_n) elemanının

ağırlığı w(x)= { i x_i≠0,i=1,2,...,n , x_i∈IF_q} şeklinde tanımlanır. q

IF

C üzerinde bir lineer kod ise w(C)=min{ w(x) x≠0, x∈C } ye C kodunun ağırlığı denir.

2.1.1 Önerme : Her n için

q IF y

x, ∈ d(x,y)=w(x−y) dir. (Roman , 1992)

2.1.1 Teorem : C IF_q üzerinde bir n_uzunluğunda lineer kod ise d(C)=w(C) dir.

Kanıt : x=(x₁,x₂,...,x_n), y =(y₁,y₂,...,y_n)∈C olmak üzere

d(C)=min{d(x,y) x≠ y ,x,y∈C } olduğundan C y x ∈ ∃ ⇒ , için d(C)=d(x,y)=w(x−y) ≥min{ w(x) x_i≠0, x∈C }=w(C) bulunur. ) ( ) (C wC d ≥ ∴ dir. } , 0 ) ( min{ ) (C w x x x C w = _i≠ ∈ olduğundan

bir x∈C için w(C)=w(x) bulunur. C x∈ ∃ ∴ için ≥ = − = = ( ) ) (C w x w w(x 0) d(x,0) min{d(x,y) x≠ y ,x,y∈C }=d(C) olduğu görülür. ) ( ) (C d C w ≥ ∴ dir.

) ( ) (C d C w = ∴ olur.

Yukarıdaki teoremden elemanlı lineer bir C kodunun minimum uzaklığını belirlemek için m ) 1 − m .( . 2 1 2⎟⎟_⎠= ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ m m

tane kıyaslama yapmak yerine tane kod sözcüğünün ağırlığına bakmak yeterli olacaktır sonucu elde edilir.

1 − m

2.1.5 Tanım : C lineer bir kod olsun. ‘nin tabanındaki tane elemanı kullanarak elde edilen tipindeki matrise C kodunun üretici matrisi

_ ] , [n k C k n k× denir ve G ile gösterilir. 2.1.3 Örnek : IF₂üzerindeki } ) 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 0 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 ( , ) 0 , 0 , 0 ( { =

C kodunun bir tabanı

} ) 1 , 0 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 ( { = S 2 IF

olduğu için matrisi C nin üretici matrisidir. C kodu üzerinde [ koddur.

3 2 1 0 1 1 1 0 × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = G _ ] 2 , 2 , 3 2.1.4 Örnek : , üzerinde

uzunluğunda bir ary kod olsun. Bu kodun bir tabanı

n q IF q q q C ={(0,0,...,0),(1,1,...,1),...,( −1, −1,..., −1)}⊆ _ q {(1,1,..., q IF ) 1 _ n S = } n G _×

olduğundan , üretici matrisi C =[11 ... 1]₁ olan bir [n,1,n]_koddur.

2.1.6 Tanım : n olmak üzere

q n n v v v v IF u u u u=( ₁, ₂,..., ), =( ₁, ₂,..., )∈ n _q q n q IF IF IF × ⎯⎯ →⎯⎯ ⋅ : (u,v)_au.v=u₁.v₁+...+u_n.v_n

biçiminde tanımlanan dönüşüme bir iç çarpım denir. u.v=0 ise u ve birbirine v diktir denir.

2.1.7 Tanım : C bir q_ary kod olsun. [ kn, ]_ } , 0 . {v IF u v u C C n q = ∀ ∈ ∈ =

⊥ _{kümesine C ‘nin duali denir.}

2.1.2 Teorem : C bir [ kn, ]_kod ve ,

n k n k k k n n g g g g g g g g g G × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ... . . . ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11

C kodunun üretici matrisi olsun. Bir n olsun. q n IF v v v v=( ₁, ₂,..., )∈ ⊥ ∈C

v olması için gerekli ve yeterli koşul olmasıdır. k k n n n G v v v_{1 2} ... ]_1× . Τ × =[0 0 ... 0 ]_1× [ Kanıt : n için q n IF v v v v= ∈ ∀ ⇒: ( ₁, ₂,..., ) ⊥ ∈ C

v olsun. Bu durumda her u∈ için C v.u=0 dır. ve olsun. n k n k k k n n g g g g g g g g g G × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ... . . . ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 k n kn n n k k g g g g g g g g g G × Τ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ ... . . . ... ... 2 1 2 22 12 1 21 11 dır. C

G , ’nin üretici matrisi olduğundan , ) ..., , , ( , ) ..., , , ( _{11 12 1 2 21 22 2} 1 g g g n u g g g n u = = ... ,u_k =(g_k1,g_k2,...,g_kn)∈C dir. 0 .u₁ = v ,v.u₂ =0,…,v.u_k =0 olduğundan

= × Τ ×_n n k n G v v v ... ] . [ _{1 2 1} [v₁v₂ ... v_n]_1×n . k n kn n n k g g g g g g × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ... . . . ... 2 1 2 22 12 =[v.u₁ v.u₂ ... v.u_k]_1×k =[0 0 ... 0]_1×k olur. : ⇐ n q n IF v v v v=( ₁, ₂,..., )∈ olmak üzere k k n n n G v v v_{1 2} ... ]_1× . Τ × =[ 00 ... 0]_1×

[ iken _{v∈ C}⊥ olduğunu gösterelim.

k k n n n G v v v_{1 2} ... ]_1× . Τ × =[ 00 ... 0]_1× [ olduğundan . ] ... [v₁v₂ v_{n 1×n} k n kn n n k k g g g g g g g g g × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ... . . . ... ... 2 1 2 22 12 1 21 11 k × =[0 0 .... 0]₁ dir. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + + + = + + + ⇒ 0 . ... . . . . . , 0 . ... . . , 0 . ... . . 2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 kn n k k n n n n g v g v g v g v g v g v g v g v g v (1)

dır. G , C kodunun üretici matrisi olduğundan heru∈ için C +

+

= ₁.(g₁₁,g₁₂,...,g_1n) ₂.(g₂₁,g₂₂,...,g_2n)

u λ λ ...+λ_k.(g_k1,g_k2,...,g_kn) olacak

biçimde λ₁,λ₂,...,λ_k ∈IF_q vardır.

Eşitliğin her iki tarafı v ile çarpıldığında

+ +

=( .( , ,..., ) .( , ,..., ) .v ₁ g₁₁ g₁₂ g_{1n 2} g₂₁ g₂₂ g_2n

=((λ₁.g₁₁,λ₁.g₁₂,...,λ₁.g_1n)+.(λ₂.g₂₁,λ₂.g₂₂,...,λ₂.g_2n)+...+ (λ_k.g_k1,λ_k.g_k2,...,λ_k.g_kn)).(v₁,v₂,...,v_n) ,..., . ... . . , . ... . . (λ₁ g₁₁+λ₂ g₂₁ + +λ_k g_k1 λ₁ g₁₂ +λ₂ g₂₂ + +λ_k g_k2 = λ₁.g_1n +λ₂.g_2n +...+λ_k.g_kn).(v₁,v₂,...,v_n) + + + + + + + + + =(λ₁.g₁₁ λ₂.g₂₁ ... λ_k.g_k1).v₁ (λ₁.g₁₂ λ₂.g₂₂ ... λ_k.g_k2).v₂ ... (λ₁.g_1n+λ₂.g_2n +...+λ_k.g_kn).v_n =λ₁.(v₁.g₁₁+v₂.g₁₂+...+v_n.g_1n)+λ₂.(v₁.g₂₁ +v₂.g₂₂ +...+v_n.g_2n)+...+ λ_k.(v₁.g_k1+v₂.g_k2 +...+v_n.g_kn) (1) kullanılarak =λ₁.0+λ₂.0+...+λ_k.0= 0 bulunur. ∴ _{v∈ C}⊥ _dir.

2.1.2 Önerme : üzerinde bir lineer kod ise de üzerinde bir

lineer koddur.( Hill , 1986 ) , C _ q IF [ kn, ]_ _C⊥ q IF ] , [n n−k

Not : C bir [ kn, ]_ kod olmak üzere ₍C⊥₎⊥ =C _dir.

2.1.5 Örnek : üzerinde bir lineer

kod olsun. C kodunun üretici matrisi dir. } ) 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 0 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 ( , ) 0 , 0 , 0 ( { = C ⎢ ⎣ ⎡ = G 2 IF 0 1 _ ] 2 , 3 [ 3 2 1 1 0 1 × ⎥ ⎦ ⎤ Her v=(v₁,v₂,v₃)∈C⊥ ise 2 1 2 3 3 1 3 2 1 [0 0 ] 1 0 1 1 0 1 . ] [ _× × × = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ v v v olacağından

0 ,

0 _{2 3}

2

1+v = v +v =

v bulunur. Buradan v₁ =v₂ =v₃ olur.

} ) 1 , 1 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 ( { =

∴ _C⊥ _{üzerinde lineer koddur.}

2

IF [3,1]_

2.1.8 Tanım : C bir [ kn, ]_ kod ise C⊥ ‘nin üretici matrisine parity-check matrisi denir ve H ile gösterilir. H , (n− )k ×n tipinde koşulunu sağlayan bir matristir.

0 ._HΤ = G

Bir C lineer [ kn, ]_kodunun parity-check matrisi H ise

[

...

]

. [0] } ) ,..., , ( { ( ) _{1( )} 1 2 1 2 1 n _n n n k n k n q n IF x x x H x x x x C = = ∈ _× Τ × − = _{× −}

biçiminde ifade edilir.

2.1.6 Örnek : üzerindeki bir kodunun parity-check matrisi şeklinde ise lineer kodu

2 IF 2 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ C 4 1 0 0 1 1 1 × ⎢ ⎣ ⎡ = H C

[

]

. [0 0] } ) , ( { = _{1 2 4} ∈ = x x x C ,x₃,x IF₂4 x₁ x₂ x₃ x_{4 1×4} HΤ4×2 = _1×2 biçiminde belirlenir.

[

_{x1 x2 x3 x4}

]

._HΤ =[ 00 ]

[

]

[ 00 ] 1 0 1 0 0 1 0 1 . 4 3 2 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ x x x x 0 , 0 _{3 4} 2 1+ = + = ⇒ x x x x dır. Buradan 4 2 } ) 0 , 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 , 0 ( , ) 1 , 1 , 1 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 , 0 ( { IF C = ⊆ olduğu görülür. Bu örnekte olduğundan görüleceğinden ⊥ = C C H parity-check matrisi C kodu için aynı zamanda bir üretici matristir.

2.1.7 Örnek : üzerindeki bir kodunun parity-check matrisi biçiminde ise lineer C kodu

2 IF 3 C 1 ] 1 1 1 [ _× = H

[

]

. [0] } ) , , ( { 31 ₁₁ 3 1 3 2 1 3 2 3 2 1 ∈ × Τ × = × = = x x x x IF x x x H C biçiminde belirlenir.

[

_{x1 x2 x3}

]

._HΤ =[ 0]

[

]

[0] 1 1 1 . 3 2 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ x x x 0 3 2 1+ + = ⇒ x x x dır. Buradan 3 2 } ) 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 ( { IF C = ⊆ olur.

2.2 Lineer Kodlarda Şifreleme

.2.1 Tanım : üzerinde üretici matrisli bir kod olsun. ‘nin tane

2 C, u q IF nda G ta _ ] , [ kn ekte k C _qk elemanı bulund ğu n C, _{q ne farklı mesajı iletm}k _{ullanılabilir. Mesajlar}

k q

IF kümesinin _{q tane elemanıyla tanımlanır. Her} k k q k IF u u u u=( ₁, ₂,..., )∈ olsun. ıdaki

Aşağ φ ve ϕ fonksiyonları yardımıyla mesaja eleman

aşağıdaki biçimde frelenir ;

karşılık gelen _u∈ k q IF ı şi ) ( : k _{1n q} q M IF IF ⎯⎯⎯⎯→ _× φ G u u u u u u u u =( ₁, ₂,..., _k)_aφ( )=[ _{1 2} ... _k]. . ] ... [u₁u₂ u_k = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n k k k n n g g g g g g g g ... . . . ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 g ] ... [x₁x₂ x_n = ve M : ϕ _1×n(IF_q)⎯⎯⎯⎯→C ) ,..., , ( ]) ... ([ ] ... [x₁x₂ x_{n a}ϕ x₁x₂ x_n = x₁ x₂ x_n nksiyonları yardımıyla ψ =ϕoφ

fo biçiminde tanımlanan fonksiyona da şifreleme

fonksiyonu adı verilir.

2.2.1 Örnek : bir 2-ary [7,4]_kod ve kodunun bir tabanı

ise kodunun üretici C 1 , 0 , 1 0 0 0 1 C 0 , 1 i } ) 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ( ), , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ( , ) 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ( ), , 0 , 0 , 0 , 1 ( { = S matrisi 7 4 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = G biçim ndedir. C

erilsi

( ) (u

Bir mesaja karşılık getirilen vektörü v n.

Bu elemanı 4 2 4 3 2 1, , , ) (u u u u IF u= ∈ u ) )(u oφ ϕ ψ = )) ( ( uφ ϕ = ) ] [ ( u₁ u₂ u₃ u₄ u₁+u₂ +u₃ u₂ +u₃ +u₄ u₁ +u₂ +u₄ =ϕ =(u₁,u₂,u₃,u₄,u₁+u₂ +u₃ ,u₂ +u₃+u₄, u₁ +u₂ +u₄) olarak şifrelenir. Özel olarak ;

Mesaja karşılık şifreleme sonucunda en vektör

getiril şifreleme bulunan kod sözcüğü

u =(0,0,0,0) ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ψ(0,0,0,0)=(0,0,0,0,0,0,0) u =(1,0,0,0) ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ψ(1,0,0,0)=(1,0,0,0,1,0,1) ) 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 , 1 ( ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = = ψ u biçiminde şifrelendiği görülür.

2.3 Lineer Kodlarda Dekodlama

.3.1 Tanım : kod sözcüğünün bir kanal boyunca iletildiğini ve

şeklinde alıcıya ulaştığını varsayalım .

2 Bir )x=(x₁,x₂,...,x_n ) ,..., , (y₁ y₂ y_n y= e= y−x=(e₁,e₂,...,e_n) y vektöründen x şeklinde tanımlanan vektöre hata vektörü denir. Şifre çözücü kod

nün meydana geldi ine karar ver elidir. Bu bölümde iki dekodlama yöntemi anlatılacaktır. Bunlardan biri 1960 yılında

ştirilen bir dekodlama yöntemidir. Lineer kodlarda uzunluğu büyük olan kodlar için de sendrom dekodlaması geliştirilmiştir.

i

(Lagrange)

bir kod olsun. Bu durumda;

er için

sözcüğünün iletildiğini yada ehata vektörü ğ m

Slepian tarafından lineer kodlar için geli

2.3.1 Teorem : C,IF üzerinde bir_q [ kn, ]_kod olmak üzere, her n q IF b

a, ∈ iç n a

~

b (mod C) ⇔ a−b∈C şeklinde tanımlanan ~ bir denklik bağıntısıdır. ( Hill ,1986 ) 2.3.2 Teorem : , C IF üzerinde_q [ kn, ]_ ) H (i n q IF

a∈ a∈u+C _{olacak biçimde en az bir} u₊C_∈ IFqn _{C vardır.} için n q F _{a+C =q}k ) (ii Her a∈I dır.

ki denklik sınıfı ya ayrıktır yada çakışıktır. ( Hill ,1986 )

2.3.1 Örnek : tici matri olan bir 2-ary [4,2] _ kod

olsun. Bu kod biçimindedir.

Bu koduna göre elemanlarının

ınıfları ; ) (iii İ C , üre si G =_⎢⎡ 1 0 1 1 ⎤ 4 2 1 0 1 0 ⎥_{⎦ ×} ⎣ } ) 0 , 1 , 1 , 1 ( , ) 1 , 0 , 1 , 0 ( , ) 1 , 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 , 0 ( { = C C 4 2 ) 0 , 1 , 0 , 0 ( , ) 0 , 0 , 1 , 0 ( , ) 0 , 0 , 0 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 , 0 ( ∈IF denklik s

) 0 , 0 , 0 , 0 ( + C ={(0,0,0,0),(1,0,1,1),(0,1,0,1),(1,1,1,0)} } ) 0 , 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 , 0 ( , ) 0 , 0 , , 0 0) {(1,0 , 0 , 1 ( + C = ( { ) 0 , 0 , 1 , 0 ( + C = 0,1,0,0),(1,1,1,1),(0,0,0,1),(1,0,1,0)} } ) 0 , 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 0 , 1 ( , ) 0 , 1 , 0 , 0 ( { ) 0 , 1 , 0 , 0 + C = dır. olduğu için ( C + ∈(0,1,0,0) ) 1 , 0 , 0 , 0 ( (0,0,0,1)+C C denklik sınıfı (0,1,0,0)+C sınıfıyla çakışır. Benzer şekilde (0,1,1,1)+C =(0,0,1,0)+ dir. Denklik s ilcileri olarak ağırlığı en küçük olan kod sözcükleri göz önüne alınır.

2.3.2 Tanım : Bir denklik sınıfının içinde en küçük ağ ığa sahip olan vektöre denklik sınıfının lideri

ınıfının tems

ırl

denir. Eğer en küçük ağırlığa sahip birden fazla eleman varsa herhangi iri denklik sınıfının lideri olarak seçilir. Örneğin ; (0,1,0,1)+C

b denklik sınıfının lideri

olarak (0,0,0,1) veya (0 ilir.

olmak üzere ’nin tüm elemanları yazılır.

.adım : Tabl nun b sahip vektörü

eçilir ’ nin elemanları ( ,0’ın altına ,1,0,0) alınab

Slepian’ın dekodlama metodu

C bir [ kn, ]_kod olmak üzere, n q

IF ’nin tüm elemanları kullanılarak _qn−k_tane satır _{q tane sütundan oluşan aşağıdaki tabloyu oluşturalım ;} k

I.adım : Birinci satıra 0 vektörü en başta C

II o irinci satırında olmayan minimum ağırlığa a₁

.a₁+C a₁ a₁ +x (x∈C)elemanlar ilgili ını x s

III.adım : Tablonun birinci ve ikinci satırında olmayan minimum ağırl a sahip bi Eleman ir ve a₂ +C’ nin elemanları (II. şekilde) üçüncü sat yazılır.

ığ r

ı seçil adımda oluğu ır olarak

V.adım : Bu şekilde tüm sınıflar listeleninceye kadar devam edilir. u tabloya Slepian ‘ın standart tablosu

2

a

I

B denir.

Bir vektörünün bir kodu yardımıyla şifrelenerek alıcıya vektörü

Tablo

C [ kn, ]_ y

x

olarak ulaştığını düşünelim. Öncelikle C koduna bağlı olarak Slepian ‘ın standart tablosu oluşturulur. da y vektörü bulunur. y vektörünün bulunduğu sütunun ilk satırındaki vektör aranan x vektörüdür. e hata vektörü olmak üzere x= y−e ilişkisi

ardır.

2.3.2 Örnek : 2.3.1 Örnek için kodu yardımıyla şifrelenmiş ve alıcıya aşmı

v

Bu yöntem Slepian ‘ın dekodlama yöntemi olarak adlandırılır.

4 2

IF C⊆

ul ş sözcük y =(1,1,1,1) olsun. Bunun hangi sözcükten şifrelendiğini belirleyelim. Öncelikle C koduna bağlı olarak Slepian ‘ın standart tablosu oluşturulur.

Sınıf Liderleri

(0,0,0,0) (1,0,1,1) (0,1,0,1) (1,1,1,0) (1,0,0,0) (0,0,1,1) (1,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,0) (1,1,1,1) (0,0,0,1) (1,0,1,0) (0,0,1,0) (1,0,0,1 ) (0,1,1,1) (1,1,0,0)

Bu tabloya göre alınan )y=(1,1,1,1 vektörü x= (1,0,1,1) kod sözcüğü olarak ekodlanmış olur. Burada hata vektörü e=(0,1,0,0) dır.

mesaja karşılı k an şi esaja karşılı elen vektör

alın fresi çözülen m

g kod sözcüğü kanal vektör sözcük gelen vektör (0,1) (0,1,0,1) (0,1,0,1) ( (0,1,0,1)

(0,1) (0,1,0,1) (0,1,0,1

0,0,0,1) (0,1)

) (0,1,0,0) (0,0,0,0) a

a=(0,0)≠(0,1) olduğundan şifre çözülemez.

Burada kod sözcüğünün ilk üç bileşenin herhangi bir yerinde hata meydana

Sendrom dekodlaması

3.3 Tanım : üzerinde bir kod ve kodunun parity-check

atrisi olsun.

olmak üzere şeklinde den ye tanımlanan bir dönüşüm verilsin. nin sendromu

gelmişse tek bir hata düzeltecektir. Eğer 4. bileşende hata meydana gelirse hata düzeltilemeyecektir. 2. C , IF_q [n,k,d]_ H ,C m ) ( : n _{1n k q} q M IF IF w ⎯⎯⎯⎯→ × − ) ( 1 2 1 2 1, ,..., ) ( ) [ ... ] . (y y y_n w y y y y_{n n} HTn n k y = a = _× × − ) ( 1 2 1 ... ] [b b b_{n−k ×n−k} = ve ı n k q q k n IF IF M w : _{1×( − )}( )⎯⎯⎯⎯→ − ) ( 1 2 1 ... ] [b b b_{n−k ×n−k w}ı([_{b b2} ..._{bn k}]) (_b1,_b2,...,_{bn k}) − − = a 1 ı w w s= _o n q IF n k q IF −

Not : )(i , 11 h h ,..., ), ( , , ., ),..., ( , ,..., ) ( _{12 1 2 21 22 2 ( )1 ( )2 ( )} 1 hn h h h h n hn k hn k hn k hn kn h = = .. ₋ = _{− − −} ve pa ck ma H ⎢ ⎢ .

rity-che trisi olmak üzere

şeklinde de ifade edilir.

dir.

2.3.1 Önerme : ve aynı denklik sınıfına ait iki vektör olması için gerek ve yeter ır.

Kanıt : ve aynı denklik sınıfına ait iki vektör olsun. Bu durumda n k n n k n k n k n n n h h h h h h h h × − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 12 11 .... . . ... ... h _⎥ ⎢ ⎢ 21 22 ) , ... , , (yh yh₂ yh_n−k ) (y ₁ s = ) (ii s(y)=0 ⇔ y∈C u v koşul )s(u)=s(v olmasıd u v u+C =v+C dir. C v C u+ = + ⇔ u+c₁ =v+c₂ , ∃c₁,c₂∈C

⇔ u−v=c₂ −c₁ , ∃c₁,c₂ ∈C ⇔ u−v∈C ⇔ s(u−v)=0 0 ) ) ( , ... , ) ( , ) (( − ₁ − ₂ − = ⇔ u v h u v h u v h_n−k ⇔(uh₁ −vh₁,uh₂ −vh₂,...,uh_n−k −vh_n−k)=0 ⇔(uh₁,uh₂,...,uh_n−k)−(vh₁,vh₂,...,vh_n−k)=0 ) , ... , , ( ) , ... , , (uh₁ uh₂ uh_n−k = vh₁ vh₂ vh_n−k ⇔ ) ( ) (u s v s = ⇔

2.3.2 Önerme : Denklik sınıflar le sendromlar arasında bire bir karşılık vardır. ı i ( Hill ,1986 )

2.3.3 Örnek : C , IF₂ üzerinde tanımlı bir kod olsun. kodunun üretici matrsi C veriliyor. Bu durumda parity-check matrisi

olur.

}

kodu için Slepian’ın standart tablosu

_ ] 2 , 4 [ 4 2 1 0 1 0 1 1 × ⎥ ⎦ ⎤ 1 0 1 1 0 1 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎡ = 0 1 ⎢ ⎡ = G ⎣ H 4 2× ⎣

{

(0,0,0,0), = C (1,0,1,1),(0,1,0,1),(1,1,1,0) (0,0,0,0) (1,0,1,1) (0,1,0,1) (1,1,1,0) (1,0,0,0) (0,0,1,1) ,(11,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,0) (1,1,1,1) (0,0,0,1) (1,0,1,0) (0,0,1,0) (1,0,0,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) biçimindedir.

u tabloda tüm vektörlerin sendromları

B ) 0 , )( )) 0 , 0 , 0 , wı w o =( 0,0,0 0 (( s ₌wı(w(0,_0,0,0)) ₌wı([00 ₀₀]._HT) ) 0 1 1 0 1 1 ]. 0 0 0 0 ([ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ı w = 1 0 _⎦ ⎣ ]) 0 0 ([ ı w = =(0,0), ) 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 1 , 0 ( ) 1 , 1 , 0 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 , 0 ( =s =s =s = s , ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 , 0 ( ) 1 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 0 , 0 ( , ) 0 , 0 , 0 , 1 ( = s s =s =s = , ) 1 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 1 , 1 , 1 ( = s = = s ) 0 , 0 , 1 , 0 ( = s s , ) 0 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 1 , 0 , 0 ( =s =s =s = s dir.

standart tablo çözümü için bilgisayar programı kullanıldığında sadece iki sütuna ihtiyaç duyulur. Bilgisayara tüm tablo verilerini girmek yerine sınıf liderlerini ve bunlara ait sendromları girmemiz yeterli olacaktır. Bu tabloya sendrom arama tablosu

Eğer

Bir adı verilir.

vektörünün bir C [ kn, ]_kod yardım yla şifrelenerek alıcıya y

x ı vektörü

olarak ulaştığını düşünelim. Dekodlama için;

I. Adım : Denklik sınıfı liderlerinin sendromları hesaplanır.

I. Adım : Alınan

I y vektörü için hesaplanır.

II. Adım : alınır. Sendrom arama tablosunda nin bulunduğu satırda

) ( y s

I z =s( y) z

z karşılık gelen denklik sınıfı lideri f(z) vektörü belirlenir.

IV. Adım : Aranan kod sözcüğü )y− f(z olur.

2.3.4 Örnek : 2.3.3 Örnek için kodu yardımıyla şifrelenmiş ve alıcıya ulaşmı

rını hesaplayıp sendrom arama tablosunu oluştur ım. 4 2 IF C⊆

ş sözcük y =(1,1,1,1) olsun. Bunun hangi sözcükten şifrelendiğini belirleyelim. Öncelikle denklik sınıfı liderlerinin sendromla

al

Sendrom arama tablosu : denklik sınıfı sendrom z liderleri (f z) ⎯→ 0 , 0 ( )⎯ (0,0,0,0) (1,1)⎯⎯→ (1,0,0,0) (0,1)⎯⎯→ (0,1,0, 0) (1,0)⎯⎯→ (0,0,1,0)

Daha sonra alınan )y=(1,1,1,1 vektö nün sendromunu hesaplayalım. rü arama tablosunda s((1,1,1,1))₌(wı _w)(1,1,1,1) o =wı_(w(1,1,1,1)) _=wı_([1111]._HT) ) 1 0 0 1 1 0 1 ]. 1 1 1 1 ([ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =_wı 1 ]) 1 0 ([ ı w = =(0,1) ) 1 , 0 ( ) (y = s

Sendrom ‘ e karşılık gelen denklik sınıfı lideri

(0,1,0,0) dir. Buradan bulunan kod sözcüğü (1,1,1,1)-(0,1,0,0)=(1,0,1,1) olur.

ısına bağlı olarak Slepian’ın dekodlama yöntemi ya da sendrom dekodlama yöntemi kullanılır. Kod sözcüğünün uzunluğu küçük ise Slepian ‘ın standart

ılarak dekodlama yapm uygundur. Kod sözcüğünün uzunluğu büyük ise Sendrom dekodlaması kullanmak daha uygundur.

= ) (z f Kodun yap tablosu kullan ak

2.4 Cyclic Kodlar

.4.1 Tanım : C, n ‘in bir alt kümesi olsun. Eğer her q

IF c=(c₀,c₁,...,c_n−1)∈C

2

iken (c_n−1,c₀,...,c_n−2)∈C oluyorsa kümesine cyclic kümeC denir.

lineer kod olmak üzere cyclic bir küme ise ’ ye cyclic kodC C C denir.

.4.1 Örnek :

,

,

ve eleri cyclic küm men lineer kod

üzerinde , 2 3 2 1 {(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)} IF C = ⊆ 4 3 } ) 0 , 2 , 1 , 1 ( , ) 1 , 0 , 2 , 1 ( , ) ⊆IF 2 {(0,1,1,2),(2,0,1,1 C = 5 2 3 {(1,1,1,1,1)} IF C = ⊆ kodları veriliyor. 1

C cyclic bir koddur. C₂ C₃ küm e olmalarına rağ olmadıkları için cyclic kod değildir.

2.4.1 Teorem : IF_q

[ ]

> − < ⎯→ ⎯ 1 : n q _n q _x x IF IF π lineer dönüşümü verilsi

esinin cyclic kod olması için gerekli ve yeterli koşul > − < + + + + = = − − − ) ( ) ... 1 ,..., , ( 1 1 1 0 1 1 0 n n n n a a a x a x x a a a a _aπ n. n IF C⊆ _q alt küm ) (C π ⊆

[ ]

_{< − >} 1 n q x x IF

‘ nin bir ideali olmasıdır. Ling , 2004 )

2.4.2 Örnek :

üzerinde cyclic kodunu ele alalım. Bu durumda

3 2 } ) 0 , 1 , 1 ( , ) 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 ( { IF C = ⊆ 2 IF

[ ]

> − < ⎯→ ⎯ 1 :IF23 IF2 x _x3 π olduğu için ⊆ + + + ={0,1 ,1 , } ) (_{C x x}2 _{x x}2 π

[ ]

_{< − >} 1 3 2 x x

IF _{idealdir. π(C) aynı zamanda}

ir esas idealdir. π(C) =<1+x> dir. Gerçektende b ) 1 ( . ) 1 ( 0 ) 1 ( . _{+x = = +x +x+x}2 0 ) ( . ) 1 ( 1 ) 1 ( . _{+x = +x= +x x+x}2 1 ) 1 ( . ) 1 ( 2 2_{= +x +x} ) 1 ( . x x x x + = + . 2 x (1_+x)₌1_+x2₌(1_+x).(1_+x)

[ ]

_. 2 _} 2 x a IF a _i∈ . { 1 0 1 2 3 2 _{a a x} x x IF _{= + +} > − < ₌{0,1,1_+x,1_+x2,_x,_x2,1_+x+x2,_x+x2_} } 1 1 ( { 1+ >= + 2 _< 3 _{− >} < x x x ).f(x) f(x)∈IF [x] 2.4.3 Örnek :

[ ]

_{< − >} 1 4 2 x x IF ⊆ + + + + + ={0,1 _x2, _x2,1 _{x x}2 _x3} I x idealine

karşılık gelen cyclic kod π(C)=I sağlayan kodu ir. 2.4.2 Tanım : C } ) 1 , 1 , 1 ( , ) 1 , 0 , 1 , 0 ( , ) 0 , 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 0 , 0 , 0 ( { ,1 d R bir halka, R ∈

λ ,_C⊆Rn _{lineer kod olmak üzere ν : R}n _{⎯⎯→ R}n ) ,..., , . ( ) ,..., , ( ) ,..., , (c₀ c₁ c_{n−1 a}ν c₀ c₁ c_n−1 = λc_n−1 c₀ c_n−2

zel olarak olması durumunda

Ö λ =−1

C C

v( )= oluyorsa C koduna R üzerinde bir negacyclic kod denir.

Önerme : lineer kod olsun. ’nin bir cyclic kod olması için gerekli ve

eterli koşul _C⊆Rn C : σ C 2.4.1 C ⎯→ ⎯ y (c₀,c₁,...,c_n−1)_aσ(c₀,c₁,...,c_n−1)=(c_n−1,c₀,...,c_n−2) biçiminde tanımlanan dönüşümün bir otomorfizma olmasıdır.

anıt: ⇒ : C ,n_ uzunluğunda bir cyclic kod olsun.

K C → C⎯⎯ : σ ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) _{− −} − ,..., , (c₀ c₁ c_{n 1 a}σ c₀ c₁ c_n−1 = c_{n 1} c₀ c_{n 2} σ ‘nın 1-1 olduğu terelim. c c c _n nu gös C d d d _n ∈ ∀( ₀, ₁,..., ₋₁),( ₀, ₁,..., ₋₁) için σ(c₀,c₁,...,c_n−1)=σ(d₀,d₁,...,d_n−1) olsun. ,..., , (c₀ c₁ c_n−1)=σ(d₀,d₁,...,d_n−1) ( −₁, ₀,..., −₂) ( −₁, ,..., −₂) σ ⇒ c_n c c_n = d_n d₀ d_n 1 1 1 0 1 0 = , = ,..., − = − ⇒ c d c d c_n d_n ⇒ (c₀,c₁,...,c_n−1)= (d₀,d₁,...,d_n−1) olur. ∴ σ 1-1 dir.

σ ‘ nın örten olduğunu gösterelim. alalım C b b b _n ∈ ∀( ₀, ₁,..., ₋₁) b₀ =c_n−1, ₁ = ₀,...,b_n−1=c_n−2 ) 1 − n c b alınırsa ,..., 1 b b , ( ) ,..., , (c₀ c₁ c_n−1 = b₀

σ sağlayan ∃(c₀,c₁,...,c_n−1)∈C bulunmuş olur. ∴ σ örten dir.

σ ‘nın homomorfizma olduğunu gösterelim. C d d d c c c _{n n} ∈ ∀ ) ) ( ) ,..., , ( ( _{0 1 −1 −1} − − ),( , ,..., ) ,..., , ( _{0 1 1 0 1 1} için ) ,..., , ( _{0 0 1 1} ,..., , _{1 1 1} 0 = + + − + − + _n n d d c c c d σ c d c d c_n d_n σ =c_n−1 +d_n−1,c₀ +d₀,c₁+d₁,...,c_n−2 +d_n−2) ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( _{−1 0 1 −2} + _{−1 0 1 −2} = c_n c c c_n d_n d d d_n =σ(c₀,c₁,...,c_n−1)+σ(d₀,d₁,...,d_n−1) sağlanır. yrıca ∀a∈R , ∀(c₀,c₁,...,c_n−1)∈C için A = = ₋ − )) ( . , . ,..., . ) ,..., , .( (a c₀ c₁ c_{n 1} σ ac₀ ac₁ ac_{n 1} σ (a.c_n−1,a.c₀,a.c₁,...,a.c_n−2) = a.(c_n−1,c₀,c₁,...,c_n−2) =a.σ(c₀,c₁,...,c_n−1) dır. σ

∴ bir homomorfizmadır. ∴σ bir otomorfizmadır.

:

⇐ (c₀,c₁,...,c_{n 1−} )∈Ciken σ(c₀,c₁,...,c_n−1)=(c_n−1,c₀,...,c_n−2)∈C olduğundan

lineer kod olsun. ’nin bir Cbir cyclic kod olur.

2.4.2 Önerme : _C⊆Rn C _{λ cyclic kod olması için gerekli −}

ve yeterli koşul C C⎯⎯→ : ν ) ,..., , . ( ) ,..., , ( ) ,..., , (c₀ c₁ c_{n−1 a}ν c₀ c₁ c_n−1 = λc_n−1 c₀ c_n−2 biçiminde tanımlanan dönüşümün bir otomorfizma olmasıdır.

BELİRLİ HALKALAR ÜZERİNDEKİ KODLAR

Bu kısımda ve

halkaları üzerindeki cyclic , constacyclic , quasi-cyclic kodlar ve ilişkileri incelenecektir.

.1

Halkası üzerindeki kodlar

k k _p p uIF IF + k k k k _pk m p p p p uIF u IF u IF u IF IF + + 2 + 3 +...+

3

IF_pk +uIF_pk asal , k∈IN olsun. p

[ ]

_{

_}

k p > 0 1 0 1 2 k p _{a ua u a a IF} u u IF ∈ > < + + = < 2 , halkası için olması durumunda ; 0 2₌ u

{

a₀+ua₁+0. ,a₁∈IF_pk , b∈IF_pk[u]

}

={a₀ +ua₁} 0 ₀ 1 0 ua b a a + +< > = olacağından

[ ]

= > <_u2 u IF k

{

}

k p IF a a a u a₀+ ₁} ₀, ₁∈ { = bulunur ve p k k _p p uIF IF R = +

{

a₀+ua₁ a₀,a₁∈IF_pk

}

de bir halkadır. durum

[ ]

> < ⎯ ⎯ → ⎯ + 2 : u u IF IF u f _pk Bu da IF k k p p a₀+ua_1a f(a₀+ua₁)={a₀+ua ₁} k k _p p uIF IF + :=

[ ]

_{< u}2_> u IF_pk dönüşümü bir izomorfizmadır. Bu durumda

3.1.1 Önerme : ⎯⎯→

[ ]

_{< − >} 1 :Rn R x _xn π dönüşümü verilsin. > − < + + + + = − − −1) ( ) 0 1 ... 1 1 1 n n n n aπ c c c x c x x c=(c₀,c₁,...,c )

(i C ⊆ _{R ‘ nin bir cyclic kod olma}n _{sı için gerekli ve yeterli koşul π(C)’nin}

[ ]

> 1 x

R

− ının bir ideali olmasıdır. C

<_xn halkas )

(ii ⊆ _{R ‘ nin bir} n _{(1− )u −constacyclic kod olması için gerekli ve yeterli} oşul π(C)’nin

[ ]

> − −(1 u) < x x

n halkasının bir ideali olmasıdır.

cyclic bir kod olsun. R k Kanıt ( i ) : C R C n _, : ≠ ⊆ ⇒ φ

[ ]

> − < ⊆ 1 n x x R } ) ,..., , ( 1 ... { ) ( 1 _{0 1 1} 1 1 0 a x a x x a a a C a C n n _n n +< − > ∈ + + + − ₋ − = π kümesinin

[ ]

> −1 n x

R _{halkasının bir ideali olduğunu gösterelim.} nda bir lineer kod olduğundan

< x uzunluğu C _n (0,0,...,0)∈C olduğundan olur. ) 0 ,..., _)=<xn _−1>∈π(C 0 , 0 ( π ∴ π(C)≠∅ dir. ,

’nin lineer kod oldu

olduğu görülür. ) ( 1 ... 1 1 1 0 a x a x x C a a n n n +< − >∈π + + + = ∀ − − ) ( 1 ... 1 1 1 0 b x b x x C b n n n +< − >∈π + + + = − − için ) i ( b ∀ C ğu kullanılarak ) 1 ... ( ) 1 ... ( 1 1 1 0 1 1 1 0 + + + +< − > − + + + +< − > = − − − − − n n n n n n x x b b x b x x a x a a b a ) ( 1 ) ( ... ) ( ) ( 1 1 1 1 1 0 0 b a b x a b x x C a b a n n n n − +< − >∈π + + − + − = − − − −

) ∀ (ii ... 1 1 ( ), 1 1 0 a x a x x C a a n n n +< − >∈π + + + = − − ∈ > − < + + + + = ∀ − − 1 ... 1 1 1 0 n n n x x f x f f f

[ ]

_{< − >} 1 n x x R _için

‘nin cyclic kod olduğunu kullanarak;

C . f a ( ... 1 ).( ... 1 1 ) 1 1 0 1 1 1 0 + + + +< − > + + + +< − > = − − − − n n n n n n x x f f x f x x a x a a > − < + + + + + + + = − − − − ).( ... ) 1 ... ( 1 1 1 0 1 1 1 0 n n n n n x f f x f x x a x a a + + + + + + + + = − − − − ). ( ... ) ... ... .( 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 a a x an xn f x a a x an xn f > − < + + + + − − − −1 n 1( 0 1 ... n 1 n 1) n 1 n x a a x a x x f + + + + + + + + = − − − − − ). ( .... ) ... ... .( 1 2 0 1 1 1 1 1 0 0 a a x an xn f an a x an xn f > − < + + + + + − − − − ( ... 0 1) 1 2 1 2 1 1 n n n n n a a x a x a x x f ∈π(C) olduğu görülür.

[ ]

> − < _xn 1 x R , ) (C π

∴ halkasının bir idealidir.

: ⇐ π(C) ,

[ ]

> − <_xn 1 x

R _{’in ideali olsun.}

⊆ ) (C π

[ ]

> − < _xn 1 x R _{⇒ C ≠∅ ,C ⊆ R}n , ) (C ≠∅ olur. ∴π d c

∀ , ∈C , ∀α,β∈R için αc+βd∈C old unu gösterelim.

) uğ ⇒ ∈C d c, π(c),π(d)∈π(C ) ( ) ( ) (c βπ d π C π α + ∈ ⇒ , ∀α,β∈R için = + ⇒απ (c) βπ(d) π(αc+βd)∈π(C) ⇒ αc+βd∈C ∴C lineer koddur.

alalım C c c c _n ∈ ∀( ₀, ₁,..., ₋₁) , ) (C π

[ ]

> − < _xn 1 x

R _{’in ideali olduğundan}

[ ]

_{− >} , ) ( 1 ... 1 1 1 0 c x c x x C c n n n +< − >∈π + + − − + +< − >∈ _< 1 1 n n x x R x x için dir. ) 1 ... )( 1 1 1 1 0 + + + +< − > > − − − n n n n _{c c x c x x} (x+ x< ) ( 1 ... 1 2 0x c x x C n n n +< − >∈π + + − − 1 c c_n + = ₋ C c c c _n ∈ ⇒ (c_n−1, ₀, ₁,..., ₋₂) ∴C bir cyclic koddur.

undan sonraki kısımda önce p=2 ,k =1

B durumunda çalışılacaktır.

h

üzerinde (

2

2 uIF

IF +

alkası

1+u

)-constacyclic kodlar ,

cyclic

i ilişki

3.1.1 Tanım : halkası üzerinde uzunluğunda bir kod olsun.

kod sözcüğünün Lee ağırlı ı

kodlar ve aralarındak

C, R=IF₂ +uIF₂ _n C c c c c=( ₀, ₁,..., _n−1)∈ ğ , w_L(0)=0 ) ( _i L c biçim , ,

olmak üzere, i anır.

in 1 ) 1 ( = L w nde tanıml 1 ) 1 ( + u = w_L , w_L(u)=2

∑

− = = 1 0 ) ( n i L c w w Her _{c,d ∈R}n _{iç d (c,d) w (c d)} L

L = − biçinde tanımlanan fonksiyonuna ee uzaklı

L d L ğı denir. Bir _C⊆Rn _{kodunun minimum Lee uzaklığı,}

C c c w C

d_L( ))= min{ _L( ) ∈ \{0}} biçiminde tanımlanır.

3.1.2 Tanım : _C⊆IF2n _{lineer kod olsun.} σ : _IF n _IF2n 2 2 2 ⎯⎯ →⎯ ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , (a₀ a₁ a_{2n−1 a}σ a₀ a₁ a_2n−1 = a_2n−1 a₀ a_2n−2