T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
SOFT TOPOLOJĠK UZAYLARDA SOFT AÇIK KÜMELERĠN BĠR MODĠFĠKASYONU
ÜZERĠNE Yunus YUMAK YÜKSEK LĠSANS Matematik Ana Bilim Dalı
Ocak-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır
TEZ BĠLDĠRĠMĠ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.
Yunus YUMAK Tarih: 22.01.2014
iv
ÖZET YÜKSEK LĠSANS
SOFT TOPOLOJĠK UZAYLARDA SOFT AÇIK KÜMELERĠN BĠR MODĠFĠKASYONU ÜZERĠNE
Yunus YUMAK
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI 2014, 50 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI Prof. Dr. EĢref HATIR
Doç. Dr. AyĢe Dilek MADEN
Bu tezin ilk bölümünde; soft küme ve soft topoloji hakkında literatürde yer alan ve özellikle bizim çalışmalarımızda faydalı olacak kavramlar ele alındı ve bunların daha iyi anlaşılması için çeşitli örnekler verildi. Daha sonra tezimizin temel konusu olan soft beta açık kümeler kavramı verilip, bu kavramla diğer soft küme türleri arasındaki ilişkiler incelendi.
İkinci bölümde ise; soft beta-sürekli fonksiyonlar ve soft beta-irresolute fonksiyonlar kavramları tanıtıldı ve soft beta-sürekli fonksiyonun, diğer soft süreklilik çeşitleriyle olan ilişkileri verildi. Ayrıca; soft beta-homeomorfizm ve soft beta irresolute-homeomorfizm kavramları tanımlanıp, aynı soft topolojik uzaylar arasında tanımlanan, tüm soft beta irresolute-homeomorfizmlerin kümesinin, fonksiyonların bileşke işlemi altında bir grup oluşturduğu elde edildi.
Anahtar Kelimeler: Soft Beta Açık Küme, Soft Beta İç, Soft Beta Kapanış, Soft Beta
v
ABSTRACT MS THESIS
ON A MODIFICATION OF SOFT OPEN SETS IN SOFT TOPOLOGICAL SPACES
Yunus YUMAK
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI 2014, 50 Pages
Jury
Advisor Assoc. Prof. Dr. Aynur KESKĠN KAYMAKCI Prof. Dr. EĢref HATIR
Assoc. Prof. Dr. AyĢe Dilek MADEN
In the first part of this thesis, the concepts that will help us on soft sets and soft topology which are given in the literature were shown and especially the concepts that will be useful in our studies were shown and also several examples are given for better understanding. Then the concept of soft beta open sets which is the basis subject of our thesis was given and the relationship between this concept and the other types of soft set were examined.
In the second part, the concepts of soft beta-continuous functions and soft beta- irresolute functions were introduced and the relationships of soft beta-continuous functions with other types of soft continuity were given. Also the concepts of soft beta-homeomorphisms and soft beta homeomorphisms were defined and it was obtained that the set of all the soft beta irresolute-homeomorphisms which is defined between the same soft topological spaces construct a group under the operation of the combinations of functions.
Keywords: Soft Beta Closure, Soft Beta Countinuity, Soft Beta Interior, Soft Beta Open Set, Soft Set.
vi
ÖNSÖZ
"Soft Topolojik Uzaylarda Soft Açık Kümelerin Bir Modifikasyonu Üzerine" isimli bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı öğretim üyesi Doç. Dr. Aynur KESKİN KAYMAKCI yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak hazırlanmıştır.
Yapılan tüm çalışmalarda, bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen sayın hocam Doç. Dr. Aynur KESKİN KAYMAKCI’ya saygı ve şükranlarımı sunarım. Hayatımın her devresinde emeklerini benden esirgemeyen aileme ve çalışmalarım esnasında göstermiş oldukları sabırdan dolayı da, çocuklarıma ve eşim Neslihan YUMAK’a sevgilerimi sunarım.
Yüksek Lisans öğrenimim boyunca; gerek sarf malzeme, gerekse seyahat harcamaları konusunda resmi süreçleri titizlikle takip eden ve her türlü maddi desteği sağlayan Selçuk Üniversitesi ÖYP Kurum Koordinatörlüğü personeline teşekkür ederim.
Yunus YUMAK KONYA-2014
vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR ... viii
1. GĠRĠġ ... 1
1.1. Amaç ve Kapsam ... 2
1.2. Kaynak Araştırması ... 2
2. SOFT KÜME TEORĠSĠ ... 7
2.1. Soft Kümeler ... 7
2.2. Soft Topoloji ve Soft Topolojik Uzaylar ... 17
3. SOFT 𝛽-KÜMELER ... 26
3.1. Soft 𝛽-Açık Kümeler ve Soft 𝛽-Kapalı Kümeler ... 26
4. SOFT 𝛽-SÜREKLĠ DÖNÜġÜMLER ... 32
4.1. Soft 𝛽-Süreklilik ... 32 5. SONUÇ VE ÖNERĠLER... 39 5.1. Sonuçlar ... 39 5.2. Öneriler ... 39 KAYNAKLAR ... 40 ÖZGEÇMĠġ ... 42
viii SĠMGELER VE KISALTMALAR Simgeler
c
P(U) : U'nun güç kümesi, : Soft alt küme, : Soft birleşim, : Soft kesişim, F, A : F, A soft kümesinin
VF, E F, E nin V üzerindeki bir soft alt kümesi, F, E ' = F', E F, E nin röl
tümleyeni, :
:
: Null soft küme, : A atif tü bsolute mle so yeni, Ã ft küm
o – e, : "veya" işlemi, : "ve" işlemi, F, E F, E nin s : Soft küme oft içi, F, E F, E nin so nin değili, : : f t kapanışı, Kısaltmalar
S SS.O X : X,τ, E tüm soft açık kümelerin kümesi, S.C X : X,τ, E tüm soft kapalı kümelerin kümesi, S -O X : X,τ, E tüm soft semi-açık kümeleri
deki dek n kümesi, i dek S i -C
α αX : X,τ, E tüm soft semi-kapalı kümelerin kümesi, S -O X : X,τ, E tüm soft alfa-açık kümelerin kümesi, S -C X : X,τ, E tüm soft alfa-kapa de lı ki küm dek ele i deki rin k
P P β ümesi, S -O X : X,τ, E tüm soft pre-açık kümelerin kümesi, S -C X : X,τ, E tüm soft pre-kapalı kümelerin kümesi, S -O X : X,τ, E tüm soft deki beta-de aç ki deki ık küm
β β elerin kümesi, S -C X : X,τ, E tüm soft beta-kapalı kümelerin kümesi, S-h X,τ, E : X,τ, E tüm soft homeomorfizmaların kümesi,S -h X,τ, E : X,τ, E tüm so deki ft bet deki a-ho ( ) deki meomor
βr fizmaların kümesi,1. GĠRĠġ
Gerçek dünya, bizim çabuk ve doğrudan anlayacağımız kadar basit değildir. Bu yüzden biz, gerçek dünyanın bu karmaşasını basitleştirmek için bazı matematiksel modeller yapıyoruz. Ancak, böylesi matematiksel modeller de tam olarak çözümleri bulmada yeterli olmamaktadır. Mühendislik, fizik, bilgisayar bilimleri, ekonomi, sosyal bilimler, sağlık bilimleri ve diğer farklı alanlarda modeller yaparken, verilerin belirsizliği geleneksel metotlarla sonuca ulaşmamızı engelliyor. Bu, çevresel olguların belirsizliği, gerçek dünya hakkında insanoğlunun sahip olduğu bilgilerin yetersizliği veya nesneleri ölçmek için kullanılan araçların sınırlı olmasından kaynaklanabilir. Örneğin; ülkeler arasındaki sınır belirsizliklerinde ya da bir ülkenin kırsal bölgelerindeki nüfusun gerçek büyüme oranlarındaki belirsizliklerde, kesin durumlar için kullanışlı olan klasik küme teorisini kullanmak uygun olmayabilir.
Matematikte; olasılık teorisi, rough küme teorisi, vague küme teorisi ve fuzzy küme teorisi gibi, belirsizliklerle ilgilenen teoriler mevcuttur. Fakat bu teoriler de, bazı zorluklara sahiptirler. Molodtsov, mevcut zorluklardan kurtulmak için soft küme teorisini, belirsizliklerle uğraşan yeni bir matematiksel araç olarak ortaya çıkarmıştır. Ayrıca; Molodsov, bu konuyla ilgili ilk çalışmalarında bu yeni teorinin temel sonuçlarını sunmuş ve soft küme teorinin, olasılık teorisi, Perron-integrali, Riemann-integrali ve Game teori gibi bazı teorilerdeki uygulamalar için zengin bir potansiyele sahip olduğunu göstermiştir. Soft sistemler, parametrelerle ilişkisi olan çok yeni bir yapı taşı özelliği sunmaktadır. Bu yüzden çeşitli sahalarda soft küme teori çalışmaları ve onun uygulamaları hızlı bir şekilde artmaktadır.
Maji ve arkadaşları (Maji ve ark., 2003) karar verme problemlerinde soft kümelerin bir uygulamasını sundular. Pei ve Miao (Pie, Miao, 2005) soft kümelerin özel bilgi sistemlerinin bir sınıfı olduğunu gösterdiler. Zou ve Xiao (Zou, Xiao, 2008) soft veri analizi yaklaşımını tartıştılar. Cebirsel yapılarda soft küme teorisinin uygulamaları Aktaş ve Çağman (Aktaş, Çağman, 2007) tarafından sunuldu. Onlar soft grup kavramını
tartıştılar ve bazı temel özelliklerini ortaya koydular. Feng ve arkadaşları (Feng ve ark., 2008) soft semihalka, soft idealler ve ideal soft semihalkalar üzerine
çalıştılar. Ali ve arkadaşları (Ali ve ark., 2009) ve Shabir ve İrfan Ali (Shabir, Ali, 2009) bir semigrup üzerindeki soft semigrupları ve soft idealleri çalıştılar.
Shabir ve Naz (Shabir, Naz, 2011) bir başlangıç kümesi ile bir sabit parametre kümesi üzerinde tanımlı olan soft topoloji kavramını sundular ve bu soft topolojik uzayın bazı temel özelliklerini çalıştılar.
1.1. Amaç ve Kapsam
Genel topolojik uzaylardan daha genel olan soft topolojik uzaylar incelenip, bu uzaylarda tanımlanan soft açık küme kavramından daha zayıf olan yeni bir soft açık küme kavramı tanıtılarak bazı özellikleri incelenecektir. Ayrıca; bu küme çeşidi kullanılarak, soft topolojik uzaylar için bir süreklilik çeşidi tanıtılacak ve özellikleri ele alınacaktır. Amaç, kabaca genelleştirme olarak ifade edilebilir.
Literatürdeki beta-açık küme kavramının genelleştirilmiş çeşidi olan soft beta-açık küme kavramı tanıtılarak, bu kavram ve ilgili kavramı esas alan süreklilik çeşitleri ile homeomorfizmler ele alınacaktır.
1.2. Kaynak AraĢtırması
Çalışmanın bu kısmında, birçok matematikçi tarafından çalışılan, soft küme teorisi ve soft topolojik uzaylar hakkında literatürde yapılmış olan çalışmalardan bahsedilecektir.
(Mashhour ve ark., 1982), “On precontinuous and weak precontinuous” isimli
çalışmada; topolojik uzaylarda pre-süreklilik, zayıf pre-süreklilik, pre-açık ve zayıf pre-açık fonksiyon kavramları tanıtılmıştır. Bunların, Hussain anlamında hemen hemen süreklilik, Singal anlamında hemen hemen süreklilik ve Wilansky anlamında hemen hemen açık gibi, diğer var olan kavramlarla bağlantıları araştırılmıştır.
(El-Deeb ve ark., 1983), “On p-regular spaces” isimli çalışmada; p-regüler
olarak adlandırılan regülerliğin zayıf bir çeşidi tanıtılmış ve aşağıdaki 3 özellik elde edilmiştir.
1-) Bir p-regüler uzayın her α-kümesi, bir alt uzay olarak p-regülerdir. 2-) p-regüler uzayların çarpım uzayları, p-regülerdir.
3-) f : X → Y kompakt nokta tersleri ile sürekli pre-kapalı örten bir fonksiyon olsun. Eğer X, regüler uzay ise Y, p-regülerdir.
(Mashhour ve ark., 1984), “On pretopological spaces” isimli çalışmada;
pre-açıklık üzerine M. Katetov tarafından başlatılan bazı noktalar çalışılmıştır. Ayrıca pre-homeomorfizm ve pre-topolojik özellikler tanımlanmıştır.
(Andrijević, Ganster, 1987), “A note on the topology generated by preopen sets” isimli çalışmada; verilen (X, τ) topolojik uzayı üzerindeki pre-açık kümelerin
ailesi aracılığıyla tanımlanan τγ topolojisi çalışılmaya devam edilmiş, τα ve τγ topolojileri arasındaki ilişkiler ortaya çıkarılarak τγ topolojisi ile ilgili pre-açık kümelerin ailesi hakkında sonuçlar elde edilmiştir.
(Andrijević, 1987), “On the topology generated by preopen sets” isimli çalışmada; pre-açık kümlerin sınıfı tarafından üretilen yeni bir topoloji göz önüne alınmıştır. Esas vurgu ise onun kapanış operatörünün özellikleri ile ilgilidir.
(Navalagi, 1998), “Pre-neighbourhoods” isimli çalışmada; pre-iç, pre-yığılma, pre-sınır kavramları tanıtılarak bu kavramların özellikleri incelenmiştir. Pre-kapalı kümenin pre-limit noktaları yardımıyla bir karakterizasyonu elde edilmiştir. Pre-regüler küme isimli yeni bir küme tanıtılarak bu kümenin pre-sınır ile bir karakterizasyonu verilmiştir.
(Molodtsov, 1999), “Soft set theory-First results” isimli çalışmada; soft küme
teorinin temel kavramları ve teorinin ilk sonuçları sunulmuş ve gelecekteki bazı problemler tartışılmıştır.
(Maji ve ark., 2003), “Soft set theory” isimli çalışmada; yazarlar Molodtsov tarafından başlatılan soft küme teorisini çalışmışlar, iki soft kümenin eşitliği, bir soft kümenin üst ve alt kümeleri, bir soft kümenin tümleyeni, null soft küme ve absolute soft küme kavramlarını tanımlamışlardır. AND ve OR gibi soft ikili operasyonları ve ayrıca birleşim ve kesişim operasyonlarını tanımlamışlardır. Ayrıca soft küme teoride De Morgan kuralları ve daha birçok sonuç doğrulanmıştır.
(Pie, Miao, 2005), “From soft sets to information systems” isimli çalışmada;
soft kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkiler tartışılmış, sonra soft kümeler bazı sınıfların genel durumlarına genişletilmiştir.
(AktaĢ, Çağman, 2007), “Soft sets and soft group” isimli çalışmada; soft grup teorinin temel bir versiyonu sunulmuştur. Bu tanım, rough grup kavramıyla benzerlik gösterse de, yapısal olarak farklı bir metotla tanımlanmıştır. Ayrıca, çalışmada fuzzy grupların soft grupların özel bir durumu olduğu gösterilmiştir.
(Stine, Mielke, 2008), “Pre-hausdorff spaces” isimli çalışmada; T0,1, T0,2
(pre-Hausdorff) ve T1,2 olarak adlandırılan topolojik uzaylar için 3 ayırma şartı
tanımlanmıştır. Bu şartlar, klasik T1 ve T2 aksiyomlarına genelleştirilmesidir ve bunların
topolojilerinden daha avantajlı oldukları tartışılmıştır. Pre-Hausdorff uzayların birkaç farklı karakterizasyonu ve pre-Hausdorff yardımıyla, Hausdorff uzayların bir karakterizasyonu elde edilmiştir. Ayrıca, pre-Hausdorff kavramını, Hausdorff kavramıyla yer değiştirmek suretiyle, genelleştirme yapılıp yapılamayacağı, genel topolojinin bazı klasik teoremleri üzerinden tartışılmıştır.
(Zou, Xiao, 2008), “Data analysis approaches of soft sets under incomplete information” isimli çalışmada; soft kümeler ve bilgi sistemlerinin bağlantılı kavramları,
ilk kez verilmiştir. Yetersiz bilgiler altında, soft kümelerle uğraşan bazı yaklaşımlar geliştirilmiş ve bu yaklaşımları somutlaştırmak için bir pratik örnek verilmiştir.
(Feng ve ark., 2008), “Soft semirings” isimli çalışmada; soft set teoriyi kullanarak soft semihalkalar çalışılmıştır. Soft semihalka, soft alt semihalka, soft ideal, ideal soft semihalkalar ve soft semihalka homomorfizimler sunulmuş ve bunlarla ilgili birkaç özellik araştırılmıştır.
(Ali ve ark., 2009), “On some new operations in soft set theory” isimli
çalışmada; bir soft kümenin kısıtlanmış kesişim, kısıtlanmış birleşim, kısıtlanmış fark ve genişletilmiş kesişim kavramlarını tanımlamışlar ve bir soft kümenin tümleyeni kavramını geliştirmişlerdir.
(Çağman ve ark., 2011), “Soft topology” isimli çalışmada; bir soft küme üzerinde bir soft topoloji tanımlanmış ve onunla ilişkili özellikler sunulmuştur. Daha sonra da soft topoloji teorisi ile ilişkili bulgular sunulmuştur.
(Shabir, Naz, 2011), “On soft topological spaces” isimli çalışmada; soft-açık küme, soft-kapalı küme, soft-kapanış, soft-iç nokta, bir noktanın soft-komşuluğu ve soft-ayırma aksiyomları tanıtılmış ve onların temel özellikleri araştırılmıştır. Bir soft topolojik uzayın, soft alt uzayları tanımlanarak, kalıtsallık kavramının yanı sıra, soft alt uzaylarda soft-açık ve soft-kapalı kümelerin karakterizasyonu da araştırılmıştır. Son olarak ta; Ti-uzayları ile soft-normal ve soft-regüler uzay kavramları detaylı olarak
tartışılmıştır. Ayrıca; bir soft topolojik uzayın bir soft T1-uzay olması için bir yeter şart
sunulmuştur.
(Sabir, Bashir, 2011), “Some properties of soft topological spaces” isimli çalışmada; soft topolojik uzayların temellerini güçlendirmek amacıyla soft topoloji üzerindeki soft iç, soft dış, soft sınır kavramlarının özellikleri çalışılmış ve tartışılmıştır.
(Bashir, Sabir, 2012), “On some structures of soft topology” isimli çalışmada;
soft dış kavramını tanımlayıp bu ifadenin temel özellikleri çalışılmıştır. Soft topolojik uzaylarda soft iç, soft dış, soft kapanış ve soft sınır ile ilişkili birkaç sonuç sunulmuştur. Diğer taraftan; soft açık kümeler, soft kapalı kümeler ve soft cl-açık kümeler soft sınır yardımıyla karakterize edilmişlerdir.
(Kannan, 2012), “Soft generalized closed sets in soft topological spaces” isimli
çalışmada; soft topolojik uzaylarda, soft genelleştirilmiş kapalı kümeler tanıtılıp bir soft g-kapalı kümenin soft-kapalı olması için bir yeter şart verilmiştir. Ayrıca; iki soft g-kapalı kümenin birleşimi ve kesişimi tartışılmış, son olarak ta; yeni bir soft ayırma aksiyomu yani; T1-uzayı sunulup, onun temel özellikleri tartışılmıştır.
(Mahanta, Das, 2012), “On soft topological via semiopen and semiclosed soft
sets” isimli çalışmada; bir soft topolojik uzay üzerinde bir soft kümenin semi-iç ve
semi-kapanışı detaylı bir şekilde çalışılmıştır. Soft semi-açık fonksiyonlar, soft irresolute, soft semi-süreklilik gibi fonksiyon çeşitleri sunulmuş ve karakterize edilmiştir. Ayrıca; soft semi-kompaktlık, soft semi-bağlantılılık ve soft semi-ayırma aksiyomları tanıtılmış ve üzerinde çalışılmıştır.
(Chen, 2013), “Soft semi-Open sets and related properties in soft topological spaces” isimli çalışmada; soft topolojik uzaylar üzerine çalışmalar sürdürülmüş ve soft
semi-açık kümeler, soft semi-kapalı kümeler, soft semi-iç ve soft semi-kapanış özellikleri araştırılmıştır. Daha sonra, soft açık(kapalı) kümeler, soft semi-iç(semi-kapanış) kavramları ile soft açık(kapalı) kümeler ve soft iç(kapanış) arasındaki ilişkiler tartışılmıştır. Ayrıca; soft topoloji üzerinde ileri araştırmalar için önemli bir kavram olan soft semi-ayırma aksiyomlarının özellikleri tanıtılmış ve tartışılmıştır.
(Chen, 2013), “Some local properties of soft semi-open sets” isimli çalışmada;
soft semi-açık kümeler yardımıyla bazı lokal özellikler sunulmuştur. Örneğin bir soft noktanın soft semi-komşulukları, soft semi- birinci sayılabilir uzaylar ve bir soft noktada soft semi-pu-süreklilik kavramları verilmiştir. Ayrıca soft semi-bağlantılılık kavramı tanımlanmış ve “ bir soft topolojik uzayın soft semi-bağlantılı olması için gerek ve yeter şart soft semi-açık ve soft semi-kapalı kümelerin sadece Φ ve Χ olmasıdır” ifadesi kanıtlanmıştır.
(Arockiarani, Lancy, 2013), “Generalized soft gβ-closed sets and soft gsβ-closed sets in soft topological spaces” isimli çalışmada; sabit bir parametre ve
bir başlangıç kümesi üzerinde tanımlı soft topolojik uzaylarda, soft gβ-kapalı kümeler ve soft gsβ-kapalı kümeler tanıtılmış ve bunların bazı özellikleri araştırılmıştır.
(Yumak, Kaymakcı, 2013), “Soft beta open sets and their applications” isimli çalışmada; daha önce literatüre kazandırılmış olan soft beta açık küme kavramı üzerinde çalışılmış, bu kümelere ait yeni bazı karakterizasyonlar gösterilmiştir. Daha sonra, soft beta açıklar ile elde edilen bazı dönüşümlerin cebirsel yapıları incelenmiştir.
2. SOFT KÜME TEORĠSĠ
2.1. Soft Kümeler
Tanım 2.1.1 (Molodtsov, 1999) U bir evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve
∅ ≠ A ⊂ E olsun. Ayrıca 𝒫(U) ile U kümesinin güç kümesini gösterelim. Eğer F: A → 𝒫(U) şeklinde bir dönüşüm varsa bu durumda (F, A) ikilisi, U üzerinde bir
soft küme olarak isimlendirilir.
Diğer bir ifadeyle, U üzerindeki bir soft küme, U kümesinin alt kümelerinin parametrelenmiş bir ailesidir. e ϵ A için, F(e), (F, A) soft kümesinin e–yaklaşım elemanlarının bir kümesi olarak düşünülebilir.
Örnek 2.1.1 U bir klinikteki altı(6) hastanın ve E de bazı hastalık isimlerinin kümesi
olmak üzere,
U = {h1, h2, h3, h4, h5, h6}
E = {e1(diyabet), e2(hemodiyaliz), e3(alzheimer)}
şeklinde verilsin. Farz edelim ki,
F(e1) = {h1, h3} F(e2) = {h2, h5} F(e3) = {h3, h4, h5} olsun. Bu durumda, (F, E) = {F(ei): i = 1,2,3} = {{h1, h3}, {h2, h5}, {h3, h4, h5}}
olarak elde edilir.
Tanım 2.1.2 (Maji ve ark., 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U evrensel kümesi üzerinde
iki soft küme olsun. Eğer,
(i) A ⊂ B
(ii) ∀ eA, F(e) ⊂ G(e)
ise (F, A), (G, B) nin bir soft alt kümesidir denir ve (F, A) (G, B) şeklinde gösterilir.
Örnek 2.1.2 A = {e1, e2, e3} ⊂ E ve B = {e1, e2, e3, e4, e5}⊂ E olsun. Açıktır ki A ⊂ B
dir. (F, A) ve (G, B)
F(e1) = {h1, h3}, F(e2) = {h2, h5}, F(e3) = {h3, h4, h5},
G(e1) = {h1, h2, h3}, G(e2) = {h1, h2, h5}, G(e3) = {h3, h4, h5},
G(e4) = {h5}, G(e5) = ∅
olacak şekilde ortak U = {h1, h2, h3, h4, h5} evrensel kümesi üzerinde iki soft küme
olsun. Bu durumda (F, A) (G, B) dir.
Tanım 2.1.3 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B) ortak bir U evrensel kümesi üzerinde
iki soft küme olsun. Eğer, (F, A) (G, B) ve (G, B) (F, A) ise (F, A) ve (G, B) soft kümeleri soft eĢit olarak isimlendirilir.
Tanım 2.1.4 (Maji ve ark. 2003) E = {e1, e2, e3, e4,……en} paremetrelerin kümesi
olsun. Buna durumda, her i için, “ei nin değili” ˥ei ile gösterilmek üzere “E nin değili”
˥E = {˥e1, ˥e2, ˥e3, ˥e4,………….,˥en} şeklindedir. Dikkat edilmeli ki; burada, ˥ ve ˥
operasyonları birbirinden farklıdır.
Aşağıda verilen sonuçlar açıktır.
Önerme 2.1.1 (Maji ve ark. 2003) (i) ˥(˥A) = A
(ii) ˥(A ∪ B) = ˥A ∪ ˥B
(iii) ˥(A ∩ B) = ˥A ∩ ˥B
Örnek 2.1.3 (Örnek 2.1.1) deki E = {diyabet, hemodiyaliz, alzheimer} parametreler
kümesini göz önüne alalım. Buna göre;
˥E = {diyabet olmayan, hemodiyaliz olmayan, alzheimer olmayan} şeklindedir.
Tanım 2.1.5 (Maji ve ark. 2003) (F, A), U üzerinde bir soft küme olsun. (F, A) nın soft tümleyen kümesi (F, A)c
= (Fc, ˥A) şeklinde gösterilir ki burada Fc : ˥A → 𝒫(U), ∀ e ϵ ˥A için, Fc(e) = U – F(˥e) şeklinde verilen bir dönüşümdür.
F nin soft tümleyen fonksiyonu Fc
olmak üzere, (Fc)c = F ve ((F, A)c)c = (F, A) dir.
Örnek 2.1.4 (Örnek 2.1.1) için,
(F, E)c = (Fc, ˥E) = {diyabet olmayan = {h2, h4, h5, h6}, hemodiyaliz olmayan = {h1, h3,
h4, h6}, alzheimer olmayan = {h1, h2, h6}}olarak elde edilir.
Tanım 2.1.6 (Maji ve ark., 2003) (F, A) , U üzerinde bir soft küme olsun. Eğer ∀ eA için F(e) = ∅ ise (F, A), NULL soft küme olarak isimlendirilir ve Φ ile gösterilir.
Örnek 2.1.5 U = {k1, k2, k3, k4} evrensel kümesi, pamuktan imal edilmiş dört farklı
kumaş markasının kümesi olsun. A parametreler kümesi ise,
A = {ipek, polyester, yün, keten} şeklinde çeşitli kumaş imalat ürünlerinin kümesi olsun. Bir (F, A) soft kümesi “kumaşların yapıldığı malzeme” şeklinde tanımlansın.
F(ipek), ipekten yapılmış kumaşlar,
F(polyester), polyesterden yapılmış kumaşlar, F(yün), yünden yapılmış kumaşlar,
F(keten), ketenden yapılmış kumaşlar, anlamındadır. Buna göre,
(F, A) = { F(ipek) = ∅, F(polyester) = ∅, F(yün) = ∅, F(keten) = ∅ } olduğundan, (F, A) bir NULL soft kümedir.
Tanım 2.1.7 (Maji ve ark. 2003) (F, A), U üzerinde bir soft küme olsun. Eğer, ∀ eA için F(e) = U ise (F, A) soft kümesine Absolute soft küme denir ve à ile gösterilir. Açıktır ki, Ãc
= Φ ve Φc = Ã dir.
Örnek 2.1.6. (Örnek 2.1.5) teki U = {k1, k2, k3, k4} evrensel kümesini ve
B = {ipek olmayan, polyester olmayan, yün olmayan, keten olmayan} şeklinde tanımlı yeni bir parametreler kümesini göz önüne alalım. Ayrıca (G, B) soft kümesi “kumaşların yapıldığı malzeme” şeklinde tanımlansın. Bu durumda,
(G, B) = {G(ipek olmayan ) = {k1, k2, k3, k4}, G(polyester olmayan) = {k1, k2, k3, k4},
G(yün olmayan) = {k1, k2, k3, k4}, G(keten olmayan) = {k1, k2, k3, k4}} şeklinde
olduğundan, (G, B) soft kümesi, bir absolute soft kümedir.
Tanım 2.1.8 (Molodtsov, 1999) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme olsun. “(F, A) VE (G, B)” operasyonu (F, A) ∧ (G, B) şeklinde gösterilir. Burada, (F, A) ∧ (G, B) ifadesi, ∀ (α, β) ϵ A x B için H(α, β) = F(α) ∩ G(β) olmak üzere (F, A) ∧ (G, B) = (H, A x B) şeklinde tanımlıdır.
Tanım 2.1.9 (Molodtsov, 1999) (F, A) ve (G, B) ortak bir U kümesi üzerinde iki soft
küme olsun. “(F, A) VEYA (G, B)” operasyonu (F, A) ∨ (G, B) şeklinde gösterilir. Burada, (F, A) ∨ (G, B) ifadesi, ∀ (α, β)A x B için O(α, β) = F(α) ∪ G(β) olmak üzere (F, A) ∨ (G, B) = (O, A x B) şeklinde tanımlıdır.
Önerme 2.1.2 (Maji ve ark. 2003)
(i) ((F, A) ∨ (G, B))c = (F, A)c ∧ (G, B)c
(ii) ((F, A) ∧ (G, B))c
= (F, A)c ∨ (G, B)c
Ġspat.
(i) Kabul edelim ki, (F, A) ∨ (G, B) = (O, A x B) olsun. Bu durumda ((F, A) ∨ (G, B))c = (O, A x B)c = (Oc, ˥( A x B)) yazılabilir. Şimdi, (F, A)c ∧ (G, B)c = (Fc, ˥A) ∧ (Gc, ˥B) = ( J, ˥A x ˥B) ( J(x, y) = Fc(x) ∩ Gc (y) ) = ( J, ˥(A x B) )
elde edilir. Ayrıca (˥α, ˥β) ϵ ˥(A x B) alalım. Bu durumda,
Oc (˥α, ˥β) = U - O(α, β)
= U – ( F(α) ∪ G(β)) = [U – F(α)] ∩ [U – G(β)] = Fc(˥α) ∩ Gc(˥β)
= J (˥α, ˥β)
(ii) Kabul edelim ki, (F, A) ∧ (G, B) = (H, A x B) olsun. Bu durumda ((F, A) ∧ (G, B))c = (H, A x B)c = (Hc, ˥( A x B)) yazılabilir. Şimdi, (F, A)c ∨ (G, B)c = ( Fc, ˥A ) ∨ ( Gc, ˥B ) = ( K, ˥A x ˥B ) ( K(x, y) = Fc(x) ∪ Gc (y) ) = ( K, ˥(A x B) )
elde edilir. Ayrıca (˥α, ˥β) ϵ ˥(A x B) alalım. Bu durumda,
Hc (˥α, ˥β) = U – H(α, β)
= U – [ F(α) ∩ G(β) ] = [U – F(α)] ∪ [U – G(β)] = Fc(˥α) ∪ Gc(˥β)
= K (˥α, ˥β)
elde edilir. O halde Hc ve K aynıdır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Tanım 2.1.10 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B)ortak bir U kümesi üzerinde iki soft küme ve bu kümelerin birleşimi (H, C) soft kümesi olsun. Buna göre;
C = A ∪ B ve ∀ eC için H(e) = B - F(e), e A - B G(e), e F(e) G(e), e B A A
olmak üzere, (F, A) (G, B) = (H, C) yazılabilir.
Tanım 2.1.11 (Maji ve ark. 2003) (F, A) ve (G, B)ortak bir U kümesi üzerinde iki soft küme ve bu kümelerin kesişimi (H, C) soft kümesi olsun. Buna göre;
C = A ∩ B ve ∀ eC için, H(e) = F(e) ∩ G(e) olmak üzere, (F, A) (G, B) = (H, C) şeklinde yazılabilir.
Örnek 2.1.7. U = {c1, c2, c3, c4, c5}, bir ülkeye ait beş farklı şehri,
E ={e1, e2, e3, e4, e5, e6} kümesi de şehirlerin sahip olduğu bazı özellik parametrelerinin
kümesi olsun. Burada,
şeklindedir. Ayrıca A, B ⊂ E olmak üzere A = {e1, e2, e3, e4} ve B = {e4, e5, e6} ve
(F, A) soft kümesi “şehirlerin sahip olduğu özellikler” olarak ve (G, B) soft kümesi de “şehirlerin cazibesi” olarak tanımlansın. Kabul edelim ki;
F(e1) = {c2, c3, c5}, F(e2) = {c2, c4}, F(e3) = {c1, c4, c5}, F(e4) = {c1, c4}
G(e4) = {c1, c4}, G(e5) = { c4 }, G(e6) = { c4, c5}
şeklinde olsun. O halde, (F, A) (G, B) = (H, C)
= {H(e1), H(e2), H(e3), H(e4), H(e5), H(e6)}
= {{c2, c3, c5}, {c2, c4}, {c1, c4, c5}, {c1, c4}, {c4}, {c4, c5}}
(F, A) (G, B) = (K, T) ={ K(e4) } ={{ c1, c4 }}
olarak bulunur.
Aşağıda soft birleşim ve soft kesişim ile ilgili bazı önermeler ispatsız olarak verilecektir.
Önerme 2.1.3 (Maji ve ark. 2003) (i) (F, A) (F, A) = (F, A) (ii) (F, A) (F, A) = (F, A) (iii) (F, A) Φ = (F, A) (iv) (F, A) Φ = Φ (v) (F, A) Ã = Ã (vi) (F, A) Ã = (F, A)
Önerme 2.1.4 (Maji ve ark. 2003)
(i)
(F, A) (G, B)
c = (F, A)c (G, B)cĠspat.
(i) Kabul edelim ki (F, A) (G, B) = (H, A∪B) olsun. Burada
H(α ) = F( ), α α A - B α α B - A α α G( ), F( ) G( ), α A B şeklindedir. Ayrıca
c (F, A) (G, B) = (H, A∪B)c = (Hc, ˥A ∪ ˥B)yazılabilir. ∀ ˥α ϵ (˥A∪˥B) için Hc (˥α ) = U - H( α ) olduğu biliniyor. O halde
Fc(˥α ), ˥α˥A - ˥B
Hc(˥α ) = Gc(˥α ), ˥α˥B - ˥A
Fc
(˥α ) ∪ Gc(˥α ), ˥α˥A ∩ ˥B
yazılabilir. Aynı şekilde kabul edelim ki (F, A)c (G, B)c = (Fc, ˥A) (Gc, ˥B) = ( K, ˥A ∪ ˥B) olsun, burada Fc(˥α ), ˥α˥A - ˥B K(˥α ) = Gc(˥α ), ˥α˥B - ˥A Fc(˥α ) ∪ Gc(˥α ), ˥α˥A ∩ ˥B
olur. O halde; Hc ve K aynıdır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
(ii) Kabul edelim ki (F, A) (G, B) = (H, A∩B) olsun. O halde
c(F, A) (G, B) = (Hc, ˥A ∩ ˥B) yazılabilir.
Ayrıca,
(F, A)c (G, B)c = (Fc, ˥A) (Gc
, ˥B) = (K, ˥A ∩ ˥B)
olur ki, burada ∀ ˥α(˥A ∪ ˥B) için
K(˥α ) = Fc(˥α ) ya da Gc(˥α )
= F(α ) ya da G( α ) ( αA∩B)
= H(α ) = Hc(˥α )
elde edilir. O halde; K ve Hc aynı fonksiyonlardır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
U, evrensel küme ve E de, parametrelerin boş olmayan bir kümesi olsun.
Tanım 2.1.12 (Shabir, Naz, 2011) (F, E) ve (G, E), U üzerinde iki soft küme olsun.
(H, E) = (F, E) \ (G, E) ifadesine (F, E) ve (G, E) farkı denir ve ∀ eE için H(e) = F(e) \ G(e) olarak tanımlanır.
Tanım 2.1.13 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme ve uU olsun. Eğer, ∀ eE için uF(e) ise bu durum u(F, E) şeklinde gösterilir ve “u, (F, E) soft kümesine aittir” şeklinde söylenir.
Açıktır ki; herhangi bir uU için,
u(F, E) ⟺ ∃ eE ∋ uF(e) dir.
Tanım 2.1.14 (Shabir, Naz, 2011) V, U evrensel kümesinin boş olmayan bir alt kümesi
olsun. Bu durumda (V, E) ifadesi U üzerinde, ∀ eE için V(e) = V şartını sağlayan ve
V ile gösterilen bir soft kümedir. Özel olarak (U, E) soft kümesi U ile gösterilir.
Tanım 2.1.15 (Shabir, Naz, 2011) uU olsun. Bu durumda (u, E) ifadesi U üzerinde, ∀ eE için u(e) = {u} şeklinde tanımlı olan bir soft küme belirtir.
Tanım 2.1.16 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme ve V de U nun boş
olmayan bir alt kümesi olsun. Bu durumda, (F, E) nin V üzerinde ki bir soft alt kümesi (VF, E) ile gösterilir ve
∀ eE için, VF(e) = V ∩ F(e)
şeklinde tanımlanır. Diğer bir ifadeyle, (V
F, E) = V ∩ (F, E) şeklindedir.
Tanım 2.1.17 (Shabir, Naz, 2011) (F, E), U üzerinde bir soft küme olsun. (F, E) nin rölatif tümleyeni (F, E) = (F , E) şeklinde gösterilir ve
∀ eE için, F (e) = U - F(e) şeklinde tanımlanır.
Örnek 2.1.8. (Örnek 2.1.7) göz önüne alınırsa;
U = {c1, c2, c3, c4, c5}, A = {e1, e2, e3, e4} ve
F(e1) = {c2, c3, c5}, F(e2) = {c2, c4}, F(e3) = {c1, c4, c5}, F(e4) = {c1, c4}
şeklindeydi. O halde, (F, A) = {{c2, c3, c5}, {c2, c4}, {c1, c4, c5}, {c1, c4}} ve dolayısıyla da (F, E)= (F , E) ={{c1, c4}, {c1, c3, c5}, {c2, c3}, {c2, c3, c5}} elde edilir.
Aşağıdaki önerme, rölatif tümleyenle ilgili De Morgan kurallarıdır.
Önerme 2.1.5 (Shabir, Naz, 2011) (F, E) ve (G, E), U üzerinde iki soft küme olsun. Bu
durumda;
(i)
(F, E) (G, E)
= (F, E) (G, E)Ġspat.
(i) (F, E) (G, E) = (H, E) olsun. 2.1.10. Tanım gereği ∀ eE için H(e) = F(e) ∪ G(e) dir. Buna göre;
(F, E) (G, E)
= (H, E) = (H , E) ve 2.1.17. Tanım gereği ∀ eE için H (e) = U – H(e) = U – ( F(e) ∪ G(e) ) = ( U – F(e) ) ∩ ( U – G(e) ) = F (e) ∩ G (e) olduğundan
(F, E) (G, E)
= (H, E) = (H , E) = (F, E) (G, E) yazılabilir. Bu da ispatımızı bitirir.(ii) (F, E) (G, E) = (K, E) olsun. 2.1.11. Tanım gereği ∀ eE için K(e) = F(e) ∩ G(e) dir. Buna göre;
(F, E) (G, E)
= (K, E) = (K , E) ve 2.1.17. Tanım gereği ∀ eE için K (e) = U – K(e) = U – (F(e) ∩ G(e)) = (U – F(e)) ∪ (U – G(e)) = F (e) ∪ G (e) olduğundan
(F, E) (G, E)
= (K, E) = (K , E) = (F, E) (G, E) yazılabilir. Bu da ispatımızı bitirir.2.2. Soft Topoloji ve Soft Topolojik Uzaylar
X, evrensel küme ve E de, parametrelerin boş olmayan bir kümesi olsun.
Tanım 2.2.1 (Shabir, Naz, 2011) X üzerindeki soft kümelerin bir ailesi τ olsun. Eğer τ, aşağıdaki özellikleri sağlarsa; τ ya, X üzerinde bir soft topoloji, (X, τ, E) üçlüsüne de, X üzerinde bir soft topolojik uzay denir.
(i) Φ, Χ soft kümeleri τ ya aittir.
(ii) τ ya ait kümelerin herhangi sayıdaki birleşimi, τ ya aittir. (iii) τ ya ait herhangi iki kümenin kesişimi, τ ya aittir.
Tanım 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun. Bu
durumda τ ya ait soft kümelerin her birine, X üzerinde bir soft açık küme denir.
Tanım 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun. X
üzerinde bir (F, E) soft kümesinin rölatif tümleyeni olan (F, E) kümesi τ ya aitse; (F, E) ye, X üzerinde bir soft kapalı küme denir.
Önerme 2.2.1 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun.
Bu durumda;
(i) Φ, Χ soft kümeleri, X üzerinde soft kapalı kümelerdir.
(ii) Soft kapalı kümelerin herhangi sayıdaki kesişimleri de, X üzerinde soft
kapalı kümedir.
(iii) Herhangi iki soft kapalı kümenin birleşimi de X üzerinde soft kapalıdır.
Ġspat.
(i) Φ' = Χτ ve ( Χ ) = Φτ olduğundan Φ ve Χ , X üzerinde soft kapalı kümelerdir.
(ii) I = {1,2,3,…..} olmak üzere, ∀ iI için (Ki, E), X üzerinde soft kapalı
kümeleri göstersin. (Ki, E) soft kapalı olduğundan ∀ iI için (Ki, E) τ yazılabilir.
2.2.1. Tanım (ii) ye göre, (F, E) =
i I
(F, E) = i I (Ki, E) = i I ( Χ - (Ki, E)) = Χ - i I (Ki, E) = ( i I (Ki, E)) τ
elde edilir ki, bu
i I
(Ki, E) nin soft kapalı bir küme olduğunu gösterir.
(iii) Sonlu sayıda (K1, E), (K2, E), (K3, E),…… (Kp, E) soft kapalı kümelerini
göz önüne alalım. 2.2.3. Tanım gereğince;
(F1, E) = Χ - (K1, E), (F2, E) = Χ - (K2, E),…………(Fp, E) = Χ - (Kp, E)
kümeleri X üzerinde soft açık kümelerdir. 2.2.1. Tanım (iii) gereği, 1
p i
(Fi, E) kümesi
soft açıktır. Bu durumda,
1 p i (Fi, E) = 1 p i ( Χ - (Ki, E)) = Χ - 1 p i (Ki, E) = ( 1 p i (Ki, E) )
elde edilir ki, bu 1
p i
(Ki, E) kümesinin soft kapalı olduğunu gösterir.
Tanım 2.2.4 (Shabir, Naz, 2011) X evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve
τ = {Φ, Χ } olsun. Bu durumda τ, X üzerinde soft ayrık olmayan topoloji olarak ve (X, τ, E) uzayı da, soft ayrık olmayan uzay olarak isimlendirilir.
Tanım 2.2.5 (Shabir, Naz, 2011) X evrensel küme, E parametrelerin kümesi ve τ, X
üzerinde tanımlanan tüm soft kümelerin ailesi olsun. Bu durumda τ, X üzerinde soft
ayrık topoloji olarak ve (X, τ, E) uzayı da, soft ayrık uzay olarak isimlendirilir.
Önerme 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft uzay olsun. Bu
durumda ∀ eE için, τe = {F(e) : (F, E)τ} ailesi X üzerinde bir topoloji oluşturur.
Ġspat. Tanımdan herhangi bir e ϵ E için, τe = {F(e) : (F, E) τ} ailesine sahibiz. Şimdi,
(i) Φ, Χτ olduğundan ∅, Xτe dir.
(ii) τe deki kümelerin bir ailesi {Fi(e): iI} olsun. (Fi, E)τ olduğundan, ∀ iI
için
i I
(Fi, E)τ dur. Böylece
i I
Fi(e)τe elde edilir.
(iii) Bazı (F, E), (G, E)τ için, F(e), G(e)τe olsun. (F, E) (G, E)τ
olduğundan F(e) ∩ G(e)τe dir.
(Önerme 2.2.2) gösteriyor ki; her bir eE için, τ , X üzerinde bir topoloji e oluşturur. O halde; X üzerindeki bir soft topoloji için, X üzerindeki topolojilerin parametrelenmiş bir ailesidir denebilir.
Örnek 2.2.1(Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E), X üzerinde soft kümeler olmak üzere,
τ = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ailesi X üzerinde bir soft topoloji oluşturur.
F1(e1) = {x2} F1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2,x3} F2(e2) = {x1, x2}
F3(e1) = {x1, x2} F3(e2) = X
F4(e1) = {x1, x2} F4(e2) = {x1, x3}
O açıkça görülebilir ki, 1 e τ = {∅, X, {x2}, {x2,x3}, {x1, x2 }} 2 e τ = {∅, X, {x1}, {x1, x2}, {x1, x3}}
aileleri, X üzerinde bir topolojidir.
Şimdi 2.2.2. Önermesinin tersinin doğru olmadığını göstermek için bir örnek verelim.
Örnek 2.2.2(Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E) soft kümeleri ve
τ = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ailesi verilsin.
F1(e1) = {x2} F1(e2) = {x1} F2(e1) = {x2,x3} F2(e2) = {x1, x2} F3(e1) = {x1, x2} F3(e2) = {x1, x2} F4(e1) = {x2} F4(e2) = {x1, x3} Açıkça görülür ki; 1 e
τ
= {∅, X, {x2}, {x2,x3}, {x1,x2}} 2 eτ
= {∅, X, {x1}, {x1, x2}, {x1, x3}}aileleri, X üzerinde bir topoloji oluştururken,
(F2, E) (F3, E) = (G, E) = {G(e1) = X, G(e2) = {x1, x2}}
Verilen bu örnekten görülüyor ki, her bir parametre ile oluşturulan aileler, X üzerinde bir topoloji oluştursa bile, soft kümelerin herhangi bir ailesinin, X üzerinde bir soft topoloji olması gerekmez.
Önerme 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ1, E) ve (X, τ2, E), X üzerinde iki soft topolojik
uzay olsunlar. Bu durumda; (X, τ1∩τ2, E) de, X üzerinde bir soft topolojik uzaydır.
Ġspat.
(i) Φ, Χτ1 ve Φ, Χτ2 olduğundan Φ, Χτ1∩τ2 dir.
(ii) τ1∩τ2 deki soft kümelerin bir ailesi {(Fi, E) : iI } olsun. Bu durumda ∀ iI
için (Fi, E)τ1 ve (Fi, E)τ2 olduğundan i I (Fi, E)τ1 ve i I (Fi, E)τ2 şeklindedir. O halde; i I (Fi, E)τ1∩τ2 dir.
(iii) (F, E), (G, E)τ1∩τ2 olsun. Bu durumda (F, E), (G, E)τ1 ve
(F, E), (G, E)τ2 dir. (F, E) ∩ (G, E)τ1 ve (F, E) ∩ (G, E)τ2 olduğundan
(F, E) ∩ (G, E) ϵ τ1∩τ2 kolaylıkla yazılır.
Böylece; τ1∩τ2 ailesi, X üzerinde bir topoloji belirtir. O halde (X, τ1∩τ2, E) de,
X üzerinde bir soft topolojik uzaydır.
Dikkat edilmeli ki; X üzerindeki iki soft topolojinin birleşimi, X üzerinde bir soft topoloji belirtmeyebilir.
Örnek 2.2.3 (Shabir, Naz, 2011) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E) ve (F4, E), (G1, E), (G2, E), (G3, E) ve (G4, E),
X üzerinde soft kümeler olmak üzere, τ1 = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E)} ve
τ2 = {Φ, Χ , (G1, E), (G2, E), (G3, E), (G4, E)} aileleri de, X üzerinde bir soft topoloji
olsunlar.
F1(e1) = {x2} F1(e2) = {x1} G1(e1) = {x2} G1(e2) = {x1}
F2(e1) = {x2,x3} F2(e2) = {x1, x2} G2(e1) = {x2,x3} G2(e2) = {x1, x2}
F3(e1) = {x1, x2} F3(e2) = X G3(e1) = {x1, x2} G3(e2) = {x1, x2}
Şimdi,
τ= τ1 ∪ τ2 = { Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (G3, E), (G4, E) }
şeklinde yeni bir aile tanımlayalım. Eğer (F2, E) (G3, E) = (H, E) alırsak bu durumda;
H(e1) = F2(e1) ∪ G3(e1) ={x2,x3} ∪ {x1, x2} = X ve H(e2) = F2(e2) ∪ G3(e2) = {x1,x2} ∪ {x1, x2} = {x1, x2}
elde edilir ki, bu durumda (H, E) τ olur yani; τ, X üzerinde bir soft topoloji değildir.
Tanım 2.2.6 (Sabir, Bashir, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E) de, X üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda; (F, E) nin soft içi, (F, E) nin kapsadığı tüm soft açıkların birleşimi olarak tanımlanır ve (F, E)o
ile gösterilir. O açıktır ki, (F, E)o soft kümesi, (F, E) nin kapsadığı en büyük soft açıktır.
Örnek 2.2.4. (Örnek 2.2.2) göz önüne alınırsa; X üzerinde verilen
(F, E) = {{x1, x2, x3}, {x1}} soft kümesi için, (F, E)o = (F1, E) = {{x2}, {x1}} dir.
Teorem 2.2.1 (Çağman ve ark., 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve
(F, E) ve (G, E) de, X üzerinde soft kümeler olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır.
(1) Φo = Φ, ( Χ )o = Χ
(2) (F, E)o (F, E)
(3) [(F, E)o]o = (F, E)o
(4) (F, E) nin soft açık olması için gerek ve yeter şart (F, E)o = (F, E)
(5) (F, E) (G, E) ise (F, E)o (G, E)o
(6) (F, E)o (G, E)o = [(F, E) (G, E)]o
Ġspat.
(1) ve (2) nin ispatı açıktır.
(3) (F, E)o, açık bir kümedir. [(F, E)o]o ise, (F, E)o nin içerdiği, X deki tüm soft açıkların birleşimi olduğundan, (F, E)o
[(F, E)o]o yazılır. Ayrıca; (2) ye göre ((F, E)o)o (F, E)o olduğundan, [(F, E)o]o = (F, E)o ifadesi kolaylıkla yazılabilir.
(4) Kabul edelim ki; (F, E), X üzerinde bir soft açık olsun. Bu durumda; (F, E)
nin içerdiği en büyük soft açık küme, (F, E)nin kendisidir. O halde; (F, E)o = (F, E) yazılabilir.
Karşıt olarak, kabul edelim ki; (F, E)o
= (F, E) olsun. (F, E)o, soft açık olduğundan, (F, E) de bir soft açık kümedir.
(5) (F, E) ve (G, E), X üzerinde iki soft küme olmak üzere; (F, E) (G, E) olsun. (2) den (F, E)o (F, E) (G, E) olduğunu biliyoruz. O halde; (F, E)o, (G, E) nin içerdiği herhangi bir soft açık kümedir. Fakat, (G, E) nin içerdiği en büyük soft açık küme (G, E)o
olduğundan; (F, E)o (G, E)o ifadesi kolaylıkla görülür.
(6) (F, E) (G, E) (F, E) ve (F, E) (G, E) = (G, E) olduğunu biliyoruz. Ayrıca (5) den,
[(F, E) (G, E)]o (F, E)o ve [(F, E) (G, E)]o (G, E)o yazarız. O halde;
[(F, E) (G, E)]o (F, E)o(G, E)o………(I) elde edilir. Ayrıca; (2) den, (F, E)o
(F, E) ve (G, E)o (G, E) olduğunu biliyoruz. Buradan, (F, E)o (G, E)o (F, E) (G, E) yazılabilir. (F, E)o(G, E)o soft açık kümesi,(F, E) (G, E) nin içerdiği herhangi bir soft açıktır. Fakat, (F, E) (G, E) nin içerdiği en büyük soft açık küme, [(F, E) (G, E)]o olduğundan;
(F, E)o(G, E)o [(F, E) (G, E)]o………...(II) yazılabilir. (I) ve (II) den
(F, E)o (G, E)o = [(F, E) (G, E)]o ifadesi kolaylıkla yazılır.
(7) (2) den; (F, E)o (F, E)ve (G, E)o (G, E) dir. O halde;
(F, E)o (G, E)o (F, E) (G, E) yazılabilir. (F, E)o (G, E)o soft açık kümesi (F, E) (G, E) nin içerdiği herhangi bir soft açıktır. Fakat, (F, E) (G, E) nin içerdiği en büyük soft açık küme [(F, E) (G, E)]o olduğundan,
(F, E)o (G, E)o [(F, E) (G, E)]o
ifadesi elde edilmiş olur.
Aşağıdaki örnekle Teorem 2.2.1 (7) için eşitliğin sağlanmadığı gösterilmiştir.
Örnek 2.2.5 (Çağman ve ark., 2011) (Örnek 2.2.2) için (F, E) = {{x1, x2}, {x1, x3}} ve
(G, E) = {{x1, x2, x3}, {x2, x3}} olsun. Bu durumda (F, E)o = {{x2}, {x1, x3}} ve
(G, E)o = Φ şeklindedir. O halde;
(F, E)o (G, E)o = {{x2}, {x1, x3}}
ve
[(F, E) (G, E)]o = Χ
olarak elde edilir. Buradan (F, E)o (G, E)o [(F, E) (G, E)]o dir. Fakat, [(F, E) (G, E)]o (F, E)o (G, E)o dir.
Tanım 2.2.7 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E) de, X üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda; (F, E) nin soft kapanıĢı, (F, E) yi kapsayan tüm soft kapalı kümelerin kesişimi olarak tanımlanır ve –
(F, E) ile gösterilir. –
(F, E) soft kümesi, (F, E) yi kapsayan en küçük soft kapalı kümedir.
Örnek 2.2.6. (Shabir, Naz, 2011) (Örnek 2.2.2) göz önüne alınırsa; X üzerinde verilen
Teorem 2.2.2 (Shabir, Naz, 2011) (X, τ, E), X üzerinde bir soft topolojik uzay ve (F, E)
ve (G, E) de, X üzerinde soft kümeler olsun. Bu durumda, aşağıdaki özellikler geçerlidir.
(1) –= Φ, (X) = – Χ
(2) (F, E) (F, E) –
(3) [(F, E) ] = – – (F, E) –
(4) (F, E) nin soft kapalı olması için gerek ve yeter şart (F, E)=(F, E) –
(5) (F, E) (G, E) ise (F, E) – (G, E) –
(6) (F, E) – (G, E) = – [(F, E)(G, E)] –
(7) [(F, E) (G, E)] – (F, E) – (G, E) –
Ġspat.
(1) ve (2) nin ispatı açıktır.
(3) (F, E)–, kapalı bir kümedir. (F, E)– –ise, (F, E)–i içeren, X deki tüm soft kapalı kümelerin kesişimi olduğundan; – –
(F, E) (F, E)–yazılabilir. Ayrıca (2) ye
göre, –
(F, E) (F, E)– –olduğundan; (F, E)– – = (F, E)–ifadesi kolaylıkla yazılabilir.
(4) Kabul edelim ki; (F, E), X üzerinde bir soft kapalı olsun. Bu durumda; (F, E)
yi içeren en küçük soft kapalı küme, (F, E)nin kendisidir. O halde; (F, E) = (F, E) – yazılabilir.
Karşıt olarak; kabul edelim ki, –
(F, E) = (F, E) olsun. (F, E) , soft kapalı – olduğundan; (F, E) de bir soft kapalı kümedir.
(5) (F, E) ve (G, E), X üzerinde iki soft küme olmak üzere; (F, E) (G, E) olsun. (2) den, (F, E) (G, E) (G, E) olduğunu biliyoruz. O halde; – (G, E) , – (F, E) yi kapsayan herhangi bir soft kapalı kümedir. Fakat, (F, E) yi içeren en küçük soft kapalı küme –
(6) (F, E) (F, E) (G, E) ve (G, E) (F, E) (G, E) olduğunu biliyoruz. Ayrıca (5) den, – (F, E) [(F, E)(G, E)] –ve (G, E) – [(F, E)(G, E)] – yazarız. O halde – (F, E) (G, E) – [(F, E)(G, E)] –………(I)
elde edilir. Ayrıca (2) den (F, E) (F, E) ve (G, E)– (G, E) olduğunu biliyoruz. – Buradan, (F, E) (G, E) (F, E) – (G, E) yazılabilir. – (F, E) – (G, E) soft kapalı –
kümesi, (F, E) (G, E) yi içeren herhangi bir soft kapalıdır. Fakat biz biliyoruz ki (F, E) (G, E) yi içeren en küçük soft kapalı küme [(F, E)(G, E)] –olduğundan
–
(F, E)
[ (G, E)] (F, E) – (G, E) ……….……...(II) – yazılabilir. (I) ve (II) den –
(F, E) (G, E) =– [(F, E)(G, E)] – ifadesi yazılır.
(7) (2) den, (F, E) (F, E) ve (G, E)– (G, E) dir. O halde; –
(F, E) (G, E) (F, E) – (G, E)–yazılabilir. (F, E) – (G, E)–soft kapalı kümesi, (F, E) (G, E) yi içeren herhangi bir soft kapalıdır. Fakat, (F, E) (G, E) içeren en
küçük soft kapalı küme –
[(F, E) (G, E)] olduğundan;
–
[(F, E) (G, E)] (F, E) – (G, E) – ifadesi elde edilmiş olur.
3. SOFT 𝛽-KÜMELER
3.1. Soft 𝛽-Açık Kümeler ve Soft 𝛽-Kapalı Kümeler
X, bir evrensel küme ve E, parametrelerin boştan farklı bir kümesi olmak üzere; (X, τ, E) de, X üzerinde bir soft topolojik uzay olsun.
Tanım 3.1.1 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft kümesinin, soft 𝛽-açık küme(kısaca S𝛽-O) olarak isimlendirilmesi için
gerek ve yeter şart (F, E) – –
(F, E) olmasıdır.
Tanım 3.1.2 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft kümesinin, soft 𝛽-kapalı küme(kısaca S𝛽-C) olarak isimlendirilmesi için
gerek ve yeter şart (F, E) nin rölatif tümleyeninin soft 𝛽-açık küme olması yani; –
(F, E) (F, E) olmasıdır.
Biz bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft 𝛽-açık kümelerin ailesini, S𝛽-O(X) ile, tüm soft 𝛽-kapalı kümelerin ailesini de, S𝛽-C(X) ile göstereceğiz.
Tanım 3.1.3 (Chen, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft kümesinin, soft semi-açık küme(kısaca SS-O) olarak isimlendirilmesi için gerek ve
yeter şart (F, E) (F, E) – olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft semi-açık kümelerin ailesi, SS-O(X) ile gösterilir.
Tanım 3.1.4 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft kümesinin soft pre-açık küme (kısaca SP-O) olarak isimlendirilmesi için
gerek ve yeter şart (F, E) (F, E)– olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft pre-açık kümelerin ailesi, SP-O(X) ile gösterilir.
Tanım 3.1.5 (Arockiarani, Lancy, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerinde verilen bir (F, E) soft kümesinin, soft α-açık küme (kısaca Sα-O) olarak isimlendirilmesi için
gerek ve yeter şart (F, E) –
(F, E) olmasıdır. (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki tüm soft α-açık kümelerin ailesi, Sα-O(X) ile gösterilir.
S𝛽-O(X) ailesinin, Ss-O(X), Sp-O(X) ve Sα-O(X) ailelerini içerdiği açıktır. Bu
durum aşağıdaki diyagramla gösterilmiştir.
Soft açık Soft α-açık Soft semi-açık (1)
Soft pre-açık (2) Soft 𝛽-açık
Aşağıdaki örneklerde, (1) ve (2) gerektirmelerinin terslerinin genelde doğru olmadığı gösterilmiştir.
Örnek 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} ve aşağıdaki gibi
tanımlanan (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (F5, E) (F6, E) ve (F7, E), X üzerinde soft
kümeler olmak üzere,
τ = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E), (F4, E), (F5, E), (F6, E), (F7, E)} ailesi, X üzerinde
bir soft topoloji oluşturur.
F1(e1) = {x1, x2} F1(e2) = {x1, x2} F2(e1) = {x2} F2(e2) = {x1, x3}
F3(e1) = {x2, x3} F3(e2) = {x1} F4(e1) = {x2} F4(e2) = {x1}
F5(e1) = {x1, x2} F5(e2) = X F6(e1) = X F6(e2) = {x1, x2}
F7(e1) = {x2, x3} F7(e2) = {x1, x3}
Şimdi, X de (F6, E) = { X, {x1, x2} } soft açık kümesini ve (G, E) = {{x2, x3}, {x1, x2}},
(H, E) = {Ø, {x1}} soft kümelerini göz önüne alalım. Bu durumda;
– 6
(F , E) = Χ olduğundan, (F6, E) (F , E)6 – olup (F6, E) soft α-açıktır.
– 6
(F , E) = Χ olduğundan, (F6, E) (F, E)– olup (F6, E) soft pre-açıktır.
– 6
(F , E) = Χ olduğundan, (F6, E) (F, E) – olup (F6, E) soft semi-açıktır.
– – 6
(F , E) = Χ olduğundan, (F6, E) (F, E)– – olup (F6, E) soft 𝛽-açıktır.
–
(G, E) = Χ olduğundan, (G, E) (G, E) – olup (G, E) soft α-açıktır. –
(G, E) = Χ olduğundan, (G, E) (G, E)– olup (G, E) soft pre-açıktır. –
(G, E) = Χ olduğundan, (G, E) (G, E) – olup (G, E) soft semi-açıktır. (G, E)– – = Χ olduğundan, (G, E) (G, E)– – olup (G, E) soft 𝛽-açıktır.
–
(H, E) = Φ olduğundan, (H, E) (H, E) – olup (H, E) soft α-açık değildir. –
(H, E) = Χ olduğundan, (H, E) (H, E)– olup, (H, E) soft pre-açıktır. –
(H, E) = Φ olduğundan, (H, E) (H, E) – olup, (H, E) soft semi-açık değildir. – –
(H, E) = Χ olduğundan, (H, E) (H, E)– – olup, (H, E) soft 𝛽-açıktır.
Tanım 3.1.6 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X, evrensel küme ve E de, parametrelerin
boştan farklı bir kümesi olsun. Buna göre; X üzerindeki soft kümelerin bir τ ailesi, sadece,
(i) Φ, Χ soft kümeleri τ ya aittir.
(ii) τ ya ait kümelerin herhangi sayıdaki birleşimi τ ya aittir.
şartlarını sağlarsa, τ ailesine, X üzerinde bir suprasoft topoloji denir.
Önerme 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) S𝛽-O(X), X üzerinde bir suprasoft topoloji
oluşturur.
Ġspat.
(i) Φ, ΧS𝛽-O(X) olduğu açıktır.
(ii) ∀ iI için( I ={1,2,3…..}), (Fi, E) S𝛽-O(X) olsun. Bu durumda, ∀ iI için
(Fi, E) (F , E)i – – i i І (F , E)
i – –
i І (F , E) =
– – i i І ((F , E) )
– – i i І ((F , E) ) =
– – i i І (F , E) olup, ispat tamamlanmış olur.
Uyarı 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) İki soft 𝛽-açık kümenin kesişiminin soft 𝛽-açık
Örnek 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2} ve E = {e1, e2} olmak üzere;
aşağıdaki gibi tanımlanan (F1, E), (F2, E) ve (F3, E), X üzerinde soft kümeler olsunlar.
F1(e1) = {x1} F1(e2) = {x2}
F2(e1) = { x1, x2} F2(e2) = {x2}
F3(e1) = {x1} F3(e2) = { x1, x2}
Bu durumda;
τ = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E)}
ailesi, X üzerinde bir topoloji oluşturur.
Şimdi, X üzerinde, (G, E) = {{x2}, {x2}} ve (H, E) = {{x1, x2}, { x1}} soft kümelerini
göz önüne alalım; – –
(G, E) = Χ olduğundan, (G, E) (G, E)– – olup, (G, E) soft 𝛽-açıktır. – –
(H, E) = Χ olduğundan, (H, E) (H, E)– – olup, (H, E) soft 𝛽-açıktır.
Fakat (G, E) (H, E) = {{x2}, Ø} = (K, E) olup, (K, E)– – = Φ olur. Yani;
(K, E) (K, E)– – elde edilir ki, bu da bize, iki soft 𝛽-açık kümenin kesişiminin soft 𝛽-açık olması gerekmediğini gösterir.
Önerme 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Soft 𝛽-kapalı kümeler ailesi, keyfi kesişime
göre kapalıdır.
Ġspat. Her iI için( I ={1,2,3…..}), (Fi, E) S𝛽-C(X) olsun. Bu durumda; ∀ iI için,
(Fi, E) (F , E)i –
i
i I F , E
i
– i I F , E =
i
–
i I F , E
– i i I F , E =
– i i I F , E Aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi; iki soft 𝛽-kapalı kümenin birleşiminin soft 𝛽-kapalı küme olması gerekmez.
Örnek 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = {x1, x2} ve E = {e1, e2} olmak üzere;
aşağıdaki gibi tanımlanan (F1, E), (F2, E) ve (F3, E), X üzerinde soft kümeler olsunlar.
F1(e1) = {x1} F1(e2) = {x2}
F2(e1) = {x1, x2} F2(e2) = {x2}
F3(e1) = {x1} F3(e2) = {x1, x2}
Bu durumda; τ = {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E)} ailesi, X üzerinde bir topoloji
oluşturur. Şimdi, (X, τ, E) soft uzayı üzerinde, aşağıdaki gibi tanımlanan (G, E) ve (H, E) soft kümelerini tanımlayalım.
G(e1) = {x1} G(e2) = {x1}
H(e1) = ∅ H(e2) = {x2}
Bu durumda; (G, E) ve (H, E), X üzerinde iki soft 𝛽-kapalı kümedir. Fakat, bu soft kümelerin birleşimi olan (G, E) (H, E) = {{x1},{x1, x2}} soft kümesi, X üzerinde bir
soft 𝛽-kapalı küme değildir.
Teorem 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Soft semi-kapalı olan her soft 𝛽-açık küme, soft semi-açıktır.
Ġspat. (F, E) S𝛽-O(X) (F, E) (F, E)– – ve
(F, E) Ss-C(X) (F, E)– (F, E) şeklindedir. Bu durumda,
–
(F, E) (F, E) (F, E)– – yazılabilir. (F, E)– = (U, E) bir soft açık küme olduğundan (U, E) (F, E) (U, E) yazabiliriz. O halde (F, E) bir soft semi-açık – kümedir.
Sonuç 3.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Eğer bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı
üzerindeki bir (F, E) soft kümesi, soft 𝛽-kapalı ve soft semi-açık ise; bu durumda (F, E), soft semi-kapalıdır.
Önerme 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) ayrık olmayan soft topolojik uzayındaki her soft 𝛽-açık küme, soft pre-açıktır.
Ġspat. Eğer (F, E) = Φ ise; bu durumda (F, E), bir soft 𝛽-açık ve soft pre-açık kümedir.
(F, E) Φ olsun, (F, E) S𝛽-O(X) (F, E) (F, E)– – = X = (F, E)– olur ki, bu
durumda (F, E), bir soft pre-açık kümedir.
Teorem 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki bir
(F, E) soft kümesinin soft 𝛽-kapalı olması için gerek ve yeter şart
– – – (X (F, E) ) (X (F, E) ) (F, E) – (F, E) olmasıdır. Ġspat. – – – (X (F, E) ) (X (F, E) ) (F, E) – (F, E) (X (F, E) – ) (X (F, E) ) – (F, E) – (F, E) (X (F, E) – ) (F, E) – (F, E) – (F, E) X (F, E) – (F, E) – (F, E) – (F, E) – (F, E) (F, E) – (F, E) – (F, E) – (F, E) (F, E) (F, E) – (F, E) soft 𝛽-kapalıdır.
Teorem 3.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Her soft 𝛽-açık ve soft α -kapalı küme, soft kapalıdır.
Ġspat. (F, E) S𝛽-O(X) olsun. Bu durumda, (F, E) (F, E)– – dir.
(F, E) S -C(X) olduğundan; α (F, E)– – (F, E) dir. Buradan – –
(F, E) (F, E) (F, E)– – yazılır ki bu durumda, (F, E) = (F, E)– – olduğundan; (F, E), soft kapalı kümedir.
Sonuç 3.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Her soft 𝛽-kapalı ve soft α -açık küme, soft açıktır.
4. SOFT 𝛽-SÜREKLĠ DÖNÜġÜMLER
4.1. Soft 𝛽-Süreklilik
Tanım 4.1.1 (Bayramov, Aras, 2013) (F, E), X üzerinde bir soft küme olsun. Eğer her
eE için, F(e) = {x} ve her e ' E - {e} için, F( e ' ) = ∅ ise; (F, E) ye, soft nokta denir ve (xe, E) şeklinde tanımlanır.
Şimdi soft 𝛽-açık kümeleri kullanarak soft 𝛽-süreklilik kavramını tanımlayalım.
Tanım 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) ve (Y, τ ', E) iki soft topolojik uzay olsunlar. Bir f : (X, τ, E) (Y, τ ' , E) fonksiyonu;
(i) (Mahanta, Das, 2012) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için,
1
f (G, E), (X, τ, E) de bir soft semi-açık küme ise; soft semi-sürekli olarak,
(ii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E) de
bir soft pre-açık küme ise; soft pre-sürekli olarak,
(iii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E)
de bir soft α -açık küme ise; soft α -sürekli olarak,
(iv) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E) de
bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-sürekli olarak,
(v) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft 𝛽-açık kümesi için, 1
f (G, E), (X, τ, E)
de bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-irresolute olarak, adlandırılır.
Soft 𝛽-sürekli fonksiyonların sınıfı, soft semi-sürekli ve soft pre-sürekli fonksiyonların kümesini içerir.
Soft sürekliliğin diğer türleri ve bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Soft süreklilik Soft α-süreklilik Soft semi-süreklilik (1)
Soft pre-süreklilik (2) Soft 𝛽-süreklilik
Aşağıdaki örneklerde, (1) ve (2) gerektirmelerinin terslerinin genelde doğru olmadığı gösterilmiştir.
Örnek 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak
verilsin. Ayrıca X üzerinde soft ayrık olmayan topoloji ve Y üzerinde de soft ayrık topoloji tanımlansın. Eğer ,
f (x1) = x2, f (x2) = x1, f (x3) = x3
olacak şeklide f : (X, τ, E) (Y, τ ' , E) fonksiyonu tanımlanırsa; bu durumda, f bir soft 𝛽-sürekli fonksiyon fakat, f bir soft semi-sürekli fonksiyon değildir.
Örnek 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak
verilsin. Bu durumda F1(e1) = {x1} F1(e2) = {x1} F2(e1) = {x2} F2(e2) = {x2} F3(e1) = {x1, x2} F3(e2) = {x1, x2} ve G1(e1) = {x1} G1(e2) = {x1} G2(e1) = {x1, x2} G2(e2) = {x1, x2}
şeklinde tanımlanan soft kümeler için,
τ {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E)} ve τ ' {Φ, Y , (G1, E), (G2, E)} aileleri, sırasıyla;
X ve Y üzerinde bir soft topoloji oluştururlar. Eğer,
f (x1) x2, f (x2) x3, f (x3) x2
olacak şeklide f : (X, τ, E) (Y, τ ' , E) fonksiyonunu alırsak; bu durumda, f, bir soft 𝛽-sürekli fonksiyondur, fakat; f bir soft pre-sürekli fonksiyon değildir. Çünkü
1
