Soft

Tanım 4.1.1 (Bayramov, Aras, 2013) (F, E), X üzerinde bir soft küme olsun. Eğer her

eE için, F(e) = {x} ve her e ' E - {e} için, F( e ' ) = ∅ ise; (F, E) ye, soft nokta denir ve (xe, E) şeklinde tanımlanır.

Şimdi soft 𝛽-açık kümeleri kullanarak soft 𝛽-süreklilik kavramını tanımlayalım.

Tanım 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) (X, τ, E) ve (Y, τ ', E) iki soft topolojik uzay olsunlar. Bir f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonu;

(i) (Mahanta, Das, 2012) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için,

1

f (G, E), (X, τ, E) de bir soft semi-açık küme ise; soft semi-sürekli olarak,

(ii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E) de

bir soft pre-açık küme ise; soft pre-sürekli olarak,

(iii) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E)

de bir soft α -açık küme ise; soft α -sürekli olarak,

(iv) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft açık kümesi için, f1(G, E), (X, τ, E) de

bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-sürekli olarak,

(v) eğer (Y, τ ' , E) de ki her (G, E) soft 𝛽-açık kümesi için, 1

f (G, E), (X, τ, E)

de bir soft 𝛽-açık küme ise; soft 𝛽-irresolute olarak, adlandırılır.

Soft 𝛽-sürekli fonksiyonların sınıfı, soft semi-sürekli ve soft pre-sürekli fonksiyonların kümesini içerir.

Soft sürekliliğin diğer türleri ve bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Soft süreklilik  Soft α-süreklilik  Soft semi-süreklilik  (1)

Soft pre-süreklilik (2) Soft 𝛽-süreklilik

Aşağıdaki örneklerde, (1) ve (2) gerektirmelerinin terslerinin genelde doğru olmadığı gösterilmiştir.

Örnek 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak

verilsin. Ayrıca X üzerinde soft ayrık olmayan topoloji ve Y üzerinde de soft ayrık topoloji tanımlansın. Eğer ,

f (x1) = x2, f (x2) = x1, f (x3) = x3

olacak şeklide f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonu tanımlanırsa; bu durumda, f bir soft 𝛽-sürekli fonksiyon fakat, f bir soft semi-sürekli fonksiyon değildir.

Örnek 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Y = {x1, x2, x3}, E = {e1, e2} olarak

verilsin. Bu durumda F1(e1) = {x1} F1(e2) = {x1} F2(e1) = {x2} F2(e2) = {x2} F3(e1) = {x1, x2} F3(e2) = {x1, x2} ve G1(e1) = {x1} G1(e2) = {x1} G2(e1) = {x1, x2} G2(e2) = {x1, x2}

şeklinde tanımlanan soft kümeler için,

τ {Φ, Χ , (F1, E), (F2, E), (F3, E)} ve τ '  {Φ, Y , (G1, E), (G2, E)} aileleri, sırasıyla;

X ve Y üzerinde bir soft topoloji oluştururlar. Eğer,

f (x1)  x2, f (x2)  x3, f (x3)  x2

olacak şeklide f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) fonksiyonunu alırsak; bu durumda, f, bir soft 𝛽-sürekli fonksiyondur, fakat; f bir soft pre-sürekli fonksiyon değildir. Çünkü

1

Şimdi soft 𝛽-sürekliliğin bazı karakterizasyonlarını verelim.

Teorem 4.1.2 (Yumak, Kaymakcı, 2013) f : (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) bir soft fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.

(i) f, soft 𝛽-süreklidir.

(ii) X üzerindeki her bir (xe, E) soft noktası ve f (xe, E) = (f (xe), E) yi içeren Y

de ki her bir (G, E) soft açık kümesi için, f (F, E)  (G, E) olacak şekilde X üzerinde (xe, E) yi içeren bir (F, E) soft 𝛽-açık kümesi vardır.

(iii) Y deki her bir soft kapalı kümenin ters görüntüsü, X de soft 𝛽-kapalıdır.

(iv) Y deki her bir (G, E) soft kümesi için,



f1(G, E)



 –   f1



(G, E)–



dir.

(v) X deki her bir (F, E) soft kümesi için, f



(F, E) – 







f(F, E)



– dir.

Ġspat.

(i)  (ii) f (xe, E) = (f (xe), E) yi içeren (G, E)  Y soft açık küme olduğundan,

1 (G, E)

f S𝛽-O(X) dir. f1(G, E) = (F, E) soft𝛽-açık kümesi, (xe, E) yi içerir ve

böylece; f (F, E)  (G, E) dir.

(i)  (iii) (G, E)  S.C(Y) olsun. Bu durumda; 



Y (G, E)



 S.O(Y) dir.

f , soft𝛽- sürekli olduğundan; 1







Y (G, E)

f   S𝛽-O(X) dir. Böylece;





1



X f (G, E)  S𝛽-O(X) elde edilir. Bu durumda; f1(G, E) S𝛽-C(X) yazılır.

(iii)  (iv) (G, E), Y üzerinde bir soft küme olsun. Bu durumda;





1 – (G, E) f S𝛽-C(X) dir. O halde;





1 – (G, E) f 



f1



(G, E)–



 –  



f1(G, E)



 – 

(iv)  (v) (F, E), X üzerinde bir soft küme ve f(F, E) = (G, E) olsun. Bu durumda; (iv) e göre,







₁



–

(F, E)

f f    f1



f(F, E)



–



 (F, E) –   f1



f(F, E)



–



 f



(F, E) – 







f(F, E)



–

(v)  (i) (G, E)  S.O(Y), (H, E) = Y (G, E) ve (F, E) = f1(H, E) olsun. (v) e göre; f



f1(H, E)



 – 







f



f1(H, E)



–  (H, E) = (H, E) dir. Böylece, –



₁



– (H, E)

f    f1(H, E) dir. Bu durumda; f1(H, E) S.𝛽.C(X) dir. O halde; (iii) e göre, f soft 𝛽-sürekli fonksiyondur.

Uyarı 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) İki soft 𝛽-sürekli fonksiyonun bileşkesinin soft

𝛽-sürekli olması gerekmez. Bu durum aşağıdaki örnekle gösterilmiştir.

Örnek 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) X = Z = {x1, x2, x3}, Y = {x1, x2, x3, x4} ve

E = {e1, e2} olarak verilsin. Bu durumda

F(e1) = {x1} F(e2) = {x1}

G(e1) = {x1, x3} G(e2) = {x1, x3}

ve

H1(e1) = {x3} H1(e2) = {x3}

H2(e1) = {x1, x2} H2(e2) = {x1, x2}

şeklinde tanımlanan soft kümeler için,

τ = {Φ, Χ , (F, E)}, τ ' = {Φ, Y , (G, E)} ve τ '' = {Φ, Z , (H1, E), (H2, E)}aileleri,

sırasıyla; X, Y ve Z üzerinde bir soft topoloji oluştururlar. Şimdi, I : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ', E) birim fonksiyonunu ve

f (x1) = x1, f (x2) = f (x4) = x2, f (x3) = x3

olacak şeklide f : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) fonksiyonunu alalım. I ve f fonksiyonlarının her biri, soft 𝛽-sürekli fonksiyondur fakat; f o I fonksiyonu, soft 𝛽-sürekli değildir. Çünkü (f o I)-1

Tanım 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Eğer f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) fonksiyonu,

soft 𝛽-sürekli(soft 𝛽-irresolute) birebir, örten ve f -1: (Y, τ ' , E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu da, bir soft 𝛽-sürekli(soft 𝛽-irresolute) ise; f, soft 𝛽-homeomorfizm(soft 𝛽r- homeomorfizm) olarak isimlendirilir.

Şimdi biz (Y, τ ' , E) soft uzayı yerine, (X, τ, E) soft uzayını alarak aşağıdaki tanımı verebiliriz.

Tanım 4.1.4 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için, aşağıdaki

iki fonksiyon kümesini tanımlayalım:

S𝛽-h(X, τ, E) = { f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft 𝛽-sürekli birebir örten,

f -1: (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu da bir soft 𝛽-sürekli}

S𝛽r-h(X, τ, E) = { f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft 𝛽-irresolute birebir örten,

f -1: (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) fonksiyonu da bir soft 𝛽-irresolute}

Teorem 4.1.3 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için,

S-h(X, τ, E)  S𝛽r-h(X, τ, E)  S𝛽-h(X, τ, E)

dir. Burada

S-h(X, τ, E) ={ f | f : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) soft-homeomorfizm} dır.

Ġspat. İlk olarak; her f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) soft homeomorfizminin

soft 𝛽r-homeomorfizm olduğunu gösterelim. (G, E)S.𝛽.O(Y) olsun. Bu durumda; (G, E)  (G, E)– – dir. Böylece; f1(G, E)  f1



(G, E)– –



=



f1(G, E)



– – yazılabilir, bu durumda; 1

(G, E)

f S.𝛽.O(X) elde edilir. O halde; f , soft 𝛽-irresolute fonksiyondur. Benzer yöntemle; 1

f fonksiyonun da, soft 𝛽-irresolute olduğu gösterilebilir. O halde; S-h(X, τ, E)  S𝛽r-h(X, τ, E) olduğu gösterilmiş olur.

Son olarak, S𝛽r-h(X, τ, E)  S𝛽-h(X, τ, E) dir çünkü; her soft 𝛽-irresolute

Teorem 4.1.4 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için,

S𝛽r-h(X, τ, E) kümesi fonksiyonların bileşkesi işlemi altında bir grup oluşturur.

Ġspat. Eğer f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) ve g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E), iki

soft 𝛽r-homeomorfizm ise, bu durumda bunların bileşkesi olan

gof : (X, τ, E)⟶ (Z, τ '' , E) fonksiyonu da, soft 𝛽r-homeomorfizmdir. Açıktır ki;

f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) bir soft 𝛽r-homeomorfizmi için,

f -1: (Y, τ ' , E) ⟶ (X, τ, E) ve 1 : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) birim fonksiyonu da, soft 𝛽r-homeomorfizmdir. g, h  S𝛽r-h(X, τ, E) ve (h o g) de, g ile h nin bileşke

fonksiyonu olmak üzere;

α : S𝛽r-h(X, τ, E)  S𝛽r-h(X, τ, E) → S𝛽r-h(X, τ, E), α ( g, h) = h o g

şeklindeki ikili işlem, iyi tanımlıdır. Yukarıdaki özellikler yardımıyla, S𝛽r-h(X, τ, E)

kümesinin, fonksiyonların bileşkesi işlemi altında bir grup oluşturduğu görülür.

Teorem 4.1.5 (Yumak, Kaymakcı, 2013) Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı üzerindeki

tüm soft homeomorfizmlerin kümesi olan S-h(X, τ, E) grubu, S𝛽r-h(X, τ, E) grubunun

bir alt grubudur.

Ġspat. Herhangi g, h  S-h(X, τ, E) için, α (g, h-1

) = h-1o g  S-h(X, τ, E) ve

1X  S-h(X, τ, E) ∅ şeklindedir. Bu durumda 4.1.3 Teorem ve 4.1.4 Teorem

kullanılarak S-h(X, τ, E) nin, S𝛽r-h(X, τ, E) grubunun bir alt grubu olduğu kolaylıkla

görülebilir.

Bir (X, τ, E) soft topolojik uzayı için, eğer (X, τ, E)  (Y, τ ' , E) homeomorfizmi varsa; bu durumda, S𝛽r-h(X, τ, E) S𝛽r-h(X, τ, E) grup izomorfizması

vardır.

Sonuç 4.1.1 (Yumak, Kaymakcı, 2013) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ', E) ve

g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) şeklinde iki fonksiyon olsun.

(i) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) bir soft 𝛽r-homeomorfizm olsun. Bu durumda; herhangi bir gS𝛽r-h(X, τ, E) için f(g) = f o g o f -1 şeklinde tanımlanan bir

(ii) f : (X, τ, E) ⟶ (Y, τ ' , E) ve g : (Y, τ ' , E) ⟶ (Z, τ '' , E) iki soft 𝛽r-homeomorfizmi için, (gof)_=g of_{ }: S𝛽r-h(X, τ, E) ⟶ S𝛽r-(Z, τ '' , E)

fonksiyonu sağlanır.

(iii) 1X : (X, τ, E) ⟶ (X, τ, E) birim fonksiyonu için,

(1 )_{X }= 1 : S𝛽r-h(X, τ, E) ⟶ S𝛽r-h(X, τ, E) fonksiyonu sağlanır. Burada 1, birim

izomorfizmayı tanımlar.

5. SONUÇ VE ÖNERĠLER

5.1. Sonuçlar

Bu tez çalışmasında, ilk olarak; soft küme ve soft topoloji hakkında literatürde yer alan ve özellikle bizim çalışmalarımızda yardımcı olacak kavramlar gösterilmiş ve bunların daha iyi anlaşılması için çeşitli örnekler verilmiştir. Daha sonra, tezimizin temel konusu olan soft beta açık küme kavramı verilip, bu kavramla diğer soft açık küme çeşitleri arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

Son bölümde ise, soft beta-sürekli fonksiyon ve soft beta-irresolute fonksiyon kavramı verilmiş ve soft beta-sürekli fonksiyonun diğer soft süreklilik çeşitleriyle olan ilişkileri gösterilmiştir. Ayrıca; soft beta-homeomorfizm ve soft beta irresolute- homeomorfizm kavramları tanımlanıp, aynı soft topolojik uzaylar arasında tanımlanan tüm soft beta irresolute-homeomorfizma fonksiyonların kümesinin fonksiyonların bileşke işlemi altında bir grup oluşturduğu gösterilmiştir.

5.2. Öneriler

Çalışmamızda; soft beta-açık kümelerle alakalı bazı yeni karakterizasyonlar ve süreklilikle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Yine aynı küme çeşidi kullanılarak genel topolojide mevcut olan bağlantılılık, kompaktlık, ayırma aksiyomları gibi konular üzerine çalışılabilir.

KAYNAKLAR

Andrijević, D., Ganster, M., 1987, A note on the topology generated by preopen sets, Math. Vesnik, 39, 115-119.

Andrijević, D., 1987, On the topology generated by preopen sets, Math. Vesnik, 39, 367-376.

Aktaş, H., Çağman, N., 2007, Soft sets and soft group, Information Science, 177, 2726- 2735.

Ali, M. I., Feng, X.Y., Liu, W.K., Shabir, M., 2009, On some new operations in soft set theory, Computers and Mathematics with Applications,, 57, 1547-1553.

Arockiarani, I., Lancy, A. A., 2013, Generalized soft g β-closed sets and soft gsβ-closed sets in soft topological spaces, International Journal of Math. Archive, 4, 1-7. Bashir, A., Sabir, H., 2012, On some structures of soft topology, Ahmad and Hussain

Mathematical Sciences, 62, 64.

Bayramov, S., Aras, C. G, 2013, Soft locally compact and soft paracompact spaces, Journal of Mathematics and System Science, 3, 122-130.

Chen, B., 2013, Some local properties of soft semi-open sets, Discrete Dynamics in Nature and Society, Article ID 298032, 6.

Chen, B., 2013, Soft semi-open sets and related properties in soft topological spaces, Applied Mathematics and Information Sciences, 7, 287-294.

Çağman, N., Karataş, S., Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Comput. and Math with Appl, 62.1, 351-358.

El-Deeb, N., Hasanein, I.A., Mashhour, A.S, Noiri, T., 1983, On p-regular spaces, Bull. Math. ,4, 311-315.

Feng, F., Jun, Y.B., Zhao, X.Z., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics with Applications, 56, 2621-2628.

Kannan, K., 2012, Soft generalized closed sets in soft topological spaces, Journal of Theoretical and Applied Information Tecnology, 37(1).

Mashhour, A.S., Abd El- Monsef, M.E., El-Deep, S.N., 1982, On precontinuous and weak precontinuous, Proc. Math. Phys. Soc. Egypt. Vol. 53, 47-53.

Mashhour, A.S., Abd El- Monsef, M.E., Hasanein, I.A., 1984, On pretopological spaces, Bull. Math., 76, 39-45.

Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-First results, Computers and Mathematics with Applications, 37, 19-31.

Maji, P. K., Biswas, R., Roy, A. R., 2003, Soft set theory, Computers and Mathematics with Applications, 45, 555-562.

Mahanta, J., Das, P. K., 2012, On soft topological space via semiopen and semiclosed soft sets, arXiv: 1203.4133.

Navalagi, G.B., 1998, Pre-neighbourhoods, Mathematics Education-India, 32, 201-206. Pie, D., Miao, D., 2005, From soft sets to information systems, Granular computing,

IEEE Inter. Conf., 2, 617-621.

Stine, J., Mielke, M.V., 2008, Pre-hausdorff spaces, arXiv preprint arXiv, 1175.

Shabir, M., Ali, M.I., 2009, Soft ideals and generalized fuzzy ideals in semigrups, New Math. Nat. Comput., 5, 599-615.

Sabir, H., Bashir, A., 2011, Some properties of soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 62, 4058-4067.

Shabir, M., Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 61, 1786-1799.

Yumak, Y., Kaymakcı, A.K., 2013, Soft beta open sets and their applications, arXiv:1312.6964v1.

Zou, Y., Xiao, Z., 2008, Data analysis approaches of soft sets under incomplete information, Knowl.-Based Syst., 21, 941-945.

ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : Yunus YUMAK

Uyruğu : T.C

Doğum Yeri ve Tarihi : Ereğli / 25.02.1981

Telefon : 05055679593

Faks : -

e-mail : yunusyumak@selcuk.edu.tr

EĞĠTĠM

Derece Adı Ġlçe Ġl Bitirme Yılı

Lise Ereğli Lisesi Ereğli Konya 1998 Üniversite Atatürk Yakutiye Erzurum 2003 Tezsiz Yüksek

Lisans Atatürk Yakutiye Erzurum 2005

Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi

2010-2012 Muş Alparslan Üniversitesi Araştırma Görevlisi

2012- Selçuk Üniversitesi Araştırma Görevlisi

UZMANLIK ALANI: Topoloji YABANCI DĠLLER: Ġngilizce ÇALIġMALAR

1. Y. Yumak, A. K. Kaymakcı, 2013, Soft beta open sets and their applications,

"The 2nd Abu Dhabi University Annual International Conference" Abu Dhabi,

Belgede Soft topolojik uzaylarda soft açık kümelerin bir modifikasyonu üzerine (sayfa 40-50)