Bazı özel n. mertebeden matrislerin keyfi tamsayı kuvvetlerinin hesaplanması ve uygulamaları

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

BAZI ÖZEL n. MERTEBEDEN MATRĠSLERĠN KEYFĠ TAMSAYI

KUVVETLERĠNĠN

HESAPLANMASI VE UYGULAMALARI Fikri KÖKEN

DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK Anabilim Dalı

Eylül-2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır

iv ÖZET

DOKTORA TEZĠ

BAZI ÖZEL n. MERTEBEDEN MATRĠSLERĠN KEYFĠ TAMSAYI KUVVETLERĠNĠN

HESAPLANMASI VE UYGULAMALARI Fikri KÖKEN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT 2012, 54 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Prof. Dr. Hasan ġENAY

Prof. Dr. Yücel TIRAġ Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK

Prof. Dr. Galip OTURANÇ

Bu çalışmada, esas köşegenin bir altındaki ve bir üstündeki köşegenler üzerindeki elemanları herhangi bir kompleks sayı ve bunlar dışındaki bütün elemanları sıfır olan sirkülant ve skew sirkülant matrislerin pozitif tamsayı kuvvetleri için genel ifadeler elde edildi. Sonuç olarak, kuvvet matrisinin herhangi bir elemanı; matrisin elemanlarına, mertebesine, istenilen kuvvetine ve Chebyshev polinomlarına bağlı olarak elde edildi. Ayrıca elde edilen bu sonuçlarla ilgili nümerik örnekler ve Maple 14 programında algoritmalar verildi.

Anahtar Kelimeler: Sirkülant Matris, Skew Sirkülant Matris, Chebyshev Polinomları, Matris Kuvvetleri.

v ABSTRACT

Ph.D THESIS

APPLICATIONS AND ON COMPUTING OF ARBITRARY POSITIVE INTEGER POWERS FOR SOME PRIVATE TYPE OF n ORDER MATRĠCES

Fikri KÖKEN

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN DEPARTMENT OF MATHEMATĠCS

Advisor: Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT 2012, 54 Pages

Jury

Advisor Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Prof. Dr. Hasan ġENAY

Prof. Dr. Yücel TIRAġ Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK

Prof. Dr. Galip OTURANÇ

In this study, the general expression for positive integer power of circulant and skew matrices of which entries on a sub and sup diagonals are any complex numbers and other all entries apart from these are zero has been procured. As a result, any entry of power matrix based on the entries, order, desired power of matrix, and Chebyshev polynomials has been obtained. Furthermore, numeric examples and algorithms using Maple 14 programme which are related to aforementioned results have been given.

Keywords: Circulant Matrix, Skew Circulant Matrix, Chebyshev Polynomials, Matrix Powers.

vi ÖNSÖZ

Bazı Özel n. Mertebeden Matrislerin Keyfi Tamsayı Kuvvetlerinin Hesaplanması ve Uygulamaları adlı bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı öğretim üyesi Prof. Dr. Durmuş BOZKURT yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne doktora tezi olarak sunulmuştur.

Bu tezin hazırlanmasında bana yol gösteren ve her türlü desteği sağlayan danışmanım Sayın Prof. Dr. Durmuş BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Saadet ARSLAN hocalarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Fikri KÖKEN KONYA-2012

vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi 1. GĠRĠġ ... 1 1.1 Amacı ve Önemi ... 1 1.2 Literatür Özeti ... 1 1.3 Temel Kavramlar ... 4

2. SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN KUVVETLERĠ ... 10

2.1. Çift Mertebeli Sirkülant Matrisler ... 13

2.1.1 Nümerik örnek ... 19

2.1.2 Bilgisayar uygulaması ... 20

2.2. Tek Mertebeli Sirkülant Matrisler ... 21

2.2.1 Nümerik örnek ... 25

2.2.2 Bilgisayar uygulaması ... 25

3. SKEW SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN KUVVETLERĠ ... 27

3.1 Çift Mertebeli Skew Sirkülant Matrisler ... 28

3.1.1 Nümerik örnek ... 31

3.1.2 Bilgisayar uygulaması ... 32

3.2 Tek Mertebeli Skew Sirkülant Matrisler ... 32

3.2.1 Nümerik örnek ... 36

3.2.2 Bilgisayar uygulaması ... 37

4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA ... 38

5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 39

5.1 Sonuçlar ... 39

5.2 Öneriler ... 39

KAYNAKLAR ... 40

EKLER ... 43

EK-1 Sirkülant Matrislerin Kuvvetleri ... 43

EK-2 Skew Sirkülant Matrislerin Kuvvetleri ... 49

viii

SĠMGELER VE KISALTMALAR

Simgeler



 : pozitif doğal sayılar kümesi,

 : kompleks sayılar kümesi,

n k : n böler k,

|

n k : n bölmez k,

sign(x) : işaret fonksiyonu

x

 

  : x reel sayısını geçmeyen en büyük tamsayı n

A : a_kj elemanlarına sahip genel bir n-kare matris, n A : A_n matrisinin eşleniği, T n A : A_n matrisinin transpozesi, * n

A : A_n matrisinin eşlenik transpozesi,

1 n A :A_n matrisinin tersi, n I : birim matris,





det AI : A_n matrisinin karakteristik polinomu, k

 : A_n matrisinin k. öz değeri, k

w : birimin n. dereceden k. kökü, n

C : ckj elemanlarına sahip genel bir n-kare sirkülant matris, j

 : Cn matrisinin öz değerleri, n

F : Fourier matrisi,

n

D : C_n matrisinin köşegen öz değer matrisi, n

S : s elemanlarına sahip genel bir n-kare skew sirkülant matris, _kj

j

 : S matrisinin öz değerleri, _n

n

G : S matrisinin köşegen öz değer matrisi, _n

Kısaltmalar

( ) h

T x : birinci tip Chebyshev polinomu,

( ) h

1. GĠRĠġ

Sirkülant matrisler, 19. yüzyılın sonlarından bu güne kadar matematik literatüründe önemli bir yer tutan Toeplitz matrislerinin özel bir hali olup fizik, olasılık ve istatistik teorisi, nümerik analiz, sayılar teorisi ve geometri gibi matematiğin çeşitli dallarındaki pek çok problem ile yakından ilgilidir. Bunun dışında sirkülant matrislerin birtakım özellikleri açıklanırken Fourier analizi ve grup teorisi alanlarından faydalanılır ki, bu da bu matrislerin daha birçok konu ile bağlantılı olduğunu göstermektedir (Davis, 1979; Wilde, 1983).

1.1 Amacı ve Önemi

Bu çalışmanın amacı, bazı diferansiyel ve fark denklemlerinin veya gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde ortaya çıkan bir matrisin herhangi bir tam sayı kuvvetinin hesaplanmasını matris çarpımı ile yapmak yerine, daha kolay ve hızlı bir yolla hesaplamaya çalışmaktır. Yani, özel bazı matrislerin herhangi bir pozitif tamsayı kuvvetini veren genel ifadeler elde etmektir. Bu genel ifadeler sadece matrisin elemanlarına, öz değerlerine ve Chebyshev polinomlarına bağlı olarak elde edilecektir. Ayrıca, verilen genel ifadede matrisin elemanları, mertebesi ve kuvveti değiştirilerek farklı uygulama alanlarına aktarabilecektir.

Son yıllarda diferansiyel denklemlerin çözümlerinde kullanılan bir kare matrisin kuvvetinin hesaplanmasında sayısal matrisler ile fark denklemleri oluşturarak formülleştirme yöntemleri kullanılmıştır. Sayısal bazı matrisler için matrislerin herhangi bir pozitif kuvvetinin hesaplanması, birçok çalışmada elemanlar değiştirilerek yapılmıştır. Kuvvet matrisinin herhangi bir elemanını veren genel ifade; matrisin öz değerleri ve Chebyshev polinomları ile verilmiştir. Bu matrisleri değiştirerek, Rimas birçok çalışmasında çok boyutlu gecikmeli sistemlerin ve dinamiklerinin analizini ortaya koymuştur (Rimas, 1972; Rimas, 1977).

1.2 Literatür Özeti

Çalışmanın bu kısmında sirkülant matrislerin ve üç bant matrislerin herhangi bir pozitif tam sayı kuvvetinin hesaplanışı ile ilgili literatürde yapılmış olan çalışmalardan bahsedilecektir.

Matematiğin ve mühendisliğin birçok alanında, örneğin yüksek mertebeden türev içeren sınır değer problemlerin çözümlerinde sirkülant ve üç bant matrisler gibi özel matrisler ortaya çıkar. Ayrıca, bu problemlerinin çözümünde ortaya çıkan matris fonksiyonlarının terslerinin ve kuvvetlerinin hesaplanmasına ihtiyaç duyulur (Rimas, 1977; Leonaite ve Rimas, 2006).

Jonas Rimas’ın çalışmalarında bahsedildiği gibi; bazı fark, diferansiyel ve gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, bazı özel tipteki kare matrislerin keyfi pozitif tamsayı kuvvetlerinin hesaplanması gerekir. Kuvvet hesaplaması için seçilen özel matrislerin kuvvetlerinin elemanları için genel formüller elde edilmiştir. Rimas’ın çalışmaları, sayısal özel değerlere sahip birçok üç bant matris, beş bant matris ve simetrik sirkülant matris içermektedir.

Literatürde yapılan çalışmaların birçoğunda özel sirkülant ve üç bant matrislerin keyfi pozitif kuvvetlerini elde etmek için, ilk olarak yine bu matrislere uygun bazı yardımcı üç bant matrisler alınarak matrislerin karakteristik denklemleri elde edilir. Bu üç bant matrislerin mertebelerine bağlı elde edilen fark denklemleri Chebyshev polinomlarının rekürans denklemlerine benzetilerek, Chebyshev polinomlarının kökleri bilindiğinden, matrisin karakteristik polinomunun kökleri bulunur. Yani, fark denklemlerinin çözümünden üç bant matrislerin öz değerleri elde edilir. Öz değerlerin simetri durumu göz önüne alınarak matrisin Jordan formunda, bulunan bu ifadeler yerlerine yerleştirilir. Jordan formunda yazılan çarpımsal matrisler için matrisin kuvveti, öz değerlerin kuvvetine göre yazılır. Gerekli düzenlemeler sonucunda matrisin herhangi bir kuvveti, Chebyshev polinomları cinsinden ifade edilerek istenilen genel ifade elde edilmiştir. Örneğin;

Rimas’ın yaptığı çalışmalarda (Rimas, 2005(vol:165, 137-141)) ve (Rimas, 2005(vol:169, 1016-1027)) yukarıda bahsedilen yöntem ile alt ve üst köşegen elemanları 1 ve esas köşegen elemanları 0 olan simetrik sirkülant matrisler incelenmiştir.

Rimas 2005 de, “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of even order tridiagonal matrices with zero row–I, Applied Mathematics and Computation, 164, 149–154” ve “On computing of arbitrary positive integer powers for one type of odd order tridiagonal matrices with zero row –I, Applied Mathematics and Computation, 169, 1390–1394”, çalışmalarında ilk satır elemanları sıfır, son satırındaki

, 1 2

n n

mertebelerini n2k ve n2k1 şeklinde almış iki farklı çalışmada bu matrislerin kuvvetini incelemiştir.

Rimas, bu yöntemi kullanarak, (Rimas, 2005(vol:168); Rimas, 2005(vol:171); Rimas, 2006(vol:172) ve Rimas, 2006(vol:174)) verilen çalışmalarında alt ve üst köşegen elemanları 1 ve esas köşegen elemanları 0 olan çift ve tek mertebeli üç bant matrisler için istenilen kuvvetin genel ifadesini vermiştir.

Rimas, (Rimas, 2005(vol:164)) ile verilen çalışmasında önceki çalışmalarında kullandığı Jordan formu yöntemindeki T matrisini Chebyshev polinomları ile ifade etmiştir. Ele alınan matrislerin öz değerlerini bulup bunlara karşılık gelen öz vektörleri formüle etmiştir. Bu öz vektörlerin sütun şeklinde yazılması ile oluşan T matrisinin ve tersinin formüllerini elde edip, benzer çalışmalardaki kuvvet formüllerinin farklı bir ispatını elde etmiştir.

Davod Khojasteh Salkuyeh, 2006’daki çalışmasında üst köşegen elemanları a ,

alt köşegen elemanları c , esas köşegen elemanları b olan bir üç bant matris tanımlamıştır. Bu matrisin öz değerlerini ve bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörleri verilmiştir. Ayrıca, öz değer ayrışım teoremini kullanarak bu matrislerin herhangi pozitif tam sayı kuvvetlerini sinüs ve cosinüs fonksiyonlarına bağlı ifadeler içeren genel bir formül vermiştir.

Jesus Gutie´rrez-Gutie´rrez, 2008’de “Positive integer powers of complex

symmetric circulant matrices, Applied Mathematics and Computation, 202, 877–881”

çalışmasında 1 1 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 ( , ,..., , ,..., ), ( , ,..., , , ,..., ), n n n n n n

circ b b b b b n tek ise

B

circ b b b b b b n çift ise

 

 

   

şeklinde genel bir simetrik sirkülant matris tanımlamış ve bu matrisin öz değer ve öz vektörlerini hesaplamıştır. Bu öz değerleri ve bunlara karşılık gelen öz vektörleri kullanarak B_n matrisinin öz değer ayrışımını yapmıştır. Bu ayrışımı kullanarak matrisin herhangi bir pozitif kuvvetinin elemanlarının genel ifadesini elde etmiştir.

Jesus Gutie´rrez-Gutie´rrez, 2008’deki, “Positive integer powers of certain

tridiagonal matrices, Applied Mathematics and Computation, 202, 133–140”

çalışmasında tridiagn



a a a1, 0, 1

 

a0, 0 a1  şeklindeki bir üç bant matrisin



Jesus Gutie´rrez-Gutie´rrez, 2008’deki, “Positive integer powers of complex

skew-symmetric circulant matrices, Applied Mathematics and Computation, 202, 798– 802” isimli çalışmasında 2 1 1 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , ,..., , ,..., ), ( , ,..., , 0, n ,..., ), n n n n

circ b b b b b n tek ise

B

circ b b b b b n çift ise

         _{ } 

şeklindeki bir skew sirkülant matrisin tam sayı kuvvetlerini hesaplamıştır.

Jesus Gutie´rrez-Gutie´rrez, 2008’deki “Powers of tridiagonal matrices with

constant diagonals, Applied Mathematics and Computation, 206, 885–891”

çalışmasında tridiagn



a a a1, 0, 1

 

a a1 1 0



şeklindeki bir üç bant matrisin kuvvetini

formülüze etmiştir.

M. Elouafi ve A. D. A Hadj, 2009’daki “On the powers and the inverse of a

tridiagonal matrix, Applied Mathematics and Computation, 211, 137–141”

çalışmasında en genel anlamdaki üç bant matrisleri ele alıp, bu matrisler için bir öz değer ayrışımı ortaya koymuştur. Üç bant matrislerin kuvvetlerini ve terslerini veren genel ifadeler elde etmiştir. Sonuç olarak, bir üç bant matrisin kuvvetinin ve tersinin katsayılarını kullanarak bazı bağıntılar elde etmiştir.

1.3 Temel Kavramlar

Bu bölümde, çalışmamızda kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilecektir.

Tanım 1.1 *

n

A , A_n matrisinin eşlenik transpozesini göstermek üzere,

* *

n n n n

A A A A I

eşitliği sağlanırsa An matrisine üniter matris denir. Eğer An reel ise An’e ortogonal matris denir.

Tanım 1.2 n_{ ve}  2

1

i   olmak üzere wn 1 denkleminin





2 / 0,1,..., 1 i k n k w e  k  n (1.1)

köklerine kompleks birimin n. mertebeden kökleri denir. Eğer k ile n aralarında asal ise k

w köküne primitif kök denir.

Bu çalışmada aksi belirtilmedikçe k1 durumu _w1 _{w e}2ni _{primitif kökü ele}

Tanım 1.3 C_n 

  

c_kj c_kj , olmak üzere, elemanlarının indisleri



j k t



modn



şeklinde tanımlanan ve C_n circ c c



₀, ,...,₁ c_n1



şeklinde ilk satırı ile ifade edilen

0 1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 n n n n n n n c c c c c c c c C c c c c c c c c                                 (1.2)

n n matrisine sirkülant matris denir. Genel anlamda bir sirkülant matris n elemanlı bir vektör olan ilk satırı ile temsil edilir. Sirkülant matrisler ilk satırındaki elemanların bir alt satırda bir sütun sağa kaydırarak oluşturulur. Bu yüzden ilk satırı ile ifade edilebilir (Davis, 1979; Gray, 2006).

Tanım 1.4 (1.1) denkleminden 2i /n

we  birimin n. dereceden primitif kökü olmak üzere, elemanları





* 1 , 0,1,..., 1 kj n _kj F w k j n n        (1.3)

ile verilen matrise Fourier matrisi denir. Tanımdan da anlaşılacağı gibi aynı mertebeli bütün sirkülant matrisler için Fourier matrisi aynıdır (Davis, 1979; Gray, 2006).

Tanım 1.5 (1.1) denklemindeki 2i /n

we  birimin n. dereceden primitif kökü ve



0,1,..., 1



k

c k n , C_n matrisinin elemanları olmak üzere

1 0 , 0,1,..., 1 n kj j k k c w j n     



  (1.4)

ifadesi C_n circ c c_n



₀, ,...,₁ c_n1



sirkülant matrisinin öz değerleridir (Davis, 1979; Gray, 2006).

Tanım 1.6 (1.4) ile verilen _j



j0,...,n1



, (1.2)’de verilen C_n matrisinin öz değerleri ve D_n köş



 ₀, ₁,...,_n1



matrisi de C_n’e ait öz değer matrisi olmak üzere

*

n n n n

C F D F (1.5)

matris denklemine C_n matrisinin öz değer ayrışımı denir (Davis, 1979; Gray, 2006). Sirkülant matrislerin birçok ilginç özelliği vardır. n n sirkülant matrisler için şunlar söylenebilir:

 Sirkülant matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanları aynıdır. Esas köşegene paralel olan köşegenler üzerindeki elemanları da aynıdır.

 A_n ve B_n sirkülant matrisler ve a ile b herhangi iki skaler olmak üzere

n n

aA bB matrisi de bir sirkülant matristir.

 Aynı mertebeli iki sirkülant matrisin çarpımı yine bir sirkülant matristir.

 Aynı mertebeli iki sirkülant matrisin çarpımı değişme özelliğine sahiptir.

 Eğer bir sirkülant matris tekil değilse, tersi de sirkülant matristir.

 Sirkülant matrislerin transpozeleri de sirkülanttır.

 Sirkülant matrisler normal matrislerdir.

Sirkülant matrislerin birçok özelliği (Davis, 1979; Gray, 2006) kitaplarında verilmiştir. Tanım 1.7 S_n 

  

s_kj s_kj



ve j k t



modn



elemanların indisleri olmak üzere



0, ,...,1 1



n n

S scirc s s s _ şeklinde ilk satırı ile ifade edilen ve esas köşegenin altındaki elemanların işaret değiştirerek bir alt satırda bir sütun sağa kaydırılması ile oluşturulan

0 1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 1 1 2 1 0 n n n n n n n s s s s s s s s S s s s s s s s s         _              _{  }             (1.6)

formundaki matrise n n skew sirkülant matris denir (Davis, 1979). Tanım 1.8 (1.1)’de verilen 2i /n

we  birimin n. dereceden primitif kökü olmak üzere,

 





2 1 2 1 [ ] , 0,1,..., 1 k j n kj G g w k j n n      (1.7)

elemanları ile verilen matrise dönüşüm matrisi denir. Bu matris Fourier matrisi kullanılarak



1/2 ( 1)/2



1, ,..., n

n n

G köş w w  F (1.8)

şeklinde ifade edilir (Davis, 1979). Tanım 1.9 2i /n

we  birimin n. dereceden primitif kökü olmak üzere herhangi bir



0, ,...,1 1



n n n

( 2 1) 1 2 0 , 0,1,..., 1 k j n i j k k s w j n     



  (1.9)

ile verilir (Davis, 1979).

Tanım 1.10 _j



j0,...,n1



, (1.6)’da verilen S skew sirkülant matrisinin öz _n

değerleri, Dn köş



 0 1 ...n1



öz değer matrisi ve





1/2 ( 1)/2

1, ,..., n

n n

G köş w w  F

dönüşüm matrisi olmak üzere S skew sirkülant matrisinin öz değer ayrışımı _n *

n n n n

S G D G (1.10)

eşitliği ile verilir (Davis, 1979).

Tanım 1.11 Birinci tip T x Chebyshev polinomu _h

 

 

cos

 

, arccos h

T x  h   x (1.11)

bağıntısı ile tanımlanan, x ’e bağlı h. dereceden bir polinomdur. x değişkeni



1,1



aralığında değerler alırken,  değişkeni

 

0, aralığında değerler alır. De Moivre teoremi kullanılarak (1.11) ifadesi, cos’ya göre h. dereceden bir polinom şeklinde

 

 

 

 

 

2

3 4 2

cos 0 1, cos 1 cos , cos 2 2 cos 1

cos 3 4 cos 3cos , cos 4 8cos 8cos 1, ...

    

     

   

    

olarak yazılabilir. Buradan, ilk birkaç T x Chebyshev polinomunu h

 

 

 

 

 

 

2 3 0 1 2 3 4 2 4 1, , 2 1, 4 3 , 8 8 1, ... T x T x x T x x T x x x T x x x          olarak yazabiliriz.

Biliyoruz ki,x ’nin tek kuvvetlerinin tek fonksiyon ve çift kuvvetlerinin çift

fonksiyon olduğu açıktır. Bu yüzden birinci tip Chebyshev polinomlarında x ’nin kuvvetlerinin tek ya da çift olması polinomun derecesine bağlı olarak h tek ise tek fonksiyon, h çift ise çift fonksiyon olmasını göstermektedir.

(1.11) ifadesinden T x birinci tip Chebyshev polinomlarının _h

 



1,1



aralığındaki x ’ler için sıfırları cos h

 

 ’nın

 

0, aralığındaki ’lar için sıfırlara karşılık gelmelidir. O halde





1 , 1, 2,...., 2 h _k _ k  h  

dir. Buradan T x polinomunun kökleri _h

 



1



_

_

2 cos , 1, 2,...., k k x x k h h     

olarak elde edilir.

Tanım 1.11 ile cos

 

h cos





h2







2cos cos





h1







trigonometrik özdeşliği kullanılarak

 

 

 

 

 

0 1 1 2 1, 2 , 2,3, ..., h h h T x T x x T x xT_ x T_ x h     

rekürans bağıntısı elde edilir (Mason ve Handscomb, 2003). Tanım 1.12 İkinci tip U_h

 

x Chebyshev polinomu

 

sin



1



, arccos sin h h U x   x     (1.12)

bağıntısı ile tanımlanan x ’e bağlı h. dereceden bir polinomdur. Benzer şekilde x

değişkeni



1,1



aralığında değerler alırken,  değişkeni

 

0, aralığında değerler alır. (1.12) ifadesi ve

 

 

 





 





2

3

sin 1 sin , sin 2 2sin cos , sin 3 sin 4 cos 1 , sin 4 sin 8cos 4 cos , ...

       

   

   

 

bağıntılarından ilk birkaç U_h

 

x Chebyshev polinomunun,

 

 

 

 

 

2 3 0 1 2 3 4 2 4 1, 2 , 4 1, 8 4 , 16 12 1, ... U x U x x U x x U x x x U x x x         

olduğu görülür. Birinci tip Chebyshev polinomlarına benzer şekilde ikinci tip Chebyshev polinomlarınında da tek ya da çift fonksiyon olması polinomun derecesine bağlı olarak h tek ise tek fonksiyon, h çift ise çift fonksiyon olur.

(1.12) ifadesinden U_h

 

x ikinci tip Chebyshev polinomlarının sıfırları











 



cos , 1, 2,...., 1 k k x y k h h      dir.

Tanım 1.12 ile sin





h1







sin





h1







2cos sin

 

h trigonometrik özdeşliği birleştirilerek

 

 

 

 

 

0 1 1 2 1, 2 2 , 2,3, ..., h h h U x U x x U x xU _ x U _ x h     

rekürans bağıntısı elde edilir. Diğer yandan, benzer işlemler yapılarak,

















 

sin h1  sin h1  2sin cos h

trigonometrik özdeşliğinden, birinci ve ikinci tip Chebyshev polinomları arasındaki rekürans bağıntısı,

 

2

 

2

 

, 2,3, ...,

h h h

U x U _ x  T x h

2. SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN KUVVETLERĠ

Çalışmanın bu bölümünde, kompleks elemanlı özel sirkülant matrislerin kuvvetleri ele alındı. Bu matrisin keyfi bir kuvvetini veren genel ifadeler matrisin mertebesine bağlı olarak iki kısımda incelendi. Bölümün girişinde her iki hesaplamada ortak kullanılacak olan sirkülant matrislerin öz değer ayrışım teoreminin ispatı ayrık Fourier dönüşümü kullanılarak verildi. Birinci kısımda, çift mertebeli matrislerin kuvvetlerini veren genel ifadeler elde edildi. Bu kısım matrisin elemanlarına ve herhangi bir kuvvetine bağlı genel bir nümerik örnek ve Maple 14 programına uygun hazırlanmış bir bilgisayar algoritması ile sonlandırıldı. İkinci kısımda ise, bu işlemler tek mertebeden matrisler için tekrar ele alındı.

Amacımız literatürdeki çalışmaları inceleyerek uygulamalı matematikte karşımıza çıkabilecek diferansiyel denklemlerin çözümlerinde kullanılacak uygun matrisler oluşturmaktır. Ayrıca, bu sirkülant matris, literatür özetinde bahsedilen Jonas Rimas’ın seçtiği matrisler gibi elemanları sayısal ya da Guetz’in çalışmalarında seçtiği gibi simetrik matrisler şeklinde değildir. Literatürdeki bir çok üç bant matris örneğine bakarak esas köşegen elemanları sıfır, esas köşegenin bir alt ve üst köşegen elemanları sıfırdan farklı kompleks elemanlı sirkülant matrisler tanımlanacaktır ve bu matrislerin kuvvet hesaplamaları yapılacaktır.

,

a b olmak üzere Cn circn



0, , 0,..., 0,a b



şeklinde tanımlanan sirkülant matrisin açık gösterimi

0 0 0 0 0 0 0 0 n n n a b b a C b a a b _                           (2.1) şeklindedir.

Bu bölümde, (2.1) ile verilen çift ve tek mertebeli özel sirkülant matrislerin herhangi bir q pozitif tam sayı kuvvetinin

 

k j elemanını veren genel bir ifade elde , . edilecektir.



0, ,...,1 1



n n n

C circ c c c _ şeklindeki herhangi bir sirkülant matrisin öz değer ayrışımı Bölüm 1’de (1.5) denklemi ile verilmişti. Fakat (2.1)’de tanımlanan matris için

ayrık Fourier dönüşümü uygulaması olarak aşağıda bir öz değer ayrışım teoremi ifade ve ispat edilecektir.

Bunun için, her n_{ ve} 

0  k n 1 için 2 1 0 1, 1 0, | imk n n m n k e n n k        



(2.2)

şeklinde tanımlanan eşitlik kullanacaktır (Gray, 2006).

İlk olarak, (2.1)’deki sirkülant matrisler için (1.4)’deki öz değer tanımı kullanılarak, matrisin öz değerleri

  2 1 2 , 0,1,..., 1 ij n ij n n j ae be j n           (2.3)

olarak elde edilir. F Fourier matrisi, sirkülant matrisin elemanlarından bağımsız _n

olduğundan tüm sirkülant matrisler için (1.3)’de tanımlanan matris öz vektör matrisi olarak ve D matrisi, köşegen elemanları (2.3)’de verilen öz değerden oluşan öz değer _n

matrisi olarak kullanılacaktır.

Teorem 2.1 (2.1)’de verilen C_n matrisi için F , öz vektör matrisi ve _n D , öz değer _n

matrisi olmak üzere

*

n n n n

C F D F

ifadesi geçerlidir.

Ġspat F Fourier matrisi üniter matristir (Davis, 1979). Dolayısıyla _n F F_{n n}*I,



* T 1



n

F F F dir. İki matrisin çarpımından *

n n F F ’nin

 

k j elemanı , .

 

2   1 1 * * 0 0 1 m j k n n _i n n n kj n km n mj m m F F F F e n              



 



olur. O halde k j durumunu için

 

2   1 1 * * 0 0 1 1 m k k n n _i n n n _kk n km n _mk m m F F F F e n               



 



(2.4)

dir. İkinci olarak, k  j, 0 j k,  n 1 için

 

2   1 1 * * 0 0 1 m j k n n i n n n kj n km n mj m m F F F F e n              



 



(2.5)

eşitliği elde edilir. 0 j k,  n 1 olduğundan k  j için      



n 1



j k n 1 aralığında olur ki, ancak, j k 0 ise n jk dır. Diğer durumlarda aralıktaki bütün değerler için n ’nin j k bölmeyeceği açıktır. Bu yüzden (2.2)’den, (2.5)’de verilen eşitlik   2 1 0 1, 1 0, | m j k n _i n m n j k e n n j k         _  



şeklinde elde edilir. Her iki durumda da j k 0 durumu (yani jk) için "1" ve diğer durumlarda "0"olur ki, bu da istenilendir. Sonuç olarak, F F_{n n}*F F_n* _n I_n olduğu açıktır.

İkinci adımda, *

n n n n

C F D F olduğunu göstermek için sağ taraftaki çarpım ifadesini

 

2 2  1

 

1 1 * * 0 0 m n m n n _{i i} n n n n n n kj n km m n mj n km jm m m F D F F F ae be F F                         



 



_ _   ele alalım.

 

2  1 2 1 1 1 0 0 : im j k im n n n n n km n _jm m m a L ae F F e n            



_{ } 



(2.6) ve  

 

  2 1 2 1 1 1 2 0 0 : im n im j k n n n n n km n _jm m m b L be F F e n             



_{ } 



(2.7) olmak üzere

 

* 1 2 n _kj n n n _kj C _F D F _  L L (2.8)

olarak yazılabilir. (2.6)’daki eşitlik için, j  k 1 0 ya da j   k 1 n ise



1



n j k olur ki, diğer durumlarda n ,



j k 1



’i bölmez. Bu yüzden (2.2)’den

 









2 1 1 0 1, 1 1 0, | 1 im j k n n m n j k e n n j k               



elde edilir. Sonuç olarak,









1 , 1 : 0, | 1 a n j k L n j k           (2.9)

dir. Benzer şekilde (2.7)’deki eşitlik için, j  k 1 0 ya da j  k 1 n ise n ,



j k 1



’i bölmez, ancak j  k 1 0 ve j  k 1 n durumlarında n j



 k 1



elde edilir. (2.2)’den  

_

_





2 1 1 0 1, 1 1 0, | 1 im j k n n m n j k e n n j k               



elde edilir ki









2 , 1 : 0, | 1 b n j k L n j k           (2.10)

olur. (2.8) eşitliği; (2.9) ve (2.10) eşitlikleri 0 j k,  n 1 aralığındaki değerler göz önüne alınarak düşünülürse,

 

*

 

 

, 1mod , , 1mod , 0, n _kj n n n _kj a j k n C F D F b j k n diger durumlarda       _{ } _      

sonucuna ulaşılır. Sirkülant matris tanımına göre alt ve üst köşegen üzerindeki elemanları dışındaki bütün elemanları sıfır olan (2.1)’deki sirkülant matris elde edilir.

Çalışmanın bundan sonraki kısmında daima t olarak alınacaktır.

2.1. Çift Mertebeli Sirkülant Matrisler

Çalışmanın bu kısmında (2.1)’de tanımlanan çift mertebeden kompleks elemanlı



0, , 0,..., 0,



n n

C circ a b sirkülant matrisinin keyfi bir q pozitif tamsayı kuvvetinin

 

k j elemanı için genel bir ifade elde edilecektir. , .

Teorem 2.2 a b, ve n2t olsun. C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a b



, cos , 1 s s s n n       için   _n2m2,   12 ve 1, 0 ( ) 0, 0 1, 0 x için sign x x için x için    _    

 

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_{ }

_

_

 

















 





 



2 2 1 1 1 1 1 n q j k q q q n _kj j k m q j k j k j k C a b a b i a b T sign j k n n i U a b i a b T sign j k i U                      _              _         _



ifadesi geçerlidir.

Ġspat (2.1)’de tanımlanan Cn matrisine ait (2.3)’deki m öz değeri ve Teorem 2.1’deki öz değer ayrışımı kullanılarak,

 

 

* * 1 1 n n q q q q n kj n n n kj n km n n mj n km m n jm m m C F D F F D F F  F                



 



  (2.11)

denklemi ile matrisin keyfi q pozitif tamsayı kuvvetinin

 

k j elemanı elde edilebilir. , . (2.11) denkleminde, (1.3)’de verilen Fourier matrisinin ifadesi 1k j, n için düzenlenip yerine yazılırsa,

   2 1 1 1 n m j k _i q q _n n _kj m m C e n          



(2.12)

eşitliği ve (2.3)’deki m öz değerleri 1 m n için





2



1

  

2



1



cos sin m m m a b a b i n n          (2.13)

şeklinde düzenlenirse; m1 için





1 1 2 n a b        ve 2,3,..., 2 n m için 2 m n m   _{ }

olduğu görülür. Bu yüzden, Dn köş



 1, 2,...,n



öz değer matrisi,

1 2 1 2 2 2 , , ..., , , , ..., n n n D köş_      _  

şeklindedir. Ayrıca, (2.12) eşitliği matrisin öz değerlerinin simetri durumuna göre incelendiğinde

      2 2 1 2 1 , 2 2 j k n m j k m i i n n n e e m            (2.14)

eşitliği elde edilir. Sonuç olarak, bu ifadeler (2.12)’de yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa,   





   2 1 2 1 2 1 1 2 2 ₂ 2 1 cos n m j k _n m j k i i q q q n q q n n _kj m n m n m _m C e j k e n              _{ }              _{ }    





     





2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 cos n n m j k m j k i i q q n q n q m m n m m e e j k n                     _     _    





 





₂ 2  1  ₂ 2  1  1 2 2 1 1 1 n n m j k m j k i i q j k _{q q n q n} m m m m e e n                    _     _    





olur. Son eşitlikte iki toplam ifadesine gösterim kolaylığı için değişken ataması yaparak,

 





1 1 2 1 1 1 q j k q q n _kj C L L n               _{ } (2.15) yazılabilir. Burada,   

_

_

_

_

_

_







  

















2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 : cos sin 2 1 2 1 cos sin 2 1 2 1 cos sin n n m j k i q _n q m m m m n q m m j k m j k L e i n n m m a b a b i n n m j k m j k i n n  _{ }                    _  _        _    _          _  _  







ve   

_

_

_

_

_

_







  

















2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 : cos sin 2 1 2 1 cos sin 2 1 2 1 cos sin n n m j k i q q n m m m m n q m m j k m j k L e i n n m m a b a b i n n m j k m j k i n n  _{ }                     _  _        _    _          _  _  







dır. Buraya ek olarak, s cos

s n



   için simetri durumu incelendiğinde









2 2 2 2 2 1 cos cos n m n m m n n   _{ }       (2.16)

olduğu görülür. (1.11) ve (1.12)’de verilen Chebyshev polinomlarında bu değer bağımsız değişken olarak yazılırsa





2



1









2 1 2 1

cos cos cos

j k m j k m m j k T n n n                  ve



























1 2 1 2 1 sin sin 2 1 cos 2 1 2 1 sin sin j k m j k m j k m _{n n} U sign j k m m n n n                    _{ }  

olur. L ve ₁ L ifadelerinde ₂ sin

 

x  1 cos 2

 

x ,   _{n 2 2m} ve   12 olduğu da düşünülerek bu değerler yerlerine yazıldığında







  

















2 1 2 2 1 2 1 : cos sin 2 1 2 1 cos sin n q m m m L a b a b i n n m j k m j k i n n           _    _          _  _  































2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 n q n m n m j k n m n m j k n m m a b _{ } a b i _{ } T _ _{ } i _{ } sign j k U _{ } _{ }  



     ve







  

















2 2 2 2 1 2 1 : cos sin 2 1 2 1 cos sin n q m m m L a b a b i n n m j k m j k i n n           _    _          _  _  































2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 n q n m n m j k n m n m j k n m m a b   a b i   T    i   sign j k U      



    

 





_

_

_

_

_

_

_

_

_

_{ }

_

_

 

















 





 



2 2 1 1 1 1 q j k _{q 1} n _q q n _kj j k m q j k j k j k C a b a b i a b T i sign j k n n U a b i a b T i sign j k U                                    _         _



olur ki, bu da istenendir.

Teorem 2.3 a, n4 ve n2t için C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a a



olsun. Ayrıca

2 cos , 1 1 2 s s n s n        ve 1, 0, 1 1 2, , 2 s s n n l s diger durumlarda   _     

olmak üzere, 1k j, n için

 





2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 n q q k j q q n m n _kj n m n m j k m a C l T n            _{ }              _{ }  



_{ } dir.

Ġspat (2.1) ile verilen matriste ab alınırsa C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a a



matrisi elde edilir. Teorem 2.2’de verilen genel ifade kullanılırsa

 





 

2



 







2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 n q q j k q q n _kj n m j k n m m C a a T n                       _{ }    



olur. Bu denklemde, (2.16) verilen değerler yerlerine yazıldığında

 





2











2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 cos cos n q q q j k q q n _kj m m j k m a C n n n       _{    }          _{ }   _{ }      



olduğu görülür. Bu matrisin öz değerleri (2.13)’deki öz değer ifadesinden 1 m n için





2 1 2 cos m m a n 

   olduğu görülür. Bu öz değerler ve hipotezdeki _s göz önüne alındığında









2 2

2 1 2 1

( 2 2 )

2 cos 2 cos 2 cos

n m m m m n m a a a a n n n     _{ }       _  _    

olur. Bu yüzden

   

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 n q j k q q q q n m n _kj n m j k m a C T n   _{ }                _{ }     _{   }    



(2.17) yazılabilir. 1, 1 2 n m  

  için m öz değerinin cebirsel katlılığı 1 olur ve 2

2 n m   için 2 m n m

  _{ } olduğundan öz değerlerin cebirsel katlılığı 2 dir. Buradan (2.17) denkleminde dışarıdaki terimleri toplam ifadesinin içerisine alarak m1 ve 1

2

n

m 

değerlerine göre toplamın alt ve üst sınırlarını düzenlersek















2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 cos cos 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 cos cos n q q q q n m n _kj n m j k m q j k a C T n n n n n j k n n   _          _{    }       _{ }  _{ }   _{  }       _{ }   _{ }  _{ }      _{ } _{ }     _        _



olup, C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a a



matrisinin öz değerleri _n2m2 cinsinden gösterilir ve s

l , s’inci öz değerin cebirsel katlılığını göstermek üzere 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n q q q n m n _kj n m n m j k m a C l T n                 _{ }  



_{ } yazılabilir. Ayrıca, 2 2 2 1 1 2 2 n m n n m  _{ }  _{ }  _    _     ve _{2 2} 2 1 1 2 2 n m n n m l_{ } l _{ } _    _    , 1 1 2 n m   

olduğu göz önüne alınır ve 1 2

n_

çift sayı olduğu da düşünülürse,





2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ₁ 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 n n q q q n m q n m n _kj n m n m j k n m n m j k n m _m n n q q q n m n m n m n m j k n m n m j k m m a C l T l T n a l T l T n                           _{ }                              _{ } _{ }   _{    }           _{ }  _{ }    









         

ve 1 2

n

 tek sayı olduğunda da





4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n q q q q n m n m n _kj n m n m j k n m n m j k m m a C l T l T n                                 _{ }  _{ }   _{    }    





elde edilir. Her iki durumu aynı ifade de gösterirsek





2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n q q q q n m n m n _kj n m n m j k n m n m j k m m a C l T l T n                                               _{ }  _{ }    _{   }    





olarak yazabiliriz. Birinci tür Chebyshev polinomlarının, tek ya da çiftliğinden

   

1 m

 

m m T   x T x olup

 

2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 n n q q j k q q n m q n m n _kj n m n m j k n m n m j k m m a C l T l T n                 _{ }                              _{ }  _{ }    _{   }    





 





2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 n q q j k _{q n m} n m n m j k m a l T n            _{ }            _{ }  



yazılabilir ki, bu da istenendir.

Sonuç 2.1 Teorem 2.3 de a1 alınırsa, (Rimas, 2006(vol:172, 86-90)) ve (Rimas 2006(vol:174, 511-523)) çalışmalarında tanımlanan Cn circn



0,1, 0,..., 0,1



matrisini ve bu matrisin herhangi bir q pozitif tam sayı kuvvetinin genel ifadesi elde edilir.

2.1.1 Nümerik örnek

(2.1)’de verilen n2t mertebeli Cn sirkülant matrisinde n4 alınırsa, matrisin herhangi bir q kuvvetini 













4 4 0, , 0, 4 1, 2, 3, 4 q q C  circ a b circ    

ile verebiliriz. Sirkülant matrislerin çarpımları da sirkülant matris olduğu için elde edilen matris ilk satırı ile ifade edilebilir.

Teorem 2.2’den

























1 2 3 4 1 ; 0; 2 2 1 ; 0; 2 q _q q q q q a b i b a q r a b i b a          _{ }         

























1 1 2 1 3 4 1 0; ; 2 2 1 1 0; ; 2 q _q q q _q q a b i b a q r a b i b a             _          

genel bir matris kuvveti elde edilir. 2.1.2 Bilgisayar uygulaması

(2.1)’de verilen n2t mertebeli C_n sirkülant matrisinin elemanları, mertebesi ve istenilen kuvveti dışarıdan girilerek Teorem 2.2 de verilen ifadenin Maple 14 programında bir algoritma uygulamasını vereceğiz.

,

a b için C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a b



matrisinin elemanlarını; n , matrisin

mertebesini ve q , matrisin kuvvetini göstermek üzere; 

> a:=a: b:=b: n:=n: q:=q: C:=array(1..n,1..n): > lambda:=cos((2∗(m-1)∗Pi)/n):

> beta:=sqrt(1-lambda^2): > for k from 1 by 1 to n do > for j from 1 by 1 to n do

>C[k,j]:=evalf((1/(n)∗(1+(-1)^(q+j-k))∗((a+b)^q+1/(n)∗(Sum(((a+b)∗lambda-(a- b)∗I∗ beta)^q∗(ChebyshevT(abs(j-k),lambda)+sign(j-k)∗I∗beta∗ChebyshevU(abs(j-k)- 1,lambda))+((a+b)∗lambda+(a-b)∗I∗beta)^q∗(ChebyshevT(abs(j-k),lambda)-sign(j-k)∗ I∗beta∗ChebyshevU(abs(j-k)-1,lambda)), m = 2..n/2)))); > end do > end do; > print(C); olur.

Ekler kısmı ile verilen bölümde Maple 14 hesaplamaları ile Ek 1’de sayısal elemanları, kuvvetleri ve mertebeleri verilen bazı örnekler verilmiştir.

2.2. Tek Mertebeli Sirkülant Matrisler

Çalışmanın bu kısmında (2.1)’de tanımlanan matrisin mertebesi n 2t 1 olarak alınacaktır. Buna göre kompleks elemanlı C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a b



sirkülant matrisin keyfi pozitif tamsayı kuvvetinin hesaplanması için genel bir ifade elde edilecektir. Teorem 2.4 n 2t 1 mertebeli C_n circ_n



0, , 0,..., 0,a b



sirkülant matrisi verilsin.

cos , 1 s s s n n       ,   _n2m2,   12 ve 1, 0 ( ) 0, 0 1, 0 x için sign x x için x için    _    

işaret fonksiyonu olmak üzere q_{ ve} 

1k j, n için,





_

_

_

_

_

_

_

_{ }

_

_

_{ }

_















 





 



1 2 1 2 1 1 n q q q n _kj j k j k m q j k j k a b C a b i a b T i sign j k U n n a b i a b T i sign j k U                    _             _        _



ifadesi geçerlidir (Köken ve Bozkurt, 2011).

Ġspat (2.3)’deki m, Cn matrisinin m ’inci öz değeri olmak üzere öz değer ayrışım teoreminden

 

1 n q q n kj n km m n jm m C F  F      _{ }  



(2.18)

denklemi ile matrisin keyfi q pozitif tamsayı kuvvetinin

 

k j elemanını elde etmek , . istiyoruz. (2.18) denkleminde, (1.3)’de verilen Fourier matrisi yerine yazılıp düzenlenirse,    2 1 1 1 n m j k _i q q n n _kj m m C e n          



(2.19)

elde edilir. (2.3)’deki _m öz değerleri 1 m n için,





cos2



1

  

sin2



1



m m m a b a b i n n          (2.20)