Fark denklemlerinin periyodikliği üzerine bir çalışma

(1)

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Nuriye ATASEVER YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM ANA BİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROĞRAMI

KONYA, 2008

(2)

i ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Nuriye ATASEVER

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Ortaöğretim Ana Bilim Dalı Matematik Öğretmenliği Programı Danışman : Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA

2008, 35 Sayfa Jüri: Prof. Dr. Eşref HATIR

Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremleri verdik.

İkinci bölümde; fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik. Üçüncü bölümde; 3 1 5 1 1 ₋ ₋ − + = ₊ n n n n x x x

x fark denkleminin çözümleri hakkında bilgi verdik. Dördüncü bölümde ise, ) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 1 ₋ ₋ ₊ + − + = ₊ k n k n k n n x x x

x fark denklemini tanımladık ve

pozitif başlangıç şartları için çözümlerini inceledik.

(3)

ii ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

A STUDY ON THE PERIODICITY OF THE DIFFERENCE EQUATIONS

Nuriye ATASEVER

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Education

Supervisor : Assist. Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA 2008, 35 Pages

Jury: Prof. Dr. Eşref HATIR Assoc. Prof. Dr. Cengiz ÇİNAR Assist. Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA

This study consists of four sections. In the first section, we gave general definitions and theorems about difference equations.

In the second section, we gave information about some difference equations which is studied before.

In the third section, we gave the information about the solution of difference equation 3 1 5 1 1 ₋ ₋ − + = ₊ n n n n x x x x .

In the fourth section, we defined the difference equation

) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 1 ₋ ₋ ₊ + − + = ₊ k n k n k n n x x x x

and investigated its solutions where initial conditions are positive real numbers. Key Words : Difference Equation, Solution, Asymptotic Periodicity

(4)

iii ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü'ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek Lisans çalışmamı yönetmeyi kabul ederek karşılaştığım güçlüklerde değerli yardımlarını esirgemeyen, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA’ya, çalışmalarıma olan katkılarından dolayı Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR’a, Yrd. Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK’e, bir yıl boyunca yurt içi burs imkanından yararlandığım Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu’na ve aileme teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Nuriye ATASEVER Konya, 2008

(5)

iv

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ

1. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR………...1

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ YAPILMIŞ ÇALIŞMALAR...6

3. BÖLÜM 3 1 5 1 1 ₋ ₋ − + = ₊ n n n n x x x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ………...13

4. BÖLÜM ) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 1 ₋ ₋ ₊ + − + + = k n k n k n n x x x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ…...21

SONUÇ VE ÖNERİLER………..31

(6)

1. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumda, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi ...'( ), ''( ),..., ( )( ), x y x y x

y n türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x ’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz.

Bu bölümde x ’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım 1.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişkende y olmak üzere, bağımlı değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin

), ( ), ( 2 y E y

E E3(y),...,En(y),... gibi farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi

denir. Dikkat edilirse, fark denklemlerinin diferansiyel denklemler ile arasında büyük benzerlikler vardır. ) ( ) 1 ( ) ( ₁ 0y n a y n f n a + + =

birinci mertebeden fark denklemidir.

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ₁ ₂ 0y n a y n a y n g n a − + + + =

ikinci mertebeden fark denklemidir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan başlangıç şartı sayısı göz önüne alınmaktadır.

Tanım 1.2. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f :I xI → I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x₋₁,x₀∈I için

(7)

denklemi bir tek

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ çözümüne sahiptir.

Tanım 1.3. Eğer x noktası için (1.1) denkleminde x= f( xx, ) ise, x ’e (1.1) denkleminin denge noktası denir. Eğer her n≥0 için x= ise, x ’e x_n f ’nin sabit noktası denir.

Tanım 1.4. Eğer her n>0 için x₋₁,x₀∈J iken x_n ∈ olacak şekilde bir J I

J ⊆ alt aralığı varsa, bu aralığa (1.1) denkleminin değişmez (invariant) aralığı

denir.

Tanım 1.5. x, (1.1) denkleminin denge noktası olmak üzere:

(a) Eğer x₋₁,x₀∈I olmak üzere her ε >0 için x₀ −x + x₋₁ −x <δ iken her

0 ≥

n için x_n − x <ε olacak şekilde bir δ >0 sayısı varsa, x denge noktası

kararlıdır denir.

(b) Eğer x denge noktası kararlı ve x₋₁,x₀ ∈I iken x_n x

n→∞ =

lim olacak şekilde, x₀ −x + x₋₁−x <γ şartını sağlayan γ >0 sayısı varsa, x denge noktası lokal olarak asimptotik kararlıdır denir.

(c) Eğer her x₋₁,x₀∈I iken xn x

n→∞ =

lim ise, x denge noktasına çekim noktası (global attractor) denir.

(d) Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

(8)

(f) Eğer x₋₁,x₀∈I iken x₀ −x + x₋₁−x <r ve bazı N ≥−1 sayıları için r

x

x_N − ≥ olacak şekilde bir r >0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir.

Tanım 1.6. Eğer

{ }

x_n dizisi için x_n₊_p =x_n ise,

{ }

x_n dizisi p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

{ }

xn dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için x_n₊_p =x_n ise,

{ }

xn dizisine er geç p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

{ }

xn dizisi için pn k p k n→∞x − =a −

lim (k =0,1,2,...,p−1) ise,

{ }

xn dizisi p asimptotik periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 1.9. (1.1) denkleminde, f(x_n ,x_n₋₁) fonksiyonunu f( vu, ) şeklinde düşünelim: u x x f p ∂ ∂ = ( , ) ve v x x f q ∂ ∂ = ( , ) olmak üzere, yn₊₁ = pyn +qyn₋₁ (1.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme

x

denge noktası civarında lineer denklem denir.

(1.2) denkleminin karakteristik denklemi:

2₋ ₋ ₌0

q pλ

λ (1.3) dır.

(9)

Teorem 1.1. (Lineer Kararlılık Teoremi)

(a) Eğer (1.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(b) Eğer (1.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

(c) (1.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart p <1−q<2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal olarak asimptotik kararlıdır.

(d) (1.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den büyük olması için gerek ve yeter şart q >1 ve p < 1−q olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası

repellerdir.

(e) (1.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart 02 _{+ q}4 _>

p ve q

p > 1− olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır.

(f) (1.3) denkleminin bir kökünün mutlak değerce bire eşit olması için gerek ve yeter şart p = 1−q veya q=−1 ve p ≤2 olmasıdır. Bu durumda x denge noktası non-hiperbolik nokta olarak adlandırılır.

Tanım 1.10. x, (1.1) denkleminin denge noktası olsun. l ≥−1, m≤∞ olmak üzere,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge noktasından büyük veya eşit,

1 − =

l veya l >−1 için x_l₋₁ < x ve m=∞ veya m<∞ için x_m₊₁ <x oluyorsa,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisine

{ }

∞ − = 1 n n

x çözümünün bir pozitif yarı dönmesi denir. Benzer

şekilde, l≥−1, m≤∞ olmak üzere,

{

x_l,x_l₊₁,...,x_m

}

dizisinin her elemanı x denge

(10)

x

x_m₊₁ ≥ oluyorsa,

{

x_l,x_l₊₁,...,x_m

}

dizisine

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ çözümünün bir negatif yarı

dönmesi denir.

Tanım 1.11.

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ çözümlerinin hepsi birden ne pozitif ne de negatif ise,

bu çözümlere sıfır civarında salınımlıdır (oscillate) denir. Aksi halde salınımlı değildir.

Tanım 1.12.

{

x_n − dizisi salınımlı ise, x

}

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ çözümüne x denge noktası

civarında salınımlıdır denir.

Tanım 1.13.

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ dizisinde her n için P≤x_n ≤Q olacak şekilde P ve Q pozitif sayıları varsa,

{ }

x_n ∞_n_{= 1}₋ dizisi sınırlıdır denir.

Teorem 1.2. (Clark Teoremi) p,q∈R ve k,n∈

{

1,2,...

}

olmak üzere;

0

1 + + − =

+ n n k

n px qx

x

fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart p + q <1 olmasıdır.

Sonuç 1.1. p_k∈ , R k∈

{

1,2,...

}

ve n∈

{

0,1,2,...

}

olmak üzere;

0 ... 1 1+ + + − = + n k n k n p x p x x

fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart

∑

k₌₁ <1 i pi olmasıdır.

(11)

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ YAPILMIŞ ÇALIŞMALAR

Bu bölümde fark denklemlerinin periyodikliği ile ilgili literatürde var olan ve çalışmamızı yaparken değerlendirdiğimiz çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Camouzis ve Devault (2001) yaptıkları çalışmada; 0x₀,x₋₁,p> pozitif başlangıç şartları altında

,... 2 , 1 , 0 , 1 1 = + − = + n x x p x n n n

fark denkleminin global asimptotik kararlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Patula ve Voulov (2002) yaptıkları çalışmada; ,... 2 , 1 , 0 , 1 3 2 1 = + = − − + n x x x n n n

fark denkleminin çözümlerinin 2 periyotlu çözümlere yakınsadığını göstermişlerdir.

Stevic (2002) yaptığı çalışmada;

n n n x B Bx x + = −

+1 1 fark denkleminin çözümlerini

incelemiş ve çözümlerin ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

∑∏

= − = n j j i i n x x x x 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 ve _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= = − + n j j i i n x x x x x 0 2 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1

(12)

Abu-Saris ve Devault (2003) yaptıkları çalışmada; ,... 2 , 1 , 0 , 1 = + = − + n y y A y k n n n

fark denkleminin y₋_k,y₋₍_k₋₁₎,...,y₀,A>0, k∈{2,3,4,...} başlangıç şartları altında

pozitif denge noktasının global asimptotik kararlı olması için gerekli olan şartları elde etmişlerdir.

Metsel (2003) yaptığı çalışmada; pozitif başlangıç şartları altında ,... 2 , 1 , 0 , ) ( 1 1 = = − + n x x f x n n n

fark denkleminin periyodikliğini incelemiştir.

Çinar (2004) yaptığı çalışmada;

1 1 1 1 ₋ − + = ₊ n n n n x x x

x rasyonel fark denkleminin çözümlerini incelemiş ve ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + − + + + =

∏

= − = − − + = − − + = − − çift , ) 1 2 ( ) 1 ) 1 2 (( tek , 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 ] 2 / ) 1 [( 0 0 1 1 ] 2 / ) 1 [( 0 0 1 1 n x ix x x i x n x x i i x x x x n i n i n i n i n eşitliğini vermiştir.

Çinar (2004) yaptığı iki çalışmadan birincisinde; x₀,x₋₁,a,b>0 şartları altında

(13)

n n n n x ax x x 1 1 1 1 ₋ − + = ₊

fark denkleminin, ikincisinde ise n n n n x bx ax x 1 1 1 1 − − + = ₊

fark denkleminin çözümlerini elde etmiştir.

El-Owaidy ve arkadaşları (2004) yaptıkları çalışmada; α∈[1,∞), k =0,1,2,... ve pozitif reel sayılar olan başlangıç şartları altında

,... 2 , 1 , 0 , 1 = + − = + n x x x n k n n α

fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Stevic (2004) yaptığı çalışmada;

,... 2 , 1 , 0 , 1 ) 2 ( ) 1 2 ( 1 ₊ = + = + + − − + n x x p x s l n s n n

fark denkleminin çözümlerinin, p>1 için 2s periyotlu olduğunu göstermiştir.

Abu-Saris ve Al-Jubouri (2004) yaptıkları çalışmada;

,... 2 , 1 , 0 , ) ( 1 1 = = − + n x x f x n n n

(14)

Stevic (2005) yaptığı çalışmada; ,... 2 , 1 , 0 , 1 1 = + − = + n x x x _p n p n n α

fark denkleminin çözümlerinin s,l∈N için asimptotikliğini, periyodikliğini,

salınımlılığını ve sınırlılığını incelemiştir.

Taixiang (2005) yaptığı çalışmada;

,... 2 , 1 , 0 , 1 = + − = + n x x p x n k n n

fark denkleminin çözümlerinin p,x₀,x₋₁ >0 şartları altında sınırlılığını incelemiştir.

Papaschinopoulos ve Schinas (2005) yaptıkları çalışmada; k çift bir sayı olmak üzere, ,... 2 , 1 , 0 , 1 = + − = + n x x p x n k n n n

fark denkleminin çözümlerinin k+1 periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Saleh ve Aloqeili (2005) yaptıkları çalışmada; ,... 2 , 1 , 0 , 1 = + = − + n y y A y k n n n

fark denkleminin y₋k,y₋₍k₊₁₎,...,y₀,A>0 başlangıç şartları altında pozitif denge noktasının global asimptotik kararlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

(15)

Berenhaut ve Stevic (2005) yaptıkları çalışmada; 0x₋₄,x₋₃,x₋₂,x₋₁,x₀ > için ,... 2 , 1 , 0 , 1 1 4 3 1 1 = + = − − − + n x x x x x n n n n n

Yan ve arkadaşları (2005) yaptıkları çalışmada; α,x₋₁,x₀ başlangıç şartlarını

reel sayı alarak ,... 2 , 1 , 0 , 1 1 = − = − + n x x x n n n α

fark denkleminin çözümlerinin asimptotik kararlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Abu Saris (2006) yaptığı çalışmada; 0w₋₂,w₋₁,w₀ > başlangıç şartları altında

,... 2 , 1 , 0 , 1 2 1 = + = − − + n w w w w n n n n

rasyonel fark denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu çözümlere yakınsadığını göstermiştir.

Karataş ve arkadaşları (2006) yaptıkları çalışmada; )x_−i ∈(0,∞ , (i=0,1,...,5)

olmak üzere, ,... 2 , 1 , 0 , 1 ₂ ₅ 5 1 = ₊ = − − − + n x x x x n n n n

(16)

Şimşek ve arkadaşları (2006) yaptıkları çalışmada; )x_−i∈(0,∞ , (i=0,1,...,5) olmak üzere ,... 2 , 1 , 0 , 1 ₁ ₃ 5 1 = ₊ = − − − + n x x x x n n n n

fark denkleminin çözümlerini ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Berenhaut ve arkadaşları (2006) yaptıkları çalışmada; 0y_−i > , (i=0,1,...,4)

başlangıç şartları altında

,... 2 , 1 , 0 , 1 4 3 + ₌ = − − − n y y y y n n n n

Aloqeili (2006) yaptığı çalışmada; 0x₋₁,x₀ ∈R,a> olmak üzere,

,... 2 , 1 , 0 , 1 1 1 = ₋ = − − + n x x a x x n n n n

rasyonel fark denkleminin çözümlerini incelemiş ve çözümleri için ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − − − − − − =

∏

+ = + + − − − − = − − − − 2 1 0 2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 0 1 1 2 1 2 0 , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( n i i i i i n i i i i i n ise tek n x x a a a x x a a a x ise çift n x x a a a x x a a a x x eşitliğini vermiştir.

Aloqeili (2006) yaptığı çalışmada; x₋_k,x₋₍_k₋₁₎,...,x₀ >0, A>0 ve k herhangi pozitif bir tamsayı olmak üzere,

(17)

,... 2 , 1 , 0 , 1 = ₊ = − − + n x x a x x n k n k n n

fark denkleminin çözümlerini ve kararlılığını incelemiştir.

Şimşek ve arkadaşları (2008) yaptıkları çalışmada; pozitif başlangıç şartları altında ,... 2 , 1 , 0 , ... 1 ₄ ₉ ₍₅ ₉₎ ) 9 5 ( 1 = ₊ = + − − − + − + n x x x x x k n n n k n n

(18)

3. BÖLÜM 3 1 5 1 1 ₋ ₋ − + + = n n n n x x x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde, Şimşek ve arkadaşları (2006) tarafından yapılan bir çalışma hakkında bilgi verilmiştir.

Bu çalışmada; x−i (i=0,1,...,5) başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere, 3 1 5 1 1 ₋ ₋ − + = ₊ n n n n x x x x , n=0,1,2,... (3.1)

fark denkleminin çözümleri incelenmiştir.

Teorem 3.1. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) (x6n−i), (i=0,1,...,5) dizileri azalandır ve ai+1≥ 0 olmak üzere;

1 5 6 limx _n a n→∞ − = , nlim→∞x6n−4 =a2, nlim→∞x6n−3 =a3 limx₆n ₂ a₄ n→∞ − = , limn→∞x6n−1 =a5, limn→∞x6n =a6 limitleri mevcuttur.

(b) (3.1) denkleminin çözümleri 6 asimptotik periyotludur. (c) a₁a₃a₅ =0 ve 0a₂a₄a₆ = dır.

(d) ∀n≥n₀ için x_n₋₃ ≥x_n₊₁ olacak şekilde bir n₀∈N var ise lim =0

∞

→ n

n x dır. (e) (3.1) denkleminin çözümleri;

(19)

) 1 1 1 1 ( 0 3 1 2 3 2 1 3 1 3 1 5 1 6

∑∏

= = − − − − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x , ) 1 1 1 1 ( 0 3 1 2 2 2 2 0 2 0 4 2 6

∑∏

= = − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x , ) 1 1 1 1 ( 0 1 3 1 2 3 2 1 3 1 5 1 3 3 6

∑∏

= + = − − − − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x , ) 1 1 1 1 ( 0 1 3 1 2 2 2 2 0 4 0 2 4 6

∑∏

= + = − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x , ) 1 1 1 1 ( 0 2 3 1 2 3 2 1 3 1 5 3 1 5 6

∑∏

= + = − − − − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x , ) 1 1 1 1 ( 0 2 3 1 2 2 2 2 0 4 2 0 6 6

∑∏

= + = − − − − + = − ₊ ₊ n j j i i i n x x x x x x x x şeklinde genelleştirilebilir.

İspat. (a) (3.1) denkleminden xn₊₁(1+xn₋₁xn₋₃)=xn₋₅ olduğu açıktır. ) , 0 ( , ₃ 1 − ∈ ∞ − n n x

x olduğu için 1+x_n₋₁x_n₋₃∈(1,∞) olur. Buradan ∀n≥0 için

5 1 − + < n n x x olup, 5 1 7 13 5 6 ... ... 0< < x n₋ < < x <x <x <x₋ 0<...< x₆_n₋₄ <...<x₁₄ <x₈ <x₂ <x₋₄ 0<...< x₆n₋₃ <...< x₁₅ < x₉ < x₃ <x₋₃

(20)

2 4 10 16 2 6 ... ... 0< < x _n₋ < <x < x < x < x₋ 0<...< x₆n₋₁ <...<x₁₇ < x₁₁ <x₅ < x₋₁ 0<...< x₆_n <...<x₁₈ <x₁₂ < x₆ < x₀

eşitsizlikleri elde edilir. Böylece

1 5 6 limx _n a n→∞ − = , nlim→∞x6n−4 =a2, nlim→∞x6n−3 =a3 limx₆n ₂ a₄ n→∞ − = , limn→∞x6n−1 =a5, limn→∞x6n =a6 limitlerinin varlığı gösterilmiş olur.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 6 asimptotik periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır. (c) (3.1) denkleminden 3 6 1 6 5 6 1 6 1 ₋ ₋ − + = ₊ n n n n x x x x (3.2)

elde edilir. (3.2) denkleminde eşitliğin her iki tarafının limiti alınırsa;

⇒ + = 3 5 1 1 1 a a a a a₁+a₁a₃a₅ =a₁ ⇒ a₁a₃a₅ =0

olduğu görülür. Benzer şekilde (3.1) denkleminden, 2 6 6 4 6 2 6 1 ₋ − + = ₊ n n n n x x x x (3.3)

(21)

elde edilir. (3.3) denkleminde eşitliğin her iki tarafının limiti alınırsa; ⇒ + = 4 6 2 2 1 a a a a a₂ +a₂a₄a₆ =a₂ ⇒ a₂a₄a₆ =0 olduğu görülür.

(d) ∀n≥n₀ için x_n₋₃ ≥x_n₊₁ olacak şekilde bir n₀∈N var ise

3 5 1 3 5 1 a a a a a a ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ve 4 6 2 4 6 2 a a a a a a ≥ ≥ ≥ ≥ ≤

elde edilir. Buradan

5 3 1 a a a = = ve a₂ =a₄ =a₆ olduğu görülür. Bu durumda 0 5 3 1 =a =a = a ve a₂ =a₄ =a₆ =0 olup lim =0 ∞ → n n x olur. (e) (3.1) denkleminden; ( ) 1 1 7 1 3 1 5 1 − − − − − + − = ₊ n − n n n n n x x x x x x (3.4)

(22)

0 = n için x₁ −x₋₅ =x₁−x₋₅ 1 = n için x₂ −x₋₄ = x₂ −x₋₄ 2 = n için ( ) 1 1 5 1 1 1 3 3 − − − = ₊ − − x x x x x x 3 = n için ( ) 1 1 4 2 0 2 2 4 − − = ₊ x −x− x x x x 4 = n için ( ) 1 1 1 1 ) ( 1 1 5 1 1 1 1 3 3 3 1 3 1 5 − − − − = ₊ − = ₊ ₊ − − x x x x x x x x x x x x 5 = n için ( ) 1 1 1 1 ) ( 1 1 4 2 0 2 2 4 2 4 2 4 0 6 − = ₊ − − = ₊ ₊ x −x− x x x x x x x x x x M

eşitlikleri elde edilir. Buradan,

∀n≥0 için ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = − + − = −

∏

= − − − + = − − − − + n i i i n n n i i i n n x x x x x x x x x x x x 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1 2 1 2 3 5 1 5 2 1 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( (3.5) olduğu görülür. (3.5) denkleminden,

∏

= − − − − + − = − ₊ n i i i n n x x x x x x 1 2 3 2 1 5 1 5 2 1 2 1 1 ) ( olup, 0 = n için x₁−x₋₅ = x₁ −x₋₅

(23)

1 = n için 1 1 5 1 3 3 1 1 ) ( x x x x x x − − − = − ₊ − 2 = n için 3 1 1 1 5 1 1 5 ₁ 1 1 1 ) ( x x x x x x x x + + − = − − − − 3 = n için 5 3 3 1 1 1 5 1 1 7 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x + + + − = − − − 4 = n için 7 5 5 3 3 1 1 1 5 1 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x x x + + + + − = − − − 5 = n için 9 7 7 5 5 3 3 1 1 1 5 1 5 11 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x x x x x + + + + + − = − − − M

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden,

∑∏

= = − − − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 3 1 2 3 2 1 5 1 5 1 6 1 1 ) ( (3.6)

∑∏

= + = − − − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 1 3 1 2 3 2 1 5 1 3 3 6 1 1 ) ( (3.7)

∑∏

= + = − − − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 2 3 1 2 3 2 1 5 1 1 5 6 1 1 ) ( (3.8) olduğu görülür.

Benzer şekilde (3.5) denkleminden,

(24)

∏

= − − − + − = − ₊ n i i i n n x x x x x x 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1 1 ) ( olup, 0 = n için x₂ −x₋₄ =x₂ −x₋₄ 1 = n için 2 0 4 2 2 4 1 1 ) ( x x x x x x + − = − ₋ ₋ 2 = n için 4 2 2 0 4 2 0 6 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x + + − = − ₋ 3 = n için 6 4 4 2 2 0 4 2 2 8 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x + + + − = − ₋ 4 = n için 8 6 6 4 4 2 2 0 4 2 4 10 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x x x + + + + − = − ₋ 5 = n için 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 4 2 6 12 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( x x x x x x x x x x x x x x + + + + + − = − ₋ M

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden de

∑∏

= = − − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 3 1 2 2 2 4 2 4 2 6 1 1 ) ( (3.9)

∑∏

= + = − − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 1 3 1 2 2 2 4 2 2 4 6 1 1 ) ( (3.10)

∑∏

= + = − − + − = − ₊ n j j i i i n x x x x x x 0 2 3 1 2 2 2 4 2 0 6 6 1 1 ) ( (3.11)

(25)

olduğu görülür. Son olarak, 3 1 5 3 1 5 3 1 5 5 1 1 1 ₋ ₋ − − − − − − − − = ₊ − =− ₊ − x x x x x x x x x x x ve 2 0 4 2 0 4 2 0 4 4 2 1 1 ₋ − − − − − − = ₊ − =− ₊ − x x x x x x x x x x x

eşitlikleri (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) eşitliklerinde yerlerine yazılırsa,

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= = − − − − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 3 1 2 3 2 1 3 1 3 1 5 1 6 1 1 1 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= = − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 3 1 2 2 2 2 0 2 0 4 2 6 1 1 1 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = − − − − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 1 3 1 2 3 2 1 3 1 5 1 3 3 6 1 1 1 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 1 3 1 2 2 2 2 0 4 0 2 4 6 1 1 1 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = − − − − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 2 3 1 2 3 2 1 3 1 5 3 1 5 6 1 1 1 1 , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = − − − − + n j j i i i n x x x x x x x x 0 2 3 1 2 2 2 2 0 4 2 0 6 6 1 1 1 1

(26)

4. BÖLÜM ) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 1 ₋ ₋ ₊ + − + = ₊ k n k n k n n x x x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde, (3.1) denkleminden faydalanılarak daha genel bir denklem tanımlanmış ve çözümleri incelenmiştir. Ayrıca, Şimşek ve arkadaşları (2006) tarafından yapılan çalışmada elde edilen sonuçlar genelleştirilmiştir.

Bu amaçla; x₋₍₃_k₊₂₎,x₋₍₃_k₊₁₎,...,x₋₁,x₀ başlangıç şartları pozitif reel sayılar ve

,... 2 , 1 , 0 = k olmak üzere, , 1 ₍₂ ₁₎ ) 2 3 ( 1 + − − + − + = ₊ k n k n k n n x x x x n=1,2,3,... (4.1)

fark denklemi tanımlanmış ve çözümleri incelenmiştir.

Teorem 4.1. (4.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) s=0,1,...,(3k+2) olmak üzere (x₍₃_k₊₃₎_n₋_s) dizileri azalandır ve ∀s için 0 ) 3 3 ( k+ −s ≥ a olmak üzere; s k s n k n→∞x(3 +3) − =a(3 +3)− lim limitleri mevcuttur.

(b) (4.1) denkleminin çözümleri 3k+3 asimptotik periyotludur.

(c) z =1,2,...,(k+1) olmak üzere; 0 ) 2 2 ( ) 1 ( + + + = +k z k z za a a

(27)

olur.

(d) ∀n≥n₀ için x_n₋₍₂_k₊₁₎ ≥ x_n₊₁ olacak şekilde bir n₀∈N var ise lim =0

∞

→ n

n x dır.

(e) (4.1) denkleminin çözümleri b=1,2,...,k+1 olmak üzere;

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b b n k x x x x x x x x 0 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b b k n k x x x x x x x x 0 1 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b k b n k x x x x x x x x 0 2 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 3 3 ( 1 1 1 1 şeklinde genelleştirilebilir. İspat.

(a) (4.1) denkleminden xn₊₁(1+xn₋kxn₋₍₂k₊₁₎)= xn₋₍₃k₊₂₎ olduğu açıktır. ) , 0 ( , ₋₍₂ ₊₁₎∈ ∞ −k n k n x

x olduğu için 1+xn₋kxn₋₍₂k₊₁₎∈(1,∞) olur. Buradan ∀n≥0 için

) 2 3 ( 1 − + + < n k n x x olup, ) 2 3 ( 1 4 3 7 6 ... 0< <x k₊ <x k₊ <x <x₋ k₊ ) 1 3 ( 2 5 3 8 6 ... 0< <x _k₊ <x _k₊ < x <x₋ _k₊ 0<...< x₆_k₊₉ < x₃_k₊₆ < x₃ <x₋₃_k

(28)

M

0<...< x₉_k₊₈ <x₆_k₊₅ < x₃_k₊₂ < x₋₁

0<...< x₉_k₊₉ < x₆_k₊₆ <x₃_k₊₃ < x₀

eşitsizlikleri elde edilir. Böylece,

1 ) 2 3 ( ) 3 3 ( limx _k _n _k a n→∞ + − + = limx₍₃_k ₃₎_n ₍₃_k ₁₎ a₂ n→∞ + − + = limx₍₃k ₃₎n ₍₃k₎ a₃ n→∞ + − = M lim ₍₃ ₊₃₎ ₋₁ ₃ ₊₂ ∞ → k n = k n x a lim ₍₃ ₊₃₎ ₃ ₊₃ ∞ → k n = k n x a

limitlerinin varlığı gösterilmiş olur. Bu limitler kısaca )s=0,1,...,(3k+2 ve ∀s için 0 ) 3 3 ( k+ −s ≥ a olmak üzere, s k s n k n→∞x(3 +3) − =a(3 +3)− lim

şeklinde ifade edilebilir.

(b) (4.1) denkleminin çözümlerinin (3k+3) asimptotik periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(29)

(c) (4.1) denkleminden aşağıdaki denklemler elde edilir. ) 1 2 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) 3 3 ( 1 ) 3 3 ( 1 ₊ ₋ ₊ ₋ ₊ + − + + + = ₊ k n k k n k k n k n k x x x x k n k k n k k n k n k x x x x 2 ) 3 3 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 1 3 ( ) 3 3 ( 2 ) 3 3 ( 1 ₊ ₋ ₋ ₊ ₋ + − + + + = ₊ ) 1 2 ( ) 3 3 ( ) 2 ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( 3 ) 3 3 ( 1 ₊ ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ − + + + = ₊ k n k k n k k n k n k x x x x M ) 1 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 3 3 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 1 ₊ ₊ ₋ ₊ + − + + + + = ₊ k n k n k k n k k n k x x x x

Yukarıdaki denklemlerde sırasıyla limit alınırsa;

2 3 2 1 1 1+ ₊ ₊ = k k a a a a ⇒ a₁+a₁a_k₊₂a₂_k₊₃ =a₁ ⇒ a₁a_k₊₂a₂_k₊₃ =0 3 4 2 2 2 1+ ₊ ₊ = k k a a a a ⇒ a₂ +a₂ak+₃a₂k+₄ =a₂ ⇒ a2ak+3a2k+4 =0 4 5 2 3 3 1+ ₊ ₊ = k k a a a a ⇒ a₃ +a₃ak+₄a₂k+₅ =a₃ ⇒ a3ak+4a2k+5 =0 M k k k k a a a a 2 1 3 1 1 1 ₊ − − = ₊ ⇒ ak−1 +ak−1a2ka3k+1 =ak−1 ⇒ ak−1a2ka3k+1 =0

(30)

1 2 2 3 1+ ₊ ₊ = k k k k a a a a ⇒ a_k +a_ka₂_k₊₁a₃_k₊₂ =a_k ⇒ a_ka₂_k₊₁a₃_k₊₂ =0 2 2 3 3 1 1 ₁ + + + + = ₊ k k k k a a a a ⇒ a_k₊₁+a_k₊₁a₂_k₊₂a₃_k₊₃ =a_k₊₁ ⇒ a_k₊₁a₂_k₊₂a₃_k₊₃ =0

olduğu görülür. Bu da z=1,2,...,(k+1) olmak üzere,

0 ) 2 2 ( ) 1 ( + + + = +k z k z za a a

şeklinde ifade edilebilir.

(d) ∀n≥n₀ için xn₋₍₂k₊₁₎ ≥ xn₊₁ olacak şekilde bir n0∈N var ise

3 2 1 2 3 2 1 ≥a k+ ≥ak+ ≥a ≥a k+ a a₂ ≥a₂_k₊₄ ≥a_k₊₃ ≥a₂ ≥a₂_k₊₄ 5 2 3 4 5 2 3 ≥a k+ ≥ak+ ≥a ≥a k+ a M 2 3 1 2 2 3 + ≥ + ≥ ≥ + ≥ k k k k k a a a a a a_k₊₁ ≥a₃_k₊₃ ≥a₂_k₊₂ ≥a_k₊₁ ≥a₃_k₊₃

eşitsizlikleri elde edilir. Buradan

2 3 2 1 =a k+ =ak+ a 3 4 2 2 =a k+ =ak+ a

(31)

4 5 2 3 =a k+ =ak+ a M 1 2 2 3 + = + = k k k a a a ak₊₁ =a₃k₊₃ =a₂k₊₂

olduğu görülür. (c) şıkkından yararlanılarak;

0 2 3 2 1 =a k+ =ak+ = a 0 3 4 2 2 =a k+ =ak+ = a 0 4 5 2 3 =a k+ =ak+ = a M 0 1 2 2 3 = = = k₊ k₊ k a a a ak₊₁ =a₃k₊₃ =a₂k₊₂ =0

elde edilir. Buradan lim =0

∞ → n n x olduğu görülür. (e) (4.1) denkleminden, ( ) 1 1 ) 3 4 ( ) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 − − + + − − + − + − = ₊ n k − n k k n k n k n n x x x x x x (4.2) elde edilir.

(32)

) 1 ( ,..., 2 , 1 + = k

b olmak üzere (4.2) denkleminden,

1 − = b n için, ) 3 3 ( ) 3 3 ( + − + − = − − b k b b k b x x x x k b n= + için, ) ( 1 1 ) 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 ( 1 − + + − + − + + − = ₊ b − b k k b b k b k b x x x x x x 1 2 + + =b k n için, ) ( 1 1 ) 2 2 ( 1 1 ) 1 ( 2 2 + + − + + + + − + + − = ₊ b k − b k b k b k b k b x x x x x x ( ) 1 1 1 1 ) 3 3 ( ) 1 ( 1 + − + − + + − + + = b b k k b b b k b x x x x x x 2 3 + + =b k n için, ) ( 1 1 ) 1 ( 2 2 1 2 2 3 3 + + − + + + + + + + − = ₊ b k − b k k b k b b k b x x x x x x ( ) 1 1 1 1 1 1 ) 3 3 ( ) 1 ( 1 1 2 2 + − + − + + + + + + − + + + = b b k k b b b k b k b k b x x x x x x x x M

eşitlikleri elde edilir. Buradan ∀n≥0 ve b=1,2,...,(k+1) için,

∏

= + + − + + + − + + − + − + + + + − = − ₊ n i k i b k k i b k k b b k b n k b n k x x x x x x 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) ( (4.3) olduğu görülür. (4.3) denkleminden, 0 = n için xb −xb₋₍₃k₊₃₎ =(xb −xb₋₍₃k₊₃₎)

(33)

3 = n için

∏

= + + − + + + − + + − + + + − = − 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( 3 3 1 1 ) ( i k i b k k i b k k b b b b k x x x x x x 6 = n için

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ 6 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( 3 3 6 6 1 1 ) ( i k i b k k i b k k b b b k b k x x x x x x 9 = n için

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ 9 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( 6 6 9 9 1 1 ) ( i k i b k k i b k k b b b k b k x x x x x x M

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden ∀n≥0için,

∑∏

= = + + − + + + − + + − + − + + − = − ₊ n j j i k i b k k i b k k b b k b b n k x x x x x x 0 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( 1 1 ) ( (4.4) olduğu görülür. (4.3) denkleminden, 1 = n için ) 1 1 ( 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 (

∏

= + + − + + + − + + − + − + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x 4 = n için ) 1 1 ( 4 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 1 ( ) 4 4 (

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x 7 = n için ) 1 1 ( 7 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 4 4 ( ) 7 7 (

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x M

(34)

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + + + + − = − ₊ n j j i k i b k k i b k k b b k b b k n k x x x x x x 0 1 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 1 1 ) ( (4.5)

olduğu görülür. Benzer şekilde (4.3) denkleminden,

2 = n için ) 1 1 ( 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 (

∏

= + + − + + + − + + − + − + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x 5 = n için ) 1 1 ( 5 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 5 5 (

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x 8 = n için ) 1 1 ( 8 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 5 5 ( ) 8 8 (

∏

= + + − + + + − + + − + + + + − = − ₊ i k i b k k i b k k b b k b b k x x x x x x M

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden ∀n≥0 için,

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + + + + − = − ₊ n j j i k i b k k i b k k b b k b b k n k x x x x x x 0 2 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 3 3 ( 1 1 ) ( (4.6) olduğu görülür. (4.1) denkleminden, ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 1 ₋ ₊ ₋ ₊ + − + = k b k b k b b x x x x ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( 1 ₋ ₊ ₋ ₊ + − + − + − + − =− ₊ − k b k b k b k b k b k b b x x x x x x x (4.7)

eşitliği elde edilir. (4.7) sırasıyla (4.4), (4.5), (4.6) denklemlerinde yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa ∀n≥0 ve b=1,2,...,(k+1) için,

(35)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b b n k x x x x x x x x 0 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b b k n k x x x x x x x x 0 1 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ₁ 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − =

∑∏

= + = + + − + + + − + + − + − + − + − + − + + + + n j j i k i b k k i b k k b k b k b k b k b b k n k x x x x x x x x 0 2 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) (2 2) ) 2 2 ( ) 1 ( ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 3 3 ( 1 1 1 1

(36)

SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada, ) 1 2 ( ) 2 3 ( 1 1 ₋ ₋ ₊ + − + = ₊ k n k n k n n x x x

x fark denklemi tanımlanmış ve pozitif

başlangıç şartları altında çözümleri incelenmiştir. Denklemin katsayıları reel sayı, dizi veya fonksiyon alınarak yeni denklemler tanımlanabilir ve çözümleri bu çalışmada verilen yöntemle incelenebilir. Ayrıca bu denklemlerin sınırlılığı ve kararlılığıda çalışılabilir.

(37)

KAYNAKLAR

Abu-Saris, R. M. and Devault, R., 2003, Global stability of y_n₊₁ = A+ y_n y_n₋_k , Applied Mathematics Letters, 16, 173-178.

Abu-Saris, R. M. and Al-Jubouri, N. K., 2004, Characterization of rational periodic sequences II, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 4, 409-418.

Abu-Saris, R. M., 2006, A note on the attractivity of period-four solutions of third-order rational difference equation, Journal of Difference Equations and Applications, 12, 2, 233-235.

Aloqeili, M., 2006, Dynamics of a rational difference equation, Applied Mathematics

and Computation, 176, 768-774.

Aloqeili, M., 2006, Dynamics of a kth order rational difference equation, Applied

Mathematics and Computation, 181, 1328-1335.

Berenhaut, K. S. and Stevic, S., 2005, A note on the difference equation xn₊₁ =

4 3

1 1

1 xnxn₋ + xn₋ xn₋ , Journal of Difference Equations and Applications, 11, 14, 1225-1228.

Berenhaut, K. S., Dice, J. E., Foley, J. D. and Stevic, S., 2006, Periodic solutions of the rational difference equation y_n =(y_n₋₃ +y_n₋₄) y_n₋₁, Journal of Difference Equations and Applications, 12, 2, 183-189.

Camouzis, E. and Devault, R., 2001, Asymptotic behaviour of solutions of xn₊₁ = )

(x_n ₁ x_n

(38)

Çağal, B., 2000, Sayısal Analiz, Birsen Yayınevi Ltd. Şti., ISBN: 975-511-172-7, İstanbul.

Çinar, C., 2004, On the positive solutions of the difference equation xn₊₁ = )

1

( ₁

1 n n

n x x

x ₋ + ₋ , Applied Mathematics and Computation, 150, 1, 21-24.

Çinar, C., 2004, On the positive solutions of the difference equation x_n₊₁ = )

1

( ₁

1 n n

n ax x

x ₋ + ₋ , Applied Mathematics and Computation, 158, 3, 809-812.

Çinar, C., 2004, On the positive solutions of the difference equation xn₊₁ = )

1

( ₁

1 n n

n bx x

ax ₋ + ₋ , Applied Mathematics and Computation, 156, 2, 587-590.

Elaydi, S., 1995, A Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York.

El-Owaidy, H. M., Ahmed, A. M. and Mousa, M. S., 2004, On asymptotic behaviour of the difference equation xn+1 =α+

(

xn−k xn

)

, Applied Mathematics and

Computation, 147, 1, 163-167.

Karataş, R., Çinar, C., Şimek, D., 2006, On the positive solutions of the difference equation x_n₊₁ = x_n₋₅ (1+x_n₋₂x_n₋₅), International Journal of Contemporary

Mathematical Sciences, 1, 9-12, 495-500.

Kulenevic, M. R. S. and Ladas, G., 2002, Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjecture, Boca Raton, London.

Metsel, B. D., 2003, On globally periodic solutions of the difference equation

1

1 ( ) −

+ = n n

n f x x

(39)

Moybe, L. A. , 2000, Difference Equations with Public Health Applications, New York, U.S.A.

Patula, W. T. and Voulov, H. D., 2002, On the oscillation and periodic charecter of a third-order rational difference equation, Proceedings of the American

Mathematical Society, 131, 3, 905-909.

Papaschinopoulos, G. and Schinas, J., 2005, On a (k+1)-th order difference equation with a coefficient of period k+1, Journal of Difference Equation and

Applications, 11, 3, 215-225.

Saleh, M. and Aloqeili, M., 2005, On the rational difference equation k

n n

n A y y

y ₊₁ = + ₋ , Applied Mathematics and Computation, 177, 11, 189-193.

Şimsek, D., Çinar, C. and Yalçınkaya, İ., 2006, On the recursive sequence ) 1 ( ₁ ₃ 5 1 − − − + = n + n n n x x x

x , International Journal of Pure and Applied Mathematics,

28, 1, 117-124.

Şimsek, D., Çinar, C. and Yalçınkaya, İ., 2008, On the recursive sequence ) ... 1 ( ₄ ₉ ₍₅ ₉₎ ) 9 5 ( 1 − + − − − + + = n k + n n n k n x x x x

x , Taiwanese Journal of Mathematics, (in

press).

Stevic, S., 2002, On the recursive sequence xn+₁ =xn−₁ g(xn), Taiwanese Journal of

Mathematics, 6(3), 405-414.

Stevic, S., 2004, A note on periodic character of a difference equation, Journal of

Difference Equations and Applications, 10, 10, 929-932.

Stevic, S., 2005, On the recursive sequence

(

p

)

n p n

n x x

x ₊₁ =α + ₋₁ , Journal of Applied Mathematics and Computing, 18(1-2), 229-234.

(40)

Taixiang, S., 2005, On non-oscillatory solutions of the recursive sequence x_n₊₁ =

(

xn k xn

)

p+ ₋ , Journal of Difference Equations and Applications, 11, 6, 483-485.

Yan, X., Li, W. and Zhao, Z., 2005, On the recursive sequence /

(

1 n

n x

x ₊ =α − x_n₋₁), Journal of Applied Mathematics and Computing, 17(1-2),