Fark denklemlerinin periyodikliği ve çözümleri üzerine bir çalışma

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ VE ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

İbrahim YEŞERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ORTAÖĞRETİM ANA BİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROĞRAMI

(2)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ VE ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

İbrahim YEŞERİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Ana Bilim Dalı

Danışman: Doç.Dr. Cengiz ÇİNAR 2008, 27 Sayfa

Jüri: Doç.Dr. Cengiz ÇİNAR

Yrd. Doç.Dr. İbrahim YALÇINKAYA Yrd. Doç.Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; fark denklemlerinin periyodikliği ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik.

İkinci bölümde, çalışmamız için gerekli olan temel kavramları verdik.

Üçüncü bölümde, (1 1 1 0 ) 1 9 ( 1 ) 0 1 n k n n k i k i x x x         



fark denklemini tanımladık, çözümlerini

ve periyodikliğini inceledik.

(3)

ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

A STUDY ON SOLUATIONS AND PERIODICITY OF DIFFERENCE EQUATIONS

Selcuk University

Graduate School of Naturel and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc.Prof. Dr. Cengiz ÇİNAR 2008, 27 Sayfa

Jury: Assoc.Prof. Dr. Cengiz ÇİNAR

Asist. Prof. Dr. İbrahim YALÇINKAYA Asist. Prof. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

This study consists of four sections. In the first section,we gave information about some difference equations studied before.

In the second section, it was given necessary concepts for our study.

In the third section, we defined the difference equation (1 1 1 0 )

1 9 ( 1 ) 0 1 n k n n k i k i x x x         



and investigated its solutions and periodicity.

(4)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. DR. Cengiz ÇİNAR yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten ve çalışmalarımda desteğini esirgemeyen saygıdeğer hocam Doç. DR Cengiz ÇİNAR’a ,Yrd. Doç. DR. Dağıstan ŞİMŞEK’e , Yrd. Doç. DR İbrahim YALÇINKAYA’ya arkadasım Nuriye ATASEVER’ e sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

İbrahim YEŞERİ KONYA 2008

(5)

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ 1.BÖLÜM GİRİŞ……….. ………1 1.1. LİTERATÜR ÖZETİ ..………2 2.BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR……….3

3.BÖLÜM (11 10 ) 1 9 ( 1) 0 1 n k n n k i k i x x x        





RASYONEL FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

VE PERİYODİKLİĞİ…...4

4.BÖLÜM

SONUÇ ve ÖNERİLER ………...………....25

KAYNAKÇA………26

(6)

1.BÖLÜM Giriş Bu çalışmada (1 1 1 0 ) 1 9 ( 1 ) 0 1 n k n n k i k i x x x         



(n = 0, 1, 2, …) fark denkleminin





(11 11)k , ( 11 10)k , (11k 9),..., 4, 3, 2, 1, 0 0, x_ _ x_ _ x_ _ x_ x_ x_ x_ x   başlangıç şartları

(7)

1.1. Literatür özeti:

Son zamanlarda lineer olmayan fark denklemlerin periyodikliği ile ilgili birçok

çalışma yapılmıştır. [1, 2, 3, 4, 5, ].[3] de Gibbons ve arkadaşları x_₁x₀ 

 

0, ,

0

  ve n için x_n 0olmak üzere ₁ 1 ( 0,1,2,3,...)

    n x x x n n n   açık problemi ortaya atmışlardır.

[6] da Stevic , [3] de ortaya atılan problemde  1alarak denklemin periyodikliğini

incelemiştir.

[7] de Şimşek ve arkadaşları x_₅x_₄x_₃x_₂x_₁x₀  ,

 

0  olmak üzere n = 0, 1, 2, …

için 2 5 1 1 _    _ n n n x x x , [8] de ise 3 1 5 1 1 _ _    _ n n n n x x x

x fark denkleminin periyodikliğini

incelemişlerdir.

[9] da Şimşek ve arkadaşları x_₉x_₈x_₇x_₆x_₅x_₄x_₃x_₂x_₁x₀  ,

 

0  başlangıç

şartıyla 7 5 3 1 9 1 ₁        _ n n n n n n x x x x x x (n=0, 1, 2….)

fark denkleminin çözümünü incelemiştir.

[10] da Şimşek ve arkadaşları x_₃x_₂x_₁x₀  ,

 

0  başlangıç şartıyla

1 3 1 1 _    _ n n n x x

x (n=0, 1, 2….) fark denkleminin çözümünü incelemiştir.

(8)

2.BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR

x bağımsız değişkeninin sürekli durumda, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi y(x), ( ), ... ( )( )

x y x

y n türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x in kesikli

değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz.Bu bölümde x in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım:2.1. n bağımsız değişken ve buna bağılı değişkende y olmak üzere,

bağımlı ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin E(y), 2( ),..., ( )( ),

y E y

E n gibi

farklarını içine alan bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat edilir ise n’nin sürekli olduğu halde Diferansiyel Denklemleri ile arasında büyük benzerlikler vardır.

) ( ) 1 ( ) ( ₁ 0y n a y n f n a   

Birinci dereceden fark denklemidir.

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ₁ ₂ 0y n a y n a y n g n a     

İkinci dereceden fark denklemidir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan nokta sayısı göz önüne alınmaktadır.

y(n+2)-5y(n+1)+y(n)=n(2.mertebeden fark denklemidir.)

y(t+2)-2y(t+2)+2y(n+1)-3y(n)=0(3. mertebeden fark denklemidir.)

Tanım 2.2. I reel sayılarının bir alt aralığı olmak üzere ; f :II I tanımlı sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O zaman x_₁,x₀I için

), , ( ₁ 1    n n n f x x x n=0,1,2,… (1.1)

(9)

Tanım 2.3. Eğer x noktası için     x x x f( , ) ise 

x’e f’nin denge noktası denir.Eğer

0 

n için xx_n 

ise o zaman x’e f’nin sabit noktası denir.

Tanın 2.4. x, (1,1) denkleminin denge noktası olmak üzere:

a) Eğer   0 için x_₁,x₀I iken x₀ x x₁ x 

 



    olacak şekilde

bir  0 sayısı varsa; o zaman bütün n1 için x₀ x 



  olur. Bu halde x denge noktası kararlıdır denir.

b) Eğer



x denge noktası kararlı ve x_₁,x₀I iken x₀ x x ₁ x 

 



   

olacak şekilde  0 varsa; o zaman 



 n

n x

lim x dir. Bu halde 

x denge noktası lokal olarak asimtotik kararlıdır denir.

c) Eğer x_₁,x₀I iken 



 n

n x

lim x ise ; o zaman 

x denge noktasına global attractor denir.

d) Eğer



x denge noktası kararlı ve global attractor ise ; o zaman x’ye global asimtotik kararlı denir.

e) Eğer



x denge noktası kararlı değil ise ; o zaman kararsızdır denir.

f) Eğer x_₁,x₀I iken x₀ x x ₁ x r

 



    olacak şekilde bir r0

sayısı varsa; o zaman x’ye repeller denir ve xN x r

 olacak şekilde 1   N sayısı vardır.

Tanım 2.5. Eğer

 

x_n dizisi için x_n__p x_n ise ;o zaman

 

x_n dizisine,

periyotludur denir.

Tanım 2.6. Eğer

 

x_n dizisi için, dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç

tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terimleri için xnp xn ise; o zaman

 

x dizisine, ergeç p periyotludur denir.

(10)

3.BÖLÜM Bu bölümde; x__{(11 11)}_k_ ,x_{( 11 10)}_ _k_ ,x_₍₁₁_k_₉₎,...,x_₄,x_₃,x_₂,x_₁,x₀



0, ve



k = 0,1,2,…. olmak üzere (1 1 1 0 ) 1 9 ( 1 ) 0 1 n k n n k i k i x x x         



(n = 0, 1, 2, …) (3.1)

rasyonel fark denklemi için bir teorem ve ispatı verilmiştir.

Teorem: (3.1) rasyonel fark denklemi için aşağıdakiler doğrudur.

a) (x_{(11 11)}_k_ _n__{(11 10)}_k_ ),(x_{(11 11)}_k_ _n_₍₁₁_k_₉₎),(x_{(11 11)}_k_ _n_₍₁₁_k_₈₎), … (x_{(11 11)}_k_ _n_₃) , (x_{(11 11)}_k_ _n_₂) , (11 11) 1 (x _k_ _n_ ) , (x(11 11)k n) azalan diziler vea ,1 a ,2 a ,…,3 a(11k9),a(11 10)k ,a(11 11)k 0 olmak üzere; lim( _{(11 11)}_k _n _{(11 10)}_k ) ₁ n x    a , nlim( x(11 11)k n(11k9))a2, nlim( x(11 11)k n(11 8)k )a3, … … lim( _{(11 11)}_k _n ₃) ₁₁_k ₈ n x   a  , nlim( x(11 11)k n2)a11k9, lim(n x(11 11)k n1)a11 10k , (11 11) 11 11 lim( k n) k n x  a  olur. b)( ,a1 a2 ,a3,a4, ... a(1 1k8 ),a(1 1k9 ),a(1 1k1 0 ),a(1 1k1 1), ...) (3.1) denkleminin çözümüdür ve (11k+11) periyotludur. c) a a₁ k_{2 2}a k_{3 3}ak_{4 4}ak_{5 5}ak_{6 6}a k_{7 7}a k_{8 8}ak_{9 9}a k_{10 10}a k₁₁0 a a₂ _k__{3 2}a _k__{4 3}a_k__{5 4}a _k__{6 5}a _k__{7 6}a _k__{8 7}a _k__{9 8}a _k__{10 9}a _k__{11 10}a _k_₁₂ 0



a a_k ₂_k__{1 3}a_k__{2 4}a_k__{3 5}a _k__{4 6}a _k__{5 7}a _k__{6 8}a_k__{7 9}a _k__{8 10}a _k__{9 11 10}a _k_ 0 ak_{1 2}a k_{2 3}ak_{3 4}a k_{4 5}ak_{5 6}a k_{6 7}a k_{7 8}ak_{8 9}a k_{9 10}a k_{10 11 11}a k 0 dir.

(11)

d) Eğer n₀N iken bütün n için n₀ x_n_₁x_n_₍₁₀_k_₉₎ ise lim 0 

 n

n x dır.

e)Aşağıdaki ifadeler doğrudur;

9 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+1 (11k+10) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-k-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i k i s k i k i i                       _ _     







9 1 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+2 (11k+9) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i k i s k i k i i                       _ _     









9 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+k+1 (10k+10) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k +1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i i s k i i i                     _ _     



 



8 (11 10) ( 1) n 11j+1 0 (11k 11)n+k+2 (10k+9) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k i k i s k i k i i x_ _ _{  }                    _ _     







8 (11 9) 1 ( 1) n 11j+1 0 (11k 11)n+k+3 (10k+8) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k i k i s k i k i i x_ _ _{  }                    _ _     









7 (11 10) (10 9) ( 1) n 11j+2 0 (11k 11)n+2k+3 (9k+8) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     







7 (11 9) (10 8) 1 ( 1) n 11j+2 0 (11k 11)n+2k+4 (9k+7) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     







(12)



6 (11 10) (10 9) (9 8) ( 1) n 11j+3 0 (11k 11)n+3k+4 (8k+7) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     









10 5 ( 1) ( 1) n 11j+4 7 0 (11k 11)n+4k+5 (7k+6) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k +1)i 0 1 x x 1 x x 1 1 x 1 x k i k k i k i i s k i k i i                           _ _     









10 4 ( 1) ( 1) n 11j+5 6 0 (11k 11)n+5k+6 (6k+5) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x x 1 x x 1 1 x 1 x k i k k i k i i s k i k i i                           _ _     

























10 1 ( 1) ( 1) n 11j+8 3 0 (11k 11)n+8k+9 (3k+2) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k +1)i x x 1 x x 1 1 x 1 x k i k k i k i i s                         _ _   







(13)



10 ( 1) n 11j+9 2 (11k 11)n+9k+10 (2k+1) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k +1)i 0 1 x x 1 x x 1 1 x 1 x k i k k i s k i k i i                        _ _     









10 ( 1) n 11j+11 1 (11k 11)n+11k+11 0 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i i s k i i i                    _ _     



 



İspat: a] (3.1) denkleminden ₁ 9 ₍ _{1 )} _{(1 1} _{1 0 )} 0 (1 ) n n k i k n k i x _ x _ _ _ x _ _  



 elde edilir.

Buradan x_n_{  }₍_k ₁₎_{i k}



0, ,



(i0,1, 2,3,...,9) olduğu için 9 ( 1) 0 (0, ) n k k i x _{  }   



olur. Böylece 9 ₍ ₁₎ 0 1 n k k (1, ) i x _{  }  



  olduğundan xn1xn(11 10)k bulunur.

Şimdi bu ifadeyi n nin değerleri için irdeleyelim.

n = 0 için x x₁ __{(11 10)}_k_ n = 1 için x x₂ _₍₁₁_k_₉₎ n = 2 için x x3 (11k8)



n = k-1 için x x_k _₍₁₀_k_₁₁₎ n = k için xk1x(10k10) n = k+1 için xk2 x(10k9)

(14)



n = 11k+8 için x₁₁k₉ x₂ n = 11k+9 için x_{11 10}_k_ x_₁ n = 11k+10 için x_{11 11}_k_ x₀ n = 11k+11 için x11 12k  x1 x(11 10)k n = 11k+12 için x11 13k x2 x(11k9) n = 11k+13 için x_{11 14}_k_ x₃ x_₍₁₁_k_₈₎



n = 22k+19 için x₂₂k₂₀ x₁₁k₉ x₂ n = 22k+20 için x₂₂_k_₂₁x_{11 10}_k_ x_₁ n = 22k+21için x₂₂_k_₂₂ x₁₁_k_₈ x₀ olarak hesaplanır.

İşlemleri bu şekilde devam ettirirsek;

(11 11) (11 10) 1 lim n n k nx    a (11 11) (11 9) 2 lim _n _n _k nx    a (11 11) (11 8) 3 lim n n k nx    a



(11 11) 2 (11 9) lim _n _n _k nx   a  (11 11) 1 (11 10) lim _n _n _k nx   a  (11 11) (11 11) lim n n k nx  a  elde edilir.

(15)

b) a) şıkkından (3.1) denkleminin çözümünün 1 2 3 4 (1 1 8 ) (1 1 9 ) (1 1 1 0 ) (1 1 1 1) ( ,a a ,a ,a , ... a k ,a k ,a k ,a k , ...) ve bu çözümlerin 11k+11 periyotlu olduğu görülür. c) (3.1) denkleminde n =11k+11 alınırsa (11 11) (11 10) (11 11) 1 9 (11 11) ( 1) 0 1 k n k k n k n k i k i x x x            



elde edilir. Buradan her iki

tarafın limiti alınırsa;

(11 11) 1 9(11 11) (11 10) (11 11) ( 1) 0 lim lim 1 lim k n k x k n x k n k i k x i x x x             _  



1 1 1 0 1 1 9 1 0 8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 2 1 _k . _k . _k _k _k _k _k _k _k _k a a a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _   1 10 11 9 10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 (1 . . ) . 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                          elde edilir.

Benzer şekilde n = (11k+11)n+1 alınırsa;

(11 11) (11 9) (11 11) 2 9 (11 11) ( 1) ( 1) 0 1 k n k k n k n k i k i x x x             



elde edilir. Buradan her iki tarafın limiti

(16)

(11 11) (11 9) (11 11) 2 9 (11 11) ( 1) ( 1) 0

lim

1 lim

k n k x k n x k n k i k x i

x

             _







2 2 10 12 9 11 8 10 7 9 6 8 5 7 4 6 3 5 2 4 3 1 _k . _k . _k _k _k _k _k _k _k _k a a a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _   2 10 12 9 11 8 10 7 9 6 8 5 7 4 6 3 5 2 4 3 2 2 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 (1 . . ) . 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                          elde edilir.

Bu şekilde limit almaya devam edilirse son olarak;

(1 1 1 1 ) (1 0 1 0 ) (1 1 1 1 ) 1 9 (1 1 1 1 ) ( 1 ) 0 1 k n k k n k k n k i i x x x            



(11 11) (10 10) (11 11) 1 9 (11 11) ( 1) 0 lim lim 1 lim k n k x k n k x k n k i x i x x x             _  



1 1 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 . . k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a               1 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 (1 . . ) . 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                             olur.

Bulduklarımızı sırayla yazarsak;

1 k 2 2k 3 3k 4 4k 5 5k 6 6k 7 7k 8. 8k 9 9k 1 0 1 0k 1 1 0

a a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ 

2 k 3 2k 4 3k 5 4k 6 5k 7 6k 8 7k 9. 8k 1 0 9k 1 1 1 0k 1 2 0

(17)



(3.2) 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7. 9 8 1 0 9 0 1 1 1 0 0 k k k k k k k k k k k a a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _  1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8. 9 9 1 0 1 0 1 1 1 1 0 k k k k k k k k k k k a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _ a _  elde edilir

Böylece ispat tamamlanmış olur.

d) Eğer x₀ iken bütün x için n₀

xn1xn(10k9) (3.3) (3.3) ifadesinde n = (11k+11)n+1 alınırsa x(11 11)k n2 x(11 11)k n(10k8) n = (11k+11)n+2 alınırsa x(11 11)k n3x(11 11)k n(10k7) n = (11k+11)n+3 alınırsa x(11 11)k n4 x(11 11)k n(10k6)



n = (11k+11)n+10k+10 alınırsa x(11k11)n10k11  x(11k11)n1 n = (11k+11)n+10k+11alınırsa x₍₁₁_k_₁₁₎_n_₁₀_k_₁₂ x_{(11 11)}_k_ _n_₂  x₍₁₁_k_₁₁₎_n_₍₁₀_k_₈₎ n = (11k+11)n+10k+12 alınırsa x₍₁₁k₁₁₎n₁₀k₁₃  x_{(11 11)}k n₃ x₍₁₁k₁₁₎n₍₁₀k₇₎



n = (11k+11)n+20k+20 alınırsa x₍₁₁k_{11) 20} k₂₁ x_{(11 11)}k n₁₀k₁₁  x_{(11 11)}k n₁ n = (11k+11)n+20k+21alınırsa . . (11k 11) 20k 22 (11k 11)n 10k 12 (11 11)k n 2 (11k 11)n (10k 8)

x

_ _ _



x

_ _ _



x

_ _



x

_ _ _

(18)

n = (11k+11)n+20k+22 alınırsa

(11k 11) 20k 23 (11k 11)n 10k 13 (11k 11)n 3 (11 11)k n (10k 7)

x

_ _ _



x

_ _ _



x

_ _



x

_ _ _



elde edilir.

Bu şekilde incelemeye devam edip limit alırsak;

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 1 2

...

k k k k k k k k k k k

a

          



 

2 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 2 3

...

a

          



3 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 12 10 13 3 4

...

a

          





2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 2 1

...

k k k k k k k k k k k k k

a

          



1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 1 2 2

...

k k k k k k k k k k k k k

a

            



olur. Buradan 1 k 2 2k 3 3k 4 4k 5 5k 6 6k 7 7k 8 8k 9 9 10k 10 11k

a



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_ 2 k 3 2k 4 3k 5 4k 6 5k 7 6k 8 7k 9 8 10k 9 11k 10 12k

a



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_ 1 k 4 2k 5 3k 6 4k 7 5 8k 6k 9 7 10k 8 11k 9 12k 10 13k

a



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



(3.4) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 k k k k k k k k k k k

a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_



a

_

olarak elde edilir.

Böylece (3.2) ve (3.4) denklemlerinden

1 2 3

...

k k 1

...

11 10k 11 11k

0 a



a

  

a



a

_

 

a

_



a

_



olduğu görülür. Buradan da

lim _n 0

(19)

e) (3.1) denkleminin her iki tarafından x_n_₍₁₁_k_₁₀₎ çıkarılırsa; 1 (11 10) 9 12 11 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 n n k n k n k n k i k i x x x x x              



elde edilir. n= 0,1,2,3, … ,k, … ,2k,2k+1, … ,11k+11 değerleri için aşağıdaki denklemler bulunur; n = 0 için ₁ _{(11 10)} ₉ ₁₂ ₁₁ ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i k i x x x x x             



n = 1 için ₂ ₍₁₁ ₉₎ ₉ ₁ ₁₂ ₁₀ 1 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i k i x x x x x              



n = 2 için ₃ ₍₁₁ ₈₎ ₉ ₂ ₁₂ ₉ 2 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i k i x x x x x              



n = 3 için ₄ ₍₁₁ ₇₎ ₉ ₃ ₁₂ ₈ 3 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i k i x x x x x              





n = k-1 için ₍₁₀ ₁₁₎ ₉ ₁ _{11 12} 1 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i i x x x x x             



n = k için ₁ ₍₁₀ ₁₀₎ ₉ ₀ _{11 11} ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i i x x x x x            



n = k+1 için ₂ ₍₁₀ ₉₎ ₉ ₁ _{(11 10)} 1 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k i i x x x x x            





n = 2k için ₂ ₁ ₍₉ ₁₀₎ ₉ ₍₁₀ ₁₁₎ ( 1) 1 ( )( ) 1 k k k k k k i x x x x x           



(20)

n = 2k+1 için ₂ ₂ ₍₉ ₉₎ ₉ ₁ ₍₁₀ ₁₀₎ 1 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



n = 2k+2 için ₂ ₃ ₍₉ ₈₎ ₉ ₂ ₍₁₀ ₉₎ 2 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



₉ ₉ ₁ _{(11 10)} 2 ( 1) 1 ( 1) 0 0 1 1 ( )( )( ) 1 1 k k k i k i i i x x x x            







n = 2k+3 için ₂ ₄ ₍₉ ₇₎ ₉ ₃ ₍₁₀ ₈₎ 3 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



₉ ₉ ₂ ₍₁₁ ₉₎ 3 ( 1) 2 ( 1) 0 0 1 1 ( )( )( ) 1 1 k k k i k i i i x x x x            









n = 3k+2 için ₃ ₃ ₍₈ ₈₎ ₉ ₂ ₂ ₍₉ ₉₎ 2 2 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



1 (10 10) 9 9 2 2 ( 1) 1 ( 1) 0 0 1 1 ( )( )( ) 1 1 k k k k i k k i i i x x x x              







n = 3k+3 için ₃ ₄ ₍₈ ₇₎ ₉ ₂ ₃ ₍₉ ₈₎ 2 3 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



1 (11 10) 9 9 9 2 3 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 1 1 1 ( )( )( )( ) 1 1 1 k k k i k k i k i i i i x x x x x                











(21)

n = 3k+4 için ₃ ₅ ₍₈ ₆₎ ₉ ₂ ₄ ₍₉ ₇₎ 2 4 ( 1) 0 1 ( )( ) 1 k k k k k k i i x x x x x              



2 (11 9) 9 9 9 2 4 ( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 0 0 0 1 1 1 ( )( )( )( ) 1 1 1 k k k i k k i k i i i i x x x x x                













n = 11k+11 için _{11 12} ₁ ₁ _{(11 10)} 11 ₉ 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 k k s k s k k i i x x x x x             



elde edilen bu denklemlerin tamamına (3.5) diyelim. Böylece;

n = (k+1)n için ₍ ₁₎ ₁ ₍ ₁₎ ₍₁₁ ₁₀₎ ₁ ₍₁₁ ₁₀₎ ₉ 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k n k k s k s k k i i x x x x x                 



n = (k+1)n+1 için ₍ ₁₎ ₂ ₍ ₁₎ ₍₁₁ ₉₎ ₂ ₍₁₁ ₉₎ ₉ 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k n k k s k s k k i i x x x x x                  



n = (k+1)n+2 için ₍ ₁₎ ₃ ₍ ₁₎ ₍₁₁ ₈₎ ₃ ₍₁₁ ₈₎ ₉ 1 ( 1) ( 2 ) ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k n k k s k s k k i i x x x x x                  





n = (k+1)n +k için ₍ ₁₎ ₍ ₁₎ ₍₁₀ ₁₁₎ ₍₁₀ ₁₁₎ ₉ 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k k n k k k s k s k i i x x x x x                 



n=(k+1)n+k+1için ₍ ₁₎ ₁ ₍ ₁₎ ₍₁₀ ₁₀₎ ₁ ₍₁₀ ₁₀₎ ₉ 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k k n k k k s k s k i i x x x x x                  



(22)

Şimdi (3.6) denklemlerinden, ( 1) 1 ( 1) (11 10) 1 (11 10) 9 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 n k n k n k k s k s k k i i x x x x x                 



ele alalım. Böylece;

n = 0 için x1x(11k10) (x1x(11k10)) ve n = 11 için ₁₁ ₁₂ ₁ ₁ ₍₁₁ _{10 )} 11 ₉ 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 k k s k s k k i i x x x x x             



elde ederiz. Bunları taraf tarafa toplarsak; 11 11 12 (11 10) 1 (11 10 ) 9 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )(1 ) 1 k k k s k s k k i i x x x x x                



olur. Benzer olarak

n = 22 için ₂₂ ₂₃ ₁₁ ₁₂ ₁ ₍₁₁ ₁₀₎ 22 ₉ 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 k k k s k s k k i i x x x x x              



yazılabilir.

Son iki denklemi taraf tarafa toplarsak;

11 22 22 23 (11 10) 1 (11 10 ) 9 9 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 ( )(1 ) 1 1 k k k s s k s k k i k s k k i i i x x x x x x                        



elde edilir.

Bu şekilde devam edilirse

11 (11 11) 11 (11 10) 1 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k j s k s k k i i x x x x x                 

 



olur.

(23)

 



11 1 (11 11) 2 (10 9) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



11 2 (11 11) 2 3 (9 8) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



11 3 (11 11) 3 4 (8 7 ) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



 



 



 



11 7 (11 11) 7 8 ( 4 3) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



 



11 9 (11 11) 9 10 (2 1) 1 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



11 10 (11 11) 10 11 1 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                  

 



denklemleri bulunur. Benzer işlemler (3.6) denkleminin her biri için ayrı ayrı uygulanırsa;

(24)

 



11 (11 11) 2 (11 9) 2 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k j s k s k k i i x x x x x                  

 





11 (11 11) 1 (10 10) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k k j s k s k i i x x x x x                  

 



11 1 (11 11) 2 (10 9) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 



11 1 (11 11) 3 (10 8) 2 (11 9) 9 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                    

 





 



11 2 (11 11) 2 4 (9 7 ) 2 (11 9 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                    

 





 





11 4 (11 11) 4 5 (7 6) 1 (11 10) 9 0 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s x x x x x              

 



(25)



 





 





11 7 (11 11) 7 8 ( 4 3) 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 





 





11 9 (11 11) 9 10 (2 1) 1 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                   

 





11 10 (11 11) 10 11 1 (11 10 ) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k k j s k s k k i i x x x x x                  

 





(26)

11 11 (11 11) 11 11 0 1 (11 10) 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( )( ) 1 j n k n k k j s k s k k i i x x x x x                 

 



bulunur. Bu denklemlerin tamamına (3.7) diyelim. (3.7) denkleminde kullanacağımız bazı eşitlikleri

(11 10) 1 (11 10) 9 (11 10 ) ( 1) 0 9 (11 10 ) ( 1) 0 9 ( 1) 0 1 1 k k k k i k i k k i k i k i k i x x x x x x x x                           



(11 9 ) 2 (11 9 ) 9 (11 9) ( 1) 0 9 (11 9) 1 ( 1) 0 9 1 ( 1) 0 1 1 k k k k i k i k k i k i k i k i x x x x x x x x                           





(10 10) 1 (10 10) 9 (10 10) ( 1) 0 9 (10 10) ( 1) 0 9 ( 1) 0 1 1 k k k k k i k i k k i i k i i x x x x x x x x                          



(27)

biçiminde elde edelim. Bu eşitlikleri (3.7) denklemlerinde yerlerine yazarsak 9 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+1 (11k+10) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-k-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i k i s k i k i i                       _ _     







9 1 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+2 (11k+9) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i k i s k i k i i                       _ _     









9 ( 1) n 11j 0 (11k 11)n+k+1 (10k+10) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i i s k i i i                     _ _     



 



8 (11 10) ( 1) n 11j+1 0 (11k 11)n+k+2 (10k+9) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k i k i s k i k i i x_ _ _{  }                    _ _     







8 (11 9) 1 ( 1) n 11j+1 0 (11k 11)n+k+3 (10k+8) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k i k i s k i k i i x_ _ _{  }                    _ _     









7 (11 10) (10 9) ( 1) n 11j+2 0 (11k 11)n+2k+3 (9k+8) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     







7 (11 9) (10 8) 1 ( 1) n 11j+2 0 (11k 11)n+2k+4 (9k+7) 9 9 j 0 1 1 ( 1) (k+1)s-(k-1)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     







(28)



6 (11 10) (10 9) (9 8) ( 1) n 11j+3 0 (11k 11)n+3k+4 (8k+7) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k k k k i k i s k i k i i x_ _ x_ _ x_ _ _{  }                    _ _     















































(29)



10 ( 1) n 11j+9 2 (11k 11)n+9k+10 (2k+1) 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k)-(k +1)i 0 1 x x 1 x x 1 1 x 1 x k i k k i s k i k i i                        _ _     









10 ( 1) n 11j+11 1 (11k 11)n+11k+11 0 9 9 j 0 1 ( 1) (k+1)s-(k+1)i 0 1 x 1 x x 1 1 x 1 x k i i s k i i i                    _ _     



 



elde edilir.

(30)

SONUÇ ve ÖNERİLER Bu çalışmada (1 1 1 0 ) 1 9 ( 1 ) 0 1 n k n n k i k i x x x         



(n = 0, 1, 2, …) fark denkleminin





(11 11)k , ( 11 10)k , (11k 9),..., 4, 3, 2, 1, 0 0, x_ _ x_ _ x_ _ x_ x_ x_ x_ x   başlangıç şartları

kullanılarak, periyodikliği ve çözümleri gösterilmiştir. Bu fark denkleminde i>9 değerleri için yeni elde edilecek denklemin periyodikliği ve çözümleri incelenebilir.

(31)

KAYNAKLAR

[1] Amleh A. M. , Grove E. A. , Ladas G. and Georgiou, d. A. (1999), "On The Recursive Sequence n n n y y y _₁   1", J.Math .Anal.Appl., 233, 790-798.

[2] De Vault R., Ladas G. and Schultz, S. W. (1998), "On The Recursive Sequence 2 1 1     n n n x x A x ", Proc.Amer.Math. Soc., 126, 3257-61.

[3] Gibbons C. H., Kulenovic M. R. S. and Ladas, G.(2000), "On The Recursive Sequence n n n x x x      _   ₁ 1 ", Math.Sci.Res., 4, 11.

[4]Kulenovic M. R. S, Ladas G. and Sizer, W. (1996), "On The Recursive Sequence 1 1 1    _   n n n n n y y y y y     " , Math.Sci.Res., 2, 1-16. [5]Stevic, S. (2002) "On The Recursive Sequence

n n n n x A x x g x     ) , ( ₁ 1 ", Appl. Math.Lett (15), 3 , 305-308

[6] Stevic, S. (2002) "On The Recursive Sequence

) ( 1 1 n n n x g x x _   ", Taiwanese J. Math, 6, 405-414.

[7] Simsek D., Cınar C. , Karatas R., Yalcınkaya İ., (2006), "On The Recursive Sequence 2 5 1 1 _    _ n n n x x

x ", Int.J.of Pure and Appl.Math.27, 501-507.

[8] Simsek D., Cınar C. , Karatas R.,Yalcınkaya İ., (2006), "On The Recursive Sequence 3 1 5 1 1 _ _    _ n n n n x x x

x ", Int.J.of Pure and Appl.Math.28, 117-124.

[9] Simsek D., Cınar, C. , Karatas R., Yalcınkaya, İ., (2006), " 5 3 1 9 1 1 _ _ _    _ n n n n n x x x x

x Fark Denkleminin Çözümü" , ХІХ.Ulusal Matematik

(32)

[10] Simsek D., Cınar C. , Karatas R.,Yalcınkaya İ., (2006), "On The Recursive Sequence 1 3 1 1 _    _ n n n x x

x ", Int.Journal of Contemporary Math.Sciences, 1 , (10) ,

481-487