T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
-SÜREKLĠ ÇOĞUL-DEĞERLĠ
FONKSĠYONLAR ÜZERĠNE BĠR ÇALIġMA Ahmet UĞUR
YÜKSEK LĠSANS Matematik Anabilim Dalı
Temmuz-2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır
iv ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
-SÜREKLĠ ÇOĞUL-DEĞERLĠ FONKSĠYONLAR ÜZERĠNE BĠR ÇALIġMA
Ahmet UĞUR
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI 2012, 45 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI Prof. Dr. EĢref HATIR
Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK
(,) bir topolojik uzay, (,U) bir kuasi-uniform uzay olmak üzere;
F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. Y kümesinin herhangi bir örtüsü için,
Spakowski (2001) tipi alttan yarı sürekliliği (-ays) tanımlamıĢtır. -ays nin, iyi
bilinen süreklilik çeĢitleri olan Vietoris ve Hausdorff ile iliĢkisini çalıĢmıĢ ve -ays
çoğul-değerli fonksiyonlarda temel iĢlemleri incelemiĢtir. Bu araĢtırmada, tipi yarı
süreklilik ve topolojiden yararlanarak, H- ve V- tipleri ile yakın iliĢkiye sahip - tipi yarı süreklilik kavramı elde edilmiĢtir. Küme, kartezyen çarpım ve toplama iĢlemlerinin, - -yarı sürekliliği koruması için yeter Ģartları verdik. F in grafik
fonksiyonunun, - -alttan yarı sürekliliği üzerine çalıĢtık. Ayrıca, in kapalı örtüsü
{Vi | iI } için, F in - -ays olması ile her i I için, F |Vi,kısıtlanıĢ fonksiyonunun
- -ays olmasının eĢ değer olduğunu bulduk. Önemli bir sonuç olarak, H-yarı sürekli
çoğul-değerli fark fonksiyonlarının karakterizasyonları verilmiĢtir. Hausdorff yarı sürekli çoğul-değerli fonksiyonlar üzerinde bileĢke iĢlemini de inceledik.
Anahtar Kelimeler: çoğul-değerli fonksiyonlar, kuasi-uniform uzay, sürekli, Vietoris
v ABSTRACT
MS THESIS
A STUDY ON -CONTINUOUS MULTIFUNCTIONS
Ahmet UĞUR
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI 2012, 45 Pages
Jury
Assoc. Prof. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI Prof. Dr. EĢref HATIR
Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVĠK
For a topological space (,) and a quasi-uniform space (,U), let the multifunction F: be given. For a cover of Y, Spakowski (2001) defined
lower semicontinuity of F. He studied its relation to the well-known types of
continuity Vietoris and Hausdorff and investigated basic operations on such multifunctions. In this study, unifying semicontinuity and topology, the concept of
-- semicontinuity that has close relation to the types H- and V- has been obtained.
We have given the sufficient conditions for set, cartesian product and sum operations to preserve - -semicontinuity. We have studied - -lower semicontinuity of graph of
F. Moreover, we have found out that for a closed cover of , {Vi | iI }, F is - -lsc if
and only if for all iI, the restriction function F |Vi is - -lsc. As an important result,
the characterizations of H-semicontinuous complement multifunctions have been given. We have also examined the composition operation on Hausdorff semicontinuous multifunctions.
Keywords: multifunctions (multi-valued functions), quasi-uniform space, -continuous, Vietoris-semicontinuous, Hausdorff-semicontinuos, -semicontinuous
vi ÖNSÖZ
Bu tezde, var olan teoriyi bir baĢka alana uygulayabileceğimi düĢünerek yola çıktım. Sonrasında temel kavramların irdelenmesi ile özgün sonuçların ortaya çıktığını gördüm. Umutsuzluğa düĢtüğüm anlarda ilhamlarımın yardımıyla ve kararlılıkla problemin üzerine giderek yeni fikirler elde ettim. Bana güvenen aileme, araĢtırma boyunca gösterdiği sabır, içtenlik ve ilgiden dolayı değerli hocam Doç. Dr. Aynur Keskin KAYMAKCI’ya ve maddi desteği ile her zaman yanımda olan TÜBĠTAK’a en içten teĢekkürlerimi sunarım.
Ahmet UĞUR KONYA-2012
vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR ... viii
1. GĠRĠġ ... 1
2. KAYNAK ARAġTIRMASI ... 2
2.1. Topolojik ve Kuasi-Uniform Uzaylar ... 2
2.2. -Süreklilik ve Yarı Süreklilik ... 5
3. TEORĠK ESASLAR ... 8
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA ... 9
4.1. Kuasi-Uniform Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar ... 9
4.2. Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar ... 13
4.3. Kuasi-Uniform ve Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli -Yarı Sürekli Fonksiyonlar ... 16 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 42 5.1 Sonuçlar ... 42 5.2 Öneriler ... 42 KAYNAKLAR ... 43 ÖZGEÇMĠġ ... 44
viii SĠMGELER VE KISALTMALAR Simgeler A-B : A fark B 2A : A kümesinin güç kümesi A : A kümesinin içi A : A kümesinin kapanıĢı : BirleĢim : BoĢ küme : Elemanıdır : Elemanı değildir : EĢittir : EĢit değildir : Gerek Ģart : Her : Kartezyen çarpım : KesiĢim : Öyle ki : Öylesi vardır ki : Yeter Ģart Kısaltmalar
ays : Alttan yarı sürekli(lik)
H : Hausdorff
üys : Üstten yarı sürekli(lik)
1. GĠRĠġ
Sürekli fonksiyonlar, nokta-küme topolojisinde yaygın bir çalıĢma konusudur. Bu alanda; sürekli fonksiyonlar üzerine olan birçok teori, çoğul-değerli fonksiyonlara genelleĢtirilmiĢtir. Alttan yarı süreklilik kavramının kesiĢim özellikleri, optimizasyon (eniyileme) teorisinde uygulama alanına sahiptir (Penot, 1993). Çoğul-değerli fonksiyonlar, bir uzayın niteliğini ortaya koymak ya da yeni uzay çeĢitleri bulmak adına önem taĢır. Topolojik vektör uzayları, topoloji ve doğrusal cebirin birleĢtiği noktadadır. Bu nedenle, üzerinde çalıĢacağımız çoğul-değerli fonksiyonlar, bu iki dal arasındaki iliĢkiyi ortaya koyacaktır. Sonuçta; çoğul-değerli bir fonksiyonun davranıĢı hakkında bilgi edinmek, tanım ve görüntü uzayları hakkında fikir yürütmekle eĢ değerdir.
Bu tezde; (X,) topolojik uzayı ve Y kümesi için, F: X çoğul-değerli
fonksiyonu (Y,) uzayının sırası ile kuasi-uniform ve topolojik vektör uzay olması durumunda çalıĢılmıĢtır. Spakowski (2001) tarafından ortaya atılıp Hausdorff ve Vietoris tipi süreklilikle iliĢkisi incelenen -süreklilik, bilinen θ-süreklilikle birleĢtirilmiĢ ve -θ-süreklilik kavramı elde edilmiĢtir. Kuasi-uniform uzaylarda çoğul-değerli fonksiyonlar için θ ve θ * tipi alttan yarı süreklilik denk olduğundan -ays nin
Spakowski’nin (2001) belirttiği özelliklerinin, aynı Ģekilde -θ-ays için de geçerli olduğu görülür. Bu denklik, aynı zamanda -θ-ays nin -ays den daha güçlü bir
süreklilik olduğu sonucuna götürür. -θ-alttan yarı sürekli çoğul-değerli fonksiyonlar üzerinde birleĢim, kartezyen çarpım ve kesiĢim iĢlemlerinde, -θ-ays nin hangi durumlarda korunduğu irdelenmiĢtir ve bu denklik kullanılmadan doğrudan ispat yapılmıĢtır. F in kısıtlanıĢ, grafik ve fark fonksiyonlarının karakterizasyonları çalıĢılmıĢtır. Kuasi-uniform uzaylarda süreklilik ile küme bileĢke iĢleminin yakın iliĢkisinden yola çıkarak grafik fonksiyonu cinsinden, belirli çoğul-değerli fonksiyonların sağladığı cebirsel bir özellik verilmiĢtir. Bu sonuç, belirli özelliği sağlayan kuasi-uniform uzayda değerli, F: XX Ģeklinde verilen çoğul-değerli
fonksiyonların Hausdorff-üstten sürekli olduğu en küçük değer uzayını bulmada önem taĢır. Elde edilen özelliğe sahip fonksiyonların, cebirsel anlamda birim elemanlı bir yarı grup oluĢturduğu görülmüĢtür. Ayrıca, X topolojik uzay, Y topolojik vektör uzayı ve
F,G: XY olmak üzere; F ile G çoğul-değerli fonksiyonlarının vektörel toplamının,
2. KAYNAK ARAġTIRMASI
2.1. Topolojik ve Kuasi-Uniform Uzaylar
Bu bölümde; literatürde iyi bilinen topolojik ve kuasi-uniform uzay kavramları hakkında araĢtırmamızda gerekli olan temel bilgiler verilmiĢtir.
2.1.1 Tanım
BoĢ olmayan bir kümesi için, 2 ailesi aĢağıdaki Ģartları sağlasın. O
hâlde; (,) ikilisine topolojik uzay denir. a) , ;
b) iJ (J herhangi bir küme) için; Ai için,
J iAi ;
c) iJ (J sonlu) için; Ai için,
J iAi .
2.1.2. Tanım
(,) topolojik uzayı ve V verilsin. v ={ UV | U } ailesinin oluĢturduğu
topolojiye, alt uzay topololojisi denir. Böylelikle, (V,v) topolojik alt uzayı elde edilir.
2.1.3. Tanım
(,) topolojik uzayı verilsin. Her V ve xV için, U V olacak biçimde bir
U varsa , regüler uzaydır denir.
2.1.4. Tanım
, boĢ olmayan bir küme olmak üzere; 2 ailesi, aĢağıdaki koĢulları sağlarsa ailesine, ideal denir.
a) A, B için, AB ;
2.1.5. Tanım
için, aĢağıdaki özellikleri sağlayan U 2 ailesi verilsin:
a) UU ve y için, (y,y)U;
b) U, VU için, UVU ;
c) UU için, VU VV U ( VV {(x,y)| z (x,z),(z,y) V} );
d) UU için; U V için, VU.
Bu takdirde; U ailesine, üzerinde bir kuasi-uniformite ve (,U) ikilisine,
kuasi-uniform uzay adı verilir. Her UU için, U-1{(y,x)|(x,y) U}U ise (, U),
uniform uzaydır denir.
2.1.6. Tanım
(,U), bir kuasi-uniform uzay olmak üzere; A ve WU verilsin.
W(A) {y | xA (x,y)W } kümesine, A nın W-komĢuluğu denir. Bu çalıĢmada; W, kümesinin herhangi bir alt kümesi olması durumunda da W(A) kümesini aynı
Ģekilde kullanacağız.
2.1.7. Tanım
kümesi ve Σ Ρ( ) ailesi verilsin. Σ {
J i
Ai | AiΣ, J herhangi bir küme}
ailesine, Σ ailesinin ürettiği aile denir.
2.1.8. Önerme
(,U), kuasi-uniform uzayı verilsin. Σ{U(y) | UU, y }, bir topoloji üreten
2.1.9. Tanım
(,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; Λ 2
ailesi verilsin. Λ ailesi
kümelerinin herhangi bir kesiĢimine eĢit olan kümeler ailesi, U kuasi-uniformitesini üretiyorsa Λ ailesine, U için bir alt tabandır denir.
Her topolojik uzayın kuasi-uniformize edilebilir olduğu ispatlanmıĢtır ( Pervin, 1962; Murdeshwar ve Naimpally, 1966).
2.1.10. Teorem
(,), bir topolojik uzay olmak üzere; her U için, Su (UU) ((-U) )
Ģeklinde tanımlansın. O hâlde; Λ{ Su | U } ailesi, topolojisini üreten
kuasi-uniformite için alt taban oluĢturur. (Pervin, 1962).
2.1.11. Önerme
(,), bir topolojik uzay ve U, topolojisini üreten, üzerinde bir kuasi-uniformite
olsun. A kümesinin kapanıĢı, A {
W-1(A) | WU } olur (Spakowski, 2001).2.1.12. Uyarı
Herhangi bir A için, W-1(A)A olduğu açıktır. Bu nedenle A{
B | BA -B } ifadesi ile yukarıdaki önerme arasındaki benzerlikdikkate değerdir.
2.1.13. Tanım
(,U), kuasi-uniform uzay ve A olsun. Her WU için, BA ve A W-1(B) Ģartını sağlayan bir B sonlu kümesi varsa A, tamamen sınırlıdır denir.
2.2. -Süreklilik ve Yarı Süreklilik
2.2.1. Tanım
(,) topolojik uzayı ve A verilsin. Her aA için, aU U A olacak
Ģekilde bir U açık kümesi varsa A, -açıktır denir (Velicko, 1968).
2.2.2. Uyarı
(,) topolojik uzayı ve açık U alt kümesi verilsin. Bu takdirde; yukarıdaki
tanım gereği, Ukümesi, her zaman -açık olur.
2.2.3. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; bir f: fonksiyonu ve x
noktası verilsin. f(x) in her V açık komĢuluğu için, f(U) V
olacak Ģekilde bir U açık komĢuluğu varsa f fonksiyonu, xnoktasında -süreklidir denir (Fomin, 1943).
AĢağıdaki teorem, her sürekli fonksiyonun -sürekli olduğunu göstermektedir.
2.2.4. Teorem
(,) ve (,) topolojik uzayları ile sürekli olan bir f: fonksiyonu
verilsin. Bu takdirde; her V -açık kümesi için, f-1(V), -açık olur (Long ve Herrington,1982).
2.2.5. Tanım
ve kümeleri verilsin. F, kümesindeki her noktayı kümesinin boĢ
olmayan bir alt kümesine götürüyorsa F kuralına çoğul-değerli fonksiyon denir.
2.2.6. Tanım
A ve F: Y verilsin. A kümesinin, F çoğul-değerli fonksiyonu altında
üstten ters görüntüsü; F+(A)={xX | F(x)A} ve alttan ters görüntüsü; F-(A)={xX | F(x) A≠ Ø } Ģeklinde tanımlanır (Berge, 1959; Banzaru, 1972).
2.2.7. Tanım
(,) ve (,) topolojik uzayları ile F: Y çoğul-değerli fonksiyonu verilsin.
F in çoğul-değerli grafik fonksiyonu olan GF, Ģu Ģekildedir: GF: x
için, GF(x)={x}F(x) . { {x}F(x) | x } kümesine F in grafiği denir. KarıĢıklık
olmaması adına F in grafiğini FG sembolü ile göstereceğiz.
2.2.8. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F (x) V
olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Vietoris tipi
alttan yarı süreklidir denir. Kısaca, V-ays Ģeklinde gösterilir.
b) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F (x) V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Vietoris tipi üstten
yarı süreklidir denir. Kısaca, V-üys Ģeklinde gösterilir.
2.2.9. Uyarı
Spakowski (2001), Vietoris tipi yarı süreklilik ile bilinen yarı süreklilik kavramlarını çoğul-değerli fonksiyonlar için aynı anlamda kullanmıĢtır. Biz de, bu çalıĢmada, topolojik uzaylarda çoğul-değerli fonksiyonlar için süreklilik ve -süreklilik kavramlarını buna uyumlu Ģekilde kullanacağız.
-süreklilik çoğul-değerli fonksiyonlara, tekil-değerlidekine uygun olarak daha
2.2.10. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x) V olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Vietoris tipi
alttan -yarı süreklidir denir. Kısaca, V- -ays Ģeklinde gösterilir.
b) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x) V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Vietoris tipi üstten
-yarı süreklidir denir. Kısaca, V- -üys Ģeklinde gösterilir
2.2.11. Tanım
(,) ve (,), topolojik uzaylar olmak üzere; F: Y çoğul-değerli
fonksiyonu ile x noktası verilsin.
a) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x) V olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında alttan
*
-yarı süreklidir denir.
b) F(x) V Ģartını sağlayan her V için; xU(x) için, F(x) V olacak
Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında üstten *-yarı
süreklidir denir (Mukherjee ve ark., 2002).
2.2.12. Uyarı
Üzerinde çalıĢacağımız diğer süreklilik çeĢitleri ile uygun olması adına alttan *-yarı sürekliliği V-*-ays; üstten *-yarı sürekliliği ise V-*
3. TEORĠK ESASLAR
θ -sürekliliğin tarihsel geliĢimi ve kuasi-uniform uzaylarda süreklilik kavramları
üzerine yapılan araĢtırmalar, tez için gerekli ve yeterli ön bilgiyi oluĢturacak Ģekilde değerlendirilmiĢtir. Kuasi-uniform ve topolojik uzaylar arasındaki güçlü iliĢki temel teorilerin kuasi-uniform uzayda da uygulanabileceğine ilham kaynağı olmuĢtur. Topolojik uzaylardaki komĢuluk kavramı ile kuasi-uniform uzaylardaki bilinen komĢuluk arasındaki yakın bağ, V ile ya da H tipi süreklilik arasındaki geçiĢte olduğu gibi iki uzay arasındaki geçiĢte de önem taĢımıĢtır.
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA
4.1. Kuasi-Uniform Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar
Bu bölümde; (,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere;
F : çoğul-değerli fonksiyonu incelenmiĢtir.
Spakowski (2001), görüntü kümesi kuasi-uniform uzay olan çoğul-değerli fonksiyonlar için, Hausdorff tipi alttan yarı sürekliliği çalıĢmıĢtır.
4.1.1. Tanım
F: çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin.
a) Her WU için; xU(x) için, F(x) W-1(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Hausdorff tipi alttan yarı süreklidir
denir. Kısaca, H-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU için; xU(x) için, F(x) W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, xnoktasında Hausdorff tipi üstten yarı süreklidir
denir. Kısaca, H-üys Ģeklinde gösterilir.
c) F, xnoktasında H-ays ve H-üys ise xnoktasında Hausdorff yarı süreklidir
(H-ys) denir.
Penot (1993); topolojik uzaydan normlu uzaya tanımlı, sınırlı, alttan yarı sürekli çoğul-değerli fonksiyonları tanıtmıĢtır. Spakowski (2001) ise kümesinin herhangi bir
örtüsü için, tipi alttan yarı sürekliliği tanımlayarak; V-ays ile H-ays kavramlarını birleĢtirmiĢ ve Penot’un kavramını genelleĢtirmiĢtir. Ayrıca, tipi üstten yarı sürekliliği benzer Ģekilde tanımlamıĢtır.
4.1.2. Tanım
kümesinin bir örtüsü verilsin.
a) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F: çoğul-değerli fonksiyonu, xnoktasında
b) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F: çoğul-değerli fonksiyonu, x noktasında tipi üstten yarı süreklidir denir. -üys Ģeklinde gösterilir. (Spakowski, 2001).
4.1.3. Uyarı
ailesini, en kaba örtü { } aldığımızda; -ays ile H-ays nin eĢ değerliği
aĢikârdır. Spakowski (2001), yaptığı çalıĢmada; ailesinin en ince örtü {{y}| y } olması durumunda; -ays ile V-ays eĢitliğini göstermiĢtir. Böylece, ortaya attığı -ays ile diğer iki süreklilik çeĢidini birleĢtirmiĢtir.
AĢağıdaki teorem, söz konusu üç süreklilik çeĢidi arasındaki iliĢkiyi ortaya koymaktadır.
4.1.4. Teorem
Y kümesinin bir örtüsü, (,) topolojik uzayı, (,U) kuasi-uniform uzayı ve
F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. Bu takdirde; aĢağıdaki önerme sağlanır: F, x noktasında H-ays dir F, x noktasında -ays dir F, x noktasında V-ays dir. Ters yönlü önermelerin doğru olması gerekmez (Spakowski, 2001).
4.1.5. Teorem
F: çoğul-değerli fonksiyonu ve {{y}| y } örtüsü verilsin. O hâlde;
F fonksiyonunun x noktasında V-ays olması için gerek ve yeter Ģart xnoktasında
-ays olmasıdır (Spakowski, 2001). 4.1.6. Tanım
kümesinin bir örtüsü, (,U) kuasi-uniform uzayı ve A verilsin. Her
B için, AB tamamen sınırlı ise A kümesine, -tamamen sınırlı denir
4.1.7. Uyarı
{ } ise tamamen sınırlılık ve -tamamen sınırlılık kavramları aynıdır.
{{y}| y } ise tek elemanlı küme her zaman tamamen sınırlı olduğundan nin
her alt kümesi, -tamamen sınırlı bulunur. Buradan yola çıkarak; aĢağıdaki teorem, 4.1.5. Teoreme daha genel yeter Ģart eklemiĢtir (Spakowski, 2001).
4.1.8. Teorem
F: çoğul-değerli fonksiyonu, x noktası ve kümesinin bir örtüsü
verilsin. F( x), -tamamen sınırlı ise F fonksiyonunun x noktasında V-ays olması için
gerek ve yeter Ģart xnoktasında -ays olmasıdır (Spakowski, 2001).
4.1.9. Uyarı
-ays ve -üys tanımları birbirinin ters yönlüsü olduğundan V-üys-üys ifadesi doğrudur. Dolayısıyla, önermenin yönü üstten yarı süreklilik durumunda değiĢir. Ancak F(x) kümesinin -tamamen sınırlı olması, tersinin doğru olmasını gerektirmez.
Spakowski (2001) tarafından -ays çeĢidi ile birleĢim iĢlemi arasındaki iliĢki aĢağıdaki gibi ortaya konmuĢtur.
4.1.10. Tanım
, uzayları ve Fi: , i J çoğul-değerli fonksiyonları verilsin. BirleĢim
fonksiyonu, F
J i Fi ; x için, F(x):
J i Fi(x) Ģeklinde tanımlanır. 4.1.11. Teorem(,) topolojik ve (,U), kuasi-uniform uzay olmak üzere; F1, F2 :
çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında -ays ise; bu takdirde, F F1 F2 x
Çarpım topolojisi, literatürde bilinen bir kavramdır. AĢağıda, çarpım kuasi-uniformitesi tanımlanmıĢtır (Spakowski, 2001).
4.1.12. Tanım
(i,Ui) i1, 2, kuasi-uniform uzaylar olsun. Pi :12 i i1, 2; izdüĢüm
fonksiyonları ise 12 için, çarpım kuasi-uniformitesi, UU1U2 ;
aĢağıdaki belirtilen Ģekilde kümeler tarafından üretilir:
[W1,W2]{(z1,z2) | (Pi(z1), Pi(z2))Wi, i1, 2}, WiUi
AĢağıdaki yardımcı teorem, -ays nin çarpım iĢleminde korunduğunu ispatlamada kullanılmıĢtır.
4.1.13. Teorem
(i,Ui) iI{1, 2} kuasi-uniform uzayları ve iI için, Ai i kümeleri verilsin.
O hâlde; Ģu özellikler sağlanır:
a) [W1,W2] (A1A2) W1 (A1) W2 (A2)
b) [W1,W2]-1 (A1A2) W1-1(A1) W2-1(A2) (Spakowski, 2001).
4.1.14. Uyarı
Yukarıdaki teoremin I, herhangi bir küme olduğunda da geçerli olduğu görülebilir.
4.1.15. Teorem
(,); topolojik uzayı, (i,Ui) iI; kuasi-uniform uzaylar ailesi, iI için,
i kümesinin bir i örtüsü verilsin. iI için, çoğul-değerli Fi : i fonksiyonlarının,
x noktasında -ays olması için gerek ve yeter Ģart
I i Fi, çoğul-değerli çarpım fonksiyonunun x noktasında
I i4.2. Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli Yarı Sürekli Fonksiyonlar
4.2.1. Tanım
; üzerinde topoloji tanımlanan bir vektör uzay ve vektör uzayın toplama
iĢlemi; +: sürekli bir fonksiyon ise topolojik vektör uzaydır denir ( Schaefer, 1986).
4.2.2. Uyarı
(,) topolojik vektör uzayı ve F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. U, 0 vektörünün komĢuluklarından üretilen kuasi-uniformite olsun. Bu takdirde; F(x) in (,U) uzayındaki komĢulukları, F(x) ile 0 ın komĢuluklarının vektörel toplamı bulunur. Dolayısıyla, bu özel durumda, H-ays nin tanımı aĢağıdaki gibi olur.
0 ın her V komĢuluğu için; x U(x) için, F(x) F(x) + V olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, xnoktasında H-ays dir. (Spakowski, 2001).
Takip eden iki yardımcı teorem, kesiĢim iĢleminde -ays çeĢidinin korunması için yeter Ģartları oluĢturmada kullanılmıĢtır.
4.2.3. Teorem
; normlu uzayı, A ; konveks ve sınırlı kümesi verilsin. A, A kümesinin içi
olmak üzere; A sağlansın. Bu takdirde; B(r); r>0, r yarıçaplı yuvarı ifade etmek üzere; her >0 için, C+B() A C+B() olacak Ģekilde bir C A kümesi ve >0 vardır (Lechicki ve Spakowski, 1985).
4.2.4. Teorem
Herhangi bir A kümesi, B; sınırlı kümesi ve boĢ olmayan C kapalı ve konveks kümesi, topolojik vektör uzayına ait olsun. Bu takdirde; A+B (C+B) A C olur (Rabinovich, 1967; Urbánski, 1976).
4.2.5. Tanım
(,) topolojik uzay ve , topolojik vektör uzay olmak üzere; F:
çoğul-değerli fonksiyonu ile x noktası verilsin. Her xU için, F(x) kümesi
konveks (kapalı) olacak Ģekilde bir U açık kümesi varsa F, xnoktasında yerel konveks
(kapalı) değerlidir denir.
4.2.6. Teorem
(,); topolojik uzayı ve ; normlu uzayı ile kümesinin bir {B(r)| r>0}
örtüsü verilsin. F1, F2 : çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında;
-ays, yerel konveks, yerel kapalı değerli ve F(x) ise F F1 F2 fonksiyonu, x
noktasında -ays dir; dolayısıyla V-ays dir (Spakowski, 2001).
AĢağıda; vektör uzayda çoğul-değerli fonksiyonlar için toplama iĢlemi, bilinen Minkowski tipi küme toplaması olarak verilmiĢtir.
4.2.7. Tanım
(,), topolojik ve , topolojik vektör uzay olmak üzere; F1, F2 :
çoğul-değerli fonksiyonları verilsin. F1 ile F2 nin vektörel toplamı, x için,
(F1+F2)(x) F1(x)+F2(x) { a+b| aF1(x), bF2(x) } Ģeklinde tanımlanır.
Spakowski (2001), vektörel toplamın Hausdorff alttan yarı sürekliliğinin daha önce ispatlandığını belirtmiĢtir.
4.2.8. Uyarı
(,), topolojik ve , topolojik vektör uzay olsun. F1, F2 :
çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında H-ays ise; bu takdirde, F1+F2 vektörel
4.2.9. Teorem
F1, F2 : çoğul-değerli fonksiyonları x noktasında V-ays ise F1+F2,
x noktasında V-ays olur (Spakowski, 2001).
4.2.10. Tanım
, topolojik vektör uzay ve , nin bir örtüsü olmak üzere; her B ve her
v için, B+v ise örtüsüne, öteleme değiĢmez örtü denir.
4.2.11. Teorem
, nin öteleme değiĢmez bir örtüsü, x noktasında F : -ays ve
f: sürekli ise F+ f, x noktasında -ays olur (Spakowski, 2001).
AĢağıdaki örnek, -ays olma özelliğinin vektörel toplama iĢleminde korunmadığını gösterir.
4.2.12. Örnek
3
ve , {y x} düzlemi ve onun ötelemelerinden meydana gelen örtü olsun. F1(t), {z ty, x 0} ve F2(t), {y 0, z 0}, t 0 doğruları olsun. Bu takdirde;
F1 ve F2 -ays dir, fakat F1+F2; her noktada -ays değildir (Spakowski, 2001).
4.2.13. Tanım
(,), topolojik uzay, , topolojik vektör uzay ve F : çoğul-değerli bir
fonksiyon olsun. x için, F(x) i içeren en küçük konveks kümeyi konv(F(x)) ile gösterelim. F in konveks kabuğu konv(F)(x) : ; her x için, konv(F)(x) konv(F(x)) Ģeklinde tanımlanır.
Konveks kabuk kavramı ile ilgili olarak Spakowski (2001) tarafından verilen teoremi ele alalım.
4.2.14. Teorem
, yerel konveks uzay olmak üzere; F : çoğul-değerli fonksiyonu, x
noktasında –ays ise; o hâlde, konv(F), x noktasında –ays dir (Spakowski, 2001).
4.3. Kuasi-Uniform ve Topolojik Vektör Uzaylarda Çoğul-Değerli -Yarı Sürekli Fonksiyonlar
Bu bölümde; kuasi-uniform uzaylarda yarı süreklilik ile ilgili elde edilen özelliklerin -yarı süreklilikle iliĢkisi incelendi. (,) topolojik ve (,U) kuasi-uniform
uzay olarak alındı.
Hausdorff tipi * ve
-yarı sürekliliği, bilinen * ve -yarı süreklilikle uyumlu
olarak kuasi-uniform uzaylarda çoğul-değerli fonksiyonlar için Ģu Ģekilde tanımlanır:
4.3.1. Tanım
F: çoğul-değerli fonksiyonu ve x noktası verilsin.
a) Her WU için; xU(x) için, F(x) W-1(F(x) olacak Ģekilde bir U(x)
komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi alttan *-yarı
süreklidir denir. H- *
-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU için; xU(x) için, F(x) W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi üstten *-yarı süreklidir denir. H- *
-üys Ģeklinde gösterilir.
c) Her WU için; xU(x) için, F(x) W-1(F(x) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi alttan -yarı süreklidir denir. H--ays Ģeklinde gösterilir.
d) Her WU için; xU(x) için, F(x) W(F(x)) olacak Ģekilde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonuna, x noktasında Hausdorff tipi üstten -yarı
süreklidir denir. H--üys Ģeklinde gösterilir.
ġimdi de; örtü kavramı yardımıyla tipi *
ve yarı süreklilik kavramlarını
4.3.2. Tanım
F : çoğul-değerli fonksiyonu, kümesinin bir örtüsü ve bir x
noktası verilsin.
a) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında tipi alttan *-yarı
süreklidir denir. -*
-ays Ģeklinde gösterilir.
b) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W(F(x)) olacak biçimde
bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında tipi üstten *-yarı
süreklidir denir. -*
-üys Ģeklinde gösterilir.
c) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, xnoktasında tipi alttan -yarı
süreklidir denir. - -ays Ģeklinde gösterilir.
d) Her W U ve B için; xU(x) için, F(x) B W(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu varsa F fonksiyonu, x noktasında tipi üstten -yarı süreklidir denir. - -üys Ģeklinde gösterilir.
Spakowski (2001) yaptığı çalıĢmada, kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli olan bir fonksiyonun Hausdorff alttan yarı sürekliliği ile kapanıĢ fonksiyonun Hausdorff alttan yarı sürekliliğinin denk olduğuna dikkat çekmiĢtir. Buradan yola çıkarak, aĢağıdaki teoremde F fonksiyonuna ya da W-1(F(x)) komĢuluğuna kapanıĢ operatörü uyguladığımızda, -alttan yarı sürekliliğe denk tanımlar ortaya çıktığı görülmüĢtür.
4.3.3. Teorem
F : çoğul-değerli fonksiyonu, kümesinin bir örtüsü ve bir x
noktası verilsin. Bu takdirde; aĢağıdaki ifadeler eĢ değerdir: a) F fonksiyonu, x noktasında - *-ays dir;
b) Her WU ve B için; xU(x) için, (F(x) B) W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır;
c) Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır;
Ġspat: a) b) : WU ve B verilsin. VV W olacak biçimde bir V U
kümesi vardır. 2.1.11. Önerme gereğince; (F(x)B) V-1(F(x)B) bulunur. F x
noktasında - *-ays olduğundan xU(x) için, V-1(F(x)B) V-1 (V-1(F(x))) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır. O hâlde; her xU(x) için,
(F(x)B) V-1 (V-1(F(x))) = (V-1V-1)( F(x)) W-1(F(x) olur.
b) c) : F(x) B (F(x) B) ve W-1(F(x)) W-1(F(x)) olduğundan ispat
açıktır.
c) d) : WU için, VV W olacak biçimde bir VU kümesi buluruz.
B için; xU(x) için, F(x) B V-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu
vardır. F(x) V-1(F(x)) olduğundan;
V-1(F(x)) V-1(V-1(F(x))) W-1(F(x)) W-1(F(x)) ifadesi gereği, istenilen sonuç elde edilir.
d) a) : W U için, VV W olacak biçimde bir VU kümesi vardır. F x
noktasında - -ays olduğundan;
xU(x) için, F(x)B V-1(F(x)) V-1(V-1(F(x)) W-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır. Dolayısıyla, F x noktasında - *-ays dir.
4.3.4. Sonuç
F : çoğul-değerli fonksiyonu, bir x noktası verilsin. Bu takdirde;
aĢağıdaki ifadeler eĢ değerdir:
a) F fonksiyonu, x noktasında H- *-ays dir;
b) F fonksiyonu, xnoktasında H- -ays dir.
Ġspat: Yukarıdaki teoremde { } alırsak sonuç elde edilir.
Böylelikle, kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli fonksiyonlar için Spakowski’nin (2001) ortaya attığı -ays sürekliliğe benzer Ģekilde - *-ays ile - ays çeĢitlerini tanımladığımızda birbirine denk kavramlar elde edildiğini gördük.
- *
-ays -ays gerektirmesi açıktır. Bunun tersinin doğru olmadığını bir örnekle gösterelim.
4.3.5. Örnek
{1,2,3} {1,2} kümeleri ve nin {{1}, } örtüsü verilsin.
üzerindeki topoloji, {, , {1,3}} olsun. üzerinde, {,, {2}} topolojisine
karĢılık gelen kuasi-uniformiteyi U ile gösterelim. O hâlde; 2.1.10. Teorem sonucu,
U { {(1,1), (1,2), (2,2)}, {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}} bulunur. F : çoğul-değerli
fonksiyonunu Ģu Ģekilde tanımlayalım:
F(1) , F(2) {1} ve F(3) {2}
F fonksiyonu, x1 noktasında -ays dir; fakat -*-ays değildir. Ayrıca, H-ays dir;
fakat H-*
-ays değildir.
4.3.6. Önerme
a) { } olması durumunda H- -yarı süreklilik ile - -yarı süreklilik denktir.
b) , nin bir örtüsü ve 1, ailesine ait kümelerin sonlu birleĢimlerinden
oluĢan örtü ise; bu takdirde, aĢağıdaki gerektirmeler geçerlidir: 1) - -ays 1- -ays
2) - -üys 1- -üys
4.3.7. Önerme
; nin bir örtüsü, F : bir çoğul-değerli fonksiyon ve x olsun.
={A | sonlu I A
I i
Bi ve iI için Bi} Ģeklinde tanımlanan aile bir idealdir.
Ayrıca, F, x noktasında - -ays ise F, x noktasında - -ays olur.
Ġspat: A
I i Bi ve C
J iBj alt kümeleri verilsin. O hâlde; K=IJ indis
kümesi için, AC
K k
Bk olduğundan AC bulunur. A
I i Bi ve CA ise C
I iBi olur. Dolayısıyla, , bir idealdir.
W U ve A kümeleri verilsin. verilsin. A B=
I i
i Ģartını sağlayan i
olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu bulunur. F (x) A F (x) B olduğundan F, xnoktasında - -ays olur.
4.3.3. Teoremi dikkate alırsak, 4.1.4. Teorem ile ifade edilen süreklilik çeĢitleri arasındaki iliĢkilerin -alttan yarı süreklilik için de geçerli olduğu sonucuna varmada, Spakowski’nin (2001) verdiği ispatları kullanabiliriz. Fakat biz, ve *-alttan yarı sürekliliğin denkliğini kullanmadan bu iliĢkiyi doğrudan ispatlayacağız.
4.3.8. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve
F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. AĢağıdaki ifadeleri göz önüne alalım:
a) F, x noktasında H- *-ays dir.
b) F, x noktasında - -ays dir.
c) F, x noktasında V- *-ays dir. O hâlde; (a) (b) (c) elde edilir.
Ġspat: a) b): F(x) B F(x) W-1(F(x)) W-1(F(x)) olduğundan ispat
aĢikârdır.
b) c) : y yF(x) G olacak Ģekilde bir G açık kümesi verilsin.
W(y) G ve y B Ģartını sağlayan WU ve B kümelerini seçelim. Bu takdirde,
kuasi-uniform uzayın tanımından VV W olacak Ģekilde bir VU kümesi vardır.
Dolayısıyla, (VV)(y) W(y) G bulunur. F, - -ays olduğundan her xU(x)
için, F(x)B V-1(F(x)) olacak biçimde bir U(x) komĢuluğu vardır.
yV-1(F(x) olduğundan her UU için, yV-1(F(x)) U(y) olacak Ģekilde bir y
elemanı vardır. UV alırsak, yV(y) ve yV(y) olacak Ģekilde yF(x) ve y
noktalarını elde ederiz. Fakat bu, (y,y)V ve (y,y)V olması demektir. 2.1.5. Tanım
gereği, (y,y)VV, diğer bir ifade ile y(VV)(y) W(y) G bulunur. Sonuç
olarak; her xU(x) için, yF(x) G Ģartını sağlayan bir y noktası var olduğundan F, x noktasında V- *-ays dir.
AĢağıdaki önermeler, - *-ays ve V-
-ays nin denkliği için gerekli Ģartı
kurmada kullanılmıĢtır.
4.3.9. Önerme
(,) topolojik uzay, A ve B ise A B (AB) bulunur.
4.3.10. Önerme
F(x)W(y) ve F(x), bir açık küme ise yW-1(F(x)) olur.
Ġspat: F(x) açık olduğundan 4.3.9. Önerme kullanılarak bir yF(x) W(y) [F(x) W(y)] noktası bulunur. UU için,
y F(x) W(y) U(y) olacak Ģekilde bir y noktası bulunur. Bu takdirde;
yW-1(y) W-1(F(x)) sonucu ortaya çıkar.
AĢağıdaki teorem, - *-ays (- -ays) ve V- -ays nin ne zaman çakıĢık
olduklarını ortaya koyması bakımından önemlidir.
4.3.11. Teorem
; Y kümesinin tek noktalardan oluĢan bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve bir F: fonksiyonu verilsin. Her x için, F(x) açık bir küme
ise F in x noktasında - *-ays (- -ays) olması için gerek ve yeter Ģart V- -ays
olmasıdır.
Ġspat: 4.3.8. Teoremden ve - *-ays -
-ays ile V- *-ays V- -ays
gerektirmeleri var olduğundan sadece diğer yönlü ispat yapmak yeterlidir.
: B{y} ve WU verilsin. F(x) B ise ispat açıktır. O hâlde; F(x) B{y}
olsun. W(y) açık bir küme ve yW(y) dır. F(x) W(y) ve F, V- -ays olarak
verildiğinden xU(x)için, F(x) W(y) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. y F(x)W(y) olduğunu kabul edelim. F(x), bir açık küme olduğundan
4.3.12. Uyarı
; Y kümesinin tek noktalardan oluĢan bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve bir F: fonksiyonu verilsin. Bu takdirde; F in, x noktasında
- -ays olması için gerek ve yeter Ģart F in, x noktasında V- *-ays olmasıdır.
Ġspat: 4.3.8. Teoremin (b)(c) gerektirmesi nedeni ile sadece yeter Ģart ispatlanılmalıdır. 4.1.5. Teorem için Spakowski’nin (2001) ispatı, V- *
-ays B - * -ays önermesini ispatlamada kullanılabilir. B - *
-ays B - -ays gerektirmesi sonucu,
yeter Ģart ispatlanmıĢ olur.
AĢağıdaki önerme, 4.3.11. Teoremin genelleĢtirilmesinin ispatında kullanılacaktır.
4.3.13. Önerme
V, W ve A için (VW)(A)=W(V(A)) eĢitliği geçerlidir.
Ġspat: p(VW)(A) ise (q,p) VW olacak Ģekilde qA vardır. O hâlde; (q,r)V ve (r,p)W Ģartını sağlayan bir r noktası vardır. . Bu nedenle, pW(r) ve rV(q) V(A) olduğundan p W(V(A)) bulunur. Diğer yön için ispat tam tersidir.
AĢağıdaki teoremde, Spakowski (2001) tarafından 4.1.8. ile ortaya konulan -ays ve V-ays arasındaki iliĢkinin benzerini - *-ays (- -ays) ile V- -ays arasında
kurmak için ek Ģarta ihtiyaç duyulmuĢtur.
4.3.14. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzay olmak üzere; bir
F: çoğul-değerli fonksiyonu ve bir x noktası verilsin. F(x), -tamamen
sınırlı bir küme ve her x için, F(x) açık bir küme ise F in x noktasında - *-ays
(- -ays) olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında V- -ays olmasıdır.
Ġspat: Gerek Ģart 4.3.11. Teoremde ele alındığından sadece yeter Ģart ispatlanılmalıdır.
: B ve WU kümeleri verilsin. VV W olacak biçimde bir VU kümesi
için, F(x) B
n
1 i
V-1(yi) Ģartını sağlayan y1, y2, …, ynF(x) noktaları vardır. F, x
noktasında V- -ays, i1, 2, …, n için, yi F(x)V(yi ) ve V(yi) açık küme olduğundan
xU(x) iken F(x) V(yi) ifadesine uyan bir U(x) komĢuluğu vardır.
yF(x)V(yi) ise F(x) açık küme olduğundan 4.3.10. Önerme gereği
yiV-1(y) V-1(F(x)) bulunur. Sonuçta; 4.3.13. Önermeden, F(x) B
n 1 i V-1(yi)
n 1 i V-1(V-1(F(x))
n 1 i (V-1V-1)(F(x)) W-1(F(x)) ifadesi sağlanır.ġimdi, (, ) regüler uzay olması durumunda aynı formdaki (, H, V ) * -yarı süreklilikle yarı süreklilik kavramlarının denkliğini görelim.
4.3.15. Önerme
; Y kümesinin bir örtüsü , (,); regüler, (,U); kuasi-uniform uzayı olmak üzere bir F: çoğul-değerli fonksiyonu ve bir x noktası verilsin. Bu takdirde;
F in x noktasında - *-ays (- *-üys) olması için gerek ve yeter Ģart F in x
noktasında -ays (-üys) olmasıdır.
Ġspat: Ġspatı sadece alttan yarı süreklilik için yapalım. : Tanım gereği açıktır.
: Her WU ve B için; xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. KomĢuluk tanımı gereği, xnoktasını ihtiva eden
bir U U(x) açık kümesi vardır.(, ) regüler olduğundan xV U olacak Ģekilde
bir V açık kümesini bulabiliriz. O hâlde; her W U için; xV için, F(x) B W-1(F(x)) ifadesi sağlanır.
Yukarıdaki önermede ={Y} aldığımızda, H- *
-ays ve H–ays eĢitliğini elde
etmiĢ oluruz.
4.3.16. Sonuç
(,); regüler, (,U); kuasi-uniform uzayı, olmak üzere; bir F:
H-*-ays (H- *-üys) olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında H-ays (H -üys) olmasıdır.
4.3.17. Uyarı
(, ) nin regüler uzay olması durumunda, iyi bilinen süreklilik çeĢitleri V - *
-yarı süreklilik ile V--yarı süreklilik eĢ değerliği benzer yöntemle gösterilebilir.
(,U) kuasi-uniform uzayı üzerinde en ince topoloji; ={U | U } aldığımızda, aynı formdaki (, H, V ) *-yarı süreklilikle -yarı süreklilik kavramlarının
denkliği aĢağıdaki gibi gösterilebilir.
4.3.18. Önerme
; Y kümesinin bir örtüsü , (,); topolojik uzay ve (,U); kuasi-uniform uzayı olsun. , kümesi üzerinde en ince topoloji olmak üzere; bir F: çoğul-değerli
fonksiyonu ve x verilsin. Bu takdirde; F in x noktasında - *-üys olması için
gerek ve yeter Ģart F in x noktasında - -üys olmasıdır.
Ġspat: : Tanım gereği aĢikârdır.
: Her WU ve BB için; xU(x) için, F(x) B W(F(x))- Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. en ince topoloji olduğundan nin her alt kümesi kapalıdır.
O hâlde; W(F(x))- W(F(x)) eĢitliği gereği, aynı U(x) komĢuluğunu alırsak istenilen
sonuç elde edilir.
4.3.19. Uyarı
, en ince topoloji alındığında, diğer süreklilik çeĢitleri H- *-yarı süreklilik ile H- -yarı süreklilik ve V- *-yarı süreklilik ile V- -yarı süreklilik eĢ değerliği aynı
Ģekilde ortaya çıkar.
(,) uzayının regüler ve topolojisinin kümesi üzerinde en ince topoloji
olması Ģartlarının her ikisi de sağlandığında, aynı formdaki -yarı süreklilik ile
4.3.20. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü , (,); regüler uzay ve (,U); kuasi-uniform uzayı olsun. , kümesi üzerinde en ince topoloji olmak üzere; bir F: çoğul-değerli
fonksiyonu ve x noktası verilsin. O hâlde; F in x noktasında - -üys (- -ays)
olması için gerek ve yeter Ģart F in x noktasında -üys (-ays) olmasıdır.
4.1.4. Teorem ile belirtilen, Spakowski (2001) tarafından H, B ve V-ays ile ilgili elde edilen iliĢkilere daha önce bilinenleri ve kendi bulgularımızı da eklersek, aĢağıdaki Ģekil ortaya çıkar.
H- -ays H- *-ays H-ays
- -ays - *-ays -ays
V- * -ays V-ays
V- -ays
ġekil 4.1. Kuasi-uniform uzayda çoğul-değerli alttan yarı süreklilik çeĢitleri arasındaki iliĢki 2.2.4. Teorem ile tekil-değerli fonksiyonlar için sürekliliğin -sürekliliğe geniĢletilmesi, çoğul-değerli üstten yarı sürekli fonksiyonlar için de geçerlidir.
4.3.21. Önerme
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı, olmak üzere; bir F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. F, x noktasında V-üys ise F, x
noktasında, V- -üys dir.
Takip eden teoremde, üstten yarı süreklilik durumunda alttan yarı süreklilikte elde edilen iliĢkinin tersinin söz konusu olduğu görülmektedir.
4.3.22. Teorem
; Y kümesinin bir örtüsü, (,); topolojik, (,U); kuasi-uniform uzayı ve
bir F: çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. AĢağıdaki ifadeleri göz önüne alalım:
a) F x noktasında V- -üys dir.
b) F x noktasında H- -üys dir.
c) F x noktasında - -üys dir. O hâlde; a) b) c) elde edilir.
Ġspat: a) b): F, x noktasında V- -üys ise WU için, F(x) W(F(x)) ve
W(F(x)), açık küme olduğundan xU(x)için, F(x) W(F(x)) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. Dolayısıyla; F, x noktasında H- -üys dir.
b) c): F(x) B F(x) W(F(x)) olduğundan istenilen sonuç elde edilir.
Belirtilen iliĢkinin tersini kurabilmek için takip eden iki önerme önemlidir.
4.3.23. Önerme
(,U) kuasi-uniform uzay ve WU olsun. J, boĢtan farklı bir küme olmak üzere;
iJ için, Ai kümeleri verilsin. O hâlde; W(
J iAi)
J iW(Ai) elde edilir.
Ġspat: Her iJ için, W(Ai) W(
J i Ai) olduğundan
J i W(Ai) W(
J i Ai)bulunur. Diğer taraftan; x W(
J i
Ai) ise (y,x)W olacak Ģekilde bir y
J iAi vardır.
O hâlde; yAi olacak biçimde bir iJ bulunur. Dolayısıyla, xW(Ai)
J iW(Ai)
ifadesi gerçekleĢir. Böylece ispat tamamlanır.
4.3.24. Önerme
(,U); kuasi-uniform uzay, J; boĢtan farklı bir küme olmak üzere; iJ için,
WiU ve A kümeleri verilsin. Bu takdirde; (
J i Wi)(A)
J i Wi(A) olur. Ġspat: x (
J iWi)(A) verilsin. (y,x)
J iWi olacak biçimde bir yA noktası
AĢağıdaki teoremi, 4.3.22. Teorem ile beraber ele aldığımızda, H- -üys ile V-
-üys eĢ değerliği için gerek ve yeter koĢul elde edilmiĢ olur.
4.3.25. Teorem
(,); topolojik ve (,U); kuasi-uniform uzayı verilsin. F: çoğul-değerli fonksiyonu x noktasında H- -üys olsun. F(x) sonlu bir küme ise; bu takdirde, F,
x noktasında V- -üys dir.
Ġspat: F(x){y1, y2, …,yn} G olacak biçimde G açık kümesi verilsin.
i1,2, .., n, için, Wi(yi) G ifadesini gerçekleyen Wi kümeleri vardır. O hâlde;
n 1 i Wi(yi) G elde edilir. W
n 1 jWj kümesi sonlu bir kesiĢim olduğundan
kuasi-uniformitenin tanımı gereği, WU olur. Bu takdirde; H- -üys nin tanımından,
xU(x) için, F(x) W(F(x)) Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. Diğer
yandan, 4.3.23. ve 4.3.24. Önermeden; W(F(x))= (
n 1 j Wj )(
n 1 i {yi})=
n 1 i (
n 1 j Wj)(yi)
n 1 i (
n 1 j Wj (yi))
n 1 i Wi(yi) olur.Sonuçta; her xU(x) için, F(x) [
n
1 i
Wi(yi)] G ifadesi gerçekleĢtiğinden;
F, x noktasında V- -üys olur.
Üstten -yarı süreklilik çeĢitleri arasında aĢağıdaki Ģekil elde edilebilir.
V-üys V- -üys V-* -üys
H- -üys H- *-üys H-üys
- -üys - *-üys -üys
ġimdi, - -yarı sürekliliğin sonlu birleĢim iĢlemi üzerinde kapalı olduğunu
görelim.
4.3.26. Uyarı
W ile W-1 kümeleri simetrik olduğundan 4.3.23. Önermeye benzer Ģekilde A ve B için W-1(AB) W-1(A) W-1(B) eĢitliği elde edilir.
4.3.27. Teorem
(,); topolojik uzay ve (,U); kuasi-uniform uzay, olmak üzere;
F1, F2 : çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında - -ays ise
F F1 F2 , x noktasında - -ays olur.
Ġspat: B ve WU kümeleri verilsin. F1 ve F2 fonksiyonları, x noktasında
- -ays olduğundan i1,2 için; xUi(x) için, F(x) B W-1(Fi(x)) Ģartını sağlayan
Ui kümeleri vardır. Her xU1U2 için, F(x)B W-1(F1(x)) W-1(F2(x))
sonucu elde edilir. Diğer yandan; x(U1U2)U1U2 ve de 4.3.26. Uyarıdan,
W-1 (F1 (x)) W-1 (F2 (x)) [ W-1 (F1 (x)) W-1 (F2 (x)) ] W-1 (F1 (x) F2 (x))
olduğunu biliyoruz. O hâlde;
her x(U1U2) için, F(x)B W-1(F1(x)F2(x))W-1(F (x))
ifadesi sağlandığından, F F1 F2, x noktasında - -ays bulunur.
4.3.28. Teorem
(,); topolojik uzay ve (,U); kuasi-uniform uzay, olmak üzere;
F1, F2 : çoğul-değerli fonksiyonları, x noktasında - -üys ise; bu takdirde,
F F1 F2, fonksiyonu, x noktasında - -üys olur.
4.3.29. Uyarı
4.3.27. ve 4.3.28. Teoremleri sonlu sayıdaki fonksiyonların birleĢimine genelleĢtirebilir. Ancak Ui açık kümelerinin sonsuz sayıdaki kesiĢimi her zaman açık
olmadığından; herhangi bir sayıda Fi çoğul-değerli fonksiyonların birleĢimine
genelleĢtirme yapamayız.
Takip eden kısımda; herhangi bir çoğul-değerli fonksiyon ile onun kısıtlanıĢ fonksiyonunun - -alttan yarı sürekliliği arasındaki iliĢki incelenmiĢtir.
AĢağıdaki iki kavramın literatürde sıklıkla üzerinde durulmuĢtur.
4.3.30. Tanım
F: (,) ve V olmak üzere F in V kümesine kısıtlanıĢ fonksiyonu,
F|V :(, v) ; vV için, (F |V)(v)= F(v) Ģeklinde tanımlanır.
4.3.31. Tanım
(,) bir topolojik uzay ve U V olmak üzere; U = T V olacak Ģekilde
bir T kümesi varsa U, V-açıktır denir.
4.3.32. Önerme
(,) topolojik uzayı ve V için (V,v) verilsin. V, te kapalı bir küme ise;
bu takdirde, R V kümesinin (V,v) uzayındaki kapanıĢı RV ; (,) uzayındaki
kapanıĢı R ye eĢit bulunur.
Ġspat: VR olduğundan RV=
{UV | U kapalı ve UVR}=
{UV| U kapalı ve UR} bulunur. V kapalı olduğundan bir U kapalı kümesi için, UV kapalı olur. O hâlde;R=
{U | U kapalı ve UR} =
{UV | U kapalı ve UR}= RV4.3.33. Teorem
{Vi | iI }; in kapalı örtüsü ve ; nin herhangi bir örtüsü, olmak üzere;
F : çoğul-değerli fonksiyonu verilsin. F in - -ays olması için gerek ve yeter
Ģart her iI için, F | Vi fonksiyonunun - -ays olmasıdır.
Ġspat: : xVi olmak üzere; B ve WU verilsin. F, x noktasında
- -ays olduğundan xU(x) için, F(x) B W-1(F(x)) olacak Ģekilde U(x)
komĢuluğu vardır. R(x) = U(x)Vi olsun. Bu takdirde; Vi kapalı olduğundan
R(x)Vi= R(x) U(x) bulunur. O hâlde;
her xR(x) Vi için, (F | Vi )(x) B W-1(F(x)) = W-1(F | Vi (x))
ifadesi elde edilir.
: xVi olacak Ģekilde bir Vi kapalı kümesi vardır. B ve WU verilsin. F | Vi , - -ays olduğundan xR(x) Viiçin, (F |Vi )(x) B W-1(F | Vi (x)) olacak
Ģekilde R(x)komĢuluğu vardır. R(x)= U(x)Vi Ģartını sağlayan bir U(x) komĢuluğu vardır. Bu takdirde; U(x)=U(x)Vi R(x) aldığımızda, xU(x) için, F(x) B
W-1(F(x)) olur.
Çarpım fonksiyonunun -ays olması durumu Spakowski (2001) tarafından çalıĢılmıĢtır. 4.3.3. Teorem gereği, - -ays için de aynı durumun söz konusu olduğu
sonucuna, Spakowski (2001) tarafından verilen ispat yoluyla varılabilir. AĢağıdaki önerme, çarpım topolojisi ve - -ays süreklilik iliĢkisinin doğrudan
çözümlenmesinde kullanılmıĢtır.
4.3.34. Önerme
(1,1), (2,2), (12,12) topolojik uzayları ve A1 ve B2 kümeleri
4.3.35. Teorem
(,); topolojik uzay, iI (I sonlu) için, (i,Ui); kuasi-uniform uzaylar ailesi, i;
i kümesinin örtüsü, olmak üzere; Fi :i çoğul-değerli fonksiyonları verilsin. Fi :i fonksiyonlarının, x noktasında - -ays olması için gerek ve yeter Ģart
I i
Fi , çoğul-değerli çarpım fonksiyonunun x noktasında
I i i - -ays olmasıdır. Ġspat: : W
I i Ui ve B
I ii olsun. Çarpım kuasi-uniformitesinin
tanımından, bir [W1,W2,…] W alt kümesi vardır. Her iI için, Fi : i ; x
noktasında --ays olduğundan Bii aldığımızda, xUi(x) için, Fi(x) Bi Wi-1(Fi(x)) olacak Ģekilde bir Ui(x) komĢuluğu vardır. O hâlde; her
xU(x)=[
I i Ui(x)] için,
I i Fi(x)Bi
I i Wi-1(Fi(x)) ifadesi sağlanır.4.1.14. Uyarı ve 4.3.34. Önerme gereği,
I i Fi(x)Bi [W1-1,W2-1,…](
I i Fi(x)) olur. [W1,W2,…]W olduğundan ve kesiĢim kümerinin çarpımının özelliği gereği;
I i Fi(x)
I i Bi
I i Fi(x) B [W1-1,W2-1,…](
I i Fi(x))W-1(
I i Fi(x)) sonucu ortaya çıkar. Dolayısıyla,
I i Fi , x noktasında
I i i - -ays dir.: iI için, WiUi ve Bii verilsin. O hâlde; [W1,W2,…]
I i Ui ve
I i Bi
I i i aldığımızda,
I i Fi , x noktasında
I ii– -ays olduğundan her
xU(x) için,
I i Fi(x)
I i Bi [W1-1,W2-1,…](
I iFi(x)) Ģartını sağlayan bir
U(x) komĢuluğu vardır. Bu takdirde;
I i Fi(x) Bi
I i Wi-1(Fi(x)) bulunur.Kartezyen çarpımın gereği, her xU(x) için, Fi(x) Bi Wi-1(Fi(x)) olur.
4.3.36. Sonuç
(,) topolojik uzayı ve (,U) kuasi-uniform uzayı verilsin. ve sırası ile
ve uzayının bir örtüsü ve F: çoğul-değerli bir fonksiyon olsun.
GF : ,x noktasında --ays olması için gerek ve yeter Ģart f(x)=x ve
Ġspat: Yukarıdaki teoremde 1=, 2=, F1(x)=x ve F2(x)= F(x) alırsak,
istenilen sonuç elde edilir.
Spakowski (2001) tarafından -alttan yarı sürekliliğin sonlu kesiĢim iĢleminde kapalı olabilmesi için oluĢturulan yeter Ģartların, --ays için de geçerliliğini koruduğu aĢağıda gösterilmiĢtir.
4.3.37. Teorem
(,); topolojik, ; normlu uzayları ve kümesinin {B(r)| r>0}Ģeklinde bir
örtüsü verilsin. I sonlu bir küme olmak üzere; Fi: çoğul-değerli fonksiyonları
x noktasında - -ays olsun. AĢağıdaki Ģartlar sağlansın:
i) Her iI için, Fi(x);
ii) Her iI için, xVi(x) için Fi(x) kapalı ve konveks olacak Ģekilde bir
Vi(x) komĢuluğu vardır;
iii) Her r>0 için, F(x) B(r) ve F(x) (F(x) B(r)) . Bu takdirde; F
I i
Fi fonksiyonu, x noktasında -*-ays dir; dolayısıyla --ays dir.
Ġspat: >0 ve r>0 verilsin. F(x) B(r) ise ispat aĢikârdır. F(x) B(r)
durumunu göz önüne alalım. F(x) [
I i Fi(x)]
I i Fi(x) eĢitliğinden, F(x) bulunur. O hâlde; 4.2.3. Teoremi AF(x) B(r) için uyguladığımızda;
C+B() F(x) B(r) C+B() Ģartını sağlayan bir >0 ve bir C (F(x) B(r)) alt kümesi vardır. Her iI için, Fi, --ays olduğundan;
xUi(x) için, C+B()Fi(x) B(r)[Fi(x)+B()] olacak Ģekilde Ui(x) kümeleri
vardır. U(x)
I i
Ui(x)Vi(x) alırsak, her xU(x) için, Fi(x)B(r) [Fi(x)+B()]
eĢitsizliği geçerliliğini korur. 4.2.4. Teoremden iI için, C Fi(x) olur. Dolayısıyla, F(x)B(r) C+B()
I i Fi(x) +B() olduğundan F:
I i Fi , x noktasında B- *-ays dir; dolayısı ile - -ays dir.
Fark fonksiyonunun Hausdorff yarı sürekliliği komĢuluğun tümleyeni ve tümleyenin komĢuluğu arasındaki iliĢkiye yönelttiğinden dikkate değerdir.