Eş Zamanlı Taşımacılık İhalelerinde Fiyat Teklifi Eniyileme

E“ ZAMANLI TA“IMACILIK HALELERNDE FYAT TEKLF ENYLEME

ÇA‡LA GÜL AKYOL

YÜKSEK LSANS TEZ ENDÜSTR MÜHENDSL‡

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

EYLÜL 2012 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Ünver KAYNAK Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Ömer SAATǝO‡LU Anabilim Dal Ba³kan

ÇA‡LA GÜL AKYOL tarafndan hazrlanan E“ ZAMANLI TA“IMACILIK HALELERNDE FYAT TEKLF ENYLEME adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Yrd. Doç. Dr. Salih TEKN

Üye : Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Endüstri Mühendisli§i

Tez Dan³man : Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  Eylül 2012

Ça§la Gül AKYOL

E“ ZAMANLI TA“IMACILIK HALELERNDE FYAT TEKLF ENYLEME

ÖZET

Bu tezde, tam kamyon yükü ta³ycs açsndan e³ zamanl ta³maclk ihaleleri ele alnm³tr. Göndericilerin ihtiyaç duyduklar güzergâhlar için ta³yclardan yat tekli talep etti§i, ta³yclarn yat teklierini gizli verdi§i ve göndericilerin en dü³ük teklif veren ta³ycnn hizmetini satn ald§ ta³maclk ihalelerinde, ta³yclarn kar³la³t§ yat tekli verme problemi üzerine çal³lm³tr. Çal³lan ihale yapsnda, ta³yclar çok sayda güzergâha e³ zamanl olarak teklif vermektedir. Fiyat teklierinin, ta³yclarn kâr edebilmesi için yüksek ancak ta³yclarn güzergâhlar kazanabilmesi için ise dü³ük olmas gerekmektedir. Ayrca, ta³yclar ihale bitene kadar kazand§ güzergâhlar bilmedi§inden toplam maliyetini hesaplayamamakta ve bu durum güzergâhlar için verece§i tekli belirsizle³tirmektedir. Bu yüzden, ta³ycnn beklenen kârn maksimize etme amaçl stokastik yat tekli eniyileme problemi formüle edilmi³ ve bu problemin çözümünde farkl en dü³ük rakip tekli da§lmlar için koordinat arama algoritmas geli³tirilmi³tir. En dü³ük rakip teklinin Normal Da§lm'a ve Ampirik Da§lm'a sahip oldu§u durumlar için algoritma incelenmi³tir. Geli³tirilen algoritmann ta³ycnn kâr üzerine etkisini göstermek amacyla deneysel çal³malar yaplm³ ve olumlu sonuçlar alnm³tr.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Industrial Engineering

Supervisor : Asst. Prof. Gültekin KUYZU

Degree Awarded and Date : M.Sc.  September 2012

Ça§la Gül AKYOL

BID PRICE OPTIMIZATION IN SIMULTANEOUS TRUCKLOAD TRANSPORTATION AUCTIONS

ABSTRACT

In this thesis, simultaneous truckload transportation auctions are studied from the truckload carriers' perspective. We look at the bid determination problem faced by carriers in transportation procurement auctions. The auction mechanism is that a shipper requests quotes from the carriers and purchases the services of the lowest bidder. Bidders submit one bid in a concealed fashion and must place bids on multiple lanes simultaneously. Bid prices must be as high as possible for more prot but as low as possible for winning the lanes. In addition, the carriers do not know their operating cost until the end of the auctions because of the uncertainty of winning the lanes. Therefore, we model the problem as a stochastic bid optimization problem for maximizing of the carrier's expected prot and propose a coordinate search algorithm for solving this problem. The algorithm is investigated when the lowest bid of the competing carriers is an independent continuous random variable which is normally and empirically distributed. We conduct a simulation study to show the impact of the coordinate search algorithm and positive results on the carrier's prot are obtained.

Keywords: Truckload Procurement Auctions, Bid Optimization, Lane Covering Problem.

TE“EKKÜR

lk olarak dan³man hocam Yrd. Doç. Dr. Gültekin KUYZU'ya tezim srasndaki çal³malarm boyunca vermi³ oldu§u deste§inden ve yönlendirmelerinden dolay te³ekkür etmek istiyorum. Tezimi okuyarak tavsiyelerde bulunan tez jürimdeki Doç Dr. Erdem ACAR ve Yrd. Doç. Dr. Salih TEKN'e, her konuda her zaman destekçim olan aileme, yüksek lisans e§itimim boyunca destekleriyle yanmda olan tüm arkada³larma ve maddi destekleri için TÜBTAK ve okuluma te³ekkürü bir borç bilirim.

ÇNDEKLER

1 GR“ 1

2 LTERATÜR ARA“TIRMASI 3

2.1 hale Teorisi . . . 3

2.2 Satn Alma haleleri . . . 5

2.3 Ta³maclk haleleri . . . 8

3 PROBLEM TANIMI VE ENYLEME MODEL 12 3.1 Güzergah Kaplama Problemi . . . 14

3.2 En Dü³ük Rakip Tekli Olaslk Da§lm . . . 15

3.2.1 Normal Da§lm . . . 15

3.2.2 Ampirik Da§lm . . . 16

4 KONKAVLIK ANALZ 18 4.1 Normal Da§lml Yakla³m . . . 18

4.1.1 Tek Güzergah . . . 18

4.1.2 ki Güzergah . . . 22

4.1.3 Özet . . . 25

4.2 Ampirik Da§lml Yakla³m . . . 26

5 ÇÖZÜM YAKLA“IMI 27 5.1 Normal Da§lml Yakla³m . . . 27

5.2 Ampirik Da§lml Yakla³m . . . 29

5.3 Maliyet Hesaplama Yöntemleri . . . 31

5.3.1 Maliyeti Güzergah Kaplama Problemi Sezgiseli ile Hesaplama . . 32

5.3.2 Maliyeti Mevcut A§daki Bo³luklara Yeni Güzergah Ekleyerek Hesaplama . . . 34

6 DENEYSEL ÇALI“MALAR 36 6.1 Normal Da§lml Yakla³m . . . 39

6.3 Ampirik Da§lml Yakla³m . . . 41

6.4 Sonuçlar . . . 42

6.4.1 Normal Da§lml Yakla³m . . . 43

6.4.2 Düzgün Da§lml Yakla³m . . . 49

6.4.3 Ampirik Da§lml Yakla³m . . . 58

6.4.4 Yakla³mlarn Kar³la³trlmas . . . 66

7 DE‡ERLENDRME VE GELECEK ÇALI“MALAR 71

“EKLLERN LSTES

3.1 Ampirik Da§lm Fonksiyonu'nun Grak Üzerinde Gösterimi . . . 17

4.1 Yardmc Teorem 1'in Grak Üzerinde Gösterimi . . . 19

4.2 Tek Güzergahl hale Fonksiyonu . . . 22

4.3 Mevcut A§ ve ki Güzergahl hale . . . 25

4.4 Ayn ki Güzergaha Sahip hale için Kar Fonksiyonu . . . 25

5.1 Tek Boyut için Amaç Fonksiyonu'na ait Grak . . . 28

5.2 ki Turun Birle³tirilmesi Örne§i . . . 32

5.3 Yeni Güzergah Bo³lu§a Ekleme Örne§i . . . 34

6.1 9 Bölgenin Yerle³imi . . . 36

6.2 Düzgün Da§lm Olaslk Yo§unluk Fonksiyonu . . . 41

6.3 Normal Da§lml ve GKP Çözümlü AB = 60, GKP-AS = 0,25 ve KM = 0,3 . . . 69

6.4 Normal Da§lml ve GKP Çözümlü AB = 30, GKP-AS = 0,5 ve KM = 0,1 . . . 70

TABLOLARIN LSTES

6.1 Normal Da§lm ve GKP Çözümü için Birim Ba³na Kar De§erleri . . . 45 6.2 Normal Da§lm ve GKP Çözümü için Kar De§erleri . . . 46 6.3 Normal Da§lm ve GKP Çözümü için Kazanlan hale Saylar . . . 47 6.4 Normal Da§lm ve GKP Çözümü için CPU Zamanlar . . . 48 6.5 Normal Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Birim Ba³na Kar

De§erleri . . . 50 6.6 Normal Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kar De§erleri . . . 50 6.7 Normal Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kazanlan hale Saylar 51 6.8 Normal Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için CPU Zamanlar . . . . 51 6.9 Düzgün Da§lm ve GKP Çözümü için Birim Ba³na Kar De§erleri . . . 54 6.10 Düzgün Da§lm ve GKP Çözümü için Kar De§erleri . . . 55 6.11 Düzgün Da§lm ve GKP Çözümü için Kazanlan hale Saylar . . . 56 6.12 Düzgün Da§lm ve GKP Çözümü için CPU Zamanlar . . . 57 6.13 Düzgün Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Birim Ba³na Kar

De§erleri . . . 58 6.14 Düzgün Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kar De§erleri . . . 59 6.15 Düzgün Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kazanlan hale Saylar 59 6.16 Düzgün Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için CPU Zamanlar . . . . 60 6.17 Ampirik Da§lm ve GKP Çözümü için Birim Ba³na Kar De§erleri . . . 62 6.18 Ampirik Da§lm ve GKP Çözümü için Kar De§erleri . . . 63 6.19 Ampirik Da§lm ve GKP Çözümü için Kazanlan hale Saylar . . . 64 6.20 Ampirik Da§lm ve GKP Çözümü için CPU Zamanlar . . . 65 6.21 Ampirik Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Birim Ba³na Kar

De§erleri . . . 67 6.22 Ampirik Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kar De§erleri . . . 67 6.23 Ampirik Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için Kazanlan hale Saylar 68 6.24 Ampirik Da§lm ve Bo³lu§a Ekleme Çözümü için CPU Zamanlar . . . 68

Algoritmalarn Listesi

1 Koordinat Arama Algoritmas 1 . . . 29

2 Normal Da§lm için En Büyük De§eri Bulma . . . 30

3 Koordinat Arama Algoritmas 2 . . . 30

4 Ampirik Da§lm için En Büyük De§eri Bulma . . . 31

5 Güzergah Kaplama Problemi Sezgiseli . . . 33

6 Mevcut A§daki Bo³luklara Yeni Güzergah Ekleme Sezgiseli . . . 35

1. GR“

haleler çok eski zamanlardan bu yana ekonomik i³lemlerin yürütülmesinde kullanl-maktadr. haleler önceleri teklif ça§rs (Request for Proposals) ya da yat tekli talebi (Request for Quotations) ³eklinde ka§t üzerinde gerçekle³tirilirken, internet kullanmnn yaygnla³masyla birlikte satn alma i³lemleri internete ta³nm³ ve internet ihaleleri kavram ortaya çkm³tr. Daha hzl ihale süreci, daha geni³ alc ve satc kitlesi, daha ksa tedarik zaman gibi avantajlar sa§lad§ için internet ihalelerinin önemi günümüzde giderek artmaktadr. nternet ihaleleri, gerçek hayatta farkl alanlarda kullanlan bir araç oldu§u için literatürde de gerekli ilgiyi görmektedir. Ekonomistler, yöneylem ara³trmaclar ve bilgisayar bilimciler ihale konusunu farkl açlardan ele alarak birçok çal³ma yapm³tr. Ekonomistler genellikle ihale mekanizmas tasarm konusunu ele alarak daha iyi bir ihale ortamnn nasl yaratlaca§na dair çal³malar yapm³tr. Bilgisayar bilimciler ve yöneylem ara³trmaclar ise ihalelerin mekanizmalarna göre ihaleci ya da teklifçi kararlarnn nasl olmas gerekti§ine dair çal³malar yapm³tr. Bu tezde, tam kamyon yükü ta³ycs açsndan tek güzergahl e³ zamanl ta³-maclk ihalelerinde teklif verme stratejilerinin analizi ve tasarm ele alnm³tr. Ta³maclk sektörü için yaplan bu çal³ma, teklierin gizli verildi§i tersine ihale süreçlerini kapsamaktadr. hale sürecinde göndericiler ihtiyaç duyduklar güzergâhlar için ta³yclardan yat tekli talep eder, ta³yclar yat teklierini gizli olarak bildirir ve göndericiler en dü³ük teklif veren ta³ycnn hizmetini teklif de§erinden satn alr. Bu süreçte, ta³ycnn kar³la³t§ teklif verme problemi üzerine çal³lm³tr. Ta³yclar, çok sayda güzergâha e³ zamanl olarak ayr ayr teklif vermektedir. En dü³ük teklif veren ta³yc ihaleyi kazand§ için ta³yclar yüksek teklif verdi§inde ihaleyi kaybetme riski ortaya çkmaktadr. Dü³ük teklif verdi§indeyse, hizmet verme maliyeti gelirinden fazla olup zarar etme riski ortaya çkmaktadr. haleler bitene kadar ta³yc sahip oldu§u yeni güzergahlar bilmedi§i için toplam maliyetini bilmemektedir. Maliyetin belirsizli§i güzergahlar için verilecek teklieri belirsizle³tirmektedir. Ta³yc teklif verirken olas rakip teklierini, ihaleler sonunda sahip olaca§ olas geliri ve maliyeti hesaba katmak zorundadr. Bu yüzden, ta³ycnn beklenen karn en büyükleme amaçl stokastik yat tekli eniyileme problemi formüle edilmi³ ve çözümü için sezgisel bir algoritma geli³tirilmi³tir. Ta³yc için yat tekli eniyilemenin önemi, rassal olarak üretilen örneklerle deneysel olarak gösterilmi³tir.

Tez çal³mas 7 bölüm ³eklinde ele alnm³tr. Bir sonraki bölümde ihale teorisine, satn alma ve ta³maclk ihalelerinin kullanm ve faydalarna ait literatür ara³trmas yer almaktadr. Üçüncü bölümde, ele alnan problem ve problem için beklenen kar

en büyükleyeme modeli yer almaktadr. Dördüncü bölümde, problem en büyükleme problemi oldu§u için amaç fonksiyonunun yaps konkavlk açsndan incelenerek problemin karma³kl§ gösterilmektedir. Be³inci bölümde, problemin çözümü için geli³tirilen sezgisel algoritma yer almaktadr. Altnc bölümde, sezgisel algoritma kullanmnn etkisini göstermek için yaplan deneysel çal³malar yer almaktadr. Son bölümde ise çal³mayla ilgili sonuçlar ve yorumlarla birlikte problemle ilgili gelecekte yaplabilecek çal³malar yer almaktadr.

2. LTERATÜR ARA“TIRMASI

Literatürde auction ba³l§ altnda ele alnan bu konu Türkçe'de ihale olarak adlandrl-maktadr. Bununla birlikte, teklierin açk yapld§ ihaleler için açk arttrma ya da açk eksiltme terimleri de kullanlmaktadr. Bu çal³mada, gizli teklif verme ele alnd§ için ihale teriminin kullanlmas tercih edilmi³tir.

haleler konusunda ilk çal³malar 1940'l yllarda ba³lam³ ve bu konuyla ilgili günümüze kadar birçok çal³ma yaplm³tr. nternetin hayatmza girmesiyle birlikte, 1990'larda internet ihaleleri ortaya çkm³ ve ihale konusuna ilgi daha da artm³tr. haleler, birçok sektörde ekonomik i³lemlerin yürütülmesinde kullanld§ndan literatürde kendisine geni³ bir yer bulmu³tur. Tezin bu bölümünde e³ zamanl ta³maclk ihalelerinde yat tekli en iyileme problemiyle ilgili literatür ara³trmas 3 ba³lk altnda ele alnmaktadr.

2.1 hale Teorisi

haleler, çok eski zamanlardan günümüze kadar ta³nm³ olan bir araçtr. Babilliler e³lerini açk arttrma ile bulurdu, Antik Yunanllar maden imtiyazlarn açk arttrma ile satard ve Romallar sava³ ganimetlerinden borçlularn mülkiyetlerine kadar ihale ile sat³ yapard. Modern dünyada ise ihaleler, ekonomik i³lemlerin önemli bir bölümünü yürütmek için kullanlmaktadr. Hükümetler hazine bonolar, yabanc paralar, maden haklar, özelle³tirilecek rmalar gibi varlklar ihale yoluyla satmaktadr [29]. haleler, milattan önce 500'lü yllarda kullanlmaya ba³lanmasna ra§men ilk akademik çal³ma 1944 ylnda yaplm³tr. Oyun teorisi yakla³m açsndan ise ilk olarak 1956 ylnda Friedman ve 1961 ylnda Vickrey tarafndan ele alnm³tr [35].

haleler, katlmclardan gelen tekliere dayanan yatlarn ve kaynaklarn atanmasn belirleyen kurallarn oldu§u bir pazar kurumudur [38]. hale teorisi, yllardan beri ekonomi literatüründe dikkate alnan önemli konulardan biridir. Geleneksel ihalelerde satn alclar, bir ürünün veya hizmetin yatn belirlemek için bir araya gelmektedir. Bu ihale tipi, ileri ihale tipi olarak adlandrlmaktadr. leri ihalelerde birçok satn alc, tek bir satcdan ürünleri satn almak için rekabet etmektedir. Satn alclar teklif verir ve satcnn amac yat yukar çekerek gelirini arttrmaktr. Bir di§er ihale tipi ise satn alma faaliyetleri için kullanlan tersine ihalelerdir. Tersine ihalelerde, satn alcnn ihtiyaçlarn kar³lamak için pek çok satc veya tedarikçi ihalede yer almaktadr. Satclar teklif verir ve satn alcnn amac yat a³a§ çekerek maliyetini azaltmaktr. Tersine ihale formatnda kazanann pi³manl§ ve kaybedenin pi³manl§ ³eklinde olmak

üzere iki tip pi³manlk vardr. Kazanann pi³manl§, kendi tekli ile kendisine en yakn teklif arasnda çok fark olmasdr. Kaybedenin pi³manl§ ise avantajl bir yatta kazanma frsatn kaçrmaktr. Wiggans ve Katok [57] her iki tip pi³manl§ da ele alan deneysel çal³malar yapm³lardr.

haleler, ileri ve tersine ihaleler ³eklinde snandrlabildi§i gibi, ihalede yer alan bile³en saysna göre tek parçal ve çok parçal ihaleler olarak da snandrabilmektedir. Yine, teklierin di§er teklifçiler tarafndan bilindi§i açk ihaleler ya da bilinmedi§i kapal ihaleler ³eklinde snandrlabilmektedir [46].

Standart ihale tipinde, potansiyel satn alclar arasndan en yüksek tekli veren ihaleyi kazanmaktadr. hale çe³itlendirmesi farklla³masna ra§men, tek parçal ihaleler geleneksel olarak 4 türe ayrlmaktadr:

1. Artan Teklii hale(ngiliz halesi): Bu ihalede, yat tek bir teklifçi kalana kadar artar ve en son yat veren katlmc ihaleyi kazanr. Bütün teklifçiler, sunulan teklieri bilmektedir.

2. Azalan Teklii hale(Hollanda halesi): ngiliz ihale tipinin tam tersidir. hale, ihalecinin belirledi§i yüksek yatla ba³lar ve ihaleci yat, o yattan almak isteyen bir katlmc çkana kadar sürekli olarak dü³ürür. Son yat kabul eden ilk teklifçi parçay kazanr [28].

3. Birinci-yat Kapal Zarf halesi: Her teklifçi birbirinden ba§msz olarak kapal bir ³ekilde yani sunulan teklieri bilmeden tek teklif yapmaktadr. En yüksek tekli veren teklifçi ihaleyi kazanmaktadr ve teklif etti§i kadarn ödemektedir [32]. 4. kinci-yat Kapal Zarf halesi(Vickrey halesi): Her teklifçi birbirinden ba§msz

olarak kapal bir ³ekilde yani sunulan teklieri bilmeden teklif yapmaktadr. En yüksek tekli veren teklifçi ihaleyi kazanmaktadr ve kendi tekli kadarn de§il ikinci en yüksek teklif kadarn ödemektedir [38].

haleler her zaman tek parçal olmamakta ve çok parçal ihaleler de yaplmaktadr. Tek parçal ihale türleri için yukarda bahsedilen mekanizmalar, çok parçal ihaleler için de uygulanmaktadr. Çok parçal ihalelerde baz parçalar birbirinin ikamesi, bazlarysa tamamlaycs olabilmektedir. kame durumunda parçalarn bir aradayken marjinal faydas azalrken, tamamlayc olma durumunda artmaktadr. Çok parçal ihalelerde parçalar bir arada satlyorsa e³ zamanl, srayla satlyorsa ard³k ihale olarak adlandrlr. halelerde teklier ihale bitene kadar bilinmiyorsa kapal, herkes tarafndan biliniyorsa açk ihale olarak adlandrlr. hale kural, verilen teklierin azalmas yönündeyse tersine(azalan) ihale, artmas yönündeyse ileri ihale olarak adlandrlr.

nternetin hayatmza girmesiyle birlikte, ürün ve hizmetler internet üzerinden satn alnmaya ve satlmaya ba³lanm³tr. nternet ihaleleri satn alma organizasyonlarna daha dü³ük i³lem maliyeti, daha ksa sipari³ teslim zaman, teklif vermeye hazr daha fazla hizmet sa§layc ve daha rekabetçi yatlar gibi bir takm faydalar sunmu³tur [25]. ebay [17], uBid [55], GittiGidiyor [22], bizde [10] gibi siteler internet ihaleleri için kullanlmaktadr.

nternet ihalelerinin, geleneksel ihalelerden farklla³t§ 3 nokta vardr: 1. Alclar ve satclar co§ra olarak da§nktr.

2. Ürün ve hizmetler için yatlar sadece satc tarafndan de§il, alc ve satc tarafndan ortakla³a belirlenmektedir.

3. Bütün ürün ve hizmetler nihayetinde satlmaktadr [27]. nternet ihaleleri süreci genel olarak 6 admda ilerlemektedir:

1. Satc ve satn alc ihaleye kaydn yaptrr.

2. Satlacak ürünler tantlr, ihale kurallar belirlenir ve ihale ba³lar. 3. Yaplacak ihaleler potansiyel satn alclara bildirilir.

4. Bütün teklier toplanr ve ihale kapanana kadar do§rulu§u kontrol edilir. 5. halenin kapan³ kurallar uygulanr, kazananlar ve kaybedenler belirlenir. 6. Ödeme ve ürün ula³trma gerçekle³tirilir [33].

2.2 Satn Alma haleleri

1990'larn ba³nda internet ihaleleri satn alma problemleri için önemli bir araç olarak görülmü³tür. Satn alclar, ihalelerde yeterli sayda tedarikçi olursa ve bu tedarikçiler arasnda rekabet ortam yaratlrsa maliyetlerini dü³ürebileceklerine inanm³lardr. Ancak sadece yat odakl pazar; kalite, güvenilirlik, ula³trma ko³ullar gibi parayla ölçülemeyen ³artlar göz ard etmeye sebep olmu³tur. Bugün, internet ihaleleri halâ yat odakl bir süreç olarak görülmektedir ancak satn alma sürecinin sadece bir a³amasn olu³turmaktadr. Tedarikçileri nitelendirmek, becerilerini anlamak ve ürün gereklilikleriyle ilgili ileti³im kurmak için satn alclar ihale öncesi tedarikçilerle bilgi al³veri³i yapmaktadr. Hatta ihale srasnda da görü³meler yapldktan sonra satn alc,

Satn alma ihaleleri, satn alclarn yerine satclarn teklif vermesinden dolay tersine ihale tipi olarak bilinmektedir. Standart ihalelerde satn alclar de§er biçerken, tersine ihalelerde satclar teklif vermektedir ve en dü³ük tekli veren satc ihaleyi kazanmaktadr [34].

nternet geli³tikçe, rmalar tedarik zincirlerini desteklemek için ürünlerin ve hizmetlerin temininde internetin güçlü bir araç oldu§unun farkna varm³tr. nternet ihaleleri gibi internet üzerindeki rekabetçi satn almalar, rmalara satn alma gücünü arttrma, daha fazla sayda tedarikçi ve tedarik süreçlerinin etkinli§ini arttrma ³ans sunmu³tur [7]. Elektronik tersine ihaleler, tedarikçiler arasndaki rekabeti arttrarak avantajl yat-landrma ve sözle³me ³artlarna sahip olma imkan sunmu³tur. Bu avantajlara ek olarak, genel masraar ve zaman azaltt§ söylenebilir [51]. nternet üzerinden tedarik ihalelerinin kullanmn artmasnn 2 ana sebebi vardr:

1. Bu ihaleler, satn alan rmalar için nansal kazanç sa§lamaktadr. (Cohn 2000, bu ihaleler sayesinde genel olarak %15 kazanç sa§land§n göstermi³tir.)

2. Tedarik zamann önemli derecede azaltm³tr [41].

Jap [26] satn alma i³lemlerinde ihalelerin kullanmn incelemi³tir ve 4 ana konuyu ele alm³tr: Teorik ve ziksel ihaleler arasndaki farkllklar, tersine internet ihalelerinin kullanld§ durumlar, ihaleleri yaplandrma yöntemleri ve ihale performansnn de§er-lendirilmesi. Lee vd. [41] ba³arl bir ihale mekanizmasnda, teklifçilerin sadece verdikleri yatla de§il ayn zamanda kalitesi, ula³trma zaman, güvenilirlik gibi etken-lerle de§erlendirilmesi gerekti§ini vurgulam³lardr. Ayrca, rekabetçi yatlandrma yaratmak için yeterli sayda teklifçi olmas gerekti§ini belirtmi³lerdir. Çal³mada, kazanan teklifçiyi belirlemek için 2 Kriterli Kazanan Belirleme Algoritmas öner-ilmi³tir. Algoritma, girdi olarak teklifçilerin teklif yat ve geçmi³ ihale bilgilerinden elde edilen skorlar kullanarak kazanan belirlemektedir.

Hartley vd. [25] elektronik ihale kullanan ve kullanmayan ³irketler arasnda maliyet yönetimi, tedarikçi i³birli§i ve organizasyon büyüklü§ü açsndan bir fark olup ol-mad§n ele alm³ ve sonuçlara göre sadece organizasyon büyüklü§ü açsndan bir fark oldu§u yani internet ihalelerini benimseyen ³irketlerin benimsemeyenlerden daha fazla yllk sat³a sahip oldu§u gösterilmi³tir.

Tedarik zinciri yönetimi, üretimden mü³teriye sipari³i ula³trmaya kadar birçok faaliyeti içermektedir. Bu yüzden tedarik zinciri karar destek sistemleri, yüksek rekabet ve belirsizlik ortamyla ba³a çkabilecek yetene§e sahip olmaldr. Kovalchuk ve Fasli [31] TAC-SCM (Ticaret Ajan Yar³mas - Tedarik Zinciri Yönetimi) yar³mas için bilgisayar

bile³enlerini satn alma ve üretilen bilgisayarlar satma ihalelerinde rakip teklierini tahmin etme ve zaman serilerini kullanarak en dü³ük yat tahmin etme ³eklinde iki yöntem önermi³lerdir. Yöntemler için Genetik Programlama ve Sinir A§lar ö§renme algoritmalar kullanlm³ ve önerilen yöntemlerden Sinir A§lar algoritmasnn daha iyi sonuçlar verdi§i gösterilmi³tir. Kovalchuk bir ba³ka çal³masnda [30], TAC-SCM yar³mas için Fasli ile yapt§ çal³madaki stratejilerden 2 farkl strateji önermi³tir: Önceki ihalelerden elde edilen bilgilere ve pazarn son durumuna göre kazanan yat tahminleme stratejisi ve de farkl yat aralklarnda kazanan yat olaslklarn tahmin etme ve en olas yata göre teklif verme strajesi. Çal³mada, Genetik ve Sinir A§lar algoritmalar kullanlm³tr.

Benisch vd. [8] TAC-SCM yar³mas için bilgisayar bile³enlerinin alm ve bilgisayar satm ihalelerinde beklenen kârn en büyüklenmesini amaçlayan stokastik model olu³turmu³tur. Çözüm için önerdikleri trmanma algoritmas, çoklu ba³langca sahip olup yerel arama yapmaktadr. Greenwald ve Boyan [24] TAC yar³mas için uçak bileti ve otel rezervasyonu gibi birbirini tamamlayan ve e§lence biletleri gibi birbirinin yerine geçebilen ürünlerin satn alnmasnda yat tekli belirleme problemini ele alm³lardr. Hem ürünlerin satn alnaca§ miktar hem de satn alnan ürünlerin mü³terilere atanmas zorluk te³kil etmektedir. Önerdikleri algoritma, atama için idealdir ancak tamamlama problemi dahil oldu§unda çözüm süresi çok fazla artmaktadr. Yar³mada kstl süre olmasndan dolay sezgisel bir algoritma da önermi³lerdir. Amaç, en az parayla mü³teri memnuniyeti için gerekli ürünleri sa§lamaktr. Greenwald ve Boyan [23] yapm³ olduklar bir ba³ka çal³mada TAC yar³mas için e³ zamanl ihalelerde yatlandrma problemini beklenen fayday maksimize eden stokastik program olarak formüle etmi³ler ve çözmek için 3 ayr sezgisel yakla³m önermi³lerdir. Önerdikleri Stokastik Örnekleme yakla³mnda, ürünlerin bütün alt kümeleri yerine rastgele örnekler seçerek beklenen fayday eniyilemeye çal³m³lardr. Bu yakla³m asimptotik olarak en iyiye yakla³masna ra§men, önerdikleri di§er 2 yakla³m ard³k ihaleler için en iyiyi garantileyip e³ zamanl ihaleler için yetersiz kalmaktadr. Candale ve Sen [11] TAC yar³mas için yaptklar çal³mada, e³ zamanl ihalelerde bir ajann teklini belirlemesi için sonlu sayda yeniden ba³latmalarla optimali veren trmanma algoritmal yatlandrma stratejisi sunmu³lardr. Bu strateji, var olan algoritmalarla kar³la³trlm³ ve bu stratejilerin zayklar ve güçlü yönleri tart³lm³tr.

Shakya vd. [47] kâr en büyüklemek ve kaynak yönetimini geli³tirmek için dinamik yat-lama yani alglanan talebe göre yat ayaryat-lama uyguyat-lamalarn ara³trm³tr. Çal³mada, talebi tahmin etmek ve her bir bölgeye kaynak atamak için yapay zeka ve yöneylem ara³trmas teknikleri birle³tirilmi³tir. Amaç, herhangi bir zaman periyodunda kaynak

kullanmn optimize ederek kârll§ arttrmaktr. Tahmin algoritmalarnda Genetik Algoritma ve Tavlama Benzetimi kullanlm³tr.

2.3 Ta³maclk haleleri

Ta³maclk ihaleleri hem ekonomistler hem de yöneylem ara³trmaclar tarafndan ele alnmaktadr. Ekonomistler ihale mekanizmasnn i³leyi³ini ele alrken, yöneylem ara³trmaclar daha çok arz-talep belirsizli§i, ceza maliyeti, taraar aras yük ak³ gibi konularla ilgilenmektedir. Teklif verme stratejileriyle ilgili yaplm³ çal³malar ihale mekanizmalaryla ilgili yaplm³ çal³malara göre literatürde daha az yer almaktadr. Ta³ma ve lojistik sektöründe, ta³yclar ve göndericilerin ihtiyaçlarn kar³lamak için çok sayda internet pazar olu³turulmu³tur. nternet üzerinde BestTransport [9], LeanLogistics [36] , NTE [40], Ariba [6], PostBidShip [43], uShip [56] gibi siteler kullanlarak yük ta³macl§ ihaleleri yaplmaktadr.

Ta³maclk i³lemlerinde önemli olan bo³ ta³malar en aza indirmektir. Bo³ ta³malar hem bölgeler aras yük ak³larnn dengesizli§inden hem de gönderici taleplerinin rassal yapsndan kaynaklanmaktadr. Bu yüzden ta³ycnn kar sadece gelirden maliyetin çkarlmasyla de§il ayn zamanda ula³t§ noktadan bekledi§i kazançla ölçülür. Bu kazanç, hedef noktasndan ba³ka noktalara yük ta³ma frsatyla ilgilidir [45]. Örne§in, bir ta³yc A noktasndan B noktasna bir yüke sahip olsun. B noktasndan hem A noktasna hem de ba³ka noktalara ta³maclk hacmi dü³ük oldu§u durumda, B noktasndan bo³ dönmek zorunda kalacak bu da ek bir maliyete sebep olacaktr. B noktasndan A noktasna veya ilgili ba³ka noktalara ta³maclk hacmi yüksek oldu§u durumda, B noktasna ula³tktan sonra ba³ka ta³maclk i³lerine de sahip olma ³ans yüksek olacak ve A noktasna bo³ dönmeyece§inden maliyetini azaltacaktr.

Ta³maclkta genel olarak, farkl yönlerdeki yük hacimleri dengesizdir ve bu dengesizlik yat tarifesi ve di§er maliyetlerin dengesizli§ine yol açmaktadr. ki yön arasnda dengesizlik olmas, bir tarafta ekipman fazlal§na di§er tarafta ise ekipman eksikli§ine sebep olmaktadr. Ekipmann fazla oldu§u bölgeden kt oldu§u bölgeye bo³ ta³ma yaplmak zorundadr ve bu durum bo³ ta³ma maliyetine sebep olmaktadr. Örne§in, Fuller 2006'da yapt§ bir çal³mada Asya'dan Kuzey Amerika'ya olan ta³malarn % 60'nn ve Asya'dan Avrupa'ya olan ta³malarn % 41'inin bo³ geri dönmeyle sonuçland§n yazm³tr. Bonney ise 2003'te okyanus ta³macl§nn % 20'sinin bo³ ta³malardan olu³tu§unu yazm³tr [58].

Ta³yc açsndan, ta³ma hizmetinin de§erini ve maliyetini ölçmek zordur. Bir gönderinin de§eri bulundu§u son yere ve lonun yapsna ba§ldr. Talep ve arzn co§ra da§lm ve belirsiz talep geli³ hzlar dinamik ve stokastik bir ortam yaratp gönderinin maliyetinin belirsizli§ini arttrmaktadr. hale analizi, stokastik yapdan dolay oldukça zordur. Bu yapda, ta³yclar rakiplerinin kararlarna, maliyetlerine ve kârlarna ba§l zor bir karar problemiyle yüzle³mektedir. Bir di§er zorluksa zaman kstl araç rotalama problemi, gecikmeden kaynakl ceza maliyeti gibi lo yönetimi problemlerinden kaynaklanmaktadr. Bir yükün maliyeti hakknda bilgi sahibi olmak için NP-Zor olan bu problemlerin çözülmesi gerekmektedir [20].

Ta³maclk ihaleleri için yaplan çal³malar, genel olarak ard³k ve e³ zamanl ihaleler olmak üzere ikiye ayrlmaktadr. E³ zamanl ta³maclk ihalelerinde ayn anda birden fazla güzergaha teklif verilirken, ard³k ihalelerde ayn anda sadece tek bir güzergaha teklif verilmektedir.

Poutre ve Robu [44] ard³k ihalelerde riskten kaçan ve risk nötr teklifçiler için beklenen faydann en büyüklenmesini amaçlam³ ve modellerini Markov Süreci olarak tasarlam³lardr. Figliozzi vd. [21] yaptklar çal³mada ard³k ihale yapsn ele alm³tr ve ihale kazanlnca beklenen kâr ile ihale kaybedilince beklenen kâr arasndaki fark yani frsat maliyetini ölçerek tekliendirme yapmay önermi³lerdir. Rakibin ne teklif edece§inden ziyade kazanlmas durumunda kardaki de§i³imi dikkate alm³lardr. Önerdikleri 3 yakla³mdan sadece biri problemin stokastik yapsn hesaba katmaktadr. Bu yakla³mn dezavantaj ise, karar verirken sadece 1 adm sonrasn tahmin etmeye çal³masdr. Yani, uza§ göremeyen yapdadr. Ayrca ihalede sadece 2 ta³yc hizmet hakkn kazanmak için rekabet etmektedir.

Ta³maclk ihaleleri ayn zamanda birle³imsel ihaleler olarak da ele alnmaktadr. Birle³imsel ihaleler, birden fazla ürünün e³ zamanl olarak satld§ ve teklçilere ihaledeki ürünlerin herhangi bir kombinasyonu ³eklinde teklif verme imkan sunan ihalelerdir. Yani, ta³yclar göndericinin güzergahlar için hem tekli hem de paket tekli verebilmektedir. Örne§in, sinerjisi yüksek iki güzergah için tek ba³na olduklarnda verilen tekli yatlarn toplam, iki güzergah birlikteyken verilen tekliften daha yüksek olabilmektedir. Bu yüzden ta³ycnn maliyeti ölçek ekonomisinden ziyade kapsam ekonomisine ba§ldr [48]. Ta³yc, maliyetini azaltmak için ta³ma a§ açsndan güzergahlar aras sinerjiyi ara³trmal ve önemli olan güzergahlar seçmelidir. Ta³yc, kamyon ve sürücü says gibi kaynaklarn dengeli bir ³ekilde kullanmaldr. Bu yüzden bir güzergahn maliyeti, ta³ycnn di§er güzergahlarna da ba§ldr.

ele alnmaktadr. Ta³yc açsndan hangi paket teklierini vermenin, gönderici açsndan ise ta³yclarn vermi³ oldu§u teklierden hangi paketleri satn almann en iyi seçim oldu§u ve göndericinin nasl bir ihale mekanizmas kullanmas gerekti§i ele alnm³tr. Geçmi³te göndericiler her güzergâh için bir ihale açmaktayd ya da bütün güzergâhlar için tek bir rmayla çal³maktayd. Ancak, son yllarda göndericilerin güzergâhlarn e³ zamanl tekliendirmesine izin veren baz yazlmlar geli³tirilmi³tir. Güzergâhlarn farkl kombinasyonlarnn farkl de§erlere sahip olmas, güzergâhlarn birbirini tamamlamasndan veya birbirinin yerine geçebilmesinden dolay ve de ta³yclarn bo³ ta³malarn azaltmasndan ve daha etkin bir yol izlemesinden dolay normal bir durumdur [50].

Ta³yc açsndan ele alnan çal³malar göndericiye hangi paketlere hangi yatlarn teklif edilece§i problemini ele almaktadr. Lee vd. [37], ta³maclk tedariki için yaplan birle³imsel ihalelerde ta³ycnn optimal yat tekli üretme problemini ele alm³tr. Problem, Do§rusal Olmayan Karesel Tam Sayl Program olarak modellenmi³tir. Çal³mann amac, ta³ycnn paketlere verece§i en iyi tekli toplam fayday en büyükleyecek ³ekilde belirlemektir. Song ve Regan [50] ve An vd. [4] yaptklar çal³mada birle³imsel ihaleleri ta³yc açsndan ele alm³lardr.

Gönderici açsndan ele alnan çal³malar göndericinin çözmek zorunda oldu§u Kazanan Belirleme Problemi(Winner Determination Problem)'ni ele alm³tr. Bu problem NP-Zor bir problem olup göndericinin ihaleyi hangi teklifçinin/teklifçilerin kazand§n belirleyebilmesi için çözmesi gerekmektedir. Birle³imsel ihaleler genel olarak gönderici açsndan ele alnm³tr. Chen vd. [12] Kazanan Belirleme Problemi konusunda çözüm yakla³mlar önermi³lerdir. She [48] birle³imsel ihalelerin gerçek hayatta kullanmna dair bir çal³ma yapm³tr.

Ta³maclk ihaleleri, tam kamyon yükü ve eksik kamyon yükü ta³yclar için yapla-bilmektedir. Tam kamyon yükü ta³ycs göndericiye tam kamyon için teklif verirken, eksik kamyon yükü ta³ycs göndericiye gönderi miktar veya hacmi üzerinden teklif ver-mektedir. Toptal ve Bingöl [53] tarafndan tam kamyon yükü ta³ycsnn yatlandrma problemi ele alnm³tr ve tam yükü ta³ycs pazarda eksik kamyon yükü ta³ycsyla rekabet etmi³tir. Bu çal³mada, tam kamyon yükü ta³ycs öncelikle göndericinin sipari³ verme problemini çözmeli ve modellemelidir. Yani çal³ma, sipari³ verme ve yük ta³ma probleminin bile³imi ³eklindedir. Amac, tam kamyon yükü ta³ycsnn gelirini maksimize eden yat tekli de§erini bulmaktr. Çal³mada, eksik kamyon yükü ta³ycsnn birim ba³na ta³ma yatnn bilindi§i varsaylmaktadr. Douma vd. [16] ise eksik tam kamyon yükü ta³ycs açsndan dinamik araç rotalamaya sahip yat teklif verme problemini ele alm³tr.

Ta³maclk ihaleleri, uzun ve orta dönemli anla³malar için yapld§ gibi ksa dönemli anla³malarn yapld§ spot marketlerde de kullanlmaktadr. Spot market, ürünün hemen alnp satld§, yakn zamanda veya hemen tesliminin yapld§ pazar olarak tanmlanmaktadr. A§ral vd. yaptklar çal³mada [5] lojistik spot marketinin önemli özelliklerini dikkate alan basitle³tirilmi³ analitik bir model geli³tirmi³tir. Bu model ihalenin lojistik spot marketinde kullanmnn etkilerini ölçmekte ve sistem parametrelerinin performans üzerindeki etkilerini analiz etmektedir. Çal³ma, Vickrey ihale mekanizmasn ele almakta olup Eski³ehir'deki bir lojistik merkezi için yaplm³tr. Literatürde ta³yc açsndan ele alnan çal³malar genellikle ta³ycnn maliyetini en küçüklemekle ilgili olup araç rotalama ve lo yönetimi problemlerini kapsamaktadr. Literatürde bu konuyla ilgili yaplm³ birçok çal³ma [15][54][45][52] bulunmaktadr. Bu tezde, tam kamyon yükü ta³ycs açsndan spot marketlere yönelik en dü³ük teklin kazand§, kapal zarf, tek parçal, e³ zamanl ihaleler ele alnm³tr. Bu konu, Kuyzu [34] tarafndan da ele alnm³tr. Kuyzu en dü³ük rakip teklinin Düzgün Da§lm'a sahip rassal de§i³ken oldu§unu varsaym³tr. Bu çal³mada ise, en dü³ük rakip teklinin Normal Da§lm'a sahip rassal de§i³ken oldu§u varsaym ve en dü³ük rakip tekli olasl§nn Ampirik Da§lm Fonksiyonu ile hesapland§ iki yakla³m kullanlmaktadr. Ayrca, Kuyzu maliyet hesaplar için polinom zamanda çözülebilen Güzergah Kaplama Problemi'ni kullanm³tr. Bu çal³madaysa, NP-Zor problem snfna giren Uzunluk Kstl Güzergah Kaplama Problemi kullanlmaktadr.

3. PROBLEM TANIMI VE ENYLEME MODEL

Tezin bu bölümünde e³ zamanl ta³maclk ihaleleri için tam kamyon yükü ta³ycsnn teklif verme problemi ele alnm³tr. Göndericilerin ihtiyaç duyduklar güzergâhlar için ta³yclardan yat tekli talep etti§i, ta³yclarn yat teklierini gizli verdi§i ve göndericilerin en dü³ük teklif veren ta³ycnn hizmetini satn ald§ ta³maclk ihalelerinde, ta³yclarn kar³la³t§ yat tekli verme problemi üzerine çal³lm³tr. Çal³lan ihale yapsnda, ta³yclar çok sayda güzergâha e³ zamanl olarak teklif vermektedir. Amaç, rakiplerin öngörülen teklif verme davran³na göre ta³ycnn beklenen karn en büyükleyecek teklieri belirlemektir. Bölüm 2'de bahsedilmi³ olan Ticaret Ajan Yar³mas(TAC) algoritmalar ve Kuyzu'nun daha önceden yapt§ çal³mada [34] önermi³ oldu§u modele ve algoritmaya benzer bir yakla³m uygulanm³tr. Çal³mada, uzun dönem anla³malardan olu³an ta³ma a§na sahip ta³yc ele alnm³tr. Ta³yc, maliyet te³kil etti§i için var olan a§ndaki bo³ ta³malar spot marketteki ksa dönem güzergah anla³malaryla doldurmak istemektedir. Spot marketteki güzergahlara hizmet verme hakkna sahip olabilmek için e³ zamanl olarak ihalelere girmek zorun-dadr. Her güzergah için ayr yat tekli verebilmekte olup güzergahlar bir arada de§erlendirebildi§i paket tekli verememektedir. hale mekanizmas en dü³ük teklin kazand§, kapal zarf ve tek tur ³eklindedir. Ta³yc, her periyodun ba³langcnda bu ihalelere girmektedir. Spot marketteki güzergah anla³malarnn tek periyotluk oldu§u ve ta³ycnn ihalelerden kazand§ güzergahlara hizmet verebilmek için yeterli kapasitesiye(araç says, araç kullanc says, araç yük hacmi gibi) sahip oldu§u varsaym vardr.

Ta³ycnn gelirini, kazand§ güzergahlara verdi§i teklier belirlemektedir. Ta³yc, kar edebilmek için yüksek ancak rakip teklifçilerle rekabet edebilmek ve güzergahlar için hizmet hakkn kazanabilmek için dü³ük teklif vermek zorundadr. Bununla birlikte ta³ycnn maliyeti de elde edece§i kar etkilemektedir. Ta³ycnn maliyeti, araç rotalamasna ve güzergahlar arasndaki ili³kiye ba§ldr. Ta³yc, araçlarn iyi bir ³ekilde rotalarsa maliyeti bu durumdan olumlu etkilenecektir. Yine ayn ³ekilde, güzergahlar birbirini tamamlayc olursa, rotalama i³lemi sonras maliyet daha da az olacaktr. Bu yüzden, ta³ycnn birbirleriyle sinerjisi yüksek güzergahlara sahip olmay hedeemesi ve sahip oldu§u güzergahlar iyi rotalamas gerekmektedir. Basit bir örnekle sinerji durumu ³u ³ekilde açklanabilir: ta³yc A noktasndan B noktasna belirli periyotlarla ta³mas gereken bir yüke sahipse, ta³ma i³leminden sonra B noktasnda araç y§lmas olmamas ve A noktasndan B noktasna hizmet vermeye devam edebilmek için B noktasndan A noktasna dönmesi gerekecektir. Bu durumda bo³ ta³ma yapmak

zorunda kalacaktr. B noktasndan A noktasna ta³nmas gereken bir yüke sahip oldu§unda, bu bo³ ta³ma ortadan kalkacak ve maliyeti azalacaktr. Gerçek hayatta, ta³ycnn hizmet vermesi gereken güzergah says fazla oldu§undan de§erlendirilmesi gereken alternatif says artmaktadr. Bu yüzden, ta³yc en dü³ük maliyeti bulmak için problemini modelleyerek çözmelidir. Bu probleme zaman, uzunluk gibi kstlar eklendi§iyse problemi çözmek zorla³maktadr. Ayrca, pazarda rakip ta³yclarn da yer almasndan dolay ta³yc ihale tamamlanana kadar hizmet verece§i güzergahlar bilmemekte bu da maliyeti belirsizle³tirmektedir.

Problem, en dü³ük rakip teklinin ba§msz ve sürekli rassal de§i³ken oldu§u varsaym altnda Kuyzu [34] tarafndan geli³tirilen en iyileme modeli Denklem 3.1'de yer almaktadr.

mak π(b) = X L⊆S

P (S, b)Q(L − S, b)[R(S, b) − C(S)] ∀i ∈ L (3.1)

L : haleye çkarlm³ güzergah kümesi

b : Güzergâhlara ait yat tekli vektörü (karar de§i³kenleri) P (S, b) : b teklif vektörüyle S güzergah kümesinin kazanlma olasl§ Q(L − S, b) : b teklif vektörüyle L-S güzergah kümesinin kaybedilme olasl§

R(S, b) : b teklif vektörüyle S güzergah kümesinden elde edilecek gelir C(S) : S güzergah kümesine hizmet verme maliyeti

Modeli sözel olarak beklenen karn en büyüklenmesi ³eklinde ifade edebiliriz. Ba§m-szlk varsaymndan dolay, b teklif vektörüyle S güzergah kümesinin tam olarak kazanlma olasl§, b teklif vektörüyle S kümesindeki güzergahlar kazanma ve S d³nda L kümesinde kalan güzergahlar kaybetme olaslklarnn çarpmna e³ittir. Tüm S alt kümelerinin b teklif vektörüyle tam olarak kazanlma olasl§n ve karn çarpp hepsini toplayarak beklenen kar hesaplanmaktadr. Alt kümeler için kar, gelirden maliyetin çkarlmasyla elde edilmektedir. Gelir ise S kümesine verilen teklieri toplayarak hesaplanmaktadr. Maliyet hesaplamas için ise ta³ycnn rotalama problemi çözmesi gerekmektedir. Literatürde, ta³yclarn etkin bir ³ekilde araçlarn rotalayabilmesi için Güzergah Kaplama Problemi önerilmi³tir.

3.1 Güzergah Kaplama Problemi

Ta³maclk sektöründe göndericiler ve ta³yclar son zamanlarda daha etkin çal³ma basksyla kar³la³maktadr. Önceleri, göndericiler ve ta³yclar sadece kendi maliyet-lerini azaltp kendi karllklarn arttrmaya odaklanrd ancak i³birlikçi ta³maclk kavramyla birlikte sistemin maliyetini azaltmaya ve bu maliyet kazancn her iki tarafn karna payla³trmaya odaklanmaktadr. Örne§in, bir ta³yc farkl göndericilere ait gönderileri ta³rken bo³ ta³ma ortaya çkacaktr. Göndericiler, yükler arasndaki etkile³im konusunda herhangi bir bilgiye sahip olmamasna ra§men bu etkile³imden do§rudan etkilenmektedir. Çünkü, ta³maclk piyasasnda bo³ ta³malar de§erlendiren tek bir ta³mac yoktur. Bu nedenle, ta³yc bo³ ta³mann minimum oldu§u bir a§a sahip olmaldr. Güzergah Kaplama Problemi, bo³ ta³malar en küçüklemek için gönderiler arasnda ili³kili turlar kümesi bulmaya odaklanmaktadr [34].

D = (N, A) yönlü öklid graf N tane dü§üm ve A tane ayrta sahiptir. Ayrtlar kümesinin her bir eleman c(a) maliyetine sahip ve maliyet uzunlukla orantldr. lij, (i,j) ayrtnn uzunlu§u ve xij, (i,j) ayrtndan hangi sklkta geçildi§ini gösteren tamsayl de§i³kendir. Güzergah kümesi L ayrtlar kümesi A'nn alt kümesidir. Amaç, L güzergah kümesindeki her bir eleman kapsayan minimum maliyetli yönlü çevrimler kümesini bulmaktr. Matematiksel modele ait amaç fonksiyonu Denklem 3.2'de, kstlar ise Denklem 3.3, 3.4 ve 3.4'te yer almaktadr [34].

min X (i,j)∈A lijxij (3.2) X j∈A xij − X j∈A xji = 0 ∀i ∈ N (3.3) xij ≥ 1 ∀(i, j) ∈ L (3.4) xij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ A \ L (3.5)

Modelde, her güzergah boyu ta³mann bir kamyonla yapld§ varsaylmaktadr. Turlarda, güzergahlar d³nda kullanlan ayrtlar bo³ ta³malar temsil etmektedir. Ayrca, iki nokta arasndaki ta³ma maliyetinin noktalar arasndaki uzaklkla orantl, noktalar aras uzaklklarn simetrik (her lij = lji) ve üçgensel e³itsizli§e uygun (tüm (i, j), (j, k) ve (i, k) ayrtlar için lij + ljk ≥ lik) oldu§u varsaymlar vardr. Bu problem polinom zamanda çözülebilmektedir. Ancak turlar için uzunluk kst eklendi§inde, problem Uzunluk Kstl Güzergah Kaplama Problemi'ne dönü³mekte ve

NP-Zor olmaktadr [19].

3.2 En Dü³ük Rakip Tekli Olaslk Da§lm

Amaç fonksiyonunda bir i güzergahnn bi tekliyle kazanlma olasl§, bi'nin en dü³ük rakip teklinden küçük olma olasl§na e³ittir. Yine ayn ³ekilde, bir i güzergahnn bi tekliyle kaybedilme olasl§, bi'nin en dü³ük rakip teklinden büyük olma olasl§na e³ittir. Tezde, en dü³ük rakip tekli da§lmyla ilgili iki ayr yakla³m kullanlm³tr.

3.2.1 Normal Da§lm

Bu yakla³mda, en dü³ük rakip teklinin Normal Da§lm'a sahip, sürekli ve ba§msz rassal de§i³ken oldu§u varsaylm³tr. Bu varsaymn sebebi, literatürde yer alan birçok çal³mada [39][42][49][21][14][13] teklierin olaslk da§lmlar için en çok benimsenen modelin Normal Da§lm olmasdr.

bteklif vektörüyle S alt kümesindeki güzergahlar kazanma olasl§, S alt kümesindeki güzergahlarn her birinin kazanlma olasl§nn çarpmna e³ittir. Xi, i'nci güzergah için verilen en dü³ük rakip teklini temsil etmektedir. Bu durumda, S alt kümesinin b teklif vektörüyle kazanlma olasl§ Denklem 3.6'da yer almaktadr.

P (S, b) =Y i∈S P {Xi≥ bi} = Y i∈S  1 − Z bi −∞ 1 q 2πσ2 i e (bi−µi)2 2σ2_i   (3.6)

b teklif vektörüyle L − S alt kümesindeki güzergahlar kaybetme olasl§, L − S alt kümesindeki güzergahlarn her birinin kaybedilme olasl§nn çarpmna e³ittir. Bu durumda, L − S alt kümesinin b teklif vektörüyle kaybedilme olasl§ Denklem 3.7'de yer almaktadr. Q(L − S, b) = Y i∈L−S P {Xi≤ bi} = Y i∈L−S   Z bi −∞ 1 q 2πσ2 i e (bi−µi)2 2σ2_i   (3.7)

Denklem 3.6 ve 3.7'de Normal Da§lm parametreleri olan ortalama ve varyans yer almaktadr. Ancak güzergahlar uzunluk olarak birbirinden farkl oldu§undan parame-treleri ortak kullanmak için birim (örne§in: kilometre) ba³na olmas gerekmektedir. Bu

durumda genel ortalama ve standart sapma üzerinden herhangi bir güzergahn ortalama ve standard sapmas güzergahn uzunlu§uyla çarplarak elde edilir.

µi = µ · li (3.8)

σi = σ · li (3.9)

3.2.2 Ampirik Da§lm

Bu yakla³mda, en dü³ük rakip tekli için herhangi bir da§lm varsaym yapmak yerine geçmi³ bilgilere göre en dü³ük rakip tekli için ö§renme mekanizmas kullanlarak da§lm olu³turulmu³tur. Bu da§lma, Ampirik Da§lm(Empirical Distribution) ya da Parçal Düzgün Da§lm(Piecewise Uniform Distribution) denmektedir. “ekil 3.1'de da§lmla ilgili grak yer almaktadr. Güzergah uzunluklar birbirinden farkldr bu yüzden teklierle ilgili ö§renme birim (örne§in: kilometre) ba³na yaplmaldr. Herhangi bir i güzergah için olaslk hesaplamas kullanmnda teklif de§eri uzunlu§a bölünmelidir.

Xi: i'nci güzergah için verilen en dü³ük rakip tekli li: i'nci güzergahn uzunlu§u

ak: k'inci aral§n alt snr bk: k'inci aral§n üst snr

nk: ak ve bk aral§na ait en dü³ük rakip tekli says r: Aralk says

Bu bilgilere göre, ö§renme yoluyla tutulmu³ bilgileri kullanarak herhangi bir i güzer-gahnn bi tekliyle kazanlma olasl§ Denklem 3.10'da yer almaktadr.

P (Xi≥ bi) = 1 −    Pk−1 m=1nm+ bi li−ak bk−aknk Pr m=1nm    (3.10)

bteklif vektörüyle S alt kümesindeki güzergahlar kazanma olasl§, S alt kümesindeki güzergahlarn her birinin kazanlma olasl§nn çarpmna e³ittir. Bu durumda, S alt kümesinin b teklif vektörüyle kazanlma olasl§ Denklem 3.11'de yer almaktadr.

“ekil 3.1: Ampirik Da§lm Fonksiyonu'nun Grak Üzerinde Gösterimi P (S, b) =Y i∈S P {Xi≥ bi} = Y i∈S   1 − Pk−1 m=1nm+ bi li−ak bk−aknk Pr m=1nm    (3.11)

b teklif vektörüyle L − S alt kümesindeki güzergahlar kaybetme olasl§, L − S alt kümesindeki güzergahlarn her birinin kaybedilme olasl§nn çarpmna e³ittir. Bu durumda, L − S alt kümesinin b teklif vektörüyle kaybedilme olasl§ Denklem 3.12'de yer almaktadr. Q(L − S, b) = Y i∈L−S P {Xi ≤ bi} = Y i∈L−S    Pk−1 m=1nm+ bi li−ak bk−aknk Pr m=1nm    (3.12)

4. KONKAVLIK ANALZ

Amaç fonksiyonu hakknda bilgi sahibi olmak için tezin bu bölümünde konkavlk analizi yaplm³tr. En büyükleme problemi ele alnd§ndan amaç fonksiyonu yapsnn konkav olmas optimal çözümü bulmay kolayla³tracaktr. Fonksiyon konkav yapda oldu§unda, bulunan herhangi bir yerel en büyük noktann global en büyük nokta olaca§ kesindir. Bu yüzden fonksiyonun yaps ara³trlm³tr.

4.1 Normal Da§lml Yakla³m

Problemin yaps, az sayda güzegah oldu§u durum için incelenmi³tir. Bunun sebebi, bu durumda problemin yapsn inceleyerek ö§renileni karma³k durumlar için genelleye-bilmektir. Böylelikle, problemin genel yapsyla ilgili bilgi elde edilmi³tir.

4.1.1 Tek Güzergah

haleye çkan güzergâh saysnn L = {1} oldu§u durumda, ta³yc açsndan iki sonucun meydana gelme olasl§ vardr: güzergâh kaybetme veya kazanma. Ta³yc güzergâh kaybederse, yeni bir maliyet ve kazanç ortaya çkmayacaktr. Ancak, ta³yc güzergâh kazanrsa verdi§i teklif kadar bir gelire sahip olacaktr. Tek güzergâhl ta³ma ihalesi için amaç fonksiyonu Denklem 4.1'de yer almaktadr.

π = [1 − F (b1)] (b1− C({1})) (4.1) Kar fonksiyonu hakknda bilgi sahibi olmak için tek de§i³kenli do§rusal olmayan programlama ile ilgili baz tanm ve teoremlere ihtiyaç vardr.

Tanm 1. f(x), bir S konveks kümesinde tanml bir fonksiyon olsun. • f0_(x

0) > 0 oldu§unda, fonksiyon x0 noktasnda artandr. • f0(x0) < 0 oldu§unda, fonksiyon x0 noktasnda azalandr [2].

Yardmc Teorem 1. y = f(x) fonksiyonunun birinci türevi x = x0 noktasnda sfra e³itse ve türevin i³areti;

• x0'n solundan sa§na giderken pozitiften negatife do§ru i³aret de§i³tiriyorsa yerel en büyük,

• x0'n solundan sa§na giderken negatiften pozitife do§ru i³aret de§i³tiriyorsa yerel en küçük,

• x0'n solundan sa§na giderken i³aret de§i³tirmiyorsa ne yerel en büyük ne de yerel en küçük noktas vardr [2].

“ekil 4.1: Yardmc Teorem 1'in Grak Üzerinde Gösterimi Yardmc Teorem 1 ile ilgili olarak “ekil 4.1'de gösterim mevcuttur.

Yardmc Teorem 2. f0_(x

0) = 0 oldu§unda ve fn(x0) 6= 0 oldu§u ilk durumda, • n tek ise; x0 dönüm noktasdr.

• n çift ve  fn_(x

0) > 0 ise; x0 yerel en küçük noktasdr.  fn_(x

0) < 0 ise; x0 yerel en büyük noktasdr [2].

Yardmc Teorem 3. f(x), bir S konveks kümesinde tanml ve x ∈ S için ikinci türevi alnabilir bir fonksiyon olsun.

• f (x) konveks bir fonksiyon ⇔ x ∈ S için f00(x) ≥ 0 • f (x) kesin konveks bir fonksiyon ⇔ x ∈ S için f00_{(x) > 0} • f (x) konkav bir fonksiyon x ∈ S için ⇔ f00(x) ≤ 0

• f (x) kesin konkav bir fonksiyon ⇔ x ∈ S için f00(x) < 0 [2] Teorem 1. Tek güzergah oldu§unda kar fonksiyonu yaps

• b1 ∈ (−∞, C({1})+µ₂ − q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2) ise kar fonksiyonu konveks yapda ve artan yöndedir. • b1 ∈ [C({1})+µ₂ − q (µ−C({1}))2 4 + 2σ2, C({1})+µ 2 + q (µ−C({1}))2 4 + 2σ2] ise kar fonksiyonu konkav yapdadr.

• b1 ∈ (C({1})+µ₂ + q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2, +∞) ise kar fonksiyonu konveks yapda ve azalan yöndedir.

spat: Yardmc Teorem 3'e göre, amaç fonksiyonunun konkavl§ ve/veya konveksli§i ara³trlm³tr. Bunun için ikinci türevin i³aretine bakmak gerekmektedir:

π = [1 − F (b1)](b1− C({1}) (4.2) (π)0 = −f (b1)(b1− C({1})) + [1 − F (b1)] (4.3) (π)00 = −f0(b1)(b1− C({1})) − 2f (b1) (4.4) (π)00 = √ 1 2πσ2e (b1−µ)2 2σ2 | {z } P ozitif  (b1− C({1})(b1− µ)) σ2 − 2  | {z } ? ? ≶ 0 (4.5)

kinci türevin ilk ksm her durumda pozitif i³arete sahiptir, bu yüzden ikinci türevin ikinci ksmnn i³aretinin incelenmesi gerekmektedir. kinci ksmn kökleri ³u ³ekildedir:

(b1)1 = C({1}) + µ 2 − r (µ − C({1}))2 4 + 2σ 2 _(4.6) (b1)2 = C({1}) + µ 2 + r (µ − C({1}))2 4 + 2σ 2 (4.7)

kinci türev, gerçek iki kökü olan ikinci dereceden bir polinomdur. Bu yüzden, ikinci türevin gra§i köklerden geçtikten sonra i³aret de§i³tirmektedir. ³aretler ve konkavlk/konvekslik durumu:

• b₁ ∈ (−∞, C({1})+µ₂ − q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2) aral§nda ikinci türev pozitif de§ere sahiptir. Bu aralkta amaç fonksiyonu konveks yapdadr.

• b1 ∈ [C({1})+µ₂ − q (µ−C({1}))2 4 + 2σ2, C({1})+µ 2 + q (µ−C({1}))2 4 + 2σ2] için ikinci türev negatif de§ere sahiptir. Bu aralkta için amaç fonksiyonu gra§i konkav yapdadr.

• b₁ ∈ (C({1})+µ₂ + q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2, +∞) aral§nda ikinci türev pozitif de§ere sahiptir. Bu aralkta amaç fonksiyonu konveks yapdadr.

Tüm bölgeler için fonksiyonun konvekslik ve konkavlk yaps belirlendi ancak konkav olmayan bölgelerde gra§in yönünün artan ya da azalan oldu§unu belirlemek gerekmek-tedir. Sebebi, konkav bölge için yerel bir en büyük nokta vardr ancak konveks bölgelerde bu noktadan daha yüksek bir nokta olup olmad§nn bilinmesi gerekmektedir. Yardmc Teorem 1'e göre birinci türeve ihtiyaç vardr. Ancak, birinci türevde yer alan Normal Da§lm'n Y§mal Da§lm Fonksiyonu'nun integrali alnamamaktadr. Literatürde yakla³k sonuç veren formülasyonlar mevcut olmasna ra§men bu formülasyonlar polinom yapda olmad§ için kar fonksiyonunun yapsn ara³trmak için kullanlama-maktadr. Bu yüzden, amaç fonksiyonunu do§rudan yorumlamak tercih edilmi³tir. Denklem 4.1'e göre;

• b1 < C({1}) bölgesinde, b1 azaldkça negatiik ve [1 − F (b1)] de§eri artar. Yani,(−∞, C({1})+µ

2 −

q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2)aral§nda soldan sa§a giderken amaç fonksiyonu de§eri artmaktadr.

• b₁ → ∞ oldu§unda; [1 − F (b₁)] de§eri 0'dr. Yani, amaç fonksiyonunun de§eri 0 olacaktr. (C({1})+µ₂ +

q

(µ−C({1}))2

4 + 2σ2, +∞) bölgesinin konveks yapda oldu§u bilindi§i için soldan sa§a giderken amaç fonksiyonu de§erinin azalarak 0'a e³itlenmesi beklenir.

Kar fonksiyonunun yaps tam olarak konkav de§ildir ancak fonksiyonun konkav oldu§u bölge mevcuttur ve konkav bölge konveks bölgelerden daha yüksek de§ere sahiptir. En büyükleme problemi ele alnd§ için konkav olma durumu model için önemlidir. Çünkü fonksiyon konkav oldu§unda bulunan bir yerel en büyük nokta, optimal sonuçtur. “ekil 4.2'de yer alan kar fonksiyonu gra§ine bakld§nda tek bir global en büyük nokta oldu§u görülmektedir. En büyükleme problemi ele alnd§ için bu nokta global en iyi

noktadr.

“ekil 4.2: Tek Güzergahl hale Fonksiyonu

4.1.2 ki Güzergah

haleye çkan güzergâh saysnn L = {1, 2} oldu§u durumda, amaç fonksiyonunun açk formu Denklem 4.8'de yer almaktadr.

mak π = [1 − F (b1)][1 − F (b2)](b1+ b2− C({1, 2})) + [1 − F (b1)]F (b2)(b1− C({1}))

+ F (b1)[1 − F (b2))(b2− C({2}))

(4.8)

Kar fonksiyonu hakknda bilgi sahibi olmak için çok de§i³kenli do§rusal olmayan programlama ile ilgili baz tanm ve teoremlere ihtiyaç vardr.

Tanm 2. X = (x1, x2, ..., xn), bir S ⊂ Rn kümesinde tanml olan f(X) sürekli ve ikinci derece ksmi türevleri alnabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun Hessian Matrisi Denklem 4.9'daki gibi tanmlanr [2]:

Hf =  ∂2f ∂xi∂xj  n×n (4.9)

Tanm 3. Bir n × n boyutlu kare matrisin k'inci asal minörü, son (n − k) satrn ve (n − k) sütunun matristen çkarlmasyla elde edilen (k × k) boyutlu matrisin determinantdr [2].

• A'nn tüm asal minörleri > 0 ⇔ A matrisi pozitif belirlidir. • A'nn tüm asal minörleri ≥ 0 ⇔ A matrisi pozitif yar belirlidir.

• A'nn k'inci mertebe asal minörü (−1)k _{ile i³areti ayn ⇔ A matrisi negatif} belirlidir.

• A'nn her tek sral asal minörü ≤ 0 ve her çift sral asal minörün i³areti ≥ 0 ⇔ A matrisi negatif yar belirlidir.

• Yukardakiler d³nda bir durum varsa, A matrisi belirsizdir [3].

Yardmc Teorem 5. X = (x1, x2, ..., xn), bir S ⊂ Rn kümesinde tanml olan f(X) sürekli ve X ∈ S için ikinci derece ksmi türevleri alnabilir bir fonksiyon olsun.

• f (X)konveks bir fonksiyon ⇔ X ∈ S için H_f pozitif belirli/pozitif yar belirli • f (X)konkav bir fonksiyon ⇔ X ∈ S için Hf negatif belirli/negatif yar belirlidir

[3].

Teorem 2. ki güzergah oldu§unda amaç fonksiyonu için konkav ya da konveks yorumu yaplamamaktadr.

spat: Yardmc Teorem 5 'te belirtildi§i üzere Hessian Matrisi kullanmak gerekmekte-dir. Hessian Matrisi'nde Normal Da§lm'n Y§mal Da§lm Fonksiyonu yer ald§ndan ve bu fonksiyonun integrali alnamad§ndan formülasyon olarak yerine konamamak-tadr. Ancak, birinci asal minör incelenerek bir takm çkarmlar yaplabilmektedir. Birinci asal minör ³u ³ekildedir:

H11= ∂2π ∂b1∂b2

= ∆f0(b1)F (b2) − f0(b1)(b1+ ∆ − C({1})) − 2f (b1)

(4.10)

narray* ∆, iki güzergâh aras sinerji olarak ³u ³ekilde tanmlanm³tr:

∆ = C({1}) + C({2}) − C({1, 2}) (4.11) Normal Da§lm'n Olaslk Yo§unluk Fonksiyonu'nun türevi ³u ³ekildedir:

Buna göre birinci asal minör: H11= f (b1) | {z } P ozitif [∆(µ1− b1)F (b2)) − (µ1− b1)(b1+ ∆ − C({1})) − 2] | {z } ? ? ≶ 0 (4.13)

Birinci asal minörün ilk ksm pozitif oldu§undan ikinci ksmn i³areti denklemin i³aretini belirlemektedir. kinci ksmda maliyet, ortalama ve ∆ parametreleri yer almaktadr ve farkl parametre de§erleri için negatif ve/veya pozitif olma durumu de§i³kenlik göstermektedir. Örne§in; C({1}) < µ1 < b1 durumunda ve ∆ > 0 iken;

(µ1− b1)(∆[F (b2) − 1]) | {z } P ozitif + (µ1− b1)(C({1}) − b1) | {z } P ozitif ? ≶ 2 (4.14)

Denklemin sol taraf pozitif olmasna ra§men 2'den büyük ya da küçük oldu§u bilin-memektedir. 2'den büyük oldu§unda konvekslik için birinci asal minör ko³ulunu, 2'den küçük oldu§undaysa konkavlk için birinci asal minör ko³ulunu sa§lamaktadr. Birinci asal minöre bakarak konveks ya da konkav olmaya adaydr yorumu yaplamamaktadr. Yardmc Teorem 4 ve 5 'e göre farkl parametre de§erleri ve bölgeler için konkavlk ya da konvekslik ³artna uygunlu§un de§i³kenlik gösterdi§i bulunmu³tur.

Amaç fonksiyonu ile ilgili olarak konkav ya da konveks yorumu yaplamamaktadr. En büyükleme problemi çözüldü§ü için fonksiyonun konkav olmas, fonksiyondaki yerel bir en büyük noktann, global en büyük nokta oldu§unu göstermesi açsndan önemlidir. Fonksiyon konkav olmad§ için global optimali bulmak zorla³maktadr.

Kar fonksiyonunun yapsyla ilgili karma³kl§ göstermek için alternatif çözümün var oldu§u bir örnek ele alnm³tr.

4.1.2.1 ki Güzergâhl halelerin Konkav Olmad§ Duruma Örnek

“ekil 4.3'te, iki güzergâhl bir ihale mevcuttur. Güzergahlar, ayn olaslk da§lmna ve ayn uzunlu§a sahip e³ güzergahlardr.

Mevcut a§ göz önüne alnd§nda ta³yc için 4 senaryo ortaya çkmaktadr: 1. senaryoda her iki güzergah da kaybedebilir, 2. senaryoda sadece bir güzergah kazanabilir, 3. senaryoda sadece di§er güzergah kazanabilir ve 4. senaryoda her iki güzergâh da kazanabilir. 4. senaryoda yeni bir bo³ ta³ma ortaya çkarmaktadr. Bu yüzden, ta³yc ihalelerden sadece birini kazanmaya yönelecektir. Her iki ihale de ayn

“ekil 4.3: Mevcut A§ ve ki Güzergahl hale

özelli§e sahip oldu§u için alternatif çözüm durumu ortaya çkmaktadr. “ekil 4.4'te kar fonksiyonuna ait grak yer almaktadr. Grakte ayn de§ere sahip optimal iki nokta bulunmaktadr.

“ekil 4.4: Ayn ki Güzergaha Sahip hale için Kar Fonksiyonu

4.1.3 Özet

Pazarda yer alan güzergâh says arttkça potansiyel sonuç says üstel olarak artmak-tadr. Problem en büyükleme problemidir ve küçük problemler için dahi konkav yap mevcut de§ildir. Problem büyüdükçe optimali bulmak zorla³maktadr. Ayrca, her alt küme için bir NP-Zor problem çözülmesi gerekmektedir ve alt küme says üstel olarak

4.2 Ampirik Da§lml Yakla³m

Problemde güzergahlar kazanma ve kaybetme olasl§ ö§renme mekanizmasyla elde edilen bilgiler kullanlarak hesapland§ için kar fonksiyonunun ³ekli hakknda herhangi bir bilgiye sahip olunmamaktadr. Ayrca, Kuyzu [34] Düzgün Da§lm için kar fonksiy-onunun genel olarak konkav olmad§n daha önceden göstermi³tir ve bu tezde kullanlan Parçal Düzgün Da§lm için de genel olarak konkav olmamas beklenmektedir. Bu yüzden, problem çözümü için koordinat arama algoritmas kullanlm³ ve her bir güzergah için çoklu ba³langçla arama yaplm³tr.

5. ÇÖZÜM YAKLA“IMI

Problemin çözümü için önerilen algoritma, bir defada sadece tek bir yat teklini de§i³tirmekte ve bunu her bir yat tekli için srayla yapmaktadr. Arama, amaç fonksiyonunda art³ sa§lanmayana kadar devam etmektedir. Tek boyutta arama yapmak için amaç fonksiyonunu tek bir teklin fonksiyonu ³eklinde yazmak gerekmektedir. Fonksiyon, Kuyzu [34] tarafndan Denklem 5.1'deki gibi yazlm³tr:

πi(b) = P (i, b)        bi− X V ⊆L, i /∈V P (V, b)Q(L − V − i, b)(C(V + {i}) − C(V )) | {z } βi(b)        + X V ⊆L, i /∈V P (V, b)Q(L − V − i, b)[R(V, b) − C(V )] (5.1)

Fonksiyon, olaslk da§lmndan ba§msz olarak yazlm³tr. Bu nedenle, her da§lm için geçerlidir. Ayrca, βi(b), i'nci güzergahn kazanlmasyla maliyette beklenen de§i³im olarak ifade edilmekte olup i güzergahna ait herhangi bir de§i³ken içermedi§i için her arama admnda sabit bir de§erdir. βi(b)kullanlarak fonksiyon daha sade bir hale sahip olmaktadr.

5.1 Normal Da§lml Yakla³m

En dü³ük rakip teklinin Normal Da§lm'a sahip oldu§u varsaym kullanld§ için P (i, b) Denklem 5.2'deki gibidir:

P (i, b) = P (Xi≥ bi) = (1 − Z bi −∞ 1 q 2πσ2 i e (bi−µi)2 2σ2 i ) (5.2)

Tek ve iki güzergah oldu§u durumlar için kar fonksiyonunun yaps ara³trlm³t. Ayn ³ekilde, i güzergahna ba§l πi(b) kar fonksiyonu için de konkavlk analizi yaplmas gerekmektedir.

Teorem 3. Amaç fonksiyonu, bir güzergahn fonksiyonu ³eklinde yazld§nda: • b_i ∈ (−∞, βi(b)+µ

2 − q

(µ−βi(b))2

• b_i ∈ [βi(b)+µ 2 − q (µ−βi(b))2 4 + 2σ2, βi(b))+µ 2 + q (µ−βi(b))2

4 + 2σ2]ise kar fonksiyonu konkav yapdadr.

• b_i ∈ (βi(b)+µ

2 +

q

(µ−βi(b))2

4 + 2σ2, +∞) ise kar fonksiyonu konveks yapda ve azalan yöndedir.

spat: Bölüm 4'te yer alan Tek Güzergah durumu için yaplan ispat ile ayndr. Aralarndaki fark, tek güzergahn maliyeti yerine i'nci güzergahn a§a eklenmesiyle olu³an maliyetin kullanlmas ve fonksiyonda yer alan sabit de§erdir.

Bir güzergahn fonksiyonu ³eklinde yazld§nda amaç fonksiyonunun yaps tam olarak konkav de§ildir ancak fonksiyonun konkav oldu§u bölge mevcuttur. En büyükleme problemi ele alnd§ için konkav olma durumu modelimiz için önemlidir. “ekil 5.1'de yer alan kar fonksiyonu gra§ine göre tek bir global en büyük noktas oldu§u görülmektedir. En büyükleme problemi ele alnd§ndan tek boyut için bulunan bir yerel en büyük nokta, global en büyük noktadr. Kar fonksiyonunun bu yaps dikkate alnarak Algoritma 1'de yer alan algoritma geli³tirilmi³tir.

“ekil 5.1: Tek Boyut için Amaç Fonksiyonu'na ait Grak

Algoritma 1'de yer alan Koordinat Arama Algoritmas 1, her güzergah için her arama admnda bir optimizasyon problemi çözmektedir. Teklif vektöründeki bir teklif için en iyiyi bulmay denerken di§er bütün teklier sabit tutulmaktadr. En iyi tekli arad§ güzergah için “ekil 5.1'e göre en iyiyi arayaca§ bölge bilinmekte olup, trmanma algoritmasyla en iyiyi aramaktadr. Bu arama algoritmas, tek bir güzergah için en iyi çözüme ula³maktadr ancak amaç fonksiyonu konkav yapda olmad§ için ana problem için en iyiyi garantilememektedir. Bu yüzden, farkl ba³langç noktalar verilip algoritmann tekrar çal³trlmas gerekebilmektedir. Ancak simülasyon çal³masnda farkl ba³langçlar için çktda bir farkllk olmad§ görülmü³, arama

Algoritma 1 Koordinat Arama Algoritmas 1

Girdi: L = {1, 2, ..., n}, b0 _{olurlu çözüme sahip ba³langç teklif vektörü (b}0

i = 0 ∀i ∈ L), ε > 0 Çkt: ¯b teklif vektörü k ← 0 Tekrarla γ ←yanl³ Her i ∈ L için ¯ bi ← EnBüyükDe§erBulNorm (βi(b), µ, σ2) E§er  ¯b_i− bk_i  > εise γ ←do§ru k ← k + 1 bk i ← ¯bi Tüm j ∈ L − {i} için bk_j ← bk−1_j Bitir çin Bitir E§er Bitir çin Kadar (γ ← yanl³)

süresini hzlandrmak için tek ba³langç yaplm³tr. Algoritma, amaç fonksiyonu de§erini bir çözümden ba³ka bir çözüme ta³maktadr ve arama çözümler aras fark kalmayana kadar devam etmektedir.

Her bi tekli için en büyük de§er Algoritma 2'deki gibi bulunmaktadr. Soldan sa§a ya da sa§dan sola adm adm arayarak da bulunabilir. Ancak daha hzl olmas açsndan Algoritma 2'de yer alan yöntem tercih edilmi³tir. Bu algoritmaya göre, çözümün olmas beklenen aralk sürekli ikiye bölünerek arama yaplmaktadr.

5.2 Ampirik Da§lml Yakla³m

Problemin çözümü için önerilen bu algoritma, bir defada sadece tek bir yat teklini de§i³tirmekte ve bunu her bir yat tekli için srayla yapmaktadr. Arama, amaç fonksiyonunda art³ sa§lanmayana kadar devam etmektedir. Tek boyutta arama yapmak için kar fonksiyonu Denklem 5.1 'de yer almaktadr. Algoritma, her güzergah için arama yaparken kar fonksiyonu için en büyük de§eri aramaktadr.

Algoritma 3, trmanma yöntemiyle iyi çözümü aramaktadr. Bunun için Algoritma 4 kullanlmaktadr. Kar fonksiyonunun yaps bilinmedi§inden her güzergah için farkl noktalardan çoklu ba³langç yaparak arama yaplmaktadr. Arama için [0.5cli, 3cli]

Algoritma 2 Normal Da§lm için En Büyük De§eri Bulma Fonksiyon EnBüyükDe§erBulNorm(βi(b), µ, σ2) ε ← 10−2 b¯i ← βi(b) balt ← βi(b) b_üst ← βi(b))+µ 2 + q (µ−βi(b))2 4 + 2σ2 adm ← (büst− balt)/2 ¯ bi← ¯bi+adm ϕ ←do§ru Tekrarla E§er (π(¯bi+ ε) < π( ¯bi− ε)) ise b_üst ← ¯bi adm ← (büst− balt)/2 ¯ bi← ¯bi-adm De§ilse balt← ¯bi adm ← (büst− balt)/2 ¯ bi← ¯bi+adm Bitir E§er

E§er (adm < 10−6_{) ise} ϕ ←yanl³

Bitir E§er Kadar(ϕ = yanl³) Döndür(¯bi)

Bitir Fonksiyon

Algoritma 3 Koordinat Arama Algoritmas 2

Girdi: L = {1, 2, ..., n}, b0 _{olurlu çözüme sahip ba³langç teklif vektörü (b}0

i = 0 ∀i ∈ L), ε > 0 Çkt: ¯b tekl vektörü k ← 0 Tekrarla γ ←yanl³ Her i ∈ L için ¯ bi← EnBüyükDe§erBulAmp(βi(b), µ, σ2) E§er  ¯b_i− bk_i  > ε ise γ ←do§ru k ← k + 1 bk_i ← ¯bi

Her j ∈ L − {i} için bk_j ← bk−1_j Bitir çin Bitir E§er Bitir çin

Algoritma 4 Ampirik Da§lm için En Büyük De§eri Bulma Fonksiyon EnBüyükDe§eriBulAmp(βi(b), µ, σ2) ε ← 5 × 10−1 π( ¯bi) ← 0 ¯ bi ← 0 ϕ ←do§ru k=1 ; k ≤ 4 ; k++ bi ← 0, 5kli Tekrarla E§er (π(bi+ ε) > π(bi))ise bi ← bi+ ε De§ilse ϕ ←yanl³ Bitir E§er Kadar (ϕ = yanl³) E§er (π(¯bi) < π(bi))ise π( ¯bi) ← π(bi) ¯ bi← bi Bitir E§er Bitir Döngü (k) Döndür(¯bi) Bitir Fonksiyon

aral§nda 4 ba³langç vardr ve farkl ba³langçlar için bulunan çözümlerden en yüksek πi(b) kar de§erine ait bi de§eri seçilmektedir. Algoritma her ba³langç için trmanma yöntemini kullanmaktadr. Arama algoritmas, hem problem hem de tek boyut için en iyiyi garantilememektedir.

5.3 Maliyet Hesaplama Yöntemleri

Ta³yc, teklif verme problemini çözmek için öncelikle ihale saysnn alt küme says kadar maliyet hesaplama problemi çözmek zorundadr. Problemde ta³yc mevcut a§ndaki bo³ ta³malar azaltmak için bir seferlik ta³malara dayal spot market güzergah ihalelerine yönelmektedir. Amaç fonksiyonuna göre, ihalelere teklif verebilmek için ihalelerin tüm alt kümelerine ait maliyetlere ihtiyaç vardr. Ta³yc mevcut a§na sürekli hizmet vermek zorunda oldu§u için belirli bir periyoda göre hareket etmesi gerekmektedir. Her periyotta mevcut a§ndaki güzergahlara hizmet vermek zorundadr. Bu yüzden turlar için uzunluk kst kullanmak gerekmektedir. Bu kst, tur tamamland§nda bir sonraki periyoda ait tur için gecikme olmasnn önüne geçmektedir. Maliyet hesab için Güzergah Kaplama Problemi'ne [19] dayanan iki farkl yakla³m önerilmi³tir.

5.3.1 Maliyeti Güzergah Kaplama Problemi Sezgiseli ile Hesaplama

Ta³yc, mevcut a§ndaki güzergahlara devaml olarak her periyotta hizmet verebilmek için sahip oldu§u turlarn bir periyotta hizmet verilebilecek uzunlukta olmas gerekmek-tedir. Bu yakla³mda, L güzergah kümesinin her S alt kümesi maliyet hesab yaplrken mevcut a§ ve S alt kümesindeki güzergahlar için Uzunluk Kstl Güzergah Kaplama Problemi çözülmektedir. Ancak, hem alt kümelerin fazla sayda hem de problemin NP-Zor olmasndan dolay problemin çözümü için Kuyzu'nun önerdi§i sezgisel yöntem [34] kullanlm³tr. Algoritma, Güzergah Kaplama Sezgiseli ad altnda Algoritma 5'te yer almaktadr. S alt kümesine ait maliyet, mevcut a§ ve S alt kümesindeki güzergahlara ait maliyetten sadece mevcut a§a ait maliyetin çkarlmasyla elde edilmektedir. Algoritma 5'te, bir ayrtn ba³ ayrtn son buldu§u noktay ve ayrtn sonu ise ayrtn ba³langç noktasn temsil etmektedir. Ba³langçta her bir güzergah bo³ ta³mayla tamamlanarak tek güzergahlk turlar elde edilmektedir. Daha sonra bu turlar ikili olarak bo³ ta³mada en fazla azalma sa§layacak ³ekilde birle³tirilmektedir. Bo³ ta³madaki azalma miktarlarn y§n sralamas (Heap Sorting) ile büyükten küçü§e sralamak daha hzl olaca§ için ekleme i³lemi srasna göre yaplmaktadr. Bu sralamaya göre en fazla kazanç sa§layan birle³tirmeden ba³layarak yeni turlar olu³turulmaktadr. Artan turlar ise ayn ³ekilde kalmaktadr. Turdaki bo³ ta³malarn toplam tur uzunlu§unun en fazla yars kadar olmasnn sebebi ise ba³langçta yer alan en kötü durumda bile bo³ ta³mann tur uzunlu§unun yars kadar olmasdr. Bo³ ta³ma tur uzunlu§unun yarsn geçerse, çözüm daha kötüye gidecektir. “ekil 5.2'de iki turun daha az bo³ ta³malarla birle³tirilmesine ait örnek yer almaktadr.

Algoritma 5 Güzergah Kaplama Problemi Sezgiseli

Girdi:L = {1, 2, ..., n}, li güzergah uzunluklar, U maksimum tur uzunlu§u Çkt: L güzergah kümesine ait turlar ve uzunluklar

Her i ∈ L için

Ci ← igüzergahnn ba³ndan kuyru§una bir ayrt (bo³ ta³ma) ekle, tur olu³tur lCi ← 2li Bitir çin ϕ ←do§ru Tekrarla Her Ci ∈ C için Her Cj ∈ C, j > iiçin bo³Ta³madaAzalma ← 0

Her bo³ ta³ma ayrt Dk∈ Ci için Her bo³ ta³ma ayrt Dl∈ Cj için

b ← l_(ba³

Dk, kuyrukDk)+ l(ba³Dl, kuyrukDl)− l(ba³Dk, kuyrukDl)− l(ba³Dl, kuyrukDk)

E§er bo³Ta³madaAzalma < b ise bo³Ta³madaAzalma ← b

Bitir E§er

E§er lCij 6 U ve Cij'deki Toplam Bo³ Ta³ma Uzunlu§u/lCij 6 0.5 ise

LIST E'ye y§n sralamayla EKLE (bo³Ta³madaAzalma, i,j) ϕ ← yanl³ Bitir E§er Bitir çin Bitir çin |Ekleme Listesi| ← ∅ |C0_{| ← ∅} t ← 1

Her k ∈ LIST E için

E§er i ve j /∈ Ekleme Listesi ise C_t0 ← C_i+ Cj

l_C0

t ← lCi+ lCj−bo³Ta³madaAzalma

EklemeListesi'ne EKLE {i} ve {j} Bitir E§er

Bitir çin Her i ∈ C için

E§er i /∈ Ekleme Listesi ise t ← t + 1 C_t0 ← Ci lC0 t ← lCi Bitir E§er Bitir Her C ← C0 Bitir çin Kadar (ϕ = do§ru)