Sobolev uzaylarının temel özellikleri ve geometrik yorumları

SOBOLEV UZAYLARININ TEMEL ÖZELLĐKLERĐ VE

GEOMETRĐK YORUMLARI

Faruk SURMUŞ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

DĐYARBAKIR EKĐM 2009

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

SOBOLEV UZAYLARININ TEMEL ÖZELLĐKLERĐ VE

GEOMETRĐK YORUMLARI

Faruk SURMUŞ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DANIŞMAN: Prof. Dr. Sezai OĞRAŞ

MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

DĐYARBAKIR EKĐM 2009

T.C

DĐCLE ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DĐYARBAKIR

Faruk SURMUŞ tarafından yapılan bu çalışma, jürimiz tarafından MATEMATĐK Anabilim Dalında YÜKSEK LĐSANS tezi olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyesinin Ünvanı Adı Soyadı

Başkan : Prof. Dr. Sezai OĞRAŞ Üye : Prof. Dr. Ali YILMAZ Üye : Yrd. Doç. Dr. Bilal ÇEKĐÇ

Tez Savunma Sınav Tarihi 20/10/2009

Yukarıdaki bilgilerin doğruluğunu onaylarım. …../…../………

i ĐÇĐNDEKĐLER...i AMAÇ………iii ÖZET……….iv ABSTRACT………...v GĐRĐŞ……….vi

1. BÖLÜM: TEMEL TANIM VE TEOREMLER……….1

1.1 Lp Uzayları……….………...……1

1.2 Hölder ve Minkowski Eşitsizlikleri………..………2

1.3 Hölder Koşulu ve Hölder Uzayı………..………..2

1.4 Sürekli Fonksiyon Uzayları………...………3

1.5 Kompakt Destek Kavramı ve C0 ∞ _{Uzayı…………...………5}

1.6 ℝn Öklit Uzayında Bölgeler………..6

1.7 Molifier fonksiyonu ………..………8

2. BÖLÜM: ZAYIF VE GÜÇLÜ TÜREV KAVRAMLARI……….…..…………....14

3. BÖLÜM: SOBOLEV UZAYLARI………..………..22

4. BÖLÜM: SOBOLEV UZAYLARI VE FOURĐER TRANSFORM ……..………38

ii 7. BÖLÜM: KOMPAKTLIK TEOREMĐ……….………58 8. BÖLÜM: ĐZ TEOREMĐ ………68 KAYNAKLAR……….75 SĐMGELER………..77 DĐZĐN………78 ÖZGEÇMĐŞ………...………. 79

iii

Sobolev Uzayları ve Zayıf Türev kavramlarının ortaya atılması ile Kısmi Diferansiyel Denklemler alanı üzerine yapılan çalışma ve uygulamalarda büyük ilerleme elde edilmiş, bu yüzden lisansüstü eğitimde mutlaka zaman ayrılması gereken bir alan olmuştur.

Diferansiyel Denklemler’ in klasik çözüm yöntemleri ile Matematiksel Fizik de birçok problemin çözümü mümkün değildir. Bu gibi problemlerin çözülebilmesi için Zayıf Türev ve Sobolev Uzayı kavramlarının iyi bilinmesi gerekir.

Bu çalışmadaki esas amacımız Sobolev Uzayları’ nın önemli ve temel özelliklerini mümkün olduğunca açık ve sade bir yolla, Kısmi Diferansiyel Denklem’ ler konusuna girmeden incelemektir. Bu sayede Sobolev Uzaylarına ait elemanların hangi durumlarda ne gibi davranışlar sergiledikleri daha iyi anlaşılacaktır.

iv Bu çalışma sekiz bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, sobolev uzaylarını tanımlamak için kullanılacak olan temel gösterim kavram ve teoremler verilmektedir.

Đkinci bölümde, Sobolev uzaylarını karakterize etmekte kullanılan en önemli araçlardan biri olan zayıf türev kavramından bahsedilmektedir.

Üçüncü bölümde, fonksiyonel analizde kullanılan çok önemli bir araç olan Sobolev uzaylarının tanımları ve özellikleri ile birlikte bazı temel sonuçlar ifade edilmektedir.

Dördüncü bölümde, Sobolev uzaylarının bir karakterizasyonu Fourier Transform yardımı ile ifade edilmektedir.

Beşinci bölümde, Sobolev uzaylarının Kısmi Diferansiyel Denklemler de sınır koşullarının çözümünde kullanım alanı olan Đz teoreminden bahsedilmektedir.

Altıncı bölümde, Sobolev uzaylarının matematiksel özelliklerini anlamada çok önemli bir uygulama alanı olan Gömülme teoremleri ve Sobolev eşitsizlikleri ortaya konulmaktadır.

Yedinci bölümde, bir önceki kısımda verilen gömülme teoremlerinin bazı durumlarda niçin kompakt olması gerektiği ele alınmaktadır.

Son olarak sekizinci bölümde, Sobolev uzaylarında tanımlı fonksiyonların verilen bölgenin sınırına kısıtlamasının ne anlama geldiği anlatılmaktadır.

v This study consists of eight chapters.

In the first chapter, in order to discuss the theory of Sobolev spaces we shall start with some simple basic notions that are necessary for introducing and studying these spaces.

In the second chapter, we introduce the concept of weak derivativethatis a main tool to define the Sobolev spaces.

In the third chapter, we review definitions and properties of Sobolev spaces, which are indispensable for the functional analysis.

In the fourth chapter, we give a Characterization of Sobolev spaces via the Fourier transform.

In the fifth chapter, some results are easier to prove over the whole of n

ℝ ; to prove them for Ω extend the setting from Ω to _ℝn, then restrict it back again to Ω.

In the sixth chapter, it is given the embedding theorems and Sobolev inequalities which are important areas to understand the mathematical properties of Sobolev spaces.

In the seventh chapter; even better, some of the inclusions of Sobolev spaces into other spaces are compact (in the functional analysis sense).

Finally in the eigth chapter, It is important to understand what is meant by restricting a Sobolev function to the boundary of the domain.

vi

Matematiğin aksine Fonksiyonel Analiz Teorisi henüz 20. yüzyılın başlarında oluşmaya başlamış çok yeni bir bilim dalıdır ve olgunlaşma süreci halen devam etmektedir. Kümeler teorisi, Topoloji ve Reel Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi fonksiyonel analizin gelişim süreci için oldukça uygun koşullar oluşturmaktadır. Fonksiyonel Analiz özellikle Kısmi Diferansiyel Denklemler Teorisi olmak üzere teorik matematik konularında karşılaşılan birçok problem için uygun cevaplar içermektedir.

Kısmi Diferansiyel Denklemler teorisinde karşılaşılan çeşitli problemlerin çözümünde fonksiyonel analizden yararlanılması S. L. Sobolev’ den öncede oldukça başvurulan bir yöntemdi. Bu bağlamda verilebilecek en iyi örnek ünlü matematikçi D. Hilbert’ dir. Hilbert özellikle Laplace Denklemleri ve Dirichlet Prensibi üzerine araştırmalar yapmaktaydı.

S. L. Sobolev’ in 1930 lu yıllarda yaptığı çalışmalar Fonksiyonel Analiz, Matematiksel Fizik, Diferansiyel Geometri, Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Matematiğin diğer alanların gelişmesinde çok güçlü bir etki yaratmış ve mevcut çok sayıdaki problemin çözümünde evrensel çözüm yöntemleri elde edilmesini sağlamıştır. 1930’ların ortasında, S. L. Sobolev, kısmi diferansiyel denklemlerin gelişmesinde çok önemli olan bazı fonksiyon uzaylarını ve kavramlarını tanımladı. Bu konudaki en büyük başarısı hiç şüphesiz Genelleştirilmiş Türevli Fonksiyonlar Teorisin’i yani bilinen adıyla Sobolev Uzayları ‘nı fonksiyonel analize kazandırmakla elde etti. Bunu yaparken LERAY'ın yaptığı gibi zayıf türevleri kullandı. Ardından FĐCHERA ve FRIEDRICHS gibi bilim adamları da benzer uzayları tanımlamaya başladılar. Yine benzer bir düşünce NAVIER-STOKES denkleminin zayıf çözümlerinde kullanıldı.

vii

Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Fizik gibi matematiğin birçok alanında çok geniş yankı uyandırdı ve büyük ilerleme sağlamasına neden oldu.

Bugün hala Sobolev eşitsizliklerinin çok çeşitli versiyonları ortaya atılmakta ve oldukça geniş kullanım alanları bulmaktadır. Çünkü Sobolev uzaylarının ifade ettiği eşitsizlikler ve teoremler matematiğin sayısız alanındaki birçok problemin çözümünün elde edilmesine olanak sağlamaktadır.

1.1 L_p Uzayları

1≤ < ∞p olmak üzere L_p

( )

Ω uzayı _ℝn

öklit uzayının bir alt kümesi olan Ω kümesindeki tüm Lebesgue Ölçülebilir ve

( )

(

)

( )

p p _p L u _Ω u x dx Ω =

_∫

< ∞

koşulunu sağlayan u:Ω → ℂ fonksiyonlarından oluşur. Yukarıda verilen integral

Lebesgue Đntegrali olup, _{( )}

p

L Ω sembolü u∈Lp

( )

Ω fonksiyonunun Ω bölgesindeki normunu gösterir.

Eğer Lp

( )

Ω uzayında bulunan u ve v gibi iki fonksiyon için _{( )} 0

p

L

u−v _Ω = oluyorsa bu halde u ve v fonksiyonlarına özdeş fonksiyondurlar denir. Böyle bir durumda x∈ Ω\A için u x

( )

=v x

( )

olacak şekilde ölçüsü sıfır olan bir A⊂ Ω

kümesi vardır denir ve buradan hareketle de hemen hemen her yerde (hhh)

( )

( )

u x =v x olduğu söylenir.

p= ∞ için L_∞

( )

Ω uzayı, hemen hemen her yerde sınırlı bir g fonksiyonuna eşit olan u:Ω → ℂ fonksiyonlarından oluşur ve eşdeğer olarak

( )

sup x A u _∞ u x C ′ ∈ = <

1.2 Hölder ve Minkowski Eşitsizlikleri

1≤ < ∞p olmak üzere p′ sayısı aralarında 1 1 1

p+ p′ = bağıntısı olan p sayısının Eşlenik Üssü olsun. Eğer f ∈L_p

( )

Ω ve g∈L_p′

( )

Ω oluyor ise, bu durumda fg∈L₁

( )

Ω olmakta ve aynı zamanda

( ) ( )

(

( )

p

)

1/p

(

( )

p

)

1/p f x g x dx f x dx f x dx ′ ′ Ω ≤ Ω Ω

∫

∫

∫

,

şeklindeki Hölder Eşitsizliği sağlanmaktadır. Bu ifade daha basit olarak

( ) ( ) ( ) 1 p p L L L fg f g ′ Ω ≤ Ω Ω şeklinde de yazılabilir.

Yine 1≤ < ∞p olmak üzere f ∈L_p

( )

Ω ile g∈L_p

( )

Ω ve

(

f +g

)

∈L_p

( )

Ω olsun. Bu durumda Minkowski Eşitsizliği

( ) ( ) ( )

p p p

L L L

f +g _Ω ≤ f _Ω + g _Ω , şeklinde verilir.

1.3 Hölder Koşulu ve Hölder Uzayı

n

Ω ⊂ℝ bir bölge ve k ≥0 olsun. C ve

α

negatif olmayan iki reel sabit sayı ve u , Rn öklit uzayında tanımlı reel veya kompleks değerli bir fonksiyon olmak üzere eğer,

( )

( )

,

x y için u x u y C x yα

∀ − ≤ − ,

oluyor ise, bu durumda

α

sabiti Hölder Üssü’nü göstermek üzere u fonksiyonuna

Hölder süreklidir veya Hölder Koşulunu sağlıyor denir. Bu koşul herhangi iki

Eğer α =1 ise bu durumda u fonksiyonu Lipschitz Koşulunu sağlar. Eğer

0

α = ise o zaman u fonksiyona Sınırlıdır denir.

0<α ≤1, Ck,α

( )

Ω sembolü ile gösterilen Hölder Uzayı, 0≤ α ≤k ve C

bir sabit olmak üzere Ck

( )

Ω uzayında tanımlı

( )

( )

D u xα −D u yα ≤C x−yα,

şeklindeki Hölder koşulunu sağlayan u fonksiyonlarının oluşturduğu uzaydır.

( )

, k C α Ω Hölder uzayı ( ) ( )

( )

( )

, max sup , , k k C C _k x y D u x D u y u u x y x y α α α α α Ω Ω _≤ ≠ − = + ∈ Ω −

normu ile bir Banach uzaydır.

1.4 Sürekli Fonksiyon Uzayları

Ω sembolü ℝn öklit uzayında boş olmayan bir açık kümeyi göstersin. K kümesi Ω açık kümesinde bir kompakt küme olsun.

(

1, 2, 3,...,

)

n

n Z

α

=

α α α

α

∈ ₊ çok

indislisi için

α α α

= ₁+ ₂+

α

₃+ +...

α

_n olarak ifade edilsin. Eğer x=

(

x₁,...,x_n

)

∈ ℝ n ise bu durumda 1 2 1 . 2 .... n n xα =xα xα xα ve 1 2 1 2 1 2 . ... . ... n n n u D u D u D u D u x x x α α α α α α α α ∂ = = ∂ ∂ ∂ olarak yazılır.

Ω kümesinde tanımlı tüm sürekli fonksiyonların kümesi C

( )

Ω ile gösterilir.

( )

C Ω kümesi ( ) sup

( )

C x u _Ω u x ∈Ω =

normu ile birlikte bir normlu uzaydır.

Benzer olarak Ck

( )

Ω , Ω bölgesinde k. mertebeye kadar tüm D uα türevleri var ve sürekli olan fonksiyonların kümesidir. Burada C0

( )

Ω =C

( )

Ω olarak ifade edilir. Bu uzayda norm

( ) sup

( )

k C x k u D u xα α Ω ∈Ω ≤ =

∑

şeklinde tanımlanmaktadır.

Yine Ck

( )

Ω , Ω da α ≤k için D uα türevleri sınırlı ve düzgün sürekli olan k

( )

u∈C Ω fonsiyonlarından oluşur. Bu uzay

( ) sup

( )

C x k u D u xα α Ω ∈Ω ≤ =

∑

normu ile bir Banach uzaydır.

Keza C∞

( )

Ω kümesi ise, her mertebeden türevleri var ve sürekli olan fonksiyonların uzayıdır. Yani

( )

( )

0 k k C∞ C = Ω =

_∩

Ω olarak gösterilebilir.

Benzer olarak C_B

( )

Ω , C

( )

Ω da ki sınırlı fonksiyonlardan oluşan uzaydır. Bu uzay "sup" normu ile bir Banach uzaydır.

Aynı şekilde C_B

( )

Ω ; C

( )

Ω da ki sınırlı fonksiyonlardan oluşan uzaydır. Bu uzay "sup" normu ile bir Banach uzaydır. Eğer Ω sınırlı ise bu uzay C

( )

Ω uzayı ile çakışıktır.

Yine C_Bk

( )

Ω , C_B

( )

Ω da bulunan ve kmertebeye kadar türevleri yine

( )

B

( )

{

( )

: k_{( )}

}

k k B C C Ω = u∈C Ω u _Ω < ∞ kümesi ( ) sup

( )

k B C x k u D u xα α Ω ∈Ω ≤ =

normu ile birlikte bir Banach uzay olur.

Son olarak C_Bk

( )

Ω kümesi hem C_Bk

( )

Ω hem de Ck

( )

Ω bulunan fonksiyonlardan oluşur. Bu küme yine

( ) sup

( )

k B C x k u D u xα α Ω ∈Ω ≤ =

normu ile bir Banach uzaydır. Eğer Ω sınırlı ise bu uzay Ck

( )

Ω uzayı ile çakışır.

1.5 Kompakt Destek Kavramı ve C₀∞ Uzayı

Bir u:Ω → ℂ fonksiyonu tanımlansın ve K , Ω ⊂ℝn açık kümesinin kompakt bir alt kümesi olsun. Eğer ∀ ∈ Ωx \ K için u x

( )

= oluyor ise, bu duruma 0 u fonksiyonuna Kompakt Desteklidir denir. Yukarıdaki gibi tanımlı tüm kompakt K kümelerinin arakesitine u fonksiyonun Desteği denir. Ayrıca bu arakesit kümesi sembolik olarak suppu biçiminde gösterilir. Daha matematiksel bir ifade ile

supp u=

{

x u x:

( )

≠0

}

şeklinde yazılır.

( )

C Ω sürekli fonksiyonlar uzayındaki kompakt destekli fonksiyonların oluşturduğu küme sembolik olarak C₀

( )

Ω ifadesi ile gösterilir. Doğal olarak ₀k

( )

C Ω

Son olarak C₀∞

( )

Ω kümesi kompakt destekli ve her mertebeden türevleri var ve sürekli olan fonksiyonların uzaydır.

1.6 ℝn _{Öklit Uzayında Bölgeler}

n

Ω ⊂ℝ açık ve bağlantılı bir küme olsun. Bu durumda Ω kümesi n-boyutlu n

ℝ öklit uzayında bir bölge olarak adlandırılır. Sobolev uzaylarının özellikleri incelenirken aksi belirtilmedikçe Ω kümesi bir bölge kabul edilir. Ancak bazı durumlarda Sobolev uzayları için ifade edilen bir kısım özelliklerin sağlaması ancak verilen Ω ⊂ℝn bölgelerinin ∂Ω sınırlarının düzgün olmasıyla mümkündür. Bu yüzden bölge kavramı için birkaç farklı sınıflandırma yapılmıştır. Bu bölümde sınırlı bölgeler üzerinde yoğunlaşmak suretiyle yapılan sınıflandırmaların özellikleri ifade edilmeye çalışılmıştır.

Aşağıda en çok kullanılan üç özellik ifade edilmektedir.

Koni Koşulu

Ω bir bölge ve

α

ile h pozitif sabitler olsun. Eğer ∀ ∈ Ωx için hyüksekliği ve

α

açıklığı ile V_x⊂ Ω olacak şekilde bir V küresel konisi varsa _x Ω bölgesi Koni

özelliğini sağlar denir. Lipschitz Koşulu

Ω bir bölge olsun. Ω bölgesinin sınırındaki her x noktası için ∂

(

U_x∩ Ω

)

sınırı Lipschitz sürekli olacak şekilde bir U açık yuvarı varsa _x Ω bölgesi Lipschitz

koşulunu sağlar denir.

k

C sınıfı Özelliği

B sembolü merkezi orjinde olan bir birim yuvarı göstersin ve Ω bir bölge olsun. Eğer ∂Ω, sınırlı Ω_i açık kümeleri ile örtülebiliyor ise ve

i) ψi

(

Ω ∩ ∂Ω = ∩ ∂ℝi

)

B n+

ii) ψ_i

(

Ω ∩ Ω = ∩ ℝ_i

)

B n₊

iii)

ψ

_i∈Ck

( )

Ω_i ve

ψ

_i−1∈Ck

( )

B

olacak şekilde

ψ

_i:Ω → dönüşümleri var ise, bu durumda _i B Ω bölgesi Ck nın bir sınıfıdır denir.

Not 1.6.1

iii) ifadesinden

ψ

_i dönüşümlerinin k sayısına eşit ve daha küçük mertebeli tüm türevlerinin var olduğu ve ψi1

−

ters dönüşümlerinin sınırlı olduğu anlaşılır.

Not 1.6.2

Ω bir bölge olmak üzere yukarıda verilen özellikler arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

k

C sınıfı özelliği sağlar Lipschitz koşulunu sağlar Koni koşulunu sağlar

 ⇒  _⇒    Şekil-1. Düzgün bölgeler.

Şekil-2. Lipschitz koşulunu sağlayan bölgeler.

Şekil-3. Koni koşulunu sağlayan bölgeler.

1.7 Molifier fonksiyonu Tanım 1.7.1 ρ∈C₀∞

( )

ℝn fonksiyonu i) supp

ρ

∈B 0₁

( )

ii)

ρ

( )

x dx 1 Ω =

∫

iii)

ρ

( )

x ≥ 0 koşullarını sağlasın. 0 ε > olmak üzere

( )

1 x y

( )

J u x_ε

ρ

u y dy

ε

Ω

ε

−   = _{ }  

∫

şeklinde tanımlı J u_ε fonksiyonuna u fonksiyonunun Molifieri denir.

Eğer u fonksiyonu Ω da lokal integrallenebilir ve K kümesi, Ω bölgesinin kompakt bir alt kümesi ise dist K( ,∂Ω >) 0 olmak üzere J u_ε molifieri, C∞

( )

K kümesinin bir elemanıdır.

( )

, p loc

L Ω kümesinde tanımlı bir u fonksiyonu için yukarıdaki ifadeden hareketle

( )

_{( )}

( ) (

)

10 1 n _B J u x_ε ρ y u x εy dy ε =

_∫

− ,

bulunur ve p>1 olmak üzere 1 1 1

p+ = şeklinde ise q

( )

_{( )}

( ) ( ) (

)

( )

( ) ( )

( ) (

)

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 , q p B q _q p _p q p B B J u x y y u x y dy y dy y u x y dy ε

ρ

ρ

ε

ρ

ρ

ε

= −  _{ }   _{ }  ≤_{  }  _{  } − _ _        

∫

∫

∫

( )

_{( )}

( ) (

)

10

p p

B

J u x_ε ≤

∫

ρ y u x−εy dy,

olur. p=1 için ifade açıktır. Eşitsizliğin her iki tarafının K üzerinden integrali alınır ise, bu durumda

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

1 1 0 0 0 , p p K B K p B K p K J u x dx y u x y dxdy y u x dxdy u x dx ε

ρ

ε

ρ

≤ − ≤ ≤

∫

∫

∫

∫

∫

∫

bulunur. K sembolü ₀ Ω bölgesinin kompakt bir alt kümesi olmakla birlikte, aynı zamanda K⊂iç K

( )

₀ ve dist K( ,∂K₀)> şeklindedir. Sonuç olarak 0

( )

( )

( )

( ) p p L L J u x_ε u x Ω ≤ Ω , (1.7.1) bulunur. Yardımcı teorem 1.7.2

u∈L_{p loc,}

( )

Ω ve K , Ω bölgesinin kompakt bir alt kümesini göstersin. O zaman 0 _{( )} 0, p L iken J u_ε u

ε

→ − _Ω → (1.7.2) ifadesi yazılabilir. Đspat 0

K , Ω bölgesinin kompakt bir alt kümesi ve K ⊂iç K

( )

₀ olmak üzere

(

, 0

)

0

dist K ∂K > olsun. _{( )}

p

L

J u_ε −u _Ω < olacak şekilde bir

δ

δ

>0 sayısı ve

( )

0 n

w∈C∞ ℝ fonksiyonun var olduğunu kabul edelim. Yukarıda verilen (1.7.1) ifadesine u− uygulanırsa w

_{( )} p L J u_ε −J w_{ε Ω} < , (1.7.3)

δ

bulunur. Ancak

( )

( )

_{( )}

( ) (

(

)

( )

)

10 B J w x_ε −w x =

∫

ρ

y w x−

ε

y −w x dy,

şeklinde olup K kümesinde

ε

→0 iken bu ifade sıfıra düzgün yakınsar. Bundan dolayı eğer

ε

>0 sayısı yeterince küçük seçilirse

_{( )}

p

L

J w_ε −w _Ω <

δ

, (1.7.4) bulunur. Böylece (1.7.3) ve (1.7.4) den

( ) ( ) ( ) ( ) 3 , p p p p L L L L J w_ε w w u J u_ε J w_ε J w_ε w

δ

Ω Ω Ω Ω − ≤ − + − + − <

elde edilir ve

δ

sayısı keyfi seçildiği için

( ) 0 0 p L iken J u_ε u

ε

→ − _Ω → , sonucuna varılır. Teorem 1.7.3

u∈L_1,loc

( )

Ω olmak üzere,

( ) ( )

0 0 C ve x için u x x

η

∞

η

Ω ∀ ∈ ∀ ∈Ω

_∫

= ,

oluyor ise, bu durumda u x

( )

= olur. 0

Đspat

i) Đlk önce kompakt destekli ve suppη⊂G olan her ∀ ∈

η

L_∞

( )

Ω için u x

( ) ( )

η

x dx 0

Ω =

olduğu gösterilmelidir. Bunun için G⊂ Ω ve G⊂ Ω ⊂ ℝn olacak şekildeki sınırlı

Gbölgesi için suppη⊂G olduğu kabul edelim. Bu durumda

{

;

}

: 2 0 0

( )

dist G G∂ =

ρ

>

ρ

⇒

η

_ρ∈C∞ Ω , olur. Şimdi

{

{

}

}

0 : ; 0 G_ρ = x dist x G <ρ alalım ve 0 0 1, 0, x G diğer ρ ρ χ _{= } ∈  ,

olacak şekilde bir

0

ρ

χ fonksiyonu tanımlayalım. Bu durumda

ρ

₀

ρ

, u x

( ) ( )

η

x dx 0 Ω

>

_∫

= , (1.7.7)

çıkar. Ayrıca

η

∈L₁

( )

Ω olduğundan

( ) 1 0 0 L iken _ρ ρ η η Ω → → → , bulunur. Buradan x ∀ ∈ Ω için k→ ∞ iken

( )

( )

k x x ρ

η

→

η

,

olacak şekilde bir

{ }

_k k

η

_∈ℕ,

ρ

_k →0,

ρ

_k <

ρ

₀ dizisi vardır. Doğal olarak ∀ ∈ Ωx için

( ) ( )

( ) ( )

k

k → ∞iken

η

_ρ x u x →

η

x u x , olur. Diğer taraftan

( ) ( )

(

η

ρ L∞Ω

η

L∞ Ω

)

≤ , özelliğinden hareketle,

( ) ( )

_{k L ( ) k}

( ) ( ) ( )

_{L ( )} u x η_ρ x χ_ρ x u x η x ∞ ∞Ω Ω ≤ ,

( ) ( )

k

( ) ( )

k iken u x

η

_ρ x dx u x

η

x dx

Ω Ω

→ ∞

_∫

→

_∫

,

bulunur ve bu ifadenin sağ kısmı sıfıra eşit olacağından

( ) ( )

0

u x

η

x dx

Ω =

∫

,

sonucu çıkar.

ii) Teoremin asıl ifadesinin ispatı için G⊂ Ω ve n

G⊂ Ω ⊂ ℝ olacak şekilde bir G kapalı bölgesini ele alalım. Ardından

( )

( )

( )

,

( )

0 0 , u x x G ve u x x u x diğer

η

 ∈ ≠  =    ,

fonksiyonunu tanımlayalım. O zaman

( ) ( )

( )

, 0 , / u x x G u x x x G

η

_{= } ∈ ∈Ω  ,

olur.

η

( )

x fonksiyonu L_∞

( )

Ω uzayında kompakt destekli olmakla birlikte, bu destek

G⊂ Ω şeklindeki Gkümesinin bir alt kümesidir. O zaman ispatın ilk kısmından hareketle

( ) ( )

( )

0 u x

η

x dx u x dx

Ω Ω

=

_∫

=

_∫

,

bulunur. ∀ ∈x Giçin u x

( )

= olur. Son olarak 0 Gbölgesi G⊂ Ω ve G⊂ Ω ⊂ ℝn

olacak şekilde keyfi ve sınırlı seçildiğinden

( )

0

x için u x

∀ ∈Ω = ,

2. BÖLÜM

ZAYIF VE GÜÇLÜ TÜREV KAVRAMLARI

Tanım 2.1

( )

, , _{p loc}

u v∈L Ω olsun. Eğer Ω bölgesinin kompakt her K alt kümesi için

( )

p L K kümesinde m u

φ

→ ve D m v α_{φ →}

olacak şekilde bir

( )

φ

_m ∈Cα

( )

K dizisi mevcut ise v fonksiyonu u fonksiyonunun

α

mertebeden güçlü manada türevidir denir.

Şimdi u∈Ck

( )

Ω ve bir

η

C0

( )

∞

∈ Ω fonksiyonu verilsin. Parçalı integral formülünden

( )

( )

( ) ( )

, 1, 2,..., i i d d u x x dx u x x dx i n dx η dx η Ω = − Ω =

∫

∫

(2.1)

yazılabilir. Bu ifade için sınır koşulları mevcut olmaz çünkü η fonksiyonu kompakt destekli olup ∂Ω sınırında sıfıra eşit değerler alır. Daha genel bir ifade ile k bir pozitif tamsayı , k

( )

u∈C Ω ve

(

₁, ₂,...,

)

n n

α

=

α α

α

∈ ℤ bir çok-indisli olmak üzere ₊

1 2 ... n

k =

α α

+ + +

α

şeklinde ise o zaman

( )

( )

( ) ( )

u x Dα

η

x dx D u xα

η

x dx Ω = − Ω

∫

∫

, eşitliği yazılabilir. Çünkü 1 2 1 2 1 2 ... n n n d d d D u dx dx dx α α α α α α α = ,

olup, (2.1) formülüne

α

defa uygulanabilir.

Tanım 2.2

α

bir çok-indisli olsun. Ω ⊂ℝnbir bölge olmak üzere L_1,loc

( )

Ω kümesinde tanımlı u ile v fonksiyonları için

u x D

( )

αη

( )

x dx

( )

1 α D u xα

( ) ( )

η x dx, η

( )

x C₀∞

( )

Ω = − Ω ∈ Ω

∫

∫

(2.2)

oluyorsa D u xα

( )

fonksiyonu, u fonksiyonun

α

. mertebeden zayıf manada

türevidir denir ve sembolik olarak v=D uα şeklinde gösterilir. Eğer u fonksiyonu

D uα şeklindeki sürekli türevine sahip olacak kadar düzgün ise (2.2) ifadesi

( )

( )

( )

1

( ) ( )

,

( )

0

( )

u x Dαη x dx α D u xα η x dx η x C∞

Ω = Ω − ∈ Ω

∫

∫

,

şeklinde yazılabilir.

Tanım 2.3 (Başka bir zayıf türev tanımı)

m∈ ℕ ve

α

bir çok-indisli olsun.

α

≤ ve k um∈Ck

( )

Ω olmak üzere

( )

1,loc

L Ω uzayında

m m

u →u iken D uα →v

olacak şekilde u v, ∈L_1,loc

( )

Ω fonksiyonları tanımlı olsun. O zaman v fonksiyonu u

fonksiyonun zayıf manada türevidir denir. Örnek 2.4

1

n= ve Ω =

( )

0, 2 olmak üzere, aşağıdaki gibi

( )

(

]

)

, 0,1 1 , 1, 2 x x u x x  ∈  =  ∈     ve

( )

(

]

( )

1 , 0,1 0 , 1, 2 x v x x  ∈  =  ∈ 

u ve v fonksiyonlarını tanımlansın. v fonksiyonunun u fonksiyonunun zayıf türevi olduğunu gösterelim.

Çözüm

Bunun için u xı

( )

= olmak üzere v

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2 2 0 0 0 , u x D

η

x dx = − v x

η

x dx

η

x ∈C∞ Ω

∫

∫

,

olduğu gösterilmelidir. Sol kısımdan hareketle

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 1 2 0 0 1 1 0 2 0 1 1 , u x D x dx xD x dx D x dx x dx v x x dx

η

η

η

η

η

η

η

= + = − + − = −

∫

∫

∫

∫

∫

bulunur. Böylece

( )

( )

( ) ( )

2 2 0 0 u x D

η

x dx= − v x

η

x dx

∫

∫

, olduğu görülür. Örnek 2.5 1 n= ve Ω =

( )

0, 2 olmak üzere,

( )

(

]

( )

, 0,1 2 , 1, 2 x x u x x  ∈  =  ∈  ,

fonksiyonu tanımlansın. u fonksiyonu için Du= ∈v L_1,loc

( )

Ω olacak şekilde bir zayıf türevin mevcut olmadığını gösterelim.

Çözüm

( )

( )

( ) ( )

2 2 0 0 , u x D

η

x dx= − v x

η

x dx

∫

∫

olacak şekilde bir v fonksiyonunun bulunmadığı gösterilmelidir. Eşitliğin sol kısmından

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 0 0 1 2 0 1 1 0 2 1 , v x x dx u x D x dx xD x dx x dx D x dx

η

η

η

η

η

η

− = = + = − −

∫

∫

∫

∫

∫

bulunur. Buradan

( )

2

( ) ( )

1

( )

0 0 1 v x x dx x dx

η

=

_∫

η

−

_∫

η

,

şeklindedir. Şimdi 0≤

η

_m≤ , 1

η

_m

( )

1 = ve 1 ∀ ≠x 1 için

η

_m

( )

x → olacak şekilde 0 sürekli türevlenebilir fonksiyonlardan oluşan bir

( )

η

_m fonksiyon dizisini alalım. Yukarıdaki işlemde η fonksiyonu yerine

( )

η

m fonksiyon dizisini yazılır ve

m→ ∞ için limit alınırsa o zaman

( )

2

( ) ( )

1

( )

0 0 1 lim _m 1 lim 0 m→∞η m→∞ v x η x dx η x dx   = = _ − _= 

∫

∫

 ,

çelişkisi bulunur. Yani zayıf türev mevcut değildir.

Not 2.6

i) D uα zayıf türevini tanımlamak için, klasik türev tanımının aksine, daha küçük dereceli türevlerin var olması gerekli değildir.

ii) Zayıf türev L_1,loc

( )

Ω kümesinin bir elemanı olarak tanımlandığı için ölçüsü sıfır kümeler üzerinde değiştirilebilir.

Teorem 2.7 (Zayıf Türevin Özellikleri) 1) Zayıf Türev Var Đse Tektir.

Đspat

Aksine u∈L_1,loc

( )

Ω fonksiyonunun v∈L_1,loc

( )

Ω ve w∈L_1,loc

( )

Ω gibi iki zayıf türevi mevcut olsun. Zayıf türev tanımından

( )

( )

(

v x w x

)

η

( )

x dx 0 ,

η

C0

( )

∞

Ω − = ∀ ∈ Ω

∫

olup, Teorem 1.7.3 den hareketle

, ( ) ( )

x v x w x

∀ ∈ℝ =

olduğu görülür.

2) Zayıf Türev Lineerdir. Yani u u1, 2∈L1,loc

( )

Ω fonksiyonları için

( )

1 1 1,loc

v =D uα ∈L Ω ve v₁=D uα ₁∈L_1,loc

( )

Ω şeklinde zayıf türevleri var ise, bu durumda

(

1 1 2 2

)

1 1 2 2 , 1, 2

Dα c u +c u =c D uα +c D uα c c ∈ ℂ olacak şekilde bir Dα

(

c u_{1 1}+c u_{2 2}

)

zayıf türev vardır.

Đspat

(

c u1 1 c u2 2

)

D dx c1 u D1 dx c2 u D2 dx α

_η

α

_η

α

_η

Ω Ω + = +

∫

∫

∫

.

3) G⊂ Ω olsun. Ω bölgesi için v=D uα eşitliği var ise o zaman G kümesi içinde de v=D uα eşitliği mevcuttur.

Đspat

4) D uα =v ve D vα =w zayıf türevler olsunlar. Bu durumda Dα β+ u=w şeklindeki ifade doğrudur.

Đspat

( )

0 C

ψ

_∈ ∞ _{Ω ve} Dβ

ϕ

∈

ψ

fonksiyonları tanımlansın zayıf türev tanımından

hareketle

( )

( )

( )

1 1 1 , uD dx vdx vD dx wdx α α β α _β α β

ψ

ϕ

ψ

ψ

+ Ω Ω Ω + Ω = − = − = −

∫

∫

∫

∫

bulunur. Teorem 2.8

( )

1,loc

L Ω kümesinde u_m→ olacak şekilde bir u (u_m)∈L_1,loc

( )

Ω fonksiyon dizisi tanımlansın ve bu fonksiyon dizisi için L1,loc

( )

Ω kümesinde

m

D uα → v

olacak şekilde D um L1,loc

( )

α _{∈ Ω}

zayıf türevi mevcut olsun. O zaman D uα = eşitliği v

yazılır. Yani Dα operatörü kapalıdır. Đspat

Zayıf türev tanımından D uα _m için

( )

1 , 0

( )

m m

u Dαηdx α D uα ηdx η C∞

Ω = − Ω ∀ ∈ Ω

∫

∫

olup m→ ∞ için ifadenin limiti alınır ise, bu durumda

( )

1 , 0

( )

uDαηdx α D v dxα η η C∞

Ω = − Ω ∀ ∈ Ω

∫

∫

Teorem 2.9

( )

, , _{p loc}

u v∈L Ω olmak üzere D uα = zayıf anlamda türevdir ancak ve ancak v Dα = güçlü anlamda türevdir. v

Đspat

Dα = , v L_p anlamda güçlü türevi göstersin ve

φ

∈C₀∞

( )

Ω ve K =suppφ olsun. ε > , 0 _{( )} p L u

ψ

− _Ω <

ε

ve ( ) p L Dα

ψ

v

ε

Ω − < olacak şekilde

ψ

∈Cα

( )

K

fonksiyonu tanımlansın. O zaman 1 1 1

p+ = olmak üzere q

( )

( )

(

)

( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

1 1 1 , p q p q q q K K K K K K L _{L L} L L L uD dx v dx D dx dx u D dx v D dx u D v D D α α α α α α α α α α

φ

φ

ψ

φ

ψφ

ψ

φ

ψ φ

ψ

φ

ψ

φ

ε

φ

φ

Ω Ω Ω Ω Ω Ω − − ≤ − − + − − − − ≤ − + − ≤ +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

bulunur.

ε

sayısı keyfi seçildiği için sağ kısım sıfır olmak zorundadır. O yüzden

Dα = zayıf anlamda türevdir. v

Đspatın aksi yönü için Dα = zayıf anlamda türev ve K , Ω bölgesinin v

kompakt bir alt kümesi olsun. Eğer dist K

{

;∂Ω <

}

ε

oluyorsa, bu durumda

( )

J u_ε ∈C∞ K olur ve x∀ ∈ için K

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 1 1 , n y n n x y D J u x D u y dy x y D u y dy x y v y dy J v x α α ε α _ρ ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

ρ

ε

ε

Ω Ω Ω −   = _{ }   −   = − _{ }   −   = _{ }   =

∫

∫

∫

ifadesi elde edilir. Ama Yardımcı teorem 1.7.2 den ( ) ( ) ( ) 0 0, 0, p p p L K L L iken J u u ve D J u v J v v ε α ε ε

ε

Ω Ω → − → − = − →

3. BÖLÜM SOBOLEV UZAYLARI

Bu kısımda Sobolev uzaylarının tanımları ve bazı temel özellikleri ifade edilmektedir. Ayrıca söz konusu bu uzayların çeşitli geometrik özellikleri vurgulanmakta ve verilen farklı Sobolev uzaylarının birbirleri ile olan ilişkileri hakkında çeşitli sonuçlar ortaya konulmaktadır.

Tanım 3.1 (Tamsayı Mertebeli Sobolev Uzayları)

n

Ω ⊂ ℝ bir bölge ve

α

,

α

≤k şeklinde bir çok indisli olsun. k p,

( )

W Ω

Sobolev uzayı aşağıdaki gibi ifade edilir.

( )

{

( )

( )

}

, : , , , k p p p W Ω = u∈L Ω D uα ∈L Ω ∀

α α

≤k k∈ ℤ +

( )

, k p

W Ω Sobolev Uzayı üzerindeki Standart Norm

( ) ( ) ( ) , 1/ , 1 , max , p k p p p L k W p L k D u p u D u p α α α α ∞ Ω ≤ Ω Ω ≤   _ _ ≤ < ∞  =    _{= ∞} 

∑

olup, Standart Yarı Norm

( ) ( ) ( ) , 1/ , 1 , max , p k p p p L k W p L k D u p u D u p α α α α ∞ Ω = Ω Ω =   _ _ ≤ < ∞  = _   _{= ∞} 

∑

şeklinde tanımlıdır.

Doğal sonuç 3.2

Yerel Sobolev uzayı olarak bilinen W_lock p,

( )

Ω uzayı,

( )

{

( )

( )

}

,

, : , , , ,

k p

loc p loc p loc

W Ω = u∈L Ω D uα ∈L Ω ∀

α α

≤k k∈ ℤ , +

şeklinde ifade edilir. Teorem 3.3

( ) ,

k p

W Ω standart normu ile

( )

, k p

W Ω Sobolev uzayı bir normlu uzaydır.

Đspat

Norm olmanın ilk iki koşulu,

( ) ( ) , , k p k p W W u u

λ

_Ω =

λ

_Ω ve

( )

( )

( )

, 0 0 k p W u x u x Ω = ⇔ = ,

şeklindedir. Son koşul olan üçgen eşitsizliği aşağıda gösterilmektedir.

( )

, k p

W Ω Sobolev uzayındaki iki u ve v fonksiyonları için 1≤ < ∞ olmak p

üzere Minkovski eşitsizliğinden hareketle,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 1 1 1 1 , k p p p p p p k p k p p p W L k p _p p p L L k p p p p L L k k W W u v D u D v D u D v D u D v u v α α α α α α α α α α Ω Ω ≤ Ω Ω ≤ Ω Ω ≤ ≤ Ω Ω   + =_ + _   _{ }    ≤ _ + _ _{ }        ≤_{ } +_{ }     = +

∑

∑

∑

∑

bulunur.

Teorem 3.4

( )

, k p

W Ω Sobolev uzayı bir Banach uzaydır.

Đspat

( )

um ,

( )

, k p

W Ω uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Buradan doğal olarak

(

D um

)

α _{dizisi de}

( )

p

L Ω uzayında bir Cauchy dizisi olur. L_p

( )

Ω uzayı bir tam uzaydır. Yani bu uzaydaki her Cauchy dizisi yakınsaktır. Doğal olarak D uα _m→u_α olacak şekilde bir

( )

u_α dizisi ve ayrıca u_m→ olacak şekilde bir u u∈L_p

( )

Ω

fonksiyonu vardır. Şimdi zayıf türev tanımından hareketle

α

≤k olmak üzere,

( )

( )

lim lim 1 1 , m m m m uD dx u D dx D u dx u dx α α α _α α α

η

η

η

η

Ω →∞ Ω Ω →∞ Ω = = − = −

∫

∫

∫

∫

olur. Buradan

( )

1 , uDα

η

dx α u_α

η

dx Ω = − Ω

∫

∫

ifadesi elde edilir. Sonuç olarak D uα =u_α bulunur ve Sobolev uzayının tanımı gereği u W∈ k p,

( )

Ω olduğu görülür.

Teorem 3.5

( )

, k p

W Ω Sobolev uzayı bir ayrılabilir uzaydır. ispat

( )

, k p

V Ω uzayı vektör-değerli fonksiyonlardan oluşan,

( )

{

( )

( )

}

, : , k p p k V v v v_{α α} ve v_α L

α

k ≤ Ω = = ∈ Ω ≤ ,

( ) ( ) , k p p V L k v v α Ω Ω ≤ =

∑

,

şeklinde olsun. 1≤ < ∞ için p L_p

( )

Ω uzayı ayrılabilir bir Banach uzaydır. Ayrıca

( )

, k p

V Ω uzayı tanımı gereği Lp

( )

Ω uzayının sonlu sayıda elemanından oluşan bir

yapıdır. Doğal olarak k p,

( )

V Ω uzayı da ayrılabilir bir Banach uzaydır.

( )

, k p

W Ω uzayından Vk p,

( )

Ω uzayına bir J transformasyonu tanımlı olsun.

( )

( )

(

)

, , : k p k p , k J W V Ju D uα α≤ Ω → Ω =

olarak tanımlanan söz konusu operatör normu korur yani

( ) ( ) , k p p V L Ju _Ω = u _Ω ,

şeklindedir. Ayrıca terslenebilirdir. O halde J bir lineer operatördür. Aynı zamanda bir izometridir. J operatörünün görüntü kümesi olan RanJ =Vk p,

( )

Ω uzayı,

( )

, k p

V Ω uzayında bulunan ve v=

( )

v_{α α≤k} , v_α∈L_p

( )

Ω şeklinde ifade edilen

vektör-değerli fonksiyonların oluşturduğu bir lineer uzaydır. Doğal olarak Vk p,

( )

Ω

uzayı Vk p,

( )

Ω uzayının kapalı bir alt uzayıdır. Böylece Vk p,

( )

Ω uzayı Vk p,

( )

Ω

uzayı ile birlikte ayrılabilirdir, çünkü ayrılabilir bir uzayın herhangi bir altuzayı da ayrılabilirdir.

J operatörü izometrik olduğundan Wk p,

( )

Ω uzayı Vk p,

( )

Ω uzayı ile tanımlanabilir. Buradan Wk p,

( )

Ω uzayı 1≤ < ∞ için ayrılabilirdir. p

Tanım 3.6 2

p= olsun. Bu durumda Wk p,

( )

Ω ve W_lock p,

( )

Ω Sobolev uzayları

( )

( )

( )

( )

,2 , k k k p k loc loc W H W H Ω ≡ Ω Ω ≡ Ω

olarak ifade edilirler. Daha özel olarak p= ve 2 k = alınırsa 0 L2

( )

Ω =H0

( )

Ω

olarak gösterilir. Ayrıca söz konusu Hk

( )

Ω Sobolev uzayı

( )

, k_{( )}

( )

( )

, ,

( )

k H k u v D u x D v x dxα α u v H α Ω _Ω ≤ =

_∫

∑

∈ Ω ,

iç çarpımı ile bir Hilbert uzaydır. Tanım 3.7

( )

, 0

k p

W Ω uzayı C₀∞

( )

Ω uzayının Wk p,

( )

Ω normuna göre kapanışıdır. Doğal olarak 0,

( )

k p

W Ω uzayı Wk p,

( )

Ω uzayının bir alt uzayıdır. Bu ifadeyi daha açık bir şekilde ifade etmek gerekirse; ,

( )

0 k p W Ω uzayı, k p,

( )

W Ω uzayında bulunan ve 1 k

α

≤ − olacak şekildeki her

α

sayısı için ∂Ω sınırında D u xα

( )

=0 koşulunu sağlayan fonksiyonların kümesidir.

Bir önceki tanımda verildiği gibi k= için 0 W0, p

( )

Ω =L_p

( )

Ω ve

( )

( )

0, 0 p p W Ω =L Ω şeklindedir ve k∀ için

( )

( )

( )

, , 0 k p k p p W Ω ⊂W Ω ⊂L Ω olmaktadır.

Tanım 3.8 (Reel Sayı Mertebeli Sobolev Uzayları)

n

Ω ⊂ ℝ , k≥ bir tamsayı ve 0

σ

∈

( )

0,1 olmak üzere s= + olsun. Bu k

σ

taktirde Reel Sayı Mertebeli Ws p,

( )

Ω Sobolev uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır.

( )

( )

( )

(

)

, , / : , , s p k p p n p D u x D u y W u W L k x y α α σ+

α α

 −    Ω =_ ∈ ∈ Ω × Ω ∀ = _ −     ,

Bu uzayda Standart Norm

( ) ( )

( )

( )

, , 1/ , s p k p p p p p n W W k D u x D u y u u dxdy x y α α σ α + Ω Ω _Ω×Ω =  ₋    = +  −  

∑ ∫



şeklinde olup, Ws p,

( )

Ω Sobolev uzayı bu norm ile bir Banach uzaydır.

Ayrıca p∈

(

1,∞

)

için bu uzay yansımalıdır. Yine p= için 2

( )

,2

( )

s s H Ω ≡W Ω uzayı

( )

, _Hs_{( )}

( )

, _Hk_{( )}

(

( )

( )

)

(

2 _n

( )

( )

)

, k D u x D u y D v x D v y u v u v dxdy x y α α α α σ α + Ω Ω _Ω×Ω = − − = + −

∑ ∫

iççarpımı ile bir hilbert uzaydır. Tanım 3.9

0

s≥ olmak üzere reel mertebeli W₀s p,

( )

Ω Sobolev uzayı, C₀∞

( )

Ω uzayının

( ) ,

s p

W Ω standart normuna göre kapanışıdır.

( )

, 0

s p

W Ω Sobolev uzayının tanımlanması ile negatif sayı mertebeli Sobolev uzayı elde edilebilmektedir.

Tanım 3.10 0 s≥ ve 1 1 1 p+ p′ = olsun. Bu durumda

( )

, s p W− ′ Ω uzayı W₀s p,

( )

Ω Sobolev

uzayının dual uzayı olmaktadır. Yine özel olarak s

( )

s,2

( )

H− Ω ≡W− Ω ifadesi

yazılabilmektedir.

Đleriki kısımlarda H−1

( )

Ω Sobolev uzayı H₀1

( )

Ω uzayının duali olarak alınmaktadır. Böylece H−1

( )

Ω uzayının elemanları H01

( )

Ω uzayında tanımlı birer

sınırlı lineer fonksiyoneldir. Buradan

( )

1 0

u H için M u

∀ ∈ Ω ℓ ≤ ,

eşitsizliği yazılabilir. Ayrıca ℓ fonksiyonunun normu

( ) ( )

( )

( ) 1 1 1 0 0 sup H u H H u u − _Ω ∈ Ω _Ω = ℓ ℓ , olarak tanımlıdır.

Doğal olarak L₂

( )

Ω uzayının her f elemanı

( )

(

)

1 0 , , u H için f u fudx Ω ∀ ∈ Ω =

_∫

bağıntısı ile aynı zamanda H−1

( )

Ω uzayının da bir elemanıdır.

Bazı durumlarda örneğin f ∈H−1

( )

Ω /L₂

( )

Ω olduğunda; L₂

( )

Ω ve H₀1

( )

Ω

dual uzayları arasında

(

f u,

)

fudx

Ω

=

_∫

,

iççarpımı yazılabilmektedir.

( )

( )

1 0 0 1 i d i x i u H için u u u dx Ω =   ∀ ∈ Ω = _ + _ 

∑



∫

ℓ ℓ ℓ ,

olacak şekilde ℓ ℓ₀, ,...,₁ ℓ fonksiyonları vardır. Sonuç olarak _d

0 1 , d i i i D Dx = = −

∑

ℓ ℓ ℓ

bulunur. Buradan da L₂

( )

Ω fonksiyonlarının differansiyellerinden f ∈H−1

( )

Ω

fonksiyonları elde edilir.

Tanım 3.11 (Bir Bölgenin Sınırında Tanımlı Sobolev Uzayları) 0

k ≥ bir tamsayı,

α

∈

( )

0,1 , p∈ ∞

[

1,

)

ve s∈

[

0,k+

α

]

olsun. Bir Ω bölgesinin sınırının yerel bir gösterimi ∀i=1, 2,...,I için

(

i, i

)

{

(

i, i

)

: d i

(

1, 2,..., d 1

)

}

B x r x B x r x g x x x ₋

∂Ω ∩ = ∈ = ,

şeklinde tanımlansın.

Burada i=1, 2,...,I için D_i ⊆ ℝ bölgeleri n−1 g fonksiyonlarının tanım _i

kümeleri olduğu kabul olmak üzere, ∂Ω sınırının her noktası yukarıdaki gibi tanımlı yerel gösterimlerin en az birinde bulunmaktadır. Her i=1, 2,...,I indisi için

( )

, k

i i

g ∈C α D olsun. Burada ∂Ω sınırının sonlu sayıda g D_i

( )

_i alt bölgeye ayrışımına “yol sistemi” denmektedir.

Son olarak s≤ + olmak üzere k

α

Ws p,

( )

∂Ω Sobolev uzayı

( )

{

( )

( )

}

, , 2 : , 1, 2,..., s p s p i i W ∂Ω = u∈L ∂Ω u g ∈W D i= I , olarak tanımlanır. Bu uzayda standart norm

( ) ( ) , max , s p s p i i W _i W D u _∂Ω = u g , olarak ifade edilmektedir.

Ayrıca p= olduğu taktirde 2

( )

( )

,2

s s

W ∂Ω ≡H ∂Ω , olarak yazılmaktadır. Burada s

( )

H ∂Ω bir Hilbert uzaydır. Tanım 3.12

Bir diğer Sobolev uzayı Hk p,

( )

Ω şeklinde gösterilir. Hk p,

( )

Ω Sobolev uzayı ⌢

( )

{

, _{( )}

}

, : k p k p _k W C Ω = u∈C u _Ω < ∞ , biçiminde gösterilen ⌢

( )

, k p

C Ω uzayının _Wk p, _{( )Ω} normuna göre tamlanışıdır.

(C0

( )

∞ _Ω uzayı ⌢

( )

, k p

C Ω uzayının bir alt uzayıdır). Hk p,

( )

Ω Sobolev uzayı güçlü türev kavramından yararlanılarak

( )

( )

( )

( )

( )

⌢

( )

, , : , , var p p p k p k p m m u L D u L k ve L uzayında H D u D u şeklinde u C dizisi dır α α α

α

 ∈ Ω ∈ Ω ≤ Ω    Ω =   → ∈ Ω     ,

şeklinde ifade edilmektedir. Bu tanımda verilen Dα türevi güçlü manada türevdir. Not 3.13

( )

, k p

H Ω uzayının geometrik özelliklerinin daha iyi anlaşılabilmesi için

( )

( )

( )

, , k p k p H Ω =C∞ Ω ∩W Ω ve

( )

( )

( )

, , 0 0 k p k p H Ω =C∞ Ω ∩W Ω

gösterimlerinin bilinmesi oldukça faydalı olmaktadır.

Yukarıda verilen bilgilerden Hk p,

( )

Ω ⊂Wk p,

( )

Ω olduğu açıktır. Gerçekte

( )

( )

, ,

k p k p

H Ω =W Ω şeklindedir, ancak şu an için bu eşitlik açık değildir. Çünkü

( )

, k p

H Ω uzayının elemanları için L_p

( )

Ω topolojisine göre D uα _m→D uα olacak şekilde fonksiyonlar bulunabilirken güçlü türev tanımından dolayı Wk p,

( )

Ω uzayı için bu şekildeki limit ancak Lp loc,

( )

Ω topolojisinde mevcuttur.

( )

( )

, ,

k p k p

H Ω =W Ω

olduğunu ispatından önce Birimin parçalanışı kavramı ifade edilmelidir. Yardımcı teorem 3.14 (Birimin parçalanışı)

n

E⊂ ℝ ve ,G U açık kümelerinin bir ailesi olmak üzere E⊂

(

∪U U: ∈G

)

olsun. O zaman negatif olmayan 0≤ f x

( )

≤1 şeklindeki f ∈C₀∞

( )

Ω

fonksiyonlarından oluşan ve aşağıdaki koşulları sağlayan bir F kümesi vardır. i) f∀ ∈ için suppfF ⊂Uolacak şekilde bir U∈ vardır. G

ii) K⊂ kompakt ise o zaman sonlu sayıda fE ∈ fonksiyonu için F

suppf∩K kümesi boştan farklıdır. iii) x∀ ∈ için E

( )

0 f F f x ∈ =

∑

dır.

iv) Ω ler sınırlı ve _i Ω ⊂_i E olsun. Eğer G= Ω Ω

{

₁, ₂,...

}

şeklinde ise

{

1, 2,...

}

F = f f ve suppf_i ⊂ Ω olacak şekildeki F kümesi oluşturulabilir. _i

Yukarıda belirtilen F kümesi G örtüsüne birimin parçalanışı olarak adlandırılır.

Đspat

E kümesi kompakt olsun. O zaman U_i ⊂G olmak üzere için

1 N i i E U = ⊂

∪

olacak şekilde pozitif bir N tamsayısı vardır. Şimdi

1 N i i E E = ⊂

_∪

olacak şekilde i i E ⊂U kümeleri seçilsin ve i i i

g =J_ε

χ

E için suppg_i⊂U_i olacak kadar küçük 0

i

ε

> sayıları alınsın. O zaman gi C0

( )

Ui ∞

∈ olup E nin komşuluğunda _i g_i > 0 olur. 1 N i i g g = =

∑

ve 1 supp N i i i S g U =

= ⊂

∪

olarak gösterilsin. Eğer dist E S

(

,∂

)

>

ε

ise, bu durumda E kümesin de

i

k =J_ε

χ

S ifadesi sıfıra eşittir ve

( )

n

h= + ∈g k C∞ ℝ şeklindedir. Ayrıca ℝ de n h> ve E de h g0 = olur.

Buradan : i i i g F f f h   =_ = _

  olması yeterlidir. E açık bir küme olarak seçilirse

(

)

1 : , i i E E B x dist x E i   = ∩ ∩_ ∂ ≥ _  ,

biçiminde yazılır. Böylece E kompakt ve _i

1 N i i E E = ⊂

∪

olduğu görülür. G ifadesi, _i U∈ ve G E₀ =E₋₁= ∅ olmak üzere U∩

(

iç E

(

_i+1

)

−E_i−2

)

formundaki açık kümelerin bir koleksiyonunu göstersin. G kümesinin elemanları _i E_i −iç E

(

_i−1

)

kompakt kümesi için birer açık örtüdürler, o yüzden sonlu sayıda eleman ile F _i

birimin parçalanışlarına sahiptirler.

( )

( )

1 _i i g F s x g x ∞ = ∈ =

∑ ∑

,

alınır ise, bu durumda; sadece sonlu sayıda koşulun var olduğu ve E de s> olduğu 0 görülür. Eğer F kümesi

( )

( )

( )

, 0 , g x x E s x f x x E  ∈  =   _∉  ,

şeklindeki fonksiyonların bir kümesi olarak seçilirse ve eğer E bir açık küme değil ise, bu durumda U kümelerinin bileşimleri olan her birimin parçalanışı aynı zamanda E içinde bir birimin parçalanışıdır.

Tanım 3.15 (Meyers ve Serrin)

( )

( )

, , k p k p H Ω =W Ω . Đspat

( )

( )

, , k p k p

H Ω ⊂W Ω olduğu Hk p,

( )

Ω tanımından açıktır. ∀ ∈u Wk p,

( )

Ω ve 0

ε

∀ > için ( ) , p L k D wα D uα

α

ε

Ω ≤ − < ,

olacak şekilde bir w∈C⌢k p,

( )

Ω fonksiyonu bulunabilir ise, bu durumda

( )

( )

, ,

k p k p

W Ω ⊂H Ω , olduğu gösterilir. m≥ için 1

(

)

1 : , , m x x m dist x m   Ω =_ ∈ Ω ∂Ω > _  ,

ve Ω = Ω = ∅ olsun. _{0 1}

{ }

ψ

m , Yardımcı Teorem 3.3 ün iv) nolu maddesindeki gibi,