Genelleştirilmiş türevli gamma halkaları

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

GENELLEŞTİRİLMİŞ TÜREVLİ GAMMA HALKALARI

Tuba ACET

DANIŞMAN

Yrd. Doç.Dr. Mehmet Ali ÖZTÜRK

ADIYAMAN 2011

TEZ ONAYI

Tuba ACET tarafından hazırlanan “GENELLEŞTİRİLMİŞ TÜREVLİ GAMMA HALKALARI” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Adıyaman Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Danışman: Yrd. Doç. Dr. M. Ali ÖZTÜRK

Jüri Üyeleri:

Doç. Dr. Ramazan GÜRBÜZ

Adıyaman Üniversitesi, İlköğretim Matematik Eğitimi A. B. D.

Yrd. Doç. Dr. M. Ali ÖZTÜRK

Adıyaman Üniversitesi, Matematik A. B. D.

Yrd. Doç. Dr. Mustafa UÇKUN

Adıyaman Üniversitesi, Matematik A. B. D.

Yukarıdaki sonucu onaylarım

Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Enstitü Müdürü

i ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GENELLEŞTİRİLMİŞ TÜREVLİ GAMMA HALKALARI Tuba ACET

Adıyaman Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. M. Ali ÖZTÜRK

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusu tanıtılmış ve bu konu ile ilgili çalışmalar hakkında kısa bilgi verilmiştir.

İkinci bölümde, bu tezi anlamada kolaylık sağlayacak genel bilgiler verilmiştir. Ayrıca bu bölümde gamma halkalarında türev çeşitleri ve bu konudaki çalışmaların kısa bir özeti verilmiştir.

Üçüncü bölümde ise asal gamma halkalarında türev ve ( , )   türev çalışılarak gamma halkasının yapısı hakkında bazı sonuçlar verilmiştir.

Temmuz 2011, 37+v sayfa

Anahtar Kelimeler: Halka, Asal halka, Türev, Gamma halkası, Asal gamma halkası, türev, ( , )   türev.

ii ABSTRACT Master Thesis

GAMMA RINGS WITH GENERALIZED DERIVATIONS Tuba ACET

Adıyaman University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Asst. Prof. Dr. M. Ali ÖZTÜRK

This thesis consists of three chapter. The first chapter of the thesis are introduced and given brief information about the studies on this subject.

In the second part of this thesis could assist in understanding the information given. Also in this section, gamma rings types of derivative are given a brief summary of studies on this issue until today.

In the third chapter by working in prime gamma rings derivation and ( , )   derivation, some results about the structure of gamma ring are given.

July 2011, 37+v pages

Key Words: Ring, Prime ring, Derivation, Gamma ring, Prime gamma ring, derivation, ( , )   derivation.

iii TEŞEKKÜR

Bu çalışmada bana yardımcı olan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali ÖZTÜRK’e teşekkür ederim. Çalışmamız süresince desteklerini ve yardımlarını esirgemeyen Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi Sayın Arş. Gör. Ebubekir İNAN’a şükranlarımı bir borç bilirim. Ayrıca benden manevi desteklerini esirgemeyen değerli eşim Arş. Gör. Bilal Eftal ACET’e teşekkür ederim.

Tuba ACET

iv İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER iv SİMGELER DİZİNİ v 1. GİRİŞ 1 2. ÖN BİLGİLER 2 2.1 Genel Bilgiler 2 2.2 Gamma Halkaları 10

3. GENELLEŞTİRİLMİŞ TÜREVLİ GAMMA HALKALARI 21

3.1 Asal Gamma Halkalarında  Türev 21

3.2 Asal Gamma Halkalarında ( , )   Türev 25

KAYNAKLAR 35

ÖZGEÇMİŞ 37

v SİMGELER DİZİNİ

M Asal   halkası

Z M asal  halkasının merkezi

C_ M asal  halkasının genişletilmiş merkezi CharM M asal   halkasının karakteristiği

d   türev

1 1. GİRİŞ

1964 yılında, halka kavramından daha genel olan gamma halka kavramı Nobusawa tarafından ortaya konulmuştur. Barnes (1966) yaptığı çalışmada, Nobusawa anlamında gamma halka kavramının tanımındaki koşulları biraz zayıflatmış ve gamma halka kavramını yeniden tanımlamıştır. Daha sonra Luh (1969), Kyuno (1978), Soytürk (1994), Öztürk ve Jun (2000) gibi birçok matematikçi gamma halkalarının ve asal gamma halkalarının yapısını incelemeye devam etmiş, halkalar teorisindeki sonuçlar ile ilgili bazı genelleştirmeler yapmışlardır.

Türevli halkalarda ilk çalışma 1957 yılında Posner tarafından yapılmıştır. Türev kavramından daha genel olan yarı-türev, zayıf   türev,   türev ve ( , )   türev gibi farklı türev tanımları Bergen (1983), Chang (1984), Hirano ve Tominaga (1985) tarafından verilmiş ve türevli asal (yarı-asal) halkalar için yapılan bazı çalışmalar, yukarıda ifade edilen türevler için genelleştirilmiştir.

Türevli gamma halkalarda ilk çalışma 1987 yılında Jing tarafından yapılmış ve bu çalışmadan sonra halkalarda türev çeşitleri ile ilgili yapılan çalışmalar gamma halkalarında yapılmıştır.

Bu tezin amacı, yukarıda ifade edilen çalışmalar, kaynaklar kısmında verilen diğer çalışmalar ve özellikle Uçkun ve Yenigül (1997), Öztürk, Jun ve Kim (2002) deki çalışmalar dikkate alınarak Barnes anlamında asal gamma halkalarda  türev ve

( , )  türevlerle ilgili yeni sonuçlar elde etmektir.

2 2. ÖN BİLGİLER

Bu bölümde tezin okunabilirliğini kolaylaştırmak için bazı temel tanımlar ile yapılacak ispatlarda çok sık kullanılacak olan gamma halkaların bazı özellikleri alındıkları kaynaklarla birlikte verilecektir.

2.1 Genel Bilgiler

Tanım 2.1.1 G boş olmayan bir küme olsun. G nin sıralı herhangi iki elemanına G

nin bir tek elemanını karşılık getiren bir eşlemeye G de bir ikili işlem adı verilir ve

: G G G

  

( , )a b a b biçiminde gösterilir.

Tanım 2.1.2 G boş olmayan bir küme ve " " da G de bir ikili işlem olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa ( , )G  cebirsel yapısına grup adı verilir:

i) Her a b c, , G için, (a b )  c a (b c ) (birleşme özelliği),

ii) Her aG için, a e   e a a olacak şekilde bir tek eG vardır (birim eleman özelliği),

iii) Her aG ye karşılık, a a 'a a' e olacak şekilde bir tek a'G vardır. (ters eleman özelliği).

( , )G  bir grup olsun. Her a b, G için a b  b a koşulunu da sağlayan ( , )G  ikilisine bir değişmeli grup (komütatif grup) adı verilir.

Eğer G " " işlemine göre bir grup ve değişmeli ise G ye toplamsal değişmeli grup adı verilir ve ( , )G  ile gösterilir.

( , )G  bir grup ve aG, n   ise

... 0 ( ) ( ) ... ( ) G a a a na a a a                , , , 0 0 0 n ise n ise n ise   

3

Tanım 2.1.3 ( , )G  bir grup ve S de G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer S

nin kendiside " " işlemine göre bir grup ise S ye G nin bir alt grubu denir ve SG ile gösterilir.

Tanım 2.1.4 ( , )G  grubunun



_{ }

e ,



ve ( , )G  alt gruplarına bu grubun aşikâr alt grupları denir. Bir ( , )G  grubunun aşikâr alt gruplarından farklı alt grupları varsa o zaman bu alt gruplara G nin öz alt grupları denir.

Tanım 2.1.5 R boş olmayan bir küme, " " ve " " R de tanımlı ikili işlemler olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa ( , , )R   üçlüsüne bir halka adı verilir:

i) ( , )R  değişmeli bir gruptur,

ii) Her a b, R için (a b c )  a b c(  ),

iii) Her a b c, , R için a b c(  )    ve (a b a c a b c )     . a c b c

Tanım 2.1.6 ( , , )R   bir halka olsun. Her ,a bR için a b  b a ise R ye değişmeli (komütatif) halka denir. Her aRiçin a1_R 1_R olacak şekilde 1a _RR var ise R ye birimli halka denir.

Tanım 2.1.7 R bir halka ve a b, Rolsun. a 0 ve b 0 iken a b 0 (b a 0) oluyorsa a ya bir sol (sağ) sıfır bölen denir. Eğer a hem sol hem de sağ sıfır bölen ise a ya sıfır bölen denir.

Tanım 2.1.8 R bir halka olsun. Eğer her a b, R için ab 0olduğunda a 0 veya

0

b  ise o zaman R ye sıfır bölensiz halka denir.

Tanım 2.1.9 R birimli bir halka ve aR olsun. c a 1_R (a b 1_R) olacak biçimde

cR (bR) varsa a ya sol (sağ) tersinir eleman denir. Eğer a elemanı hem sol hem de sağ tersinir ise a ya tersinir eleman denir.

Tanım 2.1.10 R ve S birer halka olsun. f R: S fonksiyonu her a b, R için

( ) ( ) ( )

f a b  f a  f b ve f a b(  ) f a( ) f b( ) özelliklerini sağlıyorsa f ye halka homomorfizması denir.

4

f halka homomorfizması bire-bir ise f ye monomorfizma, örten ise f ye

epimorfizma, bire-bir ve örten ise f ye izomorfizma denir f R: R izomofizma ise f ye R nin otomorfizması denir.

Tanım 2.1.11 f R: S bir halka homomorfizması olsun. Bu durumda



| ( ) 0_S



Kerf  rR f r  ve Im f 

_

sS f r| ( )s, r R

_

kümelerine sırasıyla f nin çekirdeği ve görüntüsü denir.

Tanım 2.1.12 R bir halka olsun. Her aR için na 0_R olacak şekilde en küçük n pozitif tamsayısına R nin karakteristiği denir ve charRn ile gösterilir.

Tanım 2.1.13 R bir halka ve  U R olsun. Buna göre i) Her a b U,  için a b U  ,

ii) Her a U ve her rR için a r U (r a U  ) ise U ya R nın sağ (sol) ideali denir.

Ayrıca U, R nin hem sağ hem de sol ideali ise U ya R nin ideali denir.

Tanım 2.1.14 R halkasının Rve

 

0_R ideallerine aşikâr (trivial) idealler denir. U, R

nin U (0 )_R ve U R olacak şekilde bir ideali ise U ya öz (proper) ideal denir.

Tanım 2.1.15 R bir halka ve a b, R olsun. R nin bir P ideali için a b P iken

aP veya bP oluyorsa P ye R nin asal ideali denir.

Tanım 2.1.16 R bir halka ve 0_R A A₁, ₂,...,A_n R nin idealleri olsun. Buna göre 1, 2,..., n A A A ideallerinin toplamı A₁A₂...A_n 



a₁a₂...a_n|a_iA i_i, 1, 2,...,n



ve A A₁, ₂,...,A ideallerinin çarpımı _n 1 2 1 2 1 ... ... | , 1, 2,..., , 1, 2,..., n n j j mj ij j j A A A a a a a A j m i n       _       _ 



 biçiminde tanımlanır.

5 1 | , , n i i i i i A B a b a A b B n Z     _     _ 



 biçiminde tanımlanır.

Eğer A

_{ }

a ise A B  a B ve B

_{ }

b ise A B  A b biçiminde gösterilir. Yani



1 2

 

1 2



1 | , ... | ( ... | n i i n i n i i a B a b b B n Z ab ab ab b B a b b b b B     _    _          



 

_

ab b| B

_

ve A b 

_

ab a| A

_

biçiminde olur. Bu durumda

_{1 2 1 2} 1 ... ... | ,1 n n m i i j A A A a a a a A i n       _       _ 





dir. Her i için Ai  A ise

1 2 ...

n n

A A  A  A ile gösterilir.

Teorem 2.1.1 R bir halka ve P , R nin bir ideali olsun. Buna göre aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) P asal idealdir.

ii) a b, R için aRbP ise aP veya bP dir.

iii) a , b R nin esas idealleri olmak üzere abP ise aP veya

bP dir.

iv) U , V R nin sağ (sol) idealleri olmak üzere, UV P ise U P veya V P dir.

Tanım 2.1.17 R halka olsun. Her a b, R olmak üzere aRb 0_R olduğunda a 0

veya b 0 oluyorsa R ye asal halka denir.

Tanım 2.1.18 V boş olmayan bir küme olsun. Buna göre F bir cisim olmak üzere

:V V V

   : F V V

( , )u v uv ( , )k v kv işlemleri tanımlansın. Bu durumda

i) ( , )V  değişmeli grup,

ii) u v V,  ve  k F için k u( v)kukv, iii)  u V ve k k₁, ₂F için (k₁k u₂) k u₁ k u₂ ,

6

iv)  u V ve k k₁, ₂F için (k k u_{1 2}) k k u₁( ₂ ), v)  u V ve 1_F F için 1_F   , u u

özellikleri sağlanırsa V ye F üzerinde bir sol vektör uzayıdır denir.

Tanım 2.1.19 R bir halka ve A toplamsal değişmeli grup olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanırsa A ya bir sol R modül denir ve _RA ile gösterilir.

i) a b, A ve  r R için r a b(  )rarb, ii)  a A ve r s, R için (rs a) rasa, iii)  a A ve r s, R için r sa( )( )rs a. Ayrıca, eğer R birimli olduğunda

iv)  a A için 1_R  a a

özelliğini sağlarsa o zaman A ya unitary R modül denir.

Burada :R A R, ( , )r a ra biçiminde (skaler ile) çarpma işlemi tanımlanmış ve benzer olarak, :A R A, ( , )a r ar biçiminde çarpma işlemini tanımlayarak yukarıdaki özelliklerin sağlandığı gösterilebilir. Bu durumda A ya bir sağ R modül denir ve A ile gösterilir. R A hem sağ hem de sol R modül ise o zaman A ya

R modül denir ve _RA ile gösterilir. _R

Uyarı 2.1.1 R bir değişmeli halka ve A bir sol R modül ise A ya sağ R modül yapısı vardır denir.

Lemma 2.1.1 R bir halka ve A bir R modül olsun. Bu durumda R ve A nın toplamsal birimleri sırasıyla 0_R ve 0_A ise her aA ve her rR için aşağıdaki özellikler sağlanır.

i) 0r _A 0_A, ii) 0_Ra 0_A, iii) (r a)  (ra),

7

Tanım 2.1.20 R bir halka ve A bir R modül ve B, A nın boş olmayan bir alt kümesi olsun. Buna göre

i) B, A nın toplamsal alt grubu,

ii) Her rR ve her bB için rbB ise o zaman B ye A nın alt modülü denir.

R bir bölüm (division) halkası ise o zaman alt modüle alt vektör uzayı denir. Her modül kendisinin alt modülüdür. Ayrıca, birimli bir halka üzerindeki bir unitary modülün bir alt modülü de unitary modüldür.

Tanım 2.1.21 R bir halka ve A, B de R modüller olsun. Buna göre f A: B fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlarsa f ye R modül homomorfizması denir: Her a b, A ve her rR için

i) f a b(  ) f a( ) f b( ), ii) f ra( )rf a( ).

Eğer R bir bölüm (division) halkası ise f R modül homomorfizmasına lineer dönüşüm denir. f bire-bir ise f ye R modül monomorfizması, f örten ise f ye

R modül epimorfizması, f bire-bir ve örten ise f ye R modül izomorfizması denir.

Uyarı 2.1.2 R bir halka ve A, B de R modüller olmak üzere f A: B R modül homomorfizması olsun. Buna göre

i) f bir R modül izomorfizmasıdır ancak ve ancak gf 1_A ve fg 1_B olacak biçimde bir g B: A R modül homomorfizması vardır.

ii) f bir R modül monomorfizmasıdır ancak ve ancak Kerf {0 }_R dır.

Tanım 2.1.22 R bir halka olsun. x y, R için



x y,



xyyx çarpımına Lie çarpım veya özel olarak x ile y nin komütatörü denir.

Komütatörün özellikleri:

i)



x yz,



y x z



,

 

 x y z,



, ii)



xy z,



x y z



,

 

 x z y,



,

8

iii) _x y z,



,



__y z x, ,





__z x y,



,



_0 ( Jacobi özdeşliği ). Tanım 2.1.23   A, R halkasının bir alt kümesi olmak üzere

i) a b, A için a b A

ii) a b, A için



a b,



ab ba A ise A ya R nin Lie alt halkası denir.

Lemma 2.1.2 R bir asal halka olsun. Buna göre her rR için b a r 



,



0 ise b 0

veya aZ R( ) dir.

İspat. Her rR için b a r 



,



0 da r yerine ry yazılırsa her r y, R için b a ry 



,



0

olur. Böylece 0b a ry



,



br a y



,



b a r y



,



olur ve dolayısıyla her rR için



,



0

br a y  elde edilir. Bu durumda bR a y 



,



0 dır. R asal halka olduğu için b 0

veya



a y ,



0 olur. Her yR için



a y,



ayya0 ise her yR için ay ya

olacağından aZ R( ) dir.

Tanım 2.1.24 (Posner 1957) R bir halka ve d R: R bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa d ye bir türev denir. Her x y, R için

i) d x( y)d x( )d y( ), ii) d xy( )d x y( ) xd y( ).

R bir halka ve aR olsun. Bu durumda d_a:RR d x, _a( )



a x,



axxa biçimde tanımlanan dönüşüm, her x y, R için







,



( ) ( ) a d xy  a xy a xy  xy a axayxaya 



a x,

 

 a y,



d xa( )da( )y ve



 







( ) , , , ( ) ( ) a a a d xy  a xy  a x yx a y d x yxd y

olduğundan bir türevdir.

Tanım 2.1.25 R bir halka ve aR olsun. Bu durumda d_a:RR,





( ) ,

a

9

Tanım 2.1.26 (Bergen 1983) R bir halka ve f R nin bir toplamsal dönüşümü olsun. Her x y,  için R

i) f xy( )  f x g y( ) ( )xf y( )  f x y( ) g x f y( ) ( ), ii) f g x( ( ))  g f x( ( ))

olacak biçimde R nin bir g dönüşümü varsa o zaman f ye R nin g ile belirlenmiş yarı-türevi denir.

Her türev bir yarı-türevdir, ama tersi daima doğru değildir. Çünkü I R nin özdeşlik dönüşümü ve g( I), R nin bir homomorfizması olmak üzere, f  g şeklinde I tanımlanan f fonksiyonu bir yarı-türev olmasına rağmen bir türev değildir.

Tanım 2.1.27 (Chang 1984) R bir halka ve  R nin bir otomorfizması olmak üzere,

:

d RR toplamsal dönüşümü her x y,  için ( )R d xy  d x( ) ( ) y  xd y( ) şartını sağlarsa d ye R nin   türevi denir.

Tanım 2.1.28 (Hirano ve Tominaga 1985)R bir halka ve  ve  da R nin birer halka otomorfizması olmak üzere, d R: R toplamsal dönüşümü her x y,  için R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d xy  d x  y  x d y şartını sağlarsa d ye R nin ( , )   türevi denir.

,

U R asal halkasının sıfırdan farklı bir ideali olsun U dan R içine olan tüm sol

R modül homomorfizmalarının kümesi M olsun.



( , ) :

M  U f f U R sol R-modül homomorfizması



üzerinde aşağıdaki şekilde tanımlanan "" bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

''( , )U f ( , ) :V g R nin sıfırdan farklı bir W UV ideali üzerinde f g dir.'' M kümesinin bir ( , )U f elemanının denklik sınıfı ( , )U f ile gösterilsin. M kümesinin denklik sınıflarının kümesi Q R ile gösterilsin. _l( ) Q R kümesi _l( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) U f V g U V f g U f V g VU fg     

10

işlemleri ile R (_a:RR, _a( )x xa biçiminde tanımlananR-modül

homomorfizması yardımıyla R, Q R içine gömülebilir) halkasını kapsayan bir asal _l( ) halkadır.

Tanım 2.1.29 (Passman 1989) Yukarıda oluşturulan Q R halkasına sol Martindale _l( ) kesirler halkası denir. Benzer şekilde, sağ Martindale kesirler halkası Q R de _r( ) tanımlanabilir. Q R (_r( ) Q R ) halkasının merkezine _l( ) R asal halkasının genişletilmiş merkezi (extended centroid) denir ve C ile gösterilir. Z R( )C olduğu açıktır. Üstelik, bir R asal halkasının genişletilmiş merkezi bir cisimdir.

2.2 Gamma Halkaları

Modül endomorfizmalarının halkası matematiğin birkaç dalında çok önemli rol oynar. Modül endomorfizmalarının kümesi fonksiyonlardaki toplama ve bileşke işlemleri ile bir halkadır. Bu fikrin bir genelleştirilmesi gibi bir modülden başka bir modüle tanımlanan homomorfizmaların kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Fakat bir halkadaki gibi çarpma işlemi tanımlı olmadığından bu küme halka olamaz. Gerçekten;

A ve B birer R  modül olmak üzere

M =Hom_R(A,B)={ f | f :AB bir R  modül homomorfizması} N =Hom_R(A,B)={g|g:B A bir R  modül homomorfizması} kümeleri tanımlansın. Böylece

+:MM M

(f,g) f g:AB

a(f g)(a) f(a)g(a)

işlemi tanımlanır, fakat

 :MM M

(f,g) f g:AB

a(f g)(a) f(a)g(a)

11

Bu işlemin tanımlanabilmesi için fonksiyonlardaki bileşke işlemini kullanmalıyız. Dolayısıyla M nin elemanları f f1, 2, f ve 3 N nin elemanları g g olmak üzere 1, 2

 :MNM M

( , ,f g f_{1 2}) f gf_{1 2}:AB

a(f gf_{1 2})( )a  f g f a₁( ( ₂( ))) işlemi iyi tanımlı olur ve buradan

3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 ) ( ) ( ) (f g f g f  f g f g f  f g f g f yazılabilir.

Tanım 2.2.1 (Nobusawa 1964) Elemanları a,b,c,... olan M toplamsal grup ve elemanları   , , ,... olan başka bir  toplamsal grup verilsin. Buna göre

M M

M 

 : ve :M (a,,b)ab (,a,)a

işlemleri ile aşağıdaki özellikler sağlanırsa o zaman M ye   halkası denir. Her a a a b b b, ₁, ₂, , ,_{1 2}M ve her      için , ₁, ₂

i) (a₁a₂)ba₁ba₂b, a(₁ ₂)ba₁ba₂b, a(b₁b₂)ab₁ab₂,

ii) (ab)ca(bc)a(b)c,

iii) a0 ve b0 iken ab0 ise  0 dır.

Tanım 2.2.2 M bir   halkası olsun. M nin sıfırdan farklı a elemanı için 0

 a

a olacak biçimde bir sıfırdan farklı    varsa o zaman M ye yarı basit denir.

M nin sıfırdan farklı a ve b elemanı için ab0 olacak biçimde bir sıfırdan farklı    varsa M ye basit denir.

Örnek 2.2.1 D bir bölüm halkası olsun. Buna göre; _{n m,}



_ij | _ij



n m D a a D     _{ }  , _{m n,}



_ij | _ij



m n D a a D     _{ }  ve M D_{n m,} ,  D_{m n,}

12 : MM M



_aij_{ } , bij_



_aij__bij__aij bij_ :      



__{ij } , _ij



__ij___ij__ij_ij_ : M M M     



_aij_{ } , ij_{ } , bij_



_aij_{ }  ij _{ } bij_   : M   



__{ij } , a_{ij } , _ij_



__{ij }  a_ij _{ } _ij_

Çözüm. Öncelikle işlemler ile M ve  değişmeli gruplar olduğunu gösterelim.

 Her _a_ij _{ }, b_ij M _a_ij b_ij_M olduğundan kapalılık özelliği sağlanır.  Her _a_ij _{ }, b_ij _{ }, c_ij _ M



_a_ij__b_ij



_c_ij__a_ij_



_b_ij__c_{ij midir?} 





_a_ij_b_ij



_c_ij



_a_ijb_ij_



_c_ij_



aij bij



cij   _   _





ij ij ij a b c   _   _





ij ij ij a  b c    _{ }_  _





ij ij ij a b c       _{ } _{ }_{ } olur ve birleşme özelliği sağlanır.

 Her _a_ij _ M,   _0_ij_M vardır öyleki

ij ij ij a   a a             dır. Gerçekten _a_ij_0_ij_a_ij0_ij__a_ij_ olduğu açıktır.

 Her _a_ij _ M  _a_ij_M vardır öyleki _a_ij 



_a_ij



 _a_ij__a_ij_ dır.

13

 Her _a_{ij } , b_ij M _a_ij_b_ij_a_ij b_ij_b_ija_ij_b_ij_a_ij_ olduğundan _a_ij_b_ij_b_ij_a_ij_{ olur. Böylece (}M  değişmeli gruptur. , ) Benzer biçimde ( , )  cebirsel yapısı da değişmeli grup olduğu gösterilebilir. Şimdi de M nin   halkası olduğunu gösterelim.

, , , , ij ij ij ij ij A_a _ B_b _ C_c _  _ _  _ _{ olmak üzere} A B C, , M ,     , olarak alalım. 1) (A B C )  A C B C midir?





(A B C )  _a_ij_b_ij _{ }_ij _{ }c_ij_ _a_ijb_ij _{ }_ij _{ }c_ij_

_

_{ik ik}

_

_{kj ij} k a b  c     _  _{  } 



 _{ik kl ik kl ij} l k a  b  c     _{ }  _{ }   

 

 (( _{ik kl}) _ij ( _{ik kl}) _ij l k a  c b  c    _{ }  _   

 





_

_{ik kl}

_

_lj





_

_{ik kl}

_

_lj



l k k a  c b  c    _{ }  _   

 









_{ik kl}



_lj







_{ik kl}



_lj



l k l k a  c b  c      _{  } _{ }     

 

 





_

_{ik kl}

_

_lj





_

_{ik kl}

_

_lj



l k l k a  c b  c       _{  }_{  }     

 

 

 

 A C B C 2) (A B )C A B C(  ) midir?





(A B )C            aij ij bij ij cij

_

_{ik kl}

_

_{lj ij ij} l k a  b  c                  

 





_

_{ik kl}

_

_lt



_{tj ij} t l k a  b  c                 

  



14







_{ik kl}



_lt



_tp



_pj p t l k a  b  c        _   _       

   







_ik

_

_{kl lt}

_

_tp



_pj



p t l k a  b  c        _   _       

   







_{ik kl}



_{lt tp}



_pj





p t l k a  b  c        _   _       

   







_{ik kl}



_{lt tp pj}







p t l k a  b  c        _   _       

   

 A B C(  ) (A B )CA B( )C midir?





(A B )C           aij ij bij ij cij



_{ik kl}



_{lj ij ij} l k a  b  c                  

 







ik kl



lt



tj ij t l k a  b  c                 

  













ik kl lt tp



pj p t l k a  b  c        _   _       

   







_ik



_{kl lt}



_tp



_pj



p t l k a  b  c        _   _       

   







_ik



_{kl lt tp}



_pj





p t l k a  b  c        _   _       

   

 A B( )C

3) Her sıfırdan farklı A B, M alalım ve    olsun. A B  ise   mıdır?

ij ij ij

A B _{      } a    b  





a_ik



_{kl lj}b











 



15

Matrislerin eşitliğinden



_



a_ik



_{kl lj}b







0_ij olur. Bu durumda











_

a_ik _{kl lj}b



0_ij 0 ( 0) ij kl lj ij ij a  b a    0 ( 0) kl ljb ij bij     0 ij ij    olup, dolayısıyla  __ij_0 dır.

Tanım 2.2.3 (Barnes 1966) Eğer M ={a,b,c,...} ve {,,,...} toplamsal gruplar olmak üzere, her a b c, , M ve her     için aşağıdaki koşullar sağlanırsa o zaman ,

M ye   halkası denir. i) abMdir. ii) ( a b)c=acbc, a(  ) babab, a(b )c abac, iii) (ab)ca(bc).

M bir   halkası ise her a b, M ve her  için Tanım 2.2.3 ten

0ba b0 a00_M dır. Çünkü 0_Mb(0_M 0_M)b0_Mb0_Mb yazılabilir ve M

b

M 

0 olduğundan 0_MbM olacak şekilde her elemanın toplamsal tersi vardır. Dolayısıyla

0_Mb0_Mb0_Mb0_Mb0_Mb 0_M 0_M 0_Mb

0_M 0_Mb olur.

Barnes, Nobusawa’ya göre   halkasında bulunan koşulları azaltarak daha kullanışlı hale getirmiştir.

Bundan sonra, aksi belirtilmedikçe M   halkası Barnes anlamında   halkası olarak ele alınacaktır.

16

Tanım 2.2.4 U, M   halkasının bir toplamsal alt grubu olmak üzere

( )

U M U M U U koşulu sağlanırsa o zaman U ya M nin sağ (sol) ideali denir.

U hem sağ hem de sol ideal ise o zaman U ya M nin ideali denir.

Tanım 2.2.5 M   halkasının bir a elemanı için a yı içeren M nin bütün ideallerin arakesitine a tarafından üretilen esas ideal denir ve a ile gösterilir.

Tanım 2.2.6 U ve V M nin herhangi iki ideali olmak üzere U V P olduğunda U P veya V P ise P idealine M   halkasının asal ideali denir. Sıfır ideali asal olan M   halkasına asaldır denir.

Tanım 2.2.7 M ve ₁ M birer   halkası olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  ya ₂

1

M   halkasından M   halkasına bir   homomorfizma denir. 2

i)  , M den 1 M içine grup homomorfizması, 2

ii) Her x y, M1 ve her    için  (x y)( )x ( )y .

Tanım 2.2.8 M ve N birer   halkaları ve  bir   homomorfizma olsun. Buna göre K {xM | ( ) x 0 }_N şeklinde tanımlanan kümeye   homomorfizmasının çekirdeği denir.

Tanım 2.2.9 M bir   halkası ve A toplamsal değişmeli grup olsun. M  A A, ( , , )m  a m a çarpma işlemi tanımlansın. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa A ya bir sol M modül denir.

i)  m M, a b, A ve    için m(ab)m a m b , ii) m m₁, ₂M ,  a A ve    için (m₁m₂)am a₁ m a₂ , iii) m m₁, ₂M ,  a A ve  ,   için m₁(m₂a)(m m₁ ₂)a. Benzer biçimde sağ M modül tanımlanabilir.

Tanım 2.2.10 M bir   halkası, A ve B M modüller olsun. f A: B dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlarsa f ye sol M modül homomorfizması denir. Her a a₁, ₂A, her mM ve her   için

17 i) f a( 1a2) f a( )1  f a( )2 ,

ii) f m a(  1)m f a ( )1 .

Benzer şekilde sağ M modül homomorfizmi de tanımlanabilir.

Teorem 2.2.1 M bir   halkası olsun. Aşağıdaki koşullar birbirine denktir. i) M bir asal   halkasıdır.

ii) Eğer a b, M ve a M b  0 ise o zaman a 0 ya da b 0dır.

iii) a  b0 olacak şekilde M nin esas idealleri a ve b ise o zaman a 0 ya da b 0 dır.

iv) U V (0) olacak şekilde M nin sağ (sol) idealleri U ve V ise o zaman

0

U   ya da V 0 dır.

Tanım 2.2.11 (Jing 1987) M bir   halkası ve d M: M bir fonksiyon olsun. Buna göre d aşağıdaki koşulları sağlarsa o zaman d ye M   halkası üzerinde bir

  türev denir.

i) Her x y, M için d x( y)d x( )d y( ),

ii) Her x y, M ve    için d x y(  )d x( )yx d y ( ).

Lemma 2.2.1 (Soytürk 1994) M bir asal   halkası, U M nin sıfırdan farklı bir ideali ve d M nin   türevi olsun. Eğer her aM için a d U ( )0

( ( )d U  a 0 ) ise o zaman a 0 veya d 0 dır.

Teorem 2.2.2 (Soytürk 1994)M bir asal   halkası ve M nin merkezi Z olsun. i) Eğer a b c, , M ve     ise o zaman ,

_

a b,

_

a b b a

     olmak üzere



a b c,



a



b c,





a c,



b a c b( ) a (c b)

  

           dır.

ii) Eğer a b c, , M ve     için , aZ ise o zaman



a b,



a b b a

     olmak üzere



a b c,



a



b c,



 

   dır.

Lemma 2.2.2 (Soytürk 1994) M bir asal   halkası, U M nin sıfırdan farklı bir ideali ve aM olsun. Eğer U a (0) (a U (0)) ise o zaman a 0 dır.

18

Tanım 2.2.12 M bir asal   halkası ve  ,  da R nin bir halka otomorfizması olmak üzere, d R: R toplamsal dönüşümü her x y, M ve her   için

d x y(  )d x( )( )y ( )x d y( )

şartını sağlayan bir dönüşüm ise d ye M nin ( , )  türevi denir.

M bir asal   halkası ve M M M olmak üzere,



( ,U f U) ( 0 )

  

M M nin ideali ve f U: M sağ M modül homomorfizma

_

kümesi tanımlansın. M üzerinde "" bağıntısı aşağıdaki gibi tanımlansın: ''( , )U f ( , ) V g dır  W(0 ) UV vardır öyle ki Wde f g dir .''

M bir asal   halkası olduğundan "" bağıntısı M üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Böylece M denklik sınıflarına ayrılır.





ˆ _{: ( , ) ( , )}

f  g V M U f  V g olmak üzere denklik sınıfları ( , )U f  fˆ ile, bütün denklik sınıflarının kümesini de Q ile gösterilsin.

Q üzerinde '' '' işlemi, f g U: V M bir sağ M modül homomorfizması olmak üzere

fˆgˆ :Cl U f( , )Cl V g( , )Cl U( V f, g)

biçiminde tanımlansın. Bu işlem ile Q bir toplamsal değişmeli gruptur. M M M ve bir asal   halkası olduğundan ( 0 )M M , M nin idealidir. 1_M:M M M birimsel M modül homomorfizmi alınsın. Bu durumda her 0  için

0

M M   dır. Böylece 1_M:M M M sıfırda farklı M modül homomorfizmadır.



(M M,1_M ) 0



N   _   kümesi üzerinde " " bağıntısı aşağıdaki biçimde tanımlansın.

''(M M ,1_M)(M M ,1_M)dır. W:M M (0 ) M M M M vardır öyle ki Wde 1_MP 1_Mdır.''

" ",N üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Böylece " " , N yi denklik sınıflarına ayırır.

(M M ,1_M)nın denklik sınıfını Cl M M(  ,1_M)ˆ ve " " ya göre N deki bütün denklik sınıflarının kümesi ˆ ile gösterilsin.

19





ˆ : 1 :_M M M M M M( ,1_M) (M M,1_M)        ve



ˆ

  

ˆ ˆ :  0  0       dır.

Burada 0 :M M M, x 0 dönüşümü olmak üzere ˆ0 : (Cl M M , 0) şeklindeki denklik sınıfıdır.

ˆ

 üzerinde '' '' işlemi, her 0, 0   için; 

ˆ ˆ :Cl M M(  ,1_M)Cl M M(  ,1_M)Cl M M(  M,1_M 1_M) biçiminde tanımlansın. Bu durumda ( , ) ˆ toplamsal değişmeli gruptur.

Şimdi, V M M U   



_

v_i_im n_i _{i i}u v_{i i}V u, _iU m n, _i, _iM ve _i, _i 



M nin bir ideali ve

f1Mg V M M U:    M , ( 1f Mg)





viim ni i iui



 f





g v( )i im ni i iui



dönüşümü bir sağ M modül homomorfizması olmak üzere:

( , , ) : Q     QQ ( , , )fˆ ˆ gˆ  fˆˆgˆ Cl U f Cl M M( , ) (  ,1_M)Cl V g( , ) Cl V M M U f( , 1 g) M  _   

dönüşümü tamamlansın. Bu işlemle Q birimli bir ˆ  halkasıdır.

Her 0  için  ( )ˆ ile tanımlı :  ˆ dönüşümü bir izomorfizmdir. Böylece Q ˆ  halkası bir   halkasıdır. M nin sabit bir a elemanı ve herhangi    için _a :M M , _a( )x a x dönüşümünü alınsın. Bu durumda  bir sağ _a

M modül homomorfizmidir. Yani, _a Q dur. Böylece :M Q, ˆ

( )a a Cl M( , a )

   dönüşümü tanımlanılır.  bir monomorfizmadır. O halde, M

Q nun bir alt halkasıdır. Q ya M nin kesirler   halkası denir. Kolaylık sağlamak için qˆQ yerine qkullanacağız.

Lemma 2.2.3 (Öztürk ve Jun 2000) M bir asal   halkası olsun. Her bir 0 q Q için q U( )M olacak şekilde M nin 0U ideali vardır.

Lemma 2.2.4 (Öztürk ve Jun 2000) M bir asal   halkası olsun. Bu durumda M nin Q kesirler   halkası asal   halkasıdır.

20

Tanım 2.2.13 (Öztürk ve Jun 2000) M   halkası ve Q , M nin kesirler   halkası olsun. Buna göre C_:



gQ g f  f g , f Q,  kümesine



M   halkasının genişletilmiş merkezi denir.

Lemma 2.2.5 (Öztürk ve Jun 2000) M   halkası ve C_, M nin genişletilmiş merkezi olsun. Bu durumda 0a_i, 0b_iM için

_

a_i _ix b_{i i} 0, her xM ve her

, i i

    ise o zaman a ler (i b ler) Ci  üzerinde lineer bağımlıdır.

Sonuç 2.2.1 (Öztürk ve Jun 2000) M   halkası ve C_, M nin genişletilmiş merkezi olsun. Buna göre a b, M için a x b  b x a  , her xM ve her     ise o , zaman ba, her   olacak biçimde bir C vardır.

Teorem 2.2.3 (Öztürk ve Jun 2004) M   halkası ve Q , M nin kesirler   halkası olsun. Buna göre Q   halkası aşağıdaki özellikleri sağlar.

i) Herhangi bir qQ için q(U ) M_q  (veya q U _qM,   ) olacak şekilde q

U F ideali vardır.

ii) Herhangi bir UF ve qQ için q U ( ) (0) (veya    ve bir  UF

için q U _q (0)) ise o zaman q  dır. 0

iii) Eğer ve :U M sağ M modül homomorfizması ise o zaman her

u U için ( )u q u( ) (veya ( )u q u , U ve   ) olacak şekilde bir qQ vardır.

iv) :W Q bir sağ M modül homomorfizması ve W, Q nun bir alt modülü ( bir (M M alt bi-modül ) olsun. Bu durumda , ) W, ( )u M olacak şekilde

M   halkasının bir U idealini kapsar ve AnnU  Ann W_r ise o zaman herhangi bir ( ) 0

r

aAnn W için q a  (veya herhangi bir aAnn W_r ve   q a ) ve herhangi bir

b W için ( )b q b( ) ( veya herhangi bir b W ve    için ( )b q b ) olacak şekilde qQ elemanı vardır.

21

3. GENELLEŞTİRİLMİŞ TÜREVLİ GAMMA HALKALARI

Bu bölümde M M  M olacak biçimde M bir asal   halkası, Z M nin merkezi, C_ M nin genişletilmiş merkezi ve her a b,  M , her    için



a b,



_{ }a b b a   olarak alınacaktır.

3.1 Asal Gamma Halkalarında  Türev

Lemma 3.1.1 M karakteristiği 2 olan bir asal   halkası, : M M bir örten   halka homomorfizması ve d ile ₁ d de ₂ d_i d_i (i 1, 2) olacak şekilde M nin sıfırdan farklı türevleri olsun. Her xM için

1 2( ) 0

d d x  (3.1)

ise o zaman her xM ve her   için d x₂( )d x₁( ) olacak şekilde bir C_ vardır.

İspat: x y, M ve   alınsın. (3.1) de x yerine x y yazılırsa her ,x yM ve her    için 1 2 0d d x y( (  )) d d x₁( ₂( )( )y x d y ₂( )) d d x₁( ₂( )( ))y d x d y₁(  ₂( )) d d x₁( ₂( )2( ))y d x₂( )d₁( ( )) y d x₁( )(d y₂( ))x d d y ₁( ₂( ))

dır. Yukarıdaki son eşitlikte (3.1) kullanılırsa her x y, M ve her    için

2 1 1 2

0d x( )d ( ( )) y d x( )d ( ( )) y

olur. d₂ d₂ ve charM 2 olduğundan her x y, M ve her    için 2( ) 1( ( )) 1( ) ( 2( ))

d x d  y d x  d y (3.2)

elde edilir. (3.2) denkleminde x yerine x z yazılırsa her ,x yM ve her    için d x z₂(  ) d₁( ( )) y d x z₁(  ) (d y₂( ))

2( ) ( ) 1( ( )) 2( ) 1( ( )) 1( ) ( ) 2( ( )) 1( ) 2( ( )) d x  z d  y x d z d  y d x  z d  y x d z d  y bulunur. (3.2) denklemi yukarıdaki eşitlikte kullanılırsa

22 2( ) ( ) 1( ( )) 1( ) ( ) 2( ( ))

d x  z d  y d x  z d  y (3.3) dir.  örten   homomorfizması olduğundan her ,x yM ve her    için

2( ) 1( ) 1( ) 2( )

d x  m d w d x  m d w (3.4) olur. (3.4) denkleminde w yerine x yazılırsa

2( ) 1( ) 1( ) 2( )

d x  m d x d x  m d x (3.5) elde edilir. d x  ise o zaman Sonuç 2.2.1 den her ₁( ) 0 xM ve her   için

2( ) ( ) 1( )

d x  xd x olacak şekilde ( ) x C_ vardır. Böylece d x₁( )0d y₁( ) ise

1 1

( ( ) y ( ))x d x( ) z d y( ) 0 (3.6) dır. M bir asal   halkası ve d y  olduğundan₁( ) 0 ( ( ) y ( ))x d x₁( ) elde edilir. 0 Lemma 2.2.1 kullanılırsa her x y, M için ( )y ( )x elde edilir. Buradan  , M nin elemanlarına bağlı değildir. O halde d x  ile her ₁( ) 0 xM ve her   için

2( ) 1( )

d x d x olacak şekilde C_ vardır. Diğer taraftan d x  ise o zamanda ₁( ) 0 2( ) 0

d x  dır. Bu nedenle her xM ve her   için d x₂( )d x₁( ) dır.

Önerme 3.1.1 M karakteristiği 2 olan bir asal   halkası, : M M bir örten   halka homomorfizması ve d de d d olacak şekilde M nin sıfırdan farklı türevi olsun. Bu durumda her xM için

( )

d x Z (3.7) ise o zaman her m z, M ve her    için d m( )( )md z( ) olacak şekilde

( )m C

   vardır veya M değişmelidir.

İspat: (3.7) eşitliğinden d x( )Z, her x y, M ve her    için

[ ( ), ]d x y _ 0 (3.8)

dır. (3.8) denkleminde x yerine x z yazılırsa

[ (d x z y ), ]_ d x z(  )yy d x z (  )

d x( )( )z yx d z ( )yy d x ( )( )z y x d z  ( ) (3.9) elde edilir.  örten   halka homomorfizması olduğundan

23 0d x( ) ( m y y m )d z( ) ( x y y x )

d x( ) [ , ] m y _ d z( ) [ , ] x y _ (3.10)

olur. (3.10) denkleminde x yerine ( )d x yazılırsa 2

0d ( ) [ , ]x  m y _ d z( ) [ ( ), ] d x y _ (3.11)

dır. (3.11) denkleminde (3.8) eşitliği kullanılırsa 2

( ) [ , ] 0

d x  m y _  (3.12)

elde edilir. (3.12) eşitliğinde m yerine m z yazılırsa 2

0d (x z ) [m z y , ]_

d2( )x  m [ , ]z y _ d2( ) [ , ]x  m y _z

olur ve dolayısıyla (3.12) den

0d2( )x  m [ , ]z y _ (3.13)

elde edilir. M asal   halkası olduğundan her x y z m, , , M ve her    için 2

( ) 0

d x  veya [ , ]z y _ 0 (3.14)

olur. (3.14) denkleminden her xM için d2( )x 0 ise x yerine x z yazılırsa her , , x z mM ve her    için 2 0d (x z ) d d x z( (  )) d d x( ( )( )z x d z ( )) d2( )x 2( )z d x( )d( ( )) z d x( )( ( ))d z x d 2( )z olur ve dolayısıyla (3.14) ten

0d x d( ) ( ( )) z d x( )( ( ))d z elde edilir. Hipotezden her x m, M ve her    için

( ) ( ) ( ) ( )

d x d m d m d x (3.15)

dır. (3.15) de x yerine x n yazılırsa her , ,x m nM ve her     için , d x n d m(  ) ( )d m d x n( ) (  )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d x n d m x d n d m  d m d x  n d m  x d n olur ve dolayısıyla d m( )Z olduğundan (3.15) den