IE DEKİ WİNTGEN İDEAL YÜZEYLERİN BİR n
KARAKTERİZASYONU
ERTUĞRUL AKÇAY
T. C.
ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
IE DEKİ WİNTGEN İDEAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU n
Ertuğrul AKÇAY
Prof. Dr. Kadri ARSLAN (Danışman)
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
BURSA–2013 Her Hakkı Saklıdır
TEZ ONAYI
Ertuğrul AKÇAY tarafından hazırlanan “IE deki Wintgen İdeal Yüzeylerin Bir n Karakterizasyonu” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSAN TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman : Prof. Dr. Kadri ARSLAN
Üye: Prof. Dr. Kadri ARSLAN İmza
Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı
Üye: Prof. Dr. Rıdvan EZENTAŞ İmza
Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Anabilim Dalı
Üye: Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN İmza
Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Ali Osman DEMİR Enstitü Müdürü
U.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;
tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,
başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,
atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,
kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
../../….
İmza
Ertuğrul AKÇAY
i ÖZET Yüksek Lisans Tezi
IE DEKİ WİNTGEN IDEAL YÜZEYLERİN BİR KARAKTERİZASYONU n
Ertuğrul AKÇAY Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Kadri ARSLAN
Bu çalışmada E deki yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları yardımıyla bazı 4 sınıflandırmaları verilmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde çalışmanın ilerideki bölümlerinde kullanılan tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde E deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerin 3 Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Dördüncü bölümde E4 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K, ortalama eğriliği H ve normal eğriliği KN ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda K ve H ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve KN ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K, KN ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir.Son bölümde ise Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır.
Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, Ortalama eğrilik, Normal eğrilik, Süper konformal yüzey, Wintgen ideal yüzey
2013, V + 39 sayfa.
ii ABSTRACT
MSc Thesis
A CHARACTERIZATION OF WINTGEN IDEAL SURFACES IN IEn Ertuğrul AKÇAY
Uludağ University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Kadri ARSLAN
In this thesis, a characterizations of surfaces in E with the help of coefficients of the 4 first and second fundamental form are given. This thesis consist of five chapters. First chapter is introduction. In the second chapter it is given some basic definitions and theorems which will be use in the other chapters. In the third chapter Euler equation of a surfaces in E are considered. 3 In the fourth chapter surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E are considered. Some curvature equations of 4 K, KN ve H are obtained. In the final chapter Chen surfaces in the 4-dimensional Euclidean space E 4 are considered. It has been proved that every Chen surfaces are Wintgen ideal surface of E . 4
Key words: Gaussian curvature, Mean curvature, Normal curvature, Superconformal surface, Wintgen Ideal surface.
2013, V + 39 pages.
iii
ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR
Yüksek Lisans eğitimim boyunca sağlam bir bilgi birikimine sahip olmamı sağlayan, yüksek lisans eğitimin süresince matematiksel ufkumu genişlemesine ve bu tez çalışmasının ortaya çıkışından son haline gelene kadar gerek akademik bilgisiyle gerek de manevi desteğiyle yanımda olduğunu hep gösteren hocam Sayın Prof. Dr. Kadri ARSLAN’a teşekkürü bir borç bilirim. Bu alanda her anlamda doğru, kendinden emin ve bilgili olmamda en büyük pay saygıdeğer hocama aittir. Ayrıca bilgi birikimiyle bana birçok konuda yardımcı olan, her zaman fikirlerine başvurduğum Araştırma görevlisi Betül Bulca’ya teşekkür ederim. Bununla birlikte beni bugünlere getiren ve desteklerini üzerimden hiç esirgemeyen kıymetli anne ve babama ayrıca teşekkür ederim.
Ertuğrul AKÇAY .. / .. / ….
iv
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET... i
ABSTRACT ... ii
ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ... iii
İÇİNDEKİLER ... iv
SİMGELER DİZİNİ ... v
1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ... 2
2.1. Giriş ... 2
2.2. E de Yüzeyler ... n 2 3. E DEKİ YÜZEYLERİN EULER EŞİTLİĞİ... 3 10 3.0. Giriş ... 10
3.1. E3 de Kve H nın Arasındaki Eşitlikler ... 10
4. E4 DE WİNTGEN IDEAL YÜZEYLER ... 16
4.0. Giriş ... 16
4.1. E4 de Kve H nın Arasındaki Eşitlikler ... 16
4.2. E4 de Kve KN nın Arasındaki Eşitlikler ... 22
4.3. E4 de K, KNve H nın Arasındaki Eşitlikler ... 25
4.3.1. Süperkonformal Yüzeyler ... 25
4.3.2. Wintgen Ideal Yüzeyi ... 30
5. E4 DEKİ CHEN YÜZEYLERİ... 33
5.0. Giriş ... 33
5.1. E4DEKİ CHEN YÜZEYLERİ ... 33
KAYNAKLAR ... 37
ÖZGEÇMİŞ ... 39
v
SİMGELER DİZİNİ
Simgeler Açıklama
En n-boyutlu Öklit uzayı
Eğri
i Frenet eğrilikleri
, Norm
S3 3-küre
X Regüler yama
M Yüzey
C Diferansiyellenebilme )
(M M nin teğet vektör alanlarının uzayı )
(M
M nin normal vektör alanlarının uzayı )
, (M R
C M den R ye diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi
M üzerinde indirgenmiş Riemann koneksiyonu
~
M~
üzerinde Riemann koneksiyon
Normal koneksiyon
Van-der Waerden –Bortolotti koneksiyonu
, Lie parantez operatörü, (M)üzerinde iç çarpım fonksiyonu A Şekil operatörü
M
Tp p noktasında teğet uzay M
Tp p noktasında normal uzay H
Ortalama eğrilik vektörü H Ortalama eğrilik
k
cij M nin ikinci temel form katsayıları
k
ij M nin Christoffel sembolleri
k
hij M nin ikinci temel form katsayıları
Ni Normal vektörleri
K Gauss eğriliği
KN Normal eğrilik
R M nin eğrilik tensörü R~
M~
nin eğrilik tensörü
R NM üzerindeki eğrilik tensörü
1 1. GİRİŞ
Bu çalışmanın amacı E deki bazı yüzeylerin 1. ve 2. temel form katsayıları yardımıyla 4 bazı sınıflandırmalarını vermektir.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.
İlk bölüm giriş bölümüdür.
İkinci bölüm temel kavramlardan oluşmaktadır. İkinci kısımda E deki yüzeylerin 4 ikinci temel formu, ortalama eğrilik fonksiyonu, Gauss ve normal eğrilikleri tanımlanmış ve bunlarla ilgili bazı temel özelikler verilmiştir.
Üçüncü bölümde E deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği 3 K ve ortalama eğriliği H
ile ilgili eşitlikler incelenmiştir.
Dördüncü bölümde E4 deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeyleri Gauss eğriliği K, ortalama eğriliği H
ve normal eğriliği KN ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda Kve H ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve KN ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K, KN ve H ile ilgili eşitlikler incelenmiştir.
Son bölümde ise Chen yüzeylerinin süperkonformal oldukları ispatlanmıştır.
2 2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Giriş
Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlar, teorem ve tanımlar verilmiştir. E de regüler bir yama ile verilen yüzeylerin ikinci temel formları, n Gauss, ortalama ve normal eğrilikleri ile ilgili temel kavramlar ve bazı sonuçlar verilmiştir.
2.2. En de Yüzeyler
M yüzeyi X :U E2En yaması ile verilsin. M nin p X(u,v) noktasındaki teğet uzayı Tp(M), Xu ve Xv ile gerilen bir vektör uzayıdır. Böylece M nin birinci temel formu
2 2 2Fdudv Gdv Edu
I (2.2.1) eşitliği ile hesaplanır. Burada
v v
v u
u u
X X G
X X F
X X E
, , ,
, ,
(2.2.2)
olup , bir Öklid iç çarpımıdır. Bununla birlikte (2.2.2) yardımıyla
2 2
F EG X
Xu v (2.2.3)
elde edilir. Eğer Xu Xv 0 ise X( vu, ) yaması regülerdir denir.
Şu andan itibaren aksi söylenmedikçe X( vu, ) yaması regüler kabul edilecektir ve
2
2 W
F
EG (2.2.4)
ile gösterilecektir.
Tanım 2.2.1: M En yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. E n de Riemann koneksiyonu ~
ile gösterilsin. Bu durumda her X,Y(M) lokal vektör alanları için M yüzeyi üzerindeki indirgenmiş Riemann koneksiyonu olmak üzere M nin ikinci temel form dönüşümü
3
~ , ) , (
; ) ( )
( ) (
: M M M h X Y Y Y
h X X (2.2.5)
biçiminde tanımlanır. Bu dönüşüm iyi tanımlı olup simetrik ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.5) eşitliği Gauss denklemi olarak bilinir (Chen 1973).
Tanım 2.2.2: M En yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilsin. X(M) ve )
(M
için M nin şekil operatörü dönüşümü
M M M AX X X
A ~
; ) ( ) ( ) (
: (2.2.6)
biçiminde tanımlanır. Burada AX , ya karşılık gelen şekil operatörü ve ise )
(M
normal demete ait normal koneksiyondur. Herhangi X,YTp(M) için
X,Y h(X,Y),
A (2.2.7)
dir. Bu operatör self-adjoint ve 2-lineerdir. Literatürde (2.2.6) eşitliği Weingarten denklemi olarak bilinir (Chen 1973).
Ayrıca X,Y,ZTp(M) için M yüzeyinin ikinci temel formu h nın kovaryant türevi )
, ( ) , ( ) , ( )
, )(
(Xh Y Z Xh Y Z h XY Z h Y XZ dir. Böylece Codazzi denklemi
) , )(
( ) , )(
(Xh Y Z Yh X Z (2.2.8)
dir (Chen 1973).
Tanım 2.2.3: M En yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilsin. X( vu, ) yamasının 2.
mertebeden kısmi türevleri Xuu,Xuv,Xvv ve normal vektör alanları N1,N2,,Nn2 olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları
k vv k
k uv k
k uu k
N X c
n k N
X c
N X c
,
2 1
, ,
, ,
22 12 11
(2.2.9)
şeklinde tanımlanır (Mello 2003).
Tanım 2.2.4: M yüzeyi X :U R2En regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun.
Bu durumda M nin Christoffel sembolleri (ijk 1i, j,k2)
4 ) (
2 2 )
( 2 2
) (
2 )
( 2
) (
2 2 )
( 2
2
2 2
2 22 1
22
2 2
2 12 1
12
2 2
2 11 1
11
F EG
FG FF EG
F EG
FG GG GF
F EG
FE EG F
EG FG GE
F EG
FE EE EF F
EG
FE FF GE
u v v
v u v
v u u
v
u v u v
u u
(2.2.10)
biçiminde tanımlanır. Burada 211 121 ve 212 122 dir (Gray 1993).
Önerme 2.2.5: M yüzeyi X :U R2 En regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun.
Bu takdirde Xu,XvTp(M) ve
N1,N2,...,Nn2
Tp(M) için2 2 22 2
2 22 1 1 22 2
22 1
22
2 2 12 2
2 12 1 1 12 2
12 1
12
2 2 11 2
2 11 1 1 11 2
11 1
11
~ ...
~ ...
~ ...
n n v
u v
X vv
n n v
u v
X uv
n n v
u u
X uu
N c N
c N c X X
X X
N c N
c N c X X
X X
N c N
c N c X X
X X
v u u
(2.2.11)
dir (Gray 1993).
Böylece (2.2.11), (2.2.5) ve (2.2.6) denklemleri yardımıyla aşağıdaki sonuçlar elde edilir.
Sonuç 2.2.6: M yüzeyi X :U R2 En regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun.
Bu takdirde
2 2 22 2
2 22 1 1 22
2 2 12 2
2 12 1 1 12
2 2 11 2
2 11 1 1 11
...
) , (
...
) , (
...
) , (
n n v
v
n n v
u
n n u
u
N c N
c N c X X h
N c N
c N c X X h
N c N
c N c X X h
(2.2.12)
dir.
Sonuç 2.2.7: M yüzeyi X :DR2 En regüler yaması ile verilen bir yüzey olsun. Bu takdirde
v u
vv v
v
v u
uv v
u
v u
uu u
u
X X
X X X h
X X
X X X h
X X
X X X h
2 22 1
22
2 12 1
12
2 11 1
11
) , (
) , (
) , (
(2.2.13)
dir.
5
Tanım 2.2.8: X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilen M En yüzeyinin Gauss eğriliği
2 1
2 12 22
2 ( 11 ( ) )
1 n
i
i i
i c c
c W
K (2.2.14) dir (Mello 2009).
Tanım 2.2.9: M En yüzeyi X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde her
X1,X2
Tp(M) ve
N1,N2,...,Nn2
Tp(M) ortonormal bazları için M nin ortalama eğrilik vektörü
2
1 n
i
i iN H
H (2.2.15) dir. Burada
2
1
22 12
2 11 2
2 1 n
i
i i i
i Gc Fc Ec
H W (2.2.16) M nin i.nci ortalama eğriliğidir. Bununla birlikte M nin ortalama eğriliği H H dir (Mello 2003).
Önerme 2.2.10: M yüzeyi X :U R2 En regüler yaması ile verilsin. Böylece
2 1, X
X vektörleri Tp(M) nin ortonormal bir bazı olmak üzere
, ,
,
2 2
1
u u u v v u u
X X X X W X
X E X X X
(2.2.17)
dir. BuradaW= EG F2 olarak daha önce tanımlanmıştır (Bulca 2012).
Önerme 2.2.11: M En yüzeyi X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilsin.
Bu takdirde Tp(M) nin bir
X1, X2
ortonormal bazı için6
) , ( )
, 2 (
) , ( )
, (
) , ( )
, 1 ( ) , (
) , 1 ( ) , (
2 2 2
2 2 2
2 1
1 1
u u v
u v
v
u u v
u u u
X X Eh W X F X W h X F X W h X E X h
X X WEh X F
X W h X X h
X X Eh X X h
(2.2.18)
dir (Bulca 2012).
Tanım 2.2.12: M En yüzeyi X( vu, ) regüler yaması ile verilsin. Tp(M) nin ortonormal bir bazı
X1, X2
olmak üzere M nin ikinci temel form katsayıları, ), ,
( i j k
k
ij h X X N
h (2.2.19)
ile tanımlanır (Chen 1973).
Önerme 2.2.13: M En yüzeyi X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilsin.
Bu takdirde her
X1,X2
Tp(M) ve
N1,N2,,Nn2
Tp(M) ortonormal bazları olmak üzereN
A şekil operatörü matrisi
22 21
12 11
h h
h
AN h ,(1 n2) (2.2.20)
biçimindedir. Burada h ler ikinci temel form katsayıları olup ij
11 2 12 2 22
2 2 22
11 12
2 1 12
11 1
1 11
1 2 ),
, (
1 , ),
, (
, ),
, (
E c Fc F W Ec
N X X h h
Ec c F N W
X X h h
E N c X X h h
(2.2.21)
dir.
İspat. (Bulca 2012).
Önerme 2.2.14: X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilen M En yüzeyinin Gauss eğriliği
1 2 2
det
AN AN ANn
K (2.2.22)
7 dir.
Önerme 2.2.15: X(u,v):(u,v)DR2 regüler yaması ile verilen M En yüzeyinin ortalama eğrilik vektörü
1 1 2 2 2 2
2 1
İz AN N İz AN N İz AN Nn
H n (2.2.23)
dir.
Tanım 2.2.16: M En yüzeyi ile normal demeti T(M) nin eğrilik tensörleri sırasıyla
Z Z
Z Z
Y X
R( , ) XY YX X,Y (2.2.24) ve
) ( ),
, ( ) , ( ) ,
(X Y h X A Y hY A X M
R (2.2.25) şeklinde tanımlanır. Böylece her X,Y,Z,W(M) ve ,(M) için M En yüzeyinin Gauss ve Ricci denklemleri sırasıyla
, ) , ( ), , ( ) , ( ), , ( ,
) ,
(X Y Z W h X W h Y Z h X Z h Y W
R (2.2.26)
A A
X YY X
R( , ), , , (2.2.27) dir (Chen 1973).
Burada
, Lie parantez operatörü
X Y
XY YX Y XY X
M M
M
Y X
, ) , (
) ( ) ( ) ( : ,
biçiminde tanımlanır.
Eğer R =0 ise M yüzeyi düz (flat) normal koneksiyonludur denir.
Tanım 2.2.17: yüzeyi regüler yaması ile verilsin.
Bu takdirde ve Tp(M) uzaylarının ve
N ,1 n2 ortonormal bazları için M nin normal eğriliği2 / 2 1
1
2 2
1, ) ,
(
n
N R X X N N
K
(2.2.28) şeklinde tanımlanır (DeSmet ve ark. 1999).
En
M X(u,v):(u,v)DR2 )
(M
Tp
X1, X2
8
Açıklama 2.2.18: yüzeyi regüler yaması ile verilsin.
Bu takdirde Tp(M) ve Tp(M) uzaylarının
X1, X2
ve
N1, N2
ortonormal bazları için M nin normal eğriliği1 2 2
1, ) ,
(X X N N R
KN (2.2.29) şeklinde tanımlanır (Guadalupe ve Rodriguez 1983).
Önerme 2.2.19: X(u,v) regüler yaması ile verilen bir M E4 yüzeyinin normal eğriliği
111
1 22 2 12 2 22 2 11 1
12 h h h h h
h
KN (2.2.30)
dir .
İspat. (Bulca 2012).
Sonuç 2.2.20: M E4 yüzeyi regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde KN 0 olması için gerek ve yeter şart R 0 olmasıdır.
Önerme 2.2.21: X(u,v) regüler yaması ile verilen bir M E4 yüzeyinin normal eğrilik fonksiyonu
3
1 12 2 11 2 12 1 11 1
22 2 11 2 22 1 11 1
22 2 12 2 22 1
12 ) ( ) ( )
(
W
c c c c G c c c c F c c c c
KN E
(2.2.31)
dir.
İspat. (Bulca 2012).
Sonuç 2.2.22: X(u,v) regüler yaması ile verilen bir M E4 yüzeyinin normal eğrilik fonksiyonu
2
1 ,
2 1 1 2 2 2 1 1
1
j i
ij j i j i
N c c c c g
g
K (2.2.32) dır. Burada
22 21
12 11
g g
g
gij g ,
11 21
12
1 22
g g
g g
gij g ,g det(gij)W2 dır (Aminov 2001).
En
M X(u,v):(u,v)DR2
) 2
, ( : ) ,
(u v u v D R
X
9
Açıklama 2.2.23: Normal eğrilik fonksiyonu KN aynı zamanda Gauss torsiyonu olarak da bilinir. (Detaylı bilgi için bkz. Aminov 2001) KN(p)0 olması için gerek ve yeter şart p M noktasının yarı-umbilik olmasıdır. Her p M noktası yarı-umbilik olan yüzey yarı-umbilik yüzey denir (Gutierrez-Nunez ve ark. 2008).
Tanım 2.2.24: X(u,v) regüler yaması ile verilen bir M E4 yüzeyinin Gauss, normal ve ortalama eğrilikleri
2 0
K KN
H (2.2.33) eşitliğini sağlar ise M ye Wintgen ideal yüzey adı verilir (Wintgen 1979).
Tanım 2.2.25: yüzeyi regüler yaması ile verilsin.
Bu takdirde için Y X H
Y X
h( , ), 2 ,
H
(2.2.34) şartı sağlanırsa M ye pseudo-umbilik yüzey denir (Chen 1972).
Tanım 2.2.26: yüzeyi regüler yaması ile verilsin.
Bu taktirde M nin N ya göre şekil operatörü matrisi ANbirim matrisin bir katı yani I
AN
oluyor ise M ye total umbilik yüzey adı verilir.
En
M X(u,v):(u,v)DR2
En
M X(u,v):(u,v)DR2
10 3. E DEKİ YÜZEYLERİN EULER EŞİTLİĞİ 3
3.0. Giriş
Bu bölümde E de verilen yüzeylerin Gauss ve ortalama eğrilikleri ile ilgili eşitlikler 3 ele alınacaktır.
3.1. E de Verilen Yüzeylerin K ve 3 H ile İlgili Eşitlikler E3
M yüzeyi X(u,v) yaması ile verilsin. Bu takdirde M ye ait asli eğrilikler k1 ve k2 olmak üzere M nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla
2 1k k
K (3.1.1)
) 2(
1
2
1 k
k
H (3.1.2)
dir. (3.1.1) ve (3.1.2) eşitlikleri yardımıyla
2
H
K (3.1.3) Euler eşitsizliği elde edilir (O’Neill 1997). Ayrıca eşitlik durumunda
H 2
K (3.1.4) Euler eşitliği olarak bilinir.
Sabit Gauss ve ortalama eğrilikler ile ilgili sınıflandırma H. Liebmann, tarafından 1900 tarihinde aşağıdaki şekilde verilmiştir;
Teorem 3.1.1:
1) M E3 yüzeyi verilsin. K 0 ve Gauss eğrilikli sabit olsun. Bu takdirde M yüzeyi 1 )
2(
S K küresidir.
2) M E3yüzeyi verilsin. K 0 ve H sabit olsun. Bu takdirde M yüzeyi 1 )
2(
S H küresidir (Liebmann 1900).
11
Önerme 3.1.2: M E3 yüzeyi X(u,v) yamasıyla verilsin. Bu takdirde M yüzeyinin
2
H
K eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart M yüzeyinin total umbilik olmasıdır.
İspat:
: M yüzeyi p M noktasında2
H
K eşitliğini sağlasın. Böylece (3.1.1) ve (3.1.2) eşitlikleri yardımıyla
0 ) (
2 1 2 1 2 2
2 2 2
1 k kk k k
k (3.1.5)
elde edilir. Buradan k 1 k2olduğu görülür. Böylece M E3 yüzeyi total umbiliktir.
: İspat aşikardır.Önerme 3.1.3: M E3 yüzeyi )) sin(
) ( ), cos(
) ( ), ( ( ) ,
(u v g u h u v h u v
X (3.1.6) yaması ile verilen bir dönel yüzey olsun. Bu taktirde
2
H
K olması için gerek ve yeter şart M nin lokal olarak S2 küresinin bir parçası olmasıdır.
İspat. X(u,v) regüler yamasının kısmi türevleri ;
)) sin(
) ( ), cos(
) ( , 0 (
)) cos(
) ( ), sin(
) ( , 0 (
)) sin(
) ( ), cos(
) ( ), ( (
)) cos(
) ( ), sin(
) ( , 0 (
)) sin(
) ( ), cos(
) ( ), ( (
v u h v u h X
v u h v u h X
v u h v u h u g X
v u h v u h X
v u h v u h u g X
vv uv uu v u
bulunur. Böylece M nin birim normal vektörü
)) sin(
) ( ), cos(
) ( ), ( ( ) ( ) (
1
2
2 h u g u v g u v
u h u X g
X X N X
v u
v
u
dır. Ayrıca M nin 1’inci ve 2’nci temel form katsayıları sırasıyla
2 2
2 2
2
2 2
) ( ) (
) ( ) ( 0 ,
) ( ) ( )) 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ,
) ( ,
0 ,
) ( ) ( ,
u h u g
u h u N g
X g
N X f
u h u g u h u g u h u g N X e
u h X X G
X X F
u h u g X X E
vv uv uu
v v
v u
u u
12
bulunur. Böylece F = f = 0 olduğundan M dönel yüzeyi için
v v
N
u u
N
G X X g A
E X X e A
) (
) (
(3.1.7)
dır. Buradan M nin asli eğrilikleri
2 3 2 1 2
) ) ( ) ( (
) ( ) ( ) ( ) (
u h u g
u h u g u h u g E k e
2 1 2 2 2
) ) ( ) ( )(
(
) (
u h u g u h
u g G
k g
elde edilir (O’Neill 1997). Ayrıca k 1 k2 olduğundan 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 3
u h u g u h u g u h u h u h u g u
g (3.1.8)
bulunur. Farzedelimki (u ) (g(u),h(u)) birim hızlı bir eğri olsun. Bu takdirde 1
) ( )
( 2 2
u h u
g dir. Bu iki denklemin ortak çözümünden
) cos(
) ( ), sin(
) ( )
sin(
) ( ), cos(
)
(u u h u u yada g u u h u u
g
elde edilir. Bu da bize dönel yüzeyin lokal olarak bir küre olduğunu gösterir.
Tanım 3.1.4: M E3 yüzeyi X(u,v):DR2 E3 regüler yaması ile verilsin.
v u
v u
X X
X N X
yüzeyin normali olmak üzere
, ) , ( ) , ( ) ,
(u v X u v cN u v
Xc c R (3.1.9) yaması ile tanımlanan yüzeye M nin paralel yüzeyi denir. Bu çalışmada M nin paralel yüzeyini Mc ile gösterilecektir (Görgülü 1989, Gray 1993).
Teorem 3.1.5: M E3 regüler yüzeyinin paralel yüzeyi Mc olsun. M nin şekil operatörü A ve k ,1 k , ile 2 k1*,k2* sırasıyla M ve Mc nin asli eğrilikleri olmak üzere
0 )
det(I cA ise
2 1 1
* i , ck
k k
i i
i
dir (Gray 1993).
13
Teorem 3.1.6: Mc yüzeyi M nin (3.1.9) eşitliği ile tanımlanan paralel yüzeyi olsun. K, H ve K , H sırasıyla M ve M c yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri olmak üzere
2
1 2cH c K
(3.1.10)
2
1 2c H c c H H
(3.1.11)
dır (Carmo 1983).
Teorem 3.1.5 ve Teorem 3.1.6 yardımıyla aşağıdaki sonuç elde edilir.
Teorem 3.1.7: Mc yüzeyi M nin paralel yüzeyi olsun. K, H ve K , H sırasıyla M ve Mc yüzeylerinin Gauss ve ortalama eğrilikleri olmak üzere
0 )
(
H cK KH
K (3.1.12) dir (Özdemir 2008).
Örnek 3.1.8: ( Helikoid ve paralel yüzeyi) M yüzeyi,
R v u bv
v u v u v u
X( , )( cos , sin , ); , yaması ile verilen helikoid yüzeyi olmak üzere M nin paralel yüzeyi
) , ( ) , ( ) ,
(u v X u v cN u v
Y
yaması ile verilir. Burada
) , cos , 1 (sin
) 1 ,
( 2 v v u
v u u
N
dir. Böylece M nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırası ile
2 2
2 , 02
H
u b K b
dir. (3.1.10) ve (3.1.11) eşitlikleri yardımıyla
2 2
2 2 22 2
2 2 2 2
2
,
b c u b H cb b c u b K b
dir (Özdemir 2008).
14 Örnek 3.1.9: (Küre ve paralel yüzeyi) M yüzeyi,
R v u u r v u r v u r v u
X( , )( cos cos , cos sin , sin ); , regüler yaması ile verilen küre yüzeyinin normal vektörü
) sin , sin cos , cos cos ( ) ,
(u v u v u v u
N
dır. Böylece M ve Mc nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla
H r
K r 1
1 ,
2
2
2 , ( )
) (
1
c r
c H r
c K r
dir (Özdemir 2008).
Örnek 3.1.10: (Ketanoid ve paralel yüzeyi)
R v u u v u v
u v
u
X( , )(cosh cos ,cosh sin , ); , yaması ile verilen Ketanoid yüzeyi M ise paralel yüzeyi Mc
)) ( , sin ) ( , cos ) ( ( ) ,
(u v u v u v u
Y
parametrelendirilmesine sahiptir. Burada
cosh , cosh
)
( u
u c
u
ve
u c u
u) tanh
(
dır (Malkowsky ve ark. 2001). Ayrıca uR ve c1 için cosh2uc dır. Bununla beraber M ve Mc nin Gauss ve ortalama eğrilikleri sırasıyla
0 cosh ,
1
2
H
K u
ve
2 4 2
4 , cosh
cosh 1
c u H c
c K u
15
dır. Böylece son eşitliklerden (3.1.12) denkleminin sağlandığı görülür (Özdemir 2008).
Sonuç 3.1.11: M E3 yüzeyi (3.1.6) yaması ile verilen bir dönel yüzey olsun. Bu takdirde
i) K H 0 ise M bir düzlemin bir parçasıdır.
ii) H 0, K 0ve H K 0 ise M yüzeyi kürenin bir parçasıdır.
Sonuç 3.1.12: Mc yüzeyi M dönel yüzeyinin bir paralel yüzeyi olsun. Eğer M yüzeyi flat olmayan bir minimal yüzey (yani, ketonoid yüzeyi) ise Mc yüzeyinin eğrilikleri oranı sabittir, yani;
K
c H (3.1.13)
dır.
İspat. Eğer M minimal ise H =0 dır. Böylece (3.1.12) denklemi yardımıyla
cKH
0K elde edilir. M yüzeyi flat olmadığından cKH0 dır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
16 4. E4 DE WİNTGEN İDEAL YÜZEYLER
4.0. Giriş
Bu bölümde E deki yüzeyler ele alınmıştır. Bu yüzeylerin Gauss eğriliği 4 K, ortalama eğriliği H ve normal eğriliği KN ile ilgili eşitlikler incelenmiştir. Bu bölüm üç kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda K ve H
ile ilgili eşitlikler, ikinci kısımda K ve KN ile ilgili eşitlikler, üçüncü kısımda ise K, KN ve H
ile ilgili eşitlikler incelenmiştir.
4.1 K ve H ile İlgili Eşitlikler E4
M yüzeyi X(u,v) regüler yamasıyla verilsin.p M noktasındaki TpM tanjant uzayı
X1, X2
ortonormal bazı ve Tp M normal uzayı ise
N1, N2
ortonormal bazı ile gerilsin. Bu takdirde M nin şekil operatörü matrisleri Önerme (2.1.20) yardımıyla
2
22 2 21
2 12 2 11 1
22 1 21
1 12 1 11
2
1 h h
h A h
h h
h
AN h N (4.1.1)
olarak tanımlanır. Burada hijk, M nin ikinci temel form katsayıları olup 2
, 1 , , ),
,
(
h X X N A X X i j
hijk i j k N i j
k (4.1.2)
şeklinde ifade edilir. Buradan M nin Gauss eğriliği
2 2 12 2 22 2 11 1 2 12 1 22 1
11 ( ) ( )
det
det 1 2
h h h h
h h
A A
K N N
(4.1.3) dir. Ayrıca M nin Ortalama eğrilik vektörü
2
2 22 2 11 1 1 22 1 11
2 1
) (
) 2 (
1 2 1
2 1
N h h N h h
N izA N izA
H N N
(4.1.4)
dir.
Yardımcı Teorem 4.1.1: M E4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyininK H 2şartını sağlaması için gerek ve yeter şart
