Farklı çevresel koşullarda GNSS gözlemlerindeki sinyal yansıması etkisinin incelenmesi

(1)

T.C.

SELÇ UK ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ÜS Ü

Farklı C¸ evresel Ko¸sullarda GNSS G¨ozlemlerindeki Sinyal Yansıması Etkisinin ˙Incelenmesi

Sefa YALVAÇ Yüksek Lisans Tezi Harita Mühendisli˘gi

Anabilim Dalı Konya, 2010

(2)

(3)

¨ OZET

Y¨uksek Lisans Tezi

Farklı C¸ evresel Ko¸sullarda GNSS G¨ozlemlerindeki Sinyal Yansıması Etkisinin ˙Incelenmesi

Sefa YALVAC¸

Sel¸cuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Harita M¨uhendisli˘gi

Danı¸sman: Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ¨UST ¨UN

2010, 57 sayfa

Jüri: Yrd. Do¸c. Dr. ˙Ismail S¸ANLIO ˘GLU Jüri: Do¸c. Dr. ˙Ihsan ÖZKAN

Sinyal yansıması, GNSS gözlemlerini etkileyen di˘ger hata kaynaklarından farklıdır. Ç ünkü sinyal yansıması, alıcının kuruldu˘gu ¸cevre ile ili¸skili oldu˘gundan, di˘ger hata kaynakları gibi do˘grudan modellenerek öl¸cülerden ¸cıkarılamaz. En büyük karakteristik ¨

ozelli˘gi ardı¸sık günlerde, yüksek korelasyonla kendini tekrar etmesidir. Sinyal yansımasının kod öl¸cüleri üzerindeki birka¸c metreye varan bozucu etkisinin, ileri analiz teknikleri kullanılarak tespit edilerek giderilmesi gerekir.

Uyarlanabilir süzge¸cler bir veri grubunda kendini düzenli olarak tekrar eden sinyalleri gürültüden ayrı¸stırma yetene˘gine sahiptir. En kü¸cük kareler algoritmasını kullanarak kendini optimize edebilen bu süzge¸cler yer bilimlerini ilgilendiren pek¸cok uygulamada gü¸clü bir sayısal ara¸c olarak kullanılmaktadır. Bu ¸calı¸smada GNSS kod öl¸cülerindeki sinyal yansıması etkisi uyarlanabilir süzge¸c kullanılarak ¸cıkarılmı¸stır. Süzme i¸sleminden sonra, nokta konum do˘grulu˘gunda metre seviyesinden desimetre seviyelerine varan ba¸sarı elde edilmi¸stir.

(4)

Anahtar kelimeler: Sinyal yansıması, Uyarlanabilir süzge¸cler, GNSS, En kü¸cük kareler, Gürültü ayrı¸stırma

(5)

ABSTRACT

MSc Thesis

Investigating the Multipath Effect on GNSS Observations at Different Environmental Conditions

Sefa YALVAC¸

Sel¸cuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Geomatic Engineering

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Aydın ¨UST ¨UN

2010, 57 pages

Jury: Assist. Prof. Dr. ˙Ismail S¸ANLIO ˘GLU Jury: Assoc. Prof. Dr. ˙Ihsan ¨OZKAN

Multipath effects on GNSS observations are different from the other GNSS error sources, such as atmospheric delays, clock errors and so on. Unlike other GNSS error sources, it is not possible to remove the multipath effect by modeling because of close relationship between GNSS antenna and reflecting surfaces around the station. Major characteristic of multipath is to repeat itself in consecutive days provided that the GNSS antenna and the surrounding environment remains unchanged. It is necessary to determine the multipath effect of several meters on code measurements using advanced analysis techniques e.g. adaptive filtering.

Adaptive filters are capable for decomposing correlated part of data sets. This kinf of filters which optimize itself using Least Mean Square (LMS) algoritm is a powerful tool for the geoscience studies. In this study, multipath effect was filtered out from code measurements using adaptive filter. After the filtering, accuracy of positioning results were reduced several meters to decimeter levels.

(6)

Keywords: Multipath, Adaptive Filters, GNSS, Least mean square, Noise Cancellation

(7)

TES¸EKK ¨UR

¨

Oncelikle, hayatta sahip oldu˘gum her¸seyi bor¸clu oldu˘gum, sonsuz bilgisinden bana da bir par¸ca sunan Tanrı’ya ¸sükranlarımı sunarım. Bu ¸calı¸smanın ortaya ¸cıkmasında eme˘gi ve deste˘gi ile bana yol gösteren, tüm sorularımı büyük bir ho¸sgörü ile cevaplayan, her konuda örnek aldı˘gım danı¸sman hocam Yrd. Do¸c. Dr. Aydın ÜST ÜN’e te¸sekkürlerimi sunarım. Bu tez ¸calı¸smasının ortaya ¸cıkmasında katkılarını benden esirgemeyen Ar¸s. Gör. Dr. Cemal Özer Y˙I ˘G˙IT’e ve Dr. Robert Washington KING’e de te¸sekkürü bir bor¸c bilirim.

Ayrıca ya¸santım boyunca maddi ve manevi desteklerini benden esirgemeyen, her a¸samada desteklerini arkamda hissetti˘gim, sevgili aileme de te¸sekkürü bir bor¸c bilirim. Son olarak bu tez ¸calı¸smasını destekleyen Sel¸cuk Üniversitesi BAP koordinatörlü˘güne te¸sekkürlerimi sunarım.

(8)

˙IÇ ˙INDEK˙ILER ¨ Ozet ii Abstract iv Te¸sekkür vi Kısaltma Listesi ix S¸ekil Listesi x Ç izelge Listesi xi 1 G˙IR˙IS¸ 1

2 S˙INYAL YANSIMASI ETK˙IS˙I 3

2.1 Temel Kavramlar . . . 3

2.2 Sinyal Yansıması ve Sinyal Kesiklikleri . . . 5

2.3 Sinyal Yansımalarının Kod Öl¸cüleri Üzerindeki Etkisi . . . 7

2.4 Sinyal Yansımalarının Faz Öl¸cüleri Üzerindeki Etkisi . . . 8

2.5 Sinyal Yansıması Etkisinin ˙Izlenmesi . . . 10

2.5.1 Sinyal gürültü oranı (SNR) . . . 10

2.5.2 Tekrarlanabilirlik . . . 11

2.5.3 Uydu y¨ukseklik a¸cısı (Cut-off Angle) . . . 13

2.6 Sinyal Yansıması Etkisinin Azaltılması . . . 14

3 UYARLANAB˙IL˙IR S ¨UZGEC¸ TEOR˙IS˙I 16 3.1 Temel Kavramlar . . . 16

3.2 Wiener S¨uzge¸cler . . . 17

3.2.1 Problemin tanımlanması . . . 17

3.3 Uyarlanabilir S¨uzge¸c Teorisine Giri¸s . . . 18

3.3.1 Uyarlanabilir s¨uzgecin yapısı . . . 19

3.4 FIR S¨uzge¸c Yapıları . . . 20

(9)

3.5 En Kü¸cük Kareler Yöntemi . . . 21

3.6 S¨uzge¸c Katsayılarının Elde Edilmesi ve ˙Istatistiksel Karar . . . 22

3.6.1 Ortogonallik esası . . . 22

3.6.2 Wiener-Hopf e¸sitli˘gi . . . 24

3.6.3 Do˘grusal transversal süzge¸cler i¸cin Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin ¸cözümü 25 3.6.4 Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin matrislerle ifadesi . . . 25

3.6.5 Hata ba¸sarım y¨uzeyi (Error Performance Surface) . . . 27

3.7 Steepest Descent Y¨ontemi . . . 29

3.7.1 Steepest descent algoritmasının kararlılı˘gının incelenmesi . . . . 31

3.8 Uyarlanabilir S¨uzge¸c Uygulamaları . . . 31

3.8.1 Tanımlama (Modelleme) . . . 32

3.8.2 Ters modelleme . . . 32

3.8.3 Gürültü ayrı¸stırma . . . 34

4 UYGULAMA 37 4.1 Birinci Veri Grubu . . . 37

4.1.1 ˙Istasyon ara¸stırması . . . 37

4.2 Sinyal Yansıması Etkisinin Uyarlanabilir S¨uzge¸c Kullanılarak Belirlenmesi 40 4.2.1 Verilerin uyarlanabilir s¨uzgece uygunlu˘gunun test edilmesi . . . . 41

4.2.2 Süzge¸c derecesinin ve basamak öl¸cü parametresinin (µ) se¸cilmesi 42 4.2.3 Analiz i¸sleminin ger¸cekle¸stirilmesi . . . 42

4.2.4 S¨uzme i¸slemi sonrası veri gruplarının incelenmesi . . . 43

4.3 ˙Ikinci Veri Grubu . . . 46

4.3.1 Verilerin uyarlanabilir s¨uzgece uygunlu˘gunun test edilmesi . . . . 48

4.3.2 Süzge¸c derecesinin ve basamak öl¸cü parametresinin (µ) se¸cilmesi 48 4.3.3 Analiz i¸sleminin ger¸cekle¸stirilmesi . . . 49

4.3.4 S¨uzme i¸slemi sonrası veri gruplarının incelenmesi . . . 49

5 SONUC¸ ve ¨ONER˙ILER 55

(10)

KISALTMA L˙ISTES˙I

CBS Co˘grafi Bilgi Sistemleri

CORS Continuously Operating Reference Stations DGPS Differential Global Positioning System GNSS Global Navigation Satellite System LOS Line of Sight

NGS National Geodetic Survey PPP Precise Point Positioning PRN Pseudo Random Noise RTK Real Time Kinematic SNR Signal to Noise Ratio

(11)

S¸EK˙IL L˙ISTES˙I

2.1 Sinyal yansıması . . . 3

2.2 Sinyal yansıması etkisi . . . 7

2.3 SNR g¨ozlemleri . . . 11

2.4 Ardı¸sık g¨unlere ait sinyal yansıması grafikleri . . . 12

2.5 Sinyal yansıması etkisinin tekrarlanabilirli˘gi . . . 12

3.1 Wiener s¨uzge¸c . . . 17

3.2 Transversal s¨uzge¸c yapısı . . . 20

3.3 S¨uzge¸c ¸cıktısının ve kestirim hatasının birbirine g¨ore durumları . . . 24

3.4 Hata ba¸sarım y¨uzeyi . . . 28

3.5 Uyarlanabilir s¨uzge¸c kullanarak bilinmeyen sistemin tanımlanması . . . 33

3.6 Uyarlanabilir s¨uzge¸c kullanarak ters modelleme . . . 33

3.7 Uyarlanabilir süzge¸c kullanılarak gürültünün ayrı¸stırılması . . . 34

4.1 P1 g¨ozlemleri i¸cin sinyal yansıması etkisi RM S de˘gerleri . . . 37

4.2 P2 g¨ozlemleri i¸cin sinyal yansıması etkisi RM S de˘gerleri . . . 38

4.3 MION istasyonu . . . 38

4.4 S¨uzge¸c tasarımı . . . 40

4.5 x y¨on¨unde analiz i¸slemi . . . 43

4.6 y y¨on¨unde analiz i¸slemi . . . 44

4.7 z y¨on¨unde analiz i¸slemi . . . 44

4.8 Süzme i¸sleminden önce (solda) ve sonra (sa˘gda) x, y ve z yönündeki verilerin da˘gılımı . . . 45

4.9 Süzme i¸sleminden önce (solda) ve sonra (sa˘gda) x, y ve z yönündeki verilerin yo˘gunlu˘gu (metre) . . . 45

4.10 Süzme i¸sleminden önce ve sonra x yönündeki koordinat farkları (metre) 46 4.11 Süzme i¸sleminden önce ve sonra y yönündeki koordinat farkları (metre) 46 4.12 Süzme i¸sleminden önce ve sonra z yönündeki koordinat farkları (metre) 47 4.13 Etkinin ara¸stırılması i¸cin tesis edilen yerel istasyon . . . 47

4.14 CATI istasyonuna ait verilerin analizi i¸cin tasarlanan s¨uzge¸c . . . 50

(12)

4.16 y ekseni yönündeki sinyal yansıması etkisinin tespit edilmesi . . . 51 4.17 z ekseni yönündeki sinyal yansıması etkisinin tespit edilmesi . . . 51 4.18 Süzme i¸sleminden önce (solda) ve sonra (sa˘gda) x, y ve z yönündeki

verilerin da˘gılımı (metre) . . . 52 4.19 Süzme i¸sleminden önce (solda) ve sonra (sa˘gda) x, y ve z yönündeki

verilerin yo˘gunlu˘gu (metre) . . . 53 4.20 Süzme i¸sleminden önce ve sonra x yönündeki koordinat farkları (metre) 53 4.21 Süzme i¸sleminden önce ve sonra y yönündeki koordinat farkları (metre) 54 4.22 Süzme i¸sleminden önce ve sonra z yönündeki koordinat farkları (metre) 54

(13)

C¸ ˙IZELGE L˙ISTES˙I

2.1 Yansıtıcı y¨uzeyler ve ba˘gıl yansıtma katsayıları (Lau ve Cross, 2007) . . 4

2.2 MION istasyonuna ait kalite kontrol ¸cıktısı ¨ozeti . . . 6

2.3 SNR g¨ozlemlerinin ¨ol¸ceklendirilmesi . . . 10

2.4 Y¨ukseklik a¸cısına g¨ore sinyal yansıması etkisi . . . 14

4.1 Verilere ait ortalama de˘gerleri . . . 41

4.2 Verilere ait ¸capraz korelasyon de˘gerleri . . . 41

4.3 Basamak ¨ol¸c¨u parametresinin se¸cimi . . . 42

4.4 Verilerin istatistiksel de˘gerlerinin kar¸sıla¸stırılması (metre) . . . 44

4.5 Verilere ait ortalama de˘gerleri . . . 48

4.6 Verilere ait ¸capraz korelasyon de˘gerleri . . . 48

4.7 Basamak ¨ol¸c¨u parametresinin se¸cimi . . . 49

(14)

1. G˙IR˙IS¸

GNSS sinyali yakla¸sık 20200 km’lik yol katederek, yeryüzünde kurulu bir alıcıya ula¸sır. Yolculuk boyunca farklı atmosferik ortamların kırıcılık etkisi altında ilerleyen sinyal, yeryüzüne ula¸stı˘gında alıcının bulundu˘gu ortamdaki yansıtıcı yüzeylerden de etkilenir. Bu durum, uydularla konum belirleme sisteminin temelini olu¸sturan uydu-alıcı anteni arasındaki mesafe belirleme i¸slemi üzerinde olumsuz sonu¸clar do˘gurur. GNSS gözlemlerine etki eden böylesi sorunlar hata kaynakları ba¸slı˘gı altında incelenir. Sinyal yansıması etkisi (multipath effect) haricindeki tüm hata kaynakları, GNSS gözlemleri kullanılarak kestirilmeye ve analiz adımında öl¸cülere düzeltme getirmek suretiyle etkileri en aza indirilmeye ¸calı¸sılır.

Sinyal yansıması uydulardan yayınlanan sinyalin, alıcı anteni ¸cevresinde bulunan do˘gal ya da yapay y¨uzeylerden yansıdıktan sonra ve alıcıya do˘grudan gelen sinyallerle karı¸sarak alıcıda kaydedilmesi durumu olarak ¨ozetlenebilir. Tanımdan da anla¸sılaca˘gı ¨

uzere sinyal yansıması, antenin konumlandı˘gı yakın ¸cevreyle ili¸skili oldu˘gundan, her istasyon i¸cin farklı de˘gerlerdedir. Bu nedenle etkinin büyüklü˘gü genel bir matematiksel model kullanılarak kestirilemez. Sadece ileri analiz tekniklerinden yola ¸cıkılarak istasyon bazlı sonu¸clara ula¸smak mümkündür. Faz öl¸cüleri i¸cin birka¸c santimetre, kod ¨

ol¸cüleri i¸cin ise onlarca metre seviyelerinde kendini gösteren bu etki, jeodezide GNSS gözlemlerinden beklenen nokta konum do˘grulu˘gunu tehdit etmektedir (Teunissen ve Kleusberg, 1998).

¨

Ozellikle hassas konum belirleme (Precise Point Positioning) ¸calı¸smaları i¸cin b¨uy¨uk ¨

onem arz eden, sinyal yansıması etkisi ile ilgili ¸calı¸smaları ü¸c ana ba¸slık altında sınıflandırmak mümkündür. Bunlar; sinyal yansımasına maruz kalan öl¸cülerin, antene geli¸s yönüne göre alıcı tarafından reddedilmesini ama¸clayan anten tasarımı ¸calı¸smaları (Tranquilla vd., 1994; Fillippov vd., 1998), sinyal analizi ve dalgacık analizi gibi sayısal süzge¸cler kullanarak, etkinin tespit edilmesini ama¸clayan ¸calı¸smalar (Souza ve Monico, 2004; Liu vd., 2010) ve GNSS alıcısı bünyesinde üretilen referans sinyal ile uydudan gelen sinyal arasındaki korelasyon durumununa göre sinyali kayıt altına alan ya da redden algoritma (MEDLL) olu¸sturma ¸calı¸smaları (Nee vd., 2004) bi¸ciminde ¨

ozetlenebilir. Bunlardan anten tasarımı ¸calı¸smaları donanıma ba˘gımlı oldu˘gundan y¨uksek maliyet gerektirmektedir. Algoritma ¸calı¸smalarında ise, y¨uksek programlama ve alıcıya ait donanım bilgilerine gereksinim vardır. Burada sinyal analiz ¸calı¸smaları

(15)

ara¸stırmacıların kolayca ula¸sıp uygulayaca˘gı ve ¸ce¸sitli algoritmalar ile geli¸stirebilece˘gi analiz teknikleri olarak bir adım ¨one ¸cıkmaktadır.

Sinyal yansıması etkisini dü¸sük seviyelere indirgemeyi ama¸clayan sinyal analiz ¸calı¸smalarında genellikle etkinin kendisini tekrar etmesinden yararlanılır. Ardı¸sık günlerde ¸cok belirgin olan bu tekrarlama, uyarlanabilir süzge¸cler kullanılarak tespit edilebilmektedir. Sinyal yansıması etkisinin tekrar etme davranı¸sı kod ve faz öl¸cüleri i¸cin benzer özelliktedir. Sinyal yansımasının faz öl¸cüleri üzerindeki etkisine literatürde daha fazla rastlanmaktadır (Ge vd., 2000; Liu vd., 2010). Ancak kod öl¸cüleri üzerindeki etkisini inceleyen ¸calı¸smalar olduk¸ca yenidir.

Bu ¸calı¸smada, sinyal yansıması etkisinin kod gözlemleri üzerindeki etkisi incelenmi¸stir. Ardı¸sık günlerde, uydu geometrisi ve ¸cevresel ko¸sullarda de˘gi¸siklik yapılmaksızın toplanan kod gözlemleri yardımıyla nokta koordinatları hesaplatılmı¸stır. Hesaplanan bu koordinatlar uyarlanabilir süzge¸c yardımıyla analiz edilerek etkinin tespit edilmesi ama¸clanmaktadır.

(16)

2. S˙INYAL YANSIMASI ETK˙IS˙I

2.1 Temel Kavramlar

GNSS alıcıları ile birlikte kullanılan antenler, her yönden gelebilen uydu sinyallerini e¸s zamanlı olarak alabilme özelli˘gine sahiptir. Uydulardan alıcıya do˘grudan gelen sinyaller dı¸sında, kaydedilen uydu sinyalleri arasına sinyal yansımalarının da karı¸sması söz konusudur (S¸ekil 2.1). Antenin kuruldu˘gu ortamdaki do˘gal ve yapay yansıtıcı yüzeylerin yo˘gunlu˘gu ve uydu yükseklik a¸cıları, sinyal yansıması üzerinde do˘grudan etkilidir. Uydulardan yayınlanan sinyallerin herhangi bir noktadaki alıcı antenine, olması gerekenden daha fazla yol izleyerek ve esas sinyalle karı¸sarak ula¸smasına sinyal yansıması (multipath) denir.

Yukardaki durum uydu ve alıcı anteninin her ikisi i¸cin de söz konusudur. Ba¸ska bir deyi¸sle sinyal yansımalarını, uyduların neden oldu˘gu yansımalar (satellite multipath) ve alıcı anteni ¸cevresindeki yansıtıcı yüzeylerin neden oldu˘gu yansımalar (antenna multipath) olmak üzere ikiye ayırmak mümkündür. Bunlardan uyduların neden oldu˘gu etki, özellikle kısa ve orta uzunluklu bazlarda (100-200 km), bazın her iki ucundaki anten i¸cin de aynı büyüklü˘ge sahip olaca˘gından göreli konum belirleme yöntemi kullanılarak büyük öl¸cüde ortadan kaldırılabilir (Young vd., 1989). Bu nedenle uydu kaynaklı sinyal yansımaları göz ardı edilebilir. Buradan itibaren sinyal yansıması terimi ile alıcı anteni ¸cevresindeki yansıtıcı yüzeylerin neden oldu˘gu sinyal yansımaları anla¸sılacaktır.

GNSS uydusu

Engel

(yansıtıcı y¨uzey) Da˘gılma D ire_kt sin ya_l (A D ) Yansı_yan sinya_{l (A} R₎ △t

(17)

Ç izelge 2.1: Yansıtıcı yüzeyler ve ba˘gıl yansıtma katsayıları (Lau ve Cross, 2007) Yansıtıcı yüzey Ba˘gıl yansıtma katsayısı

Bakır 1 Su 80 Tahta 2-4 Cam 10 Yery¨uz¨u 14 Mika 6

Sinyal yansıması yerel karaktere sahip bir etki olup, alıcı ¸cevresinde bulunan yansıtıcı yüzeylerin yo˘gunlu˘guyla ili¸skilidir. S¸ekil 2.1’de görüldü˘gü üzere alıcı uydudan yayınlanan sinyali do˘grudan (LOS) aldı˘gı gibi yansıyarak gelen sinyali de kaydetmektedir. Bu durumda yansıyan sinyal, do˘grudan gelen sinyale göre alıcıya gecikmi¸s olarak ula¸sacaktır. Sinyal gecikmesi sinyal yolculuk süresinin ¨

ol¸cümüne dayanan, uydu alıcı arasındaki mesafe belirleme i¸slemlerini olumsuz yönde etkileyecektir.

Gecikme 1.5 chip uzunlu˘gundan büyükse ¸cok önemli de˘gildir. Ç ünkü uydudan gelen sinyal ile alıcı tarafından üretilen referans sinyal korelasyonsuz olaca˘gından, yansıyarak gelen sinyal kayıt altına alınmayacaktır. Ancak gecikmenin 1.5 chip uzunlu˘gundan kısa olması durumunda, iki sinyal arasında korelasyon sa˘glanabildi˘ginden yansıyan sinyal do˘grudan alıcıya gelen sinyalle karı¸sarak kayıt altına alınır.

Yukarıda bahsedilen gecikmeler sinyal analiz teknikleri kullanılarak rahatlıkla izlenebilir. Bu teknikleri kullanarak, sinyal yansıması etkisinden kaynaklanan ba˘gıl gecikmelerin 0.1 chip uzunlu˘gundan daha fazla oldu˘gu durumlarda dahi etki izlenerek, gerekli analiz i¸slemleri yapılabilmektedir (Liu vd., 2010).

Binalar, su yüzeyleri, yeryüzü, ara¸clar ve bina ¸catıları sinyal yansımasına neden olabilecek yansıtıcı objelerdir. Ç izelge 2.1’de bazı yansıtıcı yüzeylerin ba˘gıl yansıtma katsayıları verilmi¸stir. Sinyal yansıması etkisine bakılarak yerel yansıtıcının niteli˘gi belirlenebilir. Sinyalin yansıma durumu yansıtıcının özelliklerine ve konumuna göre de˘gi¸siklik gösterece˘ginden yerel yansıtıcıyı tanımlamak mümkün olabilir.

Sinyal yansıması faz ve kod gözlemlerinin her ikisinde de bozucu etkiye sahiptir. Sinüzoidal bir davranı¸s gösteren bu etkinin büyüklü˘gü uydu-alıcı geometrisine ve zamana göre de˘gi¸siklik gösterir. Sinyalin dalga boyuyla do˘gru orantılı olarak de˘gi¸sen

(18)

bu bozulma, teorik olarak, P -Kod öl¸cüleri i¸cin 15 metre, C/A kod öl¸cüleri i¸cin 150 metredir. Faz öl¸cüleri i¸cin etkinin alabilece˘gi en büyük de˘ger ise ¸ceyrek dalga boyu (λ/4 ≈ 4.8 cm) kadardır (Teunissen ve Kleusberg, 1998).

Ancak uygulamada bu kadar büyük de˘gerler ile kar¸sıla¸sılmamaktadır. Kod öl¸cüleri i¸cin gözlenebilen en büyük sinyal yansıması hatası de˘geri 10-20 m iken, faz öl¸cüleri i¸cin birka¸c santimetre seviyelerindedir (Teunissen ve Kleusberg, 1998). Jeodezide GNSS gözlemlerinden beklenen do˘gruluk, yatayda bir ka¸c milimetre iken, dü¸seyde 1 cm dolaylarındadır. Yukarıda söz edilen de˘gerler göz önünde bulunduruldu˘gunda, sinyal yansıması etkisinin belirlenerek öl¸cülerden ¸cıkarılmasının zorunlu hale geldi˘gi görülmektedir.

2.2 Sinyal Yansıması ve Sinyal Kesiklikleri

Etkinin yo˘gun olarak gözlendi˘gi ortamlarda, alıcı i¸cerisinde üretilen referans kod ile uydudan yayınlanan sinyal arasında korelasyon sa˘glanamadı˘gında belirli bir e¸sik de˘ger göz önüne alınarak öl¸cü sinyali reddedilebilir. Bu ve benzer nedenlerle gözlenen kesikliklere sinyal kesikli˘gi adı verilir. GNSS verilerinin de˘gerlendirilmesinden ¨

once, sinyal yansımasından kaynaklanan sinyal kesiklikleri TEQC gibi kalite kontrol yazılımlarıyla belirlenebilir (Estey ve Meertens, 1999).

Ç izelge 2.2’de Amerika NGS (National Geodetic Survey) CORS istasyonlarından, sinyal yansıması etkisinin yo˘gun olarak gözlendi˘gi MION istasyonda 2010 yılının 150. gününe ait sinyal kesikliklerini de gösteren TEQC kalite kontrol ¸cıktısından bir özet verilmektedir.

Ç izelge 2.2’de gösterilen kalite kontrol ¸cıktılarında birinci sütun uydu PRN numarasını (SV), ikinci sütun uydudan yapılan gözlem sayısını (obs>5), ü¸cüncü, dördüncü, be¸sinci ve altıncı sütun, sırasıyla ¸ce¸sitli nedenlerle silinen gözlem sayısını (del), uydunun yükseklik a¸cısını (elev), sinyal yansıması etkisinin karesel ortalama hatasını (M P1, M P2

RMS) ve sinyal kesikli˘gi sayısını göstermektedir. Son 4 satır ise sırasıyla gözlem süresi boyunca, sinyal yansıması hatasına ili¸skin ortalama RMS de˘gerini (mean M P2

RMS), ortalama uydu yüksekli˘gini, toplam gözlem sayısını, ve toplam sinyal kesikli˘gi sayısını göstermektedir. TEQC analiz sonu¸clarına göre, P1 kod öl¸cülerine ait sinyal

(19)

C¸ izelge 2.2: MION istasyonuna ait kalite kontrol ¸cıktısı ¨ozeti MP1 RMS summary (per SV): MP2 RMS summary (per SV):

slips slips

SV obs> 5 # del <elev> MP1 rms [m] < 25 SV obs> 5 # del <elev> MP2 rms [m] < 25 G02 798 1 46.97 0.542101 10 G02 798 1 46.97 0.784136 10 G03 807 22 33.60 2.601735 15 G03 807 22 33.60 3.412414 30 G04 736 14 48.62 0.751644 12 G04 736 14 48.62 1.027284 10 G05 710 0 47.89 0.398041 9 G05 710 0 47.89 0.552661 8 G06 822 10 31.36 2.079123 31 G06 822 10 31.36 2.676224 46 G07 717 1 47.38 2.722758 5 G07 717 1 47.38 3.621490 10 G08 756 36 41.78 0.501641 35 G08 756 36 41.78 1.357732 32 G10 697 32 44.32 0.616585 25 G10 697 32 44.32 0.782922 25 G11 777 33 33.57 2.686168 22 G11 777 33 33.57 2.294632 35 G12 923 4 29.02 1.281792 32 G12 923 4 29.02 1.761778 34 G13 831 39 35.84 0.835230 40 G13 831 39 35.84 3.080766 30 G14 752 3 48.46 1.204805 6 G14 752 3 48.46 1.659407 6 G15 804 9 36.58 2.125194 27 G15 804 9 36.58 3.281050 19 G16 656 15 48.40 0.738847 15 G16 656 15 48.40 0.862145 17 G17 810 1 46.31 1.597482 4 G17 810 1 46.31 1.825155 13 G18 769 3 49.05 0.739904 10 G18 769 3 49.05 1.062466 8 G19 747 1 37.07 1.944494 23 G19 747 1 37.07 3.204136 4 G20 861 13 29.02 0.671778 39 G20 861 13 29.02 1.384052 35 G21 692 11 47.03 0.904896 16 G21 692 11 47.03 0.996880 25 G22 771 7 48.11 2.161425 11 G22 771 7 48.11 3.138844 17 G23 813 23 38.47 2.462786 14 G23 813 23 38.47 3.632112 17 G24 695 3 46.80 1.895998 9 G24 695 3 46.80 3.342713 13 G26 674 7 48.60 0.633891 17 G26 674 7 48.60 0.502051 17 G27 889 13 29.82 1.776069 14 G27 889 13 29.82 1.679370 26 G28 767 8 48.78 0.623163 17 G28 767 8 48.78 3.011141 11 G29 844 1 33.62 2.800645 20 G29 844 1 33.62 4.119127 15 G30 890 9 28.44 1.669933 23 G30 890 9 28.44 1.194839 36 G32 877 24 32.49 2.366820 17 G32 877 24 32.49 3.621922 14 G31 791 1 46.39 0.741054 15 G31 791 1 46.39 0.936257 16 mean MP1 rms : 1.473440 m mean MP2 rms : 2.123939 m total mean elevation : 40.32 degrees total mean elevation : 40.32 degrees # MP1 obs > 5 : 22332 # MP2 obs > 5 : 22332 # qc MP1 slips < 25 : 533 # qc MP2 slips < 25 : 579

(20)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 −1 0 1 2 3 4 5 6 Epok

Sinyal yansimasi etkisi

(m)

S¸ekil 2.2: Sinyal yansıması etkisi

yansıması etkisinin, dalgaboyuyla ili¸skili oldu˘gu sonu¸clardan da anla¸sılmaktadır. P1

kod öl¸cülerinde 533 epokta sinyal kesikli˘gi gözlenirken, P2 kod öl¸cülerinde bu de˘ger

579’dur. Normal ko¸sullarda, GNSS gözlemleri i¸cin uygun bir noktanın se¸cilmesi durumunda bulunan sinyal yansıması etkileri anlamlı öl¸cüde dü¸sürülebilir. Örne˘gin ¸cevredeki yansıtıcı yüzey yo˘gunlu˘gunun dü¸sük seviyede oldu˘gu bilinen CUMR (Konya) istasyonunda sinyal yansıması etkisi ∼= 0.20 m seviyelerindedir ve bu istasyonda tespit edilen sinyal kesikli˘gi sayısı ise sadece ikidir.

2.3 Sinyal Yansımalarının Kod Öl¸cüleri Üzerindeki Etkisi

Bir önceki bölümde de bahsedildi˘gi gibi, sinyal yansıması etkisi faz gözlemleri i¸cin 1-2 cm seviyelerinde iken, kod öl¸cüleri i¸cin alıcı ¸cevresindeki yerel yansıtıcı yüzeylerin yo˘gunlu˘guna ve uydu yükseklik a¸cısına ba˘glı olarak, onlarca metre seviyelerine kadar ¸cıkabilmektedir.

Kod gözlemleri üzerinde sinyal yansımasının nasıl bir etkiye sahip oldu˘gu S¸ekil 2.2’de verilen grafikten anla¸sılabilir. Etkinin kod gözlemlerini sinüzoidal dalgalanmalar ¸seklinde bozdu˘gu görülmektedir. Etkinin, kod gözlemlerini bu kadar yüksek de˘gerlerle bozması, izlenebilirdi˘gini de kolayla¸stırmaktadır.

Kod öl¸cüleri i¸cin sinyal yansıması etkisinin matematiksel de˘geri, o epokta gözlenen faz ve kod gözlemlerinin do˘grusal kombinasyonu yardımıyla hesaplanmaktadır. P1 ve P2

kod ¨ol¸c¨uleri i¸cin bu etki,

M P1 = P1− 1 + 2 α − 1 φ1+ 2 α − 1 φ2 (2.1)

(21)

M P2 = P2− 1 + 2α α − 1 φ1+ 2α α − 1− 1 φ2 (2.2)

e¸sitlikleriyle ifade edilebilir (Estey ve Meertens, 1999). Burada M P1 ve M P2 sırasıyla

P1 ve P2 kod g¨ozlemleri i¸cin sinyal yansıması hatasıdır (metre biriminde). φ1 ve φ2 ise

L1 ve L2 g¨ozlemleri i¸cin faz g¨ozlemlerini (dalga boyu biriminde) ifade etmektedir. α

ise f1 ve f2 frekansları oranının karesini g¨ostermektedir:

α = f 2 1 f2 2 = 11858 7200 (2.3)

(2.3), (2.1) ve (2.2) e¸sitliklerinde yerine yazıldı˘gında,

M P 1 ≡ P1− 9529₂₃₂₉φ1+7200₂₃₂₉φ2+ K1 (2.4)

M P 2 ≡ P2−11858₂₃₂₉φ1+9529₂₃₂₉φ2+ K2 (2.5)

halini alacaktır. Burada K1 ve K2 termal gürültüyü göstermektedir. Ayrıca

bu e¸sitlikler, kod g¨ozlemlerinin sinyal yansımasından hangi yo˘gunlukta etkilendi˘gi hakkında genel bir bilgi vermektedir. Bundan dolayı form¨ullerde e¸sitlik yerine denklik kullanmak daha yerinde bir tercih olacaktır. Bu matematiksel ifadeler hakkında daha fazla bilgi i¸cin Estey ve Meertens’e (1999) bakılabilir.

2.4 Sinyal Yansımalarının Faz Öl¸cüleri Üzerindeki Etkisi

Sinyal yansıması, faz gözlemleri kullanılarak hesaplanan uydu-alıcı anteni arasındaki mesafeyi birka¸c santimetrelik genli˘ge sahip peryodik salınımlar ¸seklinde bozarlar. Ayrıca yansıyan sinyal, do˘grudan alıcıya gelen sinyale göre gecikmeye u˘grayaca˘gından, bu süre boyunca (△t) alıcı izleme lupu fazladan hareket edecektir. Bu durum faz kayıklı˘gına neden olur.

Sinyal yansımasının faz gözlemleri i¸cin ¸cok kü¸cük de˘gerler almasından dolayı, akademik GNSS analiz programları bu etkiyi kalıntı hataları sınıfı i¸cinde de˘gerlendirmektedir. Kalıntı hatalarının dengeleme sonrası kestirilmesiyle etki, öl¸cülere düzeltme getirilerek ortadan kaldırılmı¸s olur. Ayrıca faz öl¸cüleri i¸cin söz edilen birka¸c santimetrelik etki, jeodezik ama¸clı uzun süreli oturumlarda toplanan binlerce epok ve a˘gın bütünü göz ¨

(22)

Faz g¨ozlemleri i¸cin sinyal yansıması etkisi,

AD = A cos φD (2.6)

AR = αA cos(φD + φ) (2.7)

e¸sitlikleriyle tanımlı iki fonksiyon de˘geri yardımıyla ifade edilir (Teunissen ve Kleusberg, 1998). Burada,

AD do˘grudan alıcıya gelen sinyalin büyüklü˘günü

AR yansıdıktan sonra alıcıya gelen sinyalin büyüklü˘günü

α gü¸c yitirim faktörünü (0 ≤ α ≤ 1, α = 0 yansıma yok, α = 1 yansıyan sinyalin gücünün do˘grudan alıcıya gelen sinyalin gücü ile aynı olması durumunu) φD do˘grudan alıcıya gelen sinyal fazını

φ do˘grudan alıcıya gelen sinyale g¨ore olu¸san faz kayıklı˘gını g¨ostermektedir.

S¸ekil 2.1’de görüldü˘gü üzere, yansıyan sinyal vektörü, di˘ger iki vektörün skaler toplamı alınarak bulunabilir. Alıcıya do˘grudan ve yansıdıktan sonra gelen sinyallerin skaler toplamı,

AP = AD+ AR

AP = A cos φD+ αA cos(φD+ φ)

AP = βA cos(φD+ φ) (2.8)

¸seklinde ifade edilir: Burada β yansıyan sinyalin genli˘gi olup a¸sa˘gıdaki gibi ifade edilir:

β =p1 + α2_{+ 2α cos φ} _(2.9)

Sonu¸c olarak AD ve AR vekt¨orlerinin skaler toplamı ile ifade edilen sinyal yansıması

etkisi, θ = arctan sin φ α−1_{+ cos φ} (2.10)

e¸sitli˘giyle gösterilir. (2.10) e¸sitli˘ginden görüldü˘gü üzere, ta¸sıyıcı dalga faz öl¸cmeleri i¸cin sinyal yansıması etkisi gü¸c yitirim faktörüne (α) ve faz kayıklı˘gına ba˘glıdır.

(23)

Ç izelge 2.3: SNR gözlemlerinin öl¸ceklendirilmesi 25dBHz -> 1; 26-27dBHz -> 2; 28-31dBHz -> 3 32-35dBHz -> 4; 36-38dBHz -> 5; 39-41dBHz -> 6 42-44dBHz -> 7; 45-48dBHz -> 8; >=49dBHz -> 9

faz öl¸cülerine ait ikili farkların kar¸sıla¸stırılması yoluna gidilebilir. Ancak ikili fark gözlemlerinde iyonosferik etki bulunaca˘gından sinyal yansıması etkisini ortaya ¸cıkarmak i¸cin kısa bazlardaki ikili fark gözlemleri kullanılmalıdır (Kahveci, 2000; Liu vd., 2010).

2.5 Sinyal Yansıması Etkisinin ˙Izlenmesi

2.5.1 Sinyal gürültü oranı (SNR)

Sinyal yansıması etkisinin tanımından da kolayca anla¸sılaca˘gı üzere, etkinin olu¸sması i¸cin, uydudan yayınlanan sinyalin alıcıya gelmeden önce do˘gal ya da yapay bir yansıtıcı yüzeylerden yansıması gerekmektedir. Sinyal, yansıtıcı yüzeye ¸carptı˘gında sinyal gücü zayıflar. Yani, herhangi bir yüzeyden yansıyan sinyalin SNR (Signal to Noise Ratio) de˘geri, yansımaya maruz kalmadan do˘grudan alıcıya gelen (LOS) sinyale göre daha zayıftır. Bu durumda, SNR gözlemleri ile sinyal yansıması etkisinin aldı˘gı de˘ger ters orantılı olur. Ba¸ska bir ifadeyle, sinyal yansıması etkisinin yo˘gun oldu˘gu bir ortamda, SNR gözlemleri dü¸sük de˘gerler alır.

SNR gözlemleri, RINEX gözlem veri dosyasında L1 ve L2 ta¸sıyıcı faz gözlemleri

i¸cin S1, S2 adı altında kayıt edilir. GNSS alıcıları genellikle varsayılan ayarları ile

S1 ve S2 gözlemlerini kaydetmezler. Bunun temel nedeni SNR öl¸cülerinin konum

(uydu-alıcı arasındaki mesafe) belirleme i¸slemleri i¸cin kullanılmamasından dolayı, ¸co˘gu kullanıcı i¸cin sadece ek bilgi olu¸sturmasıdır. S1 ve S2 g¨ozlemlemleri yerine,

L1 ve L2 gözlemlerinin son haneleri, o sinyalin gücünü göstermek üzere 1 ile 9

arasında ¨ol¸ceklendirilmi¸stir. Bu ¨ol¸ceklendirme genel anlamda DbHz birimindeki S1

ve S2 gözlemlerinin 6 ile bölmüyle elde edilen tam sayı kısmıdır. Ç izelge 2.3’de bu

¨

ol¸ceklendirmeye ait RINEX ba¸slık dosyasından bir kesit bulunmaktadır. Ç izelge 2.3’de verilen SNR öl¸cek de˘gerleri i¸cin ¸sunlar söylenebilir:

(24)

20 30 40 50 60 4700 5700 6700 7700 EPOK (10 sn) S N R (D b H z) S¸ekil 2.3: SNR g¨ozlemleri 5: iyi sinyal i¸cin kabul edilen e¸sik de˘geri,

9: olabilecek en iyi sinyal g¨uc¨u, 0: bilinmeyen durum,

Ancak bu öl¸ceklendirme olduk¸ca kabadır ve sinyal yansıması etkisinin ara¸stırılması i¸cin yeterli görülmez. Daha detaylı bir analiz desibel Hertz (DbHz) öl¸ce˘ginde gösterilen S1

ve S2 g¨ozlemleri kullanılarak ger¸cekle¸stirilir.

S¸ekil 2.3 SNR öl¸cülerinin davranı¸sını göstermektedir. SNR öl¸cülerinin davranı¸sının sinyal yansıması etkisinin davranı¸sına benzedi˘gini söylemek mümkündür. SNR ¨

ol¸cüleri tıpkı sinyal yansıması etkisinde kalan di˘ger öl¸cüler gibi sinüzoidal salınımlar yapmaktadır. Ayrıca dü¸sük uydu yükseklik a¸cısı altında toplanan SNR öl¸cülerinin 40 DbHz seviyesinin altına kadar gerileyerek zayfladı˘gı da a¸cık¸ca görülmektedir. SNR gözlemleri sinyal yansıması etkisinin izlenmesinde yaygın olarak kullanılır.

Ayrıca (2.10)’da ge¸cen gü¸c yitirim faktörü (α), SNR gözlemlerinin sıfır ile bir aralı˘gında ¨

ol¸ceklendirilmesiyle elde edilebilmektedir.

2.5.2 Tekrarlanabilirlik

Sinyal yansımasını ortaya ¸cıkaran en belirgin özellik bu etkinin tekrarlanabilir olmasıdır. Sinyal yansıması uydu aynı yörünge ve aynı yükseklik a¸cısında iken aynı etkiyi göstermektedir. E˘ger anten aynı nokta üzerinde hi¸c oynatılmadan birka¸c gün sabit olarak tutulursa, söz konusu etki günlük yakla¸sık 4 dakikalık bir de˘gi¸simle (Güne¸s

(25)

S¸ekil 2.4: Ardı¸sık g¨unlere ait sinyal yansıması grafikleri

0

0.5

1.0

1.5

2.0

0

10

20

30

40

50

MION ZLC1 WVRA G¨unler M P R M S (m )

S¸ekil 2.5: Sinyal yansıması etkisinin tekrarlanabilirli˘gi

zamanı ile yıldız zamanı arasındaki 3′_56.9′′ _{farktan dolayı) tekrar edecektir. Alıcının}

¸cevreyle olan topolojik ili¸skisi aynı kaldı˘gı sürece tekrarlanabilirlik kendini göstermeye devam edecektir. S¸ekil 3.15’de ZLC1 istasyonundan ardı¸sık günlerde yapılan öl¸cülerden elde edilen ve ortalama koordinatlardan olan farklar verilmi¸stir. ˙Iki veri gurubu (ardı¸sık günler) arasında %87 korelasyon vardır.

Ardı¸sık günlere ait sinyal yansıması etkisini i¸ceren koordinat farkları kar¸sıla¸stırıldı˘gında, iki veri grubu arasında yüksek korelasyon (≈ %70 − %90) elde edilebilmektedir. Di˘ger taraftan ¸cevresel ko¸sullar ve uydu konumu de˘gi¸siklik göstermedi˘ginden gözlemlerdeki bezerli˘gin %100’lere kadar ula¸sması beklenir. Ancak farklı istasyonlarda yapılan korelasyon testlerinde, gürültü nedeniyle bu kadar yüksek korelasyon de˘gerleriyle kar¸sıla¸sılmaz. Gürültü etkisi (2.4) ve (2.5) e¸sitliklerinde K1 ve K2 ile gösterilmi¸stir.

Sinyal yansıması etkisinin aynı ¸cevresel ko¸sullarda tekrarlanabilir oldu˘gunuz g¨ostermek ¨

uzere, A.B.D NGD CORS a˘gından se¸cilen 3 istasyonun 50 günlük RINEX gözlem dosyaları, TEQC programında kalite kontrol i¸slemine tabi tutulmu¸stur. Elde edilen

(26)

sinyal yansıması etkileri (M P2 RM S) S¸ekil 2.5’de g¨osterilmi¸stir. Grafikten de

görüldü˘gü üzere etki de˘gerlerinde, 50 günlük süre¸c boyunca kayda de˘ger bir de˘gi¸siklik ger¸cekle¸smemi¸stir.

¨

Ozetlemek gerekirse, ardı¸sık günlere ait sinyal yansıması verilerindeki korelasyonsuz kısım istasyondaki gürültüyü gösterirken, korelasyonlu kısım ¸cevredeki yansıtıcı yüzeylerin neden oldu˘gu sinyal yansıması etkisini temsil etmektedir.

Yukarıdaki bilgiler ı¸sı˘gında, ardı¸sık günlerdeki veri kümelerine ¸ce¸sitli istatistiksel yöntemler uygulanarak, korelasyonlu kısımlar belirlenmelidir. Bunun i¸cin sayısal sinyal i¸sleme tekniklerinden yararlanabilir. Ozellikle g¨¨ urültü ayrı¸stırma ama¸clı tasarlanan uyarlanabilir süzge¸clerin iki veri grubu i¸cindeki korelasyonlu verinin elde edilmesi i¸cin kullanıldı˘gı bilinmektedir. Konu ile ilgili ayrıntılı bilgi ü¸cüncü bölümde verilecektir.

2.5.3 Uydu y¨ukseklik a¸cısı (Cut-off Angle)

Sinyal yansıması etkisi, uydudan yayınlanan sinyalin alıcı ¸cevresinde bulunan do˘gal ya da yapay reflektörlere geli¸s a¸cısıyla do˘grudan ili¸skilidir. Uydu yükseklik a¸cısı, sinyalin yansıtıcı yüzeye geli¸s a¸cısını belirleyece˘ginden, yansımasının geometrik yapısı üzerinde belirleyici rol oynayacaktır.

Dü¸sük yükseklik a¸cısında bulunan bir uydudan yayınlanan sinyalin, yansımaya maruz kaldıktan sonra alıcıya ula¸sması i¸cin gereken yolculuk süresi uzun olacaktır. Bunun tam tersi de do˘grudur. Yani yüksek uydu yükseklik a¸cısından yayınlanan sinyal yansıdıktan sonra daha kısa bir yol izleyerek GNSS alıcısına ula¸sacaktır. Bu durum yansıma kaynaklı gecikme de˘gerinin (△t) ya da yansıma süresince fazladan i¸sleyecek olan kod izleme lupunda faz kayıklı˘gı de˘gerinin (θ) büyüklü˘günü belirleyecektir. Özetle yükseklik a¸cısı ile sinyal yansıması etkisi arasında ters orantılı bir ili¸ski bulunmaktadır.

Ç izelge 2.4’de ABD CORS a˘gında bulunan ZLC1 istasyonuna ait uydu yükseklik a¸cısı aralı˘gı ile sinyal yansıması etkisi de˘gi¸simini gösteren TEQC kalite kontrol ¸cıktısından bir kesit verilmi¸stir. Yukarıdaki diyagramda sütunlar sırasıyla, derece biriminde uydu yükseklik a¸cısı aralı˘gını (elev), belirtilen uydu yükseklik a¸cısı aralı˘gı boyunca toplanan gözlem sayısını (tot), belirtilen uydu yükseklik a¸cısı aralı˘gında meydana gelen sinyal kesikli˘gi sayısını (slps), metre biriminde sinyal yansıması etkisinin karesel ortalama hatasını (M P1 RMS) ve karesel ortalama hatanın büyüklü˘günün kolayca anla¸sılması

(27)

Ç izelge 2.4: Yükseklik a¸cısına göre sinyal yansıması etkisi elev (deg) tot slps <MP1 rms, m> 5=% 1|m 15=% 2|m

85 - 90 1217 0 0.220182 |||| 80 - 85 1792 0 0.228008 ||||| 75 - 80 4155 0 0.250955 ||||| 70 - 75 6609 0 0.375116 |||||||| 65 - 70 6714 0 0.433762 ||||||||| 60 - 65 6687 0 0.458652 ||||||||| 55 - 60 6193 0 0.496794 |||||||||| 50 - 55 8567 0 0.598185 |||||||||||| 45 - 50 7418 0 0.567594 ||||||||||| 40 - 45 9186 0 0.652336 ||||||||||||| 35 - 40 9826 0 0.918590 |||||||||||||||||| 30 - 35 12748 0 0.835288 ||||||||||||||||| 25 - 30 12327 2 0.982162 |||||||||||||||||||| 20 - 25 14661 3 1.010005 |||||||||||||||||||| 15 - 20 14006 12 1.277065 |||||||||||||||||||||||||| 10 - 15 14437 24 1.440438 ||||||||||||||||||||||||||||| 5 - 10 17661 60 1.617538 |||||||||||||||||||||||||||||||| 0 - 5 10121 56 1.697183 #|||||||||||||||||||||||||||||||||

i¸cin tasarlanan ¸cubuk diyaramı g¨ostermektedir.

Sinyal yansıması etkisinin büyük de˘gerlere ula¸saca˘gı öngörülen bir ortama kurulan GNSS alıcısına ait uydu yükseklik a¸cısı se¸cimi ile ilgili bilgilere bir sonraki ba¸slıkta de˘ginilecektir.

2.6 Sinyal Yansıması Etkisinin Azaltılması

Daha önceki bölümlerde de anlatıldı˘gı üzere, sinyal yansıması etkisi nokta konumuna ba˘gımlı bir hata olup, jeodezik öl¸cüler i¸cin beklenen nokta konum do˘grulu˘gunu tehdit etmektedir. Bu nedenle GNSS gözlemlerinden yüksek do˘gruluk elde etmek i¸cin sinyal yansıması etkisi ile ilgili a¸sa˘gıdaki önlemlerin alınması gerekmektedir.

• Sinyal yansımasına kar¸sı alınacak en etkin önlem istasyon yeri se¸cimidir. Yansıtıcı yüzeylerin (su kenarı, metal ¸catı, bina vb.) yo˘gun bulundu˘gu ortamlardan uzak durmak bu etkiyi büyük oranda ortadan kaldıracaktır.

• Alıcı anteni i¸cin, sinyal polarizasyonlu (choke ring, graund plane) anten t¨urlerinden se¸cilmesi, ufuk a¸cısı altından gelecek olan sinyal yansıması etkisini azaltacaktır.

• Bölüm 2.4.3’de anlatıldı˘gı üzere, dü¸sük yükseklik a¸cısında bulunan uydularda sinyal yansıması etkisi büyük de˘gerlere ula¸smaktadır. Bu yüzden, GNSS

(28)

g¨ozlemlerinde uydu y¨ukseklik a¸cısının 10◦ _{− 20}◦ _{arasında se¸cilmesi, sinyal}

yansıması etkisi de˘gerini dü¸sürecektir. Ote yandan d¨¨ u¸sük yükseklik a¸cısında toplanan verilerden elde edilen yükseklik bile¸seni de˘gerlerinin daha hassas oldu˘gu da unutulmamalıdır.

• Sinyal yansıması etkisinin yo˘gun olarak gözlendi˘gi ortamlarda, sinyal kesiklikleri sayısı fazla olacaktır. Bu nedenle oturum süresi uzun tutulmalıdır. Ayrıca etkinin yo˘gun olarak kendini gösterdi˘gi ortamlarda, hızlı statik gözlemlerde yükseklik bile¸seninin hata de˘geri 15 cm’yi bulmaktadır (Kahveci, 2000).

• Sinyal yansıması etkisi, gözlem anındaki uydu-alıcı geometrisine ve yerel yansıtıcıların alıcı ¸cevresine da˘gılımıyla do˘grudan ili¸skilidir. RTK ve DGPS uygulamalarında gezici GNSS alıcısı konumu sürekli olarak de˘gi¸siklik gösterdi˘ginden, etki de devamlı olarak de˘gi¸secektir. Bu durumda etkinin izlenebilirli˘gi azalaca˘gından, sabit istasyonun kurulaca˘gı noktanın se¸cimi büyük ¨

(29)

3. UYARLANAB˙IL˙IR S ¨UZGEC¸ TEOR˙IS˙I

3.1 Temel Kavramlar

Süzge¸c terimi mühendislikte, gürültü i¸ceren bir veri grubunun i¸cerisinden bilginin ¸cıkarılmasını sa˘glayan, fiziksel bir donanım ya da bilgisayar yazılımı olarak tanımlanır. Burada gürültü, genel anlamıyla istenmeyen ses veya ses kirlili˘gi olarak tanımlanabilir. Bu tanım kısmen do˘grudur, ¸cünkü buradaki durum sadece akustik gürültüyü tanımlamaktadır. Biz jeodeziciler ise gürültü kavramını genel olarak, verilerde kü¸cük bozulmalara neden olan, istenmeyen bozucu etki olarak tanımlarız. Veriler i¸cerisindeki gürültünün pek ¸cok farklı kayna˘gı olabilir ve her sinyal i¸cerisinde ¸ce¸sitli yo˘gunluklarda bulunabilir. Gürültü, sinyal üzerindeki bozucu etkisinden dolayı modern haberle¸smenin de temel problemlerinden biridir.

GNSS verilerindeki gürültü ise öl¸cüm elemanlarının karakteristi˘ginden, GNSS alıcısının bulundu˘gu yerin kararsızlı˘gından kaynaklanmakta, ¸cevresel ko¸sullar ve zemin yapısından (sert ta¸s, toprak, vs.) ve meteorolojik etmenlerden (rüzgar, ya˘gmur, sıcaklık vs.) etkilenmektedir (Baykut vd., 2006).

Verilerden istenmeyen, bozucu etkilerin ¸cıkarılması i¸cin sayısal süzge¸cler kul-lanılmaktadır. Verilerin istatistiksel özelliklerine ve istenilen amaca göre de˘gi¸siklik gösteren bir¸cok süzge¸c mühendislik uygulamalarında geni¸s yer bulmaktadır. Kullanılan süzge¸cler süzge¸c tiplerine ve algoritmalarına göre farklı ba¸slıklar altında sınıflandırılır. Süzme i¸sleminde kullanılan algoritmalar ise optimizasyon problemini de beraberinde getirmektedir.

Süzgecin optimizasyon probleminin ¸cözümü i¸cin hata sinyalinin karelerinin minimize edilmesi gerekmektedir. ˙Istatistiksel anlamda dura˘gan veriler i¸cin, bu problemin ¸cözümü, hataların karelerini minimum yapan Wiener süzgecidir.

Verilerin istatistiksel anlamda dura˘gan olmaması durumunda ise Wiener süzgeci yeterli olmayacaktır. Bu durumda optimum süzgecin, zamanla de˘gi¸sen formda ve mühendislik uygulamalarında geni¸s kullanım alanına sahip, Kalman süzgeci olarak se¸cilmesi yerinde bir tercih olacaktır (Haykin, 1996).

Verilerin istatistiksel anlamda dura˘gan ve yakla¸sık sıfır ortalamaya sahip olmasından dolayı, sinyal yansıması etkisinin analizi Wiener s¨uzge¸cler kullanılarak yapılmalıdır.

(30)

Wiener s¨uzge¸c w0, w1, ..., wn Girdi sinyali u1, u2, ..., un P S¨uzge¸c ¸cıktısı y(n) ˙Istenen sinyal d(n) Kestirim hatası e(n) + −

S¸ekil 3.1: Wiener s¨uzge¸c 3.2 Wiener S¨uzge¸cler

Bu ba¸slık altında Wiener S¨uzge¸c olarak da bilinen optimum, do˘grusal, ayrık zamanlı s¨uzge¸clerden bahsedilecektir.

3.2.1 Problemin tanımlanması

S¸ekil 3.1’de görüldü˘gü üzere, optimum do˘grusal süzgece u(1), u(2), ..., u(n) ¸seklinde bir zaman serisi girmekte ve süzge¸c bu sinyallere w0, w1, ..., wn ¸seklinde tepkiler

vermektedir. Bu olay n ayrık zamanında geli¸smektedir ve her n zamanı i¸cin farklı girdi de˘gerlerine, farklı süzge¸c ¸cıktısı de˘gerleri kar¸sılık gelmektedir. Burada y(n) sinyali yardımıyla, istenilen sinyal kestirilmeye ¸calı¸sılır. Süzge¸c ¸cıktısı y(n) ve istenilen d(n) sinyallerinin farkı ise kestirim hatası olan e(n)’e e¸sit olacaktır. Algoritmanın amacı ise belirlenen bir istatistiksel ¸cer¸ceve i¸cinde e(n) kestirim hatasını olası en kü¸cük de˘gere e¸sitlemektir.

Uygun ¸sekilde tasarlanan Wiener s¨uzge¸c a¸sa˘gıda belirtilen ¨ozellikleri ta¸sımalıdır:

1- S¨uzge¸c do˘grusal olmalıdır. Bu sayede matematiksel analizler kolayca yapılabilecektir. Bir s¨uzgece do˘grusal diyebilmek i¸cin;

- Süzme, herhangi bir t zamanı i¸cin gürültünün veri grubundan ayıklanması i¸slemine en iyi ¸sekilde cevap verebilme,

- Yumu¸satma, s¨uzme i¸sleminden farklı olarak sadece t zamanındaki verinin de˘gil, aynı zamanda t’den sonraki veya ¨onceki verilerin de hesaba katılarak i¸slem yapılabilmesi,

- Kestirim, ge¸cmi¸steki bilgilerden yararlanarak daha önce öl¸cü yapılmamı¸s t’den sonraki bir zamana ait verinin de˘gerini tahmin etme gibi özellikleri

(31)

ba¸sarılı bir ¸sekilde yerine getirebilmelidir.

2- Süzge¸c frekans alanı yerine, ayrık n zaman alanında ¸calı¸smalıdır. Bu sayede süzge¸c sayısal bir donanım özelli˘gi gösterecektir.

S¨uzgecin yapısı ise a¸sa˘gıdaki iki sorunun yanıtları ¸cer¸cevesinde de˘gerlendirilir:

• Girdi sinyaline süzgecin verdi˘gi tepki cevabı sonlu mu? Sonsuz mu? • Ç ıktı de˘gerlerinin optimizasyonu i¸cin se¸cilen istatistiksel öl¸cüt nedir?

Burada süzgecin sonlu ya da sonsuz olması durumu onun fiziksel yapısını belirlerken, sonu¸cların optimize edilmesi i¸cin se¸cilen algoritma ise matematiksel karakterini belirleyecektir. Di˘ger bir soru ise hangi optimizasyon öl¸cütünün se¸cilmesi gerekti˘gidir. Bununla genellikle hatanın minimize edilmesi ama¸clanır. Genel olarak a¸sa˘gıdaki se¸cimlerden biri ya da birka¸cı yapılabilir:

1- Kestirim hatasının karesini minimum yapan de˘geri bulmak, 2- Kestirim hatasını s¨uzge¸cten ¸cıktı˘gı gibi almak,

3- Kestirim hatasının 3. ya da daha fazla kuvvetini almak.

Buradaki se¸ceneklerden ilki en kü¸cük kareler yöntemini kullandı˘gından di˘ger iki yönteme göre üstünlük sa˘glar. Ç ünkü hatalar bu yöntemle kolayca izlenebilir hale gelir (Haykin, 1996).

3.3 Uyarlanabilir S¨uzge¸c Teorisine Giri¸s

Wiener süzge¸c tasarımı i¸cin analiz edilecek veriye ait önceden bilinmesi gereken bazı istatistiksel bilgilere ihtiya¸c vardır. Ç ünkü süzge¸c sadece girdi verileri ile istatistiksel bilgilerin e¸sle¸sti˘gi durumlarda en do˘gru sonucu verecektir. E˘ger bu istatistiksel bilgiler en do˘gru ¸sekilde belirlenemezse, Wiener süzge¸c tasarlanamaz ya da uzun süre optimum sonu¸c veremez. Böylesi durumlarda uyarlanabilir süzge¸c, i¸c parametrelerini ayarlamak i¸cin yinelemeli (rekürsif) algoritma kullanır. Sinyalin karakterini gösteren ¨

onc¨ul bilgilerin olmadı˘gı durumlarda yinelemeli algoritma mevcut verileri kullanarak kendi i¸c parametrelerini ayarlayacaktır.

(32)

Algoritma öncelikle öncül bilgiler ile hesaba ba¸slar ve mevcut bilgilerden kendi parametrelerini (öncül istatistiksel parametreleri) hesaplamaya ¸calı¸sır. ˙Istatistiksel anlamda dura˘gan ve sıfır ortalamada olan veriler i¸cin birka¸c ba¸sarılı iterasyon ile bu durum sa˘glanabilir. Verilerin istatistiksel anlamda dura˘gan olmadı˘gı durumlarda ise algoritma, zamana göre de˘gi¸sen bu verileri izleyerek gerekli parametreleri ö˘grenmeye ¸calı¸sır. Bu durumda algoritma veriye ba˘gımlı olarak ayarlanaca˘gından, Wiener süzge¸c yerine Kalman süzgeci kullanılması yerinde bir tercih olacaktır.

3.3.1 Uyarlanabilir s¨uzgecin yapısı

Uyarlanabilir süzge¸cler süzme i¸slemini yerine getiren süzme kısmı ve sonu¸clarda optimizasyon sa˘glayan algoritma kısmı olarak iki ana bölümden olu¸smaktadır.

• Uyarlanabilir algoritmaya girdi verisi elde etmek üzere, u(0), u(1), . . . , u(n) verileri süzme i¸slemine tabi tutulur (süzge¸c bölümü).

• Uyarlanabilir kontrol ve dengeleme parametrelerini belirlemek üzere uyarlanabilir analiz ger¸cekle¸stirilir (algoritma bölümü).

Bu iki i¸slem kendi arasında etkile¸simli olarak yapılmaktadır.

Uyarlanabilir süzge¸cler i¸cin iki farklı tip süzge¸c yapısı kullanılmaktadır. Süzge¸c yapısının se¸cimi analizin bütünü i¸cin büyük önem ta¸sımaktadır. Sayısal süzge¸cler darbe tepkilerine göre ikiye ayrılır:

• Sonlu darbe tepkili (FIR) s¨uzge¸cler • Sonsuz darbe tepkili (IIR) s¨uzge¸cler

FIR (Finite Impulse Response) süzge¸clerde, ¸cıktı sinyalinin de˘geri, sadece girdi sinyalinin o andaki ve gecikmeli de˘gerlerine ba˘glı olup, süzge¸c ¸cıktı sinyalinin önceki de˘gerlerine ba˘glı de˘gildir. IIR (Infite Impulse Response) süzge¸clerde ise süzge¸c ¸cıktı sinyalinin de˘geri, girdi sinyalinin o anki de˘gerine ve gecikmeli de˘gerlerine ek olarak süzge¸c ¸cıktı sinyalinin eski de˘gerlerine de ba˘glıdır. Bu geri besleme (iterasyon) sayesinde yapılır (Sunan, 2007).

Sonlu süzge¸cler sonsuz süzge¸clerin özel bir halidir. Uygulamada sonsuz veri olmayaca˘gı i¸cin, sonlu süzge¸cler do˘gası gere˘gi daha kararlı ¸calı¸smaktadır. Ayrıca FIR süzge¸cler IIR

(33)

Z−1 _Z−1 _Z−1 u(n − 1) u(n − 2) u(n) w∗ 0 w1∗ w∗2 w∗M −1 P P P

S¸ekil 3.2: Transversal s¨uzge¸c yapısı

süzge¸clere göre daha kolay tasarnabildi˘ginden, ¸calı¸smalarımızda sonlu süze¸clerin se¸cimi daha yerinde bir tercih olacaktır. Bundan sonraki kısımlarda FIR (Finite Impulse Response) süzge¸clerden bahsedece˘giz.

3.4 FIR S¨uzge¸c Yapıları

FIR süzge¸cler yapıları ve kullanım alanları itibariyle ü¸c ana ba¸slık altında toplanabilir. Bunlar; transversal süzge¸cler, kafes (lattice) süzge¸cler, sistolik dizi (systolic array) süzge¸cler olarak sıralanabilir. Bu bölümde gürültü ayrı¸stırma algoritmaları i¸cin elveri¸sli yapıda olan transversal süzge¸clerden bahsedece˘giz.

3.4.1 Transversal s¨uzge¸cler

S¸ekil 3.2’de transversal süzgecin yapısı gösterilmi¸stir. S¸ekilden de görülece˘gi üzere, transversal süzge¸cler ü¸c temel yapıdan olu¸smaktadır:

• Birim geciktirme elemanı (Z−1_{), darbe tepki aralı˘}_{gını tayin eder. Z}−1_geciktirme

elemanı, u(n) sinyalinden birim zaman ¨onceki u(n − 1) sinyalinin elde edilmesi i¸cin kullanılır.

• Ç arpıcının görevi süzge¸c ¸cıktısını elde etmek i¸cin kademe a˘gırlıkları (wk) ile süzge¸c

girdi (u(n − k)) de˘gerlerini ¸carpmaktır.

• Toplayıcı, süzge¸c girdi de˘gerleri ve kademe a˘gırlıkları ¸carpımını toplayarak süzge¸c ¸cıktısına gönderir.

(34)

Süzge¸c derecesi ¸calı¸smadan beklenen hassasiyete göre de˘gi¸siklik gösterebilir. Örne˘gin gürültü ayrı¸stırma ama¸clı tasarlanan bir süzgecin derecesini belirlemek i¸cin veri kümeleri arasındaki ¸capraz korelasyon de˘gerlerine bakılabilir. Yukarıda sayılan i¸slemler M kez tekrar edilerek M. dereceden bir süzge¸c elde edilir. Böylece süzge¸c ¸cıktısı,

y(n) = M −1 X k=0 w∗ ku(n − k) = w∗

0u(n) + w∗1u(n − 1) + ... + w∗M −1u(n − M + 1) (3.1)

sonlu toplam e¸sitli˘ginden bulunmu¸s olur. Burada hem kademe a˘gırlıkları hem de süzge¸c girdi de˘gerleri karma¸sık sayılar cinsinden dü¸sünülür. (3.1)’de * karma¸sık e¸slenik anlamına gelmektedir. (3.1) e¸sitli˘ginde i¸c ¸carpımlar toplamı olarak elde edilen y(n)’nin sadece girdi sinyalinin o anki ve eski de˘gerlerine ba˘glı oldu˘gu görülür. Bu sonu¸cla darbe tepkisi sonludur denir. Bu yapıdaki süzme i¸slemine ileri yönlü süzme (forward filtering) adı verilir. Bu yapıdaki süzge¸clerin daha hassas sonu¸c verdi˘gi bilinmektedir (Liu vd., 2010).

3.5 En Kü¸cük Kareler Yöntemi

Bu yöntemde, hataların karelerinin toplamı minimize edilmeye ¸calı¸sılır. En kü¸cük kareler yöntemi blok kestirimi ya da tekrarlı kestirim olmak üzere iki farklı platformda incelenebilir.

Blok kestirimde, girdi verisi bloklara ayrılarak süzme i¸slemi ger¸cekle¸stirilirken, tekrarlı kestirimde her bir veri bireysel olarak i¸sleme alınır. Tekrarlı kestirimde blok kestirime göre daha fazla belle˘ge gereksinim duyulur. Ancak geli¸sen donanım özellikleri göz ¨

onüne alındı˘gında, bu a¸sılması kolay bir problem olarak görülebilir. Uyarlanabilir süzge¸clerde do˘grulu˘gu yükseltmek i¸cin tekrarlı kestirimin kullanılması daha uygun olacaktır. ˙Istenen sinyal d(n) ve süzge¸c ¸cıktı sinyali y(n) olmak üzere hata sinyali:

e(n) = d(n) − y(n) (3.2)

e¸sitli˘gi ile tanımlanır. y(n) sinyali ise s¨uzge¸c katsayısı w(n) ile girdi sinyali olan u(n)’nin i¸c ¸carpımına e¸sittir;

(35)

H ise Hermitian transpozesini ifade eder. Hermetian transpozesinin se¸cilmesinin nedeni optimum süzgeci belirleyen e¸sitliklerin daha basit gösterimini sa˘glamaktır. EKK yöntemine göre maliyet fonksiyonu,

J(w) = E|e(n)|2

(3.4)

e¸sitli˘gi ile ifade edilir. (3.2) e¸sitli˘gi (3.4)’de yerine yazıldı˘gında maliyet fonksiyonu,

J(w) = E

|d(n) − wHu(n) |2

(3.5)

halini alacaktır. Burada E beklenen de˘ger operatörüdür. (3.5) e¸sitli˘gi incelendi˘ginde algoritmanın, süzge¸c katsayıları (kademe a˘gırlıkları) vektörü kullanılarak optimize edildi˘gi görülmektedir.

3.6 S¨uzge¸c Katsayılarının Elde Edilmesi ve ˙Istatistiksel Karar

Süzge¸c katsayılarının elde edilmesi i¸cin sistem Wiener-Hopf e¸sitli˘gine göre düzenlenir (örne˘gin Wiener ¸cözümü i¸cin matris ifadelerinin olu¸sturulması vb.). Süzge¸c katsayılarını elde etmek i¸cin girdi sinyaline ait korelasyon matrisine (auto-korelasyon) ve girdi sinyali ile istenen sinyal arasındaki ¸capraz korelasyon de˘gerlerine ihtiya¸c vardır. Bu i¸slemin ardından algoritmanın en kü¸cük kareler yöntemine göre optimize edilmesi i¸cin gradyent vektör uygulaması gerekecektir. Gradyent vektör uygulaması i¸cin ortogonallik asaslarından yararlanılır.

3.6.1 Ortogonallik esası

Burada temel ama¸c maliyet fonksiyonu olarak da adlandırılan J(w) = E[|e(n)|2] de˘gerini minimum yapan de˘geri hesaplamaktır. Karma¸sık sayılarla ifade edilen girdi verileri i¸cin s¨uzge¸c katsayıları da karma¸sık yapıda,

wk = ak+ ibk k = 0, 1, 2, ... (3.6)

olur. S¸imdi (3.6) e¸sitli˘gi i¸cin bir gradyent operatörü (▽) tanımlayalım. (3.6) karma¸sık sayısının bile¸senleri, ger¸cek kısım olan ak ve sanal kısım bk oldu˘guna göre gradyent

(36)

vekt¨or, ▽k= ∂ ∂ak + i ∂ ∂bk k = 0, 1, 2, ... (3.7)

bi¸ciminde gösterilir. Gradyent operatörü ama¸c fonksiyonu J’ye uygulanırsa ortaya ¸cok boyutlu karma¸sık yapıda gradyent vektörü,

▽k(J) = ∂J ∂ak + i∂J ∂bk k = 0, 1, 2, ... (3.8)

¸cıkar. Gradyent operatörü kullanılarak fonksiyonun optimum ¸cözüm noktası bulunmu¸s olur yani (3.8) e¸sitli˘gi i¸cin ise maliyet fonksiyonu olan J’ye ait en uygun ¸cözümün bulunması ama¸clanır. En kü¸cük kareler yakla¸sımında ¸cözüm ▽k(J) = 0 i¸cin

arandı˘gında; süzge¸c optimum olacaktır. O halde gradyent operatörü kullanılarak sıfıra en yakın ¸cözüm noktası aranmaktadır. Karma¸sık sayılar cinsinden maliyet fonksiyonu,

J = E [e(n)e∗_(n)] _(3.9)

bi¸ciminde yazılsın. Burada ∗ sembol¨u ile e(n)’nin karma¸sık sayılar cinsinden e¸sleni˘gini g¨osterilmektedir. (3.9)’un gradyenti alınırsa,

▽k(J) = E e∗_(n)∂e(n) ∂ak + e(n)∂e ∗_(n) ∂ak + ie∗_(n)∂e(n) ∂bk + ie(n)∂e ∗_(n) ∂bk (3.10)

e¸sitli˘gi elde edilir. Kısmi t¨urevler, ∂e(n) ∂ak = −u(n − k) (3.11) ∂e∗_(n) ∂ak = −u∗_{(n − k)} ∂e(n) ∂bk = iu(n − k) ∂e∗_(n) ∂bk = −iu∗_{(n − k)}

sonu¸clarına kar¸sılık gelir. Yukarıdaki e¸sitlikler (3.10)’da yerine konulursa,

(37)

y(n)

e(n)

d(n)

S¸ekil 3.3: S¨uzge¸c ¸cıktısının ve kestirim hatasının birbirine g¨ore durumları

elde edilir. Optimum s¨uzge¸c katsayısına g¨ore hesaplanan hata de˘gerinin eo oldu˘gu

varsayılır ve ▽k(J) = 0 e¸sitli˘gi de göz önünde bulundurulursa, (3.12) e¸sitli˘gi,

E [u(n − k)e∗

o(n)] = 0 (3.13)

sonucunu verir. (3.13) e¸sitli˘ginin kestirim hatası e(n) ile s¨uzge¸c girdisi u(n)’nin ortogonal oldu˘gunu ifade etmektedir. S¸ekil 3.3 bu durumu basit¸ce ¨ozetlemektedir.

3.6.2 Wiener-Hopf e¸sitli˘gi

Bir önceki bölümde (3.13) e¸sitli˘gi optimum süzge¸c teorisinin dayanak noktasını olu¸sturur. FIR (sonlu) yapıda tasarlanan süzge¸cler i¸cin, süzge¸c ¸cıktısı y(n) a¸sa˘gıdaki gibi ifade edilebilir:

y(n) = M −1 X k=0 w∗ ku(n − k) (3.14)

Optimum s¨uzge¸c katsayıları i¸cin (woi) i¸cin (3.14), (3.12)’de yerine yazılırsa,

E " u(n − k) d(n) − M X i₌₀ w∗ oiu(n − i) !# = 0 (3.15)

elde edilir. Burada woi optimum s¨uzge¸c i¸cin i. tepkiyi g¨ostermektedir. (3.15) yeniden

d¨uzenlendi˘ginde,

M

X

i=0

woiE [u(n − k)u∗(n − i)] = E[u(n − k)d∗(n)] (3.16)

halini alacatır. Bu e¸sitlikteki ifadeleri a¸cıklamamız gerekirse,

(38)

fonksiyonudur:

r(i, k) = E[u(n − k)u∗_{(n − i)]} _(3.17)

• (3.16) e¸sitli˘ginin sa˘gındaki E[u(n − k)d∗_{(n)] beklenen de˘}_{geri, u(n − k) s¨}_uzge¸c

girdisi ile istenen sinyal d(n) arasındaki, k gecikmeli ¸capraz korelasyona,

p(−k) = E[u(n − k)d∗_(n)] _(3.18)

kar¸sılık gelir.(3.17) ve (3.18), (3.16)’da yerine yazıldı˘gında,

y(n) =

M

X

k=0

woir(i − k) = p(−k) k = 0, 1, 2, ... (3.19)

elde edilir. (3.19) e¸sitli˘ginde optimum süzge¸c katsayısı iki korelasyon fonksiyonu kullanılarak tanımlanmı¸stır. Bunlar, daha önce de bahsedildi˘gi üzere, süzge¸c girdi verilerinin öz korelasyon de˘gerleri(auto-correlation) ve süzge¸c girdi sinyali ile istenilen sinyal arasındaki ¸capraz korelasyon de˘gerleridir. Bu formül Wiener-Hopf e¸sitli˘gi olarak bilinir.

3.6.3 Do˘grusal transversal süzge¸cler i¸cin Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin ¸cözümü

Do˘grusal FIR (Finite Impulse Response) süzge¸clerde, istenen sinyalin kestirilmesi i¸slemi Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin ¸cözümü kullanılarak yapılır. Bu i¸slem ü¸c temel fonsiyonun kombinasyonu ¸seklinde ger¸cekle¸stirilir. Bu fonksiyonlar, birim geciktirme elemanı (Z−1_{), ¸carpıcı ve toplayıcı olarak isimlendirilir.}

Transversal FIR s¨uzge¸c, her s¨uzge¸c girdisi (u(0), u(1), ...u(M − 1)) i¸cin w0, w1, ..., wM −1

gibi süzge¸c katsayıları üretmektedir. Burada süzge¸c sonlu oldu˘gu i¸cin i¸slem M kere tekrarlanır. Bu durumda her adım i¸cin M tane Wiener-Hopf e¸sitli˘gi elde edilir. Bu e¸sitliklere ait ¸cözüm yapılarak süzge¸c ¸cıktısı elde edilir.

3.6.4 Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin matrislerle ifadesi

R matrisi transversal süzgecin u(n)’den u(n − M + 1)’e kadar olan girdi elemanları arasındaki korelasyon matrisini göstermek üzere, süzge¸c girdi sinyalleri arasındaki

(39)

korelasyon, R = E[u(n)uH(n)] (3.20) R =         r(0) r(1) ... r(M − 1) r(1) r(0) ... r(M − 2) .. . ... . .. ... r(M − 1) r(M − 2) ... r(0)        

¸seklinde ifade edilir. Burada u(n) 0’dan M − 1’e kadar süzge¸c girdi elemanlarından olu¸san vektörüdür:

u(n) = [u(n), u(n − 1), ..., u(n − M + 1)]T (3.21)

¨

Ote yandan p vektörü ise 0’dan M −1’e kadar olan süzge¸c girdi verileri ile istenen sinyal arasındaki ¸capraz korelasyon,

p = E [u(n)d∗_(n)] _(3.22)

= [p(0), p(−1), ..., p(1 − M )]T (3.23)

vektörüdür. Burada gecikme 0’dan ba¸slayarak negatif de˘gerler alacaktır. (3.19), (3.20) ve (3.23) e¸sitliklkeri göz önünde bulunduruldu˘gunda, Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin matrissel gösterimi,

Rwo = p (3.24)

¸seklinde ifade edilir. Burada wo optimum süzge¸c katsayıları vektörünü,

wo= [wo₀, wo₁, ..., w_{oM −1}] (3.25)

göstermektedir. Wiener-Hopf e¸sitli˘ginin matrislerle ¸cözümü i¸cin R korelasyon matrisinin düzenli (non-singular) olması gerekmektedir. (3.24) e¸sitli˘ginin her iki tarafının R−1 _{ile ¸carpılması durumunda optimum s¨}_{uzge¸c katsayıları vektör¨}_u,

(40)

elde edilir. Bu e¸sitlikten anla¸sılaca˘gı üzere, optimum süzge¸c katsayılarının belirlenebilmesi i¸cin süzge¸c girdi sinyali ile geciktirilmi¸s süzge¸c girdi sinyali arasındaki korelasyon matrisine ve süzge¸c girdi sinyali ile istenen sinyal arasında hesaplanan ¸capraz korelasyon vektörüne gereksinim vardır.

3.6.5 Hata ba¸sarım y¨uzeyi (Error Performance Surface)

Wiener-Hopf ¸cözümünü bulmak amacıyla kullanılan bir di˘ger yöntem hata performans yüzeyidir. (3.14) (3.2)’de yerine konulursa,

e(n) = d(n) − M −1 X k₌₀ w∗ ku(n − k) (3.27)

¸cıkar. Kestirim hatasını ifade eden (3.27) e¸sitli˘gi, maliyet fonksiyonunu ifade eden (3.9)’da yerine yazılırsa,

J = E[d(n)2] − M −1 X k₌₀ w∗ kE[u(n − k)d∗(n)] − M −1 X k₌₀ wkE[u∗(n − k)d(n)] + M −1 X k₌₀ M −1 X i=0 w∗

kwiE[u(n − k)u∗(n − i)] (3.28)

elde edilir. (3.28)’deki elde edilen d¨ort terimi sırayla ele almak gerekirse: birinci terim, d(n)’nin sıfır ortalamaya sahip olması durumunda, istenen sinyalin varyansına,

σ2d= E[|d(n)2|]

kar¸sılık gelir. ˙Ikinci ve ü¸cüncü terimler sırasıyla (−k) gecikmeli süzge¸c girdisi ile istenen sinyal arasındaki ¸capraz korelasyon vektörüne ve onun e¸sleni˘gine,

p(−k) = E[u(n − k)d∗_(n)]

p∗_{(−k) = E[u}∗_{(n − k)d(n)]}

e¸sittir. Son olarak dördüncü terim ise, süzge¸c girdi vektörünün (i − k) gecikmeli korelasyon de˘gerine,

(41)

S¸ekil 3.4: Hata ba¸sarım y¨uzeyi

kar¸sılık gelir. Yukarıdaki bilgiler ı¸sı˘gında (3.28) yeniden d¨uzenlendi˘ginde,

J = σd2− M −1 X k=0 w∗ kp(−k) − M −1 X k=0 wkp∗(−k) + M −1 X k=0 M −1 X i₌₀ w∗ kwir(i − k) (3.29)

sonucuna ula¸sılır. (3.29) e¸sitli˘gi, süzge¸c girdi vektörü ve istenen sinyal istatistiksel anlamda dura˘gan ve sıfır ortalamaya sahip oldu˘gunda, J maliyet fonsiyonunun kademe a˘gırlıklarının 2. derece fonksiyonu oldu˘gunu gösterir. Bundan dolayı, J maliyet fonsiyonu grafi˘ginin süzge¸c a˘gırlıklarına (w0, w1, ..., wn−1) ba˘gımlı, M + 1 boyutlu

paraboloid bir yüzey bi¸cimde dü¸sünebiliriz. Bu yüzeye hata performans yüzeyi adı verilir (Haykin, 1996). S¸ekil 3.4’de görüldü˘gü üzere, wo optimum süzge¸c a˘gırlı˘gı i¸cin

maliyet fonksiyonu minimum de˘gerini almaktadır. Bu durumda gradyent vektör sıfır de˘gerini alacaktır (▽k(J) = 0). Burada ▽k(J) gradyent vektörün k. elemanı olarak,

wk = ak+ ibk

▽_k(J) = ∂J ∂ak

+ i∂J ∂bk

yazılır. (3.29) i¸cin kısmi t¨urevler alınıp e¸sitlik d¨uzenlendi˘ginde,

▽_k(J) = −2p(−k) + 2

M −1

X

i=0

(42)

sonucu ¸cıkar. Bu formülü optimize etmek üzere optimum süzge¸c a˘gırlık de˘gerini bulmamız gerekmektedir. Bu durumda (3.30) e¸sitli˘gi,

M −1

X

k=0

woir(i − k) = p(−k) k = 0, 1, ..., M − 1 (3.31)

halini alacaktır. Daha önce de sözedildi˘gi gibi istenen sinyal, süzge¸c ¸cıktısısı y(n) kullanılarak kestirilmeye ¸calı¸sılmaktadır. Bu durum,

y(n) = ˆd(n) = M −1 X k=o w∗ oku(n − k) = w H o u(n) (3.32)

e¸sitli˘giyle ifade edilebilir. ˆd(n) istenen sinyalin kestirim de˘geridir. Bu durumda ˆd(n)’nin varyansı, σd2 = E[w H o u(n)u H (n)wo] (3.33) = woHE[u(n)u H (n)]wo = woHRwo

e¸sitli˘ginden hesaplanabilir. Buradan maliyet fonksiyonu en k¨u¸c¨uk yapacak de˘ger i¸cin,

Jmin = σd2− p H wo (3.34) = σd2− p H R−1_p

sonucu elde edilir. (3.34) e¸sitli˘ginden de görüldü˘gü üzere maliyet fonksiyonunu minimum yapan de˘ger, istenilen sinyalin varyansına, süzge¸c girdi de˘gerinin korelasyonuna ve süzge¸c girdi vektörü ile istenen sinyal arasındaki ¸capraz korelasyon de˘gerlerine ba˘gılıdır. Bu ¸cözüme hata performans yüzeyi adı verilmektedir.

3.7 Steepest Descent Y¨ontemi

Bu yöntem optimizasyonda bilinen en eski iteratif yöntemlerden biridir. Burada temel ama¸c, tekrarlı (rekürsif) sistemlerde kademe a˘gırlıklarını iterasyon kullanarak optimize etmektir. Sonu¸c, Wiener-Hopf e¸sitli˘gi yardımıyla elde edilen ¸cözüme yakınsanır. Bu sistem, hata performans yüzeyi üzerindeki optimum noktanın bulunması i¸cin tasarlanan kapalı lup, iteratif bir kontrol sistemidir. Ozetle, bu yöntem kullanılarak (3.34)¨

(43)

e¸sitli˘gini en kü¸cük yapan de˘geri bulunmak istenmektedir. Bu i¸slem dört temel adımda ger¸cekle¸sir;

1- ˙Ilk olarak w0 s¨uzge¸c katsayısı (kademe a˘gırlı˘gı) ba¸slangı¸c de˘ger olarak se¸cilir.

Bu de˘ger bize maliyet fonsiyonunu minimum yapan de˘gerin, y¨uzey ¨uzerindeki yakla¸sık yerini bildirmektedir.

2- Bulunan w0de˘geri yardımıyla, J(n) vektörünün ger¸cek ve sanal par¸calarının kısmi

t¨urevleri alınarak gradyenti bulunur. Bu i¸slem n zamanının (n. iterasyonun) s¨uzge¸c ¸cıktı a˘gırlı˘gı olan wni¸cin de yapılır ve ger¸cek ve sanal kısımlar kar¸sıla¸stırılır.

3- Bir sonraki adımın kestirimi i¸cin ba¸slangı¸cta bulunan kademe a˘gırlı˘gı, gradyent vektörden bulunan de˘gere göre tekrar düzenlenir.

4- 2. adıma gidilir ve i¸slem devam eder.

▽J(n) n. eleman gradyent vektörü, w(n) ise n. eleman süzge¸c a˘gırlı˘gını göstersin. Steepest Descent algoritması, (n + 1) eleman i¸cin güncellenmi¸s süzge¸c a˘gırlık vektörü w(n + 1) i¸cin;

w(n + 1) = w(n) +1

2µ[−▽(J(n))] (3.35)

e¸sitli˘gi yazılabilir. Burada ge¸cen µ ifadesi pozitif ger¸cek de˘gerli bir sabittir, 1₂ ifadesi ise sadece iterasyon de˘gerlerini birbirlerine yakınsanması i¸cin kullanılır. Bu algoritmanın geli¸stirilmesi i¸cin ▽J(n) de˘gerlerinin her derece i¸cin bulunarak,

▽(J(n)) =         ∂J_(n) ∂a0(n) j ∂J_(n) ∂b0(n) ∂J_(n) ∂a1(n) j ∂J_(n) ∂b1(n) .. . ... ∂J_(n) ∂a_{M −1}_(n) j ∂J_(n) ∂b_{M −1}_(n)         = −2p + 2Rw(n)

e¸sitli˘gine göre düzenlenmesi gerekir. Gradient vektör de˘geri (3.35) e¸sitli˘ginde yerine yazıldı˘gında,

w(n + 1) = w(n) + µ[p − Rw(n)] n = 0, 1, 2, ..., n (3.36)

elde edilir. Burada µ de˘geri iterasyon sonucu bulunan de˘gerler arasındaki yakınlı˘gı kontrol eden µ büyüklü˘güne basamak öl¸cü parametresi (Step-size parameter) ya da

(44)

a˘gırlıklandırma sabiti denir.

3.7.1 Steepest descent algoritmasının kararlılı˘gının incelenmesi

Steepest descent algoritmasının iteratif bir yönteme dayanması kararlılık problemini de beraberinde getirmektedir. (3.36) e¸sitli˘ginden a¸cık¸ca görülece˘gi üzere, algoritmanın kararlılı˘gı iki parametreye ba˘glıdır. Bunlar, µ basamak öl¸cü parametresi ve u(n) süzge¸c girdi de˘gerlerine ait R korelasyon matirisidir. Algoritmanın kararlılık durumu i¸cin R korelasyon matrisinin özde˘gerinden yararlanılarak optimum µ parametresi belirlenmeye ¸calı¸sılır. En uygun µ de˘geri se¸cimi i¸cin,

−1 < 1 − µλk< 1 (3.37)

0 < µ < 2 λmax

e¸sitsizli˘ginden yaralanılır. Burada λmax R korelasyon matrisinin en büyük özde˘gerini

göstermektedir. Konu hakkında daha ayrıntılı bilgi i¸cin Haykin’e (1996) bakılabilir. Steepest Descent algoritmasının kararlılı˘gı ya da ba¸ska bir deyi¸sle süzge¸c a˘gırlı˘gının optimum de˘gere yakınsanması basamak öl¸cü parametresinin se¸cimine ba˘glı oldu˘gundan, bu se¸cimin uygulamadaki önemi büyüktür.

3.8 Uyarlanabilir S¨uzge¸c Uygulamaları

Uyarlanabilir süzge¸cler, sinyal analizi ve kontrol uygulamalarında kullanılan gü¸clü ara¸clardır. Ozellikle haberle¸sme, radar, sonar, sismoloji ve biomedikal¨ mühendisliklerinde geni¸s kullanım alanına sahiptirler. Aslında bu meslek alanlarında kullanılan uygulamalar birbirlerinden farklı gözükseler de, her bir uygulamada girdi sinyali vektörü, istenilen de˘gere göre bir kestirim hatası ve bu hataya göre dengelenen süzge¸c katsayıları mevcuttur. Dengelenen katsayılar, uydu foto˘graflarında yansıma katsayıları, sismolojide rotasyon parametreleri gibi süzgecin kullanım amacına göre de˘gi¸sikik gösterebilir. Genel olarak uyarlanabilir süzge¸cler kullanım alanlarına göre ¨

(45)

3.8.1 Tanımlama (Modelleme)

Uyarlanabilir süzge¸c kullanılarak bilinmeyen bir sisteme ait model tanımlaması yapılabilir. Girdi sinyali u(n), bilinmeyen h sistemine ve uyarlanabilir süzgece e¸s zamanlı olarak gönderilir. Ardından uyarlanabilir süzge¸c ¸cıktısı y(n) ve bilinmeyen sistem ¸cıktısı d(n) sinyalleri kar¸sıla¸stırılarak bilinmeyen sistem tanımlanmaya ¸calı¸sılır. Algoritma hatayı sıfıra yakla¸stıracak ¸sekilde, süzge¸c katsayılarını günceller. Sistemin daha iyi anla¸sılması i¸cin matematiksel olarak,

d(n) = h(n)u(n) y(n) = u(n)w(n) e(n) = d(n) − y(n)

¸seklinde ifade edilir. Burada hata sinyali olan e(n)’nin de˘geri sıfır kabul edilirse e¸sitlik,

d(n) − y(n) = 0

h(n)u(n) − u(n)w(n) = 0 (3.38)

halini alacaktır. (3.38) e¸sitli˘gi d¨uzenlendi˘ginde,

h(n)u(n) = u(n)w(n)

h(n) = w(n) (3.39)

elde edilir. (3.39) e¸sitli˘ginden de görüldü˘gü üzere, bilinmeyen sistem süzge¸c katsayılarına e¸sit olur. Bu durumda bilinmeyen sistem tanımlanmı¸s olur. Ancak uygulamada hata sinyali sıfır olmayaca˘gından bilinmeyen sisteme tam olarak yakınsama sa˘glanamaz (Sunan, 2007).

3.8.2 Ters modelleme

Uyarlanabilir süzge¸c kullanılarak, bilinmeyen gürültülü ortama ait ters modelleme i¸slemi yapılabilmektedir. S¸ekil 3.6’da görüldü˘gü üzere d(n) istenen sinyali u(n) sinyali ile birbirlerine e¸sit kabul edilir. Ardından u(n) sinyali bilinmeyen sistemden ge¸ctikten sonra uyarlanabilir süzgece gönderilerek y(n) sinyali elde edilir. ˙Istenilen sinyal ve süzge¸c ¸cıktı sinyalleri birbirleriyle kar¸sıla¸stırılarak bilinmeyen ortam modellenmeye

(46)

Uyarlanabilir s¨uzge¸c Bilinmeyen sistem h(n) d(n) y(n) e(n) + -u(n)

S¸ekil 3.5: Uyarlanabilir s¨uzge¸c kullanarak bilinmeyen sistemin tanımlanması

u(n) = d(n) Uyarlanabilir s¨uzge¸c Bilinmeyen sistem h(n) y(n) e(n) + -u(n) S

¸ekil 3.6: Uyarlanabilir s¨uzge¸c kullanarak ters modelleme

¸calı¸sılır. Uygulamanın matematiksel g¨osterimi,

y(n) = h(n)u(n)w(n) e(n) = d(n) − y(n) = 0

e(n) = u(n) − h(n)u(n)w(n) = 0 u(n) = h(n)u(n)w(n)

w(n) = h(n) (3.40)

¸seklinde ifade edilir. (3.40) e¸sitli˘gine g¨ore, hata sinyali sıfır oldu˘gunda s¨uzge¸c katsayıları bilinmeyen sistem tepkisinin tersine e¸sit olacaktır. Bu ¸sekilde bilinmeyen sistemin tersi bulunmu¸s olur. Ancak ters sistemin bulunabilmesi i¸cin sistemin tersinin alınabilir olması gerekmektedir (Sunan, 2007).