Lineer diferansiyel denklemleri matris metoduyla yaklaşık çözümleri

(1)

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MATRİS METODUYLA YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

Mustafa Gökhan ÇETİN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

(3)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN MATRİS METODUYLA YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI 2010 , 52 Sayfa

Jüri: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ

Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, genel tanımlar ele alınmıştır. İkinci bölümde, lineer diferansiyel denklemlerin Chebyshev kollokasyon noktaları yardımıyla çözüm metodu ele alınmıştır.

Üçüncü bölümde, lineer diferansiyel denklemlerin Taylor serisi yardımı ile çözüm metodu ele alınmıştır.

Dördüncü bölümde ise uygulamalara yer verilmiştir.

Anahtar kelimeler: Lineer Diferansiyel Denklemler, Chebyshev Polinomları, Taylor Serileri,

(4)

ABSTRACT

Master Thesis

APPROXIMATION SOLUTIONS

WITH MATRIX METHOD OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI 2010 , 52 Pages

Jury: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ

Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER

This study consists of four parts. In the first section, general definitions have been addressed.

In the second section, linear differential equation solution with the help of the Chebyshev method of ranking points have been addressed.

In the third section, linear differential equations with the help of Taylor series method of solution is discussed.

In the fourth section where tehe applications are given

(5)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, genel tanımlar ele alınmıştır. İkinci bölümde, lineer diferansiyel denklemlerin Chebyshev sıralama noktaları yardımıyla çözüm metodu ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, lineer diferansiyel denklemlerin Taylor serisi yardımı ile çözüm metodu ele alınmıştır. Dördüncü bölümde ise uygulamalara yer verilmiştir.

Yüksek lisans çalışmam süresince her türlü desteğini esiregemeyen, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten saygıdeğer danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI ve Yrd. Doç. Dr. Aydın KURNAZ’a, hazırlık çalışmalarımda bana yön veren sevgili abim Yrd. Doç. Dr. Mehmet Çağrı ÇETİN’e ve daima bana her konuda destek olan aileme teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Mustafa Gökhan ÇETİN

(6)

İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii İÇİNDEKİLER iv 1.BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR 1 2.BÖLÜM

II.MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN

CHEBYSHEV-KOLLOKASYON YÖNTEMİ 12

3.BÖLÜM

II.MERTEBEDENLİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN TAYLOR

MATRİS YÖNTEMİ 19

4.BÖLÜM

III.MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN

CHEBYSHEV-KOLLOKASYON YÖNTEMİ 25

5.BÖLÜM

III.MERTEBEDENLİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN TAYLOR

MATRİS YÖNTEMİ 31

6.BÖLÜM

UYGULAMALAR 34

SONUÇ VE ÖNERİLER 50

(7)

1.TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Literatür Özeti

Kaynak 1994, Bu çalışmasında ikinci mertebeden değişken katsayılı

( ) ''P x y +Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1 lineer diferansiyel denkleminin

1 ( ) ( ) ( ) 0 [ i ( 1) i (1) i ( )] i i i i a y b y c y c λ = − + + =

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 [ i ( 1) i (1) i ( )] 1 1 i i i i y y y c c α β γ μ = − + + = − ≤ ≤

∑

başlangıç koşulları altında,

x0=1 ve xN=-1 olarak alındığı zaman

x_j cos j j 0,1,...,N N

π

= =

veya x0=-1, xN=1 olarak alındığı zaman

x_j cos(N j) j 0,1,..., ;N N

π

−

= =

şeklindeki kollokasyon noktaları esas alınarak, Chebyshev serileri yardımı ile

0 ( ) N ' _{r r}( ) 1 1 r y x a T x x = =

∑

− ≤ ≤

yaklaşık çözümülerini elde etmiştir.

Ayrıca çalışmasında Cauchy-Euler diferansiyel denklemlerin çözümlerini de incelemiştir.

Günhan 2001, Bu çalışmasında,

_{P x y}_{( ) ''}₊_{Q x y R x y S x y}_{( ) '}₊ _{( )} ₊ _{( )} 2 ₌ _{f x}_{( )}

formunda ikinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denkleminin verilen koşullar altında

(8)

formunda bir Chebyshev seri çözümünü bulmaktadır. Öte yandan

[

]

[

]

1 * * 1 2 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) x p q F V y x = f x +λ

∫

K x t y t dt+λ

∫

K x t y t dt

ikinci tür lineer olmayan Volterra-Fredholm integral denkleminde

* 0 ( ) N ' _{r r} ( ) 0 1 r y x a T x x = =

∑

≤ ≤

formunda bir Chebyshev seri çözümü incelenmiştir.

Ayrıca bu çalışmada iki değişkenli Chebyshev polinomları ele alınmıştır. Lineer olmayan denklemlerin Chebyshev matris metodu ele alınmıştır.

Keşan 2002, Bu çalışmasında ikinci mertebeden değişken katsayılı

∑

, , , , , , , i i i i i i

a b c α β γ λ μ reel katsayılar , a c b≤ ≤ olmak üzere başlangıç değerleri yardımı ile

Taylor serisi kullanılarak

( ) 1 1 ( ) ( ) ! N _n r y x y c a c b n = = ∑ ≤ ≤ 0,1, 2,...

n= N olmak üzere yukarıdaki şekilde yaklaşık çözümü bulmuştur.

Ayrıca Taylor katsayılarının matris formuna dönüştürülmesi, lineer diferansiyel denklemlerin matris formuna dönüştürülerek çözümü, konuları ele alınmıştır.

Dolapcı 1996, Bu çalışmasında ikinci mertebeden değişken katsayılı

(9)

∑

başlangıç koşulları altında,

0 ( ) N ' _{r r}( ) 1 1 r y x a T x x = =

∑

− ≤ ≤

yaklaşık çözümünü elde etmiştir.

Albayrak 2007, Bu çalışmasında ise, birinci tip ( )T x_n Chebyshev polinomları, ikinci tip ( )

n

U x Chebyshev polinomları, Chebyshev polinomlarının matris özellikleri ve yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemin Chebyshev sıralama yöntemi ile yaklaşık çözümleri, gibi konuları ele almıştır.

Biz de bu tezde, literatür özetinde verilen kaynaklardan elde edilen bilgilerin doğrultusunda üçüncü mertebedeki

( ) '''L x y +P x y( ) "+Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1

lineer diferansiyel denklemlerin Chebyshev ve Taylor serileri yardımı ile yaklaşık çözümlerini ele aldık ve Örnek 3’te bir uygulamasını verdik.

1.2. Problemin Tanıtımı

İkinci mertebeden değişken katsayılı

( ) ''P x y +Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1 (1.1) lineer diferansiyel denkleminin

∑

(1.2)

(10)

0 ( ) N ' _{r r}( ) 1 1 r y x a T x x = =

∑

− ≤ ≤ (1.3)

(

∑

' _{gösterimi ilk terimin yarısı alınacağı anlamındadır) formunda bir sonlu Chebyshev}

serisi ile yaklaşabiliriz.

Burada, P(x), Q(x), R(x) ve f(x) fonksiyonları -1 ≤ x ≤ 1 aralığında sürekli fonksiyonlar;

ai, bi, ci, αi, βi, γ ve μ sabitleri uygun verilmiş reel değerler; Tr(x)

r. dereceden bir değişkenli Chebyshev polinomu; ar katsayıları belirlenmesi gereken

Chebyshev katsayılarıdır.

Bu çalışmadaki amacımız, (1.1) diferansiyel denkleminin (1.2) koşullarına göre (1.3) sonlu Chebyshev serisi formunda çözümünü bulmaktır.

Şimdi bu çalışmada kullanacağımız Chebyshev polinomları ve serileriyle ilgili bazı temel kavramları vereceğiz.

1.3.Lineer Diferansiyel Denklemler

Bir diferansiyel denklem; bilinmeyen fonksiyon y ve bağımsız değişken x olmak üzere

( )

( ) ( 1) (2) (1) 1( ) . . . 2( ) 1( ) 0( ) ( ) n n n n b x y b x y − b x y b x y b x y f x − + + + + + = veya ( ) 0 ( ) ( ) n i i i b x y f x = =

∑

i=0,1, 2, ... n

biçiminde yazılabiliyorsa bu diferansiyel denkleme LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM denir. Burada ( )b x_i ve ( )f x bilinen ve yalnız x değişkenine bağlı fonksiyonlardır. ( Yaşar 1999)

1.4. Tek Değişkenli Chebyshev Polinomları ve Özellikleri Tek değişkenli birinci tür Chebyshev polinomları

(11)

ve 1 0 cos 1 2 , cos ) ( * _x ₌ _r _x₋ ₌ _≤_x_≤ T_r θ θ (1.5) şeklinde tanımlanır. 1 x

0≤ ≤ ve −1≤x≤1 aralıklarında aşağıdaki özellikleri verebiliriz. a) T_r₊₁( ) 2x = xT x_r( )−T_r₋₁( )x − ≤ ≤ 1 x 1 * * * 1( ) 2(2 1) ( ) 1( ) 0 1 r r r T ₊ x = x− T x −T ₋ x ≤ ≤ x (1.6) burada T (x) 1, T(x) x ve T (x) 1,T*(x) 2x 1 1 * 0 1

0 = = = = − dir. r≥ için genel bağıntıları; 1

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ₍₂_x₎ − _... 1 2 r 1 1 r 2 ) x 2 ( 2 1 ) x ( T r r 2 r (1.7) ve ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ₂ − _x − _... 1 2 r 2 1 1 r 2 2 x 2 2 1 ) x ( T* 2r r 2r 2 r 1 r (1.8) ) x (

T_r in x in kuvvetleri cinsinden yazılımı; T₀(x)= 1 T₁(x)=x T(x) 2x2 1 2 = − T(x) 4x3 3x 3 = − T(x) 8x4 8x2 1 4 = − + T(x) 16x5 20x3 5x 5 = − + _M Benzer şekilde, T*(x)

r in x in kuvvetleri cinsinden yazılımı;

T*(x) 1

0 =

T*(x) 2x 1

(12)

T*(x) 32x3 48x2 18x 1 3 = − + − T*(x) 128x4 256x3 160x2 32x 1 4 = − + − + T*(x) 5125 1280x4 1120x3 400x2 50x 1 5 = − + − + −

_M b) _xr_nin_T₍_x₎

r ve Tr*(x) cinsinden yazılımı için genel bağıntıları

₂ 0 1 ( ) 2 r r i r r i r x T x i − = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

(1.9) ve 2 * 2 0 2 1 ( ) 2 r r i r r i r x T x i − = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

(1.10)

olacak şekilde ifade edilir. Daha açık olarak,

1=T₀(x) x=T₁(x) 2 0 2 2x =T x( )+T x( ) 4x3 ₌3T₁(x)₊T₃(x) 8x4 ₌3T₀(x)₊4T₂(x)₊T₄(x) 16x5 ₌10T₁(x)₊5T₃(x)₊T₅(x) M ve 1 T*(x) 0 = 2x T (x) T*(x) 1 * 0 + = 8x 3T (x) 4T (x) T*(x) 2 * 1 * 1 2 ₌ ₊ ₊ ) x ( T ) x ( T 6 ) x ( T 15 ) x ( T 10 x 32 * 3 * 2 * 1 * 0 3 ₌ ₊ ₊ ₊

(13)

) x ( T ) x ( T 8 ) x ( T 28 ) x ( T 56 ) x ( T 35 x 128 * 4 * 3 * 2 * 1 * 0 4 ₌ ₊ ₊ ₊ ₊ ) x ( T ) x ( T 10 ) x ( T 45 ) x ( T 120 ) x ( T 210 ) x ( T 126 x 512 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 0 5 ₌ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ _M c) T_r(x) ve T*(x)

r polinomlarının belirsiz integralleri

1 1 ( ) ( 0) 1 ( ) ( ) ( 1) 4 ( ) ( ) ( 1) 2( 1) 2( 1) r r r r r T x r T x dx T x r T x T x r r r + − ⎧ ⎪ ₌ ⎪ ⎪ =_⎨ = ⎪ ⎪ ₋ _〉 ⎪ ₊ ₋ ⎩

∫

(1.11) * * * * 1 1 1 ( ) ( 0) 2 1 ( ) ( ) ( 1) 4 ( ) ( ) ( 1) 4( 1) 4( 1) r r r r r T x r T x dx T x r T x T x r r r + − ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ =_⎨ = ⎪ ⎪ − 〉 ⎪ ₊ ₋ ⎩

∫

bağıntılarını elde ederiz. (Fox 1969 ; Kaynak 1994)

1.5. Tek Değişekenli Chebyshev Serileri

Eğer bir f(x) fonksiyonu −1≤x≤1 aralığında tanımlı ve bu aralıkta sınırlı değişimli ise; o zaman aralığın tamamında düzgün yakınsayan

0 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ... ' ( ) 2 r r r f x a T x a T x ∞ a T x = = + + =

∑

(1.12)

formunda bir seri açılımı vardır. T_r(x) (1.4) ile tanımlanan Chebyshev polinomudur. Bu seriye bir değişkenli Chebyshev serisi denir. ar katsayıları

1 2 1 ( ) ( ) 2 0,1, 2, ... 1 r r f x T x a d x r x π ₋ = = −

∫

(1.13)

formu ile verilir. (Elliot 1969)

(14)

* 0 ( ) ' _{r r}( ) r f x ∞ a T x = =

∑

(1.14)

formunda düzgün yakınsak Chebyshev serisine açılabilir. Benzer teorem (1.13) Chebyshev serileri için de geçerlidir. (Mason 1967 ; Basu1970 ; Elliot 1969 ; Kaynak 1994)

1.6. Chebyshev Kollokasyon Noktaları

Chebyshev polinomlarının tanım aralığı olan −1≤x≤1 aralığını x0, x1,

…, xN noktaları ile N parçaya bölelim. Bu noktalara sıralama noktaları denir. x sıralama noktaları, x0=1 ve xN=-1 olarak alırsak, o zaman

x_j cos j j 0,1,...,N N

π

= =

veya x0=-1, xN=1 olarak alırsak, o zaman

x_j cos(N j) j 0,1,..., ;N N π − = = formülleriyle belirlenir.

Eğer 0≤x≤1 aralığında çözüm alınırsa, Chebyshev kollokasyon noktaları,

( ) 1 ( ) 2 1 cos 1 cos 0,1,..., 2 j j N j N j x veya x j N N N π π − ⎡ − ⎤ − = = _⎢ + _⎥ = ⎣ ⎦ ve 2 1 cos 1 1 cos , 0,1,..., 2 j j j J x veya x j N N N π ⎡ π⎤ − = = _⎢ + _⎥ = ⎣ ⎦

olur. (Çelik and Gokmen 2005)

1.7. Chebyshev Katsayılarının Hesabı

y(x), −1≤x≤1 aralığında tanımlı ve x e göre n. türevinden bir fonksiyon olmak üzere , y(x) in n. türevinin Chebyshev seri açılımları

y(x) 'aT_r(x) 0 r r

∑

∞ = = (1.15) ve

(15)

y (x) 'a T_r(x) 0 r ) n ( r ) n (

∑

∞ = = (1.16) olarak yazılabilir. Burada (n) r

a ve ar Chebyshev katsayılarıdır. Ayrıca a(r0)=ar ve y

(0)_{=y olduğu açıktır. (1.11)} bağıntısı kullanılarak, _y(n+1)_{( )}_x _ve_y( )n _{( )}_x _{ın katsayıları arasında}

( ) ( 1) ( 1)

1 1

2 n n n 1

r r r

ra =a₋+ −a₊+ r≥ (1.17) rekürans bağıntısı elde edilebilir.

Şimdi (1.16) denkleminden, ( ) ( 1) ( 1) 1 2 2( 1) n n n r r r r+ a ₊ =a + −a ₊+ (n 1) 4 r ) 1 n ( 2 r ) n ( 3 r a a a ) 3 r ( 2 + ₊ = ₊+ − ₊+ ( ) ( 1) ( 1) 5 4 6 2( 5) n n n r r r r+ a ₊ = a ₊+ −a ₊+

M

dir. Bunlar taraf tarafa toplanarak

a 2

{

(r 1)a (r 3)a (r 5)a(n) ...

}

5 r ) n ( 3 r ) n ( 1 r ) 1 n ( r + = + + + + + + + + + ya da

∑

∞ = + + + ₌ ₊ ₊ 0 i ) n ( 1 i 2 r ) 1 n ( r (r 2i 1)a a (1.18)

elde edilir. (1.17) bağıntısı kullanılarak (1) r

a ve (2) r

a katsayıları ar ler cinsinden

∑

∞ = + + + + = 0 i 1 i 2 r ) 1 ( r 2 (r 2i 1)a a

∑

∞ = + + + + = 0 i ) 1 ( 1 i 2 r ) 2 ( r 2 (r 2i 1)a a (1.19) ve (2) 2 1 0 4 ( 2 1) r r i i a ∞ r i a_{+ +} = =

∑

+ + (1.20)

(16)

olarak elde edilir. Burada r =0,1,...,N alırız ve r>N için a a a(2) ... 0 r ) 1 ( r r = = = = kabul ederek (1.17) bağıntısını A(n+1)₌2MA(n) n₌0,1,2... _(1.21) matris formuna dönüştürürüz. Burada An ve M matrisleri aşağıda tanımlanmıştır;

( ) 1 ₀( ) ₁( ). . . ( ) 2 T n n n n N A _{= ⎢}⎡ a a a ⎤_⎥ ⎣ ⎦ N tek için ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 . . . . 0 0 0 0 0 N . . . 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N . . . 5 0 3 0 0 0 0 . . . 0 4 0 2 0 0 2 / N . . . 2 / 5 0 2 / 3 0 2 / 1 0 M N çift için ; 0 1/2 0 3/2 0 5/2 . . . 0 0 0 2 0 4 0 . . . N 0 0 0 3 0 5 . . . 0 . . . . . . . . . . M = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 . . . N 0 0 0 0 0 . . . . 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dir. N=0,1,… için (1.20) den A M 2 MA 2 A MA 2 A 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( = = =

(17)

A M 2 MA 2 A(3) ₌ (2) ₌ 3 3

_M A(n) ₌2MA(n−1) ₌2nMnA_⇒ A(n) ₌2nMnA_(1.22)

elde edilir. Burada A(0)_{= A olduğu açıktır.}

Sonuç olarak, (1.21) deki matris bağıntısı y(x) Chebyshev katsayıları matrisi A ile y(x)

in n.ci türevinin A(n)_{Chebyshev katsayıları matrisi arasındaki bir temel bağıntıdır.} Eğer y(x) fonksiyonu 0≤ x≤1 aralığında tanımlanmışsa, (1.21) matris bağıntısı,

A(n)₌4nMnA _(1.23)

(18)

2. II. MERTEBEDEN LİNEER DİFERENSİYEL DEKNKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN CHEBYSHEV- KOLLOKASYON YÖNTEMİ

2.1. Diferansiyel Denklemin Matris Denklemine Dönüştürülmesi Bu bölümde ikinci mertebeden lineer

( ) "P x y +Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) (2.1)

diferansiyel denklemini göz önüne alalım. Burada P(x), Q(x), R(x) ve f(x) fonksiyonlarının

1 x 1≤ ≤

− veya 0≤x≤1 aralığında tanımlandığını varsayıyoruz. Amacımız Chebyshev sıralama noktalarına kullanarak, bu denklemin çözümünü

0 N r y(x)= 'a T (x)_{r r} = ∑ (2.2)

kesilmiş (sonlu) Chebyshev serisi veya

[y(x)]=T_xA (2.3)

matris formunda bulmaktır. Burada, Tr(x), (1.4) de tanımlanan Chebyshev polinomlarıdır. ar ise tayin edilecek Chebyshev katsayılardır. Sırasıyla Tx ve A matrisleri

T_x =[ ( ), ( ), ... ,T x T x₀ ₁ T x_N( )] 1 ₀ ₁... 2 T N A_{= ⎢}⎡ a a a ⎤_⎥ ⎣ ⎦ şeklinde tanımlanır.

xj (j=0,1,…,N) Chebyshev sıralama noktalarını (2.1) denkleminde yerine koyarsak,

P(x_j)y"(x_j)+Q(x_j)y'(x_j)+R(x_j)y(x_j )= f(x_j )

şeklinde elde edilir. Daha açık olarak yazarsak,

P(x₀)y"(x₀)+Q(x₀)y'(x₀)+R(x₀)y(x₀)= f(x₀) P x y x( ) "( )₁ ₁ +Q x y x( ) '( )₁ ₁ + R x y x( ) ( )₁ ₁ = f x( )₁ M ) x ( f ) x ( y ) x ( R ) x ( ' y ) x ( Q ) x ( " y ) x ( P _N _N + _N _N + _N _N = _N (2.4) Bu sistemi, matris formunda aşağıdaki gibi yazabiliriz.

(19)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) x ( P . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) x ( P 0 0 . . . 0 ) x ( P N 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) x ( Q . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . ) x ( Q . 0 . . . 0 ) x ( Q ) x ( " y . . . . . . ) x ( " y ) x ( " y N 1 0 N 1 0 0 1 ' ( ) ' ( ) . . . ' ( )_N y x y x y x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 1 1 1 ( ) 0 . . . 0 ( ) ( ) 0 ( ) . . . 0 ( ) ( ) . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ( )_N ( )_N ( )_N R x y x f x R x y x f x R x y x f x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +_⎢ _{⎥ ⎢} _{⎥ ⎢}= _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ veya kısaca PY"+QY'+RY = F (2.5) olarak yazılabilir. Burada matrisler aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

0 1 ( ) 0 . . . 0 0 ( ) . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ( )_N P x P x P P x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) x ( Q . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . ) x ( Q 0 0 . . . 0 ) x ( Q Q N 1 0

(20)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ) x ( R . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . ) x ( R 0 0 . . . 0 ) x ( R R N 1 0 [ ( ) ( )... ( )]₀ ₁ T N F = f x f x f x '' [ "( ) "( )... ''( )]₀ ₁ T N y = y x y x y x ' [ '( ) '( )... '(₀ ₁ )]T N y = y x y x y x [ ( ) ( )... ( )]₀ ₁ T N Y = y x y x y x

Diğer yandan, x=xj Chebyshev kollokasyon noktalarından çözüm ve türevleri,

0 ( ) N ' _{r r}( ) r y x a T x = =

∑

(2.6) (1) 0 '( ) N ' _r _r( ) r y x a T x = =

∑

(2.7) (2) 0 ''( ) N ' _r _r( ) r y x a T x = =

∑

(2.8) dir.

J=0,1,…,N olduğuna göre, (2.6) sisteminin matris formu

0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1. 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ). . . ( ) 2 ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . _. . . . _. . . . _. ( ) ( ) ( ) . . . ( ) N N N N N N N y x T x T x T x a y x T x T x T x _a y x T x T x T x _a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢}_⎣ _⎥_⎦ veya Y=TA (2.9)

(21)

olarak bulunur. Benzer şekilde (2.7) ve (2.8) sistemlerinin matris formları _Y_'₌_{TA ve Y}(1) _''₌_TA(2)_(2.10) dır. Burada T matrisi 0 0 1 0 N 0 0 1 1 1 N 1 0 N 1 N N N T (x ) T (x ). . .T (x ) T (x ) T (x ). . .T (x ) . . . . . . T = . . . . . . . . . . . . T (x )T (x ). . .T (x ) ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ olarak tanımlanmıştır.

(2.9) ve (2.10) de elde edilen matrisleri (2.5) denkleminde yerine yazarsak

PTA(2)_+QTA(1)_+RTA=F elde ederiz. (1.21) bağıntısından

A(2)_=4M2_{A, A}(1)_=2MA

olduğu için, bu matris denklemi aşağıdaki gibi olur. PT4M2_{A+ QT2MA+RTA=F}

(4PTM2_{+2QTM+RT)A=F (2.11)}

Sonuç olarak, (2.1) diferansiyel denklemi cebirsel katsayılı (2.11) matris denklemine dönüştürülmüş olur. Bu matris denkleminin veya lineer denklem sisteminin genişletilmiş matris formu,

W=[Wij]=4PTM2+2QTM+RT, j=0,1,…, N

WA=F

(22)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − ) x ( f ) x ( f . . . ) x ( f ) x ( f ; ; ; ; ; ; ; w w . . . w w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w w . . . w w w w . . . w w ] F ; W [ N 1 N 1 0 N , N N , 1 N N , 1 N , 0 1 , N 1 , 1 N 1 , 1 1 , 0 0 , N 0 , 1 N 0 , 1 0 , 0 (2.12) şeklinde yazılabilir.

2.2. Koşulların Matris Formu Şimdi, (1.2) de tanımlanan 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) i i i i i i i a y b y c y c λ = ⎡ − + + ⎤= ⎣ ⎦

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) i i i i i i i y y y c α β γ μ = ⎡ − + + ⎤= ⎣ ⎦

∑

karışık koşullarını ele alalım. x=-1, x=1 ve x=c noktalarında _y(0)_{( )}_x _ve _y(1)_{( )}_x fonksiyonlarının değerleri veya matris formları

y ( 1) N 'aT( 1) [y(0)( 1)] T_x( 1)A 0 r r r ) 0 ( ₋ ₌

∑

₋ _⇒ ₋ ₌ ₋ = ( 0 ) ( 0 ) 0 (1) ' (1) [ (1)] (1) N r r x r y a T y T A = =

∑

⇒ = ( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) N ' _r _r( ) [ ( )] _x( ) r y c a T c y c T c A = =

∑

⇒ = (1) (1) (1) 0 ( 1) N ' _r _r( 1) [ ( 1)] 2 ( 1)_x r y a T y T MA = − =

∑

− ⇒ − = − (1) (1) (1) 0 (1) ' (1) [ (1)] 2 (1) N r r x r y a T y T MA = =

∑

⇒ = (1) (1) (1) 0 ( ) N ' r r( ) [ ( )] 2 ( )x r y c a T c y c T c MA = =

∑

⇒ =

(23)

T_x(−1)=[T₀(−1)T₁(−1)...T_N(−1)]

T_x(1)=[T₀(1)T₁(1)...T_N(1)]

T_x(c)=[T₀(c)T₁(c)...T_N(c)]

dir.

y(i)_{(-1), y}(i)_{(1), y}(i)_{(c) ifadeleri (1.2) koşullarında yerine konulursa ve düzenlenirse, kısaca}

0 1

[u u u A... ]_N =[ ]λ veya UA=[ ]λ

[v v v A_{0 1}... ]_N =[ ]μ veya VA=[ ]μ

satır matrisleri elde edilir.

Bunların genişletilmiş matris formları;

[ ; ]U λ ; [ ; ]V μ (2.13) dir. Daha açık

[u u u_{0 1}... ; ]_N λ ve v v v[ _{0 1}... ; ]_N μ olarak yazılabilir.

2.3. Matris Denkleminin Çözümü

(2.1) diferansiyel denkleminin verilen koşullara göre (2.3) matris formunda çözümünü bulabilmek için anahtarları ile aşağıdaki yolu takip etmeliyiz.

Önce verilen diferansiyel denklemin (2.11) matris denklemi formu (2.12) genişletilmiş matris formuna dönüştürülür. Bu genişletilmiş matrisin son iki satırı silinerek ve bunların yerine koşullarla ilgili (2.13) satır matrisleri yazılarak, yeni genişletilmiş matris

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ μ λ = − − − − f(x ) . . . f ; ; ; ; ; ; ; v u w . . . w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v u w . . . w v u w . . . w ] F~ ; W~ [ 2 N ) x ( N N N , 2 N N , 0 1 1 1 , 2 N 1 , 0 0 0 0 , 2 N 0 , 0 0 (2.14)

şeklinde ifade edilir.

(24)

formunda matris denklemine dönüştürülür. Burada W F A~, ~, matrisleri ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − N N N N N N N v u w w v u w w v u w w W , 2 , 0 1 1 1 , 2 1 , 0 0 0 0 , 2 0 , 0 ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ [ ( ), ( )... (₀ ₁ ₂), , ]T N F = f x f x f x ₋ λ μ [1 ₀ ₁ ... ] 2 T N A= a a a olarak tanımlanır.

Eğer rank W~ =rank[W~;F~ ]=N+1 ise yani detW~ ≠ ise, (2.15) matris denklemini 0

1 ~ ~

A W F= − (2.16)

şeklinde yazabiliriz. Böylece (2.16) denkleminden a₀ a₁,...a_N 2

1

katsayılarını tek olarak tayin edebiliriz. Dolayısıyla (1.2) koşullarına göre (2.1) diferansiyel denklemi tek çözümü sahip olur.

Bu çözüm [y(x)]=T_xA veya

∑

= = N 0 r r rT (x) a ' ) x ( y (2.17) olur. (Dolapçı 1996)

(25)

3. III. MERTEBEDEN LİNEER DİFERENSİYEL DEKNKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN CHEBYSHEV- KOLLOKASYON YÖNTEMİ

3.1. Diferansiyel Denklemin Matris Denklemine Dönüştürülmesi Bu bölümde üçüncü mertebeden lineer

( ) '''L x y +P x y( ) "+Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) (3.1)

diferansiyel denklemini göz önüne alalım. Burada L(x), P(x), Q(x), R(x) ve f(x) fonksiyonlarının −1≤x≤1 veya 0≤x≤1 aralığında tanımlandığını varsayıyoruz. Amacımız Chebyshev sıralama noktalarına kullanarak, bu denklemin çözümünü

∑

= = N 0 r r rT (x) a ' ) x ( y (3.2)

kesilmiş (sonlu) Chebyshev serisi veya

[y(x)]=T_xA (3.3)

matris formunda bulmaktır. Burada, Tr(x), (1.4) de tanımlanan Chebyshev polinomlarıdır. ar ise tayin edilecek Chebyshev katsayılardır. Sırasıyla Tx ve A matrisleri

T_x =[ ( ), ( ), ... ,T x T x₀ ₁ T x_N( )] 1 ₀ ₁... 2 T N A_{= ⎢}⎡ a a a ⎤_⎥ ⎣ ⎦ şeklinde tanımlanır.

xj (j=0,1,…,N) Chebyshev sıralama noktalarını (3.1) denkleminde yerine koyarsak,

( ) '''L x y_j +P x y x( ) "( )_j _j +Q x y x( ) '( )_j _j +R x y x( ) ( )_j _j = f x( )_j şeklinde elde edilir. Daha açık olarak yazarsak,

L x y x( ) '''( )₀ ₀ +P x y x( ) "( )₀ ₀ +Q x y x( ) '( )₀ ₀ +R x y x( ) ( )₀ ₀ = f x( )₀ L x y( ) '''( )₁ x₁ + P x y x( ) "( )₁ ₁ +Q x y x( ) '( )₁ ₁ + R x y x( ) ( )₁ ₁ = f x( )₁

_M

(26)

0 1 ( ) 0 0 0 ( ) . . . . . . . . . . . . . 0 0 ( )_N L x L x L x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 1 ''' ( ) "' ( ) . . . . . . "' ( )_N y x y x y x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 1 ( ) 0 0 0 ( ) . . . . . . . . . . . . . 0 0 ( )_N P x P x P x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 1 1 " ( ) ( ) 0 0 " ( ) . ( ) 0 . . . . . . . . . . . . " ( )_N 0 0 ( )_N y x Q x y x Q x y x Q x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 1 ' ( ) ' ( ) . . . ' ( )_N y x y x y x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 1 1 1 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) . . . . . . . . . . . . 0 0 ( )_N ( )_N ( )_N R x y x f x R x y x f x R x y x f x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +_⎢ _{⎥ ⎢} _{⎥ ⎢}= _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ veya kısaca LY'''+PY"+QY'+RY = F (3.5) olarak yazılabilir.

Diğer yandan, x=xj Chebyshev kollokasyon noktalarından çözüm ve türevleri,

0 ( )_j N ' _{r r}( )_j r y x a T x = =

∑

(3.6) (1) 0 '( )_j N ' _r _r( )_j r y x a T x = =

∑

(3.7) (2) 0 ''( )_j N ' _r _r( )_j r y x a T x = =

∑

(3.8) (3) 0 '''( )_j N ' _r _r( )_j r y x a T x = =

∑

dir.

(27)

J=0,1,…,N olduğuna göre, (3.6) sisteminin matris formu 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1. 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ). . . ( ) 2 ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . _. . . . _. . . . _. ( ) ( ) ( ) . . . ( ) N N N N N N N y x T x T x T x a y x T x T x T x _a y x T x T x T x _a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ _{⎦ ⎢}_⎣ _⎥_⎦ veya Y=TA (3.9)

olarak bulunur. Benzer şekilde (3.7) ve (3.8) sistemlerinin matris formları

_Y_'₌_TA(1)_, _Y_''₌_TA(2) _{ve Y}_'''₌_TA(3) _(3.10) dır

(3.9) ve (3.10) de elde edilen matrisleri (3.5) denkleminde yerine yazarsak

LTA(3)_{+ PTA}(2)_+QTA(1)_+RTA=F elde ederiz. (1.21) bağıntısından

A(3)=8M3A , A(2)=4M2A , A(1)=2MA

olduğu için, bu matris denklemi aşağıdaki gibi olur.

LT8M3_{A+ PT4M}2_{A+ QT2MA+RTA=F}

(8LTM3_+4PTM2_{+2QTM+RT)A=F (3.11)} Sonuç olarak, (3.1) diferansiyel denklemi cebirsel katsayılı (3.11) matris denklemine dönüştürülmüş olur. Bu matris denkleminin veya lineer denklem sisteminin genişletilmiş matris formu,

W=[Wij]= 8LTM3+4PTM2+2QTM+RT, j=0,1,…, N

WA=F

(28)

0,0 0,1 0, 0 1,0 1,1 1, 1 1,0 1,1 1, 1 ,0 ,1 , ( ) ; ( ) ; . . . . ; . . . . [ ; ] . ; . . . . . ; . ( ) ; ( ) ; N N N N N N N N N N N N w w w f x w w w f x W F w w w f x w w w f x − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.12) şeklinde yazılabilir.

3.2. Koşulların Matris Formu Şimdi, (1.2) de tanımlanan 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) i i i i i i i a y b y c y c λ = ⎡ − + + ⎤= ⎣ ⎦

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) i i i i i i i y y y c α β γ μ = ⎡ − + + ⎤= ⎣ ⎦

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) i i i i i i i t y k y z y c η = ⎡ − + + ⎤= ⎣ ⎦

∑

karışık koşullarını ele alalım. II.mertebedeki denklemlerde olduğu gibi y(i)(-1), y(i)(1), y(i)(c)

ifadeleri (1.2) koşullarında yerine konulursa ve düzenlenirse

y ( 1) N 'aT( 1) [y(0)( 1)] T_x( 1)A 0 r r r ) 0 ( ₋ ₌

∑

₋ _⇒ ₋ ₌ ₋ = ( 0 ) ( 0 ) 0 (1) N ' _r _r(1) [ (1)] _x(1) r y a T y T A = =

∑

⇒ = ( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) ' ( ) [ ( )] ( ) N r r x r y c a T c y c T c A = =

∑

⇒ = (1) (1) (1) 0 ( 1) N ' _r _r( 1) [ ( 1)] 2 ( 1)_x r y a T y T MA = − =

∑

− ⇒ − = − (1) (1) (1) 0 (1) N ' r r(1) [ (1)] 2 (1)x r y a T y T MA = =

∑

⇒ =

(29)

(1) (1) (1) 0 ( ) N ' _r _r( ) [ ( )] 2 ( )_x r y c a T c y c T c MA = =

∑

⇒ = (2) (2) (2) 2 2 0 ( 1) N ' _r _r( 1) [ ( 1)] 2 _x( 1) r y a T y T M A = − =

∑

− ⇒ − = − ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 0 (1) ' (1) [ (1)] 2 (1) N r r x r y a T y T M A = =

∑

⇒ = ( 2) (2) ( 2) 2 2 0 ( ) N ' r r( ) [ ( )] 2 x( ) r y c a T c y c T c M A = =

∑

⇒ = , kısaca [u u u A₀ ₁... ]_N =[ ]λ veya UA=[ ]λ [v v v A_{0 1}... ]_N =[ ]μ veya VA=[ ]μ 0 1 [d d ...d A_N] =[ ]η veya DA=[ ]η satır matrisleri elde edilir.

Bunların genişletilmiş matris formları;

[ ; ]U λ ; [ ; ]V μ ; [ ; ]Dη (3.13) dir. Daha açık

[u u u_{0 1}... ; ] ; [_N λ v v v_{0 1}... ; ]_N μ ve d d d[ _{0 1}... _N; ]η olarak yazılabilir.

3.3. Matris Denkleminin Çözümü

Matris denkleminin çözümü aşağıdaki gibi olur. Başlangıç koşullarını matris formunda yerine koyarsak 0 ( ) 0,0 0,1 0, 3,0 3,1 3, 3 0 1 0 1 0 1 ... ; . . ... . ; . . . ... . ; . [ ; ] ... ; ( ) ... ; ... ; ... ; x N N N N N N N N N f w w w W F w w w f x u u u v v v d d d λ μ η − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ % % (3.14)

(30)

(3.14) genişletilmiş matrisi kısaca

W A F~ = ~ (3.15) formunda matris denklemine dönüştürülür. Burada W F A~, ~, matrisleri

0 , 0 0 ,1 0 , ~ 3 , 0 3 ,1 3 , 0 1 0 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N N N N N N N N w w w W w w w u u u v v v d d d − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ~ [ ( ), ( ) ...₀ ₁ ( ₃), , , ]T N F = f x f x f x ₋ λ μ η [1 ₀ ₁ ... ] 2 T N A= a a a olarak tanımlanır.

Eğer rank W~ =rank[W~;F~ ]=N+1 ise yani detW~ ≠ ise, (3.15) matris denklemini 0

1 ~ ~ A W F − = (3.16)

şeklinde yazabiliriz. Böylece (3.16) denkleminden a0 a1,...aN 2

1

katsayılarını tek olarak tayin edebiliriz. Dolayısıyla (1.2) koşullarına göre (3.1) diferansiyel denklemi tek çözümü sahip olur.

Bu çözüm [y(x)]=T_xA veya

∑

= = N 0 r r rT (x) a ' ) x ( y (3.17) olur.

(31)

4. II. MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN TAYLOR MATRİS YÖNTEMİ

4.1. II.Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemlerin Taylor Serisi İle Çözümü İkinci mertebeden P (x), Q (x), R (x), f (x) değişken katsayılı

( ) "P x y +Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1 (4.1) lineer diferansiyel denklemini

∑

(4.2) , , , , , , , i i i i i i

a b c α β γ λ μ reel katsayılar , a c b≤ ≤ olmak üzere başlangıç değerleri yardımı ile

Taylor serisi kullanılarak

( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ! N n n n y x y c x c a c b n = = ∑ − ≤ ≤ (4.3) 0,1, 2,...

n= N olmak üzere yukarıdaki şekilde yaklaşık çözümü bulunur.

4.2. Taylor Katsayılarının Matris Formuna Dönüştürülmesi Her x değeri için y (x) in Taylor seri açılımı

0 ( ) ( )r r r y x ∞ a x c = = ∑ −

şeklindedir. y (x) in n. dereceden türevi için ise Taylor seri açılımı

( ) ( ) 0

( )

(

)

n n r r r

y

x

∞

a

x c

=

∑

−

şeklinde olur. Bu _y( )n _{( )}_x _ve_y(n+1)_{( )}_x _{açılımlarından faydalanarak serilerin katsayıları olan} ( )n r a ve (n 1) r a + _{ifadeleri arasında} ( 1) ( ) 1 ( 1) n n r r a + = r+ a + (4.4) bağıntısı bulunur. Burada r=0,1, 2,...N degerleri eşitlikte tek tek yerine koyulursa

(32)

_A(n+1) ₌ _{M A}( )n _(4.5)

şeklinde bir matris formu elde edilir. (4.5) deki _A( )n _{ve M aşağıdaki gibidir.}

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 [ , ... ] n n n n T N A = a a a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 . . . . . . . . M = . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 N 0 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0,1, 2,...

n= için bu matrisin n. mertebesi _A(1) ₌ _{M A}

_A ( 2) ₌ _MA(1) ₌ _{M A}2 M

_A ( )n ₌ _MA(n−1) ₌ _{M A}n _(4.6)

şeklinde bulunur.

4.3. Lineer Diferansiyel Denklemlerin Matris Formuna Çevrilerek Çözümü P x y Q x y R x y( ) "+ ( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1

Lineer diferansiyel denklemindeki katsayıları (4.6) daki Taylor serisi şeklinde ifade edecek olursak 0 ( ) ( ) I i i i P x p x c = =

∑

− 0 ( ) ( ) I i i i Q x q x c = =

∑

− 0 ( ) ( ) I i i i R x r x c = =

∑

− (4.7) eşitliklerini elde ederiz.

(33)

{

}

0

(

) ''

(

) '

(

)

( )

I _i _i _i i i i i

∑

=

p x c y

−

+

q x c y r x c y

−

+

−

=

f x

(4.8) elde edilir.

Taylor serisinin genel ifadesinden

₍ ₎p ( )s _{( )} ( )s

p

x c y x XC A

⎡ − ⎤ =

⎣ ⎦ (4.9)

matris formu kabul edilirse (4.6) dan _A( )s ₌ _M ( )s _A _{olur. Bu ifadeyi yerine koyarsak}

( ) ( )p s ( ) s p x c y x X C M A ⎡ − ⎤ = ⎣ ⎦

elde edilir. Buradan

_X ₌ _{[1, (}_x ₋ _c_{) , (}_x ₋ _c_{) ...(}2 _x ₋ _c_{) ]}N P=0 için, 0 1 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . 1 C ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P=1 için, 1 0 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1 0 . 0 . . . . . . . . . . 0 0 0 1 0 C ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 P ise , 1, 0, p ij i j p C C aksi halde − = ⎧ ⎡ ⎤ =_{⎣ ⎦}_{= ⎨} ⎩ dir.

(34)

f (x) fonksiyonu ise, 0

( )

N

(

)

r r r

f x

f x c

=

∑

−

[

f x

( )

]

=

XF

(4.10) matris formu şeklindedir.Burada

[ 0, 1 , 2 ,... ]

T N

F = f f f f

dir.

(4.9) ifadesini (4.8) ifadesinde yerine koyarsak

{

2

}

0 I i i i i i i i p C M q C M rC A F = + + =

∑

(4.11)

matris eşitliği elde ederiz.

[

]

{

2

}

0 I mn i i i i i i i W W p C M q C M rC = = =

∑

+ + kabul edilirse WA F= (4.12) elde edilir. , 0,1, 2,... m n= N ve I =0,1, 2,... noktaları için ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − ) x ( f ) x ( f . . . ) x ( f ) x ( f ; ; ; ; ; ; ; w w . . . w w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w w . . . w w w w . . . w w ] F ; W [ N 1 N 1 0 N , N N , 1 N N , 1 N , 0 1 , N 1 , 1 N 1 , 1 1 , 0 0 , N 0 , 1 N 0 , 1 0 , 0 (4.14) matrisi bulunur. ( ) ( ) 1

( )

(

)

n n r r r

y

x

∞

a

x c

=

∑

−

serisinde n=1 için

(35)

_y(0)_{( )}_x ₌_⎡_{1, (}_{x c}₋ _{), (}_{x c}₋ _{) , ... , (}2 _{x c}₋ ₎N_⎤_A ⎣ ⎦ ve _y(1)_{( )}_x ₌_⎡_0,1,(_{x c}₋ _{), (}_{x c}₋ _{) , ... , (}2 _{x c}₋ ₎N−1_⎤_A ⎣ ⎦ eşitliklerinden [ 0 , 1 ... ] T N A= a a a olmak üzere, ( )i _{( ),} ( )i _{( )} y a y b ve _y( )i ( )_c _, 0,1

i= için başlangıç değer ifadelerinin açılımı , h a c= − , k b c= − kabul edilirse _y( 0 )_{( )}_c ₌

[

_{1, 0, 0, 0..., 0}

]

_A _y(0)_{( )}_a _⎡_{1, ,}_{h h}2_,...,_hN_⎤_A = ⎣ ⎦ _y(0)_{( )}_b _⎡_{1, ,}_{k k}2_,...,_kN_⎤ _A = ⎣ ⎦ (4.15) _y(1)_{( )}_c ₌

[

_{0,1, 0, 0..., 0}

]

_A _y(1)_{( )}_a _⎡_{0,1, , ...,}_{h h}2 _hN−1_⎤_A = ⎣ ⎦ _y(1)_{( )}_b _⎡_{0,1, ,}_{k k}2_...,_kN−1_⎤_A = ⎣ ⎦ şeklinde yazılır.

Yukarıda bulunan değerleri (4.2) deki başlangıç değerlerinde yerlerine koyarsak UA=

[ ]

λ ve VA=

[ ]

μ

şeklinde matris eşitliklerini buluruz. Buradan ise

U =

[

u u u u u₀ ₁ ₂ ₃ ₄;λ

]

V =

[

v v v v v₀ ₁ ₂ ₃ ₄; μ

]

(4.16) şeklinde matris formu bulunur.

(36)

Bulmuş olduğumuz bu başlangıç değer matrislerini (4.14) deki [ ; ]W F matris formunun son iki satıra yerleştirirsek

0,0 0,1 0, 0 1,0 1,1 1, 1 2,0 2,1 1, 2 0 1 0 1 . . . ; ( ) . . . ; ( ) . . . ; . [ : ] . . . ; . . . . ; ( ) . . . ; . . . ; N N N N N N N N N w w w f x w w w f x W F w w w f x u u u v v v

λ

μ

− − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (4.17)

matris formu elde edilir. Burada W ve F matrisleri

0 , 0 0 ,1 0 , 2 , 0 2 ,1 2 , 0 1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N N N N N N N w w w W w w w u u u v v v − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ [ ( ) , ( )... (₀ ₁ ₂), , ]T N F = f x f x f x ₋ λ μ şeklindedir.

Eğer detW ≠ 0 ise A matrisi

A W F= −1 (4.18) şeklindedir. Bu matriside (4.3) de yerine koyarsak çözüm olan ( )y x i buluruz.

(37)

5. III. MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN TAYLOR MATRİS YÖNTEMİ

5.1. III.Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemlerin Taylor Serisi İle Çözümü Üçüncü mertebeden L (x), P (x), Q (x), R (x), f (x) değişken katsayılı

( ) '''L x y +P x y( ) "+Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1 (5.1) lineer diferansiyel denklemini

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 [ i ( 1) i (1) i ( )] i i i i y y y c α β γ μ = − + + =

∑

1 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) (1) ( ) 1 1 i i i i i i i t y k y z y c η c = ⎡ − + + ⎤= − ≤ ≤ ⎣ ⎦

∑

(5.2) , , , , , , , , , , , i i i i i i i i i

a b c α β γ t k z λ μ η reel katsayılar , a c b≤ ≤ olmak üzere başlangıç değerleri

yardımı ile Taylor serisi kullanılarak

( ) 1 1 ( ) ( )( ) ! N n n r y x y c x c a c b n = =

∑

− ≤ ≤ (5.3) 0,1, 2,...

n= N olmak üzere yukarıdaki şekilde yaklaşık çözümü bulunur.

5.2. Lineer Diferansiyel Denklemlerin Matris Formuna Çevrilerek Çözümü ( ) '''L x y +P x y( ) "+Q x y R x y( ) '+ ( ) = f x( ) -1≤x≤1

Lineer diferansiyel denklemindeki katsayıları Taylor serisi şeklinde ifade edecek olursak