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No m´etodo da informa¸c˜ao m´utua (Fraser e Swinney, 1986) a escolha do valor do atraso τ se baseia em uma caracter´ıstica pr´opria dos sistemas ca´o- ticos: a gera¸c˜ao de informa¸c˜ao (Abarbanel, 1995).

A principal caracter´ıstica dos sistemas ca´oticos ´e a sensibilidade a condi- ¸c˜oes iniciais. Esta caracter´ıstica faz com que a divergˆencia entre condi¸c˜oes iniciais muito pr´oximas cres¸ca de maneira exponencial localmente. Neste caso a gera¸c˜ao de informa¸c˜ao nos sistemas ca´oticos pode ser ilustrada da se- guinte forma: suponha que no espa¸co de fases a distˆancia entre dois pontos iniciais, k x1(0) − x2(0) k2< ǫ < r, seja tal que, para a melhor resolu¸c˜ao r

dispon´ıvel, seja detectado a existˆencia de apenas um ponto4_{. Supondo que o}

sistema seja ca´otico, solu¸c˜oes que iniciaram em t0 muito pr´oximas evoluir˜ao 3 Uma quest˜ao interessante ´e que, quando se est´a trabalhando com s´eries temporais, nor- malmente se desconhece o valor de dA. Isso cria a necessidade de m´etodos alternativos ao uso da equa¸c˜ao (5.2).

e ap´os um certo tempo δt, os pontos x1(δt) e x2(δt) ser˜ao distingu´ıveis. Ou

seja, k x1(δt) − x2(δt) k> r. Para efeitos pr´aticos, surgiu um novo ponto

no sistema, levando ao surgimento de uma nova informa¸c˜ao. Na Figura 5.1 ilustra-se essa caracter´ıstica dos sistemas ca´oticos.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 amostras θ1 informa¸c˜ao nova pontos indistingu´ıveis

Figura 5.1: Ilustra¸c˜ao da cria¸c˜ao de informa¸c˜ao em um sistema ca´otico: pontos inicialmente indistingu´ıveis d˜ao origem a duas ´orbitas diferentes.

A taxa de gera¸c˜ao de informa¸c˜ao no sistema pode ser definida por meio do conceito de entropia, proposto por Kolmogorov (1958) e Sinai (1959), conforme brevemente apresentado na Se¸c˜ao 2.7.2. Por´em, no que se refere a quantificar a informa¸c˜ao obtida por meio de medi¸c˜oes, utiliza-se a id´eia de informa¸c˜ao m´utua, proposta por Shannon (1948).

Sejam dois conjuntos A e B que cont´em poss´ıveis valores para as vari´aveis aleat´orias a e b. Para quantificar a informa¸c˜ao m´utua entre os valores a = ai

e b = bj, calcula-se: Iai, bj = log2  PA, B(ai, bj) PA(ai)PB(bj)  , (5.3)

em que PA, B(ai, bj) ´e a probabilidade conjunta de se observar simultanea-

mente a = ai ∈ A e b = bj ∈ B; PA(ai) e PB(bj) s˜ao as probabilidades de

se observar b = bi ∈ B, e a = ai ∈ A, mas de forma independente, isto ´e,

supondo n˜ao haver dependˆencia estat´ıstica entre as vari´aveis aleat´orias a e b. Caso tenha sido utilizado o logaritmo na base dois, como na equa¸c˜ao (5.3),

5.2 Reconstru¸c˜ao do Espa¸co de Estados 87

Iai, bj ser´a dada em bits.

A equa¸c˜ao (5.3) pode ser estendida para quantificar a informa¸c˜ao m´utua considerando-se todas as poss´ıveis medidas dos conjuntos A e B. Fazendo isso, obt´em-se uma medida da informa¸c˜ao m´utua m´edia entre os valores dos

conjuntos A e B, que ´e dada por

IA, B = X ai,bj PAB(ai, bj) log2  PAB(ai, bj) PA(ai)PB(bi)  . (5.4)

As distribui¸c˜oes de probabilidade s˜ao obtidas a partir de histogramas constru´ıdos segundo uma parti¸c˜ao do espa¸co de estados em caixas n−dimensionais, com a contagem de pontos contidos em cada uma das caixas (Fraser e Swin- ney, 1986).

A utiliza¸c˜ao da teoria da informa¸c˜ao m´utua para a escolha do valor do atraso τ baseia-se no seguinte argumento. Considere que, dado um sis- tema ca´otico, seja poss´ıvel obter medi¸c˜oes de apenas uma vari´avel observada, obtendo-se uma s´erie temporal {xi} por meio da qual o espa¸co de estados ser´a

reconstru´ıdo. Considerando que a s´erie foi devidamente amostrada, podem ser feitas as seguintes considera¸c˜oes quanto ao valor de τ a ser utilizado. O va- lor de τ n˜ao pode ser muito pequeno, pois desse modo os valores x(i) e x(i+τ ) estar˜ao fortemente correlacionados e os pontos do atrator reconstru´ıdo fica- r˜ao comprimidos junto `a diagonal que forma o espa¸co de fases. Caso o valor de τ seja muito grande, devido `as caracter´ısticas dos sistemas ca´oticos, x(i) e x(i + τ ) ser˜ao, para efeitos num´ericos, pouco correlacionados. Um modo de avaliar, qualitativamente, a escolha no valor de τ , ´e fazer a reconstru¸c˜ao do espa¸co de fases para valores diferentes do indicado pela informa¸c˜ao m´utua. A Figura 5.3 mostra o retrato de fases do atrator reconstru´ıdo para diferen- tes valores de τ . Na Figura 5.3(a) o atrator foi reconstru´ıdo utilizando-se o valor obtido por meio do m´etodo da informa¸c˜ao m´utua, τ = 10. Na Figura 5.3(b) o atrator foi reconstru´ıdo utilizando-se um valor para τ muito pequeno de modo que o atrator resultante ficou projetado na diagonal do espa¸co de fases, indicando um valor de τ insuficiente. A Figura 5.3(c) mostra o retrato de fases do atrator reconstru´ıdo utilizando-se um valor de τ maior que o necess´ario, causando uma distor¸c˜ao no atrator resultante.

denotada por

I(T ) = X

x(i),x(i+T )

P (x(i), x(i + T )) log₂ 

P (x(i), x(i + T )) P (x(i))P (x(i + T ))



. (5.5)

em que T s˜ao valores poss´ıveis para τ , pode fornecer subs´ıdios para uma boa escolha de τ . De acordo com Fraser e Swinney (1986), uma boa escolha para τ ´e dada pelo primeiro m´ınimo de I(T ).

A Figura 5.2 mostra o gr´afico de I(T ) para o sistema de Lorenz apresen- tado no 2. Analisando a Figura 5.2, verifica-se que o primeiro m´ınimo de

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 2 3 4 τ I( τ )

Figura 5.2: Crit´erio da informa¸c˜ao m´utua aplicado `a s´erie temporal x(t) do sistema de Lorenz (Lorenz, 1963). O crit´erio indica o uso do valor de atraso τ = 10.

I(T ) ocorre no valor 10.

Existem outros m´etodos dispon´ıveis na literatura e que se dedicam a fornecer uma estimativa para a escolha do valor do atraso τ , (Abarbanel, 1995; Kantz e Schreiber, 2004). A escolha pelo m´etodo a ser utilizado depende das caracter´ısticas do sistema investigado, o que torna dif´ıcil a sele¸c˜ao de um m´etodo espec´ıfico, j´a que na maioria das vezes, n˜ao existe muita informa¸c˜ao sobre a s´erie investigada.

5.2 Reconstru¸c˜ao do Espa¸co de Estados 89 −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 20 30 X(i) X (i + τ ) (a) τ = 10 −30 −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 20 30 X(i) X (i + τ ) (b) τ = 1 −30 −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 20 30 X(i) X (i + τ ) (c) τ = 20

Figura 5.3: Retrato de fases do atrator de Lorenz reconstru´ıdo para diferentes valores de atraso τ .