Vergi Denetimi Sırasındaki Haklar

Nas Figuras 5.8(c) e 5.8(d) s˜ao mostradas as curvas obtidas pelo m´etodo de Rosenstein (1993). O procedimento de estima¸c˜ao do maior expoente de Lyapunov ´e o mesmo: por meio da inclina¸c˜ao da reta aproximada. Os ex- poentes de Lyapunov estimados para cada s´erie s˜ao mostrados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2: Resultados estimados para os expoentes de Lyapunov das s´eries de teste.

Sistema λ1 (Kantz, 1994) λ1 (Rosenstein, 1993)

Lorenz _{2,27 ± 0,246 2,05 ± 0,021} Rossler _{0,13 ± 0,015 0,11 ± 0,001}

Os resultados mostram que o desempenho apresentado pelos dois m´etodos ´e satisfat´orios sendo o maior erro de 15% quando comparado com os valores de referˆencia (Tabela 5.1). Apesar do m´etodo de Rosenstein (1993) apresentar o maior erro m´edio, o desvio padr˜ao para as estimativas ´e pequeno quando comparado com os resultados provenientes do m´etodo de Kantz (1994) e ainda se tem a vantagem de n˜ao ser necess´ario especificar a faixa de valores para ǫ. A incerteza associada aos resultados foi obtida por meio do desvio padr˜ao e da m´edia para as estimativas para diferentes valores de dimens˜ao de imers˜ao de e para diferentes valores de ǫ.

5.4

Dimens˜ao Fractal: S´eries temporais

Como no caso dos expoentes de Lyapunov, tamb´em existem m´etodos que permitem obter estimativas para a dimens˜ao fractal de um atrator recons- tru´ıdo a partir de s´eries temporais. Por´em, no caso da dimens˜ao fractal, a obten¸c˜ao de estimativas ´e mais problem´atica pois os m´etodos dispon´ıveis s˜ao muito sens´ıveis a parˆametros como o comprimento da s´erie, a presen¸ca de ru´ıdo e o n´umero de vizinhos considerados (Fiedler-Ferrara e Prado, 1994).

Dentre os m´etodos dispon´ıveis para o c´alculo da dimens˜ao fractal de atra- tores podemos destacar o m´etodo de contagem de caixas (Fiedler-Ferrara e Prado, 1994), o m´etodo da integral de correla¸c˜ao (Grassberger e Procaccia, 1983) e o m´etodo dos vizinhos pr´oximos (Termonia e Alexandrowicz, 1983). Dentre esses m´etodos o mais usado ´e o m´etodo da integral de correla¸c˜ao de- vido ao fato de ser um m´etodo de baixo custo computacional e de mais f´acil

implementa¸c˜ao quando comparado com os outros m´etodos. O m´etodo de contagem de caixas, apesar de muito difundido, apresenta s´erios problemas quando se trabalha com dados experimentais ou com atratores de dimens˜ao maior que dois (Greenside et al., 1982). O m´etodo dos vizinhos pr´oximos ´e semelhante ao m´etodo de contagem de caixas, sendo que a diferen¸ca est´a no fato de que ao inv´es de se considerar caixas com lado constante, considera-se caixas com n´umero de pontos constantes, observando-se como ´e a varia¸c˜ao do tamanho das caixas nas diferentes regi˜oes do atrator.

Os trˆes m´etodos apresentados possuem grande importˆancia, apresentando vantagens e desvantagens, por´em devido `a facilidade de implementa¸c˜ao e ao baixo custo computacional, utilizou-se nesse trabalho o m´etodo da integral de correla¸c˜ao (Grassberger e Procaccia, 1983) como ferramenta de estimativa da dimens˜ao fractal dos sistemas analisados.

O m´etodo de Grassberger-Procaccia

O m´etodo de Grassberger e Procaccia (1983) ´e uma forma num´erica de se determinar um valor aproximado para a equa¸c˜ao

D2 = lim ǫ→0 logPN (ǫ) i=1 p2i log(ǫ) , (5.20) em que PN (ǫ)

i=1 p2i ´e a probabilidade de se ter dois pontos do atrator numa

caixa de lado ǫ, e pode ser aproximada pela probabilidade de que a distˆancia entre dois pontos no atrator seja menor que ǫ. Ou seja,

N (ǫ) X i=1 p2_i ∼= lim N →∞ 1 N(N − 1)(Nǫ) , (5.21)

em que N ´e o n´umero total de pontos no atrator e Nǫ ´e o n´umero de pares de

pontos cuja distˆancia ´e menor que ǫ. O que pode ser denotado numericamente por Nǫ = N X i=1 N X j=1 [Γ (ǫ− k ~yi− ~yj k)] , i 6= j, (5.22)

5.4 Dimens˜ao Fractal: S´eries temporais 101

sendo que ~yi ´e o vetor associado ao i-´esimo ponto do atrator e Γ ´e a fun¸c˜ao

de Heaviside, dada por

Γ(x) = ( 0, se _{k x k≥ 0,} 1, se _{k x k< 0.} (5.23) A fun¸c˜ao C(ǫ) = lim N →∞ 1 N(N − 1) N X i=1 N X j=1 [Γ (ǫ− k ~xi− ~xj k)] , i 6= j, (5.24)

´e a chamada integral de correla¸c˜ao. Dessa forma, temos que

N (ǫ)

X

i=1

p2i = C(ǫ), (5.25)

de maneira que a dimens˜ao de correla¸c˜ao, D2, pode ser aproximada por

D2 ∼= lim ǫ→0

log C(ǫ)

log ǫ . (5.26)

Dada uma s´erie temporal, o procedimento para a determina¸c˜ao da dimen- s˜ao de correla¸c˜ao pode ser descrito como (Shelhamer, 2007):

1. Reconstr´oi-se o atrator em um espa¸co de-dimensional, utilizando-se, por

exemplo, os m´etodos descritos nas se¸c˜oes 5.2.1 e 5.2.2; 2. Escolhe-se uma distˆancia limiar ǫ;

3. Seleciona-se um ponto de referencia ~yi sobre o atrator (mant´em-se o

´ındice i no somat´orio constante);

4. Para todo outro ponto ~yj, calcula-se a distˆancia dc =k ~yi− ~yj k, se dc <

ǫ, e adiciona-se um `a integral de correla¸c˜ao (faz-se este procedimento at´e j = N);

5. Incrementa-se i de uma unidade e repete-se o procedimento 4, compa- rando todos os pontos com o novo ponto de referˆencia;

6. Divide-se o somat´orio por N(N − 1);

8. A inclina¸c˜ao do gr´afico de log C(ǫ) por log ǫ fornece o valor estimado para a dimens˜ao de correla¸c˜ao D2

Para se obter uma confian¸ca maior nos resultados obtidos, costuma-se calcular a dimens˜ao D2 para v´arios valores de dimens˜ao de imers˜ao9. Ent˜ao

faz-se o gr´afico de D2(ǫ, m) por ǫ e observa-se uma regi˜ao linear para onde as

curvas convergem, denominado plauteu. ´E nesta regi˜ao que a dimens˜ao deve ser estimada.

A Figura 5.9 mostra o c´alculo da dimens˜ao de correla¸c˜ao d2 estimada para

o atrator de Lorenz reconstru´ıdo a partir da s´erie temporal x(t).

10−2 10−1 100 1 2 3 4 ǫ d2 (ǫ ,m ) regi˜ao de interesse (a) 0.0204 0.0245 0.0295 1.95 2.06 2.2 ǫ d2 (ǫ ,m ) (b)

Figura 5.9: Gr´afico de d2(ǫ, m) por ǫ. A regi˜ao destacada pelo retˆangulo apresenta

convergˆencia de d2 com inclina¸c˜ao aproximadamente constante. Em

(b) a regi˜ao destacada ´e ampliada.

Valida¸c˜ao do programa computacional utilizado

Os m´etodos utilizados para a caracteriza¸c˜ao dinˆamica das s´eries temporais foram obtidos, j´a implementados, no pacote computacional TISEAN (Time Series Analysis) Hegger et al. (1999). Os m´etodos foram aplicados ao sistema de Lorenz utilizando dimens˜oes de imers˜ao de 3 a 10. Os resultados mostram que existe uma regi˜ao aproximadamente constante, indicada pelo retˆangulo na Figura 5.9(a) e mostrada em detalhe na Figura 5.9(b), para onde as curvas de dimens˜ao convergem. Esse ´e o valor estimado para a dimens˜ao de corre- la¸c˜ao, calculado como d2 = 2,06 ± 0,002. O resultado mostra que o m´etodo

fornece uma boa estimativa para a dimens˜ao de correla¸c˜ao para o sistema