The Byronic Hero as categorized by P.L. Thorslev

Com relação ao número racional, Kieren (1976) apresenta sete interpretações diferentes. São elas:

1. Os números racionais são frações que podem ser comparadas, acrescentadas, subtraídas, etc.

2. Os números racionais são frações decimais que formam uma extensão natural (via o nosso sistema de numeração) aos números inteiros.

3. Os números racionais são classes de equivalência de frações. Deste modo       ... , 6 3 , 4 2 , 2 1 e       ... , 9 6 , 6 4 , 3 2

são números racionais. 4. Os números racionais são números na forma

q p

, tal que pe q são inteiros e q≠ 0. Dessa forma, números racionais são “razões” de

números.

5. Os números racionais são operadores multiplicativos (por exemplo, alongadores, redutores, etc.).

6. Os números racionais são elementos de um campo ordenado de infinitos quocientes. Eles são números na forma

q p

x  , tal que x

satisfaz a equação qx  p.

7. Números racionais são medidas ou pontos sobre uma reta numerada.1 _{(KIEREN, 1976, p. 102, tradução nossa)}

1 _{1. Rational numbers are fractions which can be compared, added, subtracted, etc; 2. Rational} numbers are decimal fractions which form a natural extension (via our numeration system) to the whole numbers; 3. Rational numbers are equivalence classes of fractions. Thus {1/2, 2/4, 3/6, …} and {2/3, 4/6, 6/9, …} are rational numbers; 4. Rational numbers are numbers of the form p/q, where p, q are integers and q ≠ 0. In this form, rational numbers are “ratio” numbers; 5. Rational numbers are multiplicative operators (e. g., stretchers, shrinkers, etc.); 6. Rational numbers are

Para o autor, cada interpretação permite considerar o número racional por uma perspectiva diferente.

Para Ohlsson (1988), Kieren identifica, em um artigo posterior (1980), cinco interpretações básicas para o número racional, que são: parte-todo, quociente, medida, razão e operador. Behr (1983), por sua vez, identifica seu trabalho como uma redefinição do trabalho de Kieren (1976) e classifica as interpretações, chamando-as de subconstrutos2.

Kieren (1988) revê suas interpretações básicas e apresenta sua proposta de construção do conhecimento matemático baseado em construtos, que, segundo Ferreira (1986), em seu Novo dicionário da língua portuguesa, são conceitos elaborados com base em dados simples. Já em seu trabalho de 1993, Kieren classifica o construto do racional como uma coleção de vários elementos do conhecimento, identificando-os como subconstruto. Juntamente com Vergnaud e Freudenthal, o autor (1993) identifica quatro subconstrutos: medida, quociente, razão e operador, e esclarece que “os números racionais são considerados não só como um construto lógico formal, mas como humanamente conhecível”.3

(KIEREN, 1993, p. 53, tradução nossa)

Os subconstrutos dos números racionais estão ligados às outras áreas da Matemática. Sendo assim, Kieren (1993) afirma que o subconstruto medida mantém uma conexão de informações entre o estudo de números fracionários, a Geometria e o espaço. O subconstruto quociente, se aplicado em divisões sucessivas em uma quantidade de variável contínua4_{, pode levar a intuição do}

infinitamente pequeno.

Para ilustrar, o autor cita a seguinte passagem:

elements of an infinite ordered quotient field. They are numbers of the form x = p/q where x satisfies the equation qx = p; 7. Rational numbers are measures or points on a number line.

2 _{Subconstrutos: elementos do conhecimento, segundo Kieren (1993).}

3 _{In this way, rational numbers are considered not only as a formal logical construct but as a}

humanly knowable one.

4 _{Quantidade de variável contínua: segundo Magalhães e Lima, seu conjunto de valores é qualquer}

Um menino de 12 anos respondeu à pergunta, qual é a sua fração favorita e por quê? Sua resposta foi "eu gosto de 1/2... sou fascinado, a propósito posso continuar dividindo em dois e encontrar partes menores, eu posso continuar a dividir e obter pedaços tão pequenos quanto eu queira para sempre".5 _{(KIEREN, 1993, p. 59, tradução nossa)}

Com relação ao subconstruto razão, esse está interligado aos conceitos de proporção e probabilidade; já o subconstruto operador, segundo o autor, pode fazer a conexão com a Álgebra.

Diferente de outros autores, nesse seu estudo, Kieren (1993) não classifica a relação parte-todo como um subconstruto, pois a idéia vinculada a essa relação está presente, conforme o autor, nos subconstrutos medida, quociente e operador. Nos subconstrutos medida e quociente, por exemplo, percebemos isso ao fazer a comparação de uma quantidade a uma unidade divisível, gerando, por sua vez, números racionais.

Tendo como base a sua proposta, Kieren (1993) apresenta um modelo teórico para a construção do conceito de número racional, composto por quatro níveis pelos quais ela deve passar:

 Nível I – conhecimento intuitivo.  Nível II – conhecimento subconstruto.  Nível III – pensamento multiplicativo formal.  Nível IV – conhecimento estrutural dos racionais.

Dentro dessa proposta, o conceito de número racional é definido como um quociente, que, segundo Kieren (1993), é formado por um par de números inteiros (a, b) que satisfaz a equação bx = a, com b ≠ 0, em que a sua existência é garantida devido à propriedade da inversão multiplicativa

b 1

com b ≠ 0.

5 _{A 12-year-old boy responded to the questions, what is your favorite fraction and why? With the}

statement, “I like ½ … I am fascinated by the way I can keep dividing in two and get smaller pieces and if I can magnify it or something I can keep on dividing as small as I want forever.”

A ação de repartir traz para o número racional sua existência como um quociente cuja representação é a fração unitária, assim como nas primeiras manifestações de fração no sistema de numeração egípcio. É também a forma com que as crianças produzem melhores resultados, pois podemos considerar esse tipo de fração como uma idéia intuitiva de quociente que deverá ser formalizado no decorrer do processo.

De acordo com Kieren (1993), outro fato que merece destaque é a atuação simultânea do número racional como quociente e razão. Como quociente, os números racionais permitem responder à pergunta “Quanto?”; como razão, eles atuam com relação à igualdade ou equivalência da parte com o todo.

Se tomássemos, segundo o autor, os números racionais apenas como uma extensão dos números inteiros e levássemos em conta apenas à relação estática parte-todo, estaríamos fadados a ter um currículo em que trabalhar com racional seria o mesmo que trabalhar o número pelo número. Em contrapartida, um currículo baseado em subconstruto permite um estudo com variações de significados dentro da Matemática. Isso facilita, desde as séries iniciais, que haja uma conexão entre os conteúdos, como sugerem os PCN. A proposta de Pluvinage de abordagem semiótica visa exatamente à possibilidade de exploração das diversas interpretações do conceito de número racional.

CAPÍTULO 2

QUADRO TEÓRICO

“Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência.”

Irene de Albuquerque

No capítulo 2, apresentamos o quadro teórico da pesquisa e os procedimentos metodológicos. Em relação ao quadro teórico, apresentamos, de forma sintética, alguns princípios da teoria dos registros de representação de Raymond Duval.