O sistema é isento de ambigüidades que podem ocorrer em um sistema geométrico em que a função de ilustração é predominante, pois a reta permite que se comparem números racionais de valores próximos que por meio de uma ilustração deixaria margem à dúvida. Segundo os autores, “O fracionador10 evita, por exemplo, que as superposições visuais sejam tomadas abusivamente como critério de decisão quanto à igualdade de dois números racionais. Em sua falta, a experiência mostra que mesmo coincidências imperfeitas, como a que aparece no caso de 3 5 e 7 12
(Fig. 11), podem levar a confusão no espírito de certos alunos”.11 (ADJIAGE; PLUVINAGE, 2000, p. 53, tradução nossa)
Esse fato pode ser analisado mais de perto como segue: as frações
3 5
e
7 12
são representadas na reta pelos pontos x e y. A posição dos pontos x e y na reta pode ser atestada visualmente na falta de um fracionador. Uma subdivisão de 3 atinge x, mas nada impede que uma subdivisão em 7 possa também alcançar x. A exigência de um fracionador faz com que se formule o problema em bases numéricas: se x e y são iguais é necessário encontrar um fracionador que alcance os dois números simultaneamente. Esse fracionador correspondente a um múltiplo comum de 3 e de 7, no caso 21. Porém ao caminhar de 7 em 7 o x assume o valor 35 enquanto que ao caminhar de 3 em 3 o y assume o valor 36, logo x ≠ y. “O fracionador é o signo que permite uma primeira numerização do problema, mas
10 Fracionador: é o signo que expressa o número de divisões entre dois números inteiros.
11 Le fractionneur évite par exemple que des superpositions visuelles soient prises abusivement
comme critère de décision quant à l’égalité de deux nombres rationnels. En son absence, l´expérience avait montré que même des coïncidences imparfaites, comme celle qui apparaîtdans le cas de 3 5 e 7 12
também que leva a constituir a informação visual em hipótese [...].”12 (ADJIAGE;
PLUVINAGE, 2000, p. 54, tradução nossa)
Vejamos, por exemplo, a Figura 12, que representa as frações
7 12 e 3 5 o registro de duas dimensões. O apelo às ilustrações é maior em relação aos signos que a representação possa ter, podendo, portanto, levar ao erro. Cabe lembrar que os autores colocam que as retas graduadas são mais adequadas para criar um elo entre números e grandezas relativas, logo as escritas equivalentes necessárias para essa resolução teriam um custo maior.
A reta graduada permite que utilizemos tratamentos diferentes para concluir a igualdade de duas frações, como na Figura 13. Para se fazer o mesmo
12 Le fractionneur est le signe qui permet une première numérisation du problème, mais aussi qui
conduit à constituer l’information visuelle en hypothèse [...].
Figura 11: Distinção entre
3 5 e 7 12 Figura 12: Representação de 3 5 e 7 12 em dimensão 2
tipo de comparação utilizando a dimensão 2, haveria um custo didático elevado, pois é necessário que as figuras tenham a mesma superfície, enquanto que, na figura abaixo, as unidades possuem tamanhos diferentes.
Com a primeira representação, conclui-se que cada parte representa um terço, logo
3 4
x ; já na segunda representação, cada parte representa dois
terços, logo
3 4
x também. Esse registro permite que o número racional seja
construído desvinculado de medida. Apesar das graduações terem tamanhos diferentes, o número representado por x é o mesmo.
Vejamos outro exemplo considerado no artigo (Fig. 14). Nesse exemplo, são propostas duas representações diferentes para um número racional.
A solução do problema consiste em fazer r1 ter uma nova divisão em 3 x 4 = 12 divisões na marcação [0; 3], passando a ter um fracionador igual a 12 e então recolocar r1 e r2 entre [0, 12]. Assim teremos o mesmo posicionamento de x e y, como mostra a Figura 15.
Figura 13: Duas representações de
3 4 Figura 14: 4 1 de 3 e 3 vezes 4 1 r1 r2
A reta graduada usada para medir e também para comparar número racional segue a mesma lógica de se encontrar um novo fracionador, ou seja, um múltiplo comum dos fracionadores das retas dadas, e se inscrever os dois racionais sobre a mesma reta.
Na figura abaixo, temos a comparação entre as representações dos números mistos13 5 3 7 e 3 2
7 representados por x e y respectivamente. Sabemos
que para fazer a comparação, basta trabalharmos com a parte fracionária do número misto, porém podemos imaginar a dificuldade em fazer a representação do número misto em dimensão 2.
Para resolver esse problema, devemos encontrar o fracionador comum, que é o 15, fazer uma nova divisão de 3 em 3 e localizar y. Depois de 5 em 5, localizar x e então compará-los, como mostra a Figura 16.
13 Número misto: é aquele formado por parte inteira e parte fracionária.
0 1 2 3 12 x y 0 3 6 9 Figura 15: x = y
Pode-se afirmar que a dimensão 2 dá conta de fazer essa comparação, porém se temos de medir para então fazermos a nova divisão da barra em 15 partes, seria muito mais rápido medir na reta, ou seja, desenhar a reta tem um custo menor do que utilizar a barra. Não é apenas o fato de representar
3 2 e 5 3 , mas, nesse caso, o fato de termos a possibilidade de representação para o número misto.
Esse sistema de representação apresenta um obstáculo a ser ultrapassado relacionado ao ato de medir. “[...] é tentador ligar a numeração a 1, e colocar em coincidência a origem do segmento para medir com o 1 e não o 0 [...]”.14 (ADJIAGE; PLUVINAGE, 2000 p. 57, tradução nossa)
Para medir um segmento qualquer, é necessária uma tomada de consciência que pode ser alcançada pela bijeção entre os intervalos e seus pontos extremos e, ao mesmo tempo, permite que se faça a soma de partes sobre a reta. Sendo assim, a reta fornece meios para que esse obstáculo seja ultrapassado. “Ela pode de fato ser às vezes tratada no universo físico, fracionável em partes enumeráveis por reunião, e às vezes em sistema semiótico mobilizando signos que podem indiferentemente referir aos segmentos ou às suas extremidades [...]”.15 (ADJIAGE; PLUVINAGE, 2000, p. 57, tradução nossa)