Tek uzunluk döngülü cezbedici hücresel otomatların

Bu bölümde kural vektörünün sadece döngü uzunluğu bir olan cezbedici üretmesini sağlayan algoritmaya yer verilmiştir.

Önceki bölümlerde yer alan algoritma 3 istenen sayıda kapsamlı bit üreten kural vektörünün elde edilmesi için gerekli adımları içeriyordu. Algoritma 3’ün çıktı olarak verdiği kural vektörü cezbedici uzunluğu birden fazla cezbedici durumlar üretebilir. Bu bölümde kural vektörünün sadece cezbedici uzunluğu bir olan cezbediciler üretmesini odaklanmıştır. Kural vektörünün istenen sayıda kapsamlı bit üretmesi bir sonraki bölümde ele alınacaktır.

Sadece tek uzunluk döngülü cezbedici üreten ve çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu kısıtlayan kural vektörü elde etmek için Mukherjee “özellik 3” adını verdiği teorem geliştirmiştir (Mukherjee, 2009).

Özellik 3: Eğer i’ninci hücreye ait kural KMT’lerinden özellik 1’i karşılamayan rnve rm KMT’leri varsa; bu KMT’ler rn∈S0(veya S1) ve rm∈S1(veya S0) farklı kümelere ait ise (i+1)’inci hücreye ait kuralın ardışık KMT’lerinin seçimi çok uzunluk döngülü cezbedici oluşmaması için aşağıdaki gibi olmalıdır:

a) 2r_nmod8 , (2r_n+1)mod8 KMT’leri özellik 1’i karşılamalı; 2r_mmod8 , (2rm+1)mod8 KMT’leri özellik 1’i karşılamamalı

b) Veya; 2rmmod8 , (2rm+ 1)mod8 KMT’leri özellik 1’i karşılamalı; 2rnmod8 , (2r_n+1)mod8 KMT’leri özellik 1’i karşılamamalı

c) Veya: 2rnmod8 , (2rn+1)mod8, 2rmmod8 , (2rm+1)mod8 KMT’leri aynı kümeden ise hiçbiri özellik 1’i karşılamamalı

d) Veya: 2r_nmod8 , (2r_n+1)mod8, 2r_mmod8 , (2r_m+1)mod8 KMT’leri farklı kümeden ise hepsi özellik 1’i karşılamalı

78

Dört hücreli bir hücresel otomatın kurallarını özellik 3’ü dikkate alarak oluşturalım. Dört hücreli bir hücresel otomata dört kurala sahiptir. Her bir kural bir önceki kural dikkate alınarak oluşturulur.

Sıfır sınırlı hücresel otomata kullandığımız için birinci kuralın ilk dört KMT’si(KMT0, KMT1, KMT2, KMT3) kullanılacak ve son dört KMT’si(KMT4, KMT5, KMT6, KMT7) kullanılmayacaktır. Son dört KMT’nin seçimi rasgele yapılabilir ve bir sonraki kuralın oluşturulmasında dikkate alınmaz. İlk dört KMT’den KMT0 ve KMT3 özellik 1’i karşılamasın diğer KMT’ler KMT1 ve KMT2 özellik 1’i karşılasın. Bu şartlar dikkate alınarak ilk kuralımız şöyle olsun; 162: 10100101.

İkinci kuralı birinci kuralı dikkate alarak oluşturulacaktır. Birinci kuralda KMT0 ∈S0 ve KMT3 ∈S₁ özellik 1’i karşılamadığı ve farklı KMT kümelerine ait oldukları için çok uzunluk döngülü cezbedici oluşabilir. Çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellemek için ikinci kuralın KMT’lerini özellik 3 kullanarak seçilecektir. Birinci kuralda yer alan özellik 1’i karşılamayan KMT3 ve KMT0’ın ardışık KMT’leri sırasıyla KMT6, KMT7 ve KMT0, KMT1’dir. Bu KMT’ler (KMT6, KMT7) ∈S1 ve (KMT0, KMT1) ∈S0kümelerine aittir. Ardışık KMT’ler iki farklı kümeye ait olduğu için ardışık KMT’lerin tümünün veya kümelerden birine ait KMT’lerin özellik 1’i karşılaması gerekir. Ardışık tüm KMT’ler özellik 1’i karşılamış olsun. Birinci kurala ait KMT1 ve KMT2 iki özellik 1’i karşılamaktadır. Bu KMT’lerin ardışık KMT’leri KMT2, KMT3 ve KMT4 ve KMT5’tir. Bu KMT gruplarından birinin özellik 1’i karşılaması diğerinin karşılamaması gerekir. KMT5 ve KMT4 özellik 1’i karşılasın; KMT2 ve KMT3 özellik 1’i karşılamasın bu durumda ikinci kural şöyle olacaktır; 192: 11000000

Üçüncü kuralı ikinci kuralı dikkate alarak oluşturulacaktır. İkinci kuralda iki farklı KMT kümesine ait ve özellik 1’i karşılamayan iki KMT olmadığı için, üçüncü kurala ait KMT seçiminde tüm KMT’lerin özellik 1’i karşılamaması dışında başka kısıt yoktur. Üçüncü kurala ait KMT’lerden S1 kümesine ait KMT7, KMT6 ve KMT3 özellik 1’i karşılasın ve S0 kümesine ait KMT’lerden KMT0, KMT1 ve KMT5 özellik 1’i karşılasın; KMT4 ve KMT2 özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda üçüncü kural şöyle olacaktır; 216: 11011000.

79

Dördüncü kuralı üçüncü kuralı dikkate alarak oluşturulacaktır. Üçüncü kuralda KMT4 ∈S0 ve KMT2 ∈S1 özellik 1’i karşılamadığı ve farklı KMT kümelerine ait oldukları için çok uzunluk döngülü cezbedici oluşabilir. Çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellemek için dördüncü kuralın KMT’lerini özellik 3’ü kullanarak seçilecektir. Üçüncü kuralda yer alan özellik 1’i karşılamayan KMT4 ve KMT2’nin ardışık KMT’leri sırasıyla KMT0, KMT1 ve KMT4, KMT5’tir. Bu KMT’ler (KMT0, KMT1) ∈S0 ve (KMT4, KMT5) ∈S0kümelerine aittir. Ardışık KMT’ler iki aynı kümeye(S0) ait olduğu için ardışık KMT’lerin tümünün özellik 1’i karşılamaması veya kümelerden birine ait KMT’lerin özellik 1’i karşılaması gerekir. Ardışık tüm KMT’ler den bir kümeye ait olan KMT’ler özellik 1’i karşılamış olsun. KMT0 ve KMT1 özellik 1’i karşılasın; KMT4 ve KMT5 özellik 1’i karşılamasın. Diğer KMT’lerden KMT2 ve KMT3 özellik 1’i karşılasın; KMT6 ve KMT7 özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda dördüncü kural şöyle olacaktır; 60:00111100

Aşağıdaki Tablo 2.11’de CA<165,192,216,60> kural vektörüne ait kuralların ikilik değerleri ve KMT karşılıkları yer almaktadır. Şekil 2.18’deki durum geçiş diyagramları ve Şekil 2.19’daki erişilebilirlik ağacı bu tabloya göre oluşturulmuştur.

Tablo 2.11. CA<165,192,216,60> kural vektörüne ait kuralların ikilik değerleri ve KMT karşılıkları Kural KMT 111 110 101 100 011 010 001 000 KMT (7) KMT (6) KMT (5) KMT (4) KMT (3) KMT (2) KMT (1) KMT (0) 165 _{1 0 1 0 0 1 0 1} 192 _{1 1 0 0 0 0 0 0} 232 _{1 1 0 1 1 0 0 0} 60 _{0 0 1 1 1 1 0 0}

CA<165,192,216,60> vektörüne ait durum geçiş diyagramı aşağıdaki Şekil 2.18.’de yer almaktadır. Kural vektörü iki cezbedici(8 ve 9) durum üretmektedir. Durumların çoğu 9 numaralı cezbedici etrafında toplanmıştır.

80 4 0 13 10 1 12 9 2 8 14 11 5 15 3 6 7

Şekil 2.18. CA<165, 192, 216, 60> kural vektörünün durum geçiş diyagramı

Aşağıdaki Şekil 2.19’da CA<165, 192, 216, 60> kural vektörünün ürettiği cezbediciler için erişilebilirlik ağacı yer almaktadır. Cezbediciler için erişilebilirlik ağacı kural vektöründeki kurallara ait KMT’lerin özellik 1’i karşılamasına göre oluşturulur. Erişilebilirlik ağacı hakkında detaylı bilgiler yukarıdaki bölümlerde verilmişti.

Şekil 2.19. CA<165, 192, 216, 60> kural vektörünün ürettiği cezbediciler için erişilebilirlik ağacı

81

2.4.12. Algoritma 4: belirli kapsayıcı bitlere sahip tek uzunluk döngülü cezbedici hücresel otomatların sentezi

Bu bölümde kural vektörünün istenen sayıda kapsayıcı bite sahip ve sadece döngü uzunluğu bir olan cezbedici üretmesini sağlayan algoritmaya yer verilmiştir.

Önceki bölümlerde sadece tek uzunluk döngülü cezbediciler üreten kural vektörünün elde edilmesi ele alınmıştı. Yukarıdaki bölümün eksikliği cezbedici sayısının kontrol altına alınmamasıydı. Bu bölümde cezbedici sayısı kapsayıcı bitler ile kontrol altına alınması incelenecektir. Eğer n hücreli bir hücresel otomata k tane kapsayıcı bite sahip ise bu hücresel otomatın sahip olabileceği maksimum cezbedici sayısı; 2k olacaktır. Bu bölümde kural vektörünün sadece cezbedici uzunluğu bir olan cezbediciler üretmesini ve kural vektörünün istenen sayıda kapsamlı bit üretmesi dikkate alınacaktır.

Kapsamlı bitlerin belirlenmesini ve istenen sayıda elde edilmesini yukarıdaki bölümlerde verilen Algoritma 2 ve Algoritma 3’de; kural vektörünün sadece tek uzunluk döngülü cezbedici üretmesini bir önceki bölümde açıklamıştık. Bu bölümde Algoritma 2 ve Algoritma 3’den farklı olarak kapsayıcı bitler elde edilirken çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumuna izin vermeden kapsayıcı bitler elde edilecektir.

Das ve arkadaşları istenen sayıda kapsayıcı bite sahip tek uzunluk döngülü cezbedicileri üretecek kural vektörünün elde edilmesinde yardımcı olacak teoremler önermişlerdir. Teoremler kapsayıcı bite ait kuralın KMT’lerini çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumuna izin vermeden oluşturulmasına yol göstermektedir.

Teorem 3.1: N hücreli bir hücresel otomata için, eğer i’ninci bit kapsayıcı bit ise KMT 0, 1, 2, 3 veya KMT 4, 5, 6, 7 veya tüm sekiz KMT’sinde (i-1)’inci kuralın özellik 1’i sağlayan KMT’lerine bağlı olarak sağlar (Das ve ark., 2009).

Açılama: n-hücreli bir hücresel otomata için; eğer birinci bit kapsayıcı bit ise erişilebilirlik ağacının 0’ıncı seviyesindeki düğümün 0(sol) ve 1(sağ) kenarlarında yer alan KMT’lerin özellik 1’i karşılaması gerekir. Bu nedenle eğer birinci ve ikinci bitler kapsayıcı bit ise K1 kuralına ait 0, 1, 2 ve 3 KMT’lerinin özellik 1’i karşılaması gerekir. Eğer ikinci bit kapsayıcı bit değil ise K₁ kuralına ait 0, 1 KMT’lerinin en az birinin

82

özellik 1’i karşılaması gerekir ve K₁ kuralına ait 2, 3 KMT’lerinin en az birinin özellik 1’i karşılaması gerekir.

İ’ninci bir hücre için yukarıda verilen teoremi açıklayalım. Eğer i’ninci bir hücre kapsayıcı bit ise, Ki kuralına ait KMT’lerin i’ninci biti kapsayıcı bit yapacak şekilde seçilmesi gerekir. Seçim yapılırken K_i-1 kuralına ait KMT’ler dikkate alınır. K_i-1 kuralına ait KMT 0, 1 veya KMT 4, 5 veya KMT 0, 1, 4, 5 özellik 1’i karşılıyor ise i’ninci kurala ait KMT 0, 1, 2 ve 3 özellik 1’i karşılar. Aynı mantıkla K_i-1 kuralına ait KMT 2, 3 veya KMT 6, 7 veya KMT 2, 3, 6, 7 özellik 1’i karşılıyor ise i’nin kurala ait KMT 4, 5, 6 ve 7 özellik 1’i karşılar. Çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellemek için i’ninci seviyede yer alan ve özellik 1’i (i-1)’inci seviyede karşılayan KMT’lerin ardışığı olan KMT’lerin özellik 1’i karşılaması gerekir. (i-1)’inci seviyede özellik 1’i karşılamayan KMT’lerin ardışığı olan ve aynı KMT kümesine ait olan i’ninci seviyedeki KMT’ler rasgele seçilir.

Teorem 3.2: N hücreli bir hücresel otomata için: Eğer i’ninci bit kapsayıcı bit değil ise K_i kuralının oluşturulması (i+1)’inci bitin kapsayıcı bit olup olmamasına göre oluşturulması aşağıdaki gibidir (Das ve ark., 2009):

a) (i+1)’inci bit kapsayıcı bit olduğunda: Ki-1 kuralının özellik 1’i karşılayan KMT’lerine bağlı olarak 𝐾𝑖 kuralının 0, 1, 4, 5 KMT’leri özellik 1’i karşılar ve 2, 3, 6, 7 KMT’leri özellik 1’i karşılamaz. Ya da 2, 3, 6, 7 KMT’leri özellik 1’i karşılar ve 0, 1, 4, 5 KMT’leri özellik 1’i karşılamaz.

b) (i+1)’inci bit kapsayıcı bit olmadığında: K_i-1 kuralının özellik 1’i karşılayan KMT’lerine bağlı olarak Ki kuralının iki denk KMT’si (Örnek: KMT0=KMT4 veya KMT1=KMT5) özellik 1’i karşılar diğer altı KMT’si özellik 1’i karşılamaz.

Açıklama: N hücreli bir hücresel otomata düşünelim. Eğer birinci bir kapsayıcı bit değilse ve ikinci bit kapsayıcı bit ise birinci bitin 0, 1 KMT’leri veya 2, 3 KMT’leri özellik 1’i karşılamalıdır. İkinci bit kapsayıcı bit olduğundan 0, 1, 2, 3 KMT’leri veya 4, 5, 6, 7 KMT’leri özellik 1’i karşılamalı ki çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellesin. Bu nedenle ikinci bit kapsayıcı bit olduğunda birinci kural özellik 1’i ya 0, 1 KMT’lerinde veya 2, 3 KMT’lerinde karşılamalıdır. Eğer ikinci bit kapsayıcı bit değil ise birinci kuralın 0, 1, 2, 3 KMT’lerinden yalnızca bir KMT özellik 1’i karşılamalıdır.

83

İ’ninci bir hücre için yukarıda verilen teoremi açıklayalım. Eğer i’ninci bit kapsayıcı bit değilse ve (i+1)’inci bit kapsayıcı bit ise i’ninci kuralın 0, 1, 4, 5 KMT’leri veya 2, 3, 6, 7 KMT’leri özellik 1’i karşılamalıdır. Çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellemek için Kural Ki KMT’lerinin aynı kümede olanları ya hep beraber özellik 1’i karşılamalı yada hiç karşılamamalıdır. Eğer i’ninci bit kapsayıcı bit değilse ve (i+1)’inci bit kapsayıcı bit değil ise i’ninci bitin kuralı Ki ait KMT’lerden yalnızca iki denk KMT’si(Örnek: KMT0=KMT4 veya KMT1=KMT5 …) özellik 1’i karşılayacak şekilde değer seçimi yapılır. Ki-1 kuralında özellik 1’i karşılayan KMT’ler olduğunda, çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumunu engellemek için K_i kuralı şöyle oluşturulur: (i-1)’inci bit yer alan ve özellik 1’i karşılayan KMT’ler ile aynı KMT kümesine ait i’ninci bitteki KMT özellik 1’i karşılamazlar. Diğer KMT kümesinde yer alan i’ninci bitte yer alan KMT’lerden yalnızca iki denk KMT özellik 1’i karşlar.

Das ve arkadaşları yukarıdaki teoremlerim belirlediği çerçeve içerisinde istenen kural vektörü uzunluğuna ve istenen kapsayıcı bite sahip kural vektörü elde edilmesi sağlayan algoritma geliştirmişlerdir. Aşağıda Şekil 2.20’de algoritmada kural vektörü elde etmek için kullanılan sentez yönteminin algoritması yer almaktadır. Algoritma girdi olarak kural vektörü uzunluğunu ve kapsamlı bit sayısını almakta ve çıktı olarak istenen uzunluğu sahip kural vektörü vermektedir.

84

Girdi: n (Kural vektörü uzunluğu) ve K (Kapsamlı bit sayısı) Çıktı: Kural Vektörü

Adım 1: Kapsamlı bit yeteneğine sahip K tane biti rasgele belirle

Adım 2: S0 ve S1 iki KMT kümesi olsun. S0 KMT’leri 0 ve S1 KMT’leri 1’dir. S0={0, 1, 4, 5}, S1={2, 3, 6, 7}

Adım 3:

a) Eğer birinci ve ikinci bit kapsayıcı bit ise: K₁ve K₂ kurallarına ait tüm KMT’ler özellik 1’i karşılar

b) Eğer birinci bit kapsayıcı bit ve ikinci bit kapsayıcı bit değilse:

K1 kuralına ait KMT’lerden S0 kümesine ve S1 kümesine ait KMT’lerden en az birer tanesi özellik 1’i karşılar. K1 kuralının özellik 1’i karşılayan KMT’lerinden türetilen ardışık KMT’ler K2 kuralında özellik 1’i karşılarlar. Eğer K1 kuralının diğer KMT’leri özellik 1’i karşılamıyorsa K2 kuralına ait KMT’lerden K1 kuralı KMT’leri aynı kümeye ait (S0 ve S1) ise özellik 1’i karşılamaz. Eğer K1 kuralının diğer KMT’leri özellik 1’i karşılamıyorsa K2 kuralına ait KMT’lerden K1 kuralı KMT’leri farklı kümeye ait (S0 ve S1) ise özellik 1’i karşılar.

c) Eğer ikinci bit kapsayıcı bit ve birinci bit kapsayıcı bit değilse:

K1 kuralının S0 veya S1 kümelerinden sadece birine ait KMT’leri özellik 1’i karşılar diğer kümedeki KMT’ler özellik 1’i karşılamaz. K2 kuralının K1 kuralında özellik 1’i karşılayan KMT’lerinden türetilen ardışık KMT’ler özellik 1’i karşılar, diğer KMT’ler rasgele seçilir.

d) Eğer birinci ve ikinci bit kapsayıcı bit değillerse:

K1 kuralında, S0 kümesinden sadece bir KMT özellik 1’i karşılar ve S1 kümesindeki KMT’ler özellik 1’i karşılamazlar; veya S1 kümesinden sadece bir KMT özellik 1’i karşılar ve S0 kümesindeki KMT’ler özellik 1’i karşılamazlar. K2 kuralında, K1 kuralında özellik 1’i karşılayan KMT’den türetilen ardışık KMT’ler özellik 1’i karşılar. K2 kuralında, K1 kuralında özellik 1’i karşılamayan KMT’den türetilen ardışık KMT’lerden aynı kümede olanlar özellik 1’i karşılamaz, farklı kümede olanlar özellik 1’i karşılar.

Adım 4: For i=3’den n’e

a) Eğer i’ninci ve (i+1)’inci bitler kapsayıcı bit ise:

Ki kuralının 0, 1, 2, 3 KMT’leri veya 4, 5, 6, 7 KMT’leri veya tüm sekiz KMT’si özellik 1’i karşılar.

b) Eğer i’ninci bit kapsayıcı bit ve (i+1)’inci bit kapsayıcı bit değilse:

Ki kuralının 0, 1, 2, 3 KMT’leri veya 4, 5, 6, 7 KMT’leri özellik 1’i karşılar. Diğer KMT’ler rasgele seçilir.

c) Eğer i’ninci bit kapsayıcı bit değil ve (i+1)’inci bit kapsayıcı bit ise:

Ki kuralının S0 kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılar ve S1 kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılamaz; veya S1 kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılar ve S₀ kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılamaz

d) Eğer i’ninci ve (i+1)’inci bitler kapsayıcı bit değiller ise:

Ki kuralının S0 kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılamaz ve S1 kümesine ait KMT’lerden yalnızca iki denk KMT özellik 1’i karşılar; veya S1 kümesine ait KMT’leri özellik 1’i karşılamaz ve S0 kümesine ait KMT’lerden yalnızca iki denk KMT özellik 1’i karşılar

Adım 5: K tane kapsamlı bite sahip kural vektörünü rapor et.

Şekil 2.20. Algoritma 4: Çok uzunluk döngülü cezbedici oluşumuna izin vermeden, istenen sayıda kapsamlı bit üreten kural vektörünü çıktı olarak veren çoklu cezbedici hücresel otomata sentez algoritması (Das ve ark., 2009)

Algoritmanın karmaşıklığı kural vektörünün uzunluğuna ve KMT sayısına bağlıdır. N tane kurala sahip kural vektörü ve 8 KMT değeri için zaman karmaşıklığı şöyledir; T(n)=8n=O(n).

85

Yukarıdaki algoritmayı kullanarak belirli sayıda kapsayıcı bite sahip ve sadece tek uzunluk döngülü cezbediciler üreten kural vektörü elde edelim. Algoritma girdi olarak kural vektörünün uzunluğunu ve kapsayıcı bit sayısını almaktadır. Kural vektörünün uzunluğu n=6 ve kapsayıcı bit sayısı k=3 olsun. Kapsayıcı bitlerimiz 1, 4 ve 6’ıncı bitler olsun.

Birinci bit kapsayıcı bit olduğu için birinci kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlaması dikkate alınarak seçilmesi gerekir. Kapsayıcı bit KMT’lerini seçerken dikkat edilmesi gereken bir diğer durum; bir sonraki bitin kapsayıcı bit olup olmamasıdır. İkinci bit kapsayıcı bit olmadığı için birinci kuralın ilk dört KMT’sinin özellik 1’i karşılamasına gerek yoktur. Kapsayıcı bit şartlarını sağlaması için birinci kurala ait S₀ ve S₁KMT kümelerinden en az birer KMT’nin özellik 1’i sağlaması gerekir. Birinci kuralda üç KMT özellik 1’i karşılıyor olsun. Özellik 1’i sağlayan KMT’ler KMT0, KMT1 ve KMT3 olsun; KMT2 özellik 1’i sağlamasın. Sıfır sınırlı hücresel otomata kullandığımız için son dört KMT’nin hangi değeri aldığının bir önemi yoktur. Son dört KMT’nin değerleri 0 seçilsin. Bu şartlarda birinci kural şöyle olacaktır; 8:00001000.

İkinci bit kapsayıcı bit değildir. Bu nedenle ikinci kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlamaması gerekir. Ayrıca ikinci bitten sonra gelen üçüncü bitte kapsayıcı bit değildir. Bu nedenle ikinci kurala ait S0 ve S1KMT kümelerinden birinin özellik 1’i tamamen karşılaması, diğerinde sadece iki denk KMT’nin özellik 1’i karşılaması gerekir. S₀ KMT kümesi özellik 1’i karşılamasın ve S₁ KMT kümesinden iki denk KMT olan KMT3 ve KMT7 özellik 1’i karşılasın, diğer iki denk KMT olan KMT2 ve KMT6 özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda ikinci kural şöyle olacaktır; 187:10111011

Üçüncü bit kapsayıcı bit değildir. Bu nedenle üçüncü kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlamaması gerekir. Ancak dördüncü bit kapsayıcı bit olduğu için üçüncü kural ait S0 ve S1KMT kümelerinden birinin özellik 1’i tamamen karşılaması, diğerinin tamamen karşılamaması gerekir. Hangi KMT kümesinin özellik 1’i karşılayacağı bir önceki kural olan ikinci kuralın özellik 1’i sağlayan KMT’lerinin ait olduğu kümeye göre yapılır. İkinci kuralda özellik 1’sağlayan KMT’ler S1 kümesine ait olduğu için üçüncü kuralın S1 kümesine ait KMT’lerinin özellik 1’i karşılaması, S0

86

kümesine ait KMT’lerin özellik 1’i karşılamaması gerekir. Bu şartlarda üçüncü kural şöyle olacaktır; 255:11111111.

Dördüncü bit kapsayıcı bit olduğu için dördüncü kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlaması dikkate alınarak seçilmesi gerekir. Dördüncü kuralda özellik 1’i sağlayan KMT’ler üçüncü kuralda özellik 1’i sağlayan KMT’lerin ardışığı olacaktır. Üçüncü kuralda özellik 1’i sağlayan KMT şöyledir; KMT2, KMT3, KMT6 ve KMT7. Bu KMT’lerin ardışıkları şöyledir; KMT2={KMT4, KMT5}, KMT3={KMT6, KMT7}, KMT6={KMT4, KMT5}, KMT7={KMT6, KMT7}. KMT2 ve KMT6; KMT3 ve KMT7 denk KMT’ler oldukları için aynı ardışık KMT’lere sahiptir. Bu durumda dördüncü kuralda yer alan KMT4, KMT5, KMT6 ve KMT7’nin özellik 1’i karşılaması gerekir. Geriye kalan KMT’ler rasgele seçilebilir. KMT1, KMT2 ve KMT3 özellik 1’i karşılasın ve KMT0 özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda dördüncü kural şöyle olacaktır; 205:11001110.

Beşinci bit kapsayıcı bit değildir. Bu nedenle beşinci kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlamaması gerekir. Ancak altıncı bit kapsayıcı bit olduğu için üçüncü kural ait S0 ve S1KMT kümelerinden birinin özellik 1’i tamamen karşılaması, diğerinin tamamen karşılamaması gerekir. S0 kümesi özellik 1’i karşılasın ve S1 kümesi özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda beşinci kural şöyle olacaktır; 0:00000000.

Altıncı bit kapsayıcı bit olduğu için altıncı kural KMT’lerinin kapsayıcı bit şartlarını sağlaması dikkate alınarak seçilmesi gerekir. Altıncı kurala ait KMT0, KMT2, KMT4 ve KMT6 özellik 1’i karşılasın; KMT1, KMT3, KMT5 ve KMT7 özellik 1’i karşılamasın. Bu şartlarda altıncı kural şöyle olacaktır; 102:01100110.

Aşağıdaki Tablo 2.12’de CA<8, 187, 255, 205, 0, 102> kural vektörüne ait kuralların ikilik değerleri ve KMT karşılıkları yer almaktadır. Şekil 2.21.’deki erişilebilirlik ağacı ve Şekil 2.22’daki durum geçiş diyagramları Tablo 2.12’ye göre oluşturulmuştur.

87

Tablo 2.12. CA<8, 187, 255, 205, 0, 102> kural vektörüne ait kuralların ikilik değerleri ve KMT karşılıkları Kural KMT 111 110 101 100 011 010 001 000 KMT (7) KMT (6) KMT (5) KMT (4) KMT (3) KMT (2) KMT (1) KMT (0) 8 _{0 0 0 0 1 0 0 0} 187 _{1 0 1 1 1 0 1 1} 255 _{1 1 1 1 1 1 1 1} 205 _{1 1 0 0 1 1 0 1} 0 _{0 0 0 0 0 0 0 0} 102 _{0 1 1 0 0 1 1 0}

Şekil 2.21. CA<8, 187, 255, 205, 0, 102> kural vektörünün ürettiği cezbediciler için erişilebilirlik ağacı

88 4 10 34 12 8 14 58 6 24 2 28 0 16 52 22 54 48 46 38 44 20 32 30 36 5 13 15 7 29 1 17 53 23 55 49 47 39 45 21 33 31 37 40 42 50 26 18 11 35 9 25 2 41 43 51 27 19 56 62 60 63 61 59 57

Şekil 2.22. CA<8, 187, 255, 205, 0, 102> kural vektörünün durum geçiş diyagramı

2.4.13. Belirli kapsayıcı bitlere ve tek uzunluk döngülü cezbediciler için