Tedarik Zinciri Đçerisindeki Diğer Sistemler

As operações com expressões simbólicas são essenciais para as ciências físicas, mas na realidade elas pertencem somente à matemática. Todas as conexões com o fenômeno [físico] original podem ser deixadas de lado pela mente durante essas operações, e o matemático que as elabora pode ter dúvidas se seus resultados serão aplicados em geometria dos corpos rígidos, hidrostática ou eletricidade. Mas como estamos engajados no estudo da Filosofia Natural, devemos nos esforçar para formular nossos cálculos de tal maneira que cada passo possa ser interpretado fisicamente. Dessa forma, desenvolveremos habilidades muito mais úteis do que aquelas associadas a cálculos sem significado: a aplicação de princípios e a interpretação dos resultados (MAXWELL [1860] in HARMAN, 1990, p. 672).

Essa citação foi extraída de uma aula inaugural proferida por Maxwell no King’s College em 1860. A mensagem é clara: os cálculos têm importância fundamental para a física (filosofia natural naquele contexto), porém eles devem sempre estar vinculados à aplicação de princípios e à interpretação física de cada uma de suas etapas. De maneira semelhante, Pietrocola (2002) defende que “não se trata apenas de saber matemática para poder operar as teorias físicas que representam a realidade, mas saber apreender teoricamente o real através de uma estruturação matemática” (PIETROCOLA, 2002, p. 111).

Refletindo sobre possíveis maneiras de se usar matemática em física – tanto do ponto de vista epistemológico como didático-pedagógico – parece-nos plausível considerar a existência de uma dicotomia (talvez dualidade seja mais apropriado) entre duas maneiras distintas de pensar/agir (modus operandi): uma que trata a matemática de maneira técnica (instrumental/procedimental), vazia de significado físico, e outra estrutural (relacional/organizacional), sempre associada a interpretações físicas como recomenda Maxwell. Em trabalhos recentes (KARAM; PIETROCOLA, 2009a, 2009b; PIETROCOLA, 2010; UHDEN et al., 2011), consideramos essa possibilidade do ponto de vista do ensino e aprendizagem propondo uma diferenciação entre habilidades técnicas e estruturais23. De maneira semelhante, Pospiech (2006) defende que os estudantes devem reconhecer que a matemática é tanto uma ferramenta valiosa para a física, como tem um fundamental papel para a estruturação teórica desta ciência. Nesta seção e na próxima vamos explorar essa diferenciação com profundidade.

A primeira categoria refere-se ao campo mais “interno” da matemática, mais especificamente ao domínio instrumental de algoritmos, regras, fórmulas, gráficos, equações,

23 _{Vale destacar novamente a relação estrutural (produto) e estruturante (processo), e ressaltar que ambas estão}

51 etc. Tradicionalmente, essas habilidades são desenvolvidas no contexto do ensino da matemática como disciplina e nem sempre estão relacionadas com qualquer tipo de aplicação e/ou situação-problema. Na pesquisa realizada por Bing e Redish (2009), essa postura foi chamada de “Rotina de Cálculo” e ilustrada pelo enfoque dado pelo professor Alfa. Em Paty (1995) esse caráter instrumental foi identificado como nível “fraco” de uso da matemática em física. Na aula inaugural de Maxwell, o físico inglês destaca que todas as conexões com o fenômeno físico original são deixadas de lado pela mente quando se opera com matemática de maneira procedimental.

Não raro, professores de física vinculam o insucesso de seus estudantes à falta dessas habilidades técnicas e frequentemente reclamam que seus estudantes não sabem: “dividir com vírgula, isolar uma variável, construir um gráfico, resolver uma equação, calcular um determinante, etc, etc, etc...”. O tão comum bordão “a física do problema já acabou, daqui para frente é só matemática” também ilustra uma visão meramente operacional. Além disso, muitos educadores que defendem uma abordagem conceitual da física criticam, com razão, o excessivo foco no aprendizado de procedimentos matemáticos presente em livros didáticos.

De fato, a capacidade de manipular tecnicamente muitas das “ferramentas matemáticas” (habilidades técnicas) é necessária para um bom desempenho dos estudantes na disciplina de física (HUDSON; MCINTIRE, 1977; HUDSON; LIBERMAN, 1982). Entretanto, apesar de necessária, essa condição está longe de ser suficiente, ou seja, não é possível afirmar que os estudantes que as dominam serão bem sucedidos em física. Ao realizarem testes para medir o conhecimento técnico de fundamentos de Álgebra e Trigonometria no início de um curso de Física Básica, Hudson e McIntire (1977) constataram que o mesmo serviu como um instrumento que possibilitou “a previsão do fracasso, mas não a garantia do sucesso” dos estudantes (HUDSON; MCINTIRE, 1977, p. 470).

Essa insuficiência é justificada por Redish (2005) quando o mesmo sustenta que “utilizar matemática em ciências (principalmente em física) não é somente fazer matemática” (p. 1). Segundo o autor, o uso da matemática na física tem um objetivo diferente, pois se destina a representar sistemas físicos, ao invés de expressar relações abstratas. Além disso, Redish (2005) argumenta que a matemática utilizada na física possui uma semiótica diferente: “é quase como se a “linguagem” da matemática que se usa na física fosse diferente daquela ensinada pelos matemáticos” (REDISH, 2005, p. 1). Como físico, o autor fornece os seguintes argumentos para fundamentar essas diferenças:

- Nós [os físicos] damos nomes diferentes às constantes e às variáveis; - Nós ocultamos/ofuscamos a distinção entre constantes e variáveis;

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- Nós utilizamos símbolos para representar ideias em vez de quantidades;

- Nós misturamos as “coisas da Física” com “coisas da Matemática” quando interpretamos as equações;

- Nós atribuímos significado aos nossos símbolos; (REDISH, 2005, p. 2).

Alguns problemas são apresentados por Redish (2005) com o objetivo de exemplificar situações propícias para lidar com essas diferenças. Dentre eles, encontramos o clássico experimento do carrinho de Fletcher, no qual tradicionalmente deve-se calcular a aceleração do sistema e a tração no fio que une os blocos (Fig. 6):

Figura 6: Problema do carrinho de Fletcher (REDISH, 2005, p. 5).

O autor propõe que se solicite aos estudantes que calculem a aceleração do sistema para casos extremos/limites como m → 0, M → 0, m >> M ou M >> m. Dessa forma, é possível “exemplificar uma postura que consiste em considerar uma gama de experimentos ao invés de um único e também evidencia a habilidade física de tratar constantes (massas) como variáveis” (REDISH, 2005, p. 5).

Em concordância com a diferença semântica proposta por Redish, Pospiech (2006) e apresenta o seguinte quadro relacionando conceitos matemáticos e seus respectivos correspondentes, com interpretações e significados distintos, na física.

Matemática Física

Números Números com unidades

Fração Relação

Função em sentido abstrato Relações funcionais entre grandezas físicas Objetos geométricos Representações simbólicas de sistemas físicos Derivada Taxa de variação

Integral Soma de infinitos infinitesimais

Quadro 5: Representações diferentes em matemática e física (POSPIECH, 2006, p. 8).

Tuminaro (2004) também sustenta que a matemática utilizada na física possui uma semântica diferente daquela ensinada pelos professores de matemática. Essa defesa é fundamentada em três dimensões: 1) os estudantes têm dificuldade de mapear/traduzir conceitos dos cursos de matemática para os cursos de física; 2) existem diferenças consideráveis entre a matemática ensinada nos cursos de matemática e a matemática necessária nos cursos de física (citando como exemplos as diferenças entre Força e Resultante das Forças, constantes universais e parâmetros experimentais, variáveis dependentes e independentes, condições iniciais e de contorno, entre outros) e 3) os

53 estudantes acham que existe uma diferença entre a “matemática das aulas física” e a “matemática das aulas de matemática” (essa afirmação é baseada na análise das falas dos próprios alunos).

Pensemos em um simples exemplo para ilustrar essas possíveis diferenças semânticas (KARAM; PIETROCOLA, 2009a). Consideremos as seguintes equações físicas: V = R.i, E = h.f e v = λ.f. Matematicamente, todas essas expressões poderiam ser encaradas como uma relação linear do tipo y = kx. Graficamente, é possível representar uma função linear como uma reta que passa pela origem e cuja inclinação (tangente do ângulo (α) que a reta faz com a horizontal) é dada pela constante k (Figura 6). Aqui, x tradicionalmente representa a variável independente, y a variável dependente e k a constante de proporcionalidade.

Figura 7: Gráfico da função linear y = kx para x 0

Uma rápida discussão sobre a situação física que cada uma das fórmulas representa evidencia que, apesar da estrutura matemática aparentemente semelhante, existem diferenças extremamente significativas entre as mesmas. Em primeiro lugar não é tão nítida a separação entre variáveis dependentes e independentes. Na relação entre tensão e corrente (conhecida por lei de Ohm), por exemplo, é possível medir a corrente para obter a tensão, medir tensão para obter a corrente ou ainda, talvez o mais comum, seja medir tensão e corrente para se obter a resistência de um fio condutor. Em contraposição, para a relação E = hf, não existe o menor sentido prático em se determinar a constante, uma vez que se trata de um valor universal conhecido como constante de Planck. Enquanto a resistência de um fio pode mudar, a constante de Planck sempre será igual a h = 6,626 x 10-34 J.s. Outra diferença notável é que a energia (E) de um fóton não é uma função contínua de sua frequência (f), uma vez que, para uma determinada frequência, a energia só pode assumir valores múltiplos de hf. Essa hipótese, conhecida como quantum de ação, é justificada no trabalho em que Einstein detecta uma incoerência formal na tentativa de explicar a emissão de radiação térmica conciliando as funções contínuas da teoria eletromagnética de Maxwell com as funções discretas que representam somas sobre átomos e elétrons da termodinâmica (EINSTEIN, 1905).

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Para a equação fundamental da ondulatória (v = λ.f) a diferença semântica é ainda mais gritante. Isso porque a velocidade e a frequência de uma onda dependem de fatores diferentes. Enquanto a velocidade é influenciada pelas características do meio (elasticidade e inércia), a frequência é dependente apenas da fonte. Dessa forma, uma alteração na frequência de uma onda não provoca uma mudança em sua velocidade e vice-versa! O comprimento de onda λ está longe de ser uma constante. Na realidade é justamente esse parâmetro que varia para garantir a validade da equação e não haveria sentido físico algum em se traçar uma reta (v x f) na qual λ representasse a inclinação.

Exemplos como os citados acima são ilustrativos para refletirmos sobre como enfrentar as dificuldades que os estudantes enfrentam ao aplicar matemática para resolverem problemas de física. Uma prática bastante comum nas universidades e escolas brasileiras, quando se detecta dificuldades dessa natureza, é recomendar aos estudantes que participem de cursos de Matemática Básica, nivelamento, preparação para o cálculo e similares. Parece- nos, entretanto, que essa prática não se sustenta diante da constatação de que não basta saber matemática para usá-la conscientemente como instrumento de pensamento em física.

Dessa forma, o enfoque nas habilidades estruturais é tarefa legítima do ensino de física, enquanto que as habilidades técnicas seriam aprendidas em aulas de matemática. Entretanto, é importante enfatizar que apesar de a “matemática das aulas de matemática” ser diferente da necessária nas aulas de física, isso não significa que o ensino de matemática consiste em treinar os estudantes para a aplicação rotineira de regras e algoritmos sem sentido. De fato, dualidades semelhantes à que propomos para o ensino de física já são consideradas há um bom tempo por pesquisadores da educação matemática24 e por fornecerem elementos interessantes para nossa análise, vamos explorá-las brevemente.

Skemp (1976) propõe duas maneiras distintas de se classificar o entendimento no ensino de matemática: instrumental e relacional. A primeira consiste em memorizar regras prontas, sem saber explicar por que elas são válidas, e aplica-las em exercícios padrão. Alguns exemplos familiares são: “divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima”, “iguala as casas decimais e corta as vírgulas”, “todo número elevado a zero é igual a 1”, “quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo”, entre muitas outras. Tal maneira de olhar para o conhecimento matemático dá a impressão de que este consiste em um conjunto de regras sem sentido a serem memorizadas (“dogmas” que

24 _{Algumas delas são: conhecimento matemático como conceitual e procedimental (HIEBERT, 1986), abstrato}

e algorítmico (HALMOS, 1985), processo e produto (DAVIS, 1975), dialético e algorítmico (HENRICI, 1974), operacional e estrutural (SFARD, 1991), instrumental e relacional (SKEMP, 1976).

55 devem ser respeitados) fazendo com que a maioria dos estudantes tenha uma aversão à matemática. Na verdade, quando professores desta disciplina adotam uma postura instrumental em suas aulas, estão fazendo um grande desserviço para seus alunos, não só porque impedem que os mesmos percebam como a matemática se estrutura a partir de proposições simples e lógicas, portanto compreensíveis, mas também porque dificultam um entendimento mais profundo sobre o significado das operações e conceitos matemáticos, impossibilitando a compreensão da utilização destes na construção de modelos, habilidade essencial para se pensar os fenômenos físicos.

Por outro lado, se o estudante for capaz de explicar as razões que justificam a validade de regras da matemática, terá, segundo Skemp (1976), um entendimento relacional desta disciplina. Cada uma das quatro regras mencionadas anteriormente passaria a fazer sentido para o estudante, se o mesmo compreendesse profundamente que: “para adicionar frações multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo número – o que não altera a fração – a fim de obter frações equivalentes com mesmo denominador”, “ao multiplicarmos por múltiplos de dez o dividendo e o divisor – o que não altera o valor da divisão – eliminamos os números decimais” , “ao substituirmos o expoente zero por (a – a), obtemos uma divisão na qual o numerador é igual ao denominador resultando, portanto, em 1”, “geometricamente, percebemos que a área de um quadrado de lado (a + b) é equivalente à área do quadrado de lado a mais a área do quadrado de lado b somada às áreas de dois retângulos de lados ab”. Dessa forma, enfocando o entendimento relacional os estudantes não necessitariam memorizar um vasto arsenal de relações, mas passariam a ser capazes de deduzi-las a partir de um pequeno conjunto de proposições totalmente plausíveis. Naturalmente, a abordagem instrumental tem vantagens como a praticidade e agilidade de se utilizar regras e algoritmos prontos para resolver problemas mais complexos. Entretanto, acreditamos que as mesmas só poderiam ser usadas como ferramenta se os estudantes desenvolverem previamente um entendimento relacional sobre as mesmas. Assim, uma profunda compreensão das razões que justificam a validade das regras seria uma espécie de autorização para se utiliza-las de maneira rotineira.

Mas seria possível atingir uma compreensão conceitual sem qualquer tipo de domínio procedimental? Essa diferenciação entre conhecimento conceitual e procedimental de matemática (HIEBERT, 1986) é amplamente adotada na comunidade de pesquisa em educação matemática. Porém, as relações entre esses dois tipos de abordagem ainda estão longe de serem consensuais entre os pesquisadores (SCHNEIDER; STERN, 2010). As

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principais questões de pesquisa envolvem a ordem natural de aquisição desses dois tipos de conhecimento, a ordem ideal para sua aquisição e consequentemente seu ensino, bem como a influência do conhecimento conceitual sobre o procedimental e vice-versa (RITTLE- JOHNSON; ALIBALI, 1999).

A influente categorização proposta por Sfard (1991) pretende eliminar uma concepção dicotômica sobre esses aspectos, reforçando seu caráter dual. Segundo a autora, os conceitos matemáticos podem ser considerados de duas maneiras distintas: operacionalmente – como processos – e estruturalmente – como objetos. Contrariamente à classificação de opostos como algorítmico/abstrato, procedimental/conceitual e instrumental/relacional, os termos operacional e estrutural são, para a autora, “duas faces de uma mesma moeda”.

Sua defesa é baseada em uma análise histórica do desenvolvimento dos conceitos matemáticos fundamentais de número e função. Tal análise visa a evidenciar que ambos os conceitos (número e função) estiveram inicialmente associados a processos e só posteriormente atingiram o status de objetos. No caso dos números, a autora mostra que os processos de contagem e medição precederam o tratamento formal do número como uma entidade abstrata. De maneira semelhante, as funções surgiram de relações de dependência entre grandezas (muitas vezes físicas) e foi necessário um longo processo para que as mesmas adquirissem um status de objeto (entidade) matemático. Sem a intenção de adotar uma postura excessivamente generalista ou reducionista, Sfard (1991) defende que existe uma tendência hierárquica entre as maneiras operacional e estrutural de conceber conceitos matemáticos:

Quando ampliamos nossa visão e olhamos para a matemática como um todo (pelo menos para grandes partes dela), percebemos que existe uma espécie de hierarquia, na qual o que é concebido de maneira operacional em um nível passa a ser concebido estruturalmente num nível superior. Tal hierarquia emerge de uma série de reificações, cada uma iniciando onde a outra termina, cada uma adicionando um novo elemento ao sistema complexo de noções abstratas. (SFARD, 1991, p. 16).

Seria então possível pensar em tal hierarquia também para a aprendizagem de conceitos matemáticos? Sfard (1991, p. 16-23) dá uma resposta positiva a essa hipótese defendendo que, no contexto psicológico, a precedência de concepções operacionais sobre estruturais pode ser considerada como uma invariante do processo de aprendizagem. Seguindo sua análise histórica e inspirada em teorias piagetianas, a autora propõe três estágios para a estruturação de um conceito matemático por parte do aprendiz: interiorização, condensação e reificação. A primeira está associada a processos realizados sobre objetos previamente conhecidos, os quais darão origem a um novo conceito: contagens para o

57 conceito de número, subtrações para os números negativos, cálculos com raízes quadradas para os números complexos e substituição de valores em uma fórmula no caso do conceito de função. Na fase da condensação o estudante passa a ser capaz de pensar sobre esses processos como um todo, sem a necessidade recorrer a detalhes. Para os números negativos ele adquire a capacidade de combinar operações de adição e multiplicação de números positivos e negativos, para os complexos essa fase representa a percepção de que pode ser útil extrair a raiz quadrada de um número negativo mesmo que isso não represente um objeto matemático e no caso das funções suas representações são ampliadas por gráficos, tabelas, funções compostas e inversas. Por fim, um salto qualitativo, quase instantâneo, é dado quando o estudante começa a pensar nos processos como entidades em si, consolidando a fase da reificação. Os números negativos, complexos e as funções passam a ser vistos como entidades abstratas e podem ser tratados estruturalmente.

Ao confrontarmos as categorizações de Sfard (1991) e Skemp (1976) podemos ter a impressão de que as mesmas são contraditórias, ainda mais se considerarmos nossa defesa de que o entendimento relacional deva preceder o instrumental e a colocação de Sfard (1991) de que o operacional precede o estrutural. Acreditamos, porém, que seja possível, e até necessário, manter o foco num entendimento relacional durante o processo de estruturação de um conceito matemático nas fases propostas por Sfard (1991). De fato, a abordagem operacional que leva à estruturação de um conceito não é instrumental, mas sim relacional. Se os processos/cálculos/manipulações iniciais forem realizados de uma maneira puramente mecânica e acrítica, sem preocupação com a identificação de padrões e regularidades ou uma reflexão constante sobre os “porquês” das regras, as fases seguintes não serão atingidas. Portanto, por se referirem a aspectos distintos e possuírem categorizações que se complementam, as mesmas não são contraditórias uma vez que é o foco no entendimento relacional que garante o sucesso da estruturação conceitual em matemática.

De maneira análoga às pesquisas em educação matemática, é justamente no entendimento relacional dos porquês do uso da matemática na física que estamos interessados. Assim, pretendemos focar nossa pesquisa no desenvolvimento de habilidades estruturais, as quais estão associadas à capacidade de se fazer um uso organizacional da matemática em domínios externos a ela (especialmente em física) (PIETROCOLA, 2010) e de compreender as razões para a relação de dependência mútua entre física e matemática. Em outras palavras, podemos entendê-las como a habilidade de pensar matematicamente os fenômenos do mundo físico, ou seja, de utilizar estruturas matemáticas (lógicas, dedutivas,

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seguras) para a construção teórica de conceitos e explicações físicas. Tendo como base o que foi exposto previamente, as habilidades estruturais referem-se ao nível “forte” proposto por Paty (1995), à percepção do ganho de conteúdo através da tradução para uma linguagem matemática (ZAHAR, 1980), ou ainda às categorias “Interpretação Física” e “Consistência Matemática” de Bing e Redish (2009).

O problema com o qual nos deparamos é o seguinte: como definir, caracterizar e exemplificar tais habilidades? E ainda, como abordá-las num contexto de ensino? É relativamente fácil criticar uma abordagem excessivamente técnica na qual o formalismo é vazio de significado, isto é, sabemos o que não queremos; mas afinal, o que queremos?

Para tentar responder a essas perguntas, seguimos duas linhas complementares de investigação: uma epistemológica e outra empírica. Num primeiro momento, buscamos posicionamentos de físicos, matemáticos e filósofos, muitos dos quais foram descritos no primeiro capítulo. Em seguida, analisamos um conjunto de aulas de física ministradas por um professor diferenciado e experiente que hipoteticamente aborda esse caráter estruturante da matemática em suas aulas. A análise das aulas foi fundamental para um melhor entendimento