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Para que uma rede possa funcionar adequadamente os grafos que a compõem devem possuir uma coerência interna. Em princípio o que habilita o funcionamento da rede é a consistência topológica dos grafos.

Segundo Laurini e Thompson (1992, p.180), existem diversas proposições de métodos para se medir as propriedades dos grafos no sentido de verificar suas integridade. As medidas se relacionam com elementos específicos, como os vértices ou arcos, ou mesmo todo um circuito de um grafo. Além da contagem do número dos vértices, arcos e sub-grafos, existem medidas de propriedades de conectividade que ajudam em aplicações orientadas ao nível de acesso a diferentes pontos; mudanças de sentido de fluxo e inserção de barreiras; definição de rotas com medidas de impedâncias.

Outra maneira de analisar um grafo é concebê-lo por parâmetros descritivos, onde as medidas se baseiam nas condições de conectividade interna de todo o grafo. Por essa observação é possível identificar trechos com maior acesso aos nós ou com maior quantidade de ciclos, que são definidos pelo maior número de arcos conectados. A condição de conectividade para a rede toda pode ser resumida pela contagem de nós totais ou sua média; ou ainda, pode-se utilizar medidas baseadas no número de vértices; número de arcos em relação ao máximo número possível; ou número de circuitos em relação ao máximo número possível; a razão de arcos e vértices.

Algumas propriedades dos grafos são especiais e seguem um sistema lógico que tem por princípio conceitos matemáticos. Foi Leonhard Euler quem, na primeira metade do século XVIII, postulou os primeiros resultados no campo da Teoria dos Grafos. Na literatura, as definições básicas da teoria dos grafos variam bastante, todavia algumas das propriedades elementares dos grafos podem ser representadas por uma equação simples.

Um grafo simples, desenhado na sua forma plana e conexa divide o plano em certo número de regiões, incluindo regiões totalmente fechadas e a região infinita exterior. Euler estabeleceu uma relação entre o número de arestas, o número de vértices e o número de regiões, esta relação de igualdade é dada pela fórmula:

onde v é o número de vértices, a é o número de arestas e r é o número de regiões22.

Seguindo a citação de Wilson23 (1985, apud LAURINI; THOMPSON, 1992, p.180) e traduzindo a equação para o caso das redes em SIG, pode-se adotar o modelo de grafos bidimensionais, que se aplicam principalmente aos modelos poligonais. Assim, a fórmula anterior pode ser adaptada da seguinte maneira

V + F = E + S

onde, V é o número de vértices, E é o número de arcos, F denota espaços entre um ciclo de arcos e S um número que provê um equilíbrio numérico para a equação. Esse número varia dependendo se a área externa à região de um grafo ou de um conjunto de polígonos é considerada e contada como uma face. Estas igualdades especificam uma relação constante para o conjunto de ligações em uma superfície plana. Como pode ser visto na Figura 9 o numero de vértices e faces dependem do número de arcos.

V + F = E + S

onde, S = 2, se F for definido como polígono interno e externo (F=i, e); S = 1, se F for definido apenas pela região interna (F=i)

V = 4; E = 4; F = 2; S = 2 Para F = i, e V = 4; E = 5; F = 2; S = 1 Para F = i V = 9; E = 11; F = 3; S = 1 Para F = i

Figura 9: Demonstração da igualdade de Euler considerando o caso plana bidimensional. (a) Caso de

quatro vértices conectados; (b) Adição de um arco para os vértices de “a”; (c) um exemplo de grafos mais complexo.

As relações topológicas observadas na Figura 9 exemplificam o raciocínio lógico de que a adição de arcos em linhas sem ligações resulta em igual número de vértices, equilibrando assim a equação (c). Adicionar arcos aos vértices existentes não muda a contagem dos mesmos, mas acrescenta mais ligações.

A combinação de arcos e vértices produz um grafo, ou rede (network). A seleção de determinados arcos produz um caminho, que pode ser selecionado como um roteiro. Os arcos podem ser colocados em seqüências, ou encadeados, como se percorrendo um

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A parte exterior de um grafo fechado é contada como uma região.

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WILSON, P. Euler formulas and geometric modeling. IEEE Transactions on Computer Graphics

and applications 5(8): 24-36, 1985.

trajeto e definindo a menor rota de um lugar ao outro, ou desenhando drenagem de um rio.

Um aspecto importante destas definições é a possibilidade de estabelecer uma orientação, ou seja, direcionar um conjunto ordenado de arcos que parte de uma origem específica e segue até um vértice de destino especificado. Um caminho pode não estar orientado, nesse caso, um conjunto ordenado de intersecções não especifica terminações de origem e destino.

Os caminhos entre os nós de uma rede podem ocorrer segundo diferentes contextos (caminhos mais curto; caminhos que passem por pontos previamente definidos; caminho que evita determinadas passagens, etc.). Nos grafos de uma rede, uma solução prática pode exigir que um arco em particular seja subdividido em segmentos para reconhecer atributos específicos, por exemplo, declividades ao longo da representação de um rio, velocidades diretrizes em uma malha rodovária.

No caso dos grafos em rede o espaço interno a um conjunto de arcos que fazem um circuito não se refere a um objeto com atributos de interesse em particular. Para as aplicações sobre áreas, por exemplo, um mapa de uso da terra e cobertura vegetal, a relação topológica da face interna do circuito é um fator importante. No caso dos transportes os vértices e arcos são entidades que merecem atenção. Na Figura 10a o espaço que recai sobre o interior dos triângulos não possui nenhum significado, ao contrário do que ocorre para o caso dos espaços discretos, como aparece no mapa dos tipos de solo (Figura 10b).

Figura 10: Grafos, áreas e atributos. (a) Conexões de grafos de uma rede rodoviária; (b) Atributos

discretos de espaços poligonais. (modificado de Laurini e Thompson, 1992, p. 182)

Lr Aq Pd Lv Lr – Latossolo Roxo Aq – Areias Quartzosas Pd – Podzólico Lv – Latossolo Vermelho (b) Lr Aq Pd Lv Lr – Latossolo Roxo Aq – Areias Quartzosas Pd – Podzólico Lv – Latossolo Vermelho Lr Aq Pd Lv Lr – Latossolo Roxo Aq – Areias Quartzosas Pd – Podzólico Lv – Latossolo Vermelho (b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 10 11 12 Via local Via Coletora Via Arterial (a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 10 11 12 Via local Via Coletora Via Arterial (a)

Para os grafos de rede, os atributos podem ser associados com arcos, para produzir grafos contendo impedâncias, por exemplo, a velocidade diretriz24 de uma rodovia como fator para determinar o tempo de viagem.

Conforme Laurini e Thompson (1992, p.183) ao longo da história dos SIG as unidades bidimensionais (poligonais) sempre foram as que mais estiveram em evidência, sendo aplicadas a diversos estudos (ambiental, geológico, urbano), refletindo as aplicações orientadas aos recursos naturais e mapeamento temático de dados populacionais. Só mais adiante na história dos SIG é que a análise espacial envolvendo redes (unidade unidimensionais) passou a possuir maior interesse, sendo utilizada para diversos fins: esgotamento sanitário, gás, eletricidade, transportes, aviação. Esses são fenômenos que prestam maior atenção ao fenômeno linear.