No artigo SRLF , a necessidade da introdu¸c˜ao de n´umeros para a apresenta¸c˜ao do espa¸co ´e tematizada de modo bastante sucinto: n´umeros (racionais e reais) s˜ao introduzidos para especificar lugares no espa¸co, porque um simbolismo com uma multiplicidade menor n˜ao d´a conta da tarefa. Que tarefa ´e esta? E por que um simbolismo com uma multiplicidade menor n˜ao d´a conta desta tarefa?
A tarefa ´e clara: trata-se da “descri¸c˜ao” de manchas monocrom´aticas no espa¸co visual. O problema da descri¸c˜ao de manchas visuais e sua rela¸c˜ao com a introdu¸c˜ao de n´umeros para apresentar o espa¸co podem ser melhor apresentados com o aux´ılio dos manuscritos de 1929/30. Logo nas primeiras p´aginas do WAi, Wittgenstein come¸ca a investigar a possibilidade de uma descri¸c˜ao fenomenol´ogica do espa¸co visual. A dire¸c˜ao da investiga¸c˜ao n˜ao segue, via de regra, uma rota precisa, e os temas se diversificam ao longo das p´aginas dos manuscritos. N˜ao obstante, ´e poss´ıvel destacar claramente as entradas que dizem respeito `a problem´atica de “descri¸c˜ao” de manchas no espa¸co visual. O termo “descri¸c˜ao”, aqui, ´e um tanto quanto problem´atico, j´a que a “descri¸c˜ao” de uma mancha ainda n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao, mas apenas a prepara¸c˜ao para uma proposi¸c˜ao. Nesse sentido, o ato de “descrever” uma mancha ´e similar ao que ocorre no Tractatus quando se nomeia um objeto. Para evitar confus˜oes conceituais, ´e prefer´ıvel utilizar a express˜ao “especifica¸c˜ao de uma mancha” ao inv´es da “descri¸c˜ao de uma mancha”. A quest˜ao, ent˜ao, ´e: como especificar uma mancha monocrom´atica no espa¸co visual?
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E claro que a especifica¸c˜ao de uma mancha no espa¸co visual envolve a apre- senta¸c˜ao do pr´oprio espa¸co visual, j´a que o lugar ocupado por uma mancha ´e sempre uma sub-regi˜ao do espa¸co visual. Al´em disso, a especifica¸c˜ao de uma mancha n˜ao necessita da existˆencia efetiva da mancha (i.e., do fato de que esta regi˜ao delimitada seja monocrom´atica), mas apenas de sua possibilidade, e cabe precisamente `a apresenta¸c˜ao do espa¸co demarcar este “dom´ınio das possibilidades” em que a mancha deve estar inclu´ıda. Logo na p´agina 15 do WAi, Wittgenstein menciona a necessidade de se usar um sinal extens´ıvel (dehnbar) para apresentar o espa¸co: “´E preciso – ao que me parece – de um sinal extens´ıvel para apresentar o espa¸co. / Talvez um sinal que permita uma in- terpola¸c˜ao an´aloga ao sistema decimal / O sinal deve ter a multiplicidade e propriedades do espa¸co”∗. A alus˜ao aqui ´e `a propriedade do sistema de “casas decimais” de sempre
permitir construir, a partir de dois sinais num´ericos, um sinal num´erico inteiramente novo que constitua uma “interpola¸c˜ao” daqueles sinais. Deste modo, a partir dos sinais “0” e “1”, ´e poss´ıvel construir o sinal “0.5”. Assim, se, em uma coordenada espacial,
uma mancha ´e especificada pelo intervalo “[0, 1]”, o pr´oprio sinal – juntamente com as regras de manipula¸c˜ao do sistema num´erico – mostra a possibilidade de que haja duas manchas menores e de mesmo tamanho ocupando, naquela coordenada, o mesmo espa¸co da primeira mancha: “[0, 0.5]” e “[0.5, 1]”.
Estas entradas, que comp˜oem o cap´ıtulo XVI das PhBm, s˜ao seguidas pela indaga¸c˜ao: “Este sinal n˜ao ´e precisamente o sistema decimal com sua possibilidade infinita de interpola¸c˜ao?”∗. Na continua¸c˜ao, h´a um coment´ario que procura esmiu¸car
o que significa esta “possibilidade infinita”. As observa¸c˜oes sobre esta tem´atica foram incorporadas ao cap´ıtulo XII das PhBm, cap´ıtulo que agrupa diversas observa¸c˜oes sobre a tem´atica do infinito. Nessa ocasi˜ao, em particular, Wittgenstein observa que
as regras sobre o sistema de n´umeros – digamos, o sistema decimal – compreendem tudo o que ´e infinito sobre os sinais. Estas regras – p. ex., a de que o sinal num´erico n˜ao se limita `a direita e `a esquerda – deixam a infinitude expressa. / Poder-se-ia talvez dizer: sim, por´em os sinais num´ericos s˜ao ainda limitados pelo uso do papel e tinta e outras circunstˆancias. Muito bem, mas isto n˜ao est´a expresso nas regras sobre seus usos e apenas nelas repousam as suas verdadeiras essˆencias.†
A introdu¸c˜ao do sinal extens´ıvel e a discuss˜ao acerca do infinito “intensional” mantˆem certa proximidade ao longo dos manuscritos. Al´em da especifica¸c˜ao de manchas no espa¸co visual, Wittgenstein menciona o uso do sinal extens´ıvel para apresentar a rela¸c˜ao de distˆancia entre dois objetos no espa¸co visual. Na p´agina 26 do WAi, ele aponta para a possibilidade de descrever a rela¸c˜ao espacial entre duas manchas usando n´umeros: “ao inv´es de descrever a rela¸c˜ao espacial de duas manchas a e b como ‘aRb’, eu poderia descrevˆe-la como aN b, onde N ´e um n´umero, portanto, uma rela¸c˜ao e x t e n s´ıv e l”. A conex˜ao entre o sinal “extens´ıvel” e o tema da “possibilidade infinita” fica ainda mais clara quando a “rela¸c˜ao extens´ıvel” ´e apresentada, na p´agina 50 do WAi, pela seguinte figura:
A rela¸c˜ao extens´ıvel
Fica clara, tamb´em, a referˆencia `a “ausˆencia de limites `a direita e `a esquerda” do sinal extens´ıvel, do sinal num´erico.
Uma vez estabelecido o elo entre a apresenta¸c˜ao do espa¸co e a introdu¸c˜ao do sinal extens´ıvel, ´e preciso voltar as aten¸c˜oes para a segunda quest˜ao: por que ´e preciso de n´umeros, de sinais com uma possibilidade infinita? Por que um simbolismo com uma
∗WAi, p. 16 .
multiplicidade menor n˜ao d´a conta desta tarefa? Na p´agina 148 do WAi, ao retornar ao problema do infinito, Wittgenstein se pergunta: “Aquele sinal com a possibilidade infinita ´e realmente necess´ario? N˜ao estaria tudo bem com a disjun¸c˜ao das menores partes vis´ıveis? N˜ao. Pois, com o sinal para as partes discretas, a continuidade n˜ao poderia ser apresentada”∗. H´a, com efeito, um elo entre o problema da apresenta¸c˜ao
da continuidade de um espa¸co e a introdu¸c˜ao do sinal extens´ıvel, do sinal com uma possibilidade infinita. Seguindo estes ind´ıcios textuais, a resposta para a nossa segunda quest˜ao parece ser: um simbolismo com uma multiplicidade menor n˜ao funciona, pois, com tal simbolismo, torna-se imposs´ıvel apresentar a continuidade do espa¸co.
Como se sabe, o tema da continuidade do espa¸co e as discuss˜oes acerca do infinito atual estavam presentes na atmosfera intelectual da ´epoca, principalmente na defesa dos intuicionistas de uma teoria do continuum que n˜ao pressupunha o infinito atual. Em rela¸c˜ao ao desenvolvimento intelectual de Wittgenstein, discuss˜oes sobre a divisibilidade infinita e a possibilidade de um “complexo infinito” j´a estavam presentes desde os cadernos de 1914-16, anteriores ao Tractatus. O Tractatus, por sua vez, n˜ao se posiciona em rela¸c˜ao ao n´umero (finito ou infinito) de objetos que formam a substˆancia do mundo nem em rela¸c˜ao ao n´umero (finito ou infinito) de proposi¸c˜oes elementares, por se tratar, em ambos os casos, de um assunto que caberia n˜ao `a l´ogica, mas sim a sua aplica¸c˜ao resolver; `a primeira vista, o ´unico compromisso finitista do Tractatus ´e com o car´ater finito da an´alise l´ogica de uma proposi¸c˜ao, mesmo que ela porventura resulte em uma infinidade de estados de coisas consistindo, cada um destes, em uma concatena¸c˜ao de infinitos objetos†. Em todo caso, a an´alise (a “aplica¸c˜ao da l´ogica”)
deve chegar, em um n´umero finito de passos, no n´ıvel do absolutamente‡ simples.
No caso da an´alise do espa¸co visual, abrem-se aparentemente duas possibilidades§: ou pontos seriam objetos e, uma vez que o espa¸co ´e infinitamente divis´ıvel, a descri¸c˜ao do espa¸co visual conteria uma infinidade atual de objetos; ou o cont´ınuo ´e uma constru¸c˜ao l´ogica, feita a partir das “menores partes vis´ıveis” (ideia tamb´em compartilhada por Russell no manuscrito de 1913 intitulado Theory of Knowledge¶). Segundo esta ´ultima ∗WAi, p. 148 . Cf. tb. ibid., p. 104: “Das Kontinuum ist ganz unvorstellbar, mit diskreten
Begriffen”.
†Tractatus, aforismo 4.2211.
‡O “absolutamente” serve para afastar uma ideia, presente nos cadernos de 1914-16, de que seria
poss´ıvel tratar objetos complexos como simples em proposi¸c˜oes para cujo sentido a complexidade de tais objetos n˜ao fosse relevante. Embora tais objetos fossem complexos, eles “funcionariam” como simples. Essa relativiza¸c˜ao do par simples/composto n˜ao encontra, de modo algum, lugar no Tractatus.
§Aqui ´e pressuposto, ´e claro, uma interpreta¸c˜ao “fenomenol´ogica” da ontologia tractariana. Para
uma defesa deste pressuposto, Cf. Ferraz Neto: Fenomenologia em Wittgenstein; Cf. tb. Merrill B. Hintikka/Jaakko Hintikka: Investigating Wittgenstein, Blackwell, 1986.
¶Cf. Bertrand Russell: Theory of Knowledge: The 1913 Manuscript, ed. por Elizabeth Ramsden
Eames/Kenneth Blackwell, London e New York: Routledge, 1984, pp. 121-2: “It may be argued
that, owing to the infinite divisibility of space and time, any sense-datum which has spatial or temporal extension must consist of an infinite number of parts. If so, these parts are necessarily imperceptible,
alternativa, bastaria analisar as proposi¸c˜oes que tratam supostamente de uma aparente “continuidade” para constatar que elas, ao fim e ao cabo, repousam sobre elementos discretos. Dito em outros termos, o cont´ınuo seria apenas uma fa¸con de parler de uma s´erie de elementos discretos.
Se a primeira alternativa aparece como uma possibilidade para o Tractatus, ela ´e completamente afastada por Wittgenstein em seu per´ıodo intermedi´ario: as discuss˜oes acerca do infinito nas PhBm s˜ao sempre a favor do car´ater potencial ou intensional do infinito, em oposi¸c˜ao a um infinito atual ou extensional. A segunda alternativa, por outro lado, tamb´em se mostra inv´alida: a conclus˜ao com a qual Wittgenstein se depara em 1929 ´e que a procura pelos elementos pequenos e vis´ıveis do espa¸co (dos quais os fatos espaciais seriam compostos) ´e uma tarefa logicamente imposs´ıvel∗.