A ideia de que n´umeros devem entrar na composi¸c˜ao das proposi¸c˜oes elementares ´e geralmente lida pelos comentadores sob a ´otica de um pequeno texto escrito por Wittgenstein em 1929 para apresenta¸c˜ao em um encontro anual da Aristotelian Society, realizado no dia 13 de julho. Nesta data, por´em, Wittgenstein optou por discutir temas relacionados ao infinito na matem´atica, ao inv´es de apresentar o texto redigido†. O
texto foi publicado posteriormente nos anais do encontro sob o t´ıtulo de “Algumas considera¸c˜oes sobre a forma l´ogica” (SRLF ). Neste texto, Wittgenstein justifica a introdu¸c˜ao de n´umeros em toda proposi¸c˜ao elementar que consiste na atribui¸c˜ao de uma propriedade suscet´ıvel de grada¸c˜ao, mostrando a impossibilidade de uma an´alise em termos de quantificadores. Como ´e uma caracter´ıstica destas propriedades o fato de que cada grau exclui o outro, o autor ´e levado a abandonar a tese da independˆencia l´ogica das
∗Entendendo-se o mapa enquanto proposi¸c˜ao, isto ´e, enquanto a asser¸c˜ao de que as rela¸c˜oes espaciais
entre os elementos do mapa tamb´em ocorrem entre os elementos da situa¸c˜ao “mapeada”.
proposi¸c˜oes elementares, um dos pilares do edif´ıcio do Tractatus. Nesse sentido, ´e natural que se estabele¸ca o v´ınculo entre, de um lado, a introdu¸c˜ao do n´umero na proposi¸c˜ao elementar e, de outro, o abandono da tese tractariana da independˆencia l´ogica entre proposi¸c˜oes elementares. Entretanto, a introdu¸c˜ao de n´umeros na proposi¸c˜ao elementar n˜ao ocorre apenas no contexto da atribui¸c˜ao de qualidades suscet´ıveis de grada¸c˜ao. Assim, a aceita¸c˜ao de que h´a consequˆencias l´ogicas entre proposi¸c˜oes elementares ´e um sintoma imediato da introdu¸c˜ao do n´umero em um contexto espec´ıfico no qual o n´umero cumpre a tarefa de fornecer, no contexto de uma proposi¸c˜ao, a rela¸c˜ao entre o grau unit´ario da qualidade e o grau asserido pela proposi¸c˜ao.
Tanto no in´ıcio dos manuscritos de 1929/30 como em SRLF , o n´umero j´a havia sido utilizado para desempenhar outro papel, a saber, o de demarcar um lugar em um espa¸co. Juntamente com um sistema de coordenadas, o n´umero era usado para “descrever” (o motivo das aspas ficar´a claro adiante) o formato e a posi¸c˜ao de manchas no espa¸co. Em SRLF , Wittgenstein pede para o leitor imaginar, diante de nosso campo visual, um sistema de eixos retangulares em uma escala fixada arbitrariamente. Em seguida, afirma: “´E claro que podemos descrever o formato e a posi¸c˜ao de cada mancha colorida em nosso campo visual por meio de asser¸c˜oes de n´umeros cuja significa¸c˜ao (significance) ´e relativa ao sistema de coordenadas e `a unidade escolhida. Novamente, ´e claro que esta descri¸c˜ao ter´a a multiplicidade l´ogica correta e que uma descri¸c˜ao com uma multiplicidade menor n˜ao servir´a”∗. Wittgenstein, ent˜ao, d´a o exemplo de
uma proposi¸c˜ao que utiliza tal sistema de coordenadas para “descrever” uma mancha e atribuir a esta mancha a cor vermelha. Tal proposi¸c˜ao seria expressa pelo s´ımbolo “[6 − 9, 3 − 8] Vermelho”, em que os n´umeros s˜ao usados, juntamente com um sistema de coordenadas, para demarcar a ´area da mancha a qual a propriedade “Vermelho” est´a sendo atribu´ıda. Na continua¸c˜ao do texto, Wittgenstein procura argumentar que “Vermelho”, um termo ainda n˜ao analisado, deve conter n´umeros quando corretamente analisado, j´a que se trata da atribui¸c˜ao de certo grau de vermelho `a mancha em quest˜ao. N´umeros, no entanto, j´a eram utilizados exatamente para demarcar o lugar ao qual se predica tal propriedade. ´E importante ressaltar que, embora o Vermelho seja uma qualidade suscet´ıvel de grada¸c˜ao que ´e atribu´ıda ao lugar denotado pelo s´ımbolo “[6 − 9, 3 − 8]”, o inverso n˜ao ´e verdadeiro: o lugar demarcado n˜ao ´e a especifica¸c˜ao do grau de uma qualidade que se atribui ao Vermelho. Afinal, que o lugar [6 − 9, 3 − 8] seja vermelho n˜ao exclui que outro lugar tamb´em o seja. Portanto, da utiliza¸c˜ao de n´umeros no contexto da apresenta¸c˜ao de um lugar no espa¸co, n˜ao decorre imediatamente a existˆencia de consequˆencias l´ogicas entre proposi¸c˜oes elementares†.
∗SRLF, p. 165.
†Cf. Ferraz Neto: Fenomenologia em Wittgenstein, p. 108: “(...) a introdu¸c˜ao de n´umeros nas
proposi¸c˜oes elementares e o reconhecimento de que h´a ‘proposi¸c˜oes elementares’ que mantˆem rela¸c˜oes
Tal conclus˜ao, no entanto, pode parecer precipitada. Afinal, parece perfeitamente poss´ıvel tratar a descri¸c˜ao de um lugar como um caso particular da atribui¸c˜ao de graus de certas qualidades. Tomemos como exemplo a descri¸c˜ao de um c´ırculo monocrom´atico em um espa¸co bidimensional. Do mesmo modo que este c´ırculo s´o pode ter uma cor, ele s´o pode ter um valor para o seu raio. De maneira semelhante, supondo-se um sistema de coordenadas retil´ıneas, seu centro s´o pode ter uma distˆancia relativa a cada um dos eixos do sistema. Tal descri¸c˜ao poderia, ent˜ao, ser apresentada por meio da atribui¸c˜ao de quatro n´umeros relativos a cada uma das coordernadas independentes da descri¸c˜ao. ´E claro, por outro lado, que toda propriedade suscet´ıvel de grada¸c˜ao ´e atribu´ıda contingentemente a “algo”, a certo “objeto” que possuiria (ou n˜ao) esta propriedade. Ora, a descri¸c˜ao do c´ırculo n˜ao pode ser, como visto anteriormente, uma propriedade do “Vermelho”; ela teria que ser uma propriedade de certo objeto x (uma mancha, um substrato). Este tipo de an´alise, no entanto, trataria os valores do centro e do raio como propriedades externas de x. Isto ´e, assim como o vermelho, o centro seria tamb´em uma propriedade externa de x, e a atribui¸c˜ao desta propriedade ao objeto poderia ser expressa por uma proposi¸c˜ao (digamos, x est´a a 5 cent´ımetros do eixo das abcissas). Wittgenstein, no entanto, parece recusar∗ esta an´alise, preferindo tratar
a especifica¸c˜ao das coordenadas espaciais como crit´erio de identifica¸c˜ao do objeto, portanto, como sendo parte da prepara¸c˜ao para uma proposi¸c˜ao, e n˜ao como a express˜ao de uma proposi¸c˜ao†.
Deste modo, h´a duas maneiras prima facie independentes para explicar a in- trodu¸c˜ao do n´umero na proposi¸c˜ao elementar, na “base” da linguagem. A primeira ´e via o problema da atribui¸c˜ao de qualidades suscet´ıveis de grada¸c˜ao, conhecido e fartamente discutido na literatura secund´aria sob o r´otulo de “problema das cores”. A segunda remete ao problema da apresenta¸c˜ao do espa¸co, que ´e menos explorado pelos comentadores e, no entanto, ´e – ao menos considerando-se o desenvolvimento do tema nos manuscritos – anterior ao problema das cores. Na composi¸c˜ao das PhBm, o problema das cores ´e tratado no cap´ıtulo VIII da obra. J´a o problema da apresenta¸c˜ao do espa¸co ocorre, primeiramente, no cap´ıtulo IX e, posteriormente, de modo esparso nos “cap´ıtulos matem´aticos”, principalmente nos cap´ıtulos XII e XVI. ´E essa segunda maneira de explicar a necessidade da ocorrˆencia de n´umeros na “base” da linguagem que ser´a o alvo das pr´oximas considera¸c˜oes, n˜ao somente em raz˜ao dos cap´ıtulos em que ela comparece (exceto o cap´ıtulo IX ) estarem contidos no escopo deste estudo, mas principalmente pelo fato de que o paralelo visado entre a aritm´etica de n´umeros reais e
introduzir n´umeros na representa¸c˜ao ‘de base’ do espa¸co visual, n˜ao sente esse ‘efeito de consequˆencia
l´ogica’ de uma proposi¸c˜ao sobre outra”.
∗Este tema, que ´e alvo de considera¸c˜oes dos cap´ıtulos IX e XX das PhBm, n˜ao ser´a ser´a pormeno-
rizado e detalhado neste trabalho.
naturais ´e melhor retratado a partir desta via.