A pretens˜ao do Tractatus ´e, de acordo com seu Pref´acio, tra¸car um limite, na linguagem, para aquilo que pode ser expresso com sentido. Este limite ´e tra¸cado na obra por meio da especifica¸c˜ao da forma geral da proposi¸c˜ao. Tudo aquilo que n˜ao se enquadra nesta forma∗ geral ´e desprovido de sentido. A forma geral da proposi¸c˜ao ´e especificada em
duas etapas: o aforismo 5 sustentar´a que a proposi¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao de verdade de proposi¸c˜oes elementares. Para os prop´ositos desta Se¸c˜ao, ´e suficiente caracterizar a proposi¸c˜ao elementar como sendo aquela na qual n˜ao ocorre – ao menos n˜ao de modo essencial – nenhuma constante l´ogica. Uma vez concretizado o v´ınculo entre proposi¸c˜ao e fun¸c˜ao de verdade de proposi¸c˜oes elementares, restar´a ao aforismo 6 revelar a forma geral da fun¸c˜ao de verdade, completando, assim, a apresenta¸c˜ao da forma geral da proposi¸c˜ao. ´E na ramifica¸c˜ao do aforismo 5 que a no¸c˜ao de opera¸c˜ao ser´a introduzida e pormenorizada. N˜ao se trata de algo surpreendente, j´a que o elo entre proposi¸c˜ao e fun¸c˜ao de verdade deve ser feito a partir de um esclarecimento do que ´e uma fun¸c˜ao de verdade. Um pouco depois de caracterizar a opera¸c˜ao como “o que deve acontecer com uma proposi¸c˜ao para que dela se fa¸ca outra”†, Wittgenstein afirma que “as fun¸c˜oes de
verdade de proposi¸c˜oes elementares s˜ao resultados de opera¸c˜oes que tˆem as proposi¸c˜oes elementares como bases”‡. Estas opera¸c˜oes s˜ao chamadas de opera¸c˜oes de verdade.
O aforismo 5.2341 caracteriza explicitamente os conectivos l´ogicos como opera¸c˜oes. A nega¸c˜ao, em particular, ´e a opera¸c˜ao que inverte o sentido da proposi¸c˜ao. A tese da bipolaridade implicava a existˆencia, na proposi¸c˜ao, de dois polos, um dos quais era privilegiado pela proposi¸c˜ao em detrimento do outro. A nega¸c˜ao ´e exatamente a
∗Ver-se-´a, adiante, que o termo “forma” ´e usado, neste contexto, de modo bastante distinto de
quando usado, por exemplo, para se referir `a forma l´ogica de uma figura¸c˜ao.
†Tractatus, aforismo 5.23.
opera¸c˜ao que altera este privil´egio de um dos polos, passando-o para o outro. Que a nega¸c˜ao n˜ao seja uma fun¸c˜ao, isto j´a se podia deduzir do aforismo 4.0621, em que Wittgenstein chama a aten¸c˜ao para o fato de que a ocorrˆencia da nega¸c˜ao em uma proposi¸c˜ao n˜ao chega a ser uma caracter´ıstica de seu sentido (j´a que ¬¬p = p). No grupo de aforismos que tratam da no¸c˜ao de opera¸c˜ao, essa particularidade de n˜ao caracterizar o sentido de uma proposi¸c˜ao ´e generalizada para toda e qualquer opera¸c˜ao∗. Dizer
que uma opera¸c˜ao n˜ao caracteriza o sentido de uma proposi¸c˜ao significa afirmar, como dito anteriormente, que a opera¸c˜ao n˜ao ´e essencial para apresentar a situa¸c˜ao que a proposi¸c˜ao diz ser o caso, que outras opera¸c˜oes poderiam fazer a mesma tarefa. Embora uma fun¸c˜ao de verdade seja essencialmente o resultado de opera¸c˜oes de verdade sobre proposi¸c˜oes elementares, ela n˜ao ´e essencialmente o resultado de um grupo determinado de opera¸c˜oes de verdade que caracterizaria toda e qualquer apresenta¸c˜ao da fun¸c˜ao de verdade em quest˜ao.
A nega¸c˜ao e, em geral, as opera¸c˜oes de verdade podem ser apresentadas por meio de tabelas de verdade. Essas tabelas apresentam a rela¸c˜ao formal existente entre os polos de verdade das bases da opera¸c˜ao e os polos de verdade do resultado da aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao. O modo pelo qual elas transformam uma base em seu resultado ´e o mesmo, e isto configura sua unidade. N˜ao ´e preciso, como Russell, ramificar as constantes l´ogicas: o Tractatus d´a conta da unidade da linguagem, i.e., daquilo que todas as proposi¸c˜oes tˆem em comum, sem a necessidade de mencionar uma propriedade comum a elas – o que tornaria tal totalidade contingente, acidental –, mas por meio da especifica¸c˜ao de um tra¸co comum a elas, o qual, sendo uma propriedade essencial da proposi¸c˜ao, n˜ao ´e capaz de ser afigurado proposicionalmente. Em posse desta unidade, a aplica¸c˜ao das constantes l´ogicas ´e feita de modo uniforme, sem a necessidade de se preocupar com uma hierarquia de ordens de proposi¸c˜oes†.
Uma vez realizado o v´ınculo da proposi¸c˜ao e da fun¸c˜ao de verdade de proposi¸c˜oes elementares, resta ao aforismo 6 do Tractatus especificar a forma geral da fun¸c˜ao de verdade: “A forma geral da fun¸c˜ao de verdade ´e [p, ξ, N (ξ)]. Isso ´e a forma geral da proposi¸c˜ao”. Isso diz apenas, continua Wittgenstein, que “toda proposi¸c˜ao ´e um resultado da aplica¸c˜ao sucessiva da opera¸c˜ao N (ξ) `as proposi¸c˜oes elementares”. Para compreender a nota¸c˜ao apresentada no aforismo 6, ´e preciso entender primeiramente a
∗Ibid., aforismo 5.25.
†Enquanto fun¸c˜oes de verdade de proposi¸c˜oes elementares, as proposi¸c˜oes formam uma ´unica
“ordem”, independentemente de como esta fun¸c˜ao de verdade ´e obtida por meio da aplica¸c˜ao de
opera¸c˜oes a certas totalidades e de quais vari´aveis aparentes ocorrem no escopo de quantificadores.
Ramsey utilizar´a este argumento para sustentar que a diferen¸ca que Russell tra¸ca entre proposi¸c˜oes
elementares (no caso de Russell, trata-se de proposi¸c˜oes sem vari´aveis aparentes) e n˜ao elementares
(i.e., quantificadas) ´e apenas uma diferen¸ca no modo de express˜ao da proposi¸c˜ao, e n˜ao algo que a caracteriza essencialmente. Cf. Frank Plumpton Ramsey: The Foundations of Mathematics and other
Logical Essays, London: Routledge, 1931, p. 35. Cf. tb. Peter M. Sullivan: The Totality of Facts, em: Proceedings of the Aristotelian Society, vol. 100, 2000, p. 188.
nota¸c˜ao com colchetes – [ , , ] –, para, em seguida, entender os s´ımbolos que aparecem nas trˆes posi¸c˜oes separadas por v´ırgulas no interior dos colchetes. O Tractatus faz dois usos essencialmente distintos da nota¸c˜ao com colchetes. No primeiro uso, o termo que ocupa a segunda posi¸c˜ao entre os colchetes ´e denotado por um sinal sem uma barra sobre ele, e este sinal indica um termo qualquer de uma s´erie formal. J´a o termo que ocupa a terceira posi¸c˜ao indica a opera¸c˜ao por meio da qual se obt´em o pr´oximo termo na s´erie a partir do termo arbitr´ario alocado na segunda posi¸c˜ao. Neste uso, a nota¸c˜ao com colchetes d´a origem a uma s´erie formal, e a cada posi¸c˜ao desta s´erie corresponde um termo determinado apenas pela base (indicada na primeira posi¸c˜ao entre os colchetes) e a opera¸c˜ao. No segundo uso, o termo que ocupa a segunda posi¸c˜ao entre os colchetes ´e denotado por um sinal com uma barra sobre ele, indicando que se trata de uma vari´avel cujos valores s˜ao tomados ou da pr´opria base, ou de resultados anteriormente obtidos pela aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao. Consequentemente, os valores gerados pela opera¸c˜ao n˜ao dependem apenas da base, mas tamb´em da descri¸c˜ao da vari´avel, i.e., da determina¸c˜ao de seus valores∗. Trata-se, assim como no primeiro caso, da apresenta¸c˜ao de uma
totalidade determinada. No entanto, este ´ultimo caso n˜ao engendra uma s´erie†.
No caso da forma geral da proposi¸c˜ao, trata-se do segundo uso discriminado acima da nota¸c˜ao dos colchetes. Na primeira posi¸c˜ao, encontra-se uma vari´avel que abrange a totalidade das proposi¸c˜oes elementares. Na terceira posi¸c˜ao, encontra-se a opera¸c˜ao N (ξ). O resultado desta opera¸c˜ao ´e a nega¸c˜ao simultˆanea de todas as proposi¸c˜oes descritas pela vari´avel que ocorre na segunda posi¸c˜ao entre colchetes. Por exemplo, se a vari´avel ´e descrita de modo que os valores proposicionais “Isto ´e verde” e “Isto ´e vermelho” sejam selecionados, o resultado da opera¸c˜ao ser´a a proposi¸c˜ao “Isto n˜ao ´e nem verde nem vermelho”. O aforismo 6 do Tractatus enuncia simplesmente que toda fun¸c˜ao de verdade de proposi¸c˜oes elementares pode ser obtida por meio da aplica¸c˜ao repetida da opera¸c˜ao N (ξ) a uma totalidade de valores selecionados a partir das proposi¸c˜oes elementares e de resultados anteriores de sua aplica¸c˜ao. Nenhuma outra opera¸c˜ao ´e necess´aria para se construir‡ a totalidade de fun¸c˜oes de verdade. A
tenta¸c˜ao aqui ´e de dizer que as outras opera¸c˜oes podem ser reduzidas `a opera¸c˜ao de nega¸c˜ao simultˆanea e isto ´e em parte correto, em parte incorreto. Tome, por exemplo, as seguintes equivalˆencias:
p ⊃ q = N(N(N(p, p), q), N(N(p, p), q))
∗O Tractatus menciona trˆes maneiras de se determinar os valores de uma vari´avel proposicional: i)
enumera¸c˜ao direta; ii) especifica¸c˜ao de uma fun¸c˜ao material f x; iii) especifica¸c˜ao de uma s´erie formal. (aforismo 5.501).
†Para uma apresenta¸c˜ao bastante did´atica da diferen¸ca entre esses dois usos da nota¸c˜ao com
colchetes, Cf. Gallerani Cuter: Operations and Truth-Operations in the Tractatus.
‡Embora outras opera¸c˜oes possam ser necess´arias para descrever a vari´avel `a qual ser´a aplicada a
p · q = N(N(p, p), N(q, q)) p ∨ q = N(N(p, q), N(p, q))
p ≡ q = N(N(p, N(p, q)), N(q, N(p, q)))
Em cada caso acima, ´e correto dizer que a sequˆencia de opera¸c˜oes `a direita do sinal de igualdade produz o mesmo resultado que a opera¸c˜ao `a esquerda. O que ´e incorreto dizer ´e que a opera¸c˜ao `a esquerda ´e necessariamente uma abrevia¸c˜ao da sequˆencia de opera¸c˜oes `a direita. Evidententemente, nada impede de tom´a-las como abrevia¸c˜oes. No entanto, elas n˜ao precisam ser concebidas deste modo; elas sempre podem ser entendidas como sendo, de fato, uma opera¸c˜ao, cuja aplica¸c˜ao permite transformar, de um s´o golpe, certas proposi¸c˜oes em outras. Isso equivale a dizer que ´e poss´ıvel “compor” opera¸c˜oes a partir de outras. No Tractatus, esta possibilidade de composi¸c˜ao de opera¸c˜oes ´e expressa no aforismo 5.3, que assevera que “o resultado de toda opera¸c˜ao de verdade com os resultados de opera¸c˜oes de verdade com proposi¸c˜oes elementares ´e, por sua vez, o resultado de uma opera¸c˜ao de verdade com proposi¸c˜oes elementares”. Nesse sentido, as equivalˆencias acima podem ser concebidas como a defini¸c˜ao de opera¸c˜oes compostas a partir de outras mais simples, mantendo-se a ideia de que cada uma delas ´e uma opera¸c˜ao unit´aria, e n˜ao uma abrevia¸c˜ao para uma sequˆencia de opera¸c˜oes. Essa concep¸c˜ao provoca certa ambiguidade nas express˜oes em que ocorrem m´ultiplas opera¸c˜oes. Considere, por exemplo, a express˜ao “¬¬p”. Esta express˜ao pode simbolizar: i) a dupla aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao de nega¸c˜ao ou ii) a composi¸c˜ao da opera¸c˜ao de nega¸c˜ao
com ela pr´opria (que seria, na verdade, a opera¸c˜ao que n˜ao faz nada com a proposi¸c˜ao e, nesse sentido, seria o mesmo que a ausˆencia de opera¸c˜ao). No primeiro caso, a segunda aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao de nega¸c˜ao cancelaria o efeito da primeira. No segundo caso, a opera¸c˜ao simplesmente desapareceria. Essa ambiguidade, entretanto, pode ser facilmente removida segundo uma conven¸c˜ao arbitr´aria. O que ´e importante reter ´e a possibilidade das opera¸c˜oes anularem o efeito de outras∗ e de desaparecerem†, algo que
nunca ocorre no caso de uma fun¸c˜ao material.
A possibilidade de se apresentar a mesma fun¸c˜ao de verdade de diversos modos ´e tomada por Wittgenstein como uma evidˆencia para sua ideia fundamental‡ de que
n˜ao h´a “objetos l´ogicos” ou “constantes l´ogicas”, i.e., que as constantes l´ogicas n˜ao se referem a nada. Pois, segundo as palavras do autor, “s˜ao idˆenticos os resultados de opera¸c˜oes de verdade com fun¸c˜oes de verdade que sejam todos uma ´unica e mesma fun¸c˜ao de verdade de proposi¸c˜oes elementares”§. Com efeito, se as constantes l´ogicas
tivessem um papel essencial na estrutura da proposi¸c˜ao (como teriam se denotassem
∗Tractatus, aforismo 5.253.
†Ibid., aforismo 5.254.
‡Ibid., Cf. aforismo 4.0312.
objetos l´ogicos), necessariamente as proposi¸c˜oes “p” e “(q ∨ ¬q) · p” deveriam figurar situa¸c˜oes distintas. E dever-se-ia seguir necessariamente de um fato p uma infinidade de outros: ¬¬p, ¬¬¬¬p, e assim por diante∗. Aos olhos de Wittgenstein, esse resultado
configurava uma reductio ad absurdum da ideia de que as constantes l´ogicas se referem a “objetos l´ogicos”.