O aforismo 6.02 do Tractatus cont´em uma s´erie de regras notacionais que introduzem o n´umero como o expoente de uma opera¸c˜ao:
E assim chegamos aos n´umeros: defino
x = Ω0’ x Def. e Ω’ Ων’ x = Ων+1’ x Def. Segundo essas regras notacionais, escrevemos, pois, a s´erie
x, Ω’ x, Ω’ Ω’ x, Ω’ Ω’ Ω’ x, . . . ,
assim: Ω0’ x, Ω0+1’ x, Ω0+1+1’ x, Ω0+1+1+1’ x, ... Portanto, ao inv´es de “[x, ξ, Ω’ ξ]”, escrevo:
“[Ω0’ x, Ων’ x, Ων+1’ x]”. E defino: 0 + 1 = 1 Def., 0 + 1 + 1 = 2 Def., 0 + 1 + 1 + 1 = 3 Def., (etc.)
O signo “Ω” ´e utilizado por Wittgenstein para denotar uma opera¸c˜ao qualquer. O aforismo anterior havia apresentado a forma geral da opera¸c˜ao por meio da no¸c˜ao de aplica¸c˜ao repetida da opera¸c˜ao de nega¸c˜ao simultˆanea. Trata-se de uma defini¸c˜ao adequada para abranger a totalidade das opera¸c˜oes de verdade, j´a que o resultado de toda opera¸c˜ao de verdade pode ser tamb´em obtido por meio de sucessivas aplica¸c˜oes da opera¸c˜ao N (ξ)∗. O Tractatus parecia admitir, no entanto, outras opera¸c˜oes que
n˜ao s˜ao opera¸c˜oes de verdade. Tome, como exemplo, a s´erie de proposi¸c˜oes “aRb”, “(∃x) : aRx · xRb”, “(∃x, y) : aRx · xRy · yRb” etc. Esta sequˆencia de proposi¸c˜oes ´e, segundo o aforismo 4.1273, uma s´erie formal, cujo termo geral pode ser determinado especificando-se o primeiro termo da s´erie e a opera¸c˜ao que gera o termo seguinte. O resultado desta opera¸c˜ao, no entanto, n˜ao pode ser reproduzido pela sucessiva aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao N (ξ). Seria, ent˜ao, o n´umero, definido como o expoente de uma opera¸c˜ao, tamb´em aplic´avel a esses casos? Abrem-se duas possibilidades de interpreta¸c˜ao: i) ou o signo “Ω” nos aforismos 6.01 e 6.02 ´e usado do mesmo modo em cada um destes aforismos e, portanto, o n´umero s´o pode ser aplicado a opera¸c˜oes de verdade; ii) ou abre-se a possibilidade do n´umero ser aplicado a uma opera¸c˜ao qualquer† e, neste caso,
deve-se reconhecer que o autor do Tractatus foi um tanto quanto infeliz ao usar o mesmo sinal para usos distintos.
Al´em da s´erie acima mencionada, a s´erie cl´assica usada pela estrat´egia adjetivista de defini¸c˜ao dos n´umeros tamb´em se enquadra neste caso: nenhuma opera¸c˜ao de verdade pode engendrar a s´erie “¬(∃x)φx”, “(∃x)ϕx · ¬(∃x, y)ϕy · ϕy”, “(∃x, y)ϕy · ϕy · ¬(∃x, y, z)ϕy · ϕy · ϕz” etc., a qual se poderia abreviar como “(E0x)ϕx”, “(E0 + 1x)ϕx”,
“(E0 + 1 + 1x)ϕx” etc. O Tractatus, no entanto, n˜ao definir´a o n´umero deste modo,
j´a que, para Wittgenstein, a aplica¸c˜ao do n´umero ´e mais geral. De todo modo, seria bastante surpreendente se o n´umero, tal como definido no Tractatus, n˜ao contemplasse talvez o caso mais elementar de sua aplica¸c˜ao. Por esse motivo, a segunda alternativa discriminada acima parece mais razo´avel.
∗Frascolla: Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, p. 2.
†Alternativa adotada por Gallerani Cuter no artigo Gallerani Cuter: Operations and Truth-
A partir da identifica¸c˜ao do n´umero como o expoente de uma opera¸c˜ao, ´e poss´ıvel extrair algumas consequˆencias. Em primeiro lugar, assim como uma opera¸c˜ao, o n´umero n˜ao assinala uma forma, mas apenas a diferen¸ca de formas. Aqui ser´a importante distinguir dois usos essencialmente distintos que o Tractatus faz do termo “forma”. Quando se trata da forma l´ogica ou da forma de uma afigura¸c˜ao, o termo “forma” ´e usado para denotar a possibilidade que os elementos constituintes de certo fato possuem de se combinarem uns com os outros. Vale lembrar que a forma de uma figura¸c˜ao ´e completamente determinada pela forma de seus elementos constituintes: estes s˜ao, segundo o Tractatus, forma e conte´udo. O componente propriamente l´ogico- formal de uma figura¸c˜ao ´e ressaltado quando todos os seus elementos constituintes s˜ao transformados em vari´aveis. Quando isto acontece, h´a uma classe de proposi¸c˜oes que, pela comunidade de forma l´ogica, s˜ao agrupadas pela vari´avel proposicional. Evidentemente, tamb´em ´e poss´ıvel transformar apenas parte da proposi¸c˜ao em vari´avel. Neste caso, a parte que n˜ao foi transformada em vari´avel ´e a marca caracter´ıstica comum de uma classe de proposi¸c˜oes. Ao se estabelecer uma vari´avel deste modo, uma classe de proposi¸c˜oes ´e selecionada por meio de uma forma comum. Por outro lado, o termo “forma” tamb´em ´e usado como parte das express˜oes “forma geral da proposi¸c˜ao”, “forma geral do n´umero” etc. Aqui, o termo “forma” n˜ao pode ser entendido do mesmo modo. A forma geral da proposi¸c˜ao ´e dada por meio da especifica¸c˜ao de uma base e de uma opera¸c˜ao. Mas a opera¸c˜ao, como j´a dito, n˜ao assinala uma forma, mas apenas a diferen¸ca de formas. Nesse sentido, sob a forma geral da proposi¸c˜ao repousam proposi¸c˜oes de formas l´ogicas inteiramente distintas. Isto, no entanto, n˜ao configura, aos olhos de Wittgenstein, uma proje¸c˜ao de formas l´ogicas completamente distintas em uma ´unica forma, precisamente porque o termo “forma” ´e entendido de modo distinto em ambos os casos. Quando, em seu per´ıodo intermedi´ario, Wittgenstein acusa Frege e Russell de projetarem, em uma ´unica forma, proposi¸c˜oes de forma l´ogica inteiramente distintas, ´e porque, neste caso, o termo “forma” ´e entendido do mesmo modo. Ora, se assim for, ent˜ao em que sentido se deve entender o termo “forma” em seu segundo uso acima discriminado? Este segundo uso, como se pode perceber, ´e sempre acompanhado do termo “geral”. Tal generalidade, entretanto, n˜ao ´e a generalidade obtida por meio de uma forma comum, n˜ao se trata de uma generalidade que uma classe de proposi¸c˜oes poderia expressar devido a uma similaridade entre suas formas l´ogicas. Esta generalidade ´e caracterizada precisamente pela especifica¸c˜ao de um modo comum e unit´ario de se construir as proposi¸c˜oes que caem sob esta generalidade. Nesse sentido de “forma”, ´e claro que a opera¸c˜ao, juntamente com uma base, assinala uma forma. Quando Wittgenstein afirma que a opera¸c˜ao n˜ao assinala uma forma, ´e o primeiro sentido de forma que deve ser entendido. Neste sentido, a ideia de que a opera¸c˜ao n˜ao assinala uma forma pode ser parafraseada do seguinte modo: uma opera¸c˜ao n˜ao
constitui, de modo algum, a marca caracter´ıstica comum de uma classe de proposi¸c˜oes. Deste modo, no caso da “forma l´ogica”, a forma se refere a uma possibilidade de combina¸c˜ao contingente de objetos. No caso da “forma geral”, trata-se da possibilidade de uma constru¸c˜ao unit´aria a partir de uma base e uma opera¸c˜ao. `A unidade de uma forma geral, Wittgenstein d´a o nome de sistema. Na primeira Se¸c˜ao deste Cap´ıtulo, vimos que, ao projeto fregiano de unifica¸c˜ao da l´ogica e da aritm´etica, impunha-se uma dupla tarefa. De um lado, a generaliza¸c˜ao do tratamento funcional `a totalidade do ˆambito do pensamento. De outro lado, a formaliza¸c˜ao dos instrumentos que a linguagem comum dispunha para expressar ju´ızos gerais a fim de tornar rigoroso o uso matem´atico desses instrumentos. A primeira tarefa, `a luz do movimento feito neste Cap´ıtulo, desembocou, no Tractatus, no tratamento funcional da proposi¸c˜ao dotada de sentido e na incapacidade de se aplicar o mesmo tratamento no caso da matem´atica. Este resultado, no entanto, bloqueia a via da segunda tarefa fregiana: se na matem´atica n˜ao h´a fun¸c˜ao e argumento no mesmo sentido que na linguagem figurativa, tamb´em n˜ao h´a uma generalidade – a mesma que tornava interessante a an´alise em termos de fun¸c˜ao e argumento – que possa fazer uso deste aparato. A generalidade propriamente matem´atica s´o pode ser, portanto, a generalidade de uma forma geral, de um sistema.
A segunda consequˆencia que ´e poss´ıvel extrair do elo interno entre n´umero e opera¸c˜ao ´e o fato de que o n´umero, assim como uma opera¸c˜ao, n˜ao ´e uma caracter´ıstica do sentido de uma proposi¸c˜ao, mas apenas de seu modo de apresenta¸c˜ao. Quando se diz: “H´a 4 livros sobre a mesa” ou, em uma express˜ao mais pr´oxima da an´alise completa desta
proposi¸c˜ao, “(∃x, y, z, w)ϕx·ϕy·ϕz·ϕw”, o n´umero, enquanto expoente de uma opera¸c˜ao, n˜ao ocorre de modo essencial na proposi¸c˜ao. Seria, evidentemente, poss´ıvel expressar a mesma proposi¸c˜ao como o resultado da aplica¸c˜ao sucessiva da opera¸c˜ao que engendra a s´erie “¬(∃x)φx”, “(∃x)ϕx · ¬(∃x, y)ϕy · ϕy”, “(∃x, y)ϕy · ϕy · ¬(∃x, y, z)ϕy · ϕy · ϕz” etc. Designando esta opera¸c˜ao pelo signo “✚”, a proposi¸c˜ao em quest˜ao seria expressa por “✚4
¬(∃x)φx”. Mas seria perfeitamente poss´ıvel usar, por exemplo, o n´umero 2 para apresentar a mesma proposi¸c˜ao como “✚2
(∃x, y)ϕy · ϕy · ¬(∃x, y, z)ϕy · ϕy · ϕz”. Escolhendo-se adequadamente uma opera¸c˜ao e uma base, ´e poss´ıvel apresentar a mesma proposi¸c˜ao com a ajuda de qualquer n´umero∗. Por conseguinte, o n´umero n˜ao ´e um
componente essencial do sentido da proposi¸c˜ao.
As duas consequˆencias acima s˜ao, na verdade, corol´arios distintos do mesmo princ´ıpio fundamental, a saber, o da distin¸c˜ao entre fun¸c˜ao e opera¸c˜ao. Quando, a partir da mudan¸ca na caracteriza¸c˜ao do n´umero que ocorre no per´ıodo intermedi´ario
∗E precisamente esta caracter´ıstica do modo de apresenta¸c˜ao por n´´ umeros, em que a mesma
proposi¸c˜ao pode ocupar posi¸c˜oes distintas em sistemas distintos, que interessa a Ferraz Neto quando
este, ao procurar explicar a existˆencia de mecˆanicas alternativas e, ao mesmo tempo, a priori, avan¸ca a hip´otese de que a mecˆanica, no Tractatus, seria um modo de “ordenar” proposi¸c˜oes em uma s´erie formal. Cf. Bento Prado de Almeida Ferraz Neto: O estatuto a priori da Mecˆanica no Tractatus,
do pensamento de Wittgenstein, tais consequˆencias n˜ao puderem mais ser extra´ıdas, ´e evidente que a geografia conceitual, tra¸cada com os contornos desta distin¸c˜ao, deve necessariamente sofrer mudan¸cas. A tarefa do pr´oximo cap´ıtulo se desdobra, portanto, em trˆes partes. Em primeiro lugar, ´e preciso compreender os motivos que levaram Wittgenstein a uma nova caracteriza¸c˜ao do n´umero. Em segundo lugar, faz-se necess´aria uma apresenta¸c˜ao detalhada desta nova caracteriza¸c˜ao. Por fim, ´e importante destacar as consequˆencias desta nova concep¸c˜ao da aritm´etica.