Tarım Reformu Uygulama Projesi (ARIP)

A técnica de beamforming aplicada à acústica é bastante utilizada para o mapeamento de fontes de ruído. Para este trabalho foi utilizado um código de beamforming convencional implementado pelo grupo de pesquisa, contendo o método de deconvolução DAMAS, implementado no domínio da frequência.

O algoritmo de beamforming utilizado neste trabalho assume a propagação de ondas esféricas em condição de campo livre, com origem em uma distribuição de fontes pontuais descorrelacionadas, do tipo monopolo. O princípio do beamforming envolve o algoritmo básico de atraso e soma (delay-and-sum), (CHRISTENSEN; HALD, 2004; BENESTY; SONDHI; HUANG, 2008). Um plano de varredura, encerrando uma malha discreta contendo � pontos, é deĄnido ao redor da região da fonte de ruído. Um código de beamforming combina as matrizes de espectros cruzados dos sinais medidos pelos microfones, Cross-Spectral

Matrix (CSM ) e os vetores direcionadores, steering vectors (estando estes associados com

o ponto � da malha). Desta maneira, a antena de microfones é focada sucessivamente em cada ponto da malha, de forma a obter uma estimativa da amplitude das fontes e sua distribuição aparente na região espacial de interesse, (MUELLER et al., 2002).

A Fig. 37 exibe, esquematicamente, os referenciais utilizados para a formulação de

beamforming deste trabalho, bem como a malha de escaneamento, encerrando a região de

interesse em que supostamente se encontram as fontes, e a antena de microfones. A posição

� é um ponto na malha a ser varrida à procura da fonte sonora, onde 1 ⊘ � ⊘ �, com � sendo o total de pontos da malha; � é a posição de referência ou de origem (para este

80 Capítulo 4. Pós-processamento de sinais

trabalho, o centro da antena) e � é a posição do m-ésimo microfone, onde 1 ⊘ � ⊘ �, sendo � o número total de microfones ativos da antena.

Malha Ponto na malha ݊ ܷ
݋ Antena de Microfones ݎԦ_, ݎԦ_, ݉ ݎԦ_,

Figura 37: Desenho esquemático dos referenciais utilizados para formulação de beamforming convencional. A expressão �(⃗��,�,æ) = h†(⃗��,�,æ) ︀ p(⃗��,�,æ)p†(⃗��,�,æ) ︁ h(⃗��,�,æ) (11)

mostra uma formulação geral para beamforming convencional no domínio da frequência bastante encontrada na literatura, tal como em Sarradj (2012), para cada ponto � na malha. Espera-se de um algoritmo de beamforming que a resposta máxima (pico), ocorra quando o ponto focal na malha (�) coincida com a posição real da fonte.

Nesta formulação, � é um escalar e denota a estimativa espectral de pressão sonora à frequência angular æ (onde æ = 2 ≤ Þ ≤ �), no ponto focal � (sendo o vetor posição dado por

⃗��,�) em relação à uma referência, ou origem, dada por �. O vetor p contém as estimativas

espectrais de pressão sonora, sendo escrito como a transformada de Fourier dos sinais adquiridos pelos microfones de vetor posição ⃗��,�. Já o vetor h contém os steering vectors,

ou vetores direcionadores, sendo estes funções de transferência normalizadas utilizadas para modelar a propagação de uma onda acústica entre o ponto na malha em relação à referência, ⃗��,�, e os microfones da antena, ⃗��,�, ou seja, ⃗��,�. O operador hermitiano é

dado pelo símbolo †, e o símbolo ⟨≤ ≤ ≤ ⟩ denota a média de um evento. Ambos os vetores h e p são de dimensão � × 1.

A formulação de beamforming assume que a estimativa espectral do nível de pressão sonora do sinal medido no m-ésimo microfone, ��, é resultado da superposição de ondas

acústicas geradas por � fontes pontuais do tipo monopolo, descorrelacionadas e distribuídas no espaço. O vetor p possui termos

��(⃗��,�,æ) =

�

︁

�=1

�(⃗��,�,æ)�(⃗��,�,æ) = g†(⃗��,�,æ)q(⃗��,�,æ) (12)

onde g denota a função de transferência que modela a propagação de uma onda de pressão, contendo todos os atrasos de fase e o decaimento de amplitude devido ao espalhamento esférico do som que viaja entre a fonte, de posição ⃗��,�, e o microfone, de vetor posição ⃗��,�. A amplitude da fonte sonora assumida é caracterizada por q, estando distante de ⃗��,� em relação à posição de origem.

Para cada ponto � na malha existe uma função de transferência associada entre este ponto e os microfones na antena de índice �. O vetor função de transferência, g, de dimensão � × 1, para um ponto Ąxo � na malha, possui seus termos escritos da seguinte forma �(⃗��,�,æ) = ��,� ��,� � ⊗jω(rm,n⊗ro,n) c (13)

onde a velocidade do som é dada por � e � indica√⊗1. O uso dos vetores posição ��,� e ��,�

sem a sobreposição de uma Ćecha indica que valores absolutos estão sendo computados. O vetor direcionador, h, nesta formulação é escrito como a função de transferência, g, normalizada h(⃗��,�,æ) = g(⃗��,�,æ) ︁ ︀� �=1 ︀� �′ =1♣��′♣ ♣�_�♣ (14) onde �� e ��′ indicam as funções de transferência para os microfones � e �′ e ponto na

malha �, com 1 ⊘ � ⊘ � e 1 ⊘ �′ _{⊘ �, e g é o vetor função de transferência com os}

termos dados pela Eq. 13.

Existem diversas formulações para o vetor direção, distintas desta apresentada na Eq. 14. Este tema é bem explorado em Sarradj (2012), que apresenta quatro formulações diferentes, cada uma com suas particularidades, alterando parâmetros geométricos. A escolha da formulação do vetor direção está diretamente relacionada com a aplicação com a qual o algoritmo de beamforming está envolvido e apresenta pequenas diferenças no resultado Ąnal quanto às estimativas de amplitude e localização da fonte.

O produto externo da Eq. 11, ︀p(⃗��,�,æ)p†(⃗��,�,æ)

︁

, determina a matriz de espectros cruzados, ou Cross-Spectral Matrix (CSM ), conforme

���(æ) = ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ ︀ �1(æ)�†1(æ) ︁ ︀ �1(æ)�†2(æ) ︁ ≤ ≤ ≤ ︀�1(æ)�†�(æ) ︁ ︀ �2(æ)�†1(æ) ︁ ︀ �2(æ)�†2(æ) ︁ ≤ ≤ ≤ ︀�2(æ)�†�(æ) ︁ ... ... ... ... ︀ ��(æ)�†1(æ) ︁ ︀ ��(æ)�†2(æ) ︁ ≤ ≤ ≤ ︀��(æ)�†�(æ) ︁ ︀ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ︀ (15)

82 Capítulo 4. Pós-processamento de sinais

Esta matriz é calculada para cada frequência de interesse, sendo estruturada de forma tridimensional, na qual cada plano corresponde a uma frequência, possuindo ordem

� × �, agrupando � auto correlações e (�2_{⊗ �)/2 correlações cruzadas distintas entre}

os espectros de ruído na frequência angular æ. Na Eq. 15 está sendo apresentada a CSM para uma frequência de interesse æ. Na formulação utilizada neste trabalho, os elementos da CSM são representados em termos de Densidade Espectral de Potência (Power Spectral

Density, PSD), tendo por referência 20.10⊗6 _[Pa].

O cálculo da CSM é uma etapa fundamental em um algoritmo de beamforming. Utilizam-se os dados das medições acústicas de cada microfone, sendo estes os valores medidos de pressão sonora uniformemente amostrados à uma determinada taxa e tempo de aquisição. Estes dados, séries temporais, são divididos em blocos e janelados e então são extraídas as transformadas de Fourier dos sinais amostrados. O procedimento de pós-processamento de sinais efetuado leva em conta a taxa e o tempo de aquisição de dados, o tamanho e o número de blocos para as bandas de frequência analisadas, fatores de correção, como o utilizado para compensar os efeitos dos microfones estarem dispostos em uma antena sólida, aplicação de função de janelamento e etc. A função de janelamento periodiza a série temporal, que possui tamanho Ąnito, satisfazendo assim as condições impostas pela transformada de Fourier. Para o algoritmo em questão é utilizada a função de janelamento Hanning.

Comumente é realizada a remoção da diagonal principal da CSM, deĄnindo-se uma matriz 1� ×�, sendo que esta possui todos os seus elementos iguais à 1, com exceção de sua

diagonal principal, a qual possui valores iguais à 0. A diagonal principal da matriz CSM contém o auto espectro de cada microfone. A remoção desta é realizada para melhorar a relação sinal-ruído dos dados medidos, de modo a atenuar o efeito das Ćutuações de pressão da camada limite turbulenta sobre os microfones. Tem sido mostrado que os elementos da diagonal principal da CSM prejudicam o processo de beamforming (não contribuem na resolução e ainda podem introduzir ruído indesejado), de forma que é altamente sugerida a sua remoção, (MUELLER et al., 2002). Assim, a expressão para beamforming convencional implementado numericamente para este trabalho, realizadas as devidas substituições dos termos na Eq. 11 e efetuada a remoção da diagonal principal da CSM, é escrita como

�(⃗��,�,æ) = g†_(⃗� �,�,æ)(��� ◇ 1� ×�)g(⃗��,�,æ) ♣g†_(⃗� �,�,æ)♣ (1� ×�) ♣g(⃗��,�,æ)♣ (16) onde o símbolo (◇) denota o produto de Hadamard, no qual o produto é realizado elemento à elemento entre duas matrizes de mesma ordem.

Para uma correta representação da distribuição de fontes acústicas sob a presença de um escoamento livre (caso de aplicação de técnicas de beamforming em aeroacústica), é executada a correção do efeito convectivo do escoamento livre sobre a propagação das ondas acústicas, compensando-o com uma simples mudança de referencial na função de transferência g. A partir desta mudança de referencial, as ondas se propagam como se não

houvesse escoamento, livre de seus efeitos convectivos. Esta elaboração foi implementada por Pagani Jr. (2014), com base em Oerlemans (2009). O relatório técnico apresentado por Christensen e Hald (2004) exibe alguns critérios para a serem analisados para veriĄcar a qualidade de um sistema de beamforming (algoritmo e antena de microfones).