Sosyal Destek ile Đlgili Yapılan Araştırmalar

BÖLÜM 2. ĐLGĐLĐ ARAŞTIRMALAR

2.2. Sosyal Destek ile Đlgili Yapılan Araştırmalar

O símbolo β1 no enunciado da proposição anterior denota o primeiro número de Betti.

Diremos que um 2-complexo (conexo e nito) K é quadrado se #2_{(K) = β}

1(K1). Para o

caso em que K = KP é um 2-complexo modelo, KP é quadrado se, e somente se, a matriz

diophantina ∆P é quadrada, ou seja, a apresentação P possui o mesmo número de geradores

e relatores.

Abaixo, um importante teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em [11].

Teorema 5.30. Seja A uma matriz m × n, com m ≤ n, com entradas no anel comutativo com identidade R. O sistema linear AY = b possui solução sobre R para todo vetor b ∈ Rm

se, e somente se, o ideal Dm(A) gerado por todos os menores m × m de A é o anel R.

Teorema 5.31. Se K é um 2-complexo homotopicamente equivalente a um 2-complexo modelo KP, então π2(K) = 0se, e somente se, todo sistema linear diophantino ∆PY = bé compatível.

Corolário 5.32.Sejam P = hx1, . . . , xn| r1, . . . , rmiuma apresentação e KP o seu 2-complexo

modelo. Então π2_(K

P) = 0 se, e somente se, m ≤ n e o ideal Dm(∆P) = Z.

Corolário 5.33. Se KP é quadrado, então π2(KP) = 0 se, e somente se, det(∆P) = ±1.

Prova: Do Teorema 5.20 e do Lema 5.28, segue-se que π2_(K

P) = 0 se, e somente se, todo

sistema linear diophantino ∆PY = b é compatível. Mas pelo teorema precedente, isto ocorre

se, e somente se, det(∆P) = ±1. _¥

Corolário 5.34. Seja K um 2-complexo quadrado. Então π2_{(K) = 0} _{se, e somente se,}

det(∆P) = ±1para algum (logo para todo) 2-complexo modelo quadrado KP homotopicamente

equivalente a K.

Prova: Conseqüência imediata de resultados anteriores. _¥

5.8 Nulidade do segundo grupo de cohomologia integral

Pelo Teorema de Hopf (Teorema 11.5 de [25]), segue-se que:

Para todo 2-complexo conexo e nito K, tem-se π2_{(K) ≈ H}2_{(K; Z)}_.

Isto mostra que se K é um 2-complexo conexo e nito com H2_{(K; Z) = 0, então toda}

aplicação f : K → S2 _{é livre de raízes. Mostra também que todos os resultados da seção}

anterior são verdadeiros para H2_{( , Z)} _{no lugar de π}2_{( )}_{. Do mesmo modo, o teorema abaixo}

é verdadeiro para π2_{( )}_{no lugar de H}2_{( , Z)}_.

Teorema 5.35. Se KP é um 2-complexo modelo obtido de uma superfície fechada M pela

colagem de células 2-dimensionais, então H2_(K

Prova: Seja KP induzido pela apresentação P = hx1, . . . , xn| r1, . . . , rmi. Se KP pode ser

obtido de M pela colagem de células de dimensão dois, então um dos relatores da apresentação P é a palavra relatora representando M. Sem perda de generalidade, suponha que tal relator seja r1. Então, temos duas possibilidades:

(i) Se M é orientável, então a soma das potências de cada letra da palavra r1 é igual a zero.

Assim, a primeira linha da matriz diophantina ∆P é o vetor nulo. Seja ~b = (b1, . . . , bm)T um

vetor-coluna inteiro com b16= 0. Então, é fácil ver que o sistema linear diophantino ∆PY = ~b

é incompatível. Pelo Teorema 5.31, H2_(K

P; Z) 6= 0.

(ii) Se M é não orientável, então a soma das potências de cada letra da palavra r1 é igual

2. Assim, cada entrada da primeira linha da matriz diophantina ∆P é também igual 2. Seja

~b = (b1, . . . , bm)T um vetor coluna inteiro com b1 ímpar. Então, é fácil ver que o sistema

linear diophantino ∆PY = ~bé incompatível. Pelo Teorema 5.31, H2(KP; Z) 6= 0.

Isto prova o anunciado. _¥

A recíproca deste teorema não é verdadeira, em geral. Para ilustrar isso, apresentamos o seguinte exemplo: Seja P2

do pseudo plano projetivo de grau d ≥ 3, ou seja, P2dé o 2-complexo

modelo induzido pela apresentação P = hx | xd_{i. É fácil vericar que H}2_(P2

d; Z) ≈ Zd.

Ademais, é claro que P2

Capítulo

6

Classes de Nielsen mínimas e raízes

de aplicações levantadas

Dada uma aplicação contínua f : K → M de um complexo CW 2-dimensional em uma su- perfície fechada, existem dois números naturalmente associados a ela, a saber, o número de Nielsen para raízes N(f) e o número mínimo de raízes µ(f). É bem sabido que N(f) ≤ µ(f). Ademais, existe um número µC(f ), associado a f, correspondendo à chamada cardinalidade

mínima das classes de Nielsen de f. Um importante problema, que estudamos neste capítulo, consiste em se saber quando se tem a identidade µ(f) = µC(f )N (f ). Apresentamos vários

exemplos em que não se verica esta identidade. Outro problema importante, que nós re- solvemos, consiste em se determinar uma completa relação entre o número mínimo de raízes de uma aplicação e o número mínimo de raízes de seus possíveis levantamentos ao longo de recobrimentos. Encontramos uma conexão entre estes dois problemas, através da qual pude- mos responder várias questões relacionadas aos mesmos, principalmente no contexto em que a superfície do contra domínio das aplicações consideradas é o espaço projetivo.

6.1 Minimizando classes de Nielsen para raizes

Seja Hf o conjunto de todas as homotopias H : f ≃ H(· , 1) : X → Y iniciando em uma

dada aplicação f : X → Y , com X e Y Hausdor, conexos, localmente conexos por caminhos e semilocalmente simplesmente conexos. Para cada classe de raízes R ∈ Γ(f, a) da equação

f (x) = a, dena a cardinalidade mínima de R como sendo o número µC(R) = min

H∈Hf

{#R′ tal que R′∈ Γ(H(· , 1), a) e RHR′}.

É claro que se R é uma classe inessencial, então µC(R) = 0. Muitos autores têm estudado

o seguinte problema: Quais propriedades devem ter os espaços X e Y para que exista H ∈ Hf

tal que a equação H(· , 1)(x) = a tenha todas as suas classes mínimas, isto é, toda classe R da equação H(· , 1)(x) = a satisfaça #R = µC(R)?

Para o caso menos geral, mas não menos interessante, em que substituímos o espaço arbitrário Y por uma variedade M, temos o seguinte resultado, devido a D. L. Gonçalves e C. Aniz, correspondendo à Proposição 2.3 de [19].

Lema 6.1. Seja f : X → M uma aplicação do espaço conexo e localmente conexo por caminhos X na variedade M e sejam R1 e R2 duas classes de raízes arbitrárias da equação

f (x) = a. Então µC(R1) = µC(R2).

Este lema mostra que, para o caso de aplicações f : X → M cujo contra-domínio é uma variedade, temos bem denida a cardinalidade mínima das classes de raízes de f

µC(f ) := µC(R)para alguma classe de raízes R.

Neste contexto, o problema levantado acima se resume no seguinte: Dada uma aplicação f : X → M de um espaço conexo e localmente conexo por caminhos em uma variedade, sob quais condições se verica a igualdade µ(f) = N(f)µC(f )?

C. Aniz em sua tese de doutorado [2] provou o seguinte:

Teorema 6.2. Seja f : K → M uma aplicação de um complexo CW n-dimensional em uma n-variedade fechada, com n ≥ 3. Se existe uma aplicação f′: K → M homotópica a f tal que uma de suas classes de raízes R′ _{tem µ}

C(f ) raízes e os pontos de R′ estão todos contidos no

interior de n-células de K, então µ(f) = N(f)µC(f ).

Neste teorema, a hipótese sobre a dimensão do complexo e da variedade é essencial; de fato, H. Hopf [24] (ver também o §4 de [33]) construiu uma aplicação f : T2_#T2 _{→ T}2_{, do}

bitoro no toro, com µ(f) = 4 e N(f)µC(f ) = 3.

Em [19], Teorema 4.2, temos o seguinte resultado:

Teorema 6.3. Para cada n ≥ 3, existe um n-complexo Kn e uma aplicação fn: Kn→ RPn

com N(fn) = 2, µC(fn) = 1 e µ(fn) ≥ 3.

Este teorema comprova a existência de aplicações f : Kn _{→ M}n _{de n-complexos em}

6.1 Minimizando classes de Nielsen para raizes 91

exemplos de tais aplicações podem ser construídos também em dimensão 2. Mais precisa- mente, construiremos três exemplos neste contexto para os casos em que os contra-domínios das funções construídas são as superfícies fechadas RP2 _{(o plano projetivo), T}2 _{(o toro) e}

RP2#RP2 (a garrafa de Klein). Para o caso em que o contra-domínio é a esfera S2, é óbvio que toda aplicação f : K → S2 _{satisfaz µ(f) = N(f)µ}

C(f ), haja visto que o fato de S2 ser

simplesmente conexa implica que a equação f(x) = a se possui raízes, possui uma única classe de raízes. Passemos a construção dos exemplos.

Exemplo 6.4. Seja p2 : S2 → RP2 o recobrimento duplo canônico. Vamos construir um 2-

complexo K e uma aplicação f : K → RP2_{tendo um levantamento e}_{f : K → S}2 _{e satisfazendo:}

(i) N(f) = 2, (ii) µC(f ) = 1, (iii) µ(f) = 3, (iv) µ( ef ) = 1.

Iniciamos construindo o 2-complexo K. Sejam S1, S2 e S3 três cópias da 2-esfera consi-

deradas como o bordo do 3-simplexo padrão ∆3_,

S1 = ∂hx0, x1, x2, x3i, S2= ∂hy0, y1, y2, y3i, S3= ∂hz0, z1, z2, z3i.

Seja K o 2-complexo (simplicial) obtido da união disjunta S1 ⊔ S2⊔ S3 identicando-se

[x0, x1] = [y0, y1] e [y0, y2] = [z0, z1]. Assim, cada Si, i = 1, 2, 3, está mergulhada em K de

modo que

S1∩ S2 = [x0, x1] = [y0, y1] e S2∩ S3= [y0, y2] = [z0, z1].

Então, S1∩ S2∩ S3 é um único ponto x0 = y0 = z0. O 2-complexo K está ilustrado na

Figura 6.1. 1 S 2 S 3 S x0=y0=z0 1 1 y x = 2 1 y z = 2 x 3 y 3 x 3 z 2 z

Figura 6.1: Um 2-complexo simplicial

Dois complexos simpliciais A e B são isomorfos se, e somente se, existe uma bijeção φ entre o conjunto de vértices de A e de B tal que {v1, . . . , vs} é um simplexo de A se, e somente

se, {φ(v1), . . . , φ(vs)}é um simplexo de B (veja [3], página 128). Usando este fato, podemos

construir homeomorsmos h21 : S2 → S1 e h32 : S3 → S2 tais que h21|S1∩S2 = identidadee

h32|S2∩S3 = identidade.

Seja ef1: S1→ S2 qualquer homeomorsmo de S1 sobre S2. Dena ef2 = ef1◦h21: S2 → S2

e note que ef2(x) = ef1(x) para x ∈ S1 ∩ S2. Agora, dena ef3 = ef2 ◦ h32 : S3 → S2 e note

e ef3 podem ser conjuntamente utilizadas para se denir uma aplicação ef : K → S2 tal que

f |Si = efi para i = 1, 2, 3.

Seja f : K → RP2 _{a composição f = p}

2◦ ef, onde p2 : S2 → RP2 é o recobrimento duplo

canônico. Note que f#π1(K) = (p2)#π1(S2). Assim, podemos utilizar o Teorema 1.7 para

estudar as classes de Nielsen para raízes de f através do seu levantamento ef. Seja a = f(x0) ∈ RP2 e seja p−12 (a) = {˜a, −˜a} a bra de p2 sobre a.

Certamente, o homomorsmo ef∗ : H2(K) → H2(S2) é sobrejetor, com H2(K) ≈ Z3 e

H2(S2) ≈ Z. Logo, toda aplicação de K em S2 homotópica a ef é sobrejetora. Segue-se

que, para toda aplicação eg : K → S2 _{homotopica a e}_f_{, tem-se eg}−1_(˜_{a) 6= ∅} _{e eg}−1_(−˜_{a) 6= ∅.}

Pelo Teorema 1.7, ef−1(˜a) e ef−1(−˜a) são as classes de Nielsen para raízes de f e ambas são essenciais. Portanto, N(f) = 2.

Agora, como a = f(x0), ou x0 ∈ ef−1(˜a) ou x0 ∈ ef−1(−˜a). Sem perda de generalidade,

suponha que x0 ∈ ef−1(˜a). Então, pela denição de ef, tem-se ef−1(˜a) = {x0}. Logo, uma

das classes de Nielsen é unitária. Como, além disso, tal classe é essencial, segue-se que sua cardinalidade mínima é igual a um. Isto prova que µC(f ) = 1.

Para provar que µ(f) ≥ 3, note que, como cada restrição ef |Si é um homeomorsmo e

p2 : S2 → RP2 é um recobrimento duplo, para cada aplicação g homotópica a f, a equação

g(x) = a deve possuir ao menos duas raízes em cada Si, i = 1, 2, 3. Pela decomposição

de K, isto implica que µ(f) ≥ 3. Agora, para provar que µ(f) = 3, basta exibir uma aplicação ϕ homotópica a f que possua três raízes. Para a construção de uma tal aplicação, vamos utilizar um lema que será demonstrado mais adiante. Pois bem, sejam a0 = ef (x0) e

a1 = ef (x1). Então a0 e a1 são pontos distintos da esfera S2 e, pelo Lema 6.10 (enunciado

e demonstrado mais adiante), existe um recobrimento duplo q2 : S2 → RP2, isomorfo e

homotópico e homotópico a p2 tal que q−12 (a) = {a0, a1}, onde, como antes, a = f(x0).

Dena ϕ : K → RP2 _{pela composição ϕ = q}

2 ◦ ef. Então ϕ é homotópica a f e temos

ϕ−1(a) = ef−1({a0, a1}) = {x0, x1, b}, onde b ∈ S3 é o ponto h−132(x1). Isto prova que µ(f) = 3.

Ademais, é fácil ver que µ( ef ) = 1, com o par ( ef , ef (a0)) realizando µ( ef ). _¤

Agora, apresentamos um exemplo similar onde o contra-domínio da aplicação f construída é o toro T2_{. Neste exemplo, o complexo K, domínio da aplicação f, é um pouco mais}

complicado.

Exemplo 6.5. Seja p2 : T2 → T2 um recobrimento duplo. Vamos construir um 2-complexo

K e uma aplicação f : K → T2 tendo um levantamento ef : K → T2 ao longo de p2 e

satisfazendo:

(i) N(f) = 2, (ii) µC(f ) = 1, (iii) µ(f) = 3, (iv) µ( ef ) = 1.

Iniciamos construindo o 2-complexo K. Considere três cópias T1, T2 e T3 do toro com

6.1 Minimizando classes de Nielsen para raizes 93

(respectivamente meridional) do toro Ti, i = 1, 2, 3. Seja K o 2-complexo obtido da união

disjunta T1⊔ T2⊔ T3 identicando-se

α1 = α2 e α3= β2.

Isto é, K é obtido colando-se os toros T1 e T2 através das 1-células fechadas longitudinais

e, em seguida, colando-se a 1-célula fechada longitudinal do toro T3 na 1-célula fechada

meridional do toro T2.

Cada toro Ti está mergulhado em K de modo que

T1∩ T2 = α1= α2, T2∩ T3= α3 = β2 e T1∩ T3 = T1∩ T2∩ T3= {e0},

onde e0 _{é a (única) 0-célula de K, correspondendo as 0-células de T}

1, T2 e T3 através das

identicações. O 2-complexo K está ilustrado na Figura 6.2.

2 1 a a = 1 b 3 2 a b = 0 e 3 b

Figura 6.2: Um 2-complexo obtido colando-se três toros

Daqui em diante, escrevemos Ti para denotar a imagem do toro original Ti em K.

Certamente, existem homeomorsmos h21 : T2 → T1 e h32 : T3 → T2 com h21|T1∩T2 =

identidade, h32|T2∩T3 = identidadee tais que h21 aplica β2 sobre β1 e h32aplica β3 sobre α2.

Assim, dado um ponto x3 ∈ β3 , tem-se h32(x3) ∈ α1 = T1∩ T2. Utilizaremos este fato mais

adiante.

Seja ef1 : T1 → T2 um homeomorsmo aplicando longitude em longitude e meridiano em

meridiano. Dena ef2= ef1◦ h21: T2 → T2 e note que ef2(x) = ef1(x)para x ∈ T1∩ T2. Agora,

dena ef3 = ef2◦ h32 : T3 → T2 e note que ef3(x) = ef2(x) para x ∈ T2 ∩ T3. Em particular,

f1(e0) = ef2(e0) = ef3(e0). Assim, ef1, ef2 e ef3 podem ser conjuntamente utilizadas para se

denir uma aplicação ef : K → T2 tal que ef |_Ti = efi para i = 1, 2, 3.

Seja p2 : T2 → T2 um recobrimento duplo arbitrário. (Podemos considerar, por exemplo,

o recobrimento duplo longitudinal que associa a cada ponto z ∈ T2_{, considerado como um par}

(z1, z2) ∈ S1× S1, o ponto p2(z) = (z12, z2)).

Dena a aplicação f : K → T2 _{pela composição f = p} 2◦ ef.

Para que se possa utilizar o Teorema 1.7 para estudar as classes de Nielsen para raízes de f através das informações sobre ef, precisamos provar que f#π1(K) = (p2)#π1(T2). Agora,

Considere a composição ef ◦ l : T1→ T2, onde l : T1 ֒→ Ké a inclusão óbvia. Esta composição

é exatamente o homeomorsmo ef1 e, portanto, o homomorsmo induzido ef#◦ l#= ( ef1)# é

um isomorsmo. Segue-se que ef# é um epimorsmo.

Seja a = f(e0_{) ∈ T}2 _{e seja p}−1

2 (a) = {˜a, ˜a′}a bra de p2 sobre a. (Se p2 é o recobrimento

duplo longitudinal, como acima, então se ˜a = (˜a1, ˜a2), tem-se ˜a′= (−˜a1, ˜a2)).

Claramente, o homomorsmo ef∗ : H2(K) → H2(T2) é sobrejetor, com H2(K) ≈ Z3 e

H2(T2) ≈ Z. Logo, toda aplicação de K em T2 homotópica a ef é sobrejetora. Segue-se

que, para toda aplicação eg : K → T2 _{homotópica a e}_f_{, tem-se eg}−1_(˜_{a) 6= ∅} _{e eg}−1_(˜_a′_{) 6= ∅}_.

Pelo Teorema 1.7, ef−1(˜a) e ef−1(˜a′) são as classes de Nielsen para raízes de f e ambas são essenciais. Portanto, N(f) = 2.

Agora, como a = f(e0₎_{, ou e}0 _{∈ e}_f−1_(˜_a) _{ou e}0 _{∈ e}_f−1_(˜_a′₎_{. Sem perda de generalidade,}

suponha que e0 _{∈ e}_f−1_(˜_a)_{. Então, pela denição de e}_f_{, tem-se e}_f−1_(˜_{a) = {e}0_{}. Assim, uma}

das classes de raízes é unitária. Como, além disso, tal classe é essencial, segue-se que sua cardinalidade mínima é igual a um. Portanto, µC(f ) = 1.

Para provar que µ(f) = 3, note que, como cada restrição ef |_Ti é um homeomorsmo e

p2 : T2 → T2 é um recobrimento duplo, para cada aplicação g homotópica a f, a equação

g(x) = a deve possuir ao menos duas raízes em cada Ti, i = 1, 2, 3. Pela decomposição

de K, isto implica que µ(f) ≥ 3. Agora, seja x3 um ponto β3, diferente de e0. Como

temos visto, h32(x3) ∈ α1 ⊂ T1 ∩ T2. Seja x12 = h32(x3). Pela denição de ef, temos

f (x12) = ef (x3) 6= ef (e0). Denote y0 = ef (e0) e y1 = ef (x12).

Seja a ∈ T2 _{e seja p}−1

2 (a) = {˜a, ˜a′} a bra de p2 sobre a. Como T2 é uma superfície,

existe um homeomorsmo h : T2 _{→ T}2 _{homotópico a aplicação identidade tal que h(y} 0) = ˜a

e h(y1) = ˜a′. Seja q2 : T2 → T2 a composição q2 = p2 ◦ he seja ϕ : K → T2 a composição

ϕ = q2◦ ef. Então ϕ é homotópica a f e ϕ−1(a) = {e0, x12, x3}. Como µ(f) ≥ 3, isto mostra

que µ(f) = 3.

Ademais, é fácil ver que µ( ef ) = 1, com o par ( ef , ef (e0₎₎_{realizando µ( e}_{f )}_.

¤ Note que, neste exemplo, para todo par (ϕ, a) realizando µ(f) (que é igual a 3), tem-se necessariamente ϕ−1_{(a) = {e}0_{, x}

1, x2}com x1 ∈ α1 and x2 ∈ β3 ou x1∈ β1 and x2∈ β2.

Para o mesmo 2-complexo K do Exemplo 6.5, podemos construir um exemplo similar com o contra-domínio de f sendo a garrafa de Klein. Os argumentos de tal construção são similares aos anteriores e, por isso, serão omitidos.

Exemplo 6.6. Seja p2 : T2 → RP2#RP2 o recobrimento duplo orientado. Vamos construir

um 2-complexo K e uma aplicação f : K → RP2_#RP2 _{tendo um levantamento e}_{f : K → T}2

ao longo de p2 e satisfazendo:

Belgede Ortaöğretim son sınıf öğrencilerinin ahlaki yargı yetenek düzeyleri, sosyal destek algıları ve psikolojik belirtilerinin incelenmesi (sayfa 35-41)