SONUÇ VE TARTIŞMA
6. Düşük sosyo ekonomik düzey algısına sahip bireylerin psikolojik belirtilere sahip
Denote por ⋆ um ponto base da esfera Sp, esta com uma orientação fixada, e considere
αi, com i = 1, . . . , n, classes de homologia que geram Hp(M ; Z) ≈ Zn, representadas por
Sp× {⋆} × . . . × {⋆}, {⋆} × Sp× {⋆} × . . . × {⋆}, . . . , {⋆} × . . . × {⋆} × Sp onde M =QnSp é a variedade definida no início do capítulo.
Definição 2.2.1. Seja f : Sp → Sp uma aplicação; então f induz um homomorfismo no
p-ésimo grupo de homologia f∗ : Hp(Sp) → Hp(Sp). Sendo Hp(Sp) ≈ Z, dado um gerador α
de Hp(Sp), temos que f∗(α) = dα, para algum d ∈ Z. Este tal inteiro d independe da escolha
do gerador α e é denominado o grau da aplicação f . Escrevemos d = deg f .
Vale observar que esta definição de grau de uma aplicação coincide, nestas particularidades, com aquela dada na Seção 1.3.
Definição 2.2.2. Seja φ : M → M um difeomorfismo e defina φ∗: Hp(M ) → Hp(M ) por
φ∗(αj) = n
X
i=1
aijαi
onde cada aij, i, j = 1, . . . , n, é o grau da aplicação φij : Sp → Sp definida pela composição
Sp −→ Mkj −→ Mφ pi
−→ Sp
onde kj é a inclusão no j-ésimo fator de M e pi a i-ésima projeção. Neste termos, chamamos
2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos 45
Definição 2.2.3. Dizemos que uma matriz A de GL(n; Z) é realizada por um difeomorfismo de M se existe um difeomorfismo φ : M → M tal que [φ∗] = A para φ∗ definida na base
canônica {αi}ni=1 de Hp(M ).
Lema 2.2.4. Seja φ : M → M o difeomorfismo que permuta as duas primeiras coordenadas, ou seja, φ(x1, x2, . . . , xn) = (x2, x1, x3, . . . , xn). Então a matriz da induzida por φ na base
canônica {αi}ni=1 de Hp(M ) é dada por
[φ∗] = " 0 1 1 0 # ⊕ In−2
Prova: Escreva [φ∗] = (aij). De acordo com a Definição 2.2.2, para cada 1 ≤ i, j ≤ n, temos
aij = deg φij, onde φij é dada pela composição Sp kj
−→ M −→ Mφ pi
−→ Sp. Pois bem, para
j = 1, dado x ∈ Sp, φ
i1(x) é, então, obtido pela seqüência de aplicações
x k1 7−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)7−→ (⋆, x, ⋆, . . . , ⋆)φ pi 7−→ ( x se i = 2 ⋆ se i 6= 2 .
Logo, a21= 1 enquanto ai1= 0 para todo i 6= 2. Já φi2(x) é dado da seguinte forma:
x k2 7−→ (⋆, x, ⋆, . . . , ⋆)7−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)φ pi 7−→ ( x se i = 1 ⋆ se i 6= 1 .
De modo que a12 = 1 e ai2 = 0 para todo i 6= 1. Agora, para j ≥ 3, não é difícil ver que
φjj(x) é a aplicação identidade e que, sempre que i 6= j, a aplicação φij será constante, já
que a permutação realizada por φ ocorre somente entre as duas primeiras posições de kj(x).
Assim, para j ≥ 3 temos ajj = 1 e aij = 0 se i 6= j. Isto conclui a prova do lema. Definição 2.2.5. Considere Sp= {x ∈ Rp+1: kxk = 1}. Para 1 ≤ t ≤ p + 1 defina a t-ésima
reflexão rt : Sp → Sp por rt(x1, . . . , xp+1) = (x1, . . . , xt−1, −xt, xt+1, . . . , xp+1). O grau de rt
é obviamente igual a −1.
Lema 2.2.6. Seja φ : M → M o difeomorfismo φ(x1, x2, . . . , xn) = (rt(x1), x2, . . . , xn).
Então, qualquer que seja o inteiro t, 1 ≤ t ≤ p + 1, a matriz da induzida de φ na base canônica {αi}ni=1 de Hp(M ) é a matriz R = [−1] ⊕ In−1.
Prova: Escreva [φ∗] = (bij). Então, como definido, bij = deg φij, onde mais uma vez tem-se
φij definido pela composição Sp kj
−→ M −→ Mφ pi
−→ Sp. Para j = 1, temos, para x ∈ Sp,
x k1 7−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)7−→ (rφ t(x), ⋆, . . . , ⋆) pi 7−→ ( rt(x) se i = 1 ⋆ se i 6= 1 .
Logo, como o difeomorfismo rt tem grau −1, segue que b11 = −1 e bi1= 0 para todo i > 1.
Já para j > 1, note que a primeira posição do vetor kj(x) será igual a ⋆. Deste modo
φij(x) = rt(⋆) se i = 1 < j x se i = j > 1 ⋆ se j 6= i > 1 .
Assim, bij =
(
1 se i = j > 1
0 se i 6= j . Isto basta para provar que [φ∗] = [−1] ⊕ In−1.
Vimos na Seção 1.2 que a esfera Sp possui estrutura de H-espaço se, e somente se, p =
1, 3 ou 7. Para x, y ∈ Sp, p = 1, 3 ou 7, denotaremos por xy o produto induzido pela estrutura de H-espaço em Sp. Note que, nestes casos, para todo x ∈ Sp existe o elemento “inverso” que
será denotado por x−1.
Lema 2.2.7. Para p = 1, 3 ou 7, a aplicação λ : Sp→ Sp, λ(x) = x−1, é de classe C∞.
Prova: Faremos a prova separadamente para cada valor de p = 1, 3 e 7.
1◦Caso: Se p = 1, temos a aplicação λ : S1 → S1. Faça a identificação usual do plano real R2
com o plano complexo C. Desta maneira, a esfera S1consiste do números complexos unitários,
ou seja, S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Agora, sabemos que todo complexo unitário z = a + bi
possui inverso multiplicativo z−1 o qual é idêntico ao conjugado de z, isto é, z−1 = a − bi,
o qual tem ainda norma 1. Como sabido, a aplicação λ1 : R2 → R2, λ1(x, y) = (x, −y) é
infinitamente diferenciável. Como além disso S1 é uma subvariedade C∞ do R2, a aplicação
λ = λ1|S1 : S1→ S1 é também infinitamente diferenciável.
2◦ Caso: Seja λ : S3 → S3, λ(x) = x−1. Podemos agora identificar o espaço R4 com os
quatérnios Q através da aplicação x = (x1, x2, x3, x4) 7→ w = x1+ x2i + x3j + x4k. Assim, os
elementos da esfera S3 são identificados com os quatérnios de norma 1. Dado um quatérnio
w = x1+ x2i+ x3j + x4k, não é difícil notar que w−1 = w = x1−x2i− x3j − x4k, e este é ainda
unitário. Segue que a aplicação infinitamente diferenciável λ3: R4→ R4, λ3(x1, x2, x3, x4) =
(x1, −x2, −x3, −x4), tem por restrição a S3 a aplicação λ = λ3|S3 : S3 → S3 que, por ser S3
subvariedade C∞do R4, é também de classe C∞.
3◦ Caso: O conjunto dos octônios O é definido como O = {c = (w
1, w2) : w1, w2 ∈ Q}. A
multiplicação de dois octônios c1 = (w1, w1′) e c2 = (w2, w′2) é definido por
c1c2 = (w1, w1′)(w2, w′2) = (w1w2′ − w′2w1′, w2′w1+ w′1w2).
Os octônios têm um elemento neutro e = (1, 0), o qual satisfaz ec = ce = c, para todo c ∈ O. É natural identificar tal elemento com 1 ∈ R ⊂ O. Definimos o conjugado c de um octônio c = (w, w′) como sendo c = (w, −w′). Então cc = |c|2e = (|w|2+ |w′|2)e pode ser identificado com o número não negativo |c|2. Além disso, |c|2 = 0 se, e somente se, c = (0, 0). Observe
que a multiplicação dos octônios é distributiva com relação a adição e que o mesmo constitui uma álgebra de divisão, isto é, valem todos os axiomas de um corpo exceto a comutatividade e a associatividade. De modo semelhante ao realizado nos casos anteriores, os octônios podem ser identificados com o R8, e a esfera S7 com os octônios unitários. Para um tal octônio c, é
fácil ver que c−1 = c. Segue de modo similar aos anteriores que λ : S7 → S7, λ(x) = x−1 é de
classe C∞.
2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos 47
Lema 2.2.8. Para p = 1, 3 ou 7, a aplicação φ : M → M dada por φ(x1, x2, . . . , xn) =
(x1x2, x2, . . . , xn) é um difeomorfismo.
Prova: Assuma p = 1, 3 ou 7. É claro que φ é diferenciável. Agora, note que a aplicação φ−1 : M → M , definida como φ−1(x1, x2, . . . , xn) = (x1x−12 , x2, . . . , xn), é a aplicação inversa
de φ. Além disso, podemos escrever φ−1(x
1, x2, . . . , xn) = (x1λ(x2), x2, . . . , xn). Logo, pelo
lema anterior, segue que φ−1 é infinitamente diferenciável. Portanto, φ é um difeomorfismo.
Lema 2.2.9. Considere p = 1, 3 ou 7. A matriz [φ∗] da induzida pelo difeomorfismo φ do
lema anterior é a matriz
T = " 1 1 0 1 # ⊕ In−2
Prova: Mais uma vez vamos determinar a matriz [φ∗] escrevendo [φ∗] = (aij), onde, pela
definição, aij = deg φij, com φij definida pela composição Sp kj
−→ M −→ Mφ pi
−→ Sp. Neste
termos, é fácil notar que
φij(x) = ⋆ x se i = j = 1, 2, ou i = 1 e j = 2 x se i = j > 2 ⋆ se i 6= j 6= 2 E portanto, [φ∗] = T .
Definição 2.2.10. Para cada x ∈ Sp fixado, defina as aplicações infinitamente diferenciáveis
θx : Sp → Sp, θx(y) = y − 2hx, yix e ϕx: Sp → Sp, ϕx(y) = x − 2hx, yiy
para y em Sp, e h , i denotando o produto interno usual em Rp+1.
Note que realmente as aplicações θx e ϕx têm, para todo x ∈ Sp, imagem ainda em Sp.
De fato: para todo y ∈ Sp, temos:
(i) kθx(y)k2 = hθx(y), θx(y)i
= hy − 2hx, yix, y − 2hx, yixi
= hy, yi − 2hx, yihy, xi − 2hx, yi2− 4hx, yihx, yihx, xi
= kyk2− 2hx, yi2− 2hx, yi2+ 4hx, yi2kxk2
= 1 − 4hx, yi2+ 4hx, yi2 = 1
(ii) kϕx(y)k = 1, similarmente ao anterior.
(iii) θx é reflexiva. Com efeito:
θx(θx(y)) = θx(y) − 2hx, θx(y)ix
= y − 2hx, yix − 2hx, y − 2hx, yixix
= y − 2hx, yix − 2hx, yix − 2hx, −2hx, yixix = y − 4hx, yix + 4hx, yikxk2x
= y
Lema 2.2.11. Para cada x ∈ Sp, as aplicações θ
x e ϕx tem graus −1 e 1 + (−1)p+1,
respectivamente.
Prova: A primeira afirmação segue diretamente do fato de ser θx uma reflexão, o que vê-se
por (iii). Para provar a segunda parte, antes de qualquer coisa, observe que, para quaisquer x, x′ ∈ Sp, ϕ
xe ϕx′ são aplicações homotópicas, pois Sp é conexa por caminhos. Agora, como
o grau de uma aplicação é invariante por homotopia, por simplicidade, vamos calcular o grau de ϕx para x = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sp. Pois bem, neste caso, para y = (y1, . . . , yp+1) ∈ Sp, tem-se:
ϕx(y) = x − 2hx, yiy
= (0, . . . , 0, 1) − 2yp+1(y1, . . . , yp+1)
= (−2yp+1y1, . . . , −2yp+1yp, 1 − 2yp+12 ).
Seja q = (0, . . . , 0, −1) ∈ Sp. Então
ϕx(y) = q ⇐⇒ (−2yp+1y1, . . . , −2yp+1yp, 1 − 2y2p+1) = (0, . . . , 0, −1).
Isto implica em ϕ−1
x (q) = {(0, . . . , 0, 1), (0, . . . , 0, −1)}. Denotamos, agora, q+ = (0, . . . , 0, 1)
e q− = (0, . . . , 0, −1). Para calcularmos Dϕx(q+) e Dϕx(q−), as derivadas de ϕx aplicadas em
q+e q−respectivamente, vamos primeiro especificar os espaços tangentes Tq+S
p e T
ϕx(q+)S
p =
TqSp = Tq−S
p. Como sabido, o espaço tangente a Sp num ponto u ∈ Sp, T
uSp, consiste
dos vetores normais a u no ponto u. Então, Tq+S
p é o espaço p-dimensional cuja base é
{∂/∂y1, ∂/∂y2, . . . , ∂/∂yp} . Aqui estamos denotando (y1, y2, . . . , yp+1) como coordenadas de
Rp+1. Vamos fixar a orientação por esta base ordenada. Então, a base orientada dos espaços TqSp = Tq−S
p é
{∂/∂y1, ∂/∂y2, . . . , −∂/∂yp} .
Agora vamos determinar a matriz de Dϕx(q+) em relação às bases acima. Usando a equação
ϕx(y) = (−2yp+1y1, . . . , −2yp+1yp, 1 − 2yp+12 ), tem-se:
Dϕx(q+) (∂/∂y1) = (−2yp+1, 0, . . . , 0)|y=q+ = (−2, 0, . . . , 0) = −2 (∂/∂y1) ,
...
Dϕx(q+) (∂/∂yp−1) = (0, . . . , 0, −2yp+1, 0, 0)|y=q+ = (0, . . . , 0, −2, 0, 0) = −2 (∂/∂yp−1) ,
2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos 49
Na forma matricial, podemos escrever Dϕx(q+) como sendo a matriz de ordem p
−2Ip−1⊕ 2I1 = " −2Ip−1 0 0 2I1 # .
Donde conclui-se que q+ é um ponto regular e deg(ϕx, q+) = (−1)p−1 = (−1)p+1. Com
argumentos similares mostra-se que a matriz de Dϕx(q−) é representada pela matriz 2Ip.
Assim, q− também é um ponto regular e deg(ϕx, q−) = 1. Portanto, q é um valor regular e
deg ϕx= 1 + (−1)p+1. Isto completa a prova do lema.
Lema 2.2.12. Considere p um inteiro positivo ímpar. A matriz da induzida pelo difeomor- fismo φ : M → M, definido por φ(x1, x2, . . . , xn) = (θx2(x1), x2, . . . , xn), é a matriz produto
U R, ou seja, [φ∗] = U R = " −1 2 0 1 # ⊕ In−2
Prova: Escrevendo φij para indicar a composição Sp kj −→ M −→ Mφ pi −→ Sp, vemos que φij(x) = θ⋆(x) se i = j = 1 θx(⋆) se i = 1 e j = 2 x se i = j ≥ 2 ±⋆ se i 6= j 6= 2
onde, pelo lema anterior, deg θ⋆(x) = −1. Logo, se escrevemos [φ∗] = (aij), já temos deter-
minado a11= −1. Além disso, é claro que akk= 1 para k ≥ 2 e aij = 0 para i 6= j 6= 2. Falta
apenas determinar a12. Para tanto, note que
θx(⋆) = ⋆ − 2hx, ⋆ix = ⋆ − 2h⋆, xix = ϕ⋆(x)
Assim, como p é ímpar, segue do lema anterior que a22 = deg ϕ⋆(x) = 2. E portanto,
[φ∗] = U R.
Enunciaremos agora um resultado bastante evidente, mas que gostaríamos de deixar for- malmente registrado para futuras alusões demais necessárias.
Lema 2.2.13. Toda matriz do grupo Sn é realizada por um difeomorfismo de M.
Prova: Dada uma matriz A em Snconsidere a permutação σ que gera esta matriz através do
homomorfismo γ introduzido na primeira seção deste capítulo. Dado um ponto (x1, . . . , xn)
de M, podemos identificar Sn com o grupo de permutações do conjunto {x1, . . . , xn}. Por-
tanto, é fácil ver que a matriz A é realizada pelo difeomorfismo φσ : M → M definido por
Proposição 2.2.14. Seja {αi}ni=1 a base canônica de Hp(M ). Temos:
(a) Se p = 1, 3 ou 7, então toda matriz de GL(n; Z) é realizada por um difeomorfismo de M. (b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3, 7, então toda matriz de G′é realizada por um difeomorfismo de M.
(c) Se p é par, então toda matriz de G′′ é realizada por um difeomorfismo de M.
Prova: O item (a) segue dos Lemas 2.1.11, 2.2.6, 2.2.9 e 2.2.13. O item (b) segue dos Lemas 2.1.11, 2.2.6 e 2.2.13. O item (c) segue dos Lemas 2.2.6, 2.2.13 e da definição de G′′.
Lema 2.2.15. Sejam A uma matriz em GL(n; Z) e p um inteiro positivo ímpar, p 6= 1, 3, 7. Se A é realizada por um difeomorfismo de M, então A ∈ G′.
Prova: Seja A = (aij) em GL(n; Z). Sendo assim, det A = ±1. Considere a composição
Sp× Sp −→ Mβ −→ Mφ −→ Sπ p
onde β é a inclusão no i-ésimo e no k-ésimo fatores, i 6= k, π é a j-ésima projeção e φ é um difeomorfismo que realiza A. Considere os geradores canônicos w1, w2 ∈ πp(Sp× Sp) ≈ Z ⊕ Z,
w ∈ πp(Sp) ≈ Z, e o homomorfismo
(π ◦ φ ◦ β)♯: πp(Sp× Sp) → πp(Sp)
definido por
(π ◦ φ ◦ β)♯(w1) = aijw,
(π ◦ φ ◦ β)♯(w2) = ajkw.
Tomemos a restrição de π ◦ φ ◦ β a Sp∨ Sp = Sp× {u} ∪ {u} × Sp ⊂ Sp× Sp, onde u ∈ Sp.
(π ◦ φ ◦ β|Sp∨Sp)♯ determina um elemento de π2p−1(Sp), a saber, o produto de Whitehead, o
qual é dado por
[[aijw, ajkw]] = aijajk[[w, w]].
Como p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, segue da Proposição 1.2.11 que [[w, w]] 6= 0 é um elemento de ordem 2. Como π ◦ φ ◦ β|Sp∨Sp pode ser estendida a Sp× Sp, por [7. Proposição 2],
aijajk[[w, w]] = 0 ⇐⇒ aijajk≡ 0 mod 2.
Portanto, o produto de dois elementos quaisquer de uma mesma coluna de A é sempre um número par. Sendo assim, cada linha e coluna da matriz A tem exatamente uma entrada ímpar. Isto implica que η(A) ∈ η(Sn), ou seja, A ∈ η−1(η(Sn)) = G′.
Lema 2.2.16. Sejam A uma matriz em GL(n; Z) e p um inteiro positivo par. Se A é realizada por um difeomorfismo de M, então A ∈ G′′.
2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos 51
Prova: Seja A = (aij) e {α∗i}ni=1a base de Hp(M ) ≈ Hom(Hp(M ), Z), dual da base canônica
{αi}ni=1 de Hp(M ). Por dualidade mostra-se que
α∗1 `α∗1 = α∗2 `α∗2= · · · = α∗n`α∗n= 0 e {α∗
i `α∗j : 1 ≤ i ≤ j ≤ n} é uma base para H2p(M ). Note que a matriz da induzida de φ
na cohomologia Hp(M ), a qual denotaremos por [φ∗], relativamente a base dual, é a matriz
transposta da matriz A, que aqui denotamos por At. Como p é par, α∗
i `α∗j = α∗j `α∗i, para
quaisquer i, j = 1, . . . , n. Deste modo, para cada k, 1 ≤ k ≤ n, temos φ∗(α∗ k) = Pn i=1akiα∗i. Ainda mais, 0 = φ∗(0) = φ∗(α∗k `α∗k) = φ∗(α∗k) ` φ∗(α∗k) = X 1≤i,j≤n 2akiakj(α∗i `α∗j).
Logo, akiakj = 0 quaisquer que sejam os inteiros i, j, k, positivos e menores que n. Disto e do
fato que det A = ±1, segue que cada linha e coluna de A tem exatamente uma entrada não nula, sendo esta igual a ±1. Portanto A ∈ G′′.
Proposição 2.2.17. Sejam {αi}ni=1 a base canônica de Hp(M ) e φ : M → M um difeomor-
fismo. Temos as seguintes relações:
(a) Se p = 1, 3 ou 7, então [φ∗] ∈ GL(n; Z);
(b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, então [φ∗] ∈ G′;
(c) Se p é par, então [φ∗] ∈ G′′.
Prova: O item (a) é trivial, já que [φ∗] é realizada pelo difeomorfismo φ. O item (b) segue
do Lema 2.2.15, e o item (c) segue do Lema 2.2.16.
Enunciaremos agora o resultado principal desta seção.
Teorema 2.2.18. Seja Dp o subgrupo de GL(n; Z) consistindo de todas as matrizes A de
GL(n; Z) tais que [φ∗] = A para algum difeomorfismo φ : M → M . Temos:
(a) Se p = 1, 3 ou 7, então Dp = GL(n; Z);
(b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, então Dp= G′;
(c) Se p é par, então Dp= G′′;
Prova: Segue diretamente das Proposições 2.2.14 e 2.2.17.
Capítulo
3
Mergulho de produtos de três
esferas em codimensão 1
3.1
Sobre as considerações e as espectativas
Seja f : Sp× Sq× Sr → Sp+q+r+1 um mergulho suave com 1 ≤ p ≤ q ≤ r. Para p ≥ 2,
L.A. Lucas e O. Saeki [22] demonstraram que se p + q 6= r, ou p + q = r com r par, então o fecho de uma das duas componentes conexas de Sp+q+r+1− f (Sp× Sq× Sr) é difeomorfa a
Sp× Sq× Dr+1 ou Sp× Dq+1× Sr ou Dp+1× Sq× Sr. Além disso, a condição sobre p, q e
r é essencial, isto é, se ela não for satisfeita, então existe uma infinidade de mergulhos suaves que não gozam de tal propriedade. Este último resultado é verdadeiramente surpreendente, já que o mergulho de uma esfera ou do produto de duas esferas em codimensão 1 tem sempre a propriedade anteriormente mencionada, com possíveis exceções em certas dimensões envol- vendo a Conjectura de Poincaré (generalizada) onde “difeomorfo” é devidamente substituído por “homeomorfo”. Por esta razão, dizemos que o mergulho f é exótico se o fecho de nenhuma das duas componentes conexas de Sp+q+r+1−f (Sp×Sq×Sr) é difeomorfa ao produto de duas
esferas e um disco. Caso contrário, diremos que o mergulho é não-exótico. O propósito deste capítulo é estudar o caso p = 1. Para tanto vamos nos basear principalmente na referência [23] de L. A. Lucas e O. Saeki.