Bu çalışmada, 3-boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında yer alan yüzeyler ve bazı geometrik özeliklerine (Gauss dönüşümü, ortalama eğriliği, Gauss eğriliği, Laplace Beltrami operatörü) görsellik verilmiştir.
3-boyutlu Öklid uzayında, sırasıyla, (2.1) ve (3.2) ile belirli olan helisoidal ve dönel yüzey çiftinin Gauss dönüşümleri özdeş olarak eşit iken, bu yüzeylerin harmonik-minimal oldukları (3.8) ile belirlendi. Özetle
( ) 0
H R
e =e ⇔ Φ u =
HH 0 ve HR 0
⇔ = =
( ) ( )
(
2 2 2 2)
3 2, u H
H u v e
u a u
ϕ
⇔ ∆ ≡ −Φ ⋅
+ + ′
( )
H u v, harmoniktir
⇔
gerektirmelerinin varlığı gösterildi. Yine bu uzayda, (2.1) ile belirli olan helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümünün bir dönel yüzey olduğu görüldü. Bu dönel yüzeye h adımı verilerek elde edilen helisoidal yüzey ve bu yüzeye Bour teoremi ile izometrik olduğu dönel yüzey belirlendi. Ayrıca, (2.1) ile belirli olan genelleştirilmiş helisoidin, (3.3) ile belirli olan Gauss dönüşümüne ait (3.11) ile belirli olan helisoidal yüzeyinin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasında, (3.20) ile belirli olan bağıntı elde edildi.
Yine 3-boyutlu Öklid uzayında verilen en genel helisoidal yüzeye Bour teoremine göre izometrik olan en genel dönel yüzeyin parametrik ifadesi belirlendi. Böylece, Bour teoremi genelleştirilmiş oldu. Ayrıca, bu yüzeylerin Gauss eğriliklerinin eşit olduğu özel bir örnek ile görüldü.
Yarı Riemann geometrisindeki E , 3-boyutlu Minkowski uzayında yer alan helisoidal 13 ve dönel yüzeylerin, Bour teoremi yardımı ile ilginç özeliklere sahip oldukları görülmektedir.
Çizelge 8.1, bu tezde yapılan çalışmaların bir bölümünü özetlemektedir.
Çizelge 8.1 Time-like dönel yüzeylerdeki bağıntılar
sıra no. TIME-LIKE
YÜZEY ( eksen türü , üreteç eğrisi türü )
Bağıntı (S,L) (T,L) (L,L)
1. HR2 = ⋅? KR HR2 = ⋅oKR HR2 = ϒ ⋅KR HR2 = Ψ ⋅KR
2. ∆ = +eR ? eR ∆ = +eR ¡ eR ∆ = +eR θ eR ∆ = Γ +eR eR
3. ∆ = + R ? R ∆ = + R R ∆ = Ω + R R ∆ = Λ + R R
Çizelge 8.1’in 1. numaralı satırında, üreteç eğrileri light-like olan, sırasıyla, space-like, time-like ve light-like eksenli time-like dönel yüzeylerin ortalama eğrilikleri ile Gauss eğrilikleri arasındaki bağıntılar (sırasıyla, (7.6), (7.11) ve (7.16) ’da) belirtilmiştir.
Burada, , ve oϒ Ψ vektörel fonksiyonları 1 ’e eşit ise H2 =K bağıntısı bulunur. Bu ise yüzeylerin asli eğriliklerinin eşit, yani umbilik noktaya sahip olmaları demektir.
Çizelge 8.1’in 2. numaralı satırında, üreteç eğrileri light-like olan, sırasıyla, space-like, time-like ve light-like eksenli time-like dönel yüzeylerin Gauss dönüşümleri ile bu yüzeylerin Gauss dönüşümlerinin Laplace-Beltrami operatörleri arasındaki bağıntılar (sırasıyla, (7.9), (7.14) ve (7.19) da) verildi. Burada, eğer ¡ , θ ve Γ vektörel fonksiyonları sıfıra eşit ise ∆ = olur. Bu ise dönel yüzeylerin birinci türden (1-e e tipinde) pointwise Gauss dönüşümü’ne sahip olması demektir. Vektörel fonksiyonlar sıfırdan farklı olduğunda, yüzeyler ikinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümüne sahiptir.
Çizelge 8.1’in 3. numaralı satırında, üreteç eğrileri light-like olan, sırasıyla, space-like, time-like ve light-like eksenli time-like dönel yüzeyler ile bu yüzeylerin Laplace-Beltrami operatörleri arasındaki bağıntılar (sırasıyla, (7.10), (7.15) ve (7.20) de) belirtildi. Eğer, , ve Ω Λ vektörel fonksiyonları sıfıra eşit ise R R∆ = olur. Bu ise yüzeylerin birinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey olması demektir. Vektörel fonksiyonların sıfırdan farklı olması durumunda, yüzeyler ikinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey olmaktadır.
KAYNAKLAR
Akutagawa, K. and Nishikawa, S. 1990. The Gauss map and space-like surfaces with prescribed mean curvature in Minkowski 3-space, Tohoku Math. J., 42; 67-82.
Beem, J.K. and Ehrlich, P.E. 1981. Global Lorentzian Geometry. Marcel Dekker Inc., pp. 460, New York.
Beneki, Chr. C., Kaimakamis, G. and Papantoniou, B.J. 2002. Helicoidal surfaces in three-dimensional Minkowski space. J. Math. An. App., 275; 586-614.
Boothby, W.M. 1975. An Introduction to Differentiable Manifolds and Differential Geometry. AMS, pp. 474, USA.
Bombieri, E. 1983. Seminar on Minimal Submaniolds. Princeton Un. Press, pp. 358, New Jersey.
Bour, E. 1862. Memoire sur le deformation de surfaces. Journal de l'Êcole Polytechnique, XXXIX Cahier 1-148.
Chen, B.Y. 1973. Geometry of Submanifolds. Marcel Dekker Inc., pp. 310, New York.
Chen, B.Y. 1996. Report on submanifolds of finite type. Soochow J. Math., 22; 117-337.
Chern, S.S., Chen, W.H. and Lam, K.S. 1999. Lectures on Differential Geometry.
World Sci. Pub., pp. 356, Singapore.
Do Carmo, M. P. 1976. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs., pp. 503, New Jersey.
Do Carmo, M. P. and Dajczer, M. 1982. Helicoidal surfaces with constant mean curvature, Tohôku Math. J., 34; 425–435.
Duggal, K.L. and Bejancu, A. 1996. Lightlike Submanifols of Semi-Remannian Manifolds and Applications. Kluwer Ac. Pub., pp. 300, Netherlands.
Eisenhart, L.P. 1909. A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Ginn and Company, pp. 474, USA.
Fomenko, A.T. and Tuzhilin, A.A. 1962. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three Dimensional Space. AMS, pp. 142, USA.
Güler, E. 2005. 3-boyutlu Minkowski uzayında helisoidal yüzeyler, Yüksek lisans tezi.
Gazi Üniversitesi, 103 s., Ankara.
Güler, E. 2007. Bour’s theorem and light-like profile curve, Yokohama Math. J., 54(1);
55-77.
Güler, E., Yaylı, Y. and Hacısalihoğlu, H.H. 2010. Bour’s theorem on Gauss map in 3-Euclidean space, Hacettepe J. Math. Stat. (to appear).
Gray, A. 1998. Modern Differential Geometry. CRC Press, pp. 1053, Florida.
Hacısalihoğlu, H.H. 1972. 2 ve 3 Boyutlu Uzaylarda Analitik Geometri. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, 7. Baskı, 453 s., Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. 1982. Diferensiyel Geometri. Cilt I., Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, 4. Baskı, 272 s., Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. 1994. Diferensiyel Geometri. Cilt II., Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, 3. Baskı, 340 s., Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. ve Ekmekçi, N. 2003. Tensör Geometri. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, 256 s., Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. and Güler, E. 2010. Time-like rotational surfaces with light-like profile curve (submitted).
Ikawa, T. 1985. On curves and submanifolds in an indefinite Riemannian manifolds, Tsukuba J. Math.,9; 353-371.
Ikawa, T. 2000. Bour's theorem and Gauss map, Yokohama Math. J., 48(2); 173-180.
Ikawa, T. 2001. Bour's theorem in Minkowski geometry, Tokyo J. Math., 24(2); 377-394.
Kenmotsu, K. 2003. Surfaces-with Constant Mean Curvature. AMS, pp. 142, USA.
Kim Y.H. and Yoon, D.W. 2000. Ruled surfaces with pointwise 1-type Gauss map, J.
Geom. Phys., 34; 191-205.
Kim Y.H. and Yoon, D.W. 2004. Classification of ruled surfaces in Minkowski 3-spaces, J. Geom. Phys., 49; 89-100.
Kolmogorov, A.N. and Yushkleich, A.P. 1996. Mathematics of the 19th Century:
Geometry, Analytic Function Theory. Birkhäuser, pp. 291, Germany.
Kühnel, W. 1950. Differential Geometry Curves-Surfaces-Manifolds. AMS, 2006, second edition, pp. 380, USA.
Kreyszig, E. 1957. Differential Geometry. Dover Pub., pp. 352, USA.
Lin, I.H. 2005. Geometric Linear Algebra. Vol. 1., World Sci. Pub., pp. 856, Singapore.
Lin, I.H. 2008. Geometric Linear Algebra. Vol. 2., World Sci. Pub., pp. 806, Singapore.
Millman, R.S. and Parker, G.D. 1977. Elements of Differential Geometry. Prentice Hall Inc., pp. 265, New Jersey.
Nomizu, K. and Sasaki, T. 1994. Affine Differential Geometry. Cambridge Un. Press, pp. 263, New York.
O’Neill, B. 1966. Elementary Differential Geometry. Academic Press, pp. 411, New York, London.
O’Neill, B. 1983. Semi Riemannian Geometry. Academic Press, pp. 468, New York, London.
Oprea, J. 1997. Differential Geometry and its Applications. Prentice-Hall Inc., pp. 388, New Jersey.
Osserman, R. 1986. A Survey of Minimal Surfaces. (first print 1969), Dover Pub. Inc., pp. 207, New York.
Pressley, A. 2002. Elementary Differential Geometry. Springer-Verlag, second printing, pp. 332, London.
Rado, T. 1951. On The Problem of Plateau. Chelsea Pub., pp. 109, New York.
Sasahara, N. 2000. Space-like helicoidal surfaces with constant mean curvature in Minkowski 3-space, Tokyo J. Math., 23; 477-502.
Sodsiri, W. 2005. Ruled surfaces of Weingarten type in Minkowski 3-space, Katholieke Universiteit Leuven, Ph.D. Thesis, pp. 154, Leuven (Heverlee).
Struik, D.J. 1894. Lectures on Classical Differential Geometry. Dover Publications Inc.
pp. 232, New York.
Taimanov, I.A. 2008. Lectures on Differential Geometry. EMS. pp. 211, Germany.
Uras, F. 1992. Diferensiyel Geometri II Dersleri. Yıldız Teknik Ün., 205 s. İstanbul.
Verstraelen, L., Walrave, J. and Yaprak, Ş. 1994. , The minimal translation surfaces in Euclidean space, Soochow J. Math., 20(1); 77-82.
Weatherburn, C.E. 1984. 3-Boyutlu Diferensiyel Geometri. Western Australia Un., Çeviri: Ilgaz, Z.A., Karadeniz Ün. Fen Ed. Fak., 157 s., Trabzon.
Weinstein, T. 1995. An Introduction to Lorentz Surfaces. Rutgers University, New Brunswick, pp. 204, New Jersey.
Weisstein, E.W. 2003. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, pp.
3242, USA.
Xin, Y. 2003. Minimal Submanifolds and Related Topics. World Sci. Pub., pp. 262, Singapore.
Yano, K. and Kon, M. 1984. Stuctures on Manifolds. Series in Pure Mathematics, Vol.
3, World Sci. Pub., pp. 508, Singapore.
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Erhan GÜLER Doğum Yeri : Ankara
Doğum Tarihi : 28.05.1973 Medeni Hali : Evli
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Kocatepe Mimar Kemal Lisesi, Ankara (1987-1990) Lisans : Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü, Samsun (1993-1997) Yüksek Lisans : Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Ankara (2003-2005) Doktora : Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Ankara (2007-2010)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Milli Eğitim Bakanlığı, Matematik Öğretmeni Samsun (1998-2002), Ankara (2002-...) Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı
Ankara (2007-...)
Yayınları (SCI ve diğer)
1. Güler, E. (with Hacısalihoğlu, H.H.) 2010. Time-like rotational surfaces with light-like profile curve (submitted).
2. Güler, E. (with Yaylı, Y., Hacısalihoğlu, H.H.) 2010. Bour’s theorem on Gauss map in 3-Euclidean space, Hacettepe J. Math. Stat. (to appear).
3. Güler, E. 2008. Bour’s theorem on time-like helicoidal surfaces with (L,L)–type in Minkowski 3–space. Beykent University J. of Sci. and Tech., 2(1); 82-94.
4. Güler, E. (with Vanlı Turgut, A.) 2008. On the mean, Gaussian, the second Gaussian and the second mean curvature of the helicoidal surfaces with light-like axis in R . Tsukuba Math. J., 32(1); 49-65. 31
5. Güler, E. 2007. Bour’s theorem and light-like profile curve. Yokohama Math.
J., 54(1); 55-77.
6. Güler, E. (with Vanlı Turgut, A.) 2006. Bour's theorem in Minkowski 3-space.
J. Math. Kyoto, 46(1); 47-63.