Üreteç Eğrisi Light-like Olan Time-like Dönel Yüzeyler

3-boyutlu Minkowski uzayında, dönme eksenleri, sırasıyla, (1,0,0), (1,0,1) ve (0,1,1) doğrultman vektörleri (sırasıyla, space-like, time-like ve light-like) olan doğruları invaryant bırakan semi-ortogonal dönme matrislerinin, sırasıyla, S , ₁ T ve ₁ L oldukları ₁ 5. bölümde verilmişti. Bundan sonraki işlemler bu matrisler kullanılarak yapılmıştır.

Burada, X = , S₁ T veya ₁ L matrisleri için ₁

i.) X ⋅ =l l,

ii.) X^t

ε

X = ,

ε ε

=diag(1,1, 1)− , iii.) detX = + 1

özelikleri vardır.

3-boyutlu Minkowski uzayında, u ∈ , I ^{u∈ R_\ 0}

{ }

için I ⊂ R aralığı üzerinde tanımlı ve C ^k

(

^k∈

)

sınıfından üç fonksiyon f, g ve h olsun. Eğer

γ ( ) (

u = f u g u h u( ), ( ), ( )

)

üreteç eğrisi light-like bir eğri ise bu eğri için

( )

^{u d}

( )

^{u 0}

γ

′ = du

γ

≠ ve <

γ

′

( ) ( )

u ^,

γ

′ u > =L ⁰

olur. Böylece elde edilen dönel yüzeylerin en genel parametrik gösterimleri

( )

^,

( ) ( )

R u v =X v ⋅

γ

u (6.1)

biçimindedir (Güler 2007).

Örnek 6.1.1. E de bir light-like üreteç eğrisi (Şekil 6.1) ³₁ ^{∀ ∈ R_u \ 0}

{ }

^için

( )

^u

(

^{u u2, , ( )u}

)

γ

=

ϕ

(6.2)

formunda verildiğinde

( )

^{u 0}

γ

′ ≠ ve <

γ

′

( ) ( )

u ^,

γ

′ u > =L ⁰

olup üreteç eğrisi üzerindeki

ϕ

fonksiyonu

( )u 4u2 1du c

ϕ

=

∫

+ + , c ∈ R ile belirlidir (Güler 2007).

(a) (b) Şekil 6.1 Bir light-like üreteç eğrisi

l ekseni space-like olduğu zaman, E de l eksenini ₁³ x₁ eksenine dönüştüren bir

ile belirlidir (Güler 2007).

(a) (b) Şekil 6.2 (S,L)-türü bir time-like dönel yüzey

Önerme 6.1.1. (S,L)-türündeki bir dönel yüzey null üreteç eğrili ise (Şekil 6.2) dönel

ile belirlidir (Güler 2007).

(6.3) den, H ortalama eğriliği ve H =0 diferensiyel denklemi hesaplanır. Dönel yüzeyin üreteç eğrisindeki

ϕ

(u) fonksiyonu bulunur.

l ekseni time-like olduğu zaman, E de l eksenini ³₁ x eksenine dönüştüren bir ₃ Şekil 6.3 (T,L)-türü bir time-like dönel yüzey

Önerme 6.1.2. (T,L)-türündeki bir dönel yüzey null üreteç eğrili ise (Şekil 6.3) dönel

ile belirlidir (Güler 2007).

l ekseni light-like olduğu zaman, E de l eksenini ³₁ x₂x₃ e dönüştüren bir Lorentz Şekil 6.4 (L,L)-türü bir time-like dönel yüzey

Önerme 6.1.3. (L,L)-türündeki bir dönel yüzey null üreteç eğrili ise (Şekil 6.4)

ile belirlidir (Güler 2007).

6.2 Light-Like Üreteç Eğrisi ve Bour Teoremi

Bu kısımda, (S,L), (T,L) ve (L,L)-türlerindeki helisoidal ve dönel yüzeyler arasındaki izometrik bağıntılar, Bour teoremi yardımı ile incelenmiştir. Bu çalışmada ele alınan yüzeylerin birinci temel form bileşenleri E, F ve G için Q=EG−F² < olup, 0 E ₁³ uzayında yalnızca time-like yüzeyler üzerinde incelemeler yapılmıştır.

6.2.1 (S,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi

Burada, dönme ekseni (1,0,0) space-like vektörü, üreteç eğrisi light-like eğri olan helisoidal ve dönel yüzeyler kullanılarak, E , 3-boyutlu Minkowski uzayında Bour ³₁ teoremi verilmiştir.

Teorem 6.2.1. Dönme ekseni, doğrultman vektörü (1,0,0) space-like vektörü olan



helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre

2

dönel yüzeyine izometriktir. Burada

ϕ

_R, dönel yüzeyde u ya bağlı ve

2 2 2 2 2 2 2

diferensiyel denklemin çözümünden elde edilen fonksiyon,

ϕ ϕ

= _H =2⁻¹u 4u²+ +1 2 sinh (2 )^{−2 −1} u ,

u_R = − +u²

ϕ

² , ^{∀a u v, , ∈ R_\ 0}

{ }

^_

ile belirlidir (Güler 2007).

İspat.

γ

( )u =(u u², , ( ))

ϕ

u üreteç eğrisi bir light-like eğridir. l dönme eksenini dik olarak kesen bir doğru,

γ

eğrisine dayanarak hareket etsin. Bu durumda l doğrusu etrafında dönerken oluşan helisoidal yüzeyin parametrik gösterimi, ∀a u^, H ∈ R_^{\ 0}

{ }

_,

0≤v_H ≤2

π

için

2

olmak üzere, helisoidal yüzeyin birinci temel formunun bileşenleri ve yay elementi, sırasıyla,

H u v üzerindeki eğrilerin bu helislere dik olma koşulu

(

^{2auH +}

^ϕ

^{H −uH}

^ϕ

^H′

)

^{duH +}

(

^{a2 −uH2 +}

^ϕ

^H2

)

^{dvH = 0}

olup, bu ifade düzenlenirse

2 2 2

2 2 2

ifadesi yay elementinde yerine yazılırsa

( )

²

( )

olarak alındığında (6.13) ile belirlenen yay elementi

2 2 2 2

( )

H H H H H

ds =du + f u dv (6.14)

halini alır. Öte yandan, (S,L)-türünde olan dönel yüzey

2

ile belirli olup (Güler 2007)

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

4 1

R R R R R R R

ds = u + −

ϕ

′ du + −u +

ϕ

dv (6.16)

yay elementine sahiptir. Burada

( )

²

2 2

2 2

4 1 ^{R R R}

R R R R

R R

u u u du

u

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− ′

= + − ′ −

− +

∫

^{, f uR( R)= −uR2 +}

^ϕ

^{R2 , vR =vR}

olarak alınırsa (6.16) ile verilen ifade

2 2 2 2

( )

R R R R R

ds =du + f u dv (6.17)

haline dönüşür.

(a) (b) Şekil 6.5 (S,L)-türü bir time-like helisoidal yüzey

(6.13) ile (6.16) ifadeleri karşılaştırıldığında ve

H R

u =u , v_H =v_R, f_H(u_H)= f u_R( _R)

olarak alındığında, H u( _H,v_H) ve R u v( _R, _R) yüzeyleri arasında bir izometri elde edilir.

( )

²

diferensiyel denklemi elde edilir.

Böylece; E , 3-boyutlu Öklid uzayında geçerli olan Bour teoreminin, ³ E , 3-boyutlu ³₁ Minkowski uzayındaki space-like eksenli ve lightlike üreteç eğrili, yani (S,L)-türünde olan, time-like helisoidal yüzey ile (S,L)-türünde olan time-like dönel yüzey için de geçerli olduğu görüldü. Yüzey çiftinin E uzayında da izometrik olduğu bu teorem ile ₁³ belirlendi.

Teorem 6.2.2. Teorem 6.2.1 deki iki yüzey aynı Gauss dönüşümüne sahip ise

²

(

u−

ϕϕ

′

)

=

ϕ ϕ

R R′,

(

^2uϕ−a

)

^{sinh( )v +}

(

^{2u2 −aϕ′}

)

^{cosh( )v =2}

⁽

^u−ϕϕ′

⁾

^_ ^{−u2 +ϕ2cosh(vR)+ϕRsinh(vR)}_

(

²uϕ−a

)

^{cosh( )}v −

(

²u² −aϕ′

)

^{sinh( )}v =²

(

u−ϕϕ′

)

^ −u²+ϕ^2sinh(vR⁾+ϕR^cosh(vR^) diferensiyel denklemleri elde edilir. Burada

( )u 4u2 1du c

ϕ =

∫

+ + , c ∈ R ,

ϕR, Teorem 6.2.1 deki diferensiyel denklemden elde edilen ve u ya bağlı olan bir fonksiyon ve ^{_a u v, , ∈R_\ 0}

{ }

^için

2 2 2

2

R

au u

v v du

a u

ϕ ϕ

ϕ + − ′

= −

∫

− +

ile belirlidir (Güler 2007).

İspat. (6.9) ile belirli olan helisoidal yüzeyin H ve _u H diferensiyellerini alarak _v

(

^{2, sinh( ), cosh( )}

)

Huu =

ϕ

′′ v

ϕ

′′ v ,

(

^{0,sinh( )} cosh( ),cosh( ) sinh( )

)

Huv = v +

ϕ

′ v v +

ϕ

′ v ve

(

^{0, cosh( )} sinh( ), sinh( ) cosh( )

)

Hvv = u v +

ϕ

v u v +

ϕ

v

elde edilir. Birinci ve ikinci temel formun bileşenleri hesaplandığında, sırasıyla,

2 2

4 1

EH = u + −ϕ′ ,

H 2

F = au+ −ϕ uϕ′,

2 2 2

GH =a −u +ϕ ,

( )

2

H

H

L u

Q

ϕϕ′ ϕ′′

− + Ψ

= ,

H

H

M

Q Θ + Γ

=

ve

H

H

N

Q

ξ

+ Ω

=

olur. Burada

(

²

)

²

QH = − au+ −ϕ uϕ′ ,

( )

^{2 2}

(

²

)

( , )u v 2uϕ a sinh ( )v cosh ( )v  2 2u aϕ′ sinh( ) cosh( )v v

Ψ = − ⋅ + + − ⋅ ,

( ) (

²

)

( , )u v 2^ 2uϕ a ϕ′ 2u aϕ′ ^ sinh( ) cosh( )v v

Θ =  − + − ⋅ ,

( ) (

²

)

^{2 2}

( , )u v ^ 2uϕ a 2u aϕ ϕ′ ′ ^ sinh ( )v cosh ( )v 

Γ = − + − ⋅ + ,

( ) (

²

)

( , )u v 2 2u a u 2u a sinh( ) cosh( )v v ξ = ^ ϕ− + − ϕ ϕ′ ^⋅

ve

( ) (

²

)

^{2 2}

( , )u v ^ 2uϕ a ϕ 2u aϕ^′ u^ sinh ( )v cosh ( )v 

Ω = − + − ⋅ + 

ile belirlidir. Bu eşitlikleri kullanarak, yapılan hesaplamalar sonunda helisoidal yüzeyin e Gauss dönüşümü ve H H ortalama eğriliği, sırasıyla, _H

( ) ( )

olarak bulunur, burada ortalama eğriliğin payındaki fonksiyon

(

^{2 2}

) ^{( )} (

^{2 2 2}

) ^{( )}

ile belirlidir. Öte yandan, dönel yüzeyin

( )

türevleri kullanılarak, e_R Gauss dönüşümü hesaplanırsa

( )

olarak bulunur. Burada dönel yüzeyin ikinci parametresi

2 2 2

birinci temel formun katsayıları

2 2 2

( )

^{2 2}

ile belirlidir. Ayrıca, dönel yüzeyin ikinci türevleri

(

²

)

ile belirlidir. Hesaplamalar sonunda, ikinci temel formun bileşenleri

R

L C

Q

= ,

( ) (

^{2 2}

)

2 _R

R

R

u B u A

M

Q

ϕϕ

′

ϕ ϕ

− − + − + −

=

ve

R 0 N =

olur. Burada, L içinde olan ve kısalık için C ile gösterilen fonksiyon _R

^C=2

(

^{− +1}

^ϕ

^′2+

^ϕϕ

^′′

)

^{⋅ − +}

(

^u

^{ϕϕ ϕ ϕ}

^{′− R R′}

)

⁻²

(

^{− +u}

^ϕϕ

^′

)

^⋅

(

^{−u2 +}

^{ϕ ρ}

^{2 ( )u −}

^η

^{( )u}

^ϕ

^R

)

ile belirlidir. Böylece, dönel yüzeyin ortalama eğriliği

3 2

( )

R 2

R

H u

Q

= ℘ (6.21)

olup, ortalama eğriliğin payındaki fonksiyon

(

²

) ^{( )} (

^{2 2}

)

²

( )u u

ϕϕ ϕ

′ _R C 4

ϕϕ

′ u B

ϕ

u A

ϕ

_R

℘ = − − + + − − −

ile belirlidir. Helisoidal yüzey ve dönel yüzey aynı Gauss dönüşümüne sahip ise (6.18) ile (6.20) karşılaştırıldığında, aşağıdaki diferensiyel denklemler ortaya çıkar

²

(

u−

ϕϕ

′

)

=

ϕ ϕ

R R′ ,

(

^2u

^ϕ

^−a

)

^{sinh( )v +}

(

^{2u2 −a}

^ϕ

^′

)

^{cosh( )v =2}

⁽

^u−

^ϕϕ

^′

⁾

^_ ^{−u2 +}

^ϕ

^2cosh(vR)+

^ϕ

^Rsinh(vR)_^,

(

²u

ϕ

−a

)

^{cosh( )}v −

(

²u² −a

ϕ

′

)

^{sinh( )}v =²

(

u−

ϕϕ

′

)

^ −u²+

ϕ

^2sinh(vR⁾+

ϕ

R^cosh(vR^).

(6.19) ile (6.21) ifadeleri özdeş olarak sıfır ise

(

^{4u2+ −1}

^ϕ

^′2

)

^⋅

^{( ξ}

^{+ Ω +}

⁾ (

^{a2 −u2+}

^ϕ

²

)

^⋅_²

⁽

^u−

^ϕϕ

^′

⁾

^{+ Ψ}

^ϕ

^′′_

( ) ( )

2 2au

ϕ

u

ϕ

′ 0

− + − ⋅ Θ + Γ =

ve

(

^u−

^{ϕϕ ϕ}

^{′+ R2}

)

^C−4

( ^ϕϕ

^′−u

) (

^B

^ϕ

^{2−u2 −A}

^ϕ

^R

)

^{2 = 0}

diferensiyel denklemleri elde edilir.

Şekil 6.2 ile Şekil 6.5 de görülen ve birbirine izometrik olan (S,L) türündeki time-like helisoidal yüzey ile dönel yüzey çiftinin Gauss dönüşümlerinin aynı olma koşulları bu teorem ile verilmiş oldu. Bulunan son iki diferensiyel denklem ise helisoidal yüzey ve dönel yüzeyin minimal olduklarını gösterir.

Sonuç 6.2.1. Bour teoremine göre birbirine izometrik olan (S,L) türündeki time-like helisoidal ve dönel yüzey çiftinin ortalama eğriliklerinin eşit olması durumunda

( )

3

2 2 2 2

( , ) 2

( ) _{R R} 4( ) _R

u v au u

u u u u

ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

 ′ 

ℑ + −

 

= ′ ′ ′

℘  − + − − + − + + 

bağıntısı elde edilir. Her iki yüzeyin minimal veya sabit ortalama eğrilikli olması halinde de bu bağıntı sağlanmaktadır.

Diğer bir durum ise (T,L)-türüdür. Bundan sonraki teoremler için ispat teknikleri benzer olduğundan ispatlar kısaca verilmiştir.

6.2.2 (T,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi

Bu durum için, dönme ekseni (0,0,1) time-like vektörü ve üreteç eğrisi bir light-like eğri olan helisoidal ve dönel yüzeyler kullanılarak, E , 3-boyutlu Minkowski uzayında Bour ³₁ teoremi verilmiştir.

Teorem 6.2.3. Dönme ekseni (0,0,1) time-like vektörü ile belirli olan

( )

helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre

( )

dönel yüzeyine izometriktir, burada

1 1 1

ile belirlidir (Güler 2007).

İspat.

γ

( )u =(u u², , ( ))

ϕ

u üreteç eğrisi bir light-like eğri olsun. (6.5) ile verilen helisoidal yüzeyin parametrik gösterimi (Şekil 6.6)

( )

(a) (b) Şekil 6.6 (T,L)-türü bir time-like helisoidal yüzey

Burada a ≠ olan bir sabittir. Helisoidal yüzeyin birinci temel form bileşenleri, 0 sırasıyla,

2 2

4 1

H H H

E = u + −

ϕ

′ ,

F_H = −u_H² +a

ϕ

_H′

ve

G_H =u_H⁴ +u²_H −a²

olarak bulunur. ( )

γ

u light-like bir eğri ve Q < olduğundan _H 0 H u

(

H^,vH

)

bir time-like yüzeydir. Böylece, hesaplamalar sonunda helisoidal yüzeyin yay elementi

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 4 2 2 2

4 2 2

4 1 ^{H H}

H H H H H H H

H H

u a

ds u du u u a dv

u u a

ϕ ϕ

 − + ′ 

 ′ 

= + − − + + −

 + − 

 

(6.24)

olur. Diğer yandan, (T,L)-türündeki helisoidal yüzeyde adım sıfıra eşit olduğunda

ile belirli olan dönel yüzey aşağıdaki yay elementine sahiptir

( )

(6.24) ile (6.26) karşılaştırılırsa

u_H =u_R, v_H =v_R, f_H(u_H)= f u_R( _R)

Bu teorem ile birlikte, 3-boyutlu Öklid uzayında geçerli olan Bour teoreminin, 3-boyutlu Minkowski uzayındaki time-like eksenli ve lightlike üreteç eğrili, yani

(T,L)-türünde olan time-like helisoidal ve time-like dönel yüzeyler için de geçerli olduğu

diferensiyel denklemleri ortaya çıkar. Burada

4 2 2

ile belirlidir (Güler 2007).

İspat. (6.22) helisoidal yüzeyinin birinci ve ikinci temel formlarının bileşenleri,

olur. Helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü ve ortalama eğriliği, sırasıyla,

( ) ( )

3 2

( , )

H 2

H

H u v Q

=

χ

(6.28)

olur, burada

(

^{2 2}

)

³

^{( )} (

²

)

²

^{( )}

²

( , )u v 4u 1 2u 2a sin( ) cos( )v v a u u 2a u

χ

= + −

ϕ

′ ⋅ −^ −

ϕ

′ + −

ϕ

′ − −

ϕ

′

⋅

(

^{cos ( )2} v −^{sin ( )2} v

)

^+²

(

u⁴_H +u_H² −a²

)

⋅^²u

⁽

²a−

ϕ

′

⁾

sin( ) cos( )v v +

(

a−u²

ϕ

′

)

^

(

²

) ( )

²

(

^{2 2}

) (

²

)

2 u a

ϕ

′ ^ 2a

ϕ

′ ^2u cos ( )v sin ( )v 2 sin( ) cos( )u v v ^ a u

ϕ

′ ^

− − + ⋅ −  − − + − 

ile belirli olan fonksiyondur. Ayrıca, dönel yüzeyin birinci temel formunun bileşenleri, sırasıyla,

2 2 2

ER =

λ

+

δ

−

µ

,

( )

R R R

F =u u

λ δ

− ,

4 2

R R R

G =u +u

olur. Buradan

(

^{2 1}

)

²

( )

^{2 2}

R R R R

Q =^ u +

µ

− − +

λ

u

δ

^u

ile belirlidir. Ayrıca

4 2 2

uR = u +u −a ,

3

2 2

( )

R

u u

u u a

λ

= − +

ϕ

′+ u⁺ ,

^{( ) 2 2}

(

³

)

²

olmak üzere, dönel yüzeyin Gauss dönüşümü

( )

olmak üzere, ikinci temel formun bileşenleri hesaplanırsa, sırasıyla,

( )

bulunur. Bu sonuçları kullanarak

(

^{2 2 2}

) (

²

)(

^{2 2}

)

olmak üzere, dönel yüzeyin ortalama eğriliği

3 2

Helisoidal yüzey ve dönel yüzeyin Gauss dönüşümleri aynı ise, sırasıyla, (6.27) ve (6.29) ile belirli olan ifadelerden, teoremde verilen eşitlikler elde edilir. Şekil 6.3 ile Şekil 6.6 ’da görülen ve izometrik olan yüzey çiftinin Gauss dönüşümlerinin aynı olma koşulları bu teorem ile verilmiş oldu. Sırasıyla, (6.28) ve (6.30) ile belirli olan ortalama eğrilikler için, H_H = ve 0 H =_R 0 ise, yani, sırasıyla,

χ

( , )u v ve ( , )

π

u v sıfıra eşit ise bu iki diferensiyel denklem, helisoidal yüzey ile dönel yüzeyin minimal yüzeyler olduklarını gösterir.

Sonuç 6.2.2. Bour teoremine göre birbirine izometrik olan (T,L) türündeki time-like helisoidal ve dönel yüzey çiftinin ortalama eğriliklerinin eşit olması durumunda

( )( )

halinde de bu bağıntı sağlanmaktadır.

6.2.3 (L,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi

Bu durum için, dönme ekseni (0,1,1) light-like vektörü ve üreteç eğrisi light-like eğri olan helisoidal ve dönel yüzeyler kullanılarak, E , 3-boyutlu Minkowski uzayında Bour ³₁ teoremi verilmiştir.

Teorem 6.2.5. Dönme ekseni (0,1,1) light-like vektörü ile belirli olan

2

helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre

( )

dönel yüzeyine izometriktir, burada

uR = − + , u

ϕ

diferensiyel denklemi ile belirlidir (Güler 2007).

İspat.

γ

( )u =(u u², , ( ))

ϕ

u üreteç eğrisi bir light-like eğri olsun. Buradan (6.7) ile verilen helisoidal yüzeyin (Şekil 6.7) parametrik ifadesi

( )

(a) (b) Şekil 6.7 (L,L)-türü bir time-like helisoidal yüzey

Helisoidal yüzeyin birinci temel form bileşenleri hesaplanırsa, sırasıyla,

2 2

4 1

H H H

E = u + −

ϕ

′ ,

( ) (

²

) ( )

2 1

H H H H H H

F = u −u +

ϕ

+ u +a −

ϕ

′ ,

( )

²

H H H

G = −u +

ϕ

bulunur.

γ

( )u light-like bir eğri ve Q < olduğundan _H 0 H u

(

H^,vH

)

bir time-like yüzeydir. Hesaplamalar sonucunda helisoidal yüzeyin yay elementi

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

2

2 1

4 1 ^{H H H H H}

H H H H

H H

u u u a

ds u du

u

ϕ ϕ

ϕ ϕ

  − + + + − ′  

 ′ 

= + − − − + 

(

uH

ϕ

H

)

²dvH²

+ − + (6.34)

( ) ( )

ile belirlidir. (6.34) ile (6.35) karşılaştırılıp

H R

diferensiyel denklemi elde edilir. Burada

( ) 4 2 1

J u = − +u

∫

u + du^{, a u v ∈ R_, , \ 0}

^{{ }}

ile belirlidir. Böylece, bu teorem sonucunda, 3-boyutlu Öklid uzayında geçerli olan Bour teoreminin, 3-boyutlu Minkowski uzayındaki light-like eksenli ve lightlike üreteç eğrili, yani (L,L)-türünde olan time-like helisoidal ve time-like dönel yüzeyler için de sağlandığı görüldü.

Teorem 6.2.6. Dönme ekseni (0,1,1) light-like vektörü ile belirli olan iki yüzey aynı Gauss dönüşümüne sahip ise

(

^{u2 +uv−}

^ϕ

^v−a

) ^ϕ

^′+v

^ϕ

^{+u2+uv+ =a}

^{α ϕ}

^{1 R′ +}

^{α ϕ}

^{2 R +}

^α

^3,

( σ

− +u

ϕ ϕ )

′+2⁻¹v²

ϕ ϑ β ϕ

+ = 1 _R′ +

β ϕ

2 _R+

β

3,

( σ

−v²

) ϕ

′+

(

2⁻¹v²−1

) ϕ ϑ θ ϕ

+ = 1 _R′ +

θ ϕ

2 _R +

θ

3

diferensiyel denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin içindeki fonksiyonlar

σ

( , )u v =2⁻¹v²

ϕ

−u v² −av,

ϑ

( , )u v = −2u³−2au+u v² −2⁻¹uv²+av,

α

₁( , )u v = −u v_{R R} +v_R

ϕ

_R −u²_R,

α

₂( , )u v = −u v v_{R R R}² ′ +v u_R ′_R +v v_{R R}² ′

ϕ

_R +u v v_{R R R}² ′ ,

α

₃( , )u v = −u v u_{R R R}′ +u u²_{R R}′ ,

^β

^{1( , )u v = −}

(

^{1 2−1vR2}

) ^ϕ

^{R +}

(

^{2−1vR2 − −1 u vR R}

)

^uR,

β

₂( , )u v =2⁻¹v u_R² _R′,

β

3( , )u v =

(

2⁻¹v_R²−u_R²+u v_{R R}

)

u u_{R R}′ ,

θ

₁( , )u v =2⁻¹u v_{R R}² −2⁻¹v_R²

ϕ

_R −u v_{R R}² ,

θ

₂( , )u v = −u v v v_{R R R R}′ ² +2⁻¹v u_R² _R′ +v v_{R R}′ +u_R′,

θ

₃( , )u v = −2⁻¹u v u_{R R}² _R′ −u u_{R R}′ −2u u³_{R R}′ +u v u²_{R R R}′

ile belirlidir. Ayrıca,

ϕ ϕ

= _H =2⁻¹u 4u² + +1 2 sinh (2 )^{−2 −1} u ,

uR = − + , u

ϕ

(

²

) ⁽

¹

⁾

²

R 2

u a

v v u du

u

ϕ ϕ

 + − ′ 

 

= + +

 − + 

 

∫

^{, a u v ∈ R_, , \ 0}

^{{ }}

bağıntıları vardır (Güler 2007).

İspat. (6.31) ile belirli olan helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü ve ortalama eğriliği,

ile belirlidir. Ayrıca, (L,L)-türündeki dönel yüzeyin birinci temel formunun bileşenleri hesaplandığında, sırasıyla,

(

(L,L)-türündeki dönel yüzeyin ikinci temel formunun bileşenleri hesaplandığında, sırasıyla,

2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 1 3 2

ile belirlidir. Böylece, dönel yüzeyin Gauss dönüşümü ve ortalama eğriliği, sırasıyla,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 ^{R R}

R R R

R

R R

e

Q

α ϕ α ϕ α β ϕ β ϕ β θ ϕ θ ϕ θ

′ + +

 

 ′ 

=  + + 

 ′ + + 

 

, (6.38)

3 2

( , )

R 2

R

H u v Q

=

κ

(6.39)

olur. Burada, dönel yüzeyin ortalama eğriliği içindeki ( , )

κ

u v fonksiyonu,

( ) ( ) ⁽

Ayrıca, _R: d _R olan Gauss dönüşümlerinin aynı olma koşulları bu teorem ile verilmiş oldu. Eğer, (6.37) ve (6.39) ile belirli olan ortalama eğrilikler için, sırasıyla, H_H = ve 0 H =_R 0 olduğunda, yani, sırasıyla, ( , )

ς

u v = ve ( , ) 00

κ

u v = ise bu iki diferensiyel denklem, helisoidal yüzey ve dönel yüzeyin minimal yüzeyler olduğunu gösterir.

Sonuç 6.2.3. Bour teoremine göre birbirine izometrik olan (L,L) türündeki time-like helisoidal ve dönel yüzey çiftinin ortalama eğriliklerinin eşit olması durumunda

( , ) 3 halinde de bu bağıntı sağlanmaktadır.

7. ÜRETEÇ EĞRİSİ LIGHT-LIKE OLAN TIME-LIKE DÖNEL YÜZEYLERDE

Belgede TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması / (sayfa 74-112)