TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması /

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGHT-LIKE ÜRETEÇ EĞRİLİ TIME-LIKE HELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLER

Erhan GÜLER

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2010

(2)

TEZ ONAYI

Erhan GÜLER tarafından hazırlanan “3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGHT-LIKE ÜRETEÇ EĞRİLİ TIME-LIKE HELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLER” adlı tez çalışması 23/03/2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü MATEMATİK Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Jüri Üyeleri

Başkan : Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Üye : Prof. Dr. Baki KARLIĞA

Gazi Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Hurşit ÖNSİPER

Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU

Üye : Doç. Dr. Nejat EKMEKÇİ

Yukarıdaki sonucu onaylarım

Prof. Dr. Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

(3)

ÖZET

Doktora Tezi

3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGHT-LIKE ÜRETEÇ EĞRİLİ TIME-LIKE HELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLER

Erhan GÜLER

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Bu doktora tezi sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, minimal yüzeyler teorisinde yapılan çalışmalara tarihsel olarak kısaca değinilmiştir. İkinci bölümde, temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölüm, 3-boyutlu Öklid uzayına ayrılmıştır. Bu uzayda, harmonik-minimal olan helisoidal ve dönel yüzeyler incelenmiştir. Gauss dönüşümü üzerinde Bour teoremi verilmiş ve Gauss dönüşümünün helisoidal yüzeyi üzerinde ortalama ve Gauss eğrilikleri arasındaki bağıntılar gösterilmiştir. Dördüncü bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş Bour teoremi verilmiştir.

Minkowski 3-uzayında dönme ekseni türüne göre dönel ve helisoidal yüzeyler beşinci bölümde tanıtılmıştır. Altıncı bölümde, Bour teoremine göre birbirine izometrik, light- like üreteç eğrisine sahip olan time-like helisoidal ve time-like dönel yüzeyler verilmiştir. Light-like üreteç eğrisine sahip olan time-like dönel yüzeyler üzerinde Laplace-Beltrami operatörü, Gauss dönüşümü, ortalama eğriliği ve Gauss eğriliği arasındaki bağıntılar yedinci bölümde elde edilmiştir. Son bölümde ise tezin genel bir değerlendirmesi yapılmıştır.

Mart 2010, 143 sayfa

Anahtar Kelimeler: Helisoidal yüzey, dönel yüzey, üreteç eğrisi, ortalama eğrilik,

(4)

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

TIME-LIKE HELICOIDAL AND ROTATIONAL SURFACES WITH

LIGHT-LIKE PROFILE CURVE IN THREE DIMENSIONAL MINKOWSKI SPACE

Erhan GÜLER

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

This thesis contain eight chapter. In first chapter, some historical notes about minimal surfaces theory are given. In second chapter, basic definitions and concepts are given.

The third chapter is prepared for 3-dimensional Euclidean space. Harmonic-minimal helicoidal and rotational surfaces are studied in this space. Bour’s theorem on Gauss map are given and the relation between the mean and the Gaussian curvature on the helicoidal surfaces of the Gauss map are shown. In the fourth chapter, generalised Bour theorem in Euclidean 3-space is given. In Minkowski 3-space, rotational and helicoidal surfaces are explained as rotate axis-type in fifth chapter. Time-like helicoidal and time- like rotational surfaces that they are isometric by Bour’s theorem, have light-like profile curve are given in sixth chapter. Relations between Laplace-Beltrami operator, Gauss map, the mean curvature and the Gaussian curvature of the time-like rotational surfaces with light-like profile curve are obtained in seventh chapter. The thesis is evaluated in the last chapter.

March 2010, 143 pages

Key Words: Helicoidal surface, rotational surface, profile curve, mean curvature, Gaussian curvature, Laplace-Beltrami operator

(5)

TEŞEKKÜR

Çalışmamın her aşamasında bilgi ve önerilerini esirgemeyen, tezimi titizlikle inceleyen, değerli bilim adamı Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU’na (Bilecik Üniversitesi), çalışmalarıma verdikleri katkı ve desteklerinden dolayı danışmanım, değerli bilim adamı Prof. Dr. Yusuf YAYLI’ya (Ankara Üniversitesi), değerli bilim adamı Prof. Dr. Baki KARLIĞA’ya (Gazi Üniversitesi), değerli bilim adamı, pozitif insan Prof. Dr. A. Bülent EKİN’e (Ankara Üniversitesi), çalışmalarıma Japonya ’dan destek veren değerli bilim adamı Prof. Dr. Toshihiko IKAWA’ya (Meikai Üniversitesi), eserleri ile ilham kaynağım Fransız Matematikçi, değerli bilim adamı Prof. Dr. Jacques Edmond Emile BOUR (1832–1866) ’a, çalışmalarım süresince fedakarlıklar göstererek beni tüm içtenliği ile destekleyen ailemin tüm fertlerine ve bütün tanıdıklarıma en derin duygularımla teşekkür ederim.

Değerli Eşime ve biricik Kızıma…

Cennette en güzel mekânlardan birini paylaşacaklarına inandığım, manevi desteklerini her an hissettiğim,

Rahmetli Anneme ve Rahmetli Babama…

Matematik aşkını insanlara vermeyi bilenlere…

Erhan GÜLER Ankara, Mart 2010

(6)

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

SİMGELER DİZİNİ ... vi

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vii

ÇİZELGELER DİZİNİ ... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ... 6

3. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GAUSS DÖNÜŞÜMÜ ÜZERİNDE BOUR TEOREMİ ... 29

3.1 Harmonik-Minimal Olan Helisoidal ve Dönel Yüzeyler ... 29

3.2 Gauss Dönüşümü İçin Bour Teoremi ... 35

3.3 Gauss Dönüşümünün Helisoidal Yüzeyinin Eğrilikleri ... 42

4. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GENELLEŞTİRİLMİŞ BOUR TEOREMİ ... 45

4.1 Genelleştirilmiş Bour Teoremi ... 45

5. 3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA DÖNEL VE HELİSOİDAL YÜZEYLER ... 52

5.1 Dönel Yüzeyler ... 52

5.1.1 Ekseni space-like olan dönel yüzeyler ... 52

5.1.2 Ekseni time-like olan dönel yüzeyler ... 54

5.1.3 Ekseni light-like olan dönel yüzeyler ... 56

5.2 Helisoidal Yüzeyler ... 58

5.2.1 Ekseni space-like olan helisoidal yüzeyler ... 58

5.2.2 Ekseni time-like olan helisoidal yüzeyler ... 60

5.2.3 Ekseni light-like olan helisoidal yüzeyler ... 61

6. ÜRETEÇ EĞRİLERİ LIGHT-LIKE OLAN TIMELIKE DÖNEL YÜZEYLER VE BOUR TEOREMİ ... 63

6.1 Üreteç Eğrisi Light-like Olan Time-like Dönel Yüzeyler ... 63

(7)

6.2.1 (S,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi ... 68

6.2.2 (T,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi ... 81

6.2.3 (L,L)-türünden olan yüzeyler için Bour teoremi ... 90

7. ÜRETEÇ EĞRİSİ LIGHT-LIKE OLAN TIME-LIKE DÖNEL YÜZEYLERDE LAPLACE-BELTRAMI OPERATÖRÜ, GAUSS DÖNÜŞÜMÜ VE EĞRİLİKLER ... 101

7.1 Laplace-Beltrami Operatörü ... 101

7.2 Üreteç Eğrisi Light-like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde Gauss Dönüşümü ... 102

7.3 Üreteç Eğrisi Light-Like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde Laplace-Beltrami Operatörü, Gauss Dönüşümü ve Eğrilikler Arasındaki Bağıntılar ... 105

7.3.1 (S,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar ... 107

7.3.2 (T,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar... 116

7.3.3 (L,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar... 123

8. SONUÇ ... 135

KAYNAKLAR ... 138

ÖZGEÇMİŞ ... 142

(8)

SİMGELER DİZİNİ

G F

E, , Birinci Temel Formun Bileşenleri

) , ( vu

R Dönel Yüzey

e Gauss Dönüşümü

K Gauss Eğriliği

) , ( vu

H Helisoidal Yüzey

a Helisoidal Yüzeyin Adımı

N M

L, , İkinci Temel Formun Bileşenleri

ε

İşaret Matrisi

∆ Laplace-Beltrami Operatörü

H Ortalama Eğrilik

3

E 1 Üç Boyutlu Minkowski Uzayı

E 3 Üç Boyutlu Öklid Uzayı

)

γ(u Üreteç Eğrisi

)

ϕ(u Üreteç Eğrisindeki Fonksiyon

ds2 Yay Elementi

(9)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1 E de helis eğrisinin çembere izometrik dönüşümü ... 2 ³ Şekil 1.2 E de adım adım helisoid-katenoid izometrisi ... 3 ³ Şekil 1.3 E de bir helisoidal yüzey ... 5 ³₁ Şekil 1.4 E de bir dönel yüzey... 5 ³₁ Şekil 2.1 E de ³ z=ϕ( )x eğrisinin z ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen dönel yüzey ... 19 Şekil 2.2 E de katenari eğrileri ... 19 ³ Şekil 2.3 E de katenoid (dönel yüzey)... 20 ³ Şekil 2.4 E de z dönme eksenli helisoidal yüzey ... 21 ³ Şekil 2.5 E de regle yüzey ... 22 ³₁

Şekil 2.6 E de ³

(

ucos , sin ,v u v bv regle helisoidal yüzey ... 23

)

Şekil 3.1 E de bir dönel yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u

)

... 33 Şekil 3.2 E de bir helisoidal yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u+av

)

... 33 Şekil 3.3 E de bir helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, ³

2 2 2 2 2 2

sin cos cos sin

, ,

H

a v u v a v u v u

e

a u u a u u a u u

 − − − 

=  

+ + + + + +

 

... 33

Şekil 3.4 E de bir diğer dönel yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u²

)

... 34 Şekil 3.5 E de bir diğer helisoidal yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u²+av

)

... 34 Şekil 3.6 E de bir diğer helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, ³

² ²

2 2 3 2 2 3 2 2 3

sin 2 cos cos 2 sin

, ,

4 4 4

H

a v u v a v u v u

e

a u u a u u a u u

 − − − 

=  

+ + + + + +

 

... 34

(10)

Şekil 3.7 E de helisoidal yüzey, Gauss dönüşümü, dönel yüzey ve Bour ³

arasındaki geçişler ... 42

Şekil 5.1 E de space-like dönme eksenli bir dönel yüzey ... 53 ³₁ Şekil 5.2 E de time-like dönme eksenli bir dönel yüzey ... 55 ³₁ Şekil 5.3 E de light-like dönme eksenli bir dönel yüzey ... 57 ³₁ Şekil 5.4 E de space-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey ... 59 ³₁ Şekil 5.5 E de time-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey ... 60 ³₁ Şekil 5.6 E de light-like dönme eksenli bir helisoidal yüzey ... 61 ³₁ Şekil 6.1 Bir light-like üreteç eğrisi ... 64

Şekil 6.2 (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzey ... 65

Şekil 6.3 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzey ... 66

Şekil 6.4 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzey ... 67

Şekil 6.5 (S,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey ... 72

Şekil 6.6 (T,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey ... 83

Şekil 6.7 (L,L)-türünde bir time-like helisoidal yüzey ... 92

Şekil 7.1 (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e ... 102

Şekil 7.2 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 103

Şekil 7.3 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde e... 104

Şekil 7.4 (S,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde ∆ R ... 113

Şekil 7.5 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde ∆ e ... 119

Şekil 7.6 (T,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde ∆ R ... 122

Şekil 7.7 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde ∆ e ... 129

Şekil 7.8 (L,L)-türünde bir time-like dönel yüzeyde ∆ R ... 132

(11)

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 8.1 Time-like helisoidal ve dönel yüzeylerdeki bağıntılar ... 136

(12)

1. GİRİŞ

Yüzeyler teorisinde önemli özeliklere sahip olan dönel ve helisoidal yüzeyler, Riemann geometrisindeki 3-boyutlu Öklid uzayında uzun yıllardır çalışılmakta olup bu alanda halen yeni çalışmalar yapılmaktadır (Bour 1862, Eisenhart 1909, Kühnel 1950, Rado 1951, Kreyszig 1957, Fomenko ve Tuzhilin 1962, O'Neill 1966, 1983, Boothby 1975, Millman ve Parker 1977, Do Carmo ve Dajczer 1982, Nomizu ve Sasaki 1994, Verstraelen vd. 1994, Duggal ve Bejancu 1996, Chen 1996, Chern vd. 1999, Ikawa 2000, Pressley 2002, Xin 2003, Kenmotsu 2003, Weisstein 2003, Lin 2005, Sodsiri 2005, Lin 2008).

Minimal yüzeyler teorisi, 1740 yılında İsveçli Matematikçi Leonhard Euler (1707–1783)’in çalışmaları ile başladı ve 1760’da Fransız Matematikçi Joseph Louis Lagrange (1736–1813)’ın çalışmaları ile hız kazandı. Euler, 1740’da katenoidin minimal bir yüzey olduğunu gösterdi. Orijinal adı ‘allyside’ olan katenoidi, Belçikalı Fizikçi Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801–1883), katenari (catenary) eğrisinden esinlenerek katenoid (catenoid) olarak yeniden adlandırdı. 1776’da Fransız Matematikçi Jean Babtiste Meusnier (1754–1793) helisoidin bir minimal yüzey olduğunu gösterdi.

1842’de Belçikalı Matematikçi Eugene Charles Catalan (1814–1894) minimal olan tek regle yüzeyin helisoid olduğunu gösterdi (Gray 1998). Do Carmo ve Dajczer (1982) sabit ortalama eğrilikli helisoidal yüzeyleri çalıştılar. 3-boyutlu Öklid uzayındaki klasik yüzey geometrisinde minimal olan tek regle yüzeyin helisoid, dönel yüzeyin de katenoid olduğu bilinmektedir.

1860 yılında, Paris Bilimler Akademisi “Yüzeylerin Deformasyon Problemi” adlı bir yarışma düzenler. Yarışmaya Fransız Matematikçiler Jacques Edmond Emile Bour (1832–1866), Pierre Ossian Bonnet (1819-1892) ve İtalyan Matematikçi Delfino Codazzi (1824-1873) katılır. Ödülü “Théorie de la déformation des surfaces” (J. Ec.

Polyt., 1862) adlı çalışmasıyla Bour alır. Diğerleri de yaptıkları önemli çalışmalar ile onur ödüllerine layık görülür (Kolmogorov ve Yushkleich 1996).

(13)

İlginç özeliklere sahip, minimal yüzeylerden olan helisoid ve katenoid çiftinin birbirine izometrik olması (Şekil 1.1 ve Şekil 1.2), (Gray 1998), Bour tarafından klasik yüzeyler teorisine kazandırılmıştır.

(a) (b)

Şekil 1.1 E³ de helis eğrisinin çembere izometrik dönüşümü

Bour Teoremi. Bir helisoidal yüzey için bu yüzeye izometrik olan bir dönel yüzey vardır. Burada, helisoidal yüzey üzerindeki meridyen (helis) eğrilerine, dönel yüzey üzerindeki paralel (çember) eğrileri karşılık gelmektedir (Bour, p.82 theorem II, 1862).

Bu teoremde minimal ve aynı Gauss dönüşümüne sahip olma özelikleri genelde sağlanmaz. Japon Matematikçi Toshihiko Ikawa (2000), makalesinde 3-boyutlu Öklid uzayında Bour teoreminin sağlandığını ve helisoidal yüzey ile dönel yüzey çiftinin Gauss dönüşümleri eşit iken minimal yüzeyler olduklarını gösterdi.

Öte yandan, yarı-Riemann geometrisindeki 3-boyutlu Minkowski uzayı, 3-boyutlu Öklid uzayına göre daha karmaşık bir yapıya sahiptir. Örneğin bu uzaydaki dönme eksenleri space-like, time-like ve light-like olarak adlandırılır. Yarı-Riemann geometrisinde de çok fazla sayıda ve güzel çalışmalar yapılmaktadır (Ikawa 1985, 2001, Sasahara 2000, Hacısalihoğlu ve Ekmekçi 2003).

(14)

Şekil 1.2 E³ de adım adım helisoid-katenoid izometrisi

(15)

Ikawa (2001), E₁³ Minkowski 3-uzayında, eksen ve üreteç eğrisi türüne göre yüzeylerin space-like ve time-like olma koşullarını makalesinde belirledi. Ikawa burada, yalnızca space-like ve time-like dönme eksenleri; kısaca, (S,S), (S,T), (T,S) ve (T,T)-türlerini çalıştı. Bu anlamda, space-like (time-like) helisoidal yüzey üzerindeki helislere, space- like (time-like) dönel yüzey üzerindeki çemberler karşılık geldiğinde, bu yüzeylerin birbirine izometrik olduğunu, yani Minkowski 3-uzayında Bour teoreminin sağlandığını gösterdi. Yunanlı matematikçiler Beneki, Kaimakamis ve Papantoniou (2002), Minkowski 3-uzayında helisoidal yüzeyleri I, II, III ve IV. tür olarak sınıflandırdılar.

Güler (2005), Yüksek Lisans tezinde, dönme eksenini null eksenler alarak, üç boyutlu Minkowski uzayında space-like (time-like) helisoidal yüzeyler ile space-like (time-like) dönel yüzeyler (Şekil 1.3 ve Şekil 1.4) için Bour teoreminin geçerli olduğunu gösterdi.

Aynı Gauss dönüşümüne sahip iken yüzeylerin minimal olma durumlarını inceledi.

Böylece, (L,S) ve (L,T)-türündeki light-like eksenli, space-like (time-like) helisoidal ve space-like (time-like) dönel yüzeyleri belirledi.

Bu tezdeki 3, 4, 6 ve 7. bölümler orijinal çalışmalardan oluşmaktadır. 3. bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında Gauss dönüşümü üzerinde Bour teoremi; 4. bölümde, aynı uzayda genelleştirilmiş Bour teoremi incelenmiştir. 3-boyutlu Minkowski uzayında, üreteç eğrileri light-like olan timelike dönel yüzeyler ve Bour teoremi 6. bölümde; yine bu uzayda üreteç eğrisi light-like olan time-like dönel yüzeyler için Laplace-Beltrami operatörü, Gauss dönüşümü ve eğrilikler 7. bölümde ele alınmıştır.

(16)

(a) (b)

Şekil 1.3 E₁³ de bir helisoidal yüzey

(a) (b)

Şekil 1.4 E de bir dönel yüzey ³₁

(17)

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Tanım 2.1. (Skalar çarpım uzayı)

V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlı

V V

V

g: × →

dönüşümü bilineer, simetrik ve nondejenere ise g ye V üzerinde bir skalar çarpım, bu durumda V vektör uzayına da bir skalar çarpım uzayı denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.2. (Simetrik bilineer formun indeksi)

V bir skalar çarpım uzayı, W da üzerindeki skalar çarpım negatif tanımlı olacak şekilde V nin en büyük boyutlu altuzayı olsun. Bu durumda W nın boyutuna g skalar çarpımının indeksi denir. g skalar çarpımının indeksi v ise 0≤v≤boyV dir. Ayrıca V skalar çarpım uzayının indeksi, üzerinde tanımlı g skalar çarpımının indeksi olarak tanımlanır (O ’Neill 1983).

Tanım 2.3. (Lorentz uzayı)

V bir skalar çarpım uzayı olsun. V nin indeksi v olmak üzere v=1 ve boyV ≥2 ise V skalar çarpım uzayına bir Lorentz uzayı denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.4. (Space-like, time-like, light-like (null) vektör) V bir Lorentz uzayı olsun. v∀ ∈ için V

0 ) , (v v >

g veya v=0ise v 'ye space-like vektör, 0

) , (v v <

g ise v 'ye time-like vektör,

≠0

v iken g(v,v)=0ise v 'ye light-like (null) vektör

denir (O ’Neill 1983).

(18)

Tanım 2.5. (Bir vektörün normu)

V skalar çarpımlı bir uzay ve v∈ olsun. V

2

)1

, ( vv g v =

eşitliği ile tanımlı v reel sayısına v vektörünün normu denir. Normu 1 olan vektöre de birim vektör denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.6. (Space-like, time-like, light-like altuzay )

V bir Lorentz uzayı ve W , V nin bir altuzayı olsun. Bu durumda

gW pozitif tanımlı ise W ya space-like altuzay,

gW nondejenere ve indeksi 1 ise W ya time-like altuzay, gW dejenere ise W ya light-like altuzay

denir (O ’Neill 1983).

Teorem 2.1. V bir Lorentz uzayı, V nin bir altuzayı W ve boyW ≥2 olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler birbirine denktirler (O ’Neill 1983)

.

i W time-like altuzay ise W bir Lorentz vektör uzayıdır.

.

ii W uzayı iki tane lineer bağımsız null vektör içerir.

.

iii W uzayı bir tane time-like vektör içerir.

Tanım 2.7. (Metrik tensör)

M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerinde simetrik, nondejenere ve sabit indeksli (0,2)-tipinden g tensör alanına bir metrik tensör denir. Başka bir deyişle g , M manifoldunun her p noktasına T_pM tanjant uzayı üzerinde bir g skalar çarpımı _p karşılık getirir ve g skalar çarpımının indeksi her p∈M için aynıdır (O ’Neill 1983).

(19)

Tanım 2.8. (Yarı-Öklidyen uzay)

R , n-boyutlu standart reel vektör uzayı üzerinde n ∀ ∈ R ve p ⁿ ∀v w_p, _p∈ RT_p ⁿ için

∑

= − +

−

=

−

>=

< ⁿ

v n i

i i v

n

i i i p

p w v w v w

v

1 1

,

eşitliğiyle verilen v−indeksli metrik tensörle birlikte elde edilen uzaya yarı-Öklidyen uzay denir ve E ile gösterilir. Burada ⁿ_v 1≤i ≤n olmak üzere, sırasıyla, v ve _i w ler _i v _p ve w tanjant vektörlerinin bileşenleridir (O ’Neill 1983). _p

Tanım 2.9. (Minkowski uzayı)

n

E , yarı-Öklidyen uzayında v v=1 ve n≥2 ise E yarı-Öklidyen uzayına Minkowski ₁ⁿ n-uzayı denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.10. (Riemann manifoldu)

M bir diferensiyellenebilir ( C^∞) manifold olsun. M üzerindeki C^∞ vektör alanlarının uzayı χ(M) ve M den ye C^∞ fonksiyonların uzayı C^∞(M, ) olmak üzere, M üzerinde

< , > : (

χ

M)×

χ

(M)→C^∞(M, )

şeklinde tanımlanan pozitif, simetrik, 2-lineer < , > fonksiyona M üzerinde bir iç çarpım, metrik tensör, diferensiyellenebilir metrik veya Riemann metriği denir.

(M <, , )> ikilisine de bir Riemann manifoldu denir (Kobayashi ve Nomizu 1963).

Tanım 2.11. (Yarı-Riemann manifoldu)

M bir diferensiyellenebilir ( C^∞) manifold olsun. M üzerindeki C^∞ vektör alanlarının uzayı

χ

(M) ve M den ye C^∞ fonksiyonların uzayı C^∞(M, ) olmak üzere, M üzerinde

(20)

: ( ) ( ) ( , ) g

χ

M ×

χ

M →C^∞ M

olmak üzere

i.) simetrik

, ( )

X Y

χ

M

∀ ∈ için ( , )g X Y = g Y X( , )),

ii.) 2-lineer

, , ( )

X Y Z

χ

M

∀ ∈ ,∀a b, ∈ için

( , ) ( , ) ( , )

g aX +bY Z =ag X Z +bg Y Z ,

( , ) ( , ) ( , )

g X aY +bZ =ag X Y +bg X Z ,

iii.) non-degenere ( )

X

χ

M

∀ ∈ için ( , )g X Y = ⇒ = 0 Y 0

özeliklerini sağlayan g tensörüne bir yarı-Riemann metriği ve (M,g) ikilisine de yarı- Riemann manifoldu denir (O ’Neill 1983).

Bundan sonraki gösterimlerde (M,g) yarı-Riemann manifoldunu sadece M ile göstereceğiz

Tanım 2.12. (Lorentz manifoldu)

M bir yarı-Riemann manifoldu olsun. boyM ≥2 ve M nin indeksi 1 ise M ye bir Lorentz manifoldu denir. Bu tanıma göre bir M Lorentz manifoldu için

n p n p i p n

i i p p

p

p v w v w v w

g =

∑

⁻ −

= 1

1

) ,

( , p∀ ∈M ve ∀v w_p, _p∈T M_p

dir (O ’Neill 1983).

(21)

Tanım 2.13. (Space-like, time-like ve null eğri)

M bir Lorentz manifoldu ve

α

: I⊂R→M bir eğri olsun.

α

eğrisinin teğet vektör alanı T olmak üzere

0 ) , (T T >

g ise

α

eğrisine space-like eğri, 0

) , (T T <

g ise

α

eğrisine time-like eğri, 0

) , (T T =

g ve T ≠0 ise

α

eğrisine null eğri

denir. Eğrinin bir özel hali olan doğru gözönüne alınsın. Doğrunun doğrultman vektörü space-like ise doğru space-like doğru, doğrultman vektörü time-like ise doğru time-like doğru, doğrultman vektörü null ise doğru null doğrudur (O ’Neill 1983).

Tanım 2.14. (İmmersiyon (daldırma))

M ve M , sırasıyla, n ve (n+d)-boyutlu birer C^∞ manifoldlar olmak üzere :

x M →M diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. p∀ ∈M için

: ( ) ,

p p x p

dx T M →T M

türev dönüşümü bire bir ise x fonksiyonuna bir immersiyon (daldırma) denir (Chen 1973).

Tanım 2.15. (İzometrik immeriyon)

M ve M , sırasıyla, n ve (n+d)-boyutlu birer C^∞ manifoldlar ve x M: →M dönüşümü bir immersiyon olsun. M manifoldu bir Riemann yapıya sahip ise x yardımıyla M den indirgenen metrik için, p∀ ∈M olmak üzere

, _p _p( ), _p( ) _{x p}( )

X Y dx X dx Y

< > =< > , ∀X Y, ∈T M_p

eşitliği sağlandığında x e bir izometrik immersiyon denir (Chen 1973).

(22)

Tanım 2.16. (Yarı-Riemann altmanifoldu)

M_νm, m-boyutlu ve

ν

indeksli bir yarı-Riemann manifoldu ve M , ⁿq n-boyutlu ve q indeksli bir diğer yarı-Riemann manifoldu olsun.

: ^m ⁿq

j M_ν →M

dönüşümü bir izomerik immersiyon ise (rank j=m) M_ν^m manifolduna M nun bir ⁿq

yarı-Riemann altmanifoldu denir (O ’Neill 1983).

Bundan sonraki gösterimlerde M üzerindeki metrik tensör ile M üzerindeki metrik tensör g ile gösterilecektir

Tanım 2.17. (İndirgenmiş konneksiyon)

M , M nin bir yarı-Riemann altmanifoldu ve M üzerindeki Levi-Civita konneksiyonu D olsun.

: ( ) ( ) ( )

D

χ

M ×

χ

M →

χ

M

in M ye indirgenmiş olan

: ( ) ( ) ( )

D χ M ×χ M →χ M

fonksiyonuna M den M yarı-Riemann altmanifoldu üzerine indirgenmiş konneksiyon denir. Buradaki χ(M), M nin herbir p noktasına T M de bir tanjant vektör karşılık _p getiren vektör alanlarının ℑ(M)-modülünü göstermektedir (O ’Neill 1983).

(23)

Lemma.2.1. M , M nin bir yarı-Riemann altmanifoldu olsun.

→ ⊥



× ( ) ( )

) (

: M M M

II χ χ χ

(V,W)→II(V,W)=norD_VW

dönüşümü ℑ(M)-bilineer ve simetriktir. Burada II ye M nin ikinci temel form tensörü denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.18. (Yarı-Riemann hiperyüzeyi)

n-boyutlu bir yarı-Riemann manifoldunun ( −n 1)-boyutlu bir M yarı-Riemann altmanifolduna M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.19. (Şekil operatörü)

M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N olsun.

Her V,W∈χ(M) için

) ), , ( ( ) ), (

(S V W g II V W N

g =

şeklindeki (1,1)-tipinden tensör alanı S ’ye, M ’nin N ’den elde edilen şekil operatörü denir. Diğer bir deyişle, S şekil operatörü, N birim normal vektör alanı olmak üzere, M nin her p noktasında

) ( )

(

:T M T M

S _p → _p

( )

_P

P P X

X →S X = −D N

bir lineer operatördür (O ’Neill 1983).

(24)

Teorem 2.2. M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M ve S , M nin birim normali olan N den elde edilen şekil operatörü olsun. Bu durumda V∈χ(M) için

N D V

S( )=− _V

dir ve ayrıca S şekil operatörü self-adjointdir. M nin bir yarı-Riemann hiperyüzeyi M olsun. M nin N birim normalinden elde edilen şekil operatörü S olmak üzere,

∀V,W∈χ(M) için

N W V S g W V

II( , )=ε ( ( ), )

dir, burada ε =g(N,N) dir. Yarı-Riemann hiperyüzeyleri için Gauss denklemi,

, ( )

V W χ M

∀ ∈ olmak üzere

N W V S g W D W

DV = V +

ε

( ( ), )

biçiminde verilir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.20. (Skalar çarpım)

3

E , Minkowski 3-uzayında iki vektör 1 vr=( , , )v v v₁ ₂ ₃

ve wr =(w w w₁, ₂, ₃)

olmak üzere bu iki vektörün skalar çarpımı

< , >_L : E₁³×E₁³→

(

v wr r,

)

→ <v wr r, > =_L v w1 1+v w2 2 −v w3 3

biçiminde tanımlanır. Eğer v=w ise

, _L1 2

vr L = <v vr r>

(25)

eşitliği ile tanımlı vr _L

reel sayısına, v vektörünün Lorentz anlamında normu denir.

Normu 1 olan vektöre de Lorentz anlamında birim vektör denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.21. (Vektörel çarpım)

3

E , Minkowski 3-uzayında iki vektör 1 vr=( , , )v v v₁ ₂ ₃

ve wr =(w w w₁, ₂, ₃)

olmak üzere

( )

1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 2 1 1 2

1 2 3

det , ,

e e e

v v v v w v w v w v w v w v w

w w w

 − 

  = − − −

 

 

vektörüne vr ve wr

nin vektörel çarpımı (dış çarpımı) denir. vr×wr

veya vr∧wr

şeklinde gösterilir (Akutagawa ve Nishikawa 1990).

Tanım 2.22. (Semi(yarı)-ortogonal matris)

3

E , Minkowski 3-uzayında 1 A A^tε = eşitliğini sağlayan A matrisine semi-ortogonal ε matris denir. Burada, detA = olup 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1

ε

 

 

=  

 − 

 

matrisine işaret matrisi denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.23. (I. Temel form)

M yarı-Riemann manifoldu olarak 3-boyutlu Minkowski uzayı ve M yarı-Riemann hiperyüzeyi olarak da (U,ϕ) parametrizasyonu ile verilen, ∀u v, ∈ için

2 3

:U 1

ϕ ⊂R →R

(

⁽ ^, ^), ⁽ ^, ^), ⁽ ^, ⁾

)

) , ( )

,

(u v →ϕ u v = ϕ₁ u v ϕ₂ u v ϕ₃ u v

(26)

ile belirli olan ϕ(U) yüzeyi gözönüne alınsın. Lineer bağımsız

{ φ φ

u^, v

}

cümlesi, yüzeyin vektör alanlarının bir bazıdır. Yüzeyin birim normali

u v

N

φ φ

= ∧

∧

ile belirlidir. Yüzeyin I. temel formunu, yani metriğini hesaplamadan önce bazı eşitlikler verilecektir.

E=

ϕ

_u,

ϕ

_u , F =

ϕ

_u,

ϕ

_v , G=

ϕ

_v,

ϕ

_v

olup

, _L

<N N > = ^u ^v , ^u ^v _L

u v u v

φ φ φ φ φ φ φ φ

∧ ∧

< >

∧ ∧ ^,

E , F , G ve

²

u∧v L = < ∧u v u, ∧ > v _L

= − <u u^, > ⋅ <L v v^, > + <L

(

u v^, >L

)

²

Lagrange özdeşliği’nden

( )

²

, _L _u, _v _L _u, _u _L _v, _v _L

N N φ φ φ φ φ φ

< > = < > − < > ⋅ < >

, _L 2

N N F EG

< > = −

elde edilir. Yüzeyin I. temel formunu hesaplamak için, ϕ nin tam diferensiyeli

v dv u du

d ∂

+∂

∂

= ∂ϕ ϕ

ϕ

(27)

ile belirlidir. Buradan

>

=<

= ds dϕ dϕ

I ( )² ,

, ( )² 2 , , (dv)²

v dudv v

v du u

u

u >

∂

<∂ +

∂ >

∂

<∂ +

∂ >

∂

=< ∂ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

=E(du)²+2Fdudv+G(dv)²

bulunur. Böylece

dv G Fdu dv

E du dv

ds  + +



 



=  2

) (

)

( ²

2 2

ve dv

=du

λ ,

2 2

) (

dv

I =′ ds olmak üzere

G F E

I′= λ² +2 λ+

elde edilir. M yüzeyi üzerindeki I =(ds)² indirgenmiş metriğinin pozitif tanımlı veya indefinit olup olmadığını incelemek ile, I =(dv)²I′ olduğundan, I ′ yü incelemek aynıdır (O ’Neill 1983).

Tanım 2.24. (Non-dejenere yüzey)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. ∀1 p ∈M ve ∀ v w_p, _p∈T M_p

için <v w_p, _p > = 0 ⇒ v_p =0 önermesi sağlanıyorsa M ye E uzayında bir ₁³ non-dejenere yüzey denir (Beem ve Ehrlich 1981). M yüzeyi üzerindeki metriğin matris formu



 



 G F

F E

(28)

ile belirlidir. M yüzeyi üzerindeki metriğin non-dejenere olması için gerek ve yeter şart

0

det ≠



 



 G F

F

E veya EG−F² ≠ 0

olmasıdır (O ’Neill 1983).

Tanım 2.25. (Space-like yüzey)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş 1

metrik pozitif tanımlı ise M ye E de bir space-like yüzey denir (Beem ve Ehrlich ³₁ 1981).

Tanım 2.26. (Time-like yüzey)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş 1

metrik Lorentz metriği ise M ye E de bir time-like yüzey denir (Beem ve Ehrlich ₁³ 1981).

Tanım 2.27. (Gauss eğriliği)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık 1

gelen matris S olsun. p ∈M için

Sp

p

K( )=εdet

ifadesine, M yüzeyinin p noktasındaki Gauss eğriliği ve K:M →IR fonksiyonuna M yüzeyinin Gauss eğrilik fonksiyonu denir. Burada, ε =<N,N>=±1 ile belirlidir. N , M yüzeyinin birim normal vektör alanıdır. M yüzeyi space-like ise

1 , >=−

=<N N

ε dir. Bu durumda, K =−detS dir. M yüzeyi time-like ise 1

, >=

=<N N

ε dir. Bu durumda, K =detS dir (O ’Neill 1983).

(29)

Tanım 2.28. (Ortalama eğrilik)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık 1

gelen matris S olsun. p ∈M için

( ) 2 1 _p

H p = ⁻

ε

⋅izS

ifadesine, M yüzeyinin p noktasındaki ortalama eğriliği ve H M : →R fonksiyonuna M yüzeyinin ortalama eğrilik fonksiyonu denir. Burada,

1 , >=±

=<N N

ε dir. N , M yüzeyinin birim normal vektör alanıdır. M yüzeyi space- like ise ε =<N,N >=−1 dir. Bu durumda, H = −2⁻¹⋅izS dir. M yüzeyi time-like ise

1 , >=

=<N N

ε dir. Bu durumda, H =2⁻¹⋅izS dir. H =0 yani EN +GL−2FM = ise 0 bu yüzeye minimal yüzey denir (O ’Neill 1983).

Tanım 2.29. (E de dönel yüzey) ³

I ⊂ R açık aralık olmak üzere, E deki bir Π düzleminin içindeki bir eğri ³ γ : I→Π ve bu düzlemde bir doğru l olsun. l doğrusu sabit kalmak üzere γ eğrisinin l doğrusu etrafında dönmesi ile oluşan yüzeye dönel yüzey denir (Weatherburn 1984), (Şekil 2.1). l doğrusuna dönel yüzeyin dönme ekseni, γ eğrisine de üreteç eğrisi denir. Yani, bir düzlem eğrisinin sabit bir doğru (dönme ekseni) etrafında kaymadan dönmesi ile oluşan yüzeye dönel yüzey denir (Uras 1992). Dönme ekseni z olarak alınırsa, yüzeyin bir noktasının koordinatları

v u

x= cos , y=usinv, z=ϕ(u)

olur. v=sabit parametre eğrisi meridyen çizgisi veya eksenden geçen düzlemle yüzeyin arakesitidir. u =sabit eğrisi, paralel çizgisi veya eksene dik olan düzlemlerle yüzeyin arakesitidir (Weatherburn 1984). İlerideki dönel yüzeyler için de aynı bu düşünceyi uygulayalım.

(30)

Şekil 2.1 E³ de z=ϕ( )x eğrisinin z ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen dönel yüzey

Örnek 2.1. Katenari eğrisinin denklemi, hiperbolik kosinüs fonksiyonu ile verilmektedir. ^y=^b^cosh

( )

^z ^b katenari eğrisinin (Şekil 2.2) z ekseni etrafında dönmesi ile oluşan dönel yüzeye katenoid yüzeyi (Şekil 2.2 ve Şekil 2.3) denir. Buradaki b sabiti, katenari eğrisinin herhangi bir noktada z eksenine uzaklığıdır.

Şekil 2.2 E de katenari eğrileri ³

( )

paralel eğrisi paralel dairesi

A

B O

x

u

y

( )

z z=

ϕ

x meridyen

eğrisi

P P u′

(

cos , sin ,v u v

ϕ ( )

u

)

(

cos , sin ,0

)

P u′′ v u v

( )

z=

ϕ

u

v

(31)

Katenoid yüzeyinin parametrik denklemi, 0≤ ≤v 2π, ∀b u, ∈ R\ {0} için

cos sin 0 cosh ( )

( , ) sin cos 0 0

0 0 1

v v b u b

R u v v v

u

 −  

  

=   

  

  

cosh ( ) cos cosh( )sin

b u b v

u

 

 

=  

 

 

ile belirlidir (Struik 1894).

Şekil 2.3 E de katenoid (dönel yüzey) ³

Tanım 2.30. (E de genelleştirilmiş helisoid (helisoidal yüzey)) ³

I ⊂ R açık aralık olmak üzere, E deki bir Π düzleminin içindeki bir eğri ³ γ : I→Π ve bu düzlemde γ eğrisini kesmeyen bir doğru l dönme ekseni olsun. l dönme eksenini dik olarak kesen bir doğru, γ eğrisine dayanarak hareket etsin. Bu durumda l doğrusu etrafında dönerken oluşan yüzeye genelleştirilmiş helisoid (helisoidal yüzey) denir (Struik 1894), (Şekil 2.4). İlerideki helisoidal yüzeyler için de aynı bu düşünceyi uygulayalım.

(32)

Şekil 2.4 E³ de z dönme eksenli helisoidal yüzey

Yani, sabit bir eksen etrafında dönen ve eksen doğrultusu boyunca, dönmenin açısal hızıyla orantılı bir hızla kayan bir eğrinin meydana getirdiği yüzeye genelleştirilmiş helisoid denir (Uras 1992). Genelleştirilmiş helisoidin adımı a ile gösterilecektir.

Helisoidal yüzeyde a=0 ise dönel yüzey halini alır. Eksenden geçen düzlemdeki üreteçlere meridyenler denir. Meridyenlere dik olan doğrulara paraleller denir. Eğriyi düzlemsel kabul etmekle genellikten hiçbirşey kaybedilmez ve yüzey bir meridyenin helisoidal hareketi ile meydana getirilebilir. z dönme ekseni, u bir noktanın eksenden uzaklığı ve v ’de bu noktadan geçen meridyen düzlemi ile xoz düzlemi arasındaki açı olsun. O zaman v=0 meridyeni z=ϕ(u) formülüyle verilirse, yüzey üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları

v u

x= cos , y=usinv, z=ϕ(u)+av

olur. Burada a sabittir. 2πb =a ’ya helisoidal hareketin adım ’ı denir. Yalnızca, a=0 olduğunda (dönel yüzey hali) ya da ϕ(u =) sabit olduğunda (dik helisoid hali) parametrik eğriler birbirine diktirler (Şekil 2.4). u =sabit parametre eğrileri helislerdir.

(Weatherburn 1984).

(33)

Şekil 2.5 E₁³ de regle yüzey

Tanım 2.31. (E₁³ de regle yüzey)

3

E , 3-boyutlu Minkowski uzayında, öyle bir yüzey düşünelim ki, bu yüzeyin her 1

noktasından geçen bir doğrunun bütün noktaları bu yüzeyin üzerinde kalsın. Bu yüzeye bir regle yüzey denir (Hacısalihoğlu 1972), (Şekil 2.5).

Örnek 2.2. Bir L doğrusu OA eksenini dik olarak kessin ve ekseni OA olan bir ( )v (cos ,sin , )v v v

α = dairesel helis eğrisine dayanarak hareket etsin. Oluşan bu yüzeyin bir X noktasının koordinatları

OX x y zuuur( , , )=OAuuur+v AXuuur

olup, 0≤ ≤v 2π , ∀b u, ∈ R\ {0} için, u ve v parametreleri göstermek üzere

( , ) (0,0, ) (cos ,sin , )

H u v = bv +u v v v

( cos , sin ,u v u v uv bv)

= +

helisoid yüzeyi bir regle yüzeydir (O’Neill 1966), (Şekil 2.6).

α

O

( ) ( )

( , )u v u v x u.

ϕ

=

α

+

( )

^u

α

( )

x u v

(34)

Şekil 2.6 E de ³

(

ucos , sin ,v u v bv regle helisoidal yüzey

)

Bu yüzeyde genel olarak, 0≤ ≤v 2π, ,a u ∈ R\ {0} için

cos sin 0 0

( , ) sin cos 0 0 0

0 0 1 ( ) 1

v v u

H u v v v av

ϕ

u

 −    

    

=  +  

    

    

olmak üzere

( , ) ( cos , sin , ( ) )

H u v = u v u vϕ u +av (2.1)

ile ifade edilir. Helisoidal yüzeyde a = ise yüzey 0

( , ) ( cos , sin , ( ))

R u v = u v u vϕ u (2.2)

dönel yüzey halini alır.

( )

^v

α

(

cos , sin , 0

)

B u v u v

(

^{0 , 0 ,}

)

A b v

(

cos , sin ,

)

X u v u v bv

O

x

y z

L

v

(35)

Tanım 2.32. (Yerel izometri)

M ve N , R³ de iki yüzey ve f :M →N fonksiyonu verilsin. Her p ∈M için, U

p ∈ , U ⊂M , V ⊂N olacak şekilde, U , V açık alt cümleleri ve bir f :U →V izometrisi varsa M ile N yüzeyleri yerel izometriktir denir. Böyle bir f fonksiyonuna da yerel izometri denir (Hacısalihoğlu 1994).

Sonuç 2.1. f :M →N fonksiyonunun yerel izometri olması için, M yüzeyinin her bir p noktasında

f_*_p:T_p(M)→T_f₍_p₎(N)

dönüşümünün bir izometri, yani

p p

p

p f v v

v → _* ( ) =

olması gerekir ve yeterdir (Hacısalihoğlu 1994).

Lemma 2.2. x U ⊂: R²→R³ y U ⊂: R²→R³ dönüşümleri veriliyor.

2 2

2 E du 2F dudv G dv

ds_x = _x + _x + _x

ve

2 2

2 E du 2F dudv G dv

ds_y = _y + _y + _y ,

sırasıyla, x ve y üzerindeki Riemann metriklerini göstersin. Bu durumda

1: ( ) ( )

yox x U y U

ϕ = ⁻ →

fonksiyonunun yerel izometri olması için gerek ve yeter şart

(36)

2 2

y

x ds

ds =

olmasıdır (Hacısalihoğlu 1994).

Tanım 2.33. (Gradient operatörü)

M bir n-boyutlu Riemann manifoldu ve f M : → bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun.

: ( , ) ( )

grad C^∞ M χ M

∇ = →

f →∇ =f grad f( )

olarak tanımlanan grad operatörüne M üzerinde gradient operatörü denir.

M üzerindeki lokal koordinatlar cinsinden gradf operatörü

( )

ⁱ ^ij

j

gradf g f x

= ∂

∂

dir. Eğer M = E ise ⁿ

ij j

g =δi ve

( )

ⁱ

i

gradf f

x

= ∂

∂

olur (Hacısalihoğlu 1982).

Tanım 2.34. (Divergens operatörü)

1 n

i

i i

X f

= x

= ∂

∑

∂ olmak üzere

: ( ) ( , )

div χ M →C^∞ M ( )

X →div X = < ∇, X > ⁿ fⁱ x

= ∂

∑

∂

(37)

olarak tanımlanan div operatörüne M üzerinde divergens operatörü denir ve divX e de X vektör alanının divergensi denir (Hacısalihoğlu 1982).

Tanım 2.35. (Laplace operatörü)

:C^∞(M, ) C^∞(M, )

∆ →

( ) ( )

f →∆ f =div gradf

olarak tanımlanan ∆ operatörüne M üzerinde Laplace operatörü denir. M üzerindeki lokal koordinatlar cinsinden f nin Laplace operatörü için n-boyutlu Riemann manifoldunun koordinat fonksiyonları

(

x x1, 2,...,x_n

)

olduğuna göre bir

:

f M →

x=

(

x x1, 2,...,x_n

)

→f x

( )

= f x x

(

1, 2,...,x_n

)

diferensiyellenebilir fonksiyonu için

: ( , ) ( )

grad C^∞ M χ M

∇ = →

f →∇ =f grad f( )

¹^j , ²^j ,..., ^nj

j j j

g g g

x x x

 ∂ ∂ ∂ 

=  ∂ ∂ ∂ 

dir. Eğer M = E olması özel halinde ⁿ g_ij =

δ

_ij ⇒ g^ij =

δ

_ij olduğundan bu özel halde

1 2

( ) , ,...,

n

f f f

f grad f

x x x

∂ ∂ ∂ 

∇ = = ∂ ∂ ∂ 

(38)

Buna göre X =

(

f f1, 2,...,f_n

)

∈

χ ( )

M vektör alanı yerine

1 2

( ) ^j , ^j ,..., ^nj

j j j

g g g

f grad f g g g

x x x

 ∂ ∂ ∂ 

∇ = =  ∂ ∂ ∂ 

vektör alanı alınırsa X deki f yerine _i _i ^ij

j

f g f x

= ∂

∂ alınmalıdır.

( )

1 1

( )

n n

i ij

i i i i j

f f

f div X div f g

x x x

= =

 

∂ ∂ ∂

∆ = =

∑

∂ = ∇ =

∑

∂  ∂ 

veya g^ij ≠g^ij

(

x x1, 2,...,x_n

)

olduğundan 0

ij

i

g x

∂ =

∂ olacağından

2

1 n

ij

i i j

f g f

= x x

∆ = ∂

∑

∂ ∂ olup tensörel notasyon ile

2 ij

i j

f g f x x

∆ = ∂

∂ ∂

veya g ile çarparak ve bölerek

1 ij

i j

f g g f

x x

g

 

∂ ∂

∆ = ∂  ∂ 

olur (Hacısalihoğlu ve Ekmekçi 2003).

(39)

Tanım 2.35. (Laplace-Beltrami operatörü)

E , 3-boyutlu Öklid uzayında basit bağlantılı ve sınırlı bir 3 D ⊂ R bölgesinde tanımlı, ² C k

(

^{k ∈}

)

sınıfından bir yüzeyin parametrik gösterimi φ φ= ( , )u v olsun.

φ φ

= ( , )u v _D yüzeyinin birinci temel forma bağlı olarak ∆ ile gösterilen Laplace-Beltrami operatörü altındaki ∆φ görüntüsü

2 2 2

1 _u _v _u _v

u v

G F F E

EG F EG F EG F

φ φ φ φ

φ ^^ ⁻ ^ ^ ⁻ ^ ^

∆ = −   −  

−  −   −  

(2.3)

dır (Beneki vd. 2002).

D bölgesinde tanımlı olan bir

F( , )u v =

(

f u v1( , ),f u v2( , ), f u v3( , )

)

vektörel fonksiyonunun Laplace-Beltrami operatörü altındaki görüntüsü

∆ F( , )u v = ∆

(

f u v1( , ),∆f u v2( , ),∆f u v3( , )

)

(2.4)

dir (Beneki vd. 2002).

(40)

3. 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA GAUSS DÖNÜŞÜMÜ ÜZERİNDE BOUR TEOREMİ

3.1 Harmonik-Minimal Olan Helisoidal ve Dönel Yüzeyler

Bu çalışmada, Xr =( ,x x x₁ ₂, ₃)

vektörüne X transpoze matrisi karşılık tutulmuştur. ^t Toshihiko Ikawa tarafından 2000 yılında ispatlanan ve aşağıda ifadeleri verilen iki teorem, yalnızca Oz dönme eksenli dönel ve helisoidal yüzeyler için yapılmıştır. 3- boyutlu Öklid uzayında Riemann metriği (+,+,+) işaretli olduğundan, diğer eksenler için de aynı sonuçlar sağlanmaktadır.

Teorem 3.1.1. Üreteç eğrisi

^γ ( ) (

^u ⁼ ^u^{,0, ( )}

^ϕ

^u

)

, dönme ekseni (0,0,1) ve adımı a olan

) ) ( , sin , cos ( ) ,

(u v u v u v u av

H = ϕ +

helisoidal yüzeyi, Bour teoremine göre













+ + ′



 





+ + ′ +



 





+ + ′ +

=

∫

a du u

u a

a du u v a a

u

a du u v a a

u v

u R _R _R

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

sin cos )

, (

ϕ ϕ ϕ

(3.1)

dönel yüzeyine izometriktir, burada, 0≤ ≤v 2π , ^{u a ∈ R_}^, ^{\ 0}

{ }

dır (Ikawa 2000).

(41)

Teorem 3.1.2. (2.1) ve (3.1) ile belirli olan iki yüzey Bour teoremine göre birbirine izometrik olsun. Bu durumda, bu yüzey çifti aynı Gauss dönüşümüne sahip ise,

2 0

2− a ≥

b , 0≤ ≤v 2π, ^{u a b ∈ R_}^{, ,} ^{\ 0}

{ }

ve d ∈ R_ için













− +

+

− −

= arctan ² ² ₂ ² ₂ ² ₂

)

( u a b

a u a

a a b

ϕ u

d

b a u a u

b a u a a u

b +











− +

− + +

− +

+ 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 log

olmak üzere bu yüzeyler, sırasıyla,

(

ucos , sin , ( )v u v

ϕ

u +av

)

ve























 +



 





+ + ′ +



 





+ + ′ +

∫

b a ch u

b

a du u v a a u

a du u v a a

u

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

arg sin cos

ϕ ϕ

(3.2)

ile belirli olan minimal yüzeylerdir (Ikawa 2000).

Harmonik minimal yüzeyler konusunda pek çok çalışma yapılmış ve çok sayıda kitap yazılmıştır (Bombieri 1983, Osserman 1986).

Sonraki teorem, helisoidal ve dönel yüzey çifti için Gauss dönüşümleri özdeş olarak eşit iken, yüzeylerin minimal olması ile harmonik olması arasındaki ilişkiyi vurgulamaktadır.

(42)

Teorem 3.1.3. (2.1) ve (3.2) ile belirli olan iki yüzey Bour teoremine göre birbirine izometrik olsun. Bu durumda, bu yüzey çifti aynı Gauss dönüşümüne sahip ise harmoniktirler (Güler vd. 2010).

İspat. (2.1) ile belirli olan helisoidal yüzeyin birinci ve ikinci temel formunun katsayıları hesaplanırsa, sırasıyla,

1 2

E= +ϕ′ , F =aϕ′, G=u² +a²

ve

2 2 2 2

L u

u a u

ϕ ϕ

= ′′

+ + ′ ,

2 2 2 2

M a

u a u

ϕ

= −

+ + ′ ,

2

2 2 2 2

N u

u a u

ϕ ϕ

= ′

+ + ′

bulunur. (2.1) ile belirli olan helisoidal yüzey ve (3.2) ile belirli olan dönel yüzeyin Gauss dönüşümlerie_H ve e_R olmak üzere, sırasıyla,

















− ′

−

− ′ + ′

= +

u

v u v a

v u

v a u

u a

e_H cos sin

cos sin

1

2 2 2

2

ϕ

(3.3)

ve

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos

1 sin

R

a u v a du

u a

e a u v a du

u a

a u u

u

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

− + ′  + ′ 

  + 

 

 ′  ′ 

= + + ′ − +  + + 

 

 

∫

(3.4)

ile belirlidir, burada 0≤ ≤v 2π , ^{u a ∈ R_}^, ^{\ 0}

{ }

dır (Ikawa 2000). Eğer, e_H =e_R olursa

(43)

2 3 2 3 2 2

( ) :u a u

ϕ

′′ u

ϕ

′′ u

ϕ

′ u

ϕ

′ 2a

ϕ

′ 0

Φ = + + + + = (3.5)

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklem, (2.1) ile belirli olan helisoidal yüzey ve (3.2) ile belirli olan dönel yüzey için ortalama eğrilikleri,sırasıyla,

(

² ² ²

)

³²

2 2

2

) 1 ( 2

2 ) (

) 1 (

a u

a a

u u H_H u

′ + +

+ ′

′′ +

′+ + ′

=

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(3.6)

ve

( )

32 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 2

3 2 2 2 2

) (

2 2

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ ′

′ + + +

+ ′′

+ ′ + ′

′

= ′

u a u u a a u

u u a u

u a

H_R u (3.7)

olup bu yüzeyler minimaldir (Ikawa 2000). Bu sonuçlarla, (2.1) ile belirli olan helisoidal yüzey üzerinde, (2.3) ile verilen Laplace-Beltrami operatörü kullanılarak yapılan uzun hesaplamalar sonucunda, helisoidal yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü ile bu yüzeyin Gauss dönüşümü arasında

( )

^, ^{( )} H

H u v k u e

∆ ≡ ⋅ (3.8)

bağıntısı elde edilir. Burada, ^{u a ∈ R_}^, ^{\ 0}

{ }

^için,^Φ^{( )}^u fonksiyonu (3.5) ile verilmiş olup

( )

(

² ² ² ²

)

^{3 2}

( ) u

k u

u a u

ϕ

= −Φ

+ + ′

ile belirlidir. (3.8) ile verilen denkliğin anlamı ise helisoidal yüzeyin harmonik- minimal yüzey olmasıdır. (3.2) dönel yüzeyi de harmonik minimaldir (Güler vd. 2010). Şekil 3.1, Şekil 3.2, Şekil 3.3, Şekil 3.4, Şekil 3.5 ve Şekil 3.6’daki yüzeyler harmonik minimaldir.

(44)

(a) (b)

Şekil 3.1 E de bir dönel yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u

)

(a) (b)

Şekil 3.2 E de bir helisoidal yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u+av

)

(a) (b)

Şekil 3.3 E de bir helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, ³

2 2 2 2 2 2

sin cos cos sin

, ,

H

a v u v a v u v u

e

a u u a u u a u u

 − − − 

=  

+ + + + + +

 

(45)

(a) (b)

Şekil 3.4 E de bir diğer dönel yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u²

)

(a) (b)

Şekil 3.5 E de bir diğer helisoidal yüzey, ³

(

ucos , sin ,v u v u²+av

)

(a) (b)

Şekil 3.6 E de bir diğer helisoidal yüzeyin Gauss dönüşümü, ³

2 2

2 2 3 2 2 3 2 2 3

sin 2 cos cos 2 sin

, ,

4 4 4

H

a v u v a v u v u

e

a u u a u u a u u

 − − − 

=  

+ + + + + +

 