Üreteç Eğrisi Light-Like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde

1 ( 2 ) 2 2 2

( 2 ) (2 1) 2 2

u uv v v u uv

e u v v u v u u v uv

Q u v v v v u u v uv

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

− − −

− − −

′

 − + − + + − 

 ′ 

= = − + − + + − + − 

 − + − ′+ − − + − 

 

(7.5)

olup

(

^{2 2 2}

)

²

Q= − −u

ϕ

′+ u

ϕ

−u

ve

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −}

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

7.3 Üreteç Eğrisi Light-Like Olan Time-like Dönel Yüzeylerde Laplace-Beltrami Operatörü, Gauss Dönüşümüve EğriliklerArasındaki Bağıntılar

Bu bölümde, dönme eksenleri, sırasıyla, space-like, time-like ve light-like olan, üreteç eğrisi light-like olan, yani (S,L), (T,L) ve (L,L) türlerindeki, time-like dönel yüzeyler ele alınmıştır. Buradaki time-like dönel yüzeyler için, sırasıyla,

• Ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği,

• Gauss dönüşümünün Laplace-Beltrami operatörü ile Gauss dönüşümü,

• Dönel yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü ile dönel yüzey

arasındaki bağıntılar hesaplanarak bunlara ait teoremler verilmiştir.

Tanım 7.3.1. (Umbilik nokta)

1 2

2

k k

H = + ve K =k k₁⋅ olmak üzere bir yüzeyin H ortalama eğriliği ile K Gauss ₂ eğriliği arasında, bir P noktasında

H2 =K

bağıntısı sağlanıyor ise yüzeyin asli eğrilikleri eşit olur, dolayısı ile bu P noktası yüzeyin umbilik noktası olur (Kühnel 1950).

Tanım 7.3.2. (Birinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü)

Bir yüzeyin e Gauss dönüşümü ile bu yüzeyin ∆ Gauss dönüşümünün Laplace-e Beltrami operatörü eşit, yani e∆ = ise bu yüzeye birinci türden (1-tipinde) pointwise e Gauss dönüşümü ’ne sahiptir denir (Kim ve Yoon 2000).

Tanım 7.3.3. (İkinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü)

Bir yüzeyin e Gauss dönüşümü ile bu yüzeyin ∆ Gauss dönüşümünün Laplace-e Beltrami operatörü arasında ∆ =e f + olacak şekilde sıfırdan farklı bir f vektörel e fonksiyonu varsa bu yüzeye ikinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahiptir denir (Kim ve Yoon 2000).

Tanım 7.3.4. (Birinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey)

Bir R dönel yüzeyi ile bu yüzeyin R∆ Laplace-Beltrami operatörü eşit, yani R R∆ = ise bu yüzeye birinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey denir (Kim ve Yoon 2000).

Tanım 7.3.5. (İkinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey)

Bir R dönel yüzeyi ile bu yüzeyin ∆ Laplace-Beltrami operatörü arasında R

R g R

∆ = + olacak şekilde sıfırdan farklı bir g vektörel fonksiyonu varsa bu yüzeye ikinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzey denir (Kim ve Yoon 2000).

7.3.1 (S,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar

Bu durum için, dönme ekseni l = (1,0,0) space-like vektörü ve üreteç eğrisi

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −} , ^{∀ ∈ R_u \ 0}

{ }

^{, 0≤ ≤v 2π}

olmak üzere

^γ

^{( )u =}

(

^{u u2, , ( )}

^ϕ

^u

)

ile verilen bir light-like eğri olsun.

Teorem 7.3.1. Minkowski 3-uzayında, (S,L)-türünden olan bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasında

H2 = ⋅oK (7.6)

bağıntısı vardır, burada ofonksiyonu için

( ) ^{( )}

²

2 2 2 2

( )u 4u^{− } 2uQ u

ϕ

u

ϕϕ

′ u

ϕ ϕ

′ ′′ ^

= = − − − − + − + 

o o

ve ayrıca bu yüzey için

( )

²

Q= −

ϕ

−u

ϕ

′

dır (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (6.3) ile verilen dönel yüzeyin birinci temel form bileşenleri, sırasıyla,

2 2

4 1

E= u + −

ϕ

′ ,

F = −

ϕ

u

ϕ

′

ve

2 2

G= − +u

ϕ

olur. İkinci temel form bileşenleri hesaplandığında, sırasıyla,

( )

2 u u

L u

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

′ ′ ′′

− +

= − ′ ,

( )

M 2u u

u

ϕ ϕ ϕ ϕ

− ′−

= − ′

ve

0 N =

elde edilir. ^{Q= −}

( ^ϕ

^−u

^ϕ

^′

)

² < olduğundan ^{0 R u v}

( )

^, bir time-like yüzeydir. Üreteç eğrisi light-like olan (S,L)-türündeki time-like dönel yüzeyin, ^{u ∈ R_\ 0}

{ }

için, ortalama eğriliği

( )

²

(

^{2 2}

) ( )

²

3 2

2u u u u u

H

u

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

− − ′ − − + − ′+ ′ ′′ 

 

= − ′ (7.7)

ve Gauss eğriliği

( )

diferensiyel denklemi elde edilir. Böylece, (S,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasındaki bağıntı

H2 =K

ile belirlidir. Bu ise dönel yüzeyin umbilik noktalara sahip olması demektir.

Sonuç 7.3.2. Özel olarak ( )ou =0 ise

( )

⁴

(

^{2 2}

) ( )

2u

ϕ

u

ϕ

′ u

ϕ

u

ϕϕ

′ u

ϕ ϕ

′ ′′ 0

− − − − + − + =

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin anlamı ise (S,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliğinin özdeş olarak sıfır olması (H = ), yani dönel 0 yüzeyin minimal olmasıdır.

Teorem 7.3.2. Minkowski 3-uzayında,



ile belirlenen (S,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin

Gauss dönüşümü ve bu Gauss dönüşümünün Laplace-Beltrami operatörü arasında

( ) ( )

^{Q= −}

( ^ϕ

^−u

^ϕ

^′

)

^2,

F = −

ϕ

u

ϕ

′,

G= − +u²

ϕ

²

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (S,L)-türünde olan ve

ile verilen bir time-like dönel yüzeyin,

( )

ile belirlenen Gauss dönüşümünü kullanarak türevler alınırsa

( )

( ) ( ) ( ( ) )

ile belirlidir. (6.3), (7.1) ve (7.2) ile belirlenen eşitlikleri kullanarak, (S,L)-türünde olan bir time-like dönel yüzeyin, (7.3) ile belirlenen e Gauss dönüşümünün Laplace-Beltrami operatörü olan ∆ = ∆ ∆e

(

e1, e2,∆e3

)

elde edilir.

Sonuç 7.3.3. ^¡

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra eşit ise e∆ = ile belirlidir. e Bu ise (S,L)-türündeki time-like dönel yüzeyin, birinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahip olmasıdır.

Sonuç 7.3.4. ^¡

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu sıfırdan farklı ise (S,L)-türündeki time-like dönel yüzey ikinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahiptir.

Teorem 7.3.3. Minkowski 3-uzayında, (6.3) ile verilen (S,L)-türündeki bir time-like ( , )

R u v dönel yüzey ile bu dönel yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü olan ∆R u v( , ) (Şekil 7.4) arasında

R R

∆ = + (7.10)

bağıntısı vardır, burada

(a) (b) Şekil 7.4 (S,L)-türü bir time-like dönel yüzeyde ∆R

olmak üzere, fonksiyonununbileşenleri, sırasıyla,

( ) ( )

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (6.3) ile belirli olan ( , )R u v dönel yüzeyini kullanarak

0

elde edilir. Bu sonuçlar ile birlikte, (7.1) ile tanımlı Laplace-Beltrami operatörü ve (7.2) ile verilen vektör fonksiyonu kullanılarak

[ ]

ile belirlidir. Bu sonuçlar düzenlendiğinde, dönel yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü olan ∆ = ∆R

(

R1,∆R2,∆R3

)

kolayca bulunur ve teoremdeki eşitlikler elde edilir.

Sonuç 7.3.5.

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra eşit , yani

( ) (

^{u v =, 0,0,0}

)

ise ∆ = ile belirlidir. Bu durumda; (S,L)-türündeki time-like dönel yüzey, birinci R R türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

Sonuç 7.3.6.

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu özel olarak sıfırdan farklı yani

( ) (

^{u v ≠, 0,0,0}

)

^ise ∆ ≠ olur. Böylece; (S,L)-türündeki time-like dönel yüzey, ^{R R} ikinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

7.3.2 (T,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar

Bu durum için, dönme ekseni l = (0,0,1) time-like vektörü ve üreteç eğrisi

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −} , ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

olmak üzere

^γ

^{( )u =}

(

^{u u2, , ( )}

^ϕ

^u

)

ile verilen bir light-like eğri olsun.

Teorem 7.3.4. Minkowski 3-uzayında, (T,L)-türünden olan bir time-like dönel yüzeyin H ortalama eğriliği ile K Gauss eğriliği arasında

H2 = ϒ ⋅ (7.11) K

bağıntısı vardır, burada

ϒ = ϒ( , )u v =

χ ϑ

²⋅ ⁻¹, ( , )

ϑ

u v ≠ 0

olmak üzere, ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için

(

³

)

^{2 4 2}

( , )u v 2 u u 1 sin( ) cos( ) 4v v ucos v( ) u u 3u

χ

=^ + − + + + − 

ϕ

^′,

( )

{

^{2 3}

{ ⁽

²

( , )u v 4u 2 u 2 cos ( )v 2u u 3 sin( ) cos( )v v 4 4u

ϑ

=  − + − +  + ^

^{−2u3−1 cos ( )}

)

^ ^{2 v +3u3−6u2+1 cos ( )}

}

^{2 v +2u5 +2u3+9u2}

} ^ϕ

^′2, Q= − u⁴

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (6.5) ile verilen dönel yüzey için, birinci ve ikinci temel form bileşenleri hesaplanırsa, sırasıyla,

2 2

4 1

E = u + −

ϕ

′ , F = − , u² G=u⁴+u²,

(

^{4 1}sin( ) cos( ) 2

)

L= − u⁻ v v +

ϕ

′,

(

^{2 2}

)

¹

2 cos ( ) sin ( ) 2 sin( ) cos( ) 1 M = −^ v − v + u⁻ v v +  ′

ϕ

ve

2 sin( ) cos( ) 2 cos ( )2

N = u v v + v 

ϕ

′

bulunur. Q= −u⁴ < olduğundan 0 ^{R u v}

( )

^, bir time-like yüzeydir. (T,L)-türündeki light-like üreteç eğrili time-light-like dönel yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği, sırasıyla,

{ }

, \ 0

∀u v∈ R_ için

4

( , )u v

H u

=

χ

(7.12)

ve

8

( , )u v

K u

=

ϑ

(7.13)

ile belirlidir. Bu sonuçlar ile ispata ulaşılır.

Sonuç 7.3.7. Özel olarak ( , )ϒ u v = ise 1

(

³

)

^{2 4 2 2 2}

2 u u 1 sin( ) cos( ) 4 cos ( )v v u v u u 3u

ϕ

 + − + + + −  ′



( )

{

⁴u² u ^{2 cos ( )2} v ²u³ u 3 sin( ) cos( ) v v 4

{



⁽

4u²

−  − + − +  + 

) } }

3 2 3 2 2 5 3 2 2

2u 1 cos ( )^ v 3u 6u 1 cos ( )v 2u 2u 9u

ϕ

′ 0

− −  + − + + + + =

diferensiyel denklemi elde edilir. Böylece (T,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasındaki bağıntı

H2 =K

olur. Bu ise dönel yüzeyin umbilik noktalara sahip olmasıdır.

Sonuç 7.3.8. Özel olarak ( , )ϒ u v = ise 0

2 1

( , )u v

χ ϑ

⁻

ϒ = ϒ = ⋅ , ( , )

ϑ

u v ≠ 0

olmak üzere

(

³

)

^{2 4 2}

2 u u 1 sin( ) cos( ) 4v v ucos v( ) u u 3u

ϕ

0

 + − + + + −  ′=



diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin anlamı ise (T,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliğinin özdeş olarak sıfır olması (H = ), yani dönel 0 yüzeyin minimal olmasıdır.

Teorem 7.3.5. Minkowski 3-uzayında



ile belirlenen (T,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin

( )

belirli olan e Gauss dönüşümü ile Gauss dönüşümünün Laplace-Beltrami operatörü olan

∆ (Şekil 7.5) arasında e

(a) (b) Şekil 7.5 (T,L)-türü bir time-like dönel yüzeyde ∆e

( )

¹1 ²2

5 4 3 2

( )sin( ) ( ) cos( ) θ θ , 1 ђ ( )sin( ) ђ ( ) cos( )

2 2 9 3 8 1

u v u v

u v u v u v

Q u u u u u

 + 

 

= = −−  + + + + + + 

ζ ζ

olmak üzere

θ

e e

∆ = + (7.14)

bağıntısı vardır. Burada, ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için

ϕ ϕ

= ( )u =2⁻¹u 4u²+ +1 2 sinh (2 )^{−2 −1} u

olup, θ fonksiyonununbileşenlerindeki fonksiyonlar

(

³

) (

^{3 2}

) (

^{5 3 2}

)

1( )u = u +u

ϕ

′′′+ − −u 2u +3u

ϕ

′′+ −2u +u +u +4u+1

ϕ

′

ζ ,

(

^{5 3}

) (

^{5 4 3 2}

) (

^{5 4}

)

2( )u = − −u u

ϕ

′′′+ − −u 5u −u −3u −4u

ϕ

′′+ 2u +u −2u+4

ϕ

′

ζ ,

(

³

) (

^{3 2}

) (

^{5 3 2}

)

ђ ( )1 u = u +u

ϕ

′′′+ − −u 2u −5u

ϕ

′′+ 2u +u +u +1

ϕ

′,

(

^{5 3}

) (

^{5 4 3 2}

) (

^{5 4}

)

ђ ( )2 u = − −u u

ϕ

′′′+ − −u 5u −u −3u +4u

ϕ

′′+ −2u +u +2u−4

ϕ

′

olup, dönel yüzey için

Q= − u⁴

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (6.5), (7.1) ve (7.2) ile verilen eşitlikleri kullanarak, (7.4) ile belirli olan Gauss dönüşümünün Laplace-Beltrami operatörünün bileşenleri, sırasıyla,

(

¹

) (

¹

) (

^{3 1 2}

)

ile sonuca ulaşılır ve ispat biter.

Sonuç 7.3.9.

^θ ( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra eşit ise e∆ = ile belirlidir. e Bu ise (T,L)-türündeki time-like dönel yüzeyin, birinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahip olmasıdır.

Sonuç 7.3.10.

^θ ( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu sıfırdan farklı ise (T,L)-türündeki time-like dönel yüzey ikinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahiptir.

Teorem 7.3.6. Minkowski 3-uzayında



ile verilen (T,L)-türündeki bir R u v time-like dönel yüzey ile bu dönel yüzeyin ( , ) Laplace-Beltrami operatörü olan ∆R u v( , ) (Şekil 7.6) arasında

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 1

3 6 cos( ) sin( )

( , ) 3 6 sin( ) cos( )

1 2

u u v u v

u v u u v u v

u

ϕ

u

ϕ ϕ

−

−

− −

 + + + 

 

 

Ω = Ω = + + −

 

 + ′′+ ′− 

 

olmak üzere

R R

∆ = Ω + (7.15)

bağıntısı vardır. Burada

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −} , ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

(a) (b) Şekil 7.6 (T,L)-türü bir time-like dönel yüzeyde ∆R

İspat. (7.1) ve (7.2) ile verilen ifadeler, (6.5) ile belirli olan dönel yüzey için kullanılıp dönel yüzeyin ∆ = ∆R ( R₁,∆R₂,∆R₃) Laplace-Beltrami operatörünün bileşenleri hesaplanırsa, sırasıyla,

(

²

)

1 3 2 cos( )

R u⁻ v

∆ = + ,

(

²

)

2 3 2 sin( )

R u⁻ v

∆ = +

ve

(

²

)

¹

3 1 2

R u⁻

ϕ

′′ u⁻

ϕ

′

∆ = + +

bulunur. Bu sonuçlar ile ispat biter.

Sonuç 7.3.11. Ω( , )u v vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra eşit, yani

( ) (

^{u v, 0,0,0}

)

Ω = ise ∆ = ile belirlidir. Böylece; (T,L)-türündeki time-like dönel R R yüzey, birinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

Sonuç 7.3.12. Ω( , )u v vektörel fonksiyonu özel olarak sıfırdan farklı ise R∆ ≠ olur. R Bu durumda; (T,L)-türündeki time-like dönel yüzey, ikinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

7.3.3 (L,L)-türünden dönel yüzeyler için bağıntılar

Bu durum için, dönme ekseni l = (0,1,1) olan bir light-like vektörü, üreteç eğrisi

(

²

)

( )u u u, , ( )u

γ

=

ϕ

olan bir light-like eğri ve

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −} , ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

Teorem 7.3.7. Minkowski 3-uzayında,

bağıntısı vardır, buradaki Ψ fonksiyonunu oluşturan fonksiyonlar

(

^{3 2 3 4 4 3 4 1 3 2 2 2}

(

^{3 2 3 3 2 2 4 2 3 4}

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat.

(L,L)-türündeki light-like üreteç eğrili time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliği,

{ }

Gauss eğriliği, ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için

2

( , )u v

K Q

=

ξ

(7.18)

olur. Burada dönel yüzey için

(

^{2 2 2}

)

²

Q= − −u

ϕ

′+ u

ϕ

−u

ile belirlidir.

Sonuç 7.3.13. Özel olarak Ψ( , )u v = ise (L,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin 1 ortalama eğriliği ile Gauss eğriliği arasındaki bağıntı

H2 =K

ile belirlidir. Bu ise dönel yüzeyin umbilik noktalara sahip olması demektir.

Sonuç 7.3.14. Özel olarak Ψ( , )u v = ise 0

2 1 1 2

( , )u v 2⁻ Q⁻

ξ ς

⁻

Ψ Ψ= = , ( , )

ξ

u v ≠ 0

olmak üzere

( ^ϕ

^3+u2

^ϕ

^{+4u v3}

^ϕ

^{+u v4}

^ϕ

^{+u v4}

^ϕ

^{′−2u v3}

^ϕϕ

^′−uv4

^ϕϕ

^{′+ ⋅3 2−1u v3 2 −3u v2 2}

^ϕ

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin anlamı ise (L,L)-türündeki bir time-like dönel yüzeyin ortalama eğriliğinin sıfır olması (H = ), yani dönel yüzeyin minimal 0 olmasıdır.

Teorem 7.3.8. Minkowski 3-uzayında



ile belirlenen (L,L)-türündeki time-like dönel yüzeyin

2 2

( )

^{u v, 2−1Q−2}

{

²

(

^{Gu F ev}

)

^{u F eu v Geuu 2Feuv Q}

Γ = Γ = −  − − + − 

(

^{Geu Fe Qv}

)

^{u Fe Qu v 2Q e3 2}

}

+ − − −

olmak üzere

e e

∆ = Γ + (7.19)

bağıntısı vardır.

(a) (b) Şekil 7.7 (L,L)-türü bir time-like dönel yüzeyde ∆e

( )

^{u v,}

Γ fonksiyonunun içindeki fonksiyonlar

2 2

2

F = −u

ϕ

′+ u

ϕ

−u ,

( )

²

G= − +u

ϕ

,

(

^{2 2 2}

)

²

Q= − −u

ϕ

′+ u

ϕ

−u

ve

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −} , ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

dir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. (6.7) ile belirli (L,L)-türünde time-like bir dönel yüzeyin, (7.5) ile verilen Gauss dönüşümünü kullanarak türevler alındığında

1 2 1 3 2

elde edilir. Burada, ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için Laplace-Beltrami operatörü elde edilir. Bu sonuçlar ile ispat biter.

Sonuç 7.3.15. ^Γ

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra ise e∆ = ile belirlidir. Bu e ise (L,L)-türündeki time-like dönel yüzeyin birinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahip olmasıdır.

Sonuç 7.3.16. ^Γ

( )

^{u v,} vektörel fonksiyonu sıfırdan farklı ise (L,L)-türündeki time-like dönel yüzey ikinci türden (1-tipinde) pointwise Gauss dönüşümü ’ne sahiptir.

Teorem 7.3.9. Minkowski 3-uzayında



ile verilen (L,L)-türündeki time-like dönel yüzey ile bu dönel yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü olan ∆R u v( , ) (Şekil 7.8) arasında, ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için, Λ = Λ Λ Λ

(

1, 2, 3

)

olmak üzere

R R

∆ = Λ + (7.20)

bağıntısı vardır, buradaki Λ fonksiyonununbileşenleri, sırasıyla,

(a) (b)

(

^{3 2 3 2 2 2 2 3 2 4 2}

3 u u 4u

ϕ

4u v

ϕ

3uv

ϕ

2u v

ϕ

u v 2u v 5u

ϕ

Λ = − + − − + − + −

) (

2 2 2 3 2 6 1 5 2 1 4 2 4 2 2

2

ϕ

3u v

ϕ

v

ϕ ϕ

′′ u u v 2⁻ u v 2⁻ u v

ϕ

u

ϕ

2u v 2u uv

+ + + + − + + + + +

) (

2 3 7 6 1 6 2 5 1 5 2 4 2 2

2 3 6 3 2 3 9 2 3

v

ϕ ϕ ϕ

′ u u v u v

ϕ

⁻ u v u

ϕ

⁻u v

ϕ

u v

ϕ

− − + − − ⋅ + + ⋅ −

)

4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2

6u

ϕ

4u 6u v u v 12u v

ϕ

uv

ϕ

4u

ϕ

2v

ϕ

4

ϕ ϕ

′

− + + − − − − + +

(

^{3u v8 12u v7}

^ϕ

^{3 2−1u v7 2 15 2−1u v6 2}

^ϕ

^3u6

^ϕ

^{12u v6}

^ϕ

^{2 12u5}

^ϕ

²

+ − − ⋅ + ⋅ + + −

5 2 2 5 4 2 3 4 3 4 4 3 2 2

12u v

ϕ

8u 6u v

ϕ

12u

ϕ

16u

ϕ

4u v 4u v

ϕ

14u v

ϕ

− + + + − − − +

) (

2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 4 5 4

2u v

ϕ

uv

ϕ

2u

ϕ

2

ϕ

v

ϕ ϕ

′ 4u v 8u

ϕ

8u v 12u

+ − + − − − − + − +

) ( )

4 2 2 3 5 4 2 4 2 2 2

10u v v

ϕ

u 12u v 9u v 6u 16u 14uv v

ϕ

+ + + − − + − −

( ) ( )

3 4 3 1 3 2 4 4 1 3 2

6 7 2 16 16 2 4 4

u u v u ⁻u v u v

ϕ

u u v ⁻u v u v

+ − + + ⋅ − + + − + −

olup

1 2 2 1

( )u 2 u 4u 1 2 sinh (2 )u

ϕ ϕ

= = ⁻ + + ^{− −}

ile belirlidir (Hacısalihoğlu ve Güler 2010).

İspat. Teorem 7.3.3 ve Teorem 7.3.6 daki ispat tekniklerine benzer olarak, (6.7) ile verilen (L,L)-türündeki R u v time-like dönel yüzeyini kullanarak, (7.1) ve (7.2) ile ( , ) belirli olan eşitliklerden yararlanılır. ^{∀u v, ∈ R_\ 0}

{ }

^için

(

^{2 2 2}

)

²

Q= − −u

ϕ

′+ u

ϕ

−u

olup yapılan hesaplamalar sonunda, dönel yüzey ile bu yüzeyin Laplace-Beltrami operatörü arasındaki bağıntı bulunur ve ispat tamamlanır.

Sonuç 7.3.17. ( , )Λ u v vektörel fonksiyonu özel olarak sıfıra eşit, yani ^Λ

( ) (

^{u v, = 0,0,0}

)

ise R∆ = ile belirlidir. Böylece; (L,L)-türündeki time-like dönel yüzey, birinci türden R (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

Sonuç 7.3.18. Λ( , )u v vektörel fonksiyonu özel olarak sıfırdan farklı ise R∆ ≠ olur. R Bu durumda; (L,L)-türündeki time-like dönel yüzey, ikinci türden (1-tipinde) pointwise dönel yüzeydir.

Belgede TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması / (sayfa 116-146)