Doğadaki en korkutucu felaketlerden biri şiddetli bir deprem ve tahrip edici etkileridir.
Deprem, nüfusun yoğun olduğu bir bölgede meydana gelirse, birçok ölüm, yaralanma ve geniş mülk hasarına neden olabilir. Deprem oluşumunda büyük belirsizlikler göz önüne alındığında, güvenilir tahminler geliştirmek için birçok çalışma sunulmuştur. Deprem biliminin (sismolojinin) ana hedeflerinden biri, bir ana şoktan sonra bir sonraki ana şokun ne zaman ve nerede olacağını tahmin etmektir. Bu yolla, depremlerin gelecekte sebep olacağı felaketlerin tahminlerle en aza indirilmesi amaçlanmaktadır. Bu amaçla, 2015 yılında Mohanty ve diğerlerinin Kuzey Hindistan için yapmış oldukları çalışmanın bir benzeri Türkiye için yapılmaya çalışılmıştır.
Bu çalışmada, Türkiye’nin 1900-2010 yılları arasında olan deprem verileri incelenerek bölgenin sismik hareketlilikleri hakkında tahminlerde bulunulmuştur. Sismik verilere ilişkin tahminler üretmede farklı yöntemler mevcuttur. Markov zincirleri uygulanabilirliği ve hesaplama kolaylığı bakımından diğer yöntemlere üstünlük sağlamaktadır. Bunun için öncelikle, çeşitli tarih aralıklarında farklı Δt zaman aralıklarına göre geçiş matrisleri oluşturulmuştur. Daha sonra bu matrislerden dönem içi kestirim oranı ve entropi değerine göre TOPSIS yöntemi kullanılarak 25.05.2010-14.5.1981 tarih aralığı ve Δt =15 gün olarak belirlenmiştir.
Elde edilen geçiş matrisi (6.2) ve bu matristeki geçiş olasılıkları, belirli bir durumdaki depremden sonra meydana gelecek depremin hangi durumda olacağı hususunda tahmin yürütülmesini mümkün kıldığı görülmektedir. Bu sayede ileriye yönelik meydana gelebilecek depremlerin büyüklükleri ve ardışık iki deprem arasındaki sürenin olasılıksal olarak hesaplanabilmesinin mümkün olduğu görülmüştür.
Elde ettiğimiz (6.2) geçiş matrisine göre, başlangıçta, 3 ≤ 𝑀 < 4, 4 ≤ 𝑀 < 5 ve 5 ≤ 𝑀 <
6 büyüklüğünde deprem olduğunda, Δt = 15 gün içinde 6 ≤ 𝑀 büyüklüğünde bir deprem olma olasılığının çok düşük olduğu görülmüştür. Buna göre, 6 ≤ 𝑀 büyüklüğünde bir depremin ortaya çıkma olasılığına diğer durumların (3 ≤ 𝑀 < 4, 4 ≤ 𝑀 < 5 ve 5 ≤ 𝑀 <
6 büyüklüğündeki depremler) çok fazla etkisinin olmadığı görülmektedir. Ayrıca 6 ≤ 𝑀 büyüklüğünde bir depremden sonra 15 gün içinde aynı büyüklükteki bir depremin ortaya çıkma olasılığının sıfır olduğu görülmektedir.
Geçiş matrisinin limit dağılımı (6.7)’de elde edilmiştir. Ortalama olarak 6 dönem (90 gün) sonunda zincir kararlı duruma ulaşmıştır. Bu sonuçlara göre, uzun dönem (6 dönem) sonrasında Δt = 15 gün olacak şekilde tüm zamanların yaklaşık % 10’nunda 3≤𝑀<4,
%70’inde 4≤𝑀<5, %17’sinde 5≤𝑀<6, %2’sinde 6≤𝑀 büyüklüğünde deprem olacağı görülmektedir. Ayrıca limit dağılımlarını kullanarak π (i) / π ( j) oranları (ortalama geçiş sayıları) kullanılarak (6.8) matrisi oluşturulmuştur. Bu matristeki 2. satır 3. sütundaki değere (π (2)/π ( 3)=4,1165) göre, uzun dönemde 5≤𝑀<6 büyüklüğünde iki deprem arasında 4≤𝑀<5 büyüklüğünde beklenen deprem sayısı 4,1165’tir. Diğer bir ifadeyle, 3 durumuna yapılan iki geçiş arasında Markov zincirinin 2 durumuna 4,1165 kez uğramasını bekleriz.
Geçiş matrisinin iki adımlık geçiş olasılıkları (6.3)’teki matriste hesaplamıştır. Buna göre, 2 adımlık geçiş matrisinden, başlangıçta 3≤𝑀<4 büyüklüğünde bir deprem olduğunda, 16-30 günlük zaman aralığı içinde 𝑀≥6 büyüklüğünde deprem olma olasılığı 0,0203 bulunmuştur. Son olarak, ortalama ilk geçiş zamanları Çizelge 6.9.’da ve durumlar arası ilk geçiş olasılıkları Çizelge 6.8.’de verilmiştir. Bu sonuçlara göre; 𝜇13 = 6,4349, başlangıçta 3 ≤ 𝑀 < 4 büyüklüğünde deprem olduğunda, 5 ≤ 𝑀 < 6 büyüklüğünde ilk deprem oluncaya kadar 6,4349 dönem (6,4349 ∗ 15 ≅ 96 gün) geçmesi beklenir. 𝑓42(3)= 0,09547 değerine göre; 𝑀≥ 6 büyüklüğündeki depremden, 4≤𝑀<5 büyüklüğündeki depreme 3 dönemde ilk geçiş olasılığı 0,09547 olarak hesaplanmıştır. Diğer bir ifadeyle, 𝑀≥6 büyüklüğünde deprem olduktan sonra 31-45 günlük zaman aralığı içinde 4≤𝑀<5 büyüklüğünde deprem olma olasılığı 0,09547.
Bu çalışmada, Türkiye’deki deprem verilerini kullanarak elde ettiğimiz geçiş matrisinin dönem içi kestirim oranını %54 bulunmuştur. Ayrıca, 2010-2015 yılları arasındaki deprem verileri ele alındığında, dönem sonrası yapılan 10.000 denemede ortalama %50’lik bir başarı elde edilmiştir. Buradan, Türkiye’de ortaya çıkan deprem büyüklüklülerin gelecekte çok fazla değişmediğini ve bu nedenle elde ettiğimiz geçiş matrisini gelecekte ortaya çıkabilecek depremlerin tahminleri için de kullanabileceğimiz sonucuna ulaşırız.
Depremle ilgili yapılacak diğer çalışmalarda tüm Türkiye’yi bir bütün olarak incelemek yerine, sismik hareketliliğin fazla olduğu bölgelere ayırıp, her bölgeyi kendi içinde değerlendirmek daha iyi sonuçlar vereceği değerlendirilmektedir. Böylece, belirlenmiş bölgelere özel gerçeğe daha yakın sonuçlar elde edilebilir.
Çalışmamızda deprem büyüklükleri (Magnitüd(M)) için sınıf aralıklarını M<3, 3≤M<4, 4≤M<5, 5≤M<6 ve 6≤M olacak şekilde belirlemiştik. Ancak, çalışılan bölgeye özgü bu aralıklar daha optimal bir şekilde oluşturulursa ilgili bölge için daha tutarlı sonuçlar elde edilebilir.
Sismik tahminlemede Markov zincirleri yardımıyla sadece ileriye yönelik tahminlerden ziyade, depremlerin gerçekleşme zamanına ve büyüklüğüne göre ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu belirlenerek de tahminlerde bulunulabilir. Ayrıca, depremler arasında geçen sürelerin üstel dağılıma uygun olduğunu Kolmogorov-Smirnov testi ile belirlemiştik.
Ancak depremler arasında geçen süreler Weibull dağılımına da (Bölüm 6.3.) uygun olduğundan Yarı-Markov modelleriyle de çalışma yapılabileceği değerlendirilmektedir.
KAYNAKLAR
Agnew, D. D. and Jones L. M. (1991). Prediction probabilities from foreshocks. Journal of Geophysıcal Research, 96(B7), 11959-11971.
AI-Hajjar, J. and Blanpain, O. (1997). Semi-Markovian approach for modelling seismic aftershocks. Engineering Structures, 19(12), 969–976.
Aktaş, R., Doğanay, M. M., Gökmen, Y., Gazibey, Y. ve Türen, U. (2015). Sayısal karar verme yöntemleri. Ankara:Beta Yayınevi.
Altınok, Y. ve Kolcak, D. (1999). An application of the semi-Markov model for earthquake occurrences in North Anatolia, Turkey. Journal of the Balkan Geophysical Society, 2(4), 90–99.
Alvarez, E. E. (2005). Estimation in stationary Markov renewal processes, with application to earthquake forecasting in Turkey. Methodology and Computing in Applied Probability, 7(1), 119–130.
Anagonos, T. and Kiremidjian, A. S. (1988). A review of earthquake occurrence models for seismic hazard analysis. Probabilistic Engineering Mechanics, 3(1), 3–11.
Brillinger, D. (1982). Seismic risk assessment: some statistical aspects. Journal of Earthquake Prediction Research, 1, 183–195.
Cluff, L. S. and Patwardhan, A. S. (1980). Coppersmith KJ Estimating the probability of occurrences of surface faulting earthquakes on the Wasatch fault zone, Utah. Bulletin of the Seismological Society of America, 70(5), 1463–1478.
Console, R. (2001). Testing earthquake forecast hypotheses. Tectonophysics, 338(3-4), 261–268.
Console, R., Pantosti, D. and D’Addezio, G. (2002). Probabilistic approach to earthquake prediction. Annals of Geophysics, 45(6), 723–731.
Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606.
Di Luccio, F., Console, R., Imoto M. and Murru, M. (1997). Analysis of short time–space range seismicity pattern in Italy. Annals of Geophysics, 40 (4), 783-798.
Ebel, J. E., Chambers D.W., Kafka, A.L. and Baglivo, J.A. (2007). Non-Poissonian earthquake clustering and the hidden Markov model as bases for earthquake forecasting in California. Seismological Research Letters,78(1), 57–65.
Fedotov, S. A. (1965). Regularities of the distribution of strong earthquakes in Kamchatka, the Kurile Islands, and northeast Japan. Trudy Institut Fiziki Zemli Akademiya Nauk, 36, 66–93.
Felzer, K., Abercrombie, R. E. and Ekstrom, G. (2004). A common origin for aftershocks, foreshocks, and multiplets. Bulletin of the Seismological Society of America, 94(1),
88–98.
Garavaglia, E. and Pavani, R. (2011). About earthquake forecasting by Markov renewal processes. Methodology and Computing in Applied Probability, 13(1), 155-169.
Gardner, J. K. and Knopoff, L. (1974). Is the sequence of earthquakes in Southern California, with aftershocks removed, Poissonian. Bulletin of the Seismological Society of America, 64(5), 1363–1367.
Hanks, T. C., Kanamori, H. (1979). A moment magnitude scale. Journal of Geophysical Research, 77, 4393–4405.
Herrera, C., Nava, F. A. and Lomnitz, C. (2006). Time-dependent earthquake hazard evaluation in seismogenic systems using mixed Markov chains: an application to the Japan area. Earth, Planet and Space, 58(8), 973–979.
Hwang, C. L. and Yoon, K. (1981). Multiple Attribute Decision Making. In: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer-Verlag, Berlin.
İnternet: “Boğaziçi Üniversitesi, Kandilli Rasathanesi ve Deprem Araştırma Enstitüsü, Ulusal Deprem İzleme Merkezi, Deprem kataloğu”, (1900-2015). URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fwww.koeri.boun.edu.tr%2 Fsismo%2FMudim%2Fkatalog.asp+&date=2017-05-17. Son Erişim Tarihi:
18.03.2016.
Kagan, Y. and Jackson, D. (1991). A Seismic Gap Hypothesis: ten Years after. Journal of Geophysıcal Research, 96(B13), 419–431.
Keilis-Borok, V. I. and Kossobokov, V. G. (1990). Premonitory activation of earthquake flow: algorithm M8. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 61(1-2), 73–83.
Knopoff, L. (1971).A stochastic model for the occurrence of main-sequence earthquakes.
Review of Geophysics, 9(1), 175–188.
Kramer, S. L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering (First edition). New Jersey:
Prentice Hall, 18-51
Lee, T. C., Judge, G.G. and Zellner, A. (1968). Maximum likelihood and Bayesian estimation of transition probabilities. Journal of the American Statistical Assosiation, 63(324), 1162-1179.
Lomitz, A. J. (1983). A statistical model of the earthquake process. Bulletin of the Seismological Society of America, 73(3), 853–862.
Lomnitz, C. and Nava, F. (1983). The predictive power of seismic gaps. Bulletin of the Seismological Society of America, 73, 1815–1824.
Mccann, D. and Nishenko, L. (1979). Seismic gaps and plate tectonics: seismic potential for major boundaries. Pure and Applied Geophysics, 117(6), 1082–1148.
Mogi, K. (1968).Migration of seismic activity. Bulletin of the Earthquake Research Institute, 46, 53–74.
Mohanty, W. K. and Verma, A. K. (2013). Probabilistic seismic hazard analysis for Kakrapar atomic power station. Gujarat, India. Natural Hazards, 69(1), 919–952.
Mohanty, W. K., Mohapatra, A. K. and Verma, A. K. (2015). A probabilistic approach toward earthquake hazard assessment using two first-order Markov models in Northeastern India. Natural Hazards, 75(3), 2399–2419.
Nava, F. A., Herrera, C., Frez, J. and Glowacka, E. (2005). Seismic hazard evaluation using markov chains: application to the japan area. Pure and Applied Geophysics.
162(6), 1347-1366.
Patwardhan, A. S., Kulkarni, X. and Tocher, D. (1980). A semi-Markov model for characterizing recurrence of great earthquakes. Bulletin of the Seismological Society of America, 70(1), 323–347.
Reid, H. F. (1910). The mechanism of the earthquake, the California earthquake of april 18, 1906, report of the research senatorial commission. Carnegie Institution, 2, 16–
18.
Richter, C. (1958). Elementary Seismology (First Edition). San Francisco: William H.
Freeman Company, 1-20.
Ross, S. M. (1996). Stochastic Processes (Second Edition). United States of America:
John Wiley & Sons, 163-177.
Ross, S. (2010). A Fırst Course in Probability (Eight Edition). United States of America:
Pearson, 425-428.
Roussas, G.G. (1997). A Course in Mathematical Statistics. (Second Edition). United States of America: Academıc Press, 490-493.
Sadeghian, R. (2012). Forecasting time and place of earthquakes using a semi-Markov model (with case study in Tehran province). Journal of Industrial Engineering International, 8(1), 20–27.
Shimazaki, K. and Nakata, T. (1980). Time predictable recurrence model for large earthquakes. Geophysical Research Letters, 7(4), 279–282.
Sucuoğlu, H. ve Akkar, S. (2014). Basic Earthquake Engineering From Seismology to Analysis and Design (First Edition). Berlin: Springer-Verlag, 21-24.
Tsapanos, T. and Papadopoulou, A.A. (1999). A discrete Markov model for earthquake occurrences in Southern Alaska and Aleutian Islands. Journal of the Balkan Geophysical Society, 2(3), 75–83.
Ünal, S., Çelebioğlu, S. ve Özmen, B. (2014). Seismic hazard assessment of Turkey by statistical approaches. Turkish Journal of Earth Sciences, 23(3), 350–360.
Vere-Jones, D. and Davies, R. B. (1966). Statistical survey of earthquakes in the main seismic region of New Zealand, part 2: time series analyses. Journal of Geology and Geophysıcs, 9(3), 251–284.
Votsi, I., Nikolaos, L., George, T. and Eleftheria, P. (2012). Estimation of the expected number of earthquake occurrences based on semi-Markov models. Methodology and Computing in Applied Probability, 14(3), 685–703.
Winston, W. L. (2004). Operations Research~Applications and Algorithms (Fourth Edition). United States of America: John Wiley & Sons, 929-965.
EKLER
EK-1. Deprem verileri 3,4 40058,65102 3,1 40055,32021 3,2 40043,83511 3,5 40034,71041 3 40058,61927 3,4 40055,03946 3,3 40043,54154 3,5 40034,6923 3,2 40058,12499 3,1 40052,92157 3,2 40040,05427 3,4 40032,24281
3 40058,04414 3,5 40052,56137 3,3 40040,0021 3 40032,15297
3,1 40057,24147 3,1 40048,15763 3,2 40038,52376 3,5 40028,97776 3,1 40057,14708 3,1 40048,13952 3 40038,13681 3,1 40028,82943
3,1 40056,85919 3,5 40046,41789 3,4 40037,51809 3,9 40028,21883
3,1 40056,69784 3 40046,07659 3,1 40037,11435 3 40027,81159
3,1 40056,48338 3,1 40046,04122 3,3 40036,81868 3,3 40027,77935 3,2 40056,38122 3,1 40045,92153 3 40036,77612 3,2 40027,70054
EK-1. (Devam) Deprem verileri
3,2 40025,87658 3,9 40016,95971 3,7 40007,55493 3,5 40003,01808 3,4 40025,56053 3,1 40016,92294 3,3 40006,48563 3,4 40003,00604
3 40025,54071 3 40016,563 3 40006,4418 3 40002,76035
3,1 40023,84437 3,3 40013,19169 3,1 40005,35573 3,1 40001,08277
3,3 40023,42262 3 40013,13748 3,3 40005,21333 3 40001,04655 3,2 40021,53146 3,1 40012,12194 3,3 40004,56818 3,7 40000,49969 3,9 40021,52793 3,6 40012,11898 3,1 40004,49353 3,2 40000,4053
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 3 39997,60945 3,4 39994,08223 3,4 39987,9853 3,1 39984,21137
3 39997,39143 3,4 39993,99246 3 39987,83051 3 39984,20974
3,3 39997,14918 3,1 39993,89851 3,6 39987,79018 3,1 39984,17112 3,1 39997,14796 3,1 39993,8069 3,2 39987,76125 3,4 39984,16234 3,3 39996,45797 3,4 39993,01687 3,2 39986,55516 3,1 39983,77766
3,4 39996,33996 3 39992,78488 3 39986,50468 3,2 39983,7454
3,5 39996,33297 3,1 39992,64906 3,4 39986,44768 3,3 39983,72412 3,2 39996,12322 3,1 39992,48949 3,1 39986,40409 3,5 39983,3089
3,2 39995,78578 3,4 39992,26497 3 39986,30098 3 39983,2639
3 39995,57303 3,5 39992,14743 3,3 39986,28196 3,2 39983,23319 3,2 39995,27216 3,3 39992,09973 3,2 39986,11544 3,1 39983,20792 3,4 39995,14859 3,1 39992,00792 3,2 39986,11376 3,5 39983,1439
3,8 39994,47928 3,8 39989,39823 3,6 39985,06612 3,1 39982,18745
3,1 39994,4021 3,3 39989,38902 3,1 39984,70687 3 39982,14891
EK-1. (Devam) Deprem verileri 3,5 39981,67166 3,3 39981,14089 3,1 39975,03265 3,1 39969,12265
3,2 39981,66083 3 39981,13605 3,3 39975,02513 3,2 39969,0189
5,3 39981,46679 3,4 39979,97846 3,1 39973,90433 3,4 39968,16064
3 39981,44788 3 39979,23771 3,1 39973,88352 3,5 39968,10896
3,4 39981,44008 3,8 39978,85963 3,3 39973,86002 3,5 39968,06015
3,1 39981,43655 3 39978,81083 3 39973,84165 3,1 39967,98308 3,5 39981,36961 3,4 39976,47971 3,2 39972,37031 3,2 39966,29958 3 39981,3463 3,1 39976,20287 3,2 39972,06489 3,8 39966,29306 3,4 39981,34469 3,3 39976,17825 3,1 39971,96092 3 39966,24535
3,8 39981,33758 3,2 39976,1544 3 39971,75352 3 39966,23917
3 39981,26536 3,1 39976,00577 3 39971,7105 3,1 39966,11523
3 39981,26143 3,2 39975,82749 3,3 39971,61227 3,4 39966,10738 3,3 39981,24273 3,3 39975,76963 3,3 39971,43545 3,5 39966,09911 3,4 39981,23757 3,1 39975,65515 3,7 39970,61841 3 39965,99244 3,3 39981,1972 3,1 39975,2585 3,7 39970,42112 3,3 39965,92352 3,1 39981,19626 3 39975,21439 3,1 39970,33842 3,2 39965,03484
EK-1. (Devam) Deprem verileri 3,3 39963,75055 3,2 39958,24239 3,4 39950,73895 3,6 39943,51791 3,1 39963,74177 3 39958,17652 3,8 39949,98811 3,2 39943,28195
3 39963,46831 3 39957,73444 3 39949,67082 3 39943,08152
3,1 39963,4403 3 39957,57928 3,5 39949,5859 3,2 39943,07169
3,1 39962,94198 3 39957,52794 3,2 39949,20129 3 39943,01139
3,3 39962,23793 3,1 39957,46431 3,2 39949,01913 3,1 39942,99969 3,2 39962,23375 3 39957,19686 3,5 39948,91522 3,1 39942,88997 3,3 39959,84349 3,2 39954,78104 3,1 39945,74904 3,5 39938,82982 3,1 39959,78122 3,1 39953,96092 3,6 39945,74291 3,4 39938,78758
3,1 39959,65978 3 39953,59001 3,3 39945,64144 3,1 39938,4897
3,3 39959,56916 3,2 39953,11535 3,1 39945,26244 3,1 39938,28078
3,1 39959,55689 3 39952,81617 3,7 39945,1793 3,3 39937,99496
3 39959,54241 3,7 39952,72329 3,4 39945,02204 3,3 39937,80847
EK-1. (Devam) Deprem verileri
3,2 39936,67295 3,1 39931,12811 3,6 39922,50663 3,3 39912,58116 3,4 39936,49813 3,1 39931,09528 3,3 39922,04846 3,3 39912,57393 3 39936,3194 3,3 39931,03369 3,5 39921,91579 3,1 39912,54092 3,1 39936,24132 3,2 39930,87717 3,6 39921,74041 3,4 39912,25931
3 39936,17081 3,4 39930,87112 3 39921,72751 3,1 39912,178 3,3 39935,17314 3,3 39929,48532 3,3 39918,53964 3,3 39910,61501 3,1 39935,16106 3,4 39929,08687 3 39918,52881 3,4 39910,37933
3 39934,9629 3 39928,93823 3,3 39918,30735 3,1 39909,94135
3,2 39934,87024 3,3 39928,71874 3,1 39918,09704 3,4 39909,84922
3,2 39934,83328 3 39928,62535 3,1 39918,0225 3,3 39909,78946
3,3 39934,7865 3,2 39928,17477 3,4 39917,96601 3,2 39909,40779
3 39934,59048 3,6 39928,01064 3,3 39917,15291 3 39908,54956
3,1 39934,14231 3,1 39927,91172 3 39917,10479 3,7 39908,43387 3,1 39934,12698 3,2 39927,74571 3,6 39916,75661 3,5 39908,36493
3,1 39934,0895 3,5 39927,68753 3 39916,2845 3 39908,18697
3,2 39932,70349 3,2 39926,94874 3,4 39914,92015 3,4 39906,44484 3,4 39932,23547 3 39926,23032 3,2 39914,74339 3,8 39906,33158
EK-1. (Devam) Deprem verileri 3,3 39904,69821 3,4 39895,10911 3,2 39887,27091 3,5 39879,23915 3,1 39904,60582 3 39894,96155 3,1 39887,25793 3,5 39879,23324 3,8 39902,06466 3,4 39893,41036 3,6 39883,14755 3,1 39877,66134 3,1 39901,93045 3,3 39893,02264 3,3 39883,08319 3 39877,44471 3,2 39901,23508 3,6 39893,00938 3,2 39883,01875 3 39877,43624 3,9 39901,22165 3 39892,91014 3,1 39882,92162 3,1 39877,18707
3 39901,18343 3,2 39892,83463 3,4 39882,7756 3 39877,11159
3,1 39901,00874 3,3 39892,66299 3,2 39882,5806 3,2 39876,80936 3,1 39901,00075 3,1 39892,59513 3,3 39882,29319 3,3 39876,68719 3,3 39900,20572 3,1 39892,23273 3,3 39882,22659 3 39876,53147
3,2 39900,19628 3 39892,13811 3,3 39882,12989 3,1 39876,4419
3,4 39900,19439 3,3 39892,09607 3 39882,07849 3 39876,4159
3,2 39900,00352 3,1 39892,09082 3,3 39882,01308 3,2 39875,99044
3 39899,61923 3,3 39892,07845 3,1 39881,98793 3 39875,67441
3,3 39898,11897 3,5 39890,87707 3,3 39881,18396 3,1 39872,77375 3,1 39898,0671 3,7 39890,58649 3,3 39881,1643 3,8 39872,68508
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 3,2 39871,45689 3,2 39863,0305 3,1 39855,14095 3,3 39844,94443
3,2 39871,45044 3 39862,94214 3 39855,12625 3 39844,54276
3,8 39871,22034 3,4 39862,83452 3,4 39854,71125 3,3 39844,45843 3,1 39870,99303 3,1 39862,53307 3 39854,55237 3,1 39843,97578
3,1 39870,78646 3 39862,42913 3,3 39853,87007 3,2 39843,928
3 39870,54615 3,2 39862,21256 3 39853,13983 3,2 39843,80965
3,2 39870,29306 3,3 39862,08098 3,3 39852,90177 3,3 39843,63186
3,8 39870,09079 3 39862,01576 3,4 39852,87671 3,4 39843,6218
3 39869,86176 3,2 39861,81115 3 39852,86417 3 39843,5884
3,6 39869,78289 3,6 39861,42587 3,2 39852,74923 3,7 39843,28989 3,7 39869,18073 3,8 39861,37858 3,2 39852,74797 3 39843,21177 3,1 39869,13885 3,5 39861,30953 3 39852,36698 3,8 39843,01259 3,4 39869,13505 3,2 39861,08835 3,3 39851,68812 3,4 39842,8414
3,3 39868,73298 3 39861,03206 3,3 39851,19205 3 39842,35024
3,3 39868,34919 3 39860,97363 3 39850,93886 3,1 39842,33552
3,1 39868,30281 3,2 39860,92483 3,3 39850,30055 3,4 39842,25149 3,2 39868,20528 3,3 39860,84865 3,5 39850,18542 3,3 39842,17224 3,9 39867,8663 3,1 39860,42763 3,1 39849,95794 3,1 39841,96049 3,1 39867,75484 3,3 39860,06558 3,8 39849,87139 3,4 39841,88718
3,2 39866,69132 3,3 39859,84983 3 39849,3553 3,5 39841,11597
3,1 39866,23619 3,4 39859,73516 3,1 39849,10983 3,2 39841,07677
3,8 39866,17384 3 39859,239 3 39848,89716 3,4 39841,03793
3,2 39866,15053 3,3 39859,15498 3,2 39848,52688 3,2 39840,81803
3,2 39866,10331 3,1 39859,02333 3,3 39848,4951 3 39840,80351
3,2 39865,98785 3,1 39858,96545 3,2 39847,82078 3,3 39840,79924 3,2 39865,98674 3,1 39858,86793 3,1 39846,9747 3,1 39840,7873 3,1 39864,28951 3,1 39856,63324 3,1 39846,00661 3,2 39839,15837 3,5 39864,28143 3,3 39856,31507 3,2 39845,98319 3,1 39839,15028 3,3 39864,19357 3,3 39856,07123 3,2 39845,806 3,4 39839,03584 3,4 39863,87925 3,6 39855,58876 3,5 39845,76483 3 39839,00028 3,1 39863,77634 3,1 39855,55323 3,2 39845,75353 3 39838,99259 3,4 39863,71926 3,2 39855,51724 3,4 39845,59578 3,1 39838,92385 3,3 39863,23241 3,1 39855,20097 3,4 39845,46087 3,1 39838,71757 3,6 39863,22239 3,3 39855,15292 3,2 39845,22758 3,6 39838,39106
3,3 39863,12976 3 39855,14725 3,7 39845,04682 3 39838,32298
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 3 39838,32117 3,5 39828,13936 3,6 39819,87593 3,9 39812,84359 3,5 39838,25387 3,1 39828,08348 3,6 39819,85674 3,4 39812,56773 3,9 39838,03473 3,5 39827,74612 3,7 39819,76277 3,2 39812,48175
3,2 39838,02367 3 39827,72927 3 39819,65219 3,2 39812,36206
3 39837,62523 3,3 39827,69606 3,5 39819,31647 3 39812,17179
3,4 39837,44561 3,1 39827,42964 3 39819,19963 3 39812,07223
3,2 39837,43728 3,2 39827,3681 3 39819,15292 3 39811,5639
3,1 39837,30344 3,4 39827,14554 3,3 39818,88927 3,3 39811,52178 3 39837,2336 3,1 39827,09994 3,3 39818,88408 3,4 39811,17849
3 39837,10353 3,7 39827,08204 3,2 39818,85129 3 39811,08584
3 39837,03604 3,2 39827,05197 3,3 39818,7902 3,7 39810,74989 3,1 39836,69802 3,1 39827,01761 3,2 39818,66233 3,3 39810,54496
3 39835,90095 3 39826,97606 3,3 39818,19012 3,1 39810,3723 3,9 39832,02829 3,8 39825,03054 3,3 39815,07173 3,9 39807,41263
3 39831,83955 3 39825,02873 3 39814,99651 3,4 39807,21193 3,2 39829,23587 3,4 39821,13161 3,5 39813,12981 3,4 39805,16603 3,4 39829,0576 3,2 39820,11114 3,5 39813,09348 3,2 39805,10288 3 39828,73462 3,1 39819,96551 3,1 39813,02723 3,4 39805,03407
3 39828,43088 3 39819,92122 3 39812,98501 3,4 39805,03174
3,3 39828,31552 3,3 39819,91253 3 39812,98247 3 39805,02962
EK-1. (Devam) Deprem verileri 3,1 39803,92681 3,2 39795,93324 3,4 39788,12268 3,1 39782,38844
3 39803,78475 3 39795,65237 3,5 39787,95594 3,2 39782,10242
3 39803,61984 3 39795,5579 3 39787,85332 3 39781,945
3,2 39803,58158 3,1 39795,02709 3,3 39787,82272 3,2 39781,89875
3,5 39803,31413 3 39794,88598 3,3 39787,8107 3,3 39781,06416
3,2 39803,0728 3,3 39794,86382 3 39787,71705 3,4 39781,01785
3,1 39802,83804 3,2 39794,72217 3,3 39787,66382 3,4 39780,94192 3,5 39802,6811 3,2 39794,6226 3,1 39787,53731 3,1 39780,91152 3,1 39802,58576 3,6 39794,52016 3,1 39787,50701 3,3 39780,80486 3,1 39802,51498 3 39794,19534 3,3 39787,30392 3,3 39780,74486 3,1 39801,97687 3,7 39792,91355 3,1 39786,23259 3,1 39779,96401 3,9 39801,95713 3,4 39792,82214 3 39785,88784 3,4 39779,91138 3,4 39801,15787 3,7 39791,91404 3,1 39785,45617 3,2 39778,62311
3 39800,21902 3 39791,36623 3,2 39785,06506 3,2 39778,19239
3 39799,85468 3,2 39791,17997 3,3 39785,05177 3 39778,14202
3,2 39799,03417 3,1 39790,75347 3,1 39784,91112 3,1 39778,07791 3,5 39798,94827 3,1 39789,67164 3,2 39784,82492 3,5 39778,04946
3,6 39798,7752 3,3 39789,40976 3,5 39784,68615 3 39777,67362
3,3 39798,72917 3,9 39789,35063 3,1 39784,63947 3,4 39777,02373 3,3 39798,54801 3,5 39789,27196 3,6 39784,6087 3,7 39776,89025
3,4 39798,4406 3,3 39788,91814 3 39784,48878 3,7 39776,7965
3,2 39798,37614 3,2 39788,90544 3 39784,18416 3 39776,35343
3,3 39797,75925 3 39788,87555 3,4 39783,8066 3,2 39776,09164
3,1 39797,71012 3,4 39788,85943 3 39783,62961 3,7 39775,77995
EK-1. (Devam) Deprem verileri 3,8 39773,84961 3,2 39760,49862 3,1 39751,66969 3,1 39745,81862 3,2 39773,62476 3,3 39759,84332 3,5 39751,57786 3,1 39745,30287 3,2 39773,27776 3 39758,85293 3,3 39751,49795 3,6 39745,21335 3,6 39773,14964 3,1 39758,63748 3,1 39751,40984 3,4 39745,19928
3,2 39772,92498 3,5 39758,31474 3 39751,26673 3 39745,15853 3,1 39769,00226 3,3 39756,90783 3,2 39750,06913 3,2 39744,76118 3,4 39768,99824 3 39756,88327 3,2 39749,99148 3,9 39744,22028 3,1 39764,12219 3,3 39754,92833 3,3 39748,24882 3,9 39742,17046 3,6 39764,04649 3 39754,44264 3,2 39748,23429 3,2 39741,99257 3,2 39764,00302 3,4 39754,35271 3,1 39748,18771 3 39741,83743 3,1 39763,83087 3,4 39754,30215 3,1 39747,88469 3,2 39741,48039
3,7 39763,17968 3 39754,26645 3 39747,69893 3,1 39741,241
3,1 39763,09906 3 39754,15411 3 39747,52719 3,5 39740,71327
3,2 39763,05633 3,1 39754,01906 3,4 39747,47477 3,3 39740,30344
3,4 39763,00675 3 39753,96791 3 39747,40232 3,7 39740,21417
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 3,4 39740,08702 3,1 39732,79484 3,4 39725,89857 3,7 39721,59701 3,5 39739,95453 3,3 39732,75052 3,3 39725,76751 3 39721,15522 3,3 39739,95172 3,9 39732,61143 3,8 39725,70244 3,2 39721,14922 3,4 39739,88016 3,2 39732,50711 3 39725,65005 3,1 39721,04649 3,1 39734,95468 3,3 39731,72851 3,4 39724,06804 3,2 39720,02088 3,4 39734,94512 3,7 39731,58355 3 39724,03296 3,7 39720,01911 3,4 39734,73849 3,3 39729,14256 3,4 39723,05724 3,9 39719,65306 3 39734,72144 3,4 39729,01576 3,2 39722,94196 3,7 39719,61728 3,1 39733,40389 3,2 39727,59212 3,5 39722,00425 3,2 39718,40843 3,2 39733,18719 3 39727,38448 3,1 39721,99813 3,7 39718,19195 3,4 39733,09144 3,4 39727,11965 3,6 39721,97152 3,2 39717,99603
3,6 39733,02669 3,3 39726,4294 3,1 39721,9323 3 39717,96757
3,8 39732,92642 3 39726,35463 3,4 39721,77866 3 39717,75381
3,4 39732,9218 3,6 39726,14636 3,1 39721,75216 3,1 39717,58578
3,1 39732,8998 3,4 39726,07617 3,3 39721,7194 3 39717,35298
3,4 39732,85022 3 39726,00311 3,1 39721,62418 3,2 39717,26123
EK-1. (Devam) Deprem verileri
3,3 39716,02548 3,1 39711,08397 3,2 39704,87771 3,4 39699,06361 3,6 39716,0082 3,6 39711,04169 3,4 39704,87649 3,4 39699,04584
3,5 39714,75295 3,2 39709,08065 3,3 39703,91941 3,2 39696,68377 3,5 39714,60827 3,1 39709,05571 3,1 39703,79742 3 39696,64458
3,3 39713,88903 3,2 39707,86673 3,5 39702,63083 3,4 39694,95187 3,2 39713,88076 3,2 39707,83738 3 39702,14812 3,1 39694,49545
3 39713,8644 3,2 39707,82721 3 39702,13982 3 39694,16973
3,3 39713,86258 3 39707,3696 3,3 39702,08902 3,1 39694,01735
3,1 39713,85927 3,1 39707,3626 3,2 39702,04834 3,3 39693,97313 3,7 39713,85688 3,1 39707,34818 3,2 39701,9408 3,3 39693,83088 3,1 39713,81049 3,1 39707,33425 3,4 39701,89689 3,4 39693,81089 3,2 39713,79933 3 39707,09222 3,2 39701,57653 3,1 39693,72495
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 3,5 39692,72464 3,7 39687,32784 3,1 39683,35093 3,3 39678,82624 3,3 39692,61974 3 39687,03869 3,1 39683,34479 3,1 39678,60855 3,3 39690,04984 3,2 39685,42633 3,4 39680,92372 3,1 39677,03406 3,1 39690,03067 3,3 39685,37613 3,6 39680,91727 3 39677,02136 3,6 39689,90286 3,2 39685,16334 3,2 39680,70263 3 39677,01908 3,1 39689,71289 3,2 39685,14597 3,3 39680,14116 3,1 39676,96779 3,4 39689,65381 3,2 39685,09223 3 39680,09193 3,3 39676,57142
EK-1. (Devam) Deprem verileri
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) 4,9 10548,8489 4,9 9686,964583 4,7 9282,743762 5,3 8962,982361 4,7 10545,63338 4,9 9686,940278 5,5 9272,82537 5,3 8944,647222 5,2 10545,37771 5,5 9681,615828 5,8 9246,339399 5,3 8939,056944 4,7 10508,92968 5,4 9636,253194 5,8 9246,074356 4,9 8911,269792 4,7 10468,27313 4,7 9591,269167 5,3 9220,103264 5,5 8907,000012 6,1 10467,27632 5,2 9587,438264 5,2 9131,754769 6 8877,735119 4,5 10465,05753 5,8 9583,745892 5,2 9125,379688 5,5 8859,742847 4,7 10465,05734 4,5 9579,579873 4,7 9114,411111 5,2 8850,787153 4,7 10457,5191 5,1 9575,192373 5,5 9112,344796 5,9 8827,852604 4,9 10446,92924 4,9 9574,591678 4,3 9108,373623 5,3 8773,185905 4,9 10436,13521 4,8 9531,584826 4,9 9099,217407 4,9 8769,960301
4,8 10427,05016 6 9528,833067 5,3 9096,873889 4,9 8768,32088
4,9 10424,97101 5,4 9528,69728 4,4 9092,003495 5,2 8762,901111 4,8 10424,74067 4,7 9422,624444 4,9 9089,719907 5,2 8759,96088 4,8 10424,35203 5,3 9419,390221 4,9 9088,127917 5,3 8759,864684 5,3 10415,32068 5,2 9411,092674 4,4 9087,7514 6,8 8759,607115 4,4 10412,67853 5,5 9410,888472 4,4 9087,730567 5,3 8756,499764 5,8 10241,46815 7,7 9410,82406 4,7 9087,675648 5,2 8752,202102 5,3 10240,03967 4,4 9390,822928 5,9 9087,282373 5,2 8709,902361 4,4 10200,59794 4,8 9375,231262 5,3 9085,209028 4,8 8663,898785 4,9 10199,26082 4,4 9355,935428 4,7 9078,797847 5,3 8636,224321
4,9 10191,50389 5,3 9345,3 4,8 9075,120826 5,5 8636,07816
5,6 10160,3983 4,9 9343,936806 4,3 9067,684039 4,9 8607
4,7 10150,14667 4,8 9325,497222 4,5 9067,556956 5,5 8524,462316 4,7 10129,69531 5,3 9324,211111 4,7 9064,420139 4,8 8468,6514 4,8 10093,83438 5,2 9323,629861 4,9 9058,352083 5,3 8436,509213
5,3 10090,75 4,9 9320,904167 4,9 9058,306944 4,8 8391,426944
4,6 10087,05918 5,6 9316,294941 5,2 9057,820833 5,4 8365,161116 6,1 10086,91287 5,5 9315,082639 4,8 9043,000399 4,8 8341,152778 4,4 10067,00001 5,3 9313,920139 4,6 9029,197917 5,6 8286,481968 5,3 10064,04396 4,4 9311,950706 5,3 9001,95228 5,4 8269,956516 6,2 9754,100067 4,8 9296,818762 5,7 8963,162269 6,5 7995,347002 4,7 9738,582708 5,3 9295,290741 5,3 8963,135417 5,2 7942,027306 4,9 9686,969444 6,1 9293,834727 5,8 8963,128279 5,2 7926,176589
EK-1. (Devam) Deprem verileri
Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün) Magnitüd Zaman (Gün)
5,4 7882,432292 4,8 6387,550043 4,7 4931,497951 5,6 2526
5,5 7804,703287 5,5 6327,688958 4,3 4889,333345 5,3 2447,281944
5,6 7685,798449 5,8 6327,301024 6,1 4595,134582 5,2 2389
5,5 7676,393172 5,3 6307,320836 5,5 4512,818468 5,4 2383,593056 5,4 7612,805556 4,7 6166,153588 4,9 4414,986111 4,9 2381,416678
5,3 7549,891157 4,8 6110,510938 4,7 4414,396528 5,2 2322
5,4 7510,204225 4,7 6101,050733 5,3 4406,098676 4,7 2315,111806
5,5 7434,479271 5,5 6046,819465 5,7 4405,825066 6 2290
4,3 7433,154178 5,3 6015,735417 5,2 4379,877799 5,4 2221,672288 5,8 7423,997174 4,7 5997,894444 5,3 4343,346579 4,9 2199,312558 5,2 7373,684954 4,8 5950,304218 4,6 4343,305556 6,2 2199,243056 5,8 7313,637237 5,5 5899,579206 5,5 4342,770833 5,7 1901,513889 5,4 7227,865046 5,2 5882,866667 6,3 4342,390972 5,8 1901,402778 5,3 7227,512477 4,9 5810,848611 7,3 4341,061806 6,8 1901,294444 4,5 7225,592373 4,3 5697,6639 4,9 4278,553478 5,4 1858,154167 5,3 7163,274074 7,1 5604,288377 4,2 4197,064387 4,9 1684,791678 5,6 7134,64891 5,4 5574,254272 6,1 3874,862535 5,5 1683,675694 4,9 6877,002662 4,9 5140,009028 5,8 3077,593056 6,2 1421,255556 5,4 6875,292593 4,7 5136,859722 5,8 3065,825694 5,5 1337,418056 5,3 6836,657833 5,4 5134,40625 5,8 3064,609722 5,3 1244,15625
5,8 6836,301275 4,8 5133,550694 6,3 3064,475 4,9 1198,484722
5,5 6823,441148 4,9 5131,675694 6 3043,20625 5,8 1032,754924
5,4 6771,179109 4,8 5129,520833 4,7 2979,854903 4,7 1022,556253 5,4 6684,425613 4,8 5128,50625 5,5 2962,479167 5,2 1021,196528 4,3 6644,414595 4,7 5127,852778 6 2930,269444 4,4 1019,000012 4,9 6643,113218 5,3 5127,784001 5,3 2833,671528 5,5 980,162537
5,2 6640,526944 4,9 5127,756944 5,3 2833,614583 5,2 955
5,4 6628,426007 4,4 5127,743067 5,4 2833,594493 6,3 950,9902778
6,5 6583,504919 4,4 5127,680567 5,4 2831,163194 5,6 926
EK-2. Kolmogorov-Smirnov testi
𝑋𝑗, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛’ler birbirlerinden bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenler ve bilinmeyen dağılım fonksiyonu da F olsun. Örnekten elde edilen dağılım fonksiyonu 𝐹𝑛, F'yi tahmin etmek amacıyla kullanılabilir. Bununla birlikte, F ile ilgili hipotez testleri de ortaya çıkar ve pratik bir öneme sahiptir. Dolayısıyla, bütün muhtemel durumlara karşı, 𝐻: 𝐹 = 𝐹0 hipotezinin test edilmesiyle ilgilenebiliriz. Bu hipotez, uyum iyiliği için ki-kare testi kullanılarak test edilebilir. Ki-kare testi, dağılım fonksiyonları ile ilgili en eski parametrik olmayan testtir. Alternatif olarak, örnekten elde edilen dağılım fonksiyonu 𝐹𝑛 içinde aynı hipotez, test etmek için kullanılabilir. Aşağıda önerilen testi kullanabilmek için, F'nin sürekli olduğu varsayımını tamamlamamız gerekir (ancak hafif). Böylece burada test edilecek hipotez,
𝐻: 𝐹 = 𝐹0 verilen sürekli dağılım fonksiyonu, alternatif hipotezde
𝐴: 𝐹 ≠ 𝐹0 (bu anlamda en az bir 𝑥 ∈ ℝ için 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)’dır)
α anlamlılık değeri olsun. 𝐷𝑛 rasgele değişkeni aşağıdaki gibi tanımlansın:
𝐷𝑛 = 𝑠𝑢𝑝{|𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹0(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ}
buradaki 𝐹𝑛 örnek dağılım fonksiyonudur. Daha sonra, H hipotezinin doğruluğu altında, 𝐷𝑛 𝑎. 𝑠
𝑛⟶∞→ 0’dır. Dolayısıyla,𝐷𝑛 > 𝐶 ise H'ı reddedecek ve aksi kabul edilecektir. C sabiti 𝑃(𝐷𝑛 > 𝐶|𝐻) = α (1) ilişkisi vasıtasıyla belirlenir. Bu tespitin mümkün olabilmesi için, 𝐷𝑛'nin H hipotezi altında dağılımını ya da onun bazı bilinen katsayılarını bilmek zorundayız. Literatürde, (2)’deki gibi gösterilmiştir (Roussas, 1997).
𝑃(√𝑛𝐷𝑛 ≤ 𝑥|𝐻 )
𝑛⟶∞→ ∑∞𝑗=−∞(−1)𝑗𝑒−2𝑗2𝑥2,𝑥 ≥ 0 (2) Böylece, büyük n için, (2)’nin sağ tarafı (1) aracılığıyla C'yi belirlemek amacıyla kullanılabilir. n (n ≤ 100) ve seçilmiş α'nın (α = 0.10, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005) değerleri için C hesaplamasını kolaylaştıran tablolar mevcuttur. Yukarıda kullanılan test, Kolmogorov'un tek örneklem testi olarak bilinir.
EK-2. (Devam) Kolmogorov-Smirnov testi
Az önce anlatılan test hipotezi problemi pratik olarak sınırlı bir öneme sahiptir. Pratikte doğal olarak ortaya çıkan sorunlar aşağıdaki türdeki sorunlardır:
𝑋𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 sürekli birbirlerinden bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenler ve bilinmeyen dağılım fonksiyonu da F; 𝑌𝑗, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 ise sürekli birbirlerinden bağımsız aynı dağılıma sahip rasgele değişkenler ve bilinmeyen dağılım fonksiyonu da G olsun. İki rassal örneğin bağımsız olduğu varsayılacaktır ve buradaki hipotez,
𝐻: 𝐹 = 𝐺
alternatif hipotezde𝐴: 𝐹 ≠ 𝐺 (Bu anlamda en az bir 𝑥 ∈ ℝ için 𝐹(𝑥) ≠ 𝐺(𝑥)’dir).
Hipotez, α anlamlılık düzeyinde test edilecektir. 𝐷𝑚,𝑛 rasgele değişkeni aşağıdaki gibi tanımlansın:
𝐷𝑚,𝑛 = 𝑠𝑢𝑝{|𝐹𝑚(𝑥) − 𝐺𝑛(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ}
buradaki 𝐹𝑚, 𝐺𝑛 sırasıyla X’in ve Y’nin örnek dağılım fonksiyonudur. H hipotezinin doğruluğu altında 𝐹 = 𝐺, böylece
|𝐹𝑚(𝑥) − 𝐺𝑛(𝑥)| = |[𝐹𝑚(𝑥) − 𝐹(𝑥)] − [𝐺𝑛(𝑥) − 𝐺(𝑥)]|
≤ |[𝐹𝑚(𝑥) − 𝐹(𝑥)| + |[𝐺𝑛(𝑥) − 𝐺(𝑥)|
dir.
Bundan dolayı
𝐷𝑚,𝑛 ≤ 𝑠𝑢𝑝{|𝐹𝑚(𝑥) − 𝐹(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ} + 𝑠𝑢𝑝{|𝐺𝑛(𝑥) − 𝐺(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ}, buna karşılık
𝑠𝑢𝑝{|𝐹𝑚(𝑥) − 𝐹(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ} 𝑎. 𝑠.
𝑚⟶∞→ 0, 𝑠𝑢𝑝{|𝐺𝑛(𝑥) − 𝐺(𝑥)|; 𝑥 ∈ ℝ} 𝑎. 𝑠.
𝑛⟶∞→ 0 dir.
Başka bir deyişle, 𝑚, 𝑛 ⟶ ∞ olarak aldığımızda 𝐷𝑚,𝑛𝑎.𝑠.
→ 0 olur ve 𝐷𝑚,𝑛 > 𝐶 ise H hipotezini reddettiğimiz, aksi durumda ise kabul ettiğiniz anlamına gelir. C sabiti
EK-2. (Devam) Kolmogorov-Smirnov testi
𝑃(𝐷𝑚,𝑛 > 𝐶|𝐻) = α (3) ilişkisi vasıtasıyla belirlenir (Roussas, 1997).
Bir kez daha C'nin fiili olarak belirlenmesi için, H hipotezinin doğruluğu altında 𝐷𝑚,𝑛 dağılımını ya da onun bazı bilinen katsayısını bilmek zorundayız. Bununla bağlantılı olarak, literatürde,
𝑃(√𝑁𝐷𝑚,𝑛 ≤ 𝑥|𝐻)
→ ∑∞𝑗=−∞(−1)𝑗𝑒−2𝑗2𝑥2; 𝑚, 𝑛 ⟶ ∞,𝑥 ≥ 0 (4)
𝑁 = 𝑚𝑛/(𝑚 + 𝑛)’dir.
Böylece, büyük m ve n için, (4)’ün sağ tarafı (3) aracılığıyla C'yi belirlemek amacıyla kullanılabilir. m ve n'nin uygun değerleri için (𝑚 = 𝑛≤40 gibi)) C’nin. hesaplanmasını kolaylaştıran tablolar mevcuttur.
Şu ana kadar düşünülen 𝐴: 𝐹 ≠ 𝐺 alternatif hipotezine ek olarak, aşağıdaki iki alternatif hipotezde ilgi çekicidir;
𝐴′: 𝐹 > 𝐺
ise en az bir 𝑥 ∈ ℝ için 𝐹(𝑥) ≥ 𝐺(𝑥) kesin eşitsizliğine sahip olduğu anlamında, 𝐴′′: 𝐹 < 𝐺
ise en az bir 𝑥 ∈ ℝ için 𝐹(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥) kesin eşitsizliğine sahip olduğu anlamındadır.
H hipotezini 𝐴′ hipotezine karşı test etmek için, 𝐷𝑚,𝑛+ = 𝑠𝑢𝑝{𝐹𝑚(𝑥) − 𝐺𝑛(𝑥); 𝑥 ∈ ℝ}
tarafından tanımlanan 𝐷𝑚,𝑛+ istatistiği kullanılır. Eğer 𝐷𝑚,𝑛+ > 𝐶+ ise H hipotezi reddedilir.
Kritik değer 𝐶+, 𝑃(√𝑁𝐷𝑚,𝑛+ ≤ 𝑥)
→ 1 − 𝑒−2𝑥2; 𝑚, 𝑛 ⟶ ∞,𝑥 ∈ ℝ′𝑑𝑒𝑛 yararlanılarak
𝑃(𝐷𝑚,𝑛+ > 𝐶+|𝐻) = α ilişkisi ile belirlenir. Burada N daha önce olduğu gibi, yani 𝑁 = 𝑚𝑛/(𝑚 + 𝑛)’dir.
EK-2. (Devam) Kolmogorov-Smirnov testi
Benzer şekilde, H hipotezini 𝐴′′ hipotezine karşı test etmek için, 𝐷𝑚,𝑛− = 𝑠𝑢𝑝{𝐺𝑛(𝑥) − 𝐹𝑚(𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} tarafından tanımlanan 𝐷𝑚,𝑛− istatistiği kullanılır. Eğer 𝐷𝑚,𝑛− < 𝐶− ise H hipotezi reddedilir .
Kritik değer 𝐶−, 𝑃(√𝑁𝐷𝑚,𝑛− ≤ 𝑥)
→ 1 − 𝑒−2𝑥2; 𝑚, 𝑛 ⟶ ∞,𝑥 ∈ ℝ′𝑑𝑒𝑛 faydalanarak
𝑃(𝐷𝑚,𝑛− > 𝐶+|𝐻) = α ilişkisi ile belirlenir.
𝐷𝑚,𝑛, 𝐷𝑚,𝑛+ ve 𝐷𝑚,𝑛− istatistiklerine dayanan son üç test, Kolmogorov-Smirnov iki örneklem testleri olarak bilinir (Roussas, 1997).
ÖZGEÇMİŞ
Soyadı, adı : YALÇIN, Umut
Uyruğu : T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 14.10.1989, Gaziosmanpaşa
Medeni hali : Bekar
Telefon : 0(312) 417 5190-4442
Faks : 0(312) 418 6689
e-mail : umutyalcin89@gmail.com
Eğitim Derece
Yüksek Lisans
Eğitim Birimi
Gazi Üniversitesi/İstatistik
Mezuniyet tarihi 2017
Lisans Marmara Üniversitesi/Matematik 2012
Lise Gaziosmanpaşa Atatürk Lisesi 2006
İş Deneyimi
Yıl Yer Görev
2012- 2017 Kara Harp Okulu Öğretim Görevlisi
Yabancı Dil İngilizce
Yayınlar -
Hobiler
Yüzme, Basketbol, Masa Tenisi, Futbol