TÜRKİYEDE ORTAYA ÇIKAN DEPREM SAYILARI VE ORTALAMA DEPREM BÜYÜKLÜĞÜNE GÖRE DEPREMSELLİK EĞİLİMİNİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE İNCELENMESİ.

TÜRKİYEDE ORTAYA ÇIKAN DEPREM SAYILARI VE ORTALAMA DEPREM BÜYÜKLÜĞÜNE GÖRE DEPREMSELLİK EĞİLİMİNİN

MARKOV ZİNCİRLERİ İLE İNCELENMESİ

Umut YALÇIN

YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HAZİRAN 2017

Umut YALÇIN tarafından hazırlanan “TÜRKİYEDE ORTAYA ÇIKAN DEPREM SAYILARI VE ORTALAMA DEPREM BÜYÜKLÜĞÜNE GÖRE DEPREMSELLİK EĞİLİMİNİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE İNCELENMESİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman: Doç.Dr. Meral EBEGİL İstatistik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ...………

Başkan: Prof.Dr. Tahir HANALİOĞLU

Endüstri Mühendisliği, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ………...

Üye: Doç.Dr. Fikri GÖKPINAR İstatistik, Gazi Üniversitesi

Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ………...

Tez Savunma Tarihi: 15/06/2017

Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum.

……….…….

Prof. Dr. Hadi GÖKÇEN Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

ETİK BEYAN

Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;

 Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,

 Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,

 Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi,

 Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

 Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,

bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim.

Umut YALÇIN 15/06/2017

TÜRKİYEDE ORTAYA ÇIKAN DEPREM SAYILARI VE ORTALAMA DEPREM BÜYÜKLÜĞÜNE GÖRE DEPREMSELLİK EĞİLİMİNİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE

İNCELENMESİ (Yüksek Lisans Tezi)

Umut YALÇIN

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Haziran 2017 ÖZET

Bu çalışmada, (36° − 42°) Kuzey, (26° − 45°) Doğu koordinatlarında bulunan Türkiye’de 1900-2010 yılları arasında olan deprem verileri kullanılarak deprem büyüklükleri (Magnitüd(M)) için uygun sınıf aralıkları M<3, 3≤M<4, 4≤M<5, 5≤M<6 ve 6≤M şeklinde oluşturulmuştur. Oluşturulan bu aralıklar sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 Markov zincirinin durumlarını göstermektedir. Alınan herhangi bir zaman aralığında (∆t), hiç deprem kaydedilmeyeceği gibi sınırlı sayıda deprem de kaydedilebilir. Uygulamamızda ∆t zaman aralığında meydana gelen en yüksek deprem büyüklüğü seçilmiştir. ∆t zaman aralığında hiç deprem olmazsa en yüksek deprem büyüklüğü için sıfır alınmıştır. Bu şekilde ∆t zaman aralıklarında meydana gelen depremler ait oldukları durumlara atanmıştır. 1900-2010 yılları arası ∆t’lik zaman aralıklarına bölünerek Markov zinciri oluşturulmuştur.

Oluşturulan Markov zinciri kullanılarak farklı ∆t (1 gün, 2 gün, 3 gün, ...) zaman aralıklarına göre geçiş matrisleri oluşturulmuş, daha sonra bu matrislerden dönem içi kestirim oranı ve Maksimum Entropi Prensibi’ne göre TOPSIS yöntemi kullanılarak en uygun olan matrisin Δt = 15 gün zaman aralığına sahip geçiş matrisi olduğu belirlenmiştir.

Elde edilen geçiş matrisleri kullanılarak depremle ilgili tahminlerde bulunulmuştur.

Bilim Kodu : 20509

Anahtar Kelimeler : Depremsellik eğilimi, Markov zinciri, Entropi Sayfa Adedi : 83

Danışman : Doç.Dr. Meral EBEGİL

THE EXAMINATION OF SEISMICITY TREND IN TURKEY IN RESPECTS OF OCCURRING EARTHQUAKE NUMBERS AND MEAN EARTHQUAKE

MAGNITUDE BY MARKOV CHAIN (M. Sc. Thesis)

Umut YALÇIN

GAZİ UNIVERSITY

GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES June 2017

ABSTRACT

In this study, proper intervals for magnitude of earthquake are generated by using the earthquake data of Turkey (36°- 42° North, 26°- 45° East) for years 1900-2010. The intervals are formed as M<3, 3≤M<4, 4≤M<5, 5≤M<6 and 6≤M represent states 1,2,3,4 and 5 of Markov chains respectively. For a random time period ∆t, either no quakes or limited number of quakes can be recorded. In our application, the quake with the highest magnitude is chosen for a time period ∆t. In case of no earthquake in a given time the magnitude is taken zero. In this manner, quakes occurring in time periods ∆t are assigned to the states where they belong. Markov chain is created by dividing years between 1900 and 2010 to time periods of ∆t. With using this Markov chain, transition matrices are created according to different time periods ∆t (1 day, 2 days, 3 days, …). By using TOPSIS method with maximum entropy principal and mid-term forecast rates, the optimum matrix is found to be the one with Δt = 15 days. With the help of transition matrices, forecasts for earthquake are made.

Science Code : 20509

Key Words : Seismicity trend, Markov chain, Entropy Page Number : 83

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Meral EBEGİL

TEŞEKKÜR

Tezimizin başlangıcından bitimine kadar bana inanan, yardım ve katkılarını benden esirgemeyen hocam Doç.Dr. Meral EBEGİL’e teşekkürü bir borç bilirim. Tez jürisindeki değerli katkıları için Prof.Dr. Tahir HANALİOĞLU ve Doç.Dr. Fikri GÖKPINAR hocalarıma teşekkür ederim. Çalışmam boyunca deneyimleri ile bana yol gösteren ve gereken izinleri almamda kolaylık sağlayan amirlerime müteşekkirim. Bildiklerini paylaşan ve yeri geldiğinde benim için de mesai yapan, çalışma arkadaşlarıma teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

TEŞEKKÜR ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... ix

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... x

SİMGELER VE KISALTMALAR... xi

1. GİRİŞ

2. DEPREM

2.1. Deprem ... 5

2.2. Depremle İgili Temel Kavramlar ... 7

2.3. Magnitüd ve Şiddet ... 8

2.4. Türkiye’de Deprem ... 12

3. STOKASTİK SÜREÇLER VE MARKOV ZİNCİRLERİ

3.1. Stokastik Süreçler ... 15

3.2. Markov Zincirleri ... 16

3.2.1. Temel kavramlar ... 16

3.2.2. Durumların sınıflandırılması ... 19

3.2.3. Limit teoremleri ... 23

3.2.4. Potansiyel ve önünde-sonunda geçiş olasılıkları matrislerinin hesaplanması ... 25

3.2.5. Ortalama ilk geçiş zamanları ... 26

4. ENTROPİ

4.1. Giriş ... 29

4.2. Markov Zincirlerinde Entropi ... 31

Sayfa

5. TOPSIS

5.1. Giriş ... 33

5.2. TOPSIS Yöntemi ... 34

6. UYGULAMA

6.1. Uygulamanın Amacı ... 37

6.2. Uygulama Verileri ... 37

6.3. Magnitüd (M)≥3'ten Büyük İki Deprem Arasında Geçen Sürelerin İncelenmesi ... 42

6.4. Markov Zincirinin Analizi ... 48

6.4.1. n adımda geçiş olasılıkları ve limit dağılımı ... 48

6.4.2. İlk geçiş olasılıkları ... 50

6.4.3. Ortalama ilk geçiş zamanı ... 51

7. SONUÇ VE ÖNERİLER

KAYNAKLAR ... 57

EKLER ... 61

EK-1. Deprem Verileri... 62

EK-2. Kolmogorov-Smirnov Testi ... 79

ÖZGEÇMİŞ ... 83

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 2.1. Şiddet-magnitüd karşılaştırması ... 12

Çizelge 3.1. 𝑟𝑖𝑗’nin durumlara göre değeri ... 26

Çizelge 3.2. 𝑓𝑖𝑗’nin durumlara göre değeri ... 26

Çizelge 6.1. Depremlerin olduğu zamanın güne dönüştürülmesi ... 37

Çizelge 6.2. Durumlar ... 38

Çizelge 6.3. Yıllara göre Magnitüd(M) ≥ 3’den büyük depremlerin sayısı ... 39

Çizelge 6.4. Tarihlere göre alternatiflerin seçilme sayısı ... 40

Çizelge 6.5. Tarihlere göre belirlenen Δt’ler ... 41

Çizelge 6.6. Tarihlerin seçilme sayısı ... 41

Çizelge 6.7. Yeni durumlar ... 42

Çizelge 6.8. İki deprem arasında geçen sürelerin (Gün) betimsel istatistik değerleri ... 43

Çizelge 6.9. i durumundan k adımda ilk geçiş olasılıkları ... 50

Çizelge 6.10. i durumundan j durumlarına ortalama ilk geçiş zamanları ... 51

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 2.1. Elastik geri tepme teorisinin şekilsel gösterimi ... 6

Şekil 2.2. Sismograf ... 7

Şekil 2.3. Kırılma alanı ve büyüklüğü arasındaki ilişki ... 9

Şekil 2.4. Faydaki kırılma alanı ve büyüklüğü ile ilgili ampirik bir model ... 10

Şekil 2.5. Moment büyüklüğü ölçeğinin diğer büyüklük ölçekleriyle karşılaştırılması ... 11

Şekil 2.6. Türkiye deprem bölgeleri haritası ... 13

Şekil 3.1. Durumlar arası geçiş diyagramı ... 20

Şekil 3.2. Periyodik Markov zinciri ... 22

Şekil 6.1. Depremler arasında geçen sürelerin histogram ... 43

Şekil 6.2. Depremler arasında geçen sürelerin Üstel ve Empirik dağılım fonksiyonlarının grafiği ... 44

Şekil 6.3. Depremler arasında geçen sürelerin Weibull ve Empirik dağılım fonksiyonlarının grafiği ... 45

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı kısaltma ve simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Kısaltmalar Açıklamalar

𝑨_𝒋⁺ j'nci kriter için pozitif ideal 𝑨_𝒋⁻ j'nci kriter negatif ideal

𝑪_𝒊 ideal noktalara nispi uzaklık

𝑴_𝑳 Richter tarafından önerilen yerel büyüklük

𝑴_𝒘 Önerilen moment büyüklüğü

𝑴_𝟎 Deprem momenti

𝑵_𝒋(𝒕) t zamanına kadar j ’ye yapılan toplam girişlerin sayısı 𝑷_𝒊𝒋^(𝒎) i ’den j ’ye m dönemde geçiş olasılığı

𝑷_𝒊𝒋 i durumundan j durumuna 1 dönemde geçiş olasılığı

𝑺_𝒊⁺ Pozitif idealden uzaklık

𝑺_𝒊⁻ Negatif idealden uzaklık

𝑿_𝒊𝒋 Karar Matrisi

𝒇_𝒊𝒋^(𝒏) i ’den j ’ye n dönemde ilk geçiş olasılığı 𝒇_𝒊𝒋 i ’den j ’ye n dönemde ilk geçiş olasılığı

𝝁_𝒊𝒊 Ortalama ilk geçiş zamanı

𝝅^′ Limit dağılımı

𝝅_𝟎 Markov Zinciri’nin başlangıç olasılık dağılımı

∆t Zaman aralığı

𝑯(𝑺) Markov sürecinin entropisi

𝑯(𝑿) X rasgele değişkeninin entropisi

𝑴𝒅 Magnitüd

𝑷 Geçiş matrisi

𝑹 Potansiyel matris

𝑺 Durum uzayı

𝒅 Periyot

1. GİRİŞ

Depremlerin oluşu aşırı rastgelelik ile karakterize edilir. Depremler mekânsal ve zamansal alanda son derece stokastik niteliktedir. Sonuç olarak, hem mekansal hem de zamansal olarak, gelecekteki depremlerin doğru tahmininde bugüne kadar çok az ilerleme elde edilmiştir. Ancak, bazı bölgeler depremlere daha duyarlı iken, bazı bölgelerinse sismik olarak nispeten hareketsiz olduğu gözlenir. Tam olarak gelecekte olacak bir depremin zamanını ve yerini saptamak neredeyse imkânsız olmasına rağmen, hâlâ geçmişte olmuş olan geçmiş deprem kayıtlarından bir bölge için uzun vadeli sismik tehlikeyi tahmin etmek mümkün olabilir (Anagonos ve Kiremidjian, 1988). Sismik tehlike değerlendirmesi genellikle çalışma bölgesinin sismik tarihinin istatistiksel analizine dayanır. Bu değerlendirmelerin birçoğu, Gutenberg ve Richter dağılımına ve Poissonun depremsellik modellerine dayanan farklı tekrarlanma zaman aralıkları için sismik tehlike parametrelerinin tahmin edilmesi gibi tamamen olasılıklıdır. Bir bölgenin depremsellik modellemesi, çoğunlukla geçmiş dönemdeki deprem oluşumlarına ve büyüklüklerine bağlıdır (Kramer, 1996; Mohanty ve Verma, 2013). Bununla birlikte, yukarıda tartışılan modeller, deprem olaylarının uzaydan ve zamandan bağımsız olduğunu varsayarak depremselliği analiz etmektedir. Dahası, bu depremsellik analiz metotları, geniş bir bölge göz önüne alındığında uygun olmayabilir. Bununla birlikte, nispeten küçük bölgeler için sismik geri tepme modeli kullanılabilir (Lomnitz ve Nava, 1983). Bu bağlamda, küçük bölgelerin depremsellik değerlendirmesi için Markov modeli gibi diğer stokastik modelleme teknikleri uygulanabilir. Markov özelliği, bir dizi geçmişteki olaylarla birlikte olan süreçte, bir sonraki durumun sadece mevcut olaya bağlı olduğunu ve önceki olaya bağlı olmadığını belirtmektedir. Birçok araştırmacı, sismik tehlike değerlendirmesi için Markov zincirlerinin uygulanmasını tartışmıştır. Bu çalışmada istatistiksel yaklaşım, Türkiye’deki sismik tehlikelerin tahmini için uygulanmıştır.

Sismik tehlike değerlendirmesi için olasılıklı deprem oluşumu modelleri sıklıkla kullanılmaktadır. Bunlardan en önemlileri arasında Poisson modelleri (Cornell, 1968;

Gardner ve Knopoff, 1974) ve Markov, Yarı-Markov modelleri (Cluff ve Patwardhan, 1980; Herrera, Nava ve Lomnitz 2006; Altınok ve Kolcak, 1999; Nava, Herrera, Frez ve Glowacka, 2005) bulunmaktadır. Poisson modeli, orta sıklıktaki depremlerle karakterize edilen bölgelere uygulanırken, Markov ve Yarı-Markov modelleri gibi diğer modeller, nadir depremlerin bulunduğu bölgelerdeki olay dizilerini daha iyi tanımlamaktadır

(Anagnos ve Kiremidjian, 1988). Geçmişte birçok araştırmacı, sismik analiz üzerine odaklanarak dünyanın farklı bölgelerine özgü farklı modellerin kullanılmasını önermiş ve vurgulamıştır. Bunlardan birkaçı elastik kopma modeli (Reid, 1910; Richter, 1958), sismik göç (Richter, 1958; Mogi 1968) ve Markov modelleri (Vere-Jones ve Davies, 1966;

Knopoff, 1971; Veneziano ve Cornell, 1974; Lomitz, 1983; Patwardhan, Kulkarni ve Tocher, 1980), zaman veya kayma öngörülebilir model (Shimazaki ve Nakata, 1980), sismik boşluk kavramı numarası (Fedotov, 1965; Mccann ve Nishenko, 1979; Kagan ve Jackson, 1991) ve Poisson depremsellik modelleridir (Brillinger, 1982; Lomnitz ve Nava, 1983). Literatürde, hem zamanla hem de mekânla ilgili sismik değişimlerin tespitine dayanan model tanıma ile bağlantılı birçok istatistiksel yöntem yer almaktadır. Sismik analiz için model tanıma uygulaması 1990 yılında Keilis Borok ve Kossobokov tarafından sunulmuştur. Burada şiddetli depremler için artan olasılık zamanlarını belirlemek için geçmiş sismik aktiviteye subjektif ağırlıklar atanmaktadır. 1991 yılında Agnew ve Jones tarafından yapılan benzer bir araştırmada, kısa zaman ölçeklerinde bazı büyük depremlerin ardından, büyük olay kaynağına çok yakın bölgelerde daha küçük depremlerin meydana geldiğini bildirilmektedir. Farklı stokastik modeller ve bunların sismik tehlike analizindeki uygulamaları hakkında ayrıntılı açıklamalar, 1988 yılında Anagnos ve Kiremidjian tarafından yapılan bir çalışmada tartışılmıştır. Buna ek olarak, 1999 yılında Tsapanos ve Papadopoulou, büyük depremlerin ortaya çıkışını modellemek için kesikli bir Markov modeli kullanmışlardır. 2005 yılında Nava ve diğerleri depremsellik modellerinin geçiş olasılıkları için Markov modelini önermişlerdir.

Deprem verileri analizi ve tehlikesi için farklı stokastik modellerin uygulanması hakkında giderek artan bir literatür mevcuttur. Özellikle, deprem tahmini gibi birçok deprem ile ilgili problemde Markov modelleri kullanılmış (Di Luccio, Console, Imoto ve Murru, 1997;

Console, 2001; Console, Pantosti ve D’Addezio, 2002), sismik ön- artçı sarsıntıları modellenmiş (AI-Hajjar ve Blanpain, 1997; Felzer, Abercrombie ve Ekstrom, 2004) ve deprem kataloglarının küme analizi yapılmıştır (Ebel, Chambers ve Baglivo, 2007).

Deprem verileri analizi için Yarı-Markov modelleri de kullanılmıştır (Altınok ve Kolçak, 1999; Sadeghian, 2012; Votsi, Nikolaos, George ve Eleftheria, 2012). 2005 yılında Alvarez tarafından yapılan bir çalışmada, yeni bir parametrik tahmin yöntemi ile Weibull Yarı- Markov sürecinin uygulanışı anlatılmaktadır. Daha sonra, 2011 yılında Garavaglia ve Pavani, depremsellik analizi için Üstel ve Weibull dağılımı karışımına dayanan benzer bir çalışma sunmuşlardır. Bununla birlikte, bu çalışmalarda elde edilen sonuçların analizi ve değerlendirilmesi konusunda pek fazla bir şey tartışılmamaktadır. 1980 yılında Patwardhan

ve diğerleri Yarı-Markov modellerinin diğer modellerle karşılaştırıldığında bazı avantajlarını ortaya koymuşlardır. Farklı stokastik modellerin farklı bölgelere uygulanabilirliği ve uygunluğunun değerlendirilmesi aşamalı olarak incelenmiş ve birçok araştırmacı tarafından rapor edilmiştir (Anagnos ve Kiremidjian, 1988; Herrera ve diğerleri, 2006; Votsi ve diğerleri, 2012). Son yıllarda Markov modelleri ve Türkiye'deki sismik tehlike analizi için diğer istatistiksel teknikler 2014 yılında Ünal, Çelebioğlu ve Özmen tarafından ortaya konmuştur. Bununla birlikte literatürdeki yapılan çalışmalara göre, sismik tehlike analizi için kullanılan stokastik modeller arasında en iyi modelin hangisi olduğunu söylemenin çok zor olduğu görülmektedir (Anagnos ve Kiremidjian, 1988).

Markov modellerinin deprem oluşumu analizi için uygunluğu, bir deprem meydana geldiğinde fay altında toplanan enerjilerin boşaltılması gerçeğiyle açıklanabilir. Bu durumda belirli bir bölgedeki depremin zaman ve büyüklüğü bölgedeki bir önceki depreme bağlı olduğu gerçeğini ortaya çıkarmaktadır. Markov modellerinin bazı avantajları, ardışık verilerden ve ölçülü hesaplama gereksiniminden türetmek (veya çıkarmak) nispeten kolaydır ve dinamik değişim mekanizmalarına derinlemesine bir bakış açısı gerektirmez.

Bununla birlikte, dinamik değişikliklerin temel parametreleri de geçiş olasılığı matrisinde tanımlanmaktadır. Dahası, geçiş olasılıklarının (yani bir durumdan diğerine geçiş olasılıklarının) Markov modellerinde sınırlı veriden elde edilmesi zordur. Bu tür modeller öncelikle plaka sınırlarına uygundur ve yüksek sismik aktivite ile karakterize edilir (Anagnos ve Kiremidjian, 1988). Deprem tahmini iki tip olarak düşünülebilir. Birincisi, veri kayıtlarından toplanan, önceki olaylara dayanan istatistiksel tahminlerdir. İkincisi ise deprem işaretlerinden yapılan deterministik tahminlerdir.

Bu çalışma, Türkiye’deki sismik hareketliliğin analizine odaklanmıştır. Bu amaçla, (36° − 42°) Kuzey - (26° − 45°) Doğu koordinatlarında bulunan Türkiye’nin 1900-2010 yılları arasında deprem verileri kullanılarak, deprem tahmini için uygun olan çeşitli olasılıklar, seçilen zaman aralığı ile Markov zincirinin geçiş olasılıklarından türetilmiştir. Geçiş matrisi kullanılarak gelecekteki depremlerin stokastik olarak tahmini mümkün olmaktadır.

Çalışmanın giriş bölümünde problem tanıtıldıktan sonra, 2. bölümde depremle ilgili bilgilere yer verilmiştir. 3. bölüm, 4. bölüm ve 5. bölümde sırasıyla, Stokastik süreçler ve Markov zincirleri, Entropi, TOPSIS kavramlarından bahsedilmiştir. 6. bölümde ise, Türkiye’deki depremler Markov zincirleri ile modellenerek elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır.

2. DEPREM

2.1. Deprem

Deprem, dünyanın kabuğunda depolanan elastik enerjinin serbest bırakılmasının neden olduğu yerin ani bir hareketidir. Kaynaktan dışarı doğru sismik dalgalar halinde yayılmış titremelere neden olur. Ayrıca deprem, bu titreşimlerin olduğu bölgelerdeki yapılara zarar verip görüp can kayıplarına neden olabilecek bir doğa olayıdır.

Dünya'nın iç mekanının dinamik süreci, tektonik plakaların göreli hareketinin arkasındaki itici gücü açıklıyor. Bu sürekli aktivite, ana plaka sınırları boyunca depremlerin ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Depremlerin oluşum mekanizması hakkında farklı görüşler ileri sürülmüştür. En çok benimsenen gerçek deprem mekanizması, Reid'in 1906'daki San Francisco depreminden sonra ortaya koyduğu, elastik geri tepme teorisidir. Elastik geri tepme teorisi plak tektoniği teorisinden önce ileri sürülmüş ve deprem sürecini jeolojik faylarla ilişkilendiren ilk fiziksel şemadır.

1906 San Francisco depreminden sonra San Andreas Fayının kırılmış olan segmentleri boyunca ölçülen yer değiştirmelerin yanı sıra San Andreas Fayı boyunca yapılan yüzey araştırmalarının jeodezik ölçümlerinin yeniden incelenmesi, fayın karşı taraflarının deprem öncesinde kesintisiz bir şekilde hareket ettiğini ortaya koymuştur. Geçmişteki jeodezik ölçümlerin kayma yönleri, San Francisco depreminden sonra görülen kayma yönüyle tutarlıydı. Harry Fielding Reid, bu gözlemlere dayanarak, deprem oluşum mekanizmasını açıklamak için elastik geri tepme teorisini önermişti. Elastik geri tepme teorisi artık evrensel olarak kabul edilmektedir. Şekil 2.1., bu teoriye göre bir deprem oluşumunun tüm döngüsünü göstermektedir.

Şekil 2.1. Elastik geri tepme teorisinin şekilsel gösterimi

Bir fayın karşı taraflarındaki plakalar baskıya maruz kaldıklarında, enerji birikir ve iç kuvvetler kapasitesi aşılana kadar yavaşça deforme olurlar (Şekil 2.1.'deki üst sıra çizimler). O zaman, biriken enerjiyi serbest bırakan bir fay boyunca ani bir hareket meydana gelir ve kayalar orijinal deforme olmamış şekline geri dönerler (Şekil 2.1.'deki alt sıra çizimler) (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Elastik geri tepme teorisi, fay kırılmasını diğer bir ifadeyle kuvvetli yer sarsıntısı kaynağı olarak tanımlayan ilk teoridir. Bu ilkeden önce fay kırılması yeryüzü sallanmasının bir sonucu olduğuna inanılıyordu. Ani ve magma hareketlerinin sonucu olan volkanik depremler haricinde, bütün depremler jeolojik faylarda kırılma nedeniyle meydana gelir.

Kırılma belirli bir noktadan başlar ve daha sonra fay düzlemi boyunca hızla yayılır.

Kırılmanın ortalama hızı 2 ila 3 km./s. arasında bulunur.

Depremleri bilimsel olarak inceleyerek, elastik dalgaların dünya ya da diğer gezegen benzeri cisimler yoluyla nasıl yayıldıklarını ve deprem ilgili yapılan çalışmalarda kullanılan aletleri, yöntemleri ve elde edilen kayıtların değerlendirilmesini inceleyen bilim dalına sismoloji ya da deprembilimi denir. Sismoloji aynı zamanda, tsunami, volkanik, tektonik, okyanussal, atmosferik ve patlamalar gibi yapay süreçlerin çevresel etkileri

üzerine çalışmalar da içerir. Geçmişteki depremlerle ilgili bilgileri çıkarmak için jeolojiyi kullanan alana da paleosismoloji denir. Zamanın bir fonksiyonu olarak yer hareketi kaydı bir sismogram olarak adlandırılır. Sismolog ise, sismolojide araştırma yapan bir bilim insanıdır. Depremleri kaydeden alete sismograf denir. Zamanın bir fonksiyonu olarak yer hareketi kaydı da sismogram olarak adlandırılır.

Şekil 2.2. Sismograf

2.2. Depremle İgili Temel Kavramlar

Odak noktası( hiposantr): Yerin kabuğundaki deprem enerjisinin ortaya çıktığı noktadır.

Dış merkez(episantr,merkezüssü): Odak noktasına en yakın olan yeryüzündeki noktadır.

Burası aynı zamanda depremin en çok hasar yaptığı ve en kuvvetli olarak hissedildiği noktadır.

Şiddet: Herhangi bir derinlikte olan depremin yeryüzünde hissedildiği bir noktadaki etkisinin ölçüsü olarak tanımlanmaktadır.

Magnitüd: Depremlerin boyutunun ve enerjisinin bir ölçüsü olarak tanımlanmaktadır.

2.3. Magnitüd ve Şiddet

Büyüklük ölçekleri, depremlerin boyutunu ve enerjisini ölçer. Birinci büyüklük ölçeği, Richter tarafından 1935 yılında, Güney California'daki deprem boyutlarının Wood- Anderson sismografları tarafından kaydedilen sismogramların maksimum kırılmalarının (mm cinsinden) nicelenmesi için önerilmiştir. Eşitlik (2.3.1), Richter tarafından önerilen lokal büyüklük (ML) ifadesini belirtir (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

𝑀_𝐿 = log(𝐴) − log⁡(𝐴₀) (2.1)

Eşitlik (2.1) ML'yi taban genliği A0 ile kalibre eder. Bu parametre, 100 km'lik bir merkez üssünde bulunan bir Wood-Anderson sismografında 0.001 mm'lik bir azami genlik kazandıracak bir temel deprem şiddetine karşılık gelir. Güney Kaliforniya'daki ortalama koşullarda 1000 km'ye kadar merkez dışı mesafeler için -log(A0), kalibrasyon faktörü sağlar. ML'nin hesaplanması da Şekil 2.3.'de verilen nomogramdan yapılabilir. Bu P-ve S- dalga varış zamanlarını ve bir Wood-Anderson sismografında maksimum genlik değerlerinin okunmasını gerektirir. Temen kırılma olan A0’ın kalibrasyonu için nomograma yerleştirilir.P ve S dalga varış zamanı arasındaki fark 25 s ve Wood-Anderson sismogramının maksimum genliği 20 mm ise, ML grafiksel olarak nomogramdan 5 olarak hesaplanmıştır (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Lokal büyüklüğün tanımı, Wood-Anderson sismografı ve Güney California'daki bölgesel zayıflatma özelliklerini yansıtan genlik kalibrasyonları tarafından kaydedilen deprem dalga formunun kırılmlarına dayanır. Dolayısıyla, maksimum dalga kırılmaları başka bir sismograf tipi ile ölçülürse, ML'yi bildiren sismik ağlar araçsal farklılıkları doğru bir şekilde hesaba katmalıdır. Richter tarafından önerilen orijinal kalibrasyonlar güney Kaliforniya için de geçerli olduğu için bölgesel zayıflamadaki farklılıklar sismik ağlar tarafından da iyice düşünülmelidir. Richter tarafından önerilen yerel büyüklük, uygulamada sınırlamalar getirir ve yukarıda belirtilen faktörler sismik durumlar tarafından gözden kaçırılırsa, deprem büyüklüğünün küresel olarak tutarlı bir şekilde tahmin edilmesini sağlayamayabilir (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Telesismik büyüklük terazileri ML'nin alternatifleridir. Sismografin doğal periyodu T ile normalize edilen sismik dalga şekillerinin maksimum kırılmalarından deprem büyüklüğünü

tanımlarlar. Normalize edilmiş kırılmaların kullanılması, büyüklük hesaplamalarını sismograf tipinden bağımsız kılar. Cisim dalgası (mb) ve yüzey dalgası (Ms) büyüklükleri telesismik büyüklük ölçeklerinin iki türüdür. Kısa periyotlu sismogramlarda mb ve uzun periyotlu sismogramlarda ise Ms, kaydedilen sismik dalga formlarından tahmin edilirler.

Depremler büyüdükçe, kırılan faydan salınan sismik enerjiyi yansıtan çok uzun dönemli dalgalar üretirler. Bu dalga formlarının kırılmaları, mb ve Ms hesaplamasında kullanılan sismograflar ile doğru bir şekilde tespit edilemez. Bu nedenle depremlerin büyüklüklerini ölçen bu ölçekler, gerçekleşen büyük depremlerin büyüklüğünü nicel olarak hesaplayamaz.

Başka bir deyişle, deprem büyüklüğündeki artış mb ve Ms'de tutarlı bir artış sağlamayacak, bundan dolayı gelen sismograflar çok uzun dönemli dalga formlarının maksimum kırılmalardaki artış miktarını yanlış gösterecektir. Bu doğa olayının doygunluk büyüklüğü olarak adlandırılır (belli bir seviyeden sonra depremlerin büyüklüğünü ayırt edemez).

Büyüklük doyum etkisi de ML hesaplamaları için bir endişe kaynağıdır. Wood-Anderson sismografının doğal periyodu yaklaşık 1.25 s'dir ve daha büyük depremlerden yayılan çok uzun sismik dalga şekillerinin doğru tespiti için yeterli değildir (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Şekil 2.3. Kırılma alanı ve büyüklüğü arasındaki ilişki

Kırılan fay alanıyla doğrudan doğruya orantılı olan deprem momenti (M0), hareketli bloklar arasındaki ortalama kayma doyum etkilerinden zarar görmez. Bir depremden sonra kayıtlı dalgaları oluşturmak için gereken kuvveti tanımlar. Aynı zamanda, kırılmış fay tarafından salınan toplam sismik enerjiyle de ilişkilidir. Bu miktar, Hanks ve Kanamori (1979) tarafından önerilen moment büyüklüğünü (Mw) tanımlamak için kullanılır. Eşitlik (2.2.) Mw ve M0 arasındaki ilişkiyi verir. Bir birim Mw'yi arttırmak için, Mw ile Mo arasında logaritmik bir ilişki olduğu için, kırılma alanı 32 kat daha büyük olmalı ve ayrıca Mo

kırılma alanı ile doğru orantılıdır (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

𝑀_𝑤 =²

3log₁₀(𝑀₀) − 6 (2.2)

Şekil 2.4. Faydaki kırılma alanı ve büyüklüğü ile ilgili ampirik bir model

Şekil 2.3. kırılma alanı ve büyüklüğü arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Daha Büyük kırılma alanları büyük depremleri gösterir. Kırılganlık alanı küçük olayları (yani 6'dan küçük magnitüdler) bir daire ile temsil edilebilir ve bu sismik kaynaklar sismolojide nokta kaynağı olarak adlandırılır. Kırılma alanı daha büyük boyutlar için dikdörtgen (yani uzatılmış kaynak) olma eğilimindedir. Bu tür durumlarda kırılma geometrisi alanının

genişliği (W) ve uzunluğu (L) ile karakterizedir. Literatürde, depremlerin büyüklüğünü kırılma boyutlarıyla ilişkilendiren birçok ampirik model vardır (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Şekil 2.4. farklı büyüklük ölçeklerini karşılaştırmaktadır. Büyüklük doygunluk olgusu yerel, cisim ve yüzey dalgası büyüklükleri için açıkça gösterilmiştir (iki farklı cisim dalgası büyüklüğü gösterilmiştir: mb ve mB, farklı doğal periyotların sismograflarından hesaplanmıştır. –mB biraz daha uzun bir dönem sismografından hesaplanmıştır). Bu büyüklük ölçekleri, belirli bir büyüklük seviyesinden sonra depremlerin boyutunu ayırt edemez. Büyüklük doyumunun olumsuz etkileri, daha uzun dönemli sismograflar tarafından kaydedilen dalga biçimlerinin hesaplanması için kullanıldığından, Ms için nispeten daha büyük boyutlarda ortaya çıkar. Anlık büyüklük Mw, yukarıdaki paragrafta açıklanan nedenlerden ötürü büyüklük doyumundan muzdarip olmayan tek büyüklük ölçeğidir. Japonya'da kullanılan özgül büyüklük ölçeği MJMA, Ms'ye benzer bir eğilime sahiptir (Sucuoğlu ve Akkar, 2014).

Şekil 2.5. Moment büyüklüğü ölçeğinin diğer büyüklük ölçekleriyle karşılaştırılması

Magnitüd ile şiddet arasındaki fark; magnitüd, depremin kaynağında açığa çıkan enerjinin bir ölçüsü iken; şiddet, depremin yapılar ve insanlar üzerindeki etkilerinin bir ölçüsüdür.

Çizelge 2.1. Şiddet-magnitüd karşılaştırması

Bugün dünyada en yaygın olarak kullanılan aletsel büyüklük ölçeği, Richter ölçeği; öte yandan en yaygın şiddet ölçeği ise Mercalli ölçeğidir. Deprem büyüklüğünün belirlenmesi için kullanılan Richter ölçeği bir alet değil, matematiksel bir formüldür. Richter ölçeğinin logaritmik olması yüzünden ölçek üzerinde iki ardışık tamsayı arasındaki fark, yer sarsıntısının genliğindeki 10 kat artmaya karşılık gelir. Bir kaya, büyüklüğü 4 olan bir depremle 1 cm ileri-geri titreşiyorsa, aynı kaya, büyüklüğü 5 olan bir depremde 10 cm'lik titreşimler yapacak demektir. Yerin titreşimindeki bu 10 kat artışın enerji cinsinden karşılığı ise 31,5 katlık bir artıştır. Dolayısıyla 5 büyüklüğünde bir deprem, 4 büyüklüğündeki bir depremden 31,5 kat daha fazla enerji açığa çıkarır. 6 büyüklüğündeki bir depremde ise, 4 büyüklüğündeki depremden neredeyse 1000 kat (31,5x31,5) daha fazla enerji açığa çıkacak demektir. Depremlerin sismik bir kaynakta tekrarlanma oranı Gutenberg-Richter ilişkisi ile gösterilebilir.

2.4. Türkiye’de Deprem

Yurdumuz dünyanın önemli deprem kuşaklarından biri olan Akdeniz deprem kuşağı (Alp Himalaya deprem kuşağı) üzerinde yer alır ve zaman zaman önemli sarsıntılara uğrar.

Pliyosen ve Kuaterner jeolojik devirlerinde meydana gelen faylar zaman zaman hareket eden aktif faylardır. Onun için yurdumuzun önemli deprem kuşakları, bu aktif fay hattı üzerinde bulunur.

Şekil 2.6. Türkiye deprem bölgeleri haritası

Türkiye, Akdeniz'den Asya'ya kadar ortalama bir batı-doğu yönünde vuran Alp-Himalaya orojenik sisteminin Akdeniz kesiminde yer almaktadır. Türkiye'nin ve yakın çevresinin tektonik rejimi üç ana plakayla kontrol edilmektedir. Afrika, Avrasya ve Arap nanotektonik modellerinde gösterildiği gibi, iki küçük plaka da Ege ve Anadolu'da bulunur. Ege Arkı, Batı Anadolu Graben Kompleksleri, Kuzey Anadolu Fay Hattı, Doğu Anadolu Fay Hattı, Kuzey Doğu Anadolu Fay Hattı, Bitlis Geçiş Hattı ve Kafkaslar Türkiye'nin en önemli tektonik özelliklerini temsil etmektedir.

Türkiye önemli bir deprem kemerinin birinde yer aldığından sismik olarak aktif bir bölgedir. Türkiye topraklarının % 92'si sismik aktif bölge oluşturduğundan dolayı birçok büyük deprem meydana gelmiştir. Özellikle, son yirmi yılda Türkiye, yaşam ve mülkiyette kayda değer bir düşüş ile sonuçlanan birkaç orta ve büyük depremle karşılaşmıştır. 1992 yılından bu yana, Türkiye'deki nüfus yoğunluğunun fazla olduğu birçok bölgede büyük çaplı büyük depremler meydana gelmiştir. Magnitüdü (M) yaklaşık 7,4 olarak tahmin edilen en önemli depremlerden biri, 17 Ağustos 1999'da Marmara bölgesinde gerçekleşti.

Marmara Depremi'nden sonra 12 Kasım 1999'da Düzce-Bolu bölgesinde 7,2 büyüklüğünde bir deprem meydana geldi. Son büyük deprem 23 Ekim 2011'de Van ilini vurdu. Bu depremlerin hepsi yıkıcı zararlar verdi ve 16.000'den fazla kişi hayatını kaybetti.

Türkiye’de deprem konusunda birçok çalışma yapılmıştır. Deprem tahmininin en önemli amacı, potansiyel olarak zarar verici depremler gerçekleşmeden önce uyarıda bulunarak insanların can ve mal kaybını en aza indirgemektir. Bu nedenle deprem tahminlerinde, Nerede? Ne sıklıkta? Ne kadar büyüklükte? ve Ne zaman? sorularının cevapları aranmaktadır.

3. STOKASTİK SÜREÇLER VE MARKOV ZİNCİRLERİ

3.1. Stokastik Süreçler

Stokastik süreç, rasgele sonuçlar doğuran bir olaylar serisidir. Örneğin, madeni para oynanan yazı-tura oyunu stokastik bir süreç olarak değerlendirilebilir. Normalde stokastik süreçler olayların zamana göre değerlendirildiği süreçlerdir. Buna göre her denemede madeni bir parayı atarak oynanan yazı-tura oyunu, eşit olasılıklı sonuçlara sahip bir stokastik süreçtir.

Stokastik Süreç, bir rastgele değişkenler kümesi {𝑋_𝑡} ile tanımlanır (burada t, bilinen bir T kümesine ait zaman indisidir). Rastgele değişkenin aldığı her bir değere durum denir. Bu yüzden rasgele değişken 𝑋_𝑡 için durum değişkeni ifadesi de kullanılmaktadır. Rastgele değişkenin alabileceği değerlerin tanımlandığı S uzayı, durum uzayı olarak ifade edilmektedir.

Örneğin, bir mağazada her saatin sonunda (t zamanında ) gözlenen müşteri sayısı 𝑋_𝑡 olsun.

Bu stokastik süreçte durum uzayı bütün negatif olmayan tamsayılardır, 𝑆 = {0, 1, 2, 3, . . . }.

Buna göre {𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃, 𝑋₄, 𝑋₅, 𝑋₆, 𝑋₇, 𝑋₈⁡} sekiz saatlik bir iş günüdeki stokastik süreci ve {2, 5, 3, 6, 10, 4, 3, 5} ise bu sürecin aldığı değerleri temsil eder (birinci saatin sonunda iki müşteri, ikinci saatin sonunda beş müşteri, … , sekizinci saatin sonunda beş müşteri gözlenmiştir). Burada T, sekiz saatlik bir iş günündeki saatler kümesidir, veya 𝑇 =

⁡{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Durum uzayı S sürekli veya kesikli değerlerden oluşabilir. Buna göre {𝑋_𝑡} süreci durum uzayının sürekli veya kesikli olmasına göre, sürekli durumlu stokastik süreç veya kesikli durumlu stokastik süreç olarak adlandırılır. Aynı şekilde zaman kümesi T de sürekli veya kesikli olabilir. T sürekli değer alabiliyorsa, {𝑋_𝑡} süreci sürekli zaman parametreli stokastik süreç olarak, eğer T tamsayılı değerlerle sınırlanmış, yani 𝑇 = ⁡ {0, 1, 2, 3, … } ise, {𝑋_𝑡} süreci kesikli zaman parametreli stokastik süreç olarak adlandırılır.

3.2. Markov Zincirleri

Bir önceki kısımda da belirtildiği gibi, stokastik süreçler zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde gelişen süreçlerdir. Bu tanımdan da anlaşılacağı üzere gerçek hayatta stokastik süreçlerle ilgili pek çok örnek mevcut olup, bu anlamda sık sık belirsizliğin bulunduğu ortamlarda karar vermek durumunda kalırız. Bu belirsizliğe, olayların tutarsızlığından kaynaklanan ve kontrol edilemeyen değişimler de neden olur. Bu değişimler nitel olarak ele alınmaktansa, bir matematik model içerisinde nicel olarak incelenebilir. Bu kesimde 20’nci yüzyılın başlarında Rus matematikçisi Andrey A. Markov tarafından geliştirilmiş olasılıklı bir teknik olan ve stokastik süreçlerin değerlendirilmesinde yaygın olarak Markov zinciri ele alınacaktır. Bazı kabullere dayalı olan Markov süreçleri stokastik süreçlerin önemli bir alt sınıfını oluşturur. Markov zinciri ayrık ve sürekli zamanlı stokastik sürecin bir özel türü olarak da adlandırılır.

Bu süreci içeren Markov analizi, bir optimizasyon olmayıp, çeşitli karar durumlarında karar vermeye yardımcı olabilecek olasılıklı bilgiler sağlar. Markov analizi, zaman içerisinde bir durumdan diğer duruma olasılıklı olarak geçen sistemlerde uygulanır.

Örneğin, bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının bulunmasında veya bir müşterinin kullandığı deterjanın markasını değiştirme olasılığının hesaplanmasında Markov analizi kullanılabilir.

3.2.1. Temel kavramlar

Markov özelliği, sistemin şimdiki durumu ve geçmişte bulunduğu durumlar biliniyor olsun; buna göre sistemin gelecekteki durumunun koşullu olasılığı şimdiki durumuna bağlı olup, geçmişteki durumlardan bağımsızdır. Bir başka ifadeyle, bütün durumlar ve zamanlar (𝑛 = 0, 1, 2, 3, … ) için,

𝑃{𝑋_𝑛+1= 𝑗⁡|⁡𝑋₀ = ⁡ 𝑖₀, 𝑋₁ = ⁡ 𝑖₁, … , 𝑋_𝑛−1 = ⁡ 𝑖_𝑛−1, 𝑋_𝑛 = ⁡𝑖} = 𝑃{𝑋_𝑛+1= 𝑗⁡|⁡𝑋_𝑛 = ⁡𝑖} (3.1) eşitliği sağlanır.

Eşitlik (3.1)’deki, 𝑋₀, ⁡𝑋₁, …⁡𝑋_𝑛+1’ler rastgele değişkenleri, 𝑖₀, ⁡𝑖₁, …⁡𝑖_𝑛+1’ler ise rastgele değişkenlerin aldıkları değerleri (durumları) göstermektedir (Winston, 2004).

Eşitlik (3.1)’de açıklanan Markov özelliğinini sağlayan stokastik süreçlere Markov süreçleri denir Örneğin hastanedeki bir hastanın herhangi bir gündeki sağlık durumunun (kritik, normal, iyi,… vs.) olasılığı sadece bir önceki gün bulunduğu duruma bağlı ise bu bir Markov sürecidir. Öte yandan hastanın durumu sadece bir önceki duruma bağlı değilde, hastanede kaldığı süre içerisindeki hergün içinde bulunduğu durumlara ve hastalıkla ilgili geçirdiği safhalara bağlı ise bu süreç Markov süreci değildir.

Markov özelliğine sahip stokastik bir {𝑋_𝑛} süreci, eşit ve kesikli zaman aralıklarıyla (𝑛 = 0, 1, 2, 3, … ) ifade ediliyorsa, kesikli zaman parametreli Markov zinciri olarak adlandırılır.

Burada incelenecek olan Markov zincirlerinde bütün i ve j durumları ile bütün zamanlar (n=0,1,2,3,…) için 𝑃{𝑋_𝑛+1 = 𝑗⁡|⁡𝑋_𝑛 = ⁡𝑖} olasılığının zamandan bağımsız olduğu kabul edilmektedir. Bu kabule göre,

𝑃{𝑋_𝑛+1= 𝑗⁡|⁡𝑋_𝑛 = ⁡𝑖} = 𝑃_𝑖𝑗 (3.2)

yazılabilir. Burada Pi j, sistemin herhangi bir dönemde i durumunda iken bir sonraki dönemde j durumuna geçme olasılığıdır. Bu olasılık geçiş olasılığı olarak adlandırılır.

Markov zincirleri ile ilgili yapılacak incelemede başlangıç olasılıklarının da bilinmesi gerekmektedir.

𝜋₀(𝑖) olasılığı, sistemin başlangıçta (t=0 zamanında) i durumunda bulunma olasılığı olsun;

yani 𝑃{𝑋₀ = ⁡𝑖} = 𝜋₀(𝑖). Buna göre 𝜋₀ = [𝜋₀(1)⁡⁡𝜋₀(2) …⁡𝜋₀(𝑠)] vektörü başlangıç olasılık dağılımını gösterir.

11 12 1

21 22 25

1 2

1 2 ...

...

1

...

P = 2

... ... ... ...

...

...

s

s s ss

s

p p p

p p p

p p p

s

 

 

 

 

 

 

(3.3)

s durumlu bir Markov zincirinin geçiş olasılıkları sxs boyutlu bir geçiş matrisi (3.3)’te gösterilmiştir.

n zamanında i durumunda bulunan bir sistem n+1 zamanında mutlaka s durumdan birisinde olacaktır. Buna göre eşitlik (3.3)’te verilen geçiş matrisinin satırları aşağıdaki koşulları sağlamalıdır;

1.⁡0 ≤ 𝑝_𝑖𝑗 ≤ 1 (bütün i ve j değerleri için)

2. ∑^𝑠_𝑗=1𝑝_𝑖𝑗 = 1 i =1, 2, …, s

Sonuç olarak, Markov zincirlerinin özellikleri;

 Markov özelliği,

 Kesikli ve sonlu durum uzayı; S={0,1,2, ..., s}

 Zamanla değişmeyen geçiş olasılıkları (𝑝_𝑖𝑗)

olarak özetlenebilir (Winston, 2004).

Teorem 3.1. 𝑋 = {𝑋_𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁} bir Markov zinciri olsun. Herhangi 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁⁡; 𝑚 ≥ 1 ve 𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑚 ∈ 𝑆 için

𝑃{𝑋_𝑛+1= 𝑗, 𝑋_𝑛+2 = ⁡ 𝑖₂, … , 𝑋_𝑛+𝑚 = ⁡ 𝑖_𝑚⁡|⁡𝑋_𝑛 = ⁡ 𝑖₀} = 𝑝_𝑖0𝑖1𝑝_𝑖1𝑖2… 𝑝_{𝑖𝑚−1𝑖𝑚}

olur.

Sonuç 3.1. S durum uzayı üzerinde Markov zincirinin 𝜋₀ başlangıç olasılık dağılımı verilsin. 𝑃{𝑋₀ = 𝑖} = 𝜋₀(𝑖)⁡, (∀𝑖 ∈ 𝑆⁡𝑖ç𝑖𝑛) olsun. O zaman 𝑚 ∈ 𝑁 ve 𝑖₀, 𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑚 ∈ 𝑆 için,

𝑃{𝑋₀ = 𝑖₀, 𝑋₁ = ⁡ 𝑖₁, … , 𝑋_𝑚 = ⁡ 𝑖_𝑚⁡} = 𝜋₀(𝑖)⁡𝑝_𝑖0𝑖1𝑝_𝑖1𝑖2… 𝑝_{𝑖𝑚−1𝑖𝑚} (3.4)

olur. Eşitlik (3.4)’te verilen sonucu sözel olarak ifade edecek olursak; her m için 𝑋₀, ⁡𝑋₁, …⁡𝑋_𝑚’nin ortak dağılımı, 𝜋₀ başlangıç dağılımı ve P geçiş matrisi bilindiğinde hesaplanabilir.

Tanım 3.1. Bir Markov zinciri m zamanında i durumunda iken, n dönem sonra j durumunda bulunma olasılığı, geçiş olasılıklarının zamandan bağımsız olduğu (zamanla değişmediği) kabul edildiğine göre söz konusu olasılık m zamanından bağımsız olup eşitlik (3.5)’teki gibi yazılabilir.

𝑃(𝑋_𝑚+𝑛 = 𝑗⁡|⁡𝑋_𝑚 = 𝑖) = 𝑃(𝑋_𝑛 = 𝑗⁡|⁡𝑋₀ = 𝑖) = 𝑝_𝑖𝑗^(𝑛) (3.5)

Burada 𝑝_𝑖𝑗^(𝑛), i durumundan j durumuna n-adımda geçiş olasılığı olarak adlandırılır (Winston, 2004).

Teorem 3.2. Chapman-Kolmogorov denklemi eşitlik (3.6)’da verilmiştir.

𝑃_𝑖𝑗^(𝑚+𝑛)= ∑^∞_𝑘=0𝑃_𝑖𝑘^(𝑛)𝑃_𝑘𝑗^(𝑚)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡;⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁⁡⁡𝑣𝑒⁡⁡∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆 (3.6)

Eşitlik (3.6)’daki denklem n adımlık geçiş olasılıklarını hesaplayabilmek için kullanılmaktadır.

3.2.2. Durumların sınıflandırılması

Markov zincirlerinin incelenmesinde önemli bir rol oynayan n-adımlık geçiş olasılıkları uzun dönemli geçişlerden sonra sabit bir değere yaklaşma eğilimi gösterirler. Markov zincirlerinin limit durumu ile ilgili bu özelliği incelemeden önce, durumlarla ilgili bazı kavramların bilinmesi gerekir. Şimdi aşağıdaki geçiş matrisi ve geçiş diyagramı üzerinde bu kavramları inceleyelim.





























1 0 0 0 0 0 0

5 , 0 0 0 5 , 0 0 0 0

0 0 7 , 0 0 0 3 , 0 0

0 0 0 0 8 , 0 0 2 , 0

0 0 0 0 1 , 0 0 9 , 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

7 6 5 4 3 2 1

= P

7 6 5 4 3 2 1

1

1

0,3

0,7

0,5 0,5

1 0,8

0,2 0,9 1

0,1

2 5

3 4 6 7

Şekil 3.1. Durumlar arası geçiş diyagramı

Tanım 3.2. (Ulaşılabilir) i ve j durumları arasındaki yol, i durumundan başlayıp j durumunda sona eren, ve her birinin olasılığı sıfırdan farklı olan, geçişler zinciridir. i durumundan j durumuna giden bir yol varsa, i durumundan j durumuna ulaşılabilir.

Örneğin, 6 durumundan 1 durumuna (6-4-1 yolu ile) ulaşılabilir, fakat 6 durumundan 2 durumuna ve 7 durumundan 1 durumuna ulaşılamaz (Winston, 2004).

Tanım 3.3. (İletişimli durumlar) i durumundan j durumuna ve j durumundan da i durumuna ulaşılabiliyorsa i ve j durumları iletişimli durumlar olarak adlandırılır ve bu hal ij şeklinde gösterilir. Örneğin, 3 ve 4 iletişimli durumlardır, 34 ( 3 durumundan 4 durumuna ve 4 durumundan 3 durumuna ulaşılabilir). Öte yandan 6 ve 7 birbiriyle iletişimli değildir (6 durumundan 7 durumuna ulaşılabilir, fakat 7 durumundan 6 durumuna ulaşılamaz) (Winston, 2004).

Tanım 3.4. (Kapalı Küme) Markov zincirinin herhangi bir A durumlar kümesi bu kümenin içindeki herhangi bir durumdan bu kümenin dışındaki hiç bir duruma geçilemiyorsa, kapalı küme olarak adlandırılır. Örneğin, S1={1,3,4,6,7 } ve S2={2,5} kümelerinin ikisi de kapalı kümedir (Winston, 2004).

Tanım 3.5. (Yutan Durum) pi i=1 ise i durumu yutan durum olarak adlandırılır. Yani, zincir i durumuna geçtiği takdirde sürekli i durumunda kalır. Örneğin, 7 durumu yutan bir durumdur (sistem 7 durumuna geçerse bir daha asla çıkamaz). Yutan durumlar, modellenen sürecin sona erebileceği koşulları temsil ederler. (Winston, 2004).

Tanım 3.6. (Geçişli Durum) i durumundan herhangi bir j durumuna ulaşılabiliyor fakat j durumundan i durumuna ulaşılamıyorsa, i durumu geçişli durum olarak adlandırılır. Diğer bir ifadeyle, i durumundan başlayan ve asla i durumuna geri dönmeyen bir yol varsa i durumu geçişli bir durumdur. Diyelim ki, Pi i, i durumundan başlayıp tekrar i durumuna geri dönme olasılığı olsun. O halde geçici bir i durumu için Pi i<1 olur. Örneğin, 6 durumu geçişli bir durumdur (6 durumundan 1 durumuna ulaşılabilir fakat 1 durumundan 6 durumuna ulaşılamaz) (Winston, 2004).

Uzun geçişlerden sonra geçişli bir i durumunda bulunma olasılığı sıfırdır. Geçişli i durumuna her ulaşıldığında, bir daha geri dönmemek üzere bu durumu terk edip herhangi bir j durumuna gitme olasılığı vardır. Yani önünde sonunda j durumuna ulaşılacak ve ondan sonra i durumuna geri dönülmeyecektir (Winston, 2004).

Tanım 3.7. (Geri Dönüşlü Durum): Herhangi bir i durumu geçişli bir durum değilse geri dönüşlü durumdur, yani fi i=1'dir. Başka bir ifadeyle, herhangi bir geri dönüşlü i durumundan hangi j durumuna gidilirse gidilsin j durumundan i durumuna geri dönen bir yol vardır. Örneğin, 6 durumu hariç bütün durumlar geri dönüşlü durumlardır (Winston, 2004).

Tanım 3.8. (Periyodik Durum) Birden büyük bir tamsayı (k>1) ve bu tamsayının katı adımlarla (k,2k,3k,...) geri dönüşlü i durumu periyodik bir durumdur ve k değeri bu durumun periyodunu gösterir. Geri dönüşlü bir durum periyodik değilse aperiyodik olarak adlandırılır. Şekil 3.1.’deki bütün durumlar aperiyodik olup, Şekil 3.2.’deki Markov zincirinde ise bütün durumlar periyodiktir. Örneğin 1 durumu; 1-2, 2-5, 5-1 yolu ile 3 adımda ve 1-2, 2-3, 3-4, 4-2, 2-5, 5-1 yolu ile 6 adımda tekrarlamaktadır. Şekil 3.2.

incelediği zaman her bir durumun periyodunun 3 olduğu görülür (Winston, 2004).

Tanım 3.9. (Ergodik Markov Zinciri) Bir Markov zincirindeki bütün durumlar geri dönüşlü, aperiyodik ve birbiriyle iletişimli durumlar ise, bu zincir ergodik bir zincirdir.

(Winston, 2004).

1

1 1

1

1 0,4

0,6 5

3

4 2

Şekil 3.2. Periyodik Markov zinciri (d=3)

Teorem 3.3. Eğer i ve j iletişimli durumlar ise, o zaman 𝑑(𝑖) = 𝑑(𝑗) dir. Buna göre iletişimli durumlar aynı periyoda sahiptir (Ross, 1996).

Tanım 3.10. Markov zincirinin i’den j’ye n adımda ilk geçiş olasılığı 𝑓_𝑖𝑗^(𝑛) olmak üzere

𝑓_𝑖𝑗^(𝑛) = {

⁡⁡⁡⁡

𝑝_𝑖𝑗⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡; 𝑛 = 1

∑ ⁡⁡⁡⁡

𝑝_𝑖𝑗𝑓_𝑏𝑗^(𝑛−1)⁡⁡⁡⁡⁡; 𝑛 = 2,3, …

𝑏∈𝐸−(𝑗)

(3.7)

şeklinde hesaplanır.

Tanım 3.11. 𝑓_𝑖𝑗 = ∑^∞_𝑛=1𝑓_𝑖𝑗^(𝑛) değerine Markov zincirinin i durumundan j durumuna önünde sonunda geçiş olasılığı denir.

Tanım 3.12. j durumundan başlayan sürecin tekrar j’ye önünde sonunda geri dönme olasılığı 1 (𝑓_𝑗𝑗 = 1) ise, j durumu geri dönüşlüdür.

Tanım 3.13. i durumu geri dönüşlü bir olsun, i durumuna ilk geri dönüş için ortalama geçiş sayısı, eşitlik (3.8) ile hesaplanır.

𝜇_𝑖𝑖 = ∑^∞_𝑛=1𝑛𝑓_𝑖𝑖^(𝑛) (3.8) Aynı durumlara ilk geri dönüş için gereken geçişlerin sayısı geri dönüş zamanı ve μ_ii de, i durumunun ortalama geri dönüş zamanı olarak adlandırılır.

𝜇_𝑖𝑖’nin aldığı değerlerle bir geri dönüşlü durum:

i) i geri dönüşlü bir durum olmak üzere, i durumunun etkisiz geri dönüşlü olması için gerek ve yeter koşul, μ_ii = ∞ olmasıdır. Böyle bir i durumuna sıfır geri dönüşlü durum da denir.

ii) i geri dönüşlü bir durum olmak üzere, i durumunun etkili geri dönüşlü olması için gerek ve yeter koşul, μ_ii < ∞ olmasıdır. Böyle bir i durumuna sıfır olmayan geri dönüşlü durum da denir.

biçiminde tanımlanır.

Sonlu durum uzaylı bir Markov zinciri için 𝜇_𝑖𝑖 sonlu olacağı açıktır. Buna göre, yalnızca durum uzayı sayılabilir sonsuz olduğunda durumlar etkisiz geri dönüşlü olabilir.

Tanım 3.14. Eğer 𝑓_𝑖𝑖 < ⁡1⁡ise i’ye geçişli durum denir ve 𝜇_𝑖𝑖 = ∞'dur.

Teorem 3.4. i durumu geri dönüşlü ise ∑^∞_𝑛=1𝑃_𝑖𝑖^𝑛 = ∞, geçişli ise ∑^∞_𝑛=1𝑃_𝑖𝑖^𝑛 < ∞ olur.

Teorem 3.5. Eğer i ↔ j ( i ve j iletişimli) ve i geri dönüşlü ise, o zaman j de geri dönüşlüdür.

Teorem 3.6. Eğer i ↔ j ve j geri dönüşlü ise 𝑓_𝑖𝑗 = ⁡1⁡'dir (Ross, 1996).

Tanım 3.15. Eğer bir kapalı kümenin kendisinden başka hiçbir kapalı öz altkümesi yoksa, bu kümeye indirgenemez küme denir.

Tanım 3.16. Eğer bir Markov zincirinde bütün durumların oluşturduğu kümenin kendisi indirgenemezse, bu zincire indirgenemez zincir denir. Bir Markov zinciri indirgenemez ancak ve ancak bütün durumlardan birbirine ulaşılabilir.

3.2.3. Limit teoremleri

Teorem 3.7. Eğer i ve j iletişimli ise,

i) 𝑃 { lim

𝑡→∞𝑁_𝑗(𝑡)/𝑡 = 1/ 𝜇_𝑗𝑗|⁡𝑋₀ = 𝑖} = 1 ii) lim

𝑛→∞∑^𝑛_𝑘=1𝑃_𝑖𝑘^(𝑘)= 1/ 𝜇_𝑗𝑗

iii) Eğer j aperiyodik ise, o zaman lim

𝑛→∞𝑃_𝑖𝑗^(𝑛) = 1/𝜇_𝑗𝑗 iv) Eğer j’nin periyodu d ise, o zaman lim

𝑛→∞𝑃_𝑗𝑗^(𝑛𝑑) = 𝑑/𝜇_𝑗𝑗 (Ross, 1996).

Etkili ya da etkisiz geri dönüşlü durumların sınıflandırılmasına başka bir kriter 𝜋_𝑗 olasılıkları kullanılarak da verilebilir,

Teorem 3.8. 𝜋_𝑗 = lim

𝑛→∞𝑃_𝑗𝑗^{𝑛𝑑(𝑗)} olmak üzere, 𝜋_𝑗 > 0 ise j durumu etkili geri dönüşlüdür.

𝜋_𝑗 = 0 ise j durumu etkisiz geri dönüşlüdür (Ross, 1996).

Teorem 3.9. Eğer X={𝑋_𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 0}, sonlu duruma sahip indirgenemeyen aperiyodik bir Markov zinciri ise,

𝜋^′. 𝑃 = 𝜋^′

⁡𝜋^′. 1 = 1

denklem sisteminin tek ve pozitif bir çözümü vardır.

𝜋^′= (𝜋₁, 𝜋₂, …⁡, 𝜋_𝑠) verildiğinde lim

𝑛→∞𝑃^𝑛 eşitlik (3.9)’daki gibi olacaktır.

𝑛→∞lim 𝑃^𝑛 = [

𝜋₁ 𝜋₂ ⋯ 𝜋_𝑠 𝜋₁ 𝜋₂ ⋯ 𝜋_𝑠

⋯ 𝜋₁

⋯ 𝜋₂

⋯ ⋯

⋯ 𝜋_𝑠

] (3.9)

Eşitlik (3.9)’dan eşitlik (3.10) yazılabilir.

𝜋_𝑗 = lim

𝑛→∞𝑃_𝑖𝑗^𝑛 (3.10)

Ayrıca, 𝜋^′= (𝜋₁, 𝜋₂, …⁡, 𝜋_𝑠) vektörü limit dağılımı olarak adlandırılır.

Tanım 3.17. Eğer 𝑃_𝑗 = ∑^∞_𝑖=0𝑃_𝑖𝑃_𝑖𝑗⁡⁡; ⁡⁡𝑗 ≥ 0 ise {𝑃_𝑗⁡ ∶ ⁡𝑗 ≥ 0⁡⁡} olasılık dağılımının Markov Zinciri için durağan olduğu söylenir.

Eğer 𝑋₀’ın olasılık dağılımı 𝑃_𝑗 = 𝑃_𝑗{𝑋₀ = 𝑗}⁡; ⁡⁡𝑗 ≥ 0⁡ durağan sie, o zaman

𝑃{𝑋₁ = 𝑗} = ∑^∞_𝑖=0𝑃{𝑋₁ = 𝑗|𝑋₀ = 𝑖}𝑃{𝑋₀ = 𝑖}⁡=∑^∞_𝑖=0𝑃_𝑖𝑗𝑃_𝑖 ‘dir ve tümevarımla, 𝑃{𝑋_𝑛 = 𝑗} = ∑^∞_𝑖=0𝑃{𝑋_𝑛 = 𝑗|𝑋_𝑛−1 = 𝑖}𝑃{𝑋_𝑛−1 = 𝑖}⁡=∑^∞_𝑖=0𝑃_𝑖𝑗𝑃_𝑖 = 𝑃_𝑗

elde edilir.

Buradan şu sonuç çıkmaktadır: Eğer başlangıç olasılık dağılımı durağan ise, o zaman ∀𝑛 için 𝑋_𝑛’ler aynı dağılıma sahiptir. {𝑋_𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 0} bir Markov zinciri olmak üzere, her bir n ve 𝑚 ≥ 0 için 𝑋_𝑛, 𝑋_𝑛+1, … , 𝑋_𝑛+𝑚 aynı ortak dağılıma sahip olacaktır. Diğer bir ifadeyle, {𝑋_𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 0} durağan bir süreç olacaktır.

Teorem 3.10. İndirgenemez aperiyodik bir Markov zinciri aşağıda verilen iki sınıftan birine aittir,

1) Bütün durumlar ya geçişli ya da etkisiz geri dönüşlü ise, bu durumda ∀𝑖, 𝑗 için 𝑛 → ∞ iken 𝑃_𝑖𝑗^𝑛 → 0’dır ve durağan dağılım değildir.

2) Bütün durumlar etkili geri dönüşlü ise, 𝜋_𝑗 = lim

𝑛→∞𝑃_𝑖𝑗^𝑛 > 0 olması durumunda {𝜋_𝑗 ∶ 𝑗 = 0,1,2, … } durağan bir dağılımdır ve başka durağan dağılım yoktur (Ross, 1996).

3.2.4. Potansiyel ve önünde-sonunda geçiş olasılıkları matrislerinin hesaplanması

C, kapalı kümeleri (geri dönüşlü ya da yutan durumların kümesi) ve D ise bütün geçişli durumların kümesini göstermek üzere, P geçiş matrisini aşağıdaki gibi ayrıştırabiliriz.

Tanım 3.18. 𝑟_𝑖𝑗 , i ’den başlayan Markov zincirinin j ’ye yaptığı ortalama geçişlerin sayısı olmak üzere, 𝑅 = [𝑟_𝑖𝑗] matrisine, X={𝑋_𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 0} sürecinin potansiyel matrisi adı verilmektedir.

𝑟_𝑖𝑗 = {0;⁡𝑓_𝑖𝑗 = 0

∞;⁡𝑓_𝑖𝑗 > 0

R matrisinin elde edilmesi için Çizelge 3.1.’i kullanabiliriz,

Çizelge 3.1. 𝑟_𝑖𝑗’nin durumlara göre değeri

𝑟_𝑖𝑗 j

Geri dönüşlü Geçişli

i

Geri dönüşlü Geçiş yok → ⁡0

Geçiş var → ⁡∞ 0

Geçişli Geçiş yok → ⁡0

𝑆 = (𝐼 − 𝑄)⁻¹ Geçiş var → ⁡∞

𝑓_𝑖𝑗 , i ’den j ’ye eninde sonunda geçiş olasılığı olmak üzere, 𝐹 = [𝑓_𝑖𝑗] matrisini elde etmek için çizelge 3.2’yi kullanabiliriz,

Çizelge 3.2. 𝑓_𝑖𝑗’nin durumlara göre değeri

𝑓𝑖𝑗 j

Geri dönüşlü Geçişli

i

Geri dönüşlü Geçiş yok → ⁡0

Geçiş var → ⁡1 0

Geçişli

Geçiş yok → ⁡0

𝑓𝑖𝑗 = 1 − 1 𝑟𝑖𝑗

𝑓_𝑖𝑗 =𝑟_𝑖𝑗 𝑟_𝑗𝑗⁡; 𝑖 ≠ 𝑗 Geçiş var

Yalnız bir kapalı küme → ⁡1 Birden fazla kapalı küme →

⁡𝐺 = 𝑆𝐵

3.2.5. Ortalama ilk geçiş zamanları

Ergodik bir Markov zinciri için, 𝜇_𝑖𝑗 = 𝑖 durumunda iken j durumuna ilk kez ulaşmak için gerekli geçiş sayısının beklenen değeri olsun. Bu durumda 𝜇_𝑖𝑗, i durumundan j durumuna

ortalama ilk geçiş zamanı olarak adlandırılır. Diyelim ki şu anda i durumundayız. O halde, pi j olasılığıyla i durumundan j durumuna bir geçişte gidilecektir. Öbür yandan, pi k

olasılığıyla (kj ), k durumuna geçilecek ve bu durumda ise i durumundan j durumuna ortalama 1+𝜇_𝑘𝑗 geçişte gidilecektir. Bu açıklamaya göre,

𝜇_𝑖𝑗 = 𝑝_𝑖𝑗(1) + ∑_𝑘≠𝑗𝑝_𝑖𝑘(1 + 𝜇_𝑘𝑗) (3.11)

olur. Ayrıca,

𝑝_𝑖𝑗+ ∑ 𝑝_𝑖𝑘 = 1

𝑘≠𝑗

olacağından yukarıdaki eşitlik (3.11)

𝜇_𝑖𝑗 = 1 + ∑ 𝑝_𝑖𝑘𝜇_𝑘𝑗

𝑘≠𝑗

şeklinde yazılabilir. Buradan elde edilecek denklem sistemi çözülerek bütün ortalama ilk geçiş zamanları bulunur (Winston, 2004).

Ortalama tekrarlanma zamanı: i=j olduğu zaman elde edilecek μ_ii değeri i durumunun ortalama tekrarlanma zamanıdır (sistem i durumunda iken tekrar i durumuna dönmek için geçecek ortalama geçiş sayısı). Ortalama tekrarlanma zamanı (3.12)’deki eşitlik kullanılarak hesaplanabilir.

⁡μ_ii = ¹

π_i (3.12) Bu denklem yukarıda elde edilen denklemin kullanılmasını da kolaylaştırabilir.