Simülasyon Yöntemi

Geman ve Roncoroni (2006), Monte Carlo simülasyonları için takip ettikleri yöntemi, çalışmalarının ekinde özetlemişlerdir. Temelde bu yöntemden hareket ederek ayrık zamanda veri üretmek için MSW Modelinin denklemleri dikkate alınmış, ayrıca sıçrama yönünü belirlemek üzere simülasyon yöntemi genişletilmiştir.

Uygulanan simülasyon işleminde, sıçrama zamanının ve bundan daha karmaşık olan sıçrama yönünün tayini önem taşımaktadır. Sıçrama zamanları, klasik MRJD modellerinde olduğu gibi tamamen zamandan bağımsız şekilde Poisson rassal değişkenler yardımıyla ve sıçrama yoğunluğu dikkate alınarak tayin edilebilir. GR Modelinde önerilen zamana bağlı sıçrama yoğunluk fonksiyonunun da kullanılması mümkündür. Simülasyon için ikinci yöntem tercih edilerek ilgili bölümde verilen Denklem (2.26) ve Denklem (2.30) yardımı ile en uygun parametreler tahmin edilmiştir. Elde edilen sıçrama örüntü fonksiyonu, (“jump shape function”) Şekil 40’da sunulmuştur.

Fonksiyon, mevsimsellikteki uygulamaya paralel olarak 2015 yılı öncesi ve sonrası için ayrı hesaplanmıştır. Şekil 40’da sunulan grafik, bu bölümde tahmin edilen en uyumlu modelin sıçrama örüntü fonksiyonuna aittir. Fonksiyonun simülasyonda kullanılabilmesi için GR Modeli çalışmasının ekinde verilen algoritmanın gerektirdiği 𝜃₂ parametresi hesaplanmalıdır. Bu parametre, birim zamanda beklenen maksimum sıçrama sayısını ifade etmektedir. Her iki dönem için maksimum olabilirlik fonksiyonunun ilgili kısmı alınarak bu parametreler tahmin edilmiştir. Parametrelerin Denklem (2.26)’da ifade edildiği gibi karşılık gelen örüntü fonksiyonu ile çarpılması sonucunda sıçrama yoğunluk fonksiyonu elde edilmiş olmaktadır.

Sıçrama zamanlarının simülasyonla türetilebilmesi için kaynak çalışma ekinde açıklandığı üzere öncelikle ilgili [0, 𝑇] aralığında sıçramalar arası zamanın (“interarrival time”) rassal modellenmesi gerekmektedir. Sıçramalar arasında geçen bu süre, Poisson sayma sürecine istinaden üstel dağılıma tabidir. Buradan hareketle, yoğunluk fonksiyonunun maksimum değeri (𝚤∗_{) parametre olarak alınarak toplamları 𝑇’ye eşit} olana dek üstel dağılımda rassal değişkenler üretilmektedir. Aday sıçrama zamanları, sıçramalar arası zamanların (“interarrival’) sırayla kümülatif toplamlarını, gerçekte oluşan sıçrama zamanlarına yaklaştırmalıdır (Geman ve Roncoroni, 2006:1260). Bu yakınsamada herhangi bir rassal değişken çekmek için simülasyonlarda çokça başvurulan kabul-ret metodu kullanılmıştır. Türetilen her geliş zamanı için [0, 𝚤∗] aralığından tekdüze (“uniform”) rassal değişken çekilerek karşılık gelen yoğunluk fonksiyon değeri ile kıyaslama yapılmaktadır. Rassal değişken, fonksiyon değerinden küçük ya da eşitse, sıçrama zamanı kümesine dahil edilir, aksi takdirde reddedilir.

Açıklanan yöntemle simülasyonu yapılan sıçrama zamanları yanında sıçrama yön tayininin belirlenmesi de son derece önemli olmaktadır. Aşağı yönlü sıçramaların da geçerli olması, durumu daha da zor hale getirmektedir. Bunun için sıçrama gerçekleştiği koşulu altında bir önceki dönem fiyat seviyesi ve sıçrama işaretine bakılabilir. Pratik olan bu yöntemi daha iyi açıklayabilmek üzere bölüm devamında değinilecek en uyumlu model için hesaplanan sıçrama olasılıklarının yer aldığı ısı diyagramı Şekil 41’de sunulmuştur.

Şekil 41. Sıçrama İşaret Olasılık Matrisi / Isı Diyagramı

Grafikte dikey eksen bir önceki dönemdeki fiyat seviyesini, yatay eksen ise yine bir önceki dönemdeki sıçrama işaretini göstermektedir. Sıçrama gerçekleşmemiş olması durumu, sıfır ile belirtilmiştir. Diğer bir ifadeyle eksen değerleri, kalibrasyonla ilgili bölümde 𝑑𝐼 ile belirtilen sıçrama vektörünün bir gecikmeli değerinin işaret fonksiyonu olmaktadır. Sıçrama zamanları yukarıda belirtildiği şekilde, sıçrama büyüklükleri ise tabi olduğu dağılımla ayrıca türetildiği için, matriste verilen olasılıklar sıçrama işaretine yöneliktir. Bir önceki dönemde gerçekleşen fiyat aralığı ve sıçrama işaretlerine göre matrislerden alınan değerler, işarete ilişkin koşullu olasılıkları sağlamaktadır. Matris, sıçrama örüntü fonksiyonuna benzer şekilde 2015 yılı öncesi ve sonrası için model bazında ayrı ayrı oluşturulmuştur.

Simülasyonla ilgili olarak yukarıda yarı ayrık57 _{halde verilen Denklem (3.26) ve} Denklem (3.27)’den yararlanılmıştır. Brown hareketin artışlarını modellemek üzere standart normal dağılımdan rassal değişkenler türetilmiştir.

Şekil 41’de sunulan olasılık matrisi, bir önceki döneme ait olmak üzere 15 fiyat dilimi esas alınarak hazırlanmıştır. Sıçramanın hangi fiyat seviyesini takiben ne yönde gerçekleşeceğini tahmin etmek, modelin gerçek seriye uyumu ve kullanışlılığı açısından önemlidir. Bu tahminin modellenmesindeki zorluk derecesi, MRS modellerinin uygulanmasında karşılaşılan güçlükleri salık vermektedir. Yukarıda dağılım-eşik ve basıklık arasındaki ilişkiyi gösterir Şekil 38 ve Şekil 39’da verilen grafiklere esas seriler, sıçrama işareti için 15 fiyat dilimi geçerli olmak üzere türetilmiştir.

Sıçrama işaretini daha hassas bir şekilde tahmin edebilmek için fiyat dilimleri artırılabilir. Çalışmamızda sıçrama yönü bazında olasılık dağılımını değiştirme esnekliği öngörüldüğünden daha dar fiyat aralıklarına dayanarak yön tayin etmek ayrıca anlamlıdır. Fiyat dilimi sayısı ile simülasyonla türetilen serilerin ortalama basıklık değerleri arasındaki ilişki, farklı sıçrama eşikleri için Şekil 42’de görülmektedir.

Şekil 42. Olasılık Matrisi Fiyat Dilim Sayısının Seri Basıklık Değeri ile İlişkisi

57 _{“Yarı ayrık ifadesi”, rassal bileşenlerin türevsel gösterimi nedeniyle kullanılmıştır. Bu gösterim, esasen} sonsuz zaman gösteriminden ziyade, kalibrasyonda ortaya çıkan yayınım ve sıçrama süreç serilerini temsil eder mahiyettedir.

Grafikte görülen zıt yönlü ilişki, Üstel-Lognormal dağılım ikilisi için verilmiştir. Bu ikili, Şekil 39’daki grafiğe göre öne çıkan dört dağılım ikilisi içerisinde, fiyat dilim sayısı ve türetilen serilerin ortalama basıklık değeri arasında gözlenen en sert ilişkiyi yansıttığı için seçilmiştir.