Geman ve Roncoroni (GR) Modeli

Geman ve Roncoroni’nin (2006) geliştirdiği model, tek faktörlü olmasına karşın sıçramaları modellemek üzere getirdiği farklı yaklaşım ile öne çıkan bir modeldir. Bu modele kadar başta Deng (2000), Cartea ve Figueroa (2005) çalışmaları olmak üzere MRJD spesifikasyonu taşıyan modellerden söz edilebilir. Bu modeller spot fiyatı tasvir etse de yine türev odaklıdır. Spot merkezli yaklaşımın önemli bir nedeni, liberalleşmenin ilk yıllarında vadeli piyasaların yeterli likiditeye ulaşmaması ve dolayısıyla forward eğrisini modellemek için gerekli verinin noksanlığıdır (Cartea ve Figueroa, 2005:320). Geman ve Roncoroni modelinin diğer önemli özelliği ise vadeli piyasalardan çok spot fiyat serilerinin ampirik özelliklerinin analizine odaklı olmasıdır. Araştırmacılar, buna yönelik olarak diğer çalışmaların dikkate aldığı risk-nötr olasılık ölçüsü yerine sadece gerçek olasılık ölçüsü altında modeli kurgulamışlardır (Geman ve Roncoroni, 2006:1226).

Fazla sayıda denklemle şekillenen modelin temel eşitliği Denklem (2.25)’de görüldüğü gibidir.41 _{Sinüzoidal fonksiyonlarla şekillenen deterministik mevsim} fonksiyonu 𝜇(𝑡) ile gösterilmiş olup, 𝐷, birinci dereceden türevi; 𝑃_𝑡− ise fiyatın 𝑡

zamanında soldan limitini ifade etmektedir. Bu gösterimde mevsimselliğin 𝑑𝑡 zaman aralığındaki değişimi, doğrudan fiyat değişimi ile ilişkilendirilmiştir. Sıçramalar sürekliliği bozduğu ve sıçrama zamanında süreç süreksizliğe neden olan sıçramanın aldığı değerden etkilendiği için, ortalamaya dönme bileşeninde soldan limit dikkate alınmaktadır. Pozitif 𝜃₁ parametresi, 𝜇(𝑡) ile ifade edilen trendden birim sapma başına fiyatta gözlenen birim zamandaki ortalama değişimi temsil etmektedir (Geman ve Roncoroni, 2006:1230). Değişken, alışılageldik ismiyle ortalamaya dönme hızını ya da kuvvetini gösterir.

𝑑𝑃𝑡 = 𝐷𝜇(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝜃1 [𝜇(𝑡) − 𝑃𝑡−]𝑑𝑡 + 𝜎 𝑑𝑊_𝑡+ ℎ(𝑃_𝑡−) 𝑑𝐽_𝑡 (2.25)

41 _{Teorik kaynaklarda benimsenen stokastik süreçlerin alt indisli, deterministik süreçlerin klasik fonksiyon} gösterimi esas alındığından orijinal makaleden farklı notasyon kullanılmıştır. Bu yaklaşım çalışmanın genelinde benimsenmiştir.

Modelin diğer eşitlikleri sıçramalara dönüktür. Sıçramaların aniden oluşup hızla normal fiyat seviyelerine gerilemesi ya da çekilmesi, araştırmacıları sıçrama bileşenleri için düzey-bağımlı işaret fonksiyonu kullanmaya sevk etmiştir. Mevsim fonksiyonu üzerine bir sabitin eklenmesi ile (𝜇(𝑡) + Δ şeklinde) belirlenen eşiğin altında kalan fiyatlar normal rejimdedir, oluşabilecek bir sıçrama yukarı yönlü olacaktır, dolayısıyla sıçrama yönünü tayin eden ℎ fonksiyonu Denklem (2.28)’de görüldüğü gibi +1 değerini almalıdır. Araştırmacılar eşiği belirleyen sabitin yüksek seçilmesi halinde piyasa baskısının olduğu dönemlerde fiyat seviyelerinin daha yüksek seviyelere çıkacağını, küçük olması durumunda ise aşağı yönlü hareketin hızla sönümleneceğini belirterek bu seçimin getirdiği ödünleşmeyi ortaya koymuşlardır. Fiyat değişimlerinin momentlerini de etkileyecek seçim için başvurulan yol, ampirik maksimum sıçramaları ortalamada yakalayacak bir sabit, dolayısıyla eşik tayinidir (Geman ve Roncoroni, 2006:1238).

𝚤(𝑡) = 𝜃₂ × 𝑠(𝑡) (2.26)

𝑝(𝑥; 𝜃3, 𝜓) = 𝑐(𝜃3) × exp[𝜃3 𝑓(𝑥)], 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓 (2.27)

ℎ(𝑃𝑡) = {

+1, 𝑃𝑡 < τ(𝑡)

−1, 𝑃_𝑡 ≥ τ(𝑡) (2.28)

Bağımsız ve özdeş dağılımlı sıçrama büyüklükleri için genel anlamda olasılık yoğunluk fonksiyonu (2.27)’de verilmiştir. 𝑐(𝜃3), olasılık fonksiyonunun taşıması gereken özellikleri sağlayan bir sabit; 𝜓, maksimum sıçrama büyüklüğü olmak üzere eksponansiyel dağılım ailesinden seçilecek üstten kesik bir dağılım, bu çalışmada üst mertebedeki ampirik momentleri üretmede başarılı olmuştur (Geman ve Roncoroni, 2006:1232). Özelde seçilen ve belirtilen şartları sağlayan dağılım fonksiyonu daha yalındır ve Denklem (2.29)’da gösterilmiştir.

𝑝(𝑥; 𝜃₃, 𝜓) = 𝜃3 exp (−𝜃3 𝑥)

1 − exp (−𝜃₃ 𝜓) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜓 (2.29) Modelin getirdiği önemli bir yenilik, sıçrama yoğunluğunda izlenebilecek olası bir örüntüdür. Yoğunluk süreci, deterministiktir ve 𝑠(𝑡), normalleştirilmiş (muhtemelen periyodik) sıçrama yoğunluk eğrisini; 𝜃₂, birim zamanda beklenen maksimum sıçrama sayısını ifade etmektedir (Geman ve Roncoroni, 2006:1232). Araştırmacıların tasarladığı sıçrama yoğunluk eğrisi, güç yığın eğrisine benzer şekilde konveks yapıdadır.

𝑠(𝑡) = { 2

1 + |sin[𝜋(𝑡 − 𝜑)/𝑘]|− 1} 𝑑

(2.30)

Bu eğriye ilişkin verilen Denklem (2.30)’da 𝑘 parametresi, periyodu, somut ifadeyle ardışık pik düzeylerde gerçekleşen sıçrama kümelerinin aralarındaki yıl cinsinden zaman aralığını gösterir. Parametrenin iki olması, iki yılda bir pik düzeylere ulaşılacağı anlamına gelir. Piyasanın çevresel şartları parametre seçimini etkiler. Yaz ve kış mevsimlerinde görülen pik düzeyler için doğal seçim ½, sadece birinde izlenen yoğunlaşmalar için ise birdir. Diğer taraftan 𝜑 parametresi faz farkını ifade eder ve pik düzeyin gerçekleşme zamanlarının kontrolünü sağlar. Örneğin ½ değeri, pik düzeyin yılın ortasında, temmuz başında görülmesini modellemek için uygundur. Yazarların kümelenme endeksi olarak nitelendirdikleri 𝑑 parametresi sıçramaların pik frekans (zaman) çevresinde yoğunlaşmasını ifade etmektedir (Geman ve Roncoroni, 2006:1237). Değer yükseldikçe sıçramalar birbirine yakınlaşmakta, kümelenme derecesi artmaktadır. Sıçrama yoğunluğunun tamamen rassal belirlenmesindense burada verildiği gibi matematiksel formda uyarlanması hem daha gerçekçi modellere hem de pratikte daha iyi tahminlere imkân tanıyacaktır.

Araştırmacılar tarafından sunulan model kalibrasyonu, iki aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada yapısal öğeler olan nitelendirilen 𝜇, 𝑠, τ ve 𝑝 tayin edilmektedir. İkinci aşama, çalışmanın ilgili kısmında ve ekinde ispatıyla sunulan yaklaşık logaritmik-olabilirlik fonksiyonunu maksimum kılan parametre setini, 𝜃̂ = (𝜃̂, 𝜃1 ̂, 𝜃2 ̂), hesaplamaya yöneliktir. Yukarıda bahsedilen eşik (τ), modeli klasik 3 MRJD modellerinden ayıran en önemli özellik olan sıçrama işaretlerinin tespitine yarar. Sıçramalar, fiyat sürecinde süreksizliğe neden olan noktalardır, bunları sürekli kısımdan ayrıştırmak için farklı bir eşiğe ihtiyaç duyulur. Ayrıştırmayı sağlayan fiyat değişim eşiği (Γ) de kalibrasyonun ikinci aşamasında optimize edilmektedir.

Üç farklı Amerika piyasasının (ECAR, PJM ve COB) 06/01/1997 – 30/12/1999 dönemi spot fiyatlarından oluşan veri seti ile kalibre edilen modelin tahmin edilen parametreleri ile yapılan simülasyonlar, çarpıklık değerlerinin pozitif yönde daha büyük olması dışında, ampirik momentleri yakalamada başarılı olmuştur. Çarpıklık değerlerindeki fazlalık, yazarlar tarafından modelde ortalamaya-dönme etkisinin biraz daha baskın hale getirilmesi gerektiği şeklinde yorumlanmıştır. Bu yöndeki en çarpıcı

sonuç ECAR piyasası modelinde gözlenmiş olup simülasyonlarının verdiği çarpıklık değeri ampirik değerden anlamlı bir şekilde yüksektir (sırasıyla 2,1686 ve -0,5575). Araştırmacıların sundukları fiyat düzeyine bağımlı, dolayısıyla stokastik sıçrama yoğunluk fonksiyonu içeren alternatif model, ampirik basıklık değerine yakınsamayı sağlasa da (-0.0119) basıklık değerinden ciddi sapma ile sonuçlanmaktadır. Dördüncü derece moment olan basıklık, doğrudan elektrik piyasalarını diğer piyasalardan ciddi anlamda ayıran sıçrama riskine yöneliktir, bu yüzden araştırmacılar modelin ilk haliyle (deterministik sıçrama yoğunluk fonksiyonlu) daha anlamlı olduğunu savunmuş, sabit kabul edilen volatilitenin zamanla değişir hale getirilmesinin de önemli bir katkı sağlamadığını kaydetmişlerdir.

Rejim değişim modellerindeki en önemli sıkıntılar, yukarı sıçramaların ardışık halde gerçekleşmesine imkân tanımayan yapı ve normal rejime aşağı yönlü keskin sıçramayla gerçekleşen dönüşün neden olduğu Markov özelliğinin kaybıdır (Geman ve Roncoroni, 2006:1232). Yukarıda özetlenen model bu sıkıntıları aşmaya yöneliktir. Diğer taraftan Meyer-Brandis ve Tankov (2008), Markov modellerini ele aldığı bölümde modeli tek faktörlü Markov sıçrama-yayınım modeli olarak nitelendirmişlerdir. Sıçrama rejimi ile baz rejim birbirinden kalibre edilmesi zor olan deterministik bir eşik ile ayrılmaktadır. Sıçrama rejiminden dönüşler stokastik bir düzeye değil, deterministik ortalamaya olmaktadır, ayrıca bu fiyat eşiğinin önceden tayin edilmesi, gerçekçi değildir (Meyer- Brandis ve Tankov, 2008:514). Ancak, stokastik matematikteki ilerlemeleri kullanarak kurgulanan sürekli zaman modellerinin ayrık zamanda gözlemlenebilen gerçek veri seti ile kalibre edilmesinde yaşanan zorluk derecesi de göz önünde tutulmalıdır.