Sıçramaların (Jump) Modellenmesi

Sıçramaların geliş sıklığı ve büyüklüklerinin dağılımları ile sürecin herhangi bir tezahüründe vuku bulan sıçramaların tespiti, modellemenin farklı boyutlarını oluşturmaktadır. Birinci boyutla ilgili ortalamaya dönüşte OU sürecinin konumuna yakın şekilde literatürde yerleşmiş yöntemler bulunmakla birlikte, sıçramaların tespitine dönük farklı yaklaşımlar söz konusudur.

2.3.3.1. Sıçramaların Sıklığı ve Büyüklüğü

Ele alınan modelin sıçramalara yönelik kısmı, sıçramaların oluşma zamanını ve beklenen büyüklüğünü matematiksel olarak tasvir edebilmelidir. Cont ve Tankov (2004), sıçramalı finansal modelleri, sıçrama-yayınım ve sonsuz aktivite modelleri olmak üzere iki kategoride değerlendirmişlerdir. Sonsuz aktivite modelleri, temelde sıçramalarla

ilerler ve dolayısıyla Wiener süreç içermek zorunda değildirler. Tarihsel veriyi daha gerçekçi açıklayabilen bu modellerde sıçramalar sonsuz sıklıkta geldiği için büyüklükleri bir dağılıma sahip değildir. Sıçrama-yayınım modellerinde ise sıçramalar ender görülen olaylardır ve büyüklük dağılımları bilinir (Cont ve Tankov, 2004:106).

Cont ve Tankov (2004), ayrıca fiyat süreci ayrık düzlemde gözlendiğinden ampirik olarak sürecin hangi kategoriye ait olduğunu saptamanın imkânsız olmasa da zor olduğunu vurgulamışlardır. Elektrik fiyat modelleme uygulamalarında ana akım, bileşik Poisson sürecinin kullanımıdır. Bileşik Poisson süreci, {𝑋𝑖}𝑖=1∞ bağımsız ve özdeş dağılımlı rassal değişkenlerin oluşturduğu bir dizi olmak üzere Denklem (2.13)’de tanımlanmıştır. 𝑁_𝑡, üstel dağılıma tabi sıçrama zamanlarında bir birim büyüklüğünde sıçrayan, sıçrama gerçekleşmeyen aralıklarda sabit kalan, sıçrama büyüklüklerini ifade eden 𝑋𝑖’lerden bağımsız 𝜆 yoğunluğuna sahip Poisson süreçtir. Bileşik Poisson süreci tanımdaki gösterimde de ima edildiği gibi bir Lévy sürecidir (Benth vd., 2008:49-50).

𝐿_𝑡 = ∑ 𝑋_𝑖 𝑁𝑡

𝑖=1

(2.13)

Denklemde toplamın üst sınırını belirleyen Poisson süreci 𝑁_𝑡, 𝑡 zamanına kadar gerçekleşen olay sayısını gösterdiğinden sayma süreci36 olarak da anılmaktadır. Sıçrama yoğunluğunu gösterir 𝜆 parametresine sahip Poisson sürecin Denklem (2.14)’de verilen dağılım fonksiyonu, belli bir zaman diliminde verili sayıda gözlenebilecek sıçrama olayını modellemek için elverişlidir. Gündelik hayatta rastlanabilecek farklı türden olayların sıklığını modellemek için de kullanılan bu sürecin finanstaki diğer bir kullanımı, belirli bir dönemde herhangi bir büyük portföyde oluşabilecek temerrüt sayısıdır (Miller, 2014:69). Sıklığın, ya da yoğunluğun ifade edildiği zaman birimi modelleme açısından ayrıca önem taşımaktadır.

∀𝑛 ∈ ℕ, Pr(𝑁 = 𝑛) = 𝑒−𝜆𝜆 𝑛

𝑛! (2.14)

36 _{Her Poisson süreci bir sayma sürecidir, ancak tersi doğru değildir. Bir sayma sürecinin Poisson olabilmesi} için ilk değerinin sıfır, sürecin durağan ve bağımsız artışlara sahip olması gerekir. Ayrıca, ℎ gibi ölçüsü sıfıra yakınsayan küçük bir aralıkta tek bir olay gerçekleşme olasılığının yaklaşık 𝜆ℎ’e eşit ve iki ya da daha fazla olay gerçekleşme olasılığının ihmal edilebilir olması da ilave koşullardır. Poisson süreci ile ilgili önemli bir ayrıntı da sürecin stokastik sürekli olması, ancak rassal değişkenlerinin ayrık olmasıdır (Cont ve Tankov, 2004:49; Çapar, 2013:253-4).

2.3.3.2. Sıçramaların Tespiti

Clewlow ve Strickland’ın (2000) sıçrama tespiti için kullandığı özyinelemeli filtre (“recursive filter”) sonraki çalışmalarda da popülerlik kazanmıştır. Sıçramaların meydana geldiği zamanlara dair tam olarak bilgi sahibi olamayacağımızı belirten araştırmacılar, gözlenen çok büyük fiyat değişimlerinin Brown hareketle gerçekleşme ihtimalinin neredeyse sıfır olmasından hareketle bu değişimlerin sıçramalara atfedilmesi gerektiğini belirtmişlerdir. Seride sıçramaların seyrek olduğu varsayımı altında yayınım sürecinin volatilitesi, getiri standart sapması bulunarak yaklaşık olarak hesaplanabilir ve seçili bir olasılığa koşullu olarak beklenmesi gereken getiri aralığının dışındaki değerler sıçrama olarak ele alınabilir. Bu değerler çıkarılarak, oluşturulan serinin volatilitesi hesaplanır ve aynı işlem sıçrama sayısı sabitlenene, dolayısıyla volatilite yakınsayana kadar tekrarlanır. Yazarlar, Avustralya New South Wales (NSW) eyaleti elektrik piyasası yarım-saatlik verileri ile yaptıkları analizde olağan getiri limitini, getirilerin standart sapmasının üç katı olarak belirlemişlerdir. Kullandıkları veri seti ile getirinin bu limitin üzerinde gerçekleşme olasılığı ‰3’ün altındadır (Clewlow ve Strickland, 2000:31). Örnekte 10 yineleme ile sıçrama sayısı ve yayınım volatilitesinin yakınsadığı gösterilmiştir.

Eşik yöntemi neredeyse tüm çalışmalarda, bazen zımni olmak üzere kullanılmaktadır. Zımni kullanım, sıçrama-yayınım, Markov Rejim Değişim (Markov Regime Switching – MRS) modellerinde ya da Markov Zincirli Monte Carlo (Markov Chain Monte Carlo – MCMC) yöntemleri kullanıldığında olabilirlik fonksiyonunun başlangıç değerleri için söz konusu olmaktadır. Sabit eşik yerine, Mayer vd.nin (2015) çalışmalarında filtreleme için kullandıkları Üstel Genelleştirilmiş Kendine Bağlaşımlı Koşullu Değişen Varyans (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity – EGARCH) modelinden elde edilen volatilite serisi gibi hareketli eşikler de tercih edilebilmektedir. Janczura ve Weron (2012), önerdikleri MRS modelinde rejimler için yaptıkları öncül ayrımda medyan değere (log)fiyat değişimlerinin standart sapmasını ilave ederek buldukları eşiğin üzerinde kalan gözlemleri sıçrama olarak kabul etmişlerdir. Yöntem özünde değişmemekle birlikte bu örneklerde olduğu gibi eşik değerin tayininde farklı yaklaşımlar izlenebilmektedir.

Sıçramaların ele alındığı alt bölümde de değinildiği gibi terim, literatürde farklı anlamlara gelebilecek şekilde kullanılmaktadır. Deng’in (2000) elektrik piyasalarındaki sıçramaya (“spike”) ilişkin yaptığı tanım, akabinde hemen aşağı yönlü sıçramanın takip ettiği yukarı yönlü sıçrama şeklindedir. İlgili bölümde de benzer şekilde ele alınan bu

farklılığa odaklanan Meyer-Brandis ve Tankov (2008), sıçramayı hem yükselme hem de takip eden alçalmanın izlediği yol anlamında değerlendirmişlerdir. Eşik yöntemi ile sıçramaların neden olduğu aykırı noktalar tespit edilebilmekte, ancak araştırmacıların kastettiği sıçramanın tamamı elde edilememektedir. İlerleyen bölümlerde ele alınacak 2OU37 modelin bir uygulaması olan çalışma farklı ortalamaya dönüş hızına sahip sıçramaların takip ettiği yolun tamamına ulaşmayı gerekli hale getirmiştir. Araştırmacılar, stokastik filtreleme gerektiren bu durum karşısında parametrik olmayan istatistik yöntemleri arasından seçim yapmışlardır. Ele aldıkları iki yöntem de yukarı yönlü hedef sıçrama sayısı gerektirdiğinden baz rejimde hedef gürültü seviyesi belirlemek durumunda kalmışlardır. Getirilerin %5’inin çıkarılmasıyla hedef standart sapmaya ulaşılmıştır (Meyer-Brandis ve Tankov, 2008:525). Dolayısıyla araştırmacıların geri dönüşleri ile birlikte sıçramaları filtreleme girişiminde başvurdukları farklı yöntemler de yukarıda ele alınan eşik metoduna bağlı olarak sonuç vermiştir.

Yine aynı modelin 3OU versiyonu uygulama çalışmasında Klüppelberg vd. (2010), eşik yöntemine bağlı kalmadan Davis-McCormick tahmincisi ve uç değer teorisi kapsamındaki bazı yöntemleri kullanarak sıçramalara tekabül eden yüksek dönüş hızına sahip bileşen süreci modellemişlerdir.