Shooting Metodu ve Çok Tabakalı Küresel Kuantum Noktasına Uygulanması

Bu çalışmada, Schrödinger denklemi, sonlu fark denklemlerinden faydalanılarak, shooting metoduyla tamamen nümerik olarak çözülecektir. Bu amaçla, denklem gerçek uzayda sonlu farklar yöntemi ile kesikli hale getirilir. Bunun gösterimi Şekil 4.2’de gösterilmiştir. Merkezinde hidrojenik safsızlık içeren, çok tabakalı yarıiletken kuantum noktası için Hamiltoniyen ifadesini

*( ) ( ) + (4.17)

şeklinde yazabiliriz. Hamiltonyen operatörünün etkiyeceği dalga fonksiyonu,

(4.18)

olup burada , radyal dalga fonksiyonu; ise küresel harmoniklerdir. , baş kuantum sayısı; ve ise sırasıyla açısal momentum ve manyetik kuantum sayılarıdır. Küresel simetrik bir potansiyelde, radyal dalga fonksiyonu, Schrödinger denklemini sağlayacağı için, Hamiltoniyen ifadesi Denk. (4.19) haline indirgenebilir.

( ) (4.19)

Denk. (4.19)’da ilk terim, kinetik enerji terimine; ikinci terim , sınırlandırma potansiyeline; üçüncü terim açısal momentum kuantum sayısından gelen katkıya; son terim ise safsızlıktan gelen katkıya karşılık gelir. Denklem içerisindeki , indirgenmeiş Planck sabiti; , elektronun etkin kütlesi; Z, safsızlığın yükü; , malzemenin dielektrik katsayısı ve l, açısal momentum kuantum sayısıdır. Bu çalışma boyunca kullandığımız etkin kütle yaklaşımı çerçevesinde, içinde tek elektron bulunduran küresel simetrik kuantum nokta yapı için Schrödinger denklemi en genel haliyle Denk. (4.20)’deki gibi verilmektedir.

Şekil 4.2. Dalga fonksiyonunun gerçek uzayda h aralıklarla kesikli hale getirilmesi

(4.20)

Bu denklemde Hamiltoniyen ifadesini yerine yazarsak, Denk, (4.21)’i elde ederiz.

( ) ( ) (4.21)

Burada parçacığın enerji özdeğerini ve , parçacığın radyal dalga fonksiyonunu temsil etmektedir. Denk. (4.11) ve (4.14)’deki birinci ve ikinci türevi verilen, herhangi bir fonksiyona ait eşitlikleri, radyal dalga fonksiyonu için yeniden yazacak olursak Denk. (4.22) ve (4.23)’ü elde ederiz.

(4.22) (4.23)

Elde edilen bu fark denklemlerinden yararlanılarak Schrödinger denklemini tekrar yazacak olursak, eşitliğimiz Denk. (4.24)’deki gibi elde edilir.

r R(r) R(2) 0 h 2h 3h 4h nh R(3) R(4) R(5) R(6) R(7) ... R(n-1) R(n) R(n+1) R(1)

* ( )+ ( ) (4.24)

Denk. (4.24)’teki ifadede, uzayını kesikli hale getirmemizin kolaylığından yararlanarak, ilk iki noktayı , üçüncü noktayı ise olarak yazıp denklemimizi düzenlersek

*

( )+

( ) (4.25)

ifadesi elde edilir. Burada i indisi, Şekil 4.2’de görüldüğü gibi, göz önüne alınan yapıyı gerçek uzayda parçaya böldükten sonra, dalga fonksiyonu ’nin konumuna karşılık gelen değeridir. Ayrıca bu değer, 1’ den ’e kadar değişmektedir. Denklemin iki tarafını da ile çarpıp düzenlersek, denklemimiz;

( ) ( ) (4.26)

halini alır. Elde edilen denklemi ortak paydasında birleştirip gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapıldıktan sonra, üzerinde shooting metodu uygulanacak olan denklemimizi elde etmiş oluruz.

( ) * ( )+ ( ) (4.27)

Denk. (4.27) bize, eğer ilk iki noktada dalga fonksiyonunun değeri bilinirse, bu noktalardan sonra gelen üçüncü noktada dalga fonksiyonunun değerinin, herhangi bir E enerji özdeğeri için hesaplanabileceğini işaret etmektedir (Harrison, 2005).

Hesaplamalarda, safsızlığın olduğu durum için, alınarak işlem yapılırken, safsızlığın olmadığı durum için alınarak işlemler yapılır. Shooting yöntemi, özdeğer denklemini başlangıç değer problemine dönüştürerek çözüm yapmamıza imkân sağlar. Burada, ve değerleri, uygun sınır şartları göz önüne alınarak başlangıç değerleri olarak verilir. Yine E enerjisi için bir başlangıç değeri girilerek iteratif olarak çözüme gidilir. limitinde limiti, aranılan çözüme karşılık gelecektir. Yani, göz önüne alınan yapı için şartı, aranılan dalga fonksiyonu ve enerji özdeğerine karşılık gelen çözüm olacaktır. Böylece Schrödinger denklemi, tamamen sayısal olarak çözülmüş olacaktır.

5. HESAPLAMA SONUÇLARI ve TARTIŞMA 5.1. Giriş

Bu bölümde, tez çalışması kapsamında ele alınan çok tabakalı yarıiletken küresel kuantum nokta yapı için, dördüncü bölümde anlatılan hesaplama teknikleri ve fiziksel yaklaşım yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilmiş hesaplama sonuçları verilecek ve elde edilen sonuçlar tartışılacaktır. Bu amaçla, bu çalışmada çok tabakalı yarıiletken kuantum noktasının elektronik özelliklerini ve iletim bandındaki band içi optik özellikleri incelenmiştir. Kuantum sistemini temsil eden Schrödinger denkleminde yer alan enerji özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen dalga fonksiyonlarını belirlemek için, bu denklemi sonlu bir potansiyelde ve etkin kütle yaklaşımında, sonlu farklar tekniği kullanılarak shooting yöntemi ile tamamen nümerik olarak çözülmüştür. Ayrıca, çok tabakalı yarıiletken küresel kuantum noktasının merkezinde hidrojenik donor safsızlığının varlığında, tüm hesaplamalar tekrar edilmiş ve sonuçlar karşılaştırılmalı olarak verilmiştir.

Çok tabakalı küresel kuantum noktasındaki bir elektronun, hidrojenik donor safsızlığının olmadığı (Z=0) durumda ve safsızlığın olduğu (Z=1) durumda, taban durum (1S) ve uyarılmış durum (1P) seviyelerine ait, enerji seviyeleri, dalga fonksiyonları ve olasılık dağılımları gibi elektronik özelliklerin incelenmesinin yanında, sistemin taban durumunun bir fotonla uyarılması halinde meydana gelen geçişlere ait osilatör şiddetleri ve band içi optik soğurma katsayıları gibi optik özellikler de araştırılmış ve bunlarla ilgili hesaplama sonuçları verilmiştir. Sonuçlar hem safsızlığın olduğu hem de olmadığı durumlar için, çekirdek yarıçapının, engel kalınlığının ve kuyu genişliğinin fonksiyonu olarak gösterilmiştir.

Ayrıca, safsızlık bağlanma enerjileri de farklı çekirdek yarıçapları için, farklı tabaka kalınlıkları için ve farklı kuyu genişlikleri için hesaplanmıştır ve bu yapısal değişikliklere olan bağlılığı incelenmiştir.

Hesaplamalarda olan atomik birim sistemleri kullanılmıştır ve sonuçlar bu birim sistemlerinde verilmiştir. Burada göz önüne alınan yapı GaAs/AlGaAs/GaAs/AlGaAs kuantum noktası olup malzeme parametreleri olarak bu yapıya ait malzeme parametreleri kullanılmıştır. Yani GaAs=13,180, mGaAs=0,067m0,

AlGaAs=12,80 ve mAlGaAs=0,088m0’dır. Buradaki 0 boşluğun dielektrik geçirgenliği ve

m0 serbest elektron kütlesidir. Dolayısıyla GaAs için etkin Bohr yarıçapı



etkin Rydberg enerjisi ise ’dir. Bunların sayısal değerleri yaklaşık olarak a0*≅100Å ve Ry*≅5,25 meV’tur. Yine bu yapı için sınırlandırıcı potansiyelin

yüksekliği, V0=228 meV olarak alınmış olup bu değer, GaAs/AlGaAs kuantum

heteroekleminin iletim bandında oluşan band ofset değeridir.