Sezgisel optimizasyon algoritmalar

Sezgisel optimizasyon algoritmalar do adaki canl lar n çe itli davran lar ndan esinlenilerek en iyiyi bulmaya çal an algoritmalard r. Sezgisel algoritmalar genel olarak kesin bir global optimum de erine ula may garanti etmezler, fakat bu en iyi çözüm noktas n yak nlar nda bir de er elde edebilirler. Bunun yan nda sezgisel algoritmalar, uygulanabilir olmalar ve kullan mlar n kolay olmas sebebiyle tercih edilebilir algoritmalar olarak tan mlanmaktad r (Karabo a, 2004). Klasik algoritmalar probleme göre de kenlik gösterebilir. Modern sezgisel algoritmalar ise genel amaçl r ve de ik problemlere uyarlanabilirken herhangi bir problem için özel olarak tasarlanm bir metot kadar ba ar olmayabilir (Akay, 2009). ekil 3.27.’de A1, A2 ve A3 gibi farkl klasik algoritmalar n ve modern sezgisel algoritmalar n farkl problem türlerindeki ba ar lar gösterilmi tir. A1, A2 ve A3 algoritmalar n belirli problem türlerinde ba ar olmalar na kar k, modern sezgisel algoritmalar n daha fazla problem türünde ba ar sonuçlar elde ettikleri görülmektedir (Akay, 2009).

ekil 3.27. Klasik algoritmalar n ve modern sezgisel algoritmalar n ba ar m spektrumu (Akay, 2009)

Genel olarak sezgisel algoritmalar, biyoloji tabanl , fizik tabanl ve sosyal tabanl olmak üzere üç ba k alt nda toplanabilir. GA, Kar nca Kolonisi Algoritmas (KKA), DE algoritmas , Yapay Sinir A lar (YSA) ve Yapay Ba kl k Sistemleri (YBS) biyolojik tabanl , Is l lem (I ) algoritmas ve elektromanyetizma algoritmas fizik tabanl ve TA’da sosyal tabanl algoritmalara örnek olarak verilebilir. Bu algoritmalar n yan s ra biyoloji, fizik ve sosyal tabanl algoritmalar n birlikte hibrit olarak çal ld algoritmalarda bulunmaktad r (Alata , 2007).

Sezgisel algoritmalar genel olarak çözümün ba lang ç durumuna, amaç fonksiyonunu kullanma ekline, kom uluk kriterlerine ve haf za yap na göre s flara ayr labilir. TA ve I algoritmas gibi bütün yerel arama tabanl sezgisel algoritmalar çözüme ba larken tek bir çözüm noktas kullan r ve çe itli operatörlerle çözümü ilerletirler. Bu ekilde çal an sezgisel yöntemler tek noktal olarak s fland labilirler. Bunun yan nda GA, KKA, AK, YBS ve PSO yöntemi gibi algoritmalarda çözüme fazla say da nokta ya da bir popülasyon üzerinden ba lan r, bu ekilde çal an algoritmalar da çok noktal ya da popülasyon tabanl algoritmalar olarak isimlendirilebilir.

Bir tak m sezgisel algoritmalarda amaç fonksiyonu sabit tutulurken, baz sezgisel algoritmalarda ise yerel minimumlardan kaç nabilmek amac yla amaç fonksiyonu de ir. Bu yöntemlere s ras yla sabit amaç fonksiyonlu ve de en amaç fonksiyonlu sezgisel algoritmalar denilmektedir. Yine bir k m sezgisel algoritmalar tek kom uluk yap na sahipken farkl baz yöntemler ise çok kom uluklu yap lar kullanmaktad rlar. Bunlarda tek kom uluk yap ve de ken kom uluk yap sezgisel algoritmalar olarak ayr labilir. Son olarak sezgisel algoritmalar eski çözümlerden elde etti i sonuçlar ya da buldu u en iyi sonucu hat rlay p hat rlamamas na göre haf zal ya da haf zas z algoritmalar olarak s fland lmaktad r (Alata , 2007).

3.2.3.1. Yapay ar kolonisi algoritmas

Yapay ar kolonisi (Artificial Bee Colony, ABC) algoritmas ilk defa Karabo a (2005) taraf ndan, ar lar n do ada yiyecek arama davran lar ndan esinlenerek geli tirilmi tir. ABC algoritmas nda, ar lar n kovanlar ndan ayr larak besin toplad klar noktalar ilgili problemin olas çözüm noktalar ve ar lar n bulduklar besinlerin kaliteleri de probleme ait amaç ya da uygunluk fonksiyonundan elde edilen sonuç de erlerini ifade etmektedir. Ar lar n yiyecek aray ka if ar lar n kovandan ayr ile ba lar, rastgele çevreye da lan ka if ar lar bulduklar besin noktalar ndan nektar toplayarak kovana geri dönerler ve besin noktalar hakk ndaki bilgiyi yapt klar bir dans arac yla kovanda bekleyen di er ar lara aktar rlar. Kovanda besin yerleri hakk ndaki bilgiyi alan ar lar ise bu besin noktalar n kom ulu unda daha kaliteli besin yerlerinin aray na ba larlar. Bu ekilde en kaliteli besin yerinin bulunmas amaçlan r. ABC algoritmas içerisinde bir tak m kabuller bulunmaktad r. Öncelikle her besin noktas için ayr bir ar görevlendirilmektedir. Yani görevli ar say ile yiyecek kayna say birbirine e ittir. Bir di er kabul ise i çi ve gözcü ar say lar n birbirine e it olmas r. Yöntemde görevli ar say n yar i çi ar iken di er yar da gözcü ar olmaktad r. ABC algoritmas üç temel faz üzerinden i lemleri yürütür. Bunlar; i çi ar , gözcü ar ve ka if ar fazlar r.

Algoritmada öncelikle ka if ar lar kovandan ç karak arama uzay na rastgele da rlar ve besin yerleri bulmaya çal rlar. Yiyecek kaynaklar bulunduktan sonra ka if ar lar art k görevli ar olurlar ve bulduklar besin noktalar ndan kovana yiyecek ta maya ba larlar. Her bir görevli ar buldu u nektar kovana bo alt r, daha sonra ya buldu u kayna a geri döner ya da buldu u kayna n yerini kovandaki gözcü ar lara kendilerine özgü bir dansla aktar r. E er ilgili besin noktas nda nektar tükenmi ise görevli ar ka if ar haline gelir ve ba lang çta oldu u gibi rastgele yeni bir kaynak noktas aramaya ba lar. Kovandaki gözcü ar lar kaliteli besin noktalar n yerleri konusunda alm olduklar bilgiyle ilgili besin noktalar na giderler ve bu bölgede daha kaliteli besin noktalar aramaya ba larlar. ABC algoritmas bu ekilde çal arak en fazla nektar n bulundu u kayna bulmaya çal r (Akay, 2009).

Ba lang ç yiyecek kayna noktalar n belirlenmesi:

ABC algoritmas nda çözüme ba lan rken öncelikle rastgele besin noktalar belirlenir. Bu k mda besin noktalar probleme ait rastgele olu turulmu olas çözüm noktalar temsil etmektedir. Bu k mda rastgele bulunan besin noktalar , sat r say besin kayna say yada görevli ar say na ve sütun say ise problemin boyut say na e it olan bir matris yada vektör eklinde ifade edilmektedir. lgili besin noktalar problemin özelli ine göre belirlenen bir alt ve üst limit aral nda rastgele bir

ekilde belirlenir (Denklem 3.23).

) )( 1 , 0 ( max min min j j j ij x rand x x x i = 1…….FN, j = 1……….Dp (3.23) Burada; FN yiyecek kayna say ve Dp ise optimize edilecek parametre say r. xjmin , j. parametrenin alt s , xjmax ise j. parametrenin üst s r. ABC algoritmas nda herhangi bir ad mda çözüm geli tirilememi se bu amaç için tan mlanm bir sayaç de keninin de eri bir artt r. Herhangi bir besin noktas için sayaçtaki de er önceden belirlenmi bir limit de erini a nda kovandan bir ka if ar ç karak yeni bir ba lang ç çözüm noktas belirler. Algoritma çözüme ba lamadan önce bahsedilen bu sayaç de erini bütün besin noktalar için s rlar. Ba lang ç besin noktalar belirlendikten sonra ABC algoritmas i çi ar , gözcü ar ve ka if ar fazlar kullanarak en iyi besin noktalar bulmaya çal r.

çi ar faz :

çi ar faz nda, daha önce görevli ar lar taraf ndan rastgele belirlenmi besin yerlerinin kom ulu unda Denklem 3.24 kullan larak daha kaliteli besin yerleri aran r. Elde edilen besin daha kaliteli ise yada bir ba ka ifadeyle mevcut sonuca göre olmas gereken optimum de ere daha yak nsa yeni kayna n yeri ve maliyet de eri eskisinin yerine haf zaya al r. Yeni çözüm noktas mevcut durumu geli tirememi se eski kayna n yeri haf zada saklan r ve çözüm geli tirememe sayac bir artt r.

) ( _{ij kj} ij ij ij x x x v (3.24)

xi ile gösterilen her bir kaynak için bu kayna n yani çözümün tek bir parametresi de tirilerek xi kom ulu unda vi kayna bulunur. Denklem 3.24’de j,

[1,D] aral nda rastgele üretilen bir tamsay r. Rastgele seçilen j parametresi de tirilirken, yine rastgele de tirilen xkkom u çözümünün j. parametresi ile mevcut kayna n j. parametresinin farklar al p [-1,1] aras nda rastgele de er alan ij say ile rl kland ld ktan sonra mevcut kayna n j. parametresine eklenmektedir. Bu ekilde üretilen vij noktalar parametrelerin alt ve üst limitleri d na ç kacak olursa Denklem 3.25’de görüldü ü gibi s r de erleri a an çözüm noktalar s r de erlere çekilir (Akay, 2009). = , < , , > (3.25)

Elde edilen yeni besin yerlerine göre problemin fi amaç fonksiyonundan elde edilen maliyet de erleri kullan larak Denklem 3.26 yard yla besin noktalar n fitness (uygunluk) de erleri hesaplan r. Bu noktadan sonra xi ve vi noktalar na göre elde edilen uygunluk de erlerinin k yaslanmas yla olu turulan yeni çözüm noktas n durumu de erlendirilir. Bu iki çözüm noktas aras nda yap lan aç gözlü (greedy) seçme i lemi sonucunda vi kayna ndan elde edilen uygunluk de eri istenilen de ere daha yak nsa, yani elde edilen yeni besin daha kaliteliyse yeni besin yeri (çözüm noktas ) eskisinin yerine haf zaya kaydedilir ve çözüm geli tirememe sayac s rlan r. Aksi takdirde eski çözüm noktas haf zada sakl tutulur ve çözüm geli tirememe sayac bir artt r.

0 ) ( 1 0 ) 1 /( 1 i i i i i f f abs f f fitness (3.26) Gözcü ar faz :

çi ar faz nda bütün besin noktalar için kom uluklar belirlendikten ve ç kan uygunluk de erlerine göre aç gözlü seçme i lemi uyguland ktan sonra i çi ar lar kovana dönerek elde ettikleri bilgileri gözcü ar lara aktar rlar. Gözcü ar lar payla lan bu bilgilerden yola ç karak mevcut besin noktalar n kom ulu unda yeni besin yerleri aramaya ba lar. Bu fazda bir gözcü ar i çi ar lar n verdi i bilgi do rultusunda yiyecek kaynaklar n nektar miktarlar ile orant bir olas kla bir nokta seçer. Olas ksal

seçme i lemi, algoritmada nektar miktar ifade etmekte olan uygunluk de erleri kullan larak gerçekle tirilir. Bu i lem rulet tekerle i, s ralamaya dayal , stokastik örnekleme, turnuva yöntemi yada di er seleksiyon türlerinden herhangi biri ile gerçekle tirilebilir. Temel ABC algoritmas nda seleksiyon mekanizmas rulet tekerle i yöntemi ile gerçekle tirilmektedir. Tekerlekteki her bir dilimin aç ilgili besin noktas n uygunluk de eri ile orant r. Denklem 3.27’de görüldü ü gibi, bir kayna n uygunluk de erinin bütün kaynaklar n uygunluk de erlerinin toplam na olan oran hesaplanarak ilgili kayna n seçilme olas elde edilmi olur (Akay, 2009).

FN i i i i fitness fitness p 1 (3.27)

Burada fitnessi, i. kayna n uygunluk de erini, FN görevli ar say yada besin yeri say , pi ise i. kayna n seçilme olas ifade etmektedir. Bu noktadan sonra algoritmada her bir kaynak için [0,1] aral nda rastgele bir say üretilir. E er herhangi bir kaynak için hesaplanan pi de eri bu (rastgele belirlenmi olan) say dan büyükse ilgili kayna n gözcü ar Denklem 3.24’ü kullanarak mevcut çözüm kom ulu unda yeni bir kaynak noktas belirler. Bu yeni kaynak noktas na ait uygunluk de eri hesaplan r ve i çi ar faz nda oldu u gibi mevcut çözümle yeni bulunan besin yerine ait çözüm k yaslan r. Yeni çözüm noktas n uygunluk de eri eskisine k yasla daha iyi ise yeni çözüm noktas ve uygunluk de eri eskisinin yerine haf zaya kaydedilir ve çözüm geli tirememe sayac s rlan r, aksi taktirde eski çözüm haf zada sakl tutulur ve çözüm geli tirememe sayac bir artt r. Bu süreç bütün gözcü ar lar yiyecek kayna bölgelerine da lana kadar devam eder.

Kâ if ar faz :

Bir çevrimin sonunda bütün besin noktalar için görevli ve gözcü ar lar aramalar tamamlad ktan sonra bütün besin noktalar için çözüm geli tirememe sayaçlar kontrol edilir. E er herhangi bir kayna n sayaç de eri önceden belirlenmi bir limit de erini a sa ilgili kayna n nektar n tükenmi oldu u anla r ve ilgili kayna n görevli ar , kâ if ar haline gelir ve bu kâ if ar Denklem 3.23’ü kullanarak en ba ta oldu u gibi yeni bir besin noktas belirler. Önceki fazlara benzer ekilde kâ if ar n buldu u besin yeri daha iyi ise eskisinin yerine kaydedilir.

Limit de erinin hesaplanmas Denklem 3.28'de gösterilmi tir, burada parametresi için 0.5 de eri önerilmi olsada farkl de erleri ile daha uygun sonuçlar n elde edilme olas mevcuttur (Akay, 2009). Genel olarak ABC algoritmas n sözde kodu ekil 3.28.’de verilmi tir.

Limit = .FN.Dp (3.28)

Ba la

1. Denklem 3.23 yard yla besin yerleri için ba lang ç noktalar n belirlenmesi ve çözüm geli tirememe sayac n (triali=0) s rlanmas

2. Elde edilen ba lang ç de erleri için amaç fonksiyonun çal lmas ve Denklem 3.26' da verilen fitnessi de erlerinin hesaplanmas

çi Ar Faz # 3. repeat

4. for i=1 to FN do

5. Denklem 3.24'ü kullanarak xi çözümünün görevli ar için yeni bir kaynak üret. Amaç fonksiyonunu kullanarak üretilen yeni kayna n maliyet de erini ve Denklem 3.26' kullanarak fitness de erini hesapla

6. Yeni çözümün fitness de eri eski çözümde bulunan fitness de erinden yüksekse yeni çözüm noktas ve maliyet de erini eskisinin yerine kaydet ve çözüm geli tirememe sayac s rla, aksi durumda eski çözüm noktas ve maliyet de erini koru ve çözüm geli tireme sayac bir artt r

7. end for

8. Denklem 3.27'yi kullanarak gözcü ar lar n seçim yaparken kullanaca pi olas k de erlerini hesapla

#Gözcü Ar Faz #

9. t=0, i=1

10. repeat

11. if random<pithen

12. Denklem 3.24'ü kullanarak gözcü ar lar için yeni bir kaynak üret, Amaç

fonksiyonunu kullanarak üretilen yeni kayna n maliyet de erini ve Denklem 3.26’y kullanarak fitness de erini hesapla

13. Madde 6'y tekrarla

14. t=t+1

15. end if

16. until t=FN

#Ka if Ar Faz #

17. if max(triali)>limit then

18. Denklem 3.23’ü kullanarak yeni bir xi çözüm noktas bul ve yeni bulunan xi noktas eskisi ile de tir

19. Amaç fonksiyonunu kullanarak üretilen yeni kayna n maliyet de erini ve

Denklem 3.26’y kullanarak fitness de erini hesapla

20. Madde 6'y tekrarla

21. end if

22. En iyi çözümü haf zada tut 23. until durma kriteri

Sonuç olarak ABC algoritmas , kullan n kolay ve esnek olmas , nümerik problemlerde oldu u kadar ayr k problemlerde de uygulanabilir olmas ve az say da kontrol parametresine sahip olmas gibi özelliklere sahip olmas ndan dolay tercih edilebilir bir algoritma olarak tan mlanmaktad r. Bunun yan nda ABC algoritmas n farkl nümerik problemler üzerinde ba ar sonuçlar elde etti i de bilinmektedir (Akay, 2009)

3.2.3.2. Parçac k sürü optimizasyon yöntemi

PSO yöntemi ilk defa Kennedy ve Eberhart (1995) taraf ndan, sürü halinde ya ayan ku ve bal k sürülerinin do adaki besin arama davran lar ndan esinlenerek ortaya at lm r. Ba lang çta ku ya da bal k sürülerinin kareografisini grafiksel olarak modelleme amac yla yola ç lm fakat ilerleyen a amalarda parçac k sürü modelinin bir optimizasyon algoritmas olarak kullan labilece i anla lm r (Alata , 2007). PSO algoritmas nda temelde ku lar n sürü halinde toplanmas eklinde ortaya ç kan sosyolojik davran lar esas al nmaktad r ( evkli, 2005). GA ve Evrimsel Programlama (EP) yöntemlerine benzer ekilde çal an PSO algoritmas , temelde do rusal olmayan sürekli problemlerin optimizasyonu için geli tirilmi tir (Kennedy ve Eberhart, 1995).

Ku lardan olu an bir sürü, yiyecek ararken besin kayna n ne kadar uzakta oldu unu ö renmek isterler. Bunun için öncelikle bütün ku lar rastgele da larak yiyecek aramaya ba larlar. E zamanl olarak bütün ku lar geri döndükten sonra bulduklar yiyecek kaynaklar hakk nda bilgi payla yaparlar. Bu a amada yiyecek kayna na en yak n olan ku un konumu belirleyici rol oynar (Ortakç , 2011). PSO algoritmas nda her bir ku birer parçac k olarak arama uzay ndaki bir çözüm noktas temsil eder ve ku toplulu u da sürü olarak ifade edilmektedir. Algoritmada her bir parçac k hareket bilgisini, h ve elde etti i en iyi uygunluk de erini hat rlamak zorundad r. Parçac klar n konum bilgileri kom ular n en iyi koordinatlar ve kendisinin buldu u en iyi koordinat bilgilerinin beraber de erlendirilmesinden elde edilir (Alata , 2007). Algoritmada öncelikle bütün ku lar, yani parçac klar rastgele konumlan rlar ve her ad mda her bir ku un kendi en iyi konumu ile kom ular n en iyi konum bilgileri beraber de erlendirilerek parçac klar n yeni konum de erleri elde edilir. En iyi sonuç elde edilene kadar arama i lemi bu ekilde devam eder (Öztürk ve Alkan, 2013).

PSO algoritmas di er klasik optimizasyon yöntemlerinden farkl olarak türev bilgisine ihtiyaç duymadan çal r. Algoritmada kendisinden gelen de ken say azd r ve bu sebeple uygulamas ve farkl problemlere uyarlanabilmesi oldukça kolayd r. Bunun yan nda PSO algoritmas n bir ba ka özelli i ise parçac klar hem kendi en iyi pozisyon de erlerini hem de sürüdeki di er kom ular n en iyi pozisyon de erini hat rlad klar için iyi bir haf za yetene ine sahiptirler. PSO’da çözüm uzay nda arama yap rken en iyi pozisyona sahip parçac n de erinden yararlan r ve arama uzay nda herhangi bir de iklik olmaz. Buna kar n, genetik algoritmada kötü sonuçlar devre d

rak larak arama uzay daralt r. Arama uzay nda herhangi bir de ikli e ya da tlamaya gitmemek PSO’nun yerel optimumlara tak lmas engeller (Ortakç , 2011).

PSO algoritmas , fonksiyon optimizasyonu, bulan k sistem kontrolü ve yapay sinir a e itimi gibi birçok alanda ba ar sonuçlar elde edebilmektedir (Delice, 2008). Genel olarak GA ve PSO algoritmas n performanslar n birbirine benzer oldu u söylenebilir. Fakat PSO’nun geçerlili ini kan tlam bir yöntem olan GA yöntemine göre ortalamada daha az fonksiyon de erlendirmesi yapt ifade edilmektedir (Hassan ve ark., 2005).

PSO algoritmas nda ba lang çta bütün ku lar n da p rastgele besin yeri aramas sonucu arama uzay nda her bir parçac n konum vektörleri elde edilir. Bu durumda d boyutlu bir problemde sürüdeki i. parçac n konum vektörü xi = (xi1 , xi2 ,….., xik,,….. xid) olmaktad r. Her bir parçac n pozisyon de eri, ilgili probleme ait farkl bir çözüm kümesini ifade etmektedir. Arama uzay n s r de erleri olan [Xmin, Xmax] çözüm aral nda de erler alan bir parçac n konum de eri Xi, belirtilen aral n na ç karsa parçac a çe itli k tlamalar getirilebilir. Bu k tlamalar a daki gibi tan mlan r (Ortakç , 2011).

er Xi > Xmax ise Xi = Xmax ve Vi = 0; er Xi < Xmax ise Xi = Xmin ve Vi = 0; er Xi > Xmax veya Xi < Xmin ise Vi = -Vi;

er Xi > Xmax veya Xi < Xmin ise Xi nin uygunluk de erini en kötü uygunluk de eri yap

Burada; Xmax: arama uzay n üst s , Xmin ise arama uzay n alt s ifade etmektedir. Sürü içinde oldu u kabul edilen p tane parçac k için ba lang ç konum ve h z de erleri s ras yla Denklem 3.29 ve Denklem 3.30 ile hesaplan r. Denklem 3.30’daki vmax de eri h z de keninin parçac klar için alabilece i en büyük de eri ifade etmektedir.

Xi = Xmin + (Xmax – Xmin) * random () (3.29)

vi = vmax * random () (3.30)

z de eri pozitif yada negatif de erler alabilir ve bu ekilde herhangi bir parçac n çözüm uzay nda farkl yönlerde hareket etmesini sa lar. H z de erinin çözüm aral n d na ç p istenmeyen de erler almas önlemek için vmax ya da vmin gibi belirli limit de erlerle s rland lmas gerekmektedir. vmax de erinin belirlenmesi probleme göre fakl k gösterebilir. Baz uygulamalarda vmax = vmin olarak kullan lm r. Baz uygulamalarda ise vmax arama uzay ndaki parçac n konum vektörünün her bir boyutunun alabilece i en büyük de er ile en küçük de erin fark n %10-20'si aral nda bir de er alm r (Denklem 3.31) (Robinson ve Rahmat, 2004).

vmax= (Xmax -Xmin)*%R R [10-20] (3.31)

er bir parçac n h z de eri vmax ve vmin limit de erlerinin d na ta acak olursa h z de eri limit de erine çekilir ve bu ekilde arama uzay nda daha sa kl bir arama yap lm olur.

Sürüde iterasyonlar boyunca parçac klar n konum de erleri hesaplanarak bulunan en iyi uygunlu a sahip parçac n konum de eri, global en iyi de er (gbest) olarak adland r. Yeni iterasyonda daha iyi bir gbest de eri elde edilecek olursa yeni gbest de eri eski gbest de erinin yerine haf zaya kaydedilir. Haf zada bulunan gbest de eri bütün parçac klar kendi de erine do ru çeker. Sürüdeki her bir parçac n nesiller boyunca elde etti i en iyi uygunluk de eri de pbest (ki isel en iyi) olarak adland r. gbest de erine benzer ekilde her bir parçac k iterasyonlar boyunca buldu u en iyi pbest de erini haf zas nda saklar ve daha iyi bir pbest de eri ile kar la rsa elde etti i en iyi de er ile daha kötü de erin yerlerini de tirir. Herbir parçac k h z güncellemesi yaparken kendi pbest de erine do ru çekilir (Ortakç , 2011).

Buna göre sürüdeki i. parçac n pbest de erleri Pi = (Pi1, Pi2 ,,…., Pik,,… Pid) olarak ifade edilir, i. parçac n yer de im vektörü yani h z vektörü ise vi = (vi1, vi2 ,,…., vik,,… vid) olarak tan mlan r. Bu tan mlamalara göre nesiller boyunca güncellenen i. parçac n h z vektörü (Denklem 3.32) ve buna ba olan konum vektörü (Denklem 3.33) a da verilmi tir (Ortakç , 2011).

Xijt+1 = Xijt + vijt+1 (3.33) t : iterasyon say ; j: 1,2,….,d;

Denklem 3.32 yard yla t. iterasyonda i. parçac n (t+1). iterasyondaki h z vektörü elde edilmi olur. Denklem 3.33'de ise bulunan h z vektörü, (vijt+1), i. parçac n t. iterasyondaki pozisyon vektörüne eklenerek (t+1). iterasyondaki pozisyon vektörü