Sertleşmiş beton, katı fazda ve belirli seviyede dayanım kazanmış beton olarak tariflenir [27]. Hidratasyonun gelişimiyle birlikte, beton akıcı durumdan plastik duruma ve en nihayet katı sertleşmiş duruma ulaşır. Sertleşmiş durumda beton yapısal malzemeler gibi dış yükleri desteklemeye hazırdır. Sertleşmiş betonun en önemli özelikleri çeşitli dayanımlar, gerilme-şekil değiştirme ilişkisi, çeşitli modüller, Poisson oranı ve durabiliteyi kapsar. Beton dayanımı bunların içinde en önemli özeliğidir. Bununla beraber, dayanım genellikle betonun niteliğinin genel görünüşünü verir çünkü dayanım sertleşmiş çimento hamurunun yapısı ile doğrudan ilişkilidir [29].
Uygulamada, öngörülmüş belirli yaş ve sıcaklıkta saklanan beton dayanımının esas olarak sadece iki etmene bağlı olduğu kabul edilir; Su/Çimento (S/Ç) oranı ve sıkıştırılabilme derecesi [29]. Uygulamada sertleşmiş betonun yaklaşık %1 hava boşluğuna sahip olduğu kabulü yapılır [29].
Beton tamamen sıkıştırıldığında dayanım Su/Çimento oranı ile ters orantılı olarak ele alınır. Bu bağıntı 1919’da Duff Abrams tarafından K1 ve K2 deneysel sabit olmak üzere
(2.3) şeklinde önerildi. 1 / 2 c S Ç K f K (2.3)
Su/Çimento oranına göre basma dayanımı formülü Graf tarafından aşağıdaki şekilde verilmektedir. 2 cc c G f Ç f K S (2.4)
33
Şekil 2.2 Beton dayanımı ve S/Ç oranı arasındaki ilişki [29]
Abrams “yasası”, bağımsız oluşturulmasına rağmen 1896’da Férét tarafından formüle edilen genel kurala benzerlik gösterir [29]. Férét kuralı, fc, beton dayanımı, ç, s ve h
sırasıyla çimento, su ve havanın mutlak hacimleri ve K sabit olmak üzere (2.5) şeklinde verilir. 2 ç ç s h c f K (2.5)
Hidratasyonun her bir aşamasında sertleşmiş çimento hamurunun boşlukluluğunu Su/Çimento oranı belirler. Su/Çimento oranı ve sıkıştırma düzeyinin her ikisi birlikte betonun boşluk hacmini etkiler ve bu Férét’in ifadesinin içerdiği betondaki hava hacminin nedenini açıklar [29].
Dayanım ve toplam boşluk hacmi arasındaki ilişki betonun özgün özeliği değildir çünkü suyun geride bıraktığı boşlukların da bulunduğu diğer kırılgan malzemelerde de bu özelik bulunur. Örneğin harç dayanımı boşluk içeriğinin dolaysız fonksiyonudur [88]. Beton dayanımı muhtemelen betondaki tüm boşluklardan (hapsolmuş hava, kılcal boşluklar, jel boşlukları ve eğer varsa sürüklenmiş hava) etkilenir [89]. Özünde dayanım, toplam boşluk hacmi ile bağlantılıdır ve buradaki en anlamlı faktör Su/Çimento oranıdır. Daha temel bir düzeyde bu, hidrate olmuş çimento hamuru hacminin hidrate çimento hacmi ve kılcal boşlukların toplamına oranı olan jel/hacim (hacim = etkin anhidrit bağlayıcı+su+hava hacimlerinin toplamı, eşdeyişle, hidratasyon
34
ürünü olarak asıl bağlayıcı işlev gösteren “jel”in doldurması beklenen hacim olarak tanımlanmaktadır) oranının (x) fonksiyonu olarak ifade edilebilir [90]. Powers deneysel verilerine göre x değerine bağlı olarak dayanımı (2.6) şeklinde vermiştir.
3
2 3 4 c
f x (2.6)
(2.6) betonun yaşından ve karışım oranlarından bağımsızdır. Ancak x değeri çimentonun α hidratasyon derecesine bağlı olarak artmaktadır.
Beton dayanımı öncelikle jelin fiziksel yapısına bağlıdır ve jelin kimyasal bileşimi ilerleyen yaşlarda küçük ikincil etkiler oluşturur [90].
Bu tür modeller, sadece çimento hamuruna odaklanır, agrega özeliklerinin dayanım üzerinde önemli olabilecek etkilerini göz ardı eder. Beton dayanımı tahmini için kuramsal modellere güvenmek ihtiyatlı değildir [90]. Belirli çimento ve kabul edilebilir agrega ile üretilen betonun dayanımını etkileyen değişkenler [29];
Su/Çimento oranı, Agrega/Çimento oranı,
Agrega granülometrisi, tanelerin yüzey dokusu, biçim, dayanım ve rijitliği, En büyük agrega tane büyüklüğü olarak sayılabilir.
Betonlar basma dayanımlarına göre sınıflandırılırlar. Sınıflandırmada, çapı 150 mm ve yüksekliği 300 mm olan silindir şekilli numunenin 28 günlük karakteristik basma dayanımı (fck, sil) veya kenar uzunluğu 150 mm olan küp şekilli numunenin 28 günlük
35
BÖLÜM 3
TEPKİ YÜZEYİ YÖNTEMBİLGİSİ
Tepki yüzeyi yöntembilgisi (TYY) bir sürecin geliştirilmesi, iyileştirilmesi ve eniyilemesi için faydalı istatistiksel ve matematiksel tekniklerin bütünüdür [2]. Özenli (dikkatli, ölçülü) tasarım ve deneylerin analizi vasıtasıyla, tepki veya çıktı (ürün) değişkeni ile bunlara etki eden tahminciler veya girdi (etki) değişkenlerinin sayılarının düzeyleri arasındaki bağlantıyı araştırır [3]. Ayrıca mevcut bir ürün tasarımının iyileştirilmesinde olduğu gibi yeni ürünlerin tasarımı, geliştirilmesi ve formülasyonuna yönelik oldukça yararlı uygulamaları vardır [2].
Üzerinde çalışılan değişkenler uygulamanın özel bir alanı ile ilgilidir. TYY’in bu özel uygulama alanları, belirli bir ürünün veya sürecin bazı çıktı özeliklerini veya nitelik (kalite) karakteristiklerini birtakım girdi değişkenlerinin etkilediği bilinen veya tahmin edilen durumlardır. Bu başarım özelikleri veya nitelik karakteristikleri “tepki” (mukabele, yanıt (uluslar arası istatistik enstitüsü)) olarak isimlendirilirler [2]. Girdi değişkenleri bazen “bağımsız değişkenler” olarak da isimlendirilirler [2]. Tepki veya çıktı değişkenleri ile girdi değişkenleri arasında aşağıdaki gibi fonksiyonel bir ilişki olduğu varsayılır [3].
1, 2, ..., k
f (3.1)
Sadece bir girdi değişkeni ( 1) varsa, tepki eğrisi (Şekil 3.1 (a)) vasıtasıyla tepki
değişkeni ile girdi değişkeni arasında bir bağıntı kurulur [3]. Eğer iki girdi değişkeni ( 1, 2) varsa, tepki değişkeni ile girdi değişkenlerinin grafiği üç boyutlu uzayda
36
Şekil 3.1 Tepki eğrisi (a) ve tepki yüzeyi (b) [3]
Herhangi bir girdi değişkenine ( ) göre aynı koşullarda yapılan tekrarlı deneylerde, ölçüm hatâları, gözlemlenebilir hatâlar ve malzemedeki temel değişkenlikler nedeniyle ölçülen tepki değişecektir [3]. Bu nedenle, y olarak adlandırılan gerçek gözlemlenen tepki sonuçları ile bağımsız değişkenler arasında uygun yaklaşım modelini oluşturmak için istatistiksel modelleme yapılır. Genelde ilişki aşağıdaki gibi tanımlanır.
1, 2, ..., k
y f (3.2)
Burada f biçimi bilinmeyen gerçek tepki fonksiyonu ve , f fonksiyonu içerisinde hesaba katılmayan diğer değişkenlerin ve kullanılan matematiksel biçimin yetersiz kaldığı girdi değişkeni katkılarını temsil eden bir terimdir [2]. Genellikle, tepkideki ölçüm hatâlarının, arka plan gürültülerinin ve diğer değişkenlerin etkilerini içerir [91]. Epsilon ( ) istatistiksel hatâ olarak değerlendirilmektedir ve genellikle sıfır ortalaması etrafında
2
varyansla normal dağılıma sahip olduğu kabul edilir [2]. Epsilonun ortalamasının sıfır olması halinde (3.3) yazılabilir.
1 2 1 2 , , ..., , , ..., k k E y E f E f (3.3)
(3.3)’deki 1, 2, …, k değişkenleri ölçümün doğal birimini ifade ettikleri için genellikle
37
yerine, x1, x2, …, xk kodlanmış veya standardlaştırılmış değişkenlerle çalışmak daha
uygun olmaktadır [3]. Bu kodlanmış değişkenler genellikle birimsiz olarak tanımlanırlar, ortalamaları sıfırdır ve aynı dağılıma veya standard sapmaya sahiptirler. Bu olgu sayısal hesaplarda doğal değişkenler arasındaki mertebe farklarından kaynaklanacak hatâları en aza indirilmesi bakımından da büyük yarar sağlamaktadır. Doğal değişkenler kodlanmış değişkenlere (3.4) yardımıyla dönüştürülürler [2].
( ) / 2 ( ) / 2 i iE B iE K i iE B iE K x (3.4)
i, i’inci değişkene ait değeri ifade eder. Kodlanmış değişkenler kullanılarak, (3.3)’de
verilen gerçek tepki fonksiyonu (3.5) şeklinde yazılır. 1, 2, ..., k
f x x x (3.5)
Gerçek f tepki fonksiyonunun biçiminin tahmin edilmesi gerekir. Aslında TYY’nin başarılı kullanımı büyük ölçüde deneyi yapanın f için uygun yaklaşım geliştirebilme kabiliyetine bağlıdır. Genellikle bağımsız değişkenin bazı nispeten küçük değişim aralıklarında düşük üstel polinom uygundur. Birçok durumda birinci derece veya ikinci derece model kullanılır [2].
Birinci dereceden model, f tepki fonksiyonunun küçük eğrilikler içerdiği bağımsız değişken uzayının yeterince küçük bir bölgesi üzerindeki gerçek tepki yüzeyinin tahmini söz konusu olduğunda uygun olabilmektedir [2].
İki bağımsız değişkenin olduğu durum için birinci dereceden model kodlanmış değişkenler cinsinden (3.6) şeklinde yazılır.
0 1x1 2x2 (3.6)
(3.6)’daki birinci dereceden modelin denklemi ana etkiler modeli olarak adlandırılır. Çünkü x1 ve x2 değişkenlerinin yalnız ana etkilerini ihtiva eder. Eğer bu değişkenler
arasında bir etkileşim varsa aşağıdaki şekilde bir ilave kolaylıkla yapılabilir [2].
38
Bu “bir etkileşimli” birinci dereceden modeldir. Etkileşim teriminin ilavesi tepki fonksiyonunda (yüzeyinde) eğrisellik oluşturur [91].
Genellikle gerçek tepki yüzeyindeki eğrisellik (etkileşim terimi ilave edilmiş olsa bile) yüksek olur. Bu durumda muhtemelen ikinci dereceden modele ihtiyaç duyulur. İki değişkenli durum için ikinci dereceden model (3.8) biçiminde yazılabilir [2].
2 2
0 1x1 2x2 1 1x1 2 2x2 1 2x x1 2 (3.8)
Bu modelden, nispeten küçük bir bölgedeki gerçek tepki yüzeyinin tahmini için yararlanılabilir [91]. Bu bölgedeki gerçek tepki yüzeyinde önemli mikdarda eğrilik bulunabilir.
İkinci dereceden model TYY’de genellikle birkaç sebeple kullanılır [91];
İkinci dereceden model oldukça esnektir. Fonksiyonel formun genişçe bir değişim aralığını kapsar ve gerçek yüzeyin tahmininde oldukça iyi yaklaşım verir.
İkinci derece modelde parametreler kolaylıkla ( ) tahmin edilir. En küçük kareler yöntemi bu amaçla kullanılabilir.
Gerçek tepki yüzeyi problemlerinin çözümünde ikinci dereceden modelin iyi sonuçlar verdiğini gösteren çok sayıda uygulama deneyimi mevcuttur.
Bazı durumlarda ikiden yüksek dereceli tahmin polinomları kullanılır. Gerçek tepki fonksiyonunun çokterimli tahmini için genel tercih, x10, x20, …, xk0 noktaları etrafında
Taylor serisi açılımına dayanır.
Sonuç olarak TYY ve lineer regresyon analizi arasında yakın bir bağlantı vardır [2]. Meselâ (3.9) modelini ele alalım.
0 1 1 2 2 ... k k
y x x x (3.9)
Burada katsayıları bilinmeyen parametreler kümesidir. Bu parametrelerin değerlerini tayin etmek için önce araştırılan sistemle ilgili verilerin toplanması, derlenmesi gerekir. İstatistiksel modelleme aracı olarak regresyon analizi toplanan verilerden ’ların tahmin edilmesinde kullanılır. Genelde çokterimli modeller bilinmeyen ’ların lineer fonksiyonları olduğu için bu tekniğe lineer regresyon analizi de denilir. Tepki yüzeyi
39
çalışmasının veri toplama aşamasının dikkatli bir şekilde kurgulanması çok önemlidir. Gerçekten de deney tasarımının “tepki yüzeyi tasarımı” adı verilen özel türleri bu anlamda değerlidir [2].