Faktöriyel tasarımda en önemli özel durumlardan birisi, her bir k faktörünün sadece iki düzeyinin olmasıdır. Bu tasarımlara genellikle 2k faktöriyel tasarımlar denir. Çünkü bu tür tasarımların her yinelemesi 2k deneysel denemeler veya çalışmalar içerir [2].
2k faktöriyel tasarımlar tepki yüzey çalışmalarında çok önemlidirler. Özelikle üç alanda uygulamaları bulunmaktadır [2];
2k tasarım (veya kısmî faktöriyel tasarım), tepki yüzey çalışmalarının başlangıcı olan önemli süreç veya sistem değişkenlerinin belirlenmesinin gerçekleştirildiği eleme deneylerinde kullanışlıdır.
2k tasarım sıklıkla birinci derece tepki yüzeyi modelinin oluşturulmasında ve adım adım yükseltme metodunun gerçekleştirilmesi için gerekli faktör etki tahminlerinin üretilmesinde kullanılır.
2k tasarım diğer tepki yüzey tasarımlarını oluşturmak için temel yapı bloğu olarak kullanılır.
2k tasarım serisinde en basit tasarım, her biri iki düzeyli sadece iki faktöre (A ve B) sahip 22 faktöriyel tasarım olarak adlandırılan tasarımdır. Faktörlerin düzeyleri keyfi olarak “düşük ( )” veya “yüksek (+)” olarak adlandırılabilir. Bu iki düzey nicel veya nitel özelikte olabilir. Birçok tepki yüzey çalışmasında faktörler ve düzeyleri nicel özeliklerdir. 22 tasarımı için deneme düzeni Şekil 5.1’de verildi [2].
66
Şekil 5.1 22 faktöriyel tasarım [2]
Faktör düzeyi veya durum kombinasyonunun (1), a, b, ab sırasına göre Çizelge 5.1’deki gibi yazılması uygundur.
Çizelge 5.1 22 tasarımda etkilerin hesabı için işaretler [2]
Durum kombinasyonu Faktöriyel Etki
I A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +
Her biri iki düzeyli (+, ) olan A, B ve C faktörü dikkate aldığımızda buna 23 faktöriyel tasarım denir ve sekiz kombinasyonlu davranışı küp olarak Şekil 5.2 (a)’da gösterilmiştir. Her bir faktörün yüksek ve düşük düzeylerini gösteren “+” ve “ ” işaretleri kullanılarak 23 tasarımındaki sekiz denemenin listesi tablo olarak Şekil 5.2 (b)’deki gibi verilebilir. Bu genellikle tasarım matrisi olarak adlandırılır. “+ ve
” işaretlemesine geometrik işaretleme denir [2].
67
23 tasarımında sekiz deneme arasında yedi serbestlik derecesi vardır. Üç serbestlik derecesi A, B ve C’nin ana etkileri ile ilgilidir. Dört serbestlik derecesi ise AB, AC, BC ve ABC etkileşimleri ile ilgilidir [2].
23 faktöriyel tasarıma ait durum kombinasyonlarına ait işaretleme Çizelge 5.2’de görülmektedir.
Çizelge 5.2 23 tasarımda etkilerin hesabı için işaretler [2] Durum kombinasyonu Faktöriyel Etki I A B AB C AC BC ABC a + + - - - - + + b + - + - - + - + c + - - + + - - + abc + + + + + + + + ab + + + + - - - - ac + + - - + + - - bc + - + - + - + - (1) + - - + - + + -
Çizelge 5.2 bazı ilginç özeliklere sahiptir;
I sütünü hariç tüm sütünlarda eşit sayıda + ve – işaret bulunmaktadır. Herhangi iki sütündaki işaretlerin çarpımının toplamı sıfıra eşittir.
Herhangi bir sütun ile I sütününün çarpımında sütün işaretlerinde değişim olmaz. Bu I’nın birim (tanımlayıcı, özdeş, etkisiz) eleman olduğunu gösterir.
Herhangi iki sütunun çarpımı çizelgede bir kolon oluşturur. Örneğin; A B = AB ve AB B = AB2 = A
2k faktöriyel tasarımlar genelleştirilmiş durumlara uygulandığında her biri iki düzeyli k
faktörlü tasarımlarla karşılaşılır. 2k tasarımları için istatistiksel model k ana etkileri,
2
k
iki faktör etkileşimleri,
3
k
üç faktör etkileşimleri, vs. ve bir k faktör etkileşimini kapsar. Bu 2k tasarımı için tüm modelin 2k - 1 etkiyi içerdiği anlamına gelir [2].
2k faktöriyel tasarımlarında k faktör sayısı arttıkça deneme kombinasyonlarının sayısı da artmaktadır. Örneğin, 25 tasarımında 32, 26 tasarımında 64 ve 210 tasarımında 1024
68
deneme kombinasyonu oluşmaktadır. Kaynaklar genellikle sınırlı olduğundan, tasarımcı yapacağı tekrarlama sayısını sınırlandırabilir. Genellikle, tasarımcı bazı ana faktörleri elemeye karar vermedikçe mevcut kaynaklar tasarım denemelerinin sadece tek tekrarlı olmasına olanak verir [2].
2k tasarımının tek tekrarlı olanına tekrarsız faktöriyel de denmektedir. Sadece tek tekrar olduğunda hatânın tahmini yapılamaz. Tekrarsız faktöriyellerin analizi için bir yaklaşım, yüksek düzeyli etkileşimlerin ihmal edilmesi ve bunların karesel ortalamalarının birleşiminin hatâ olarak kabul edilmesidir. Bu kabul etkilerin seyrekliği ilkesine dayanır. Bu ilke, birçok sistemde bazı ana etkilerin ve düşük dereceli etkileşimlerin hâkim olduğunu ve çok yüksek dereceli etkileşimlerin önemsiz olduğunu varsayar [2].
Tekrarsız faktöriyel tasarımlarla veri analizleri yapılırken çok yüksek dereceli etkileşimler meydana gelir. Bu durumlarda, düşük etkiye sahip yüksek dereceli etkileşimleri belirlemek için hatâların karesel ortalamasını kullanmak uygun değildir. Bunun için tahmini etkilere ait normal olasılık grafiği çizilerek, ortalaması sıfır ve 2 varyanslı normal dağılıma sahip etkiler ihmal edilir [102]. Bu etkiler grafik üzerinde düz bir çizgi üzerine düşme eğilimindedirler.
İki düzeyli faktöriyel tasarımların kullanılmasındaki olası sakınca faktör etkilerinde doğrusallık olduğu varsayımıdır. Mükemmel doğrusallık gereksizdir ve doğrusallık varsayımı sadece yeterli yaklaşıma sahip olduğunda bile 2k tasarımı yeteri kadar iyi sonuçlar verebilmektedir.
İki düzeyli faktöriyel denemelerde genellikle birinci derece model oluşturulması öngörülür. Fakat ikinci derece modelin daha uygun bir model olma olasılığını göz ardı etmemek gerekir. İkinci derece etkilerden kaynaklı eğriselliği içeren 2k faktöriyellerde tekrarlanan belirli noktalar sayesinde hatânın bağımsız tahmini sağlanabilir. Bu yöntem 2k tasarıma merkezî noktaların eklenmesini kapsar; xi = 0 (i = 1, 2, …, k) noktalarında n
tekrar denemelerini gerektirir. Tekrar denemelerinin tasarım merkezine eklenmesinin önemli sebeplerinden biri bu merkezî noktaların 2k tasarımdaki genel etki tahminlerini etkilememesidir. Merkezî noktaların eklenmesi k faktörlerinin nicel olduğu varsayımına dayanır [2].
69
Faktöriyel noktalardaki deneme sonuçlarının ortalaması yF ve merkez noktaların
ortalaması yC arasındaki fark küçük ise karesel eğriselliğin bulunmadığı, fark büyük ise
karesel eğriselliğin bulunduğu söylenebilir. Salt karesel eğrisellik için tek serbestlik dereceli kareler toplamı (5.1) ile verilir [2].
2 ( ) F C F C S a lt ka resel F C n n y y S S n n (5.1)
(5.1)’de nF faktöriyel tasarım noktalarının sayısıdır. Salt karesel eğriselliğin sınanması
için bu nicelik hatâ ortalama karesi (error mean square) ile karşılaştırılabilir [2]. Özellikle, 2k tasarımına merkez noktası eklendiğinde, (5.1)’e dayalı eğrisellik sınaması için aşağıdaki hipotez sınamalarının yapılması gerekir.
0 1 1 1 : 0, : 0 k k jj jj j j H H
Ayrıca, eğer tasarımdaki faktöriyel noktalar tekrarsız ise nC 1 serbestlik derecesi ile
hatânın tahminini gerçekleştirmek için nC adet merkez noktası kullanılır [2].
Örneğin 22 faktöriyel tasarımında eğrisellik bulunmadığında aşağıdaki gibi birinci derece modelin kullanılması uygun olacaktır [2].
0 1 1 2 2 12 1 2
y x x x x
Fakat karesel terimlere ihtiyaç duyulan durumlarda aşağıdaki gibi ikinci derece model kullanılması önerilir [2].
2 2
0 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2
y x x x x x x
Ancak bu modelde altı parametrenin tahmini gerekmektedir; eğer elde 22 tasarımı ve bir de merkez noktası ile toplam beş bağımsız deneme sonucu bulunuyorsa bu modeldeki bilinmeyen parametrelerin tahmini gerçekleştirilemez [2].
Bu problemin basit ve en etkin çözümü dört eksensel deneme noktaları ile 22 tasarımını yükseltgemektir. Sonuç tasarım merkezî birleşik tasarım olarak adlandırılır [2].
Merkez noktalarının kullanılmasında uygulamada faydalı olabilecek birkaç öneri [2] aşağıdaki gibi sıralanabilir:
70
Faktöriyel denemeler devam eden bir süreçte yürütülmekte ise tasarımdaki merkez noktaları için mevcut işletim koşulları (reçete) kullanılabilir. Bu durum, deneylerde en az birkaç deneme işletim koşulları altında yapıldığından, elde edilecek sonuçların yeterliliği ve elde edilen sonuçların (en az bu birkaç deneme için) genel olarak elde edilecek sonuçlardan daha kötü olmayacağı konusunda işletim personeli için de inandırıcı olacaktır.
Faktöriyel denemelerde genel işletim çözümüne karşılık gelen merkez noktaları kullandığında, araştırmacı deney esnasında olağandışı bir durumun oluşup oluşmadığını yaklaşık olarak anlamak için bu merkez noktalarında gözlemlenen tepkileri kullanabilecektir. Başka bir deyişle, bu merkez noktası tepkileri sürekli üretim sürecinde geçmişte gözlemlenen tepkilere çok benzer olacaktır. İşletim personeli süreç başarımını izlemek için çoğunlukla bir izleme/denetim çizgesi (diyagramı) oluşturur. Bazen merkez nokta tepkileri (mukabeleleri) bu çizge üzerine işaretlenerek deneyler esnasında sürecin nasıl işlediğini irdelemek için kullanılır. Rastgele olmayan düzende merkez noktasında tekrarların gerçekleştirildiğini
düşünelim. Belirli bir biçimde bir veya iki merkez noktası deney başlangıcında veya yakınında, bir veya iki tane ortasına yakın ve bir veya iki tane sona yakın olarak gerçekleştirilsin. Merkez noktaların farklı zamanlara dağıtılması vasıtasıyla araştırmacı deneyler esnasında üretim sürecinin kararlılığını denetleme imkânı elde eder.
Bazen araştırmalar süreç değişkenliği hakkında az veya hiç öncül bilgi bulunmayan durumlarda yapılmak zorunda olmaktadır. Bu durumlarda deneylerde ilk birkaç deneme için iki veya üç merkez noktasının kullanılması çok yararlı olabilir. Bu denemeler değişkenliğin ön tahminini sağlarlar. Eğer değişkenliğin büyüklüğü kabul edilebilir ise devam edilir, tahmin edilenden daha büyük bir değişkenlik gözlemlendiğinde durulur. Çoğu kez deneylere devam etmeden önce değişkenliğin nelerden kaynaklandığının araştırılması çok “kârlı” olabilir.
Genellikle merkez noktaları tüm tasarım faktörleri nicel olduğunda kullanılır. Fakat bazen bir veya daha çok nitel veya kategorik değişkenler ve birkaç nicel değişkenler de olabilir. Merkez noktaları bu durumlarda da kullanılabilir.
71
Birçok durumda faktöriyel tasarımdaki tüm denemeleri sadece incelenen etkiler bakımından rastgeleleştirmek, homojen koşullar altında gerçekleştirmek imkânsız olur. Homojen koşullara örnekler, tek bir zaman periyodu (örneğin bir gün), ham maddenin homojen tek bir yığını, sadece tek bir teknisyen vb. olarak düşünülebilir. Diğer bir seçenek ise yapılan bir iyileştirmenin uygulamada karşılaşılabilecek her koşulda etkili (sağlam, “robust”) olduğunu kanıtlamak için deney koşullarının kasıtlı olarak değiştirilmesi söz konusu olabilir. [2]. Bazı durumlarda da istenmeyen, bozucu etkenler tam rastgeleleştirmeyi engeller.
Bu durumlarda kullanılan tasarım tekniği bloklama olarak adlandırılır. n tekrarlı 2k faktöriyel tasarımı olduğunu varsayalım. Bu durumda homojen olmayan bozucu koşulları modele içselleştirmek, göz önüne almak için en basit yol her bir koşul veya bozucu etken grubu düzeylerinin bir blok gibi düşünülmesi ve ayrı ayrı bloklardaki tasarımın her biri için tekrarların gerçekleştirilmesidir. Her bir bloktaki denemeler rastgele sırada yapılırlar. Her blok deneyin tamamının tekrarını içerdiği için bu tür bloklama düzenine “rastgeleleştirilmiş tam blok tasarım (randomized complete block
design)” denmektedir. Birçok durumda tek bir blokta faktöriyel tasarımın tüm
tekrarlarının gerçekleştirilmesi imkânsızdır. Bu tür durumlarda bir tam faktöriyel tasarım blok büyüklüğü bir tekrardaki koşul kombinasyonlarından daha küçük boyutlardaki blokların birleştirilmesiyle oluşturulur. Bu yöntem bazı koşulların etkileri ile ilgili bilgileri (genellikle yüksek dereceden etkileşimlerinkileri) bloklardan ayırt edilemez duruma getirir.
İki düzeyli faktöriyel tasarımların gerçekleştirilmesi ve çözümlemeleri için özel olarak geliştirilmiş bilgisayar programları kullanılmaktadır.