Sıfır Deformasyonlu Hatlar ve Noktalar

Bu lineer elemanlarla uyuşan terimlerle yerleri değiştirilirse;

/ / (3.11)

şeklinde yazılabilir. Hesaplamalarda bu ’in toplam diferansiyeli olarak anılır. Benzer şekilde ve arasındaki ’nin toplam diferansiyeline eşit olan, toplam artışı da iki lineer elemanın, ve , olduğu görülebilmektedir.

(3.12)

/ / (3.13)

Pisagorun dik açılı üçgenler için geliştirdiği teoremden hareketle dörtgeninin kenarları ve köşegeni şu şekilde ifade edilebilir;

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Gerekli işlemler yapılıp birbiri cinsinden yazılarak eşitliklerden köşegen yayının değeri;

/ / / / (3.18)

3.3 Gauss’un Temel Büyüklükleri

Gauss’un temel eşitlikleri kullanılarak, eşitliklerde bazı basitleştirmeler yapılabilmektedir.

/ / (3.19)

/ . / / . / (3.20)

/ / (3.21)

Bu tanımlar eşitlikleri daha kullanılır hale getirmektedir.

. 2 . . . (3.22)

Bu eşitliklerden yola çıkılarak noktasını ilgilendiren özel uzunluk deformasyonlarının tanımlamalarını yapmak mümkün olacaktır.

(1) Meridyen Yönündeki Uzunluk Deformasyonu

Oran şöyledir;   / (3.23) (3.24) / / (3.25) olduğundan, √ . (3.26)

yay elemanı daha önce tanımlandığı üzere,

√ . / . (3.27)

√ / (3.28)

√ (3.29)

şeklinde meridyen yönündeki ölçek tanımlanabilir.

(2) Paralel Yönündeki Uzunluk Deformasyonu

Oran şöyledir;   / (3.30) (3.31) / / (3.32) olduğundan, √ . (3.33)

yay elemanı daha önce tanımlandığı üzere,

√ . / . . (3.34)

√ / . (3.35)

ya da 1 kabulü ile,

√ / (3.36)

şeklinde paralel yönündeki ölçek tanımlanabilir.

3.4 Tissot Teoremi ve Ana Yönler

Harita projeksiyonlarının analizlerinin büyük bir kısmı 19. Yüzyılın başlarında Gauss tarafından gerçekleştirilmiştir. Harita projeksiyonlarının matematiksel teorisindeki bir diğer temel gelişme ise 1850’li yıllarda N. A. Tissot tarafından gerçekleştirilmiştir. Adını taşıyan teoremini ve Tissot Endikatrisi olarak bilinen deformasyon elipsi kavramını geliştirmiştir.

3.4.1 Deformasyon elipsi

Deformasyon elipsi kavramı, “küre yüzeyinde sonsuz derecede küçük bir daire, düzleme aktarıldığında, yarı eksenleri ana yönler boyunca uzanan sonsuz derecede küçük bir elipse dönüşmektedir” şeklinde özetlenebilir. Teorem, Reignier (1957), Fiala (1957), Richardus ve Adler (1972) tarafından detaylıca açıklanmaktadır.

Şekil 3.7 Küresel yüzey üzerinde sonsuz derecede küçük daire

Şekil 3.7 küre üzerindeki coğrafi koordinatları  , olan bir noktasını

göstermektedir. , Şekil 3.6’daki ’nin karşılığı olan sonsuz derecede küçük bir yayı, ’i göstermektedir. Kürenin eğri yüzeyi üzerinde ölçeğin sabit olması ve her yerde temel ölçeğe eşit olması nedeniyle, gibi tüm noktaların geometrik yeri bir daireyi çevreleyen çemberi merkezi ve yarıçapı ile keser. Temel ölçeğin 1 kabulunden sonra 1 eşitliğinden bahsetmek uygun olacaktır. Şekil 3.8 düzlem üzerinde daireye karşılık gelen şekli göstermektedir. ve , noktasındaki ana yönleri göstermektedir, yay elemanının doğrultuya bağlı olarak sürekli değişiyor olmasından ötürü, ya da başka bir ifadeyle ’ya bağlı olarak, gibi noktaların geometrik yerleri elipsi çevreleyen hattı keserler.

Şekil 3.8 Tissot endikatrisi ya da diğer adıyla distorsiyon elipsi. Şekil 20 de gösterilen sonsuz

derecede küçük dairenin düzleme dönüştürülmesi sonucu bir elipse dönüşmesi. Elipsin iki yarı ekseninin uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir.

/ (3.37)

/ (3.38)

buradan

. (3.39)

. (3.40)

elde edilir. Ayrıca

. (3.41)

. (3.42)

. (3.44)

bu ifadeler birbirleri ile ilişkilendirilirse,

. . (3.45)

. . (3.46)

(3.47)

halini alır.

noktasındaki iki özel uzunluk deformasyonundan meridyen ve paralel yönündeki uzunluk deformasyonu olarak bahsedilebilir. Eğer açısı, noktasında, ana yönlerden biri olan ve meridyeni arasındaki açı ise, haritadaki karşılığı olan

açısı ile;

(3.48)

(3.49)

denebilir. Alt alta toplanıp sadeleştirme yapılırsa,

(3.50)

olur.

Bu eşitlikler, herhangi bir harita projeksiyonunun deformasyon karakteristiğinin analizinde, bilinen , ve değerlerinden ve ’nin hesaplanmasında önemli bir değere sahiptir. Buradan;

2 . 2 . (3.51)

ve,

2 . . / _(3.52)

3.5 Alan Deformasyonu

gibi küçük bir dörtgenin alanı Şekil 3.8’den hareketle . . şeklinde tanımlanabilir. Bu nedenle

. . (3.53)

yazılabilir. Sonuç olarak aynı zamanda

. (3.54)

de yazılabilir. Buradaki parametresi özel uzunluk deformasyonları ile aynı birimde tanımlanır, bu nedenle alansal ölçek ya da alan deformasyonu olarak ifade edilir.

3.6 Maksimum Açı Deformasyonu

ve arasındaki farktan yola çıkılarak her ikisinin de aynı doğrultuya ait olmaları nedeniyle hattının doğrultusundaki değişimi aşağıdaki gibi değerlendirmek mümkündür; / . (3.55) ve / (3.56) sin    / .   / (3.57) şeklinde gösterilebilir ve sin / .   / (3.58) sin sin  (3.59)

Bu eşitlik sin 1 olduğunda maksimum değer alır ki bu da

yönlerle tanımlı dört adet doğrultu bulunacaktır. Eğer bir açı bu gibi iki doğrultunun kesişiminde bulunuyorsa, açının her iki kenarı da maksimum sapmaya uğruyor demektir ve bir noktadaki “maksimum açı deformasyonu”nu, , tanımlayan bir eşitlik yazılacak olursa;

sin  /2 / (3.60)

eşitliği elde edilir ve bu eşitlik bir harita projeksiyonunda herhangi bir noktadaki parametrenin saptanmasında en yaygın olarak kullanılan eşitliktir.

3.7 Konform Özellik (Açı Koruma)

Konform özelliğe sahip bir haritada tüm noktalarda;

(3.61)

eşitliği sağlanmaktadır. Eğer bu koşul sağlanırsa, küre üzerindeki sonsuz derecede küçük bir dairenin düzlemdeki karşılığı her zaman bir boyutu farklı yani daha büyük ya da daha küçük bir daireyi gösterecektir. Ayrıca, maksimum açısal deformasyon değeri 3.60 eşitliğinden elde edilebileceği hatırlanacak olursa, ve birbirine eşit olduğu durumlarda 0 ’ye eşit olacaktır. Buradan, konform özelliğe sahip bir harita projeksiyonunun diferansiyel anlamda açısal deformasyona maruz kalmadığı, ya da başka bir ifadeyle diferansiyel anlamda açıların korunduğu sonucu çıkarılabilir. Bu, tüm konform projeksiyonların temel ve en önemli özelliklerinden biridir. Açıların ölçülmesi için kullanılacak bir harita için olmazsa olmaz bir özelliktir. Bu nedenle konform projeksiyonlar, navigasyon haritaları ve askeri haritalar için baz olarak kullanılırlar.

Küre üzerinde sonsuz derecede küçük bir dairenin, harita üzerinde daire olan şeklini devam ettirmesi, aynı zamanda bu özelliğe sahip projeksiyonlarda obje şekillerinin de korunduğunu göstermektedir. Bununla birlikte, bu ifade yalnızca bazı koşullarda geçerli olmaktadır. şeklinde ifade edilen eşitliğin 1 olmadığına dikkat edilmelidir. Konform özellik, tüm doğrultularda meydana gelen artışın aynı olduğunu göstermektedir. Bunun anlamı, alansal ölçeğin, özel ölçeğin

karesi ile orantılı olarak arttığı şeklindedir. Sonuç olarak sıfır deformasyonlu bir nokta üzerinde bulunan bir daire, haritanın sınır bölgesine yakın bir bölgede daire olan şeklini devam ettirecek, ancak alanı, dikkate değer bir şekilde büyümüş olacaktır. Bu sebeple, konform özelliğe sahip bir projeksiyonun tüm noktalarda küçük alana sahip objeleri iyi bir şekilde göstermesine rağmen, sıfır deformasyonlu noktalardan uzaklaştıkça uzunluk deformasyonlarında meydana gelen hızlı artış, bu projeksiyonları, okyanuslar ve kıtalar gibi büyük alana sahip objeleri göstermede uygunsuz bir hale getirmektedir.

0 değerine sahip olan herhangi bir projeksiyonda, tüm paralel–meridyen kesişimleri ortogonaldir. Bu, çoğunlukla kompleks eğri yapısına sahip meridyen ve paralellerin doğasına bakılmaksızın doğru olmak zorundadır. Eğer bir konform projeksiyon eğri meridyenler ve paralellerden oluşuyorsa, kesişim noktalarında bu her iki hatta çizilen teğetleri göz önüne getirmek oldukça önemlidir. Bu iki teğet birbirine diktir. Tersi durumla pek karşılaşılmaz. Bu nedenle tüm paralel ve meridyenleri dik kesişiyor diye bir projeksiyonun konform özellik taşıması şart değildir.

3.8 Alan Koruma

Alan koruyan bir projeksiyonda;

. 1 (3.62)

eşitliği sağlanmaktadır. Bu aynı zamanda

1/ (3.63)

veya

1/ (3.64)

anlamına gelmektedir. Yani maksimum ve minimum uzunluk deformasyonları birbirinin tersidir. Buradan, deformasyon elipsinin dikkate değer bir elipslik göstermesine rağmen alanlarının 1 birim olduğu sonucu çıkarılabilir.

Alan koruyan projeksiyonlar, istatistiksel değişkenlerin dağılımını gösteren haritaların üretilmesi bakımından oldukça büyük bir öneme sahiptir. Örneğin, nüfus, tarımsal ve endüstriyel istatistikler harita üzerinde gösterilmek isteniyorsa, bu olay, her biri değişkenin belli bir sayısını ifade eden noktalar gibi işaretlerin kullanılması ile gerçekleştirilir.

3.9 Uzunluk Koruma

Bir üçüncü önemli matematiksel özellik de, bir uzunluğun harita boyunca korunduğu durumdur. Genellikle bu meridyen yönündeki uzunluktur ve buradan hareketle;

1.0 (3.65)

yazılabilir. Dolayısıyla tüm paralellerin tüm meridyenleri, küredeki paraleller arasındaki yay uzunluğu ile eşit aralıkta kestiği bir projeksiyon oluşturulabilir. Bu durumun alternatifi olarak harita boyunca 1 yapılabilir. Bu özellik, bazı harita projeksiyonlarının türetilmesinde isteğe bağlı olarak ortaya çıkar, ancak, bu özellik, büyük daire yayları boyunca temel ölçeğin korunmasından daha az bir öneme sahiptir.

Yalnızca bir yöndeki uzunluğun korunmasından dolayı, uzunluk koruma, konformluk ve alan koruma özelliklerinin her ikisi ile de uyuşmamaktadır. Uzunluk koruma özelliği, hem alan koruma hem de konform özellikten daha az bir öneme sahiptir. Çünkü, bir haritanın yalnızca bir doğrultuda ölçülen uzunlukları korumasının istenmesi nadir rastlanan bir istektir. Uzunluk koruyan bir haritanın maksimum açısal deformasyonu, alan koruyana göre çok daha yavaş artış göstermektedir. Sonuç olarak, uzunluk koruyan haritalar genellikle atlaslarda, stratejik planlama haritalarında ve diğer özelliklerin korunmasının temel amaç olmadığı, yeryüzünün büyük parçalarının gösterildiği haritalarda kullanılır.

3.10 Sıfır Deformasyonlu Hatlar ve Noktalar

Ölçeği belirli hatlar boyunca ya da belirli noktalarda korumak mümkündür. Bu hatlar boyunca (ya da bu noktalarda) ölçek sabittir ve uzunluk deformasyonu değeri de 1.0 değerine eşittir. Sonuç olarak deformasyon meydana gelmez. Buradan hareketle aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir;

1. Bir harita projeksiyonu üzerindeki sıfır deformasyona sahip hatlar, uzunluğun bu hat boyunca korunduğu ve küre üzerinde belirli büyük dairelere ya da küçük dairelere karşılık gelen hatlardır.

2. Sıfır deformasyon değerine sahip bir nokta ise, harita projeksiyonu üzerinde temel ölçeğin korunduğu noktadır.

Bu durumlar Şekil 3.9 ve Şekil 3.10’da gösterilmektedir.

Şekil 3.9 Teğet ve kesen silindir.

Şekil 3.10 Teğet ve kesen koni

Projeksiyon yüzeyinin orijinal yüzeye teğet olduğu noktaya “standart nokta” ya da “merkez noktası”, teğet ya da kestiği hatlara da “standart hatlar” ya da durumlarına göre “standart paraleller” denmektedir.

4 HARİTA PROJEKSİYONLARINDA DEFORMASYON