Os conceitos matemáticos não são apreendidos apenas com a reprodução de questões e teoremas. O pensamento matemático é complexo e para o seu desenvolvimento é essencial que os indivíduos tenham acesso a uma diversidade de situações em que conceitos emerjam, instigando o levantamento de hipóteses e estratégias para resolução.
A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) contribui para o entendimento de como os conceitos matemáticos são construídos pelos indivíduos a partir do contato com diferentes situações, propriedades e representações. Vergnaud (1983, p. 127) define um campo conceitual como “[...] um conjunto de problemas e situações para o tratamento necessário de conceitos, procedimentos e representações de diferentes tipos, mas que tem uma interconexão muito próxima”. Disto, depreende-se que um conceito não pode ser contemplado e apreendido em uma única situação e que numa única situação podem estar presentes vários conceitos e estes podem compor uma rede de relações. Diante disso, não faz sentido falar em conceito, mas em campo conceitual.
Para o contexto escolar, isso implica em dizer que um problema matemático apresentado ao aprendiz demanda a mobilização de uma série de conceitos e esquemas
mentais para o tratamento da situação. Para se aprender e ensinar um conceito matemático nos primeiros anos de escolarização é preciso ir além das regras para resolução de problemas matemáticos e das quatro operações da Aritmética. Um campo conceitual rege a validade da resolução proposta a partir de uma série de outros fatores, tais como procedimentos, propriedades dos entes matemáticos e as representações empregadas.
A Teoria dos Campos Conceituais intenciona fornecer subsídios para que os indivíduos apreendam os conceitos matemáticos e sua validade em diferentes atividades do cotidiano bem como desenvolvam o pensamento lógico-matemático. Uma das principais contribuições da TCC para a Educação está no tratamento da atividade matemática para além da aplicabilidade, meramente, instrumental, mas no seu uso irrestrito nas situações apresentadas pela vida. No contexto escolar, a teoria de Vergnaud contribui para que os professores compreendam como seus alunos elaboram suas hipóteses e constroem seus esquemas de pensamento, permitindo-lhes que repensem suas estratégias de ensino da Matemática e identificando as ligações e rupturas didáticas e conceituais dos conceitos matemáticos.
Por ser uma teoria neopiagetiana, a TCC traz conceitos baseados na Epistemologia Genética, com destaque na ideia de esquemas. Para Piaget (1970; 1973), o indivíduo aprende a partir de sua ação sobre o meio. Quando essa relação demanda novas tomadas de posição, é gerado um desequilíbrio cognitivo que resulta na assimilação e ou acomodação dessas novas ações. Se assimilação é a organização de um novo conhecimento em esquemas preexistentes, acomodação é a necessidade de geração de novos ou modificar esquemas prévios. Os esquemas, consequentemente, regem as ações, tomadas de posição, estratégias de resolução, que são os novos conhecimentos adquiridos pelo indivíduo.
Em Vergnaud (1983, 1993, 2009), portanto, ao ser apresentado a novas e variadas situações, o indivíduo recorre ao seu repertório de ideias para solucionar os problemas. São nos esquemas que é possível analisar os elementos cognitivos utilizados pelo indivíduo para realizar a operação. Há casos em que é vital uma ampliação dos esquemas, noutros o desenvolvimento de novos. Nesse processo, verifica-se que os esquemas podem ou não ser generalizáveis e aplicados em outros contextos. Isso acontece, por exemplo, com a transição que a escola procura fazer entre adição e subtração para a multiplicação e divisão. Por terem propriedades e natureza matemática diferentes, as crianças apresentam, sobretudo, dificuldades com as duas últimas operações.
Os esquemas são imbuídos de concepções e preceitos que o indivíduo julga relevantes e coerentes para realizar determinadas ações. A partir desse repertório de conhecimentos, construído ao longo de sua vida social e escolar, o sujeito os convoca para executar as atividades solicitadas. Sendo assim, um esquema é uma estrutura de pensamento, base para a objetivação do raciocínio, exteriorizada por estratégias de ação e registros de representações simbólicas.
Vergnaud (1983, 1993, 2009) define que um campo conceitual é composto pela tríade: situações, invariantes e representações (C = S, I e R). As situações compreendem os problemas matemáticos em que diferentes operações são realizadas no cotidiano. As situações dão conta do aspecto real do conceito, aquele que se vivencia por meio de ações rotineiras ou mesmo nas tarefas escolares. Não se deve relacionar, ou pelo menos restringir, essas atividades com a ideia limitada dos probleminhas das lições escolares. As situações vão além, pois envolvem diferentes contextos da aplicabilidade dos conceitos matemáticos e que demandam percepção de regras e estratégias específicas para solução. Como salientado anteriormente, é fundamental uma diversidade de situações para que o maior número de conceitos sejam explorados e desenvolvidos e o aprendiz tenha acesso a diferentes perspectivas do campo conceitual. Em pesquisa de Maia et al (2015), verificou-se que a maior deficiência conceitual dos professores nas estruturas multiplicativas está, justamente, em um repertório limitado de situações que são propostas aos alunos.
O outro componente da tríade, os invariantes, diz respeito às propriedades matemáticas inerentes aos objetos e conhecidas pelos indivíduos que desencadeiam os conhecimentos-em-ação e teoremas-em-ação, constituintes dos esquemas (VERDNAUD, 1993). Conceito de número, propriedades, teoremas, são exemplos de invariantes e possuem validade dentro de um campo conceitual. Nesse ponto, adentra-se noutro aspecto fundamental da TCC, que é a necessidade de rompimento entre os campos conceituais – aditivo e multiplicativo, por exemplo – em função da validade dos invariantes para cada situação. Vergnaud (1993, p. 05) acentua que:
Não se pode esperar que tal processo intervenha sem que sejam reconhecidas pelo sujeito analogias e parentescos (semelhanças em certos critérios, diferenças em outros) entre a classe de situações em que o esquema já é operatório para o sujeito e as novas situações a vencer. O reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema.
As ações do professor, as estratégias e situações didáticas criadas são determinantes para que as crianças percebam essas relações e propriedades e elaborem seus esquemas para o novo campo conceitual. O professor precisa ter consciência disso ao planejar suas ações na aula de Matemática. Dentro do próprio campo conceitual multiplicativo, um problema de Proporção Simples demanda o desenvolvimento de esquemas e propriedades diferentes de um problema de Comparação Multiplicativa4.
Por fim, as representações também possuem um papel central para a compreensão de um campo conceitual. A representação diz respeito às formas de linguagem e não linguagem utilizadas para simbolizar os conceitos matemáticos, com suas propriedades, situações e procedimentos de resolução. Vergnaud, ao propor um Diagrama de resolução para problemas multiplicativos, apresenta uma representação diferente dos algoritmos largamente e tradicionalmente explorados na escola. Mais do que organizar de forma diferente as quantidades relacionadas do problema, inclusive destacando-as, o diagrama evidencia novos invariantes operatórios como os fatores escalar e funcional, que serão definidos adiante.
Discutidas algumas categorias centrais da TCC, passa-se a concentrar nas Estruturas Multiplicativas, suas situações e tipos de problema e resolução.