Problemin Analizi A1-Problemi okuma

Consideremos um modelo autorregressivo de ordem _{representado como no seguinte} formato:

em que _{e sejam vetores e seja uma matriz , tal que} , com posto . A econometria clássica trata os parâmetros

como constantes desconhecidas. Os estimadores são variáveis aleatórias que dependem, em última instância, da representatividade da amostra do estimador obtido. Visto que, usualmente, só há disponível uma amostra, é interessante que o estimador tenha o valor correto. Além disso, o estimador depende do tamanho da amostra em questão, a qual, quando pequena, pode acarretar maior incerteza (problema de consistência).

Já a análise bayesiana trata os parâmetros _{como variáveis aleatórias descritas a partir de} distribuições de probabilidades. Essas distribuições, usadas para inferir o nível de conhecimento dos parâmetros em questão, são conhecidas como distribuições a priori. Elas permitem que a estimação dos parâmetros leve em consideração as crenças do econometrista, além da informação obtida junto aos dados. Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço de probabilidade; usando a fórmula de Bayes, podemos escrever a probabilidade condicional de A dado B da seguinte forma:

Note-se que _{representa o peso dado à crença , e não a quão verdadeira ela é,} como seria interpretado pelas vias tradicionais. Dessa maneira, a função densidade de probabilidade descreve as diferentes crenças para os possíveis valores dos parâmetros e o Teorema de Bayes indica como a crença inicial é alterada após a realização de um evento:

em que _{representa a função verossimilhança, é a distribuição marginal dos} dados, _{é a distribuição a priori e é a distribuição a posteriori. Como a} distribuição marginal dos dados independe dos parâmetros, a distribuição a posteriori pode ser expressa a partir da combinação entre a distribuição a priori e a função verossimilhança, também representada por _{, tratando-se a distribuição marginal dos dados como um} fator de proporcionalidade:

Como já mencionado antes, essa abordagem permite que o econometrista, diferentemente da abordagem clássica, use a informação disponível na amostra, bem como condicione o resultado às crenças que possua acerca dos parâmetros. Assim, se ele crê que um determinado parâmetro tem seu valores restritos ao domínio _{, tal informação irá afetar a} distribuição a posteriori. Caso ele não saiba/possua informações que lhe permitam atribuir um grau de subjetividade sobre o parâmetro, o econometrista se utiliza de priors difusas (ou não informativas), garantindo que suas estimações sejam equivalentes às dos métodos clássicos, obtidas por meio da maximização da verossimilhança.

Comparação de modelos

A abordagem bayesiana permite que modelos distintos (não aninhados) sejam comparados. Considerando a amostra disponível e dois modelos distintos, e , podemos caracterizar a probabilidade de cada um dos modelos por meio do Teorema de Bayes:

A comparação dos modelos resulta da razão das distribuições a posteriori (ou posterior odds

ratio): ⏟

Cada elemento do fator de Bayes é obtido integrando-se a distribuição a posteriori de cada modelo sobre o conjunto de valores dos parâmetros, de tal modo que, _{∫ , em} que _{é o conjunto paramétrico, ou seja, podemos reescrever o fator de Bayes da seguinte} maneira:

Dessa maneira, o modelo 1 é favorecido quando _{e o modelo 2, no caso contrário.}

Análise da taxa de desemprego

Visando analisar formalmente a relevância das diferentes formas de rigidez contempladas para explicar o comportamento da taxa de desemprego, utilizamos a metodologia proposta em Del Negro e Eusepi (2011). Dividindo-se a base de dados em duas partes, e que , a log verossimilhança, para um dado modelo ( ), com o uso de toda informação disponível é descrita abaixo:

∫

Como dissemos acima, um dos nossos interesses neste capítulo reside em comparar a capacidade de especificações alternativas do modelo (variando de acordo com as rigidezes utilizadas) reproduzirem a série de desemprego. Definindo o conjunto como aquele formado apenas pela série de desemprego, nosso interesse reside na estimação de . Esta log verossimilhança marginal é descrita da seguinte maneira:

∫ também podendo ser descrita pela razão abaixo:

Enquanto o numerador contém informações sobre todas as séries disponíveis, o denominador consiste na log verossimilhança gerada pelo modelo quando a taxa de desemprego não está incluída na estimação. Dessa maneira, a razão acima pode ser interpretada como o acréscimo de informação que a série da taxa de desemprego traz ao modelo. Santos (2012) aplica essa metodologia para analisar os ganhos obtidos ao utilizar-se séries de expectativa de inflação na estimação de modelos DSGE para a economia brasileira.

Para analisar a importância relativa de cada rigidez no ajustamento do modelo GSW à série de desemprego, realizamos um procedimento em três etapas. Inicialmente, estimamos o modelo com todas as rigidezes (benchmark), primeiramente com todo o conjunto de informação e, posteriormente, excluindo a série de desemprego do processo de estimação . As log verossimilhanças marginais resultantes da estimação são utilizadas para o cálculo de _.

Posteriormente, repetimos a análise acima, só que retirando as rigidezes nominais e reais uma a uma. Por exemplo, consideramos uma versão restrita do modelo benchmark, em que não existe rigidez de preços. Sendo assim, estimamos esta versão restrita do modelo com e sem a série de desemprego, obtendo a log verossimilhança marginal da taxa de desemprego para o modelo com preços flexíveis, _{( ).}

Por fim, os “ganhos” trazidos pela rigidez de preços para o melhor ajustamento do modelo à série de desemprego podem ser analisados por meio da comparação entre

e ( ). Repetimos esta análise para todas as

rigidezes reais e nominais do modelo GSW.

Representação em espaço de estado e o filtro de Kalman

O sistema de equações que descreve o modelo, _{, pode ser} apresentado na forma de espaço de estado:

( ) ( )

A primeira equação, conhecida como equação de medida (ou observação), relaciona as variáveis observadas às variáveis de estado (latentes) e a segunda equação, chamada de equação de transição, estabelece o comportamento das variáveis de estado. Os erros de ambas as equações seguem distribuições normais com médias zero e possuem matrizes de variância- covariância representadas por e para a equação de medida e de transição, respectivamente. Além disso, os erros são não correlacionados entre si.

Uma vez estabelecida a representação de espaço estado, o filtro de Kalman é utilizado para estimar o vetor de variáveis latentes, supondodo-se que , , e são conhecidas. Sua implementação ocorre por meio de um procedimento recursivo que se resume a partir de duas etapas:

(1) cálculo das estimativas de , , e ( _̅ , _̅ , _̅ e _̅ respectivamente): ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (2) cálculo de atualização de _̅ e _̅ : ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ̅

Dessa forma, usando a função log na fórmula de Bayes, a função log verossimilhança ( ) pode ser reescrita a partir da estrutura de espaço estado:

_{ ∑ ( ̅ )

∑ [ ̅ ] ̅ [ ̅ ]

}

Uma vez tendo reescrito a fórmula de Bayes em log, cada simulação realiza a escolha dos parâmetros maximizando a log verossimilhança. O procedimento do filtro de Kalman pode ser resumido da seguinte maneira:

1. Assumem-se valores iniciais de _̅ , e dos parâmetros ; 2. Para cada _{o filtro de Kalman gera os valores previstos;} 3. A maximização da verossimilhança gera estimadores de ;

4. O processo retorna à etapa 1, no entanto, usando como valor inicial de _; 5. Essa iteração ocorre até que _{, tal que .}

O Dynare, software usado no presente trabalho, faz uso da estimativa das modas e da matriz de variância-covariância dos parâmetros como ponto inicial para que as simulações contemplem o entorno da distribuição a posteriori.