Alt Probleme Yönelik Bulgular ve Yorumlar

Tez çalışmasının birinci alt problemi, ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının teknoloji destekli ortamda, birlikte çalışma gruplarının tasarlanan matematiksel modelleme problemlerini çözerken sergiledikleri yaklaşım ve düşünme süreçlerinin incelenmesini içermektedir. Bu alt probleme ait bulgular gömülü teori çözümlemesi ile açık, eksen, seçici kodlamalar ve sürekli karşılaştırmalı analiz metodu kullanılarak elde edilmiştir. Bu süreçte açık, eksen ve seçici kodlamalar aynı süre içerisinde gerçekleştirilmiş olup, iki araştırmacı tarafından kodlamalar gözden geçirilmiştir. Bulguların ilk kısmında, sürecin temel bileşenleri ortaya konulmuştur. Bunların “temel bileşen” olarak ifade edilmesinin nedeni; matematiksel modelleme süreci içerisindeki geçişleri etkileyen temel faktörler olmalarıdır. Temel bileşenler araştırmacının matematiksel modelleme sürecini sağlam bir temele oturtmasını ve bu doğrultuda alt basamakların ve özelliklerinin şekillenmesini sağlamıştır. Başka bir deyişle, bu temel bileşenler arasındaki geçişler incelenerek bileşenlerin birbirleriyle olan ilişkilerini ortaya koyan alt basamaklar oluşturulmuş ve bu alt basamakların temel özellikleri ortaya konmuştur. Bu bilişsel aktiviteler temel bileşenler arasındaki bağlantıyı sağlayan süreçler olması bakımından araştırmacılar tarafında “alt basamaklar” olarak

ifade edilmiştir. Alt basamaklar ve temel özellikleri dikkate alınarak, araştırmacılar tarafından temel bileşenler arasındaki geçişte rol oynayan alt basamakları tek çatı altında toplayan temel basamaklar oluşturulmuştur. Oluşturulan bu ifadelerin, temel bileşenler arasında ortaya çıkan ve temel bileşenleri birbirine bağlayan alt basamakları belli özellikleri doğrultusunda birleştiren daha soyut ve genel yaklaşım ve düşünme süreçlerini temsil etmesinden dolayı araştırmacılar tarafından “temel basamaklar” olarak ele alınmasının uygun oalcağı görülmüştür. Bununla birlikte, teknolojinin modelleme sürecinin hangi basamaklarında nasıl bir rol oynadığına dair ayrıntılı bir açıklama da getirilmiştir. Bileşenler ve basamaklar oluşturulurken özellikleri en iyi şekilde temsil eden adlandırmalar belirlenmiştir.

Bu alt probleme yönelik bulgular ve yorumlar sunulurken elde edilen temel bileşenler, temel bileşenler arasındaki geçişleri sağlayan temel basamaklar ve alt basamaklar tanıtılarak özellikleri ayrıntılı olarak ortaya konmuştur. Ayrıca bulgular gözlem notları ve öğretmen adaylarının modelleme problemlerinin çözümlerine ilişkin video kaydı çözümlemelerinden kesitlerle desteklenerek sunulmuştur.

Matematiksel Modelleme Sürecinin Yapısı

Gömülü teori çözümlemesi sonucunda, matematiksel modelleme sürecine dair 8 temel bileşen, bu temel bileşenler arasındaki geçişi sağlayan 7 temel basamak aralarındaki ilişki Şekil 27’de gösterilmiştir.

Şekil 27 Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Yapısı

Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Bileşenleri -Karmaşık Gerçek Yaşam Durumu

-Gerçek Yaşam Problem Durumu

-Gerçek Yaşam Problem Durumunun Modeli -Yardımcı Matematiksel Model/ler

-Ana matematiksel Model -Matematiksel Çözüm -Gerçek Yaşam Çözümü -Kısa Çözüm Raporu KARMAŞIK GERÇEK YAŞAM DURUMU ANA MATEMATİKSEL MODEL/LER MATEMATİKSEL ÇÖZÜM YARDIMCI MATEMATİKSEL MODELLER GERÇEK YAŞAM PROBLEM DURUMU GERÇEK YAŞAM PROBLEM DURUMUNUN MODELİ GERÇEK YAŞAM ÇÖZÜMÜ KISA ÇÖZÜM RAPORU Matematikselleştirme Matematiksel Analiz Yorumlama/Değerlendirme model tatmin edici değil Modelin Doğrulanması Üst Matematikselleştirme Sistematik Yapıyı Kurma Problemin Analizi

Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Basamakları -Problemin Analizi

-Sistematik Yapıyı Kurma -Matematikselleştirme -Üst matematikselleştirme -Matematiksel Analiz -Yorumlama/Değerlendirme -Modelin Dorğulanması

Matematiksel Modelleme Sürecinin Alt Basamakları “Problemin Analizi” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar -Problemi okuma,

-Problemi basit ifadelerle açıklama, yalınlaştırma, -Problemdeki stratejik etkenleri düşünme,

-Problemdeki verileri inceleme ve içeriği yorumlama, -Basit varsayımlarda bulunma,

“Sistematik Yapıyı Kurma” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar -Genel çözüm stratejisini belirlemek için uygun teknolojiden yararlanma,

-Çözüm için gerekli/gereksiz verileri ayıklama, -Çözüm için gerekli verileri gruplandırma,

-Günlük yaşam deneyimlerinden ve uygun teknolojiden yararlanarak üst düzey varsayımlarda bulunma,

-Uygun genel çözüm stratejisini belirlemek için önceki problem çözme deneyimlerinden yararlanma,

-Teknoloji tabanlı gösterim ve matematiksel gösterim arasındaki geçişi doğru bir şekilde gerçekleştirme,

“Matematikselleştirme” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar

-YMMlerin cebirsel veya grafiksel gösterimlerini bulmaya olanak sağlayan uygun teknolojiyi seçme,

-YMMlerin içereceği bağımlı, bağımsız değişkenleri, sabitleri ve parametreleri belirleme,

-Stratejik etkenleri uygun matematiksel sembollerle ifade etme,

-Günlük yaşam deneyimlerinden, problemdeki verilerden, problemle birlikte verilen video ve resimlerden yararlanarak değişkenler arasındaki ilişkiler hakkında yorumlar yapma, ön tahminlerde bulunma,

-YMMleri oluşturmak için teknolojinin görsel olanaklarından yararlanma (renklendirme, kalınlaştırma vb.),

-Problemde verileri bulunmayan değişkenler için günlük yaşam deneyimlerine bağlı tahminlerden veya ölçümlerden yararlanma,

-Değişkenler arasındaki ilişkiyi ortaya çıkaran üst düzey matematiksel bilgiden ve teknoloji bilgisinden yararlanma,

-Teknoloji tabanlı gösterim ve matematiksel gösterim arasındaki geçişi doğru bir şekilde gerçekleştirme,

“Üst Matematikselleştirme” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar -AMMnin cebirsel veya grafiksel gösterimlerini bulmaya olanak sağlayan uygun teknolojiyi seçme,

-AMMnin içereceği bağımlı, bağımsız değişkenleri, sabitleri ve parametreleri belirleme, -Teknolojinin görsel olanaklarından yararlanma (renklendirme, kalınlaştırma vb.), -AMM için gerekli YMMleri belirleme,

-YMMlerin grafiksel gösterimlerinden yararlanmak üzere uygun teknolojiyi seçme, -YMMlerin yorumlanmasına olanak sağlayan teknolojik sistemi kurma,

-Uygun teknoloji yardımıyla AMM için gerekli verileri YMMlerden elde etme,

-Günlük yaşam deneyimlerinden, problemdeki gerçek verilerden, problemle birlikte verilen video ve resimlerden yararlanarak değişkenler arasındaki ilişkiler hakkında yorumlar yapma, ön tahminlerde bulunma,

-Değişkenler ve YMMler arasındaki ilişkiyi ortaya çıkaran üst düzey matematiksel bilgiden ve üst düzey teknoloji bilgisinden yararlanma,

-Teknolojik gösterim ve matematiksel gösterim arasındaki geçişi doğru bir şekilde gerçekleştirme,

“Matematiksel Analiz” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar

-Uygun teknoloji yardımıyla YMMlerin ve AMMnin grafiksel veya cebirsel gösterimlerinden yararlanma

-Matematiksel çözümler elde etmek için teknolojinin görsel olanaklarından yararlanma (renklendirme, kalınlaştırma vb.)

-Matematiksel çözümler elde ederken gerekli hesaplamaları yapmak için uygun teknolojiden faydalanma

-Uygun teknolojiyi kullanarak modelin grafiksel gösterimi yardımıyla çoklu durumların çözümünü sunan bir teknolojik sistem kurma

-Matematiksel çözümün yorumlanmasına olanak sağlayan kritik noktalara dair ek sonuçları uygun teknoloji kullanarak elde etme

-Mateamtiksel çözüm için gerekli matematik ve teknoloji bilgisinden yararlanma.

-Teknolojik gösterim ve matematiksel gösterim arasındaki geçişi doğru bir şekilde gerçekleştirme,

“Yorumlama/Değerlendirme” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar -Gerçek yaşam problem durumunun modelinden gerçek yaşam problem durumuna geçişi dikkate alma ve arasındaki ilişkiyi ortaya koyma

-Matematiksel sonuçların gerçek yaşam karşılıklarının belirlenmesi, -Kritik noktaların gerçek yaşam karşılıklarının belirlenmesi,

-Matematiksel sonuçları gerçek yaşam durumu açısından irdeleme (rutinlikten karmaşıklığa geçiş),

-Varsayımların elde edilen gerçek yaşam sonuçları doğrultusunda irdelenmesi “Modelin Doğrulanması” temel basamağı içerisindeki alt basamaklar

-YMMlerin veya AMMnin matematiksel sonuçlarının gerçek yaşam karşılıklarında beklenmeyen durumların irdelenmesi,

-YMMlerin veya AMMnin matematiksel sonuçlarının gerçek yaşam karşılıklarının gerçek yaşam deneyimlerine dayalı tahminlerle veya ölçümlerle karşılaştırılması,

-YMMlerin veya AMMnin matematiksel sonuçlarının gerçek yaşam karşılıklarının problemde verilen gerçek değerlerle karşılaştırılması,

-YMMlerin veya AMMnin matematiksel sonuçlarının gerçek yaşam karşılıklarının video ve resimlerdeki durumlarla karşılaştırılması,

-Gerçek yaşam problem durumuna dair AMMnin yeterliliği hakkında karara varma Bu süreç sonunda matematiksel modelleme sürecine dair ortaya çıkan 8 temel bileşen, 7 temel basamak, bu temel basamakları şekillendiren 47 alt basamak ve modelleme sürecindeki bu önemli parçaların temel özellikleri ve birbirleri arasındaki ilişki aşağıda ayrıntılı bir şekilde açıklanmaktadır.

Karmaşık Gerçek Yaşam Durumu-Gerçek Yaşam Problem Durumu (PROBLEMİN ANALİZİ)

Modelleme sürecine ilişkin olarak öğrencilere ait video çözümlemeleri, GeoGebra yanıt dosyaları, yazılı yanıt kağıtları ve araştırmacı gözlem notlarından yararlanarak gömülü teori yaklaşımına göre nitel verilerin analizi sonucunda, öğrencilerin karmaşık gerçek yaşam durumundan gerçek yaşam problem durumuna geçerken 5 alt basamağın ortaya çıktığı görülmüştür. Bu basamaklar problemi okuma, problemi basit ifadelerle açıklama, yalınlaştırma, problemdeki stratejik etkenleri düşünme, problemdeki verileri inceleme ve içeriği yorumlama ve basit varsayımlarda bulunma olarak adlandırılmıştır. Söz konusu 5 alt basamak ve özellikleri incelendiğinde temel amacın karmaşık gerçek yaşam durumundan gerçek yaşam problem durumunu ortaya çıkarmak olduğu görülmektedir. Bunun için, problem ifadesi anlamlandırma adına sadeleştirilir, eldeki veriler ön görüşler dikkate alınarak incelenir. Araştırmacılar tarafından bu 5 alt basamağı içeren temel basamak “problemin analizi” olarak ifade edilmiştir.

Şekil 28 Modelleme Sürecinin İlk Temel Basamağı Karmaşık Gerçek Yaşam Durumu Gerçek Yaşam Problem Durumu

A.Problemin Analizi