2.4. Otel ĠĢletmelerinde Hizmet Kavramı ve Tanımı
2.4.3. Otel ĠĢletmelerinde Hizmet Kalitesini Etkileyen Faktörler
Sabe-se que a varia¸c˜ao de√−g ´e dada simplesmente por δ√−g = −1
2 δg √
−g. (554)
Segue da equa¸c˜ao (554) a necessidade de se obter a varia¸c˜ao do determinante da m´etrica, δg. Para se obter ´e necess´aria a teoria de Jacobi.
A f´ormula de Jacobi ´e dada pela seguinte forma d dt (detA(t)) = tr adjA(t)dA(t) dt . (555)
O ponto inicial ´e considerar a seguinte maneira de se escrever o determinante de uma matriz qualquer. A mesma ´e dada por
det (A) =X
j
AijadjT (A)ij, (556)
calculada para uma linha i qualquer da matriz A. Considerando que o determinante ´e uma fun¸c˜ao que depende de cada um dos componentes de A, pode-se escrever a seguinte express˜ao d [det (A)] =X i X j ∂M ∂Aij dAij, (557)
onde det (A) = M (A11, A12. . . Amm), com m como a dimens˜ao da matriz m × m. Segue
de (557) e da rela¸c˜ao (556) que ∂det (A) ∂Aij = ∂ P kAikadjT (A)ik ∂Aij =X k
∂AikadjT (A)ik
∂Aij
. (558)
Aplicando a derivada parcial no termo da defini¸c˜ao (556) resulta em
X
k
∂AikadjT (A)ik
∂Aij =X k ∂Aik ∂Aij adjT (A)ik+X k Aik ∂adjT (A) ik ∂Aij . (559)
Nota-se que se um elemento da matrix Aij e do cofator adjT (A)ik est˜ao na mesma linha
ou coluna ent˜ao o cofator n˜ao ´e fun¸c˜ao dos elementos Aij. Por esta raz˜ao se afirma que
∂adjT (A) ik
∂Aij
= 0. (560)
Por outro lado se tem que ∂Aik
∂Aij = δjk, que por sua vez resulta em
∂det (A) ∂Aij
=X
k
δjkadjT (A)ik = adj T (A)
ij. (561)
Por meio desta se conclui que a express˜ao (557) ´e na realidade dada por
d [det (A)] =X
i
X
j
adjT (A)ijdAij, (562)
onde os somat´orios e a multiplica¸c˜ao matricial fazem parte de um lema, dado por
X
i
X
j
AijBij = tr ATB . (563)
Ao se utilizar o lema anterior em (562) se confirma, portanto, a f´ormula de Jacobi dada pela equa¸c˜ao (555). Isto ´e,
d [det (A)] = tr [adj (A) dA] . (564)
Retornando ao problema proposto, que ´e determinar a varia¸c˜ao de g, pode-se colocar a matriz A da express˜ao anterior, (564), como sendo gµν. Logo,
d [det (gµν)] = tr [adj (gµν) dgµν] . (565)
Com auxilio da defini¸c˜ao de adj (A), dada por adj (A) = det (A) A−1, reescreve-se a equa¸c˜ao
(565) como
dg = ggµνdgµν, (566)
onde adj (gµν) = ggµν e a pr´opria soma de ´ındices µ e ν representa o tra¸co. Segue deste
resultado que a equa¸c˜ao (554) ´e dada por
δ√−g = 1 2 √ −ggµνδgµν = − 1 2 √ −ggµνδgµν, (567) onde δ (gµνg
µν) = gµνδgµν + gµνδgµν = 0, que d´a origem a troca de sinal da equa¸c˜ao
posterior, (567).
Conclui-se, portanto, que a varia¸c˜ao de √−g, que ´e utilizada na obten¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein, ´e dada pela equa¸c˜ao (567).
D.2
“Atalho”para determinar
δ√−g
O processo a ser apresentado se inicia por meio da varia¸c˜ao do determinante de uma matriz qualquer A, dada por δln[det(A)]. Escreve-se tal termo como
δln[det(A)] = ln[det(A + δA)] − ln[det(A)], (568) que pela propriedade de logaritmo pode ser reescrita como
δln[det(A)] = ln det(A + δA) det(A)
. (569)
Desta vez se propriedade dos determinantes para se obter
δln[det(A)] = lndet A−1(A + δA) , (570)
que por sua vez ´e igual a
δln[det(A)] = lndet 1 + A−1δA . (571)
Segue da rela¸c˜ao entre tra¸co e determinante que a equa¸c˜ao (571) pode ser dada por
δln[det(A)] = ln
1 + tr A−1δA , (572)
que finalmente pode ser aproximada para
δln[det(A)] = tr A−1δA , (573)
devido ao valor de tr (A−1δA) ser pequeno. De maneira semelhante `a se¸c˜ao anterior,
encara-se a matriz A como sendo a m´etrica gµν. Sendo assim, na express˜ao anterior (573),
substitui-se det (A) → g e tr (A−1δA) → gµνδg
µν, logo
δln[g] = gµνδgµν, (574)
que consequentemente indica que δg ´e dado por
δln[g] = δg
g −→ δg = gg
µνδg
µν. (575)
Por meio desta equa¸c˜ao final se pode resolver o problema da varia¸c˜ao do termo √−g, conforme descrito pela equa¸c˜ao (554), com resultado apresentado por (567).
Apˆendice E – Varia¸c˜ao do termo
R
µνNeste apˆendice se deduz outro termo correspondente a extremiza¸c˜ao da a¸c˜ao de Einstein-Hilbert. Este termo, correspondente ao segundo termo do lado direito da equa¸c˜ao (45), ´e dado pela varia¸c˜ao do tensor de Ricci, δRµν.
Para se obter o valor desta varia¸c˜ao se inicia a constru¸c˜ao por meio da varia¸c˜ao do tensor de Ricci, originado do tensor de Riemann, dado pelo equa¸c˜ao (32). Sua varia¸c˜ao ´e, segundo a regra da cadeia, dado por
δRµν = ∂δΓλ µλ ∂xν − ∂δΓλ µν ∂xλ + δΓ η µλΓλνη + δΓλνηΓ η µλ− δΓηµνΓλλη− δΓλληΓηµν. (576)
A partir deste valor, tenta-se escrever as derivadas covariantes correspondentes `as derivadas simples representadas pelos dois primeiros termos do lado direito de (576). Procura-se com isto encontrar derivadas covariantes dentro desta equa¸c˜ao. Logo, tem-se que as derivadas s˜ao ∇νδΓλµλ = ∂νδΓλµλ− ΓηνµδΓληλ− Γ η νλδΓ λ µη+ ΓλνηδΓ η µλ, (577) ∇λδΓλµν = ∂λδΓλµν− Γ η λµδΓλην − Γ η λνδΓλµη+ ΓλληδΓηµν. (578)
Isola-se os termos de derivadas simples das equa¸c˜oes (577) e (578) para depois os substituir no primeiro e no segundo termo da equa¸c˜ao (576), respectivamente. Devido `a simetria entre os ´ındices das conex˜oes ´e poss´ıvel cancelar todos os termos do tipo ΓδΓ, de modo a se obter
δRµν = ∇νδΓλµλ− ∇λδΓλµν, (579)
Apˆendice F – Derivadas Covariantes como Termos de
Superf´ıcie na A¸c˜ao de Einstein-Hilbert
Neste apˆendice ´e mostrado o princ´ıpio b´asico que permite que uma derivada covariante de um tensor seja nula quando dentro de uma integral em todo espa¸co-tempo. Tal artif´ıcio ´e utilizado neste trabalho para anular um termo na a¸c˜ao de Einstein-Hilbert.
Vem da defini¸c˜ao de derivada covariante, dada pela equa¸c˜ao (16), que
∇µVµ = ∂µVµ+ ΓµµλVλ. (580)
Por a conex˜ao desta equa¸c˜ao possuir ´ındices somados (´ındice covariante e contravariante iguais), pode-se reescrever a defini¸c˜ao de conex˜ao afim da seguinte forma
Γµµλ = 1 2g µρ[∂ λgρµ+ ∂µgρλ− ∂ρgµλ] = 1 2g µρ∂ λgρµ. (581)
Pode-se uma vez mais reescrever esta conex˜ao afim, desta vez, por meio das equa¸c˜oes (567) e (574), que foram deduzidas anteriormente no apˆendice (D).
Γµµλ = 1 2∂λln (g) = 1 √ −g∂λ √ −g . (582)
Ao se resubstituir a equa¸c˜ao (582) na defini¸c˜ao (580) se obt´em
∇µVµ= ∂µVµ+ Vµ √ −g∂µ √ −g = √1 −g∂µ √ −gVµ (583)
Deste modo se a rela¸c˜ao (583) for posta em uma integral sob todo o espa¸co-tempo, mostra-se que
Z
d4x√−g∇µVµ=
Z
d4x∂µ √−gVµ = 0, (584)
que ´e zero por meio do teorema de Gauss, no qual a integral volum´etrica de uma derivada total (um divergente de uma fun¸c˜ao vetorial) ´e equivalente a uma integral de superf´ıcie cujos limites tendem ao infinito. Como Vµ, para ser bem comportado, ´e nulo no infinito,
Apˆendice G – Equa¸c˜oes de Friedmann via Equa¸c˜oes de
Euler-Lagrange
Neste apˆendice est´a descrita uma maneira alternativa de se obter as equa¸c˜oes de Friedmann, dada uma a¸c˜ao que possua o termo de Einstein-Hilbert. A maneira cl´assica de se obter tais equa¸c˜oes ´e decorrente das equa¸c˜oes de Einstein, quando a m´etrica FLRW ´e utilizada para caracterizar o universo. A parte geom´etrica das equa¸c˜oes de Einstein para este caso s˜ao caracterizadas pela equa¸c˜ao (67). O termo “00”de G j´a representa a primeira equa¸c˜ao de Friedmann, enquanto que a segunda ´e originada de uma combina¸c˜ao de “00”e “11”, assim como visto na se¸c˜ao (3.1).
Enquanto isto, a parte de mat´eria, dada pelo lado direito da equa¸c˜ao de Einstein ´e fruto do tensor energia momento, obtido por meio da densidade Lagrangeana correspon- dente. Pode-se observar os correspondentes deste tensor energia momento por meio da equa¸c˜ao (145). Cada elemento “escolhido”para compor o universo possui o seu pr´oprio tensor, que quando representam fluidos perfeitos possuem a estrutura diagonal presente em (53).
O processo cl´assico descrito n˜ao se demonstra um problema se o tensor de energia momento da mat´eria contida no universo for conhecida, j´a que a parte geom´etrica n˜ao se altera uma vez que as equa¸c˜oes de Einstein, ap´os deduzidas (vide se¸c˜ao (2.9)), permanecem as mesmas.
Entretanto, de acordo com o artigo (KOUWN et al.,2013), faz-se necess´ario um termo
extra quando a tor¸c˜ao ´e inclu´ıda na conex˜ao afim. Este termo extra ´e advindo do fato da extremiza¸c˜ao da a¸c˜ao de Einstein-Hilbert n˜ao ser mais a mesma, depois que as conex˜oes deixam de ser sim´etricas. Em outras palavras, n˜ao se pode utilizar ˜Gµν = ˜Rµν−12gµνR˜= Tµνm
para obter as equa¸c˜oes de Friedmann, onde o til representa a presen¸ca da tor¸c˜ao.
N˜ao obstante, as pr´oprias equa¸c˜oes de Einstein-Cartan, podem ser derivadas se a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange for tomada com rela¸c˜ao aos termos da tor¸c˜ao. Deste modo se simplifica demasiadamente a obten¸c˜ao de todas as equa¸c˜oes necess´arias para a an´alise cosmol´ogica do modelo em quest˜ao, especialmente quando a tor¸c˜ao se faz presente.
Segue neste apˆendice duas pequenas se¸c˜oes. Na primeira ´e apresentado o por quˆe n˜ao se utiliza ˜Gµν = Tµνm para obter as equa¸c˜oes de Friedmann. Enquanto isso na segunda
se exemplifica a t´ecnica utilizada no decorrer do trabalho para se obter as equa¸c˜oes de Friedmann e Einstein-Cartam via equa¸c˜oes de Euler-Lagrange.