KLAS· IK ORTOGONAL POL· INOMLAR

4.1 Jacobi Polinomlar¬

4.1.1 Jacobi polinomlar¬için bir do¼gurucu fonksiyon

n bir do¼gal say¬olmak üzere n-yinci dereceden Pn^{( ; )}(x) ile gösterilen Jacobi poli-nomlar¬hipergeometrik fonksiyon cinsinden,

P_n^{( ; )}(x) = (1 + )n

n! ²F₁ n; 1 + + + n; 1 + ;1 x

2 (4.1)

e¸sitli¼gine sahiptir.

Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde z = 1 x

2 ; = n; = 1 + + + n ve

= + 1 al¬nmak suretiyle Pn^{( ; )}(x) in bir ba¸ska tan¬m¬,

P_n^{( ; )}(x) = (1 + )_n n!

x + 1 2

n

2F₁ n; n; 1 + ;x 1

x + 1 (4.2)

elde edilir. k > n için ( n)_k = 0 oldu¼gundan (4:1) e¸sitli¼gi sonlu seri formunda

P_n^{( ; )}(x) = Xn k=0

(1 + )_n( n)_k(1 + + + n)_k k!n!(1 + )_k

1 x

2

k

yaz¬labilir. Burada (2:24) özelli¼ginden (1 + + )_n+k = (1+ + )_n(1 + + + n)_kve (2:27) özelli¼ginden ( n)_k

n! = ( 1)^k

(n k)! olup, bir önceki sonlu terimli seride bu bulu-nanlar yerine yaz¬l¬rsa,

P_n^{( ; )}(x) = Xn k=0

(1 + )_n(1 + + )_n+k k!(n k)!(1 + )_k(1 + + )_n

x 1

2

k

(4.3)

elde edilir. Benzer ¸sekilde (4:2) sonlu terimli serisi,

(1 + )_{n k} e¸sitli¼gi ve (2:27) özelli¼gi kullan¬l¬rsa yukar¬daki seri,

Simdi Jacobi polinomlar¬için bir do¼gurucu fonksiyon bulal¬m. (4:3)’ün her iki yan¬

(1 + + )_ntⁿ

elde edilir. Burada (3:11) e¸sitli¼ginden X1

yaz¬labilir. (3:6)’dan dolay¬

X1 n=0

(1 + + + 2k)_ntⁿ

n! = (1 t) ^{(1+ + +2k)} olarak bulunur. O halde,

X1

elde edilir. (2:28) e¸sitli¼ginde = 1 + + ve n = k al¬n¬rsa,

(1 + + )_2k = 2^2k 1 + +

2 _k

2 + +

2 _k

olup, X1 n=0

(1 + + )_nPn^{( ; )}(x)tⁿ (1 + )_n

= X1 k=0

2^{2k 1}₂(1 + + ) _k ¹₂(2 + + ) _k(x 1)^kt^k 2^kk!(1 + )k(1 t)^{1+ + +2k}

= (1 t) ¹

X1 k=0

1

2(1 + + ) _k ¹₂(2 + + ) _k k!(1 + )_k

2(x 1)t (1 t)²

k

bulunur. Bu ise X1 n=0

(1 + + )_nPn^{( ; )}(x)tⁿ (1 + )_n

= (1 t) ¹ ₂F₁ 1

2(1 + + ) ;1

2(2 + + ); 1 + ;2t(x 1) (1 t)² (4.5)

¸seklinde do¼gurucu fonksiyonu elde edilir.

4.1.2 Jacobi polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬baz¬rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

Jacobi polinomunun (4:1) tan¬m¬ndan

P_n^{( ; )}(x) = (1 + )_n

n! ²F₁ n; 1 + + + n; 1 + ;1 x 2

oldu¼gunu biliyoruz. D = d

dx türev operatörü olmak üzere,

DP_n^{( ; )}(x) = n(1 + )_n(1 + + + n)

n!2(1 + ) ²F₁ n + 1; 2 + + + n; 2 + ;1 x 2

= (2 + )_{n 1}(1 + + + n) 2(n 1)!

2F₁ n + 1; 2 + + + n; 2 + ;1 x 2

= (2 + )_{n 1}(1 + + + n) 2(n 1)!

2F₁ (n 1); 1 + ( + 1) + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ( + 1);1 x 2

¸seklinde yaz¬labilir. Buradan (4:1) tan¬m¬gözönüne al¬narak,

P_{n 1}^{( +1; +1)}(x) = (2 + )_{n 1} (n 1)!

2F₁ (n 1); 1 + ( + 1) + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ( + 1);1 x 2 bulunur. Bu takdirde

DP_n^{( ; )}(x) = 1

2(1 + + + n)P_{n 1}^{( +1; +1)}(x) (4.6) elde edilir. 0 < k n için D operatörünün k kez uygulanmas¬yla,

D^kP_n^{( ; )}(x) = 2 ^k(1 + + + n)_kP_{n k}^{( +k; +k)}(x) (4.7)

oldu¼gu görülür.

¸

Simdi Jacobi polinomunun (4:2) ile verilen

P_n^{( ; )}(x) = (1 + )_n n!

x + 1 2

n

2F₁ n; n; 1 + ;x 1 x + 1

e¸sitli¼gini gözönüne alal¬m. Buradan türev al¬n¬rsa,

DP_n^{( ; )}(x) = n(x + 1) ¹P_n^{( ; )}(x) + (2 + )_{n 1}( + n) (n 1)!(x + 1)

x + 1 2

n 1

:

2F₁ n + 1; n + 1; 2 + ;x 1 x + 1

= n(x + 1) ¹P_n^{( ; )}(x) + (2 + )_{n 1}( + n) (n 1)!(x + 1)

x + 1 2

n 1

2F₁ (n 1) ; (n 1) ; 1 + ( + 1);x 1 x + 1 elde edilir. Burada yine Jacobi polinomunun (4:2) tan¬m¬gözönüne al¬n¬rsa,

(x + 1) DP_n^{( ; )}(x) = nP_n^{( ; )}(x) + ( + n)P_{n 1}^{( +1; )}(x) (4.8)

¸seklinde bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬bulunur.

4.1.3 Jacobi polinomlar¬için Rodrigues formülü

Jacobi polinomu için tan¬mlanan (4:4) e¸sitli¼gini gözönüne alal¬m. Bu e¸sitli¼gi biz

P_n^{( ; )}(x) = Xn k=0

(1 + )_n(1 + )_n(x 1)^k(x + 1)^{n k} k!(n k)!2ⁿ(1 + )k(1 + )n k

(4.9)

¸seklinde yazabiliriz.

D = d

dx türev operatörü olmak üzere negatif olmayan m ve s tamsay¬lar¬için, D^sx^m+ = (m + )(m + 1):::(m + s + 1)x^{m s+}

bulunur. Bulunan bu e¸sitli¼gi (m + s) ::: (2 + ) (1 + ) ile çarp¬p bölersek,

= (m + )(m + 1):::(m + s + 1) (m + s) ::: (2 + ) (1 + ) x^{m s+}

(m + s) ::: (2 + ) (1 + ) ya da Pochhammer sembolü dikkate al¬nd¬¼g¬nda,

D^sx^m+ = (1 + )_mx^{m s+}

(4.10)

d¬r. Burada x yerine s¬ras¬yla x + 1 ve x 1, s yerine s¬ras¬yla k ve n k ve m yerine de n al¬n¬rsa,

D^k(x + 1)ⁿ⁺ = (1 + )_n(x + 1)^{n k+}

(1 + )_{n k} (4.11)

ve

D^{n k}(x 1)ⁿ⁺ = (1 + )_n(x 1)^k+

(1 + )_k (4.12)

olurlar. Bu sonuçlara göre (4:9) düzenlenirse,

P_n^{( ; )}(x) = (x 1) (x + 1) 2ⁿn!

Xn k=0

n!

k!(n k)! D^{n k}(x 1)ⁿ⁺ D^k(x + 1)ⁿ⁺

(4.13) elde edilir. Son e¸sitlikte u = (x + 1)ⁿ⁺ ve v = (x 1)ⁿ⁺ olmak üzere çarp¬m¬n türevi için Leibnitz kural¬n¬n kullan¬lmas¬yla da Jacobi polinomlar¬için,

P_n^{( ; )}(x) = (x 1) (x + 1)

2ⁿn! Dⁿ (x 1)ⁿ⁺ (x + 1)ⁿ⁺ (4.14) ya da

P_n^{( ; )}(x) = ( 1)ⁿ(1 x) (1 + x)

2ⁿn! Dⁿ (1 x)ⁿ⁺ (1 + x)ⁿ⁺ (4.15) Rodrigues formülü elde edilir.

4.1.4 Jacobi polinomlar¬için Bateman do¼gurucu fonksiyonu

(4:2) e¸sitli¼ginden gelen (4:4) e¸sitli¼gini kullanarak, Jacobi polinomlar¬ için bilinen ba¸ska bir do¼gurucu fonksiyonu elde edelim. Buna göre (4:4) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬

tⁿ

(1 + )_n(1 + )_n ile çarpal¬m ve n = 0 dan n = 1 a kadar toplam alal¬m.

X1 n=0

Pn^{( ; )}(x)tⁿ (1 + )n(1 + )n

= X1 n=0

Xn k=0

1

2x ¹₂ ^{k 1}₂x + ¹₂ ^{n k}tⁿ k!(n k)!(1 + )k(1 + )n k

yaz¬labilir. (3:11) özelli¼ginden dolay¬yukar¬daki e¸sitli¼gin ikinci yan¬

X1 do¼gurucu fonksiyonu elde edilir.

E¼ger (4:16) e¸sitli¼ginde x yerine ( x) ve t yerine de ( t) al¬n¬rsa,

olur. Dolay¬s¬yla buradan tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n^{( ; )}( x) = ( 1)ⁿP_n^{( ; )}(x) (4.17)

bulunur ki bu e¸sitlik Pn^{( ; )}(x)’lerin n tek ise tek fonksiyon, n çift ise çift fonksiyon oldu¼gunu gösterir.

E¼ger (4:1) e¸sitli¼ginde x = 1 al¬rsak,

P_n^{( ; )}(1) = (1 + )_n

n! (4.18)

oldu¼gu görülür. Buna göre (4:17) e¸sitli¼ginde x = 1 al¬n¬p, (4:18) ile verilen Pn^{( ; )}(1)’in e¸siti kullan¬l¬rsa,

P_n^{( ; )}( 1) = ( 1)ⁿ(1 + )_n

n! (4.19)

elde edilir.

4.1.5 Jacobi polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklem

(4:1) ile verilen Jacobi polinomlar¬n¬n, x de¼gi¸skenine göre birinci ve ikinci türevleri al¬n¬rsa,

d

dxP_n^{( ; )}(x) = (1 + )_n n!

1 2

d

dx ²F₁ n; 1 + + + n; 1 + ;1 x

2 (4.20) ve

d²

dx²P_n^{( ; )}(x) = (1 + )n

n!

1 4

d²

dx^{2 2}F₁ n; 1 + + + n; 1 + ;1 x

2 (4.21) elde edilir. Di¼ger taraftan, w = 2F₁( ₁; ₁; ₁; z)hipergeometrik fonksiyonu,

z(1 z)w⁰⁰+ [ ₁ ( ₁+ ₁+ 1)z] w⁰ _{1 1}w = 0 (4.22)

diferensiyel denklemini sa¼glar. Buna göre 1 = n; ₁ = 1 + + + n; ₁ = 1 + ve z = 1 x

2 olan 2F₁ n; 1 + + + n; 1 + ;1 x

2 fonksiyonunun kendisi (4:1)’den ve s¬ras¬yla ilk iki mertebeden türevleri (4:20) ve (4:21)’den çekilip elde edilenler (4:22)’de yerlerine yaz¬l¬rlarsa,

n!

(1 + )_n 8<

:

(1 x²) d²

dx²Pn^{( ; )}(x) + [ (2 + + ) x] d

dxPn^{( ; )}(x)+

+n (1 + + + n) Pn^{( ; )}(x)

9=

;= 0

bulunur. n!

(1 + )_n 6= 0 oldu¼gundan, bu çarpanla bölüm yap¬l¬rsa,

(1 x²) d²

dx²P_n^{( ; )}(x)+[ (2 + + ) x] d

dxP_n^{( ; )}(x)+n (1 + + + n) P_n^{( ; )}(x) = 0 elde edilir. Bulunan bu son denklem Jacobi diferensiyel denklemi olarak bilinir.

4.1.6 Jacobi polinomlar¬n¬n ortogonalli¼gi

Pn^{( ; )}(x)Jacobi polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklemin,

(1 x²) d²

dx²P_n^{( ; )}(x)+[ (2 + + ) x] d

dxP_n^{( ; )}(x)+n(1+ + +n)P_n^{( ; )}(x) = 0 (4.23) oldu¼gu bilinmektedir. Bu denklemdeki birinci basamaktan türevin katsay¬s¬

(2 + + ) x = (1 + ) (1 x) (1 + ) (1 + x)

olarak yaz¬ld¬ktan sonra (4:23) denkleminin her iki yan¬(1 x) (1 + x) ile çarp¬l¬p düzenlenirse,

(1 x)¹⁺ (1 + x)¹⁺ d²

dx²Pn^{( ; )}(x)+

[(1 + ) (1 x) (1 + ) (1 + x)] (1 x) (1 + x) d

dxPn^{( ; )}(x) +n(1 + + + n) (1 x) (1 + x) Pn^{( ; )}(x) = 0

elde edilir ki bu son e¸sitlik, d

dx (1 x)¹⁺ (1 + x)¹⁺ d

dxP_n^{( ; )}(x) +n(1+ + +n) (1 x) (1 + x) P_n^{( ; )}(x) = 0 (4.24) olur. Bu denklemde n yerine m al¬n¬rsa, yani Pm^{( ; )}(x) için de bir önceki e¸sitli¼gi düzenlersek,

d

dx (1 x)¹⁺ (1 + x)¹⁺ d

dxP_m^{( ; )}(x) +m(1+ + +m) (1 x) (1 + x) P_m^{( ; )}(x) = 0 (4.25) yaz¬labilir. Bu son iki denklemden birincisi Pm^{( ; )}(x)ile, ikincisi Pn^{( ; )}(x)ile çarp¬l¬p elde edilen e¸sitlikler taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa,

[n(1 + + + n) m(1 + + + m)] (1 x) (1 + x) Pn^{( ; )}(x)Pm^{( ; )}(x)

= d dx

h

(1 x)¹⁺ (1 + x)¹⁺ n

Pn^{( ; )}(x)DPm^{( ; )}(x) Pm^{( ; )}(x)DPn^{( ; )}(x)oi

bulunur. Bu e¸sitli¼gin her iki taraf¬[ 1; 1] aral¬¼g¬nda integre edilirse,

(n m)(1 + + + n + m) Z1

1

(1 x) (1 + x) Pn^{( ; )}(x)Pm^{( ; )}(x)dx

= (1 x)¹⁺ (1 + x)¹⁺ Pn^{( ; )}(x) d

dxPm^{( ; )}(x) Pm^{( ; )}(x) d

dxPn^{( ; )}(x)

1

1

elde edilir. E¸sitli¼gin sa¼g taraf¬s¬n¬rlardan dolay¬s¬f¬r oldu¼gundan n 6= m için (n m)(1 + + + n + m)6= 0 olaca¼g¬ndan,

Z1

1

(1 x) (1 + x) P_n^{( ; )}(x)P_m^{( ; )}(x)dx = 0 ; m6= n

elde edilir. Buradan görülmektedir ki Pn^{( ; )}(x)Jacobi polinomlar¬n¬n kümesi [ 1; 1]

aral¬¼g¬nda (1 x) (1 + x) a¼g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal bir sistem te¸skil ederler.

4.2 Legendre Polinomlar¬

4.2.1 Legendre polinomlar¬n¬n do¼gurucu fonksiyonu

Pn^{( ; )}(x) Jacobi polinomunda = = 0 al¬nmas¬yla elde edilen Pn(x) Legendre polinomunun do¼gurucu fonksiyonu, jtj < 1 ve jxj 1olmak üzere,

(1 2xt + t²) ¹⁼²= X1 n=0

Pn(x)tⁿ (4.26)

¸seklinde tan¬mlan¬r. Biz (3:6)’dan dolay¬,

(1 z) = ₁F₀( ; ; z)

yaz¬labilece¼gini biliyoruz. Bu e¸sitlikte z = 2xt t² al¬narak

(1 2xt + t²) ¹⁼²= ₁F₀ 1

2; ; 2xt t²

bulunur. Hipergeometrik fonksiyonun (3:4) tan¬m¬ndan,

elde edilir. Binom aç¬l¬m¬ndan dolay¬

(x + y)ⁿ =

yaz¬l¬r. 3: bölümdeki (3:10) ve (3:12) e¸sitliklerini birle¸stirdi¼gimizde,

X1

elde edilir. Bu takdirde

(1 2xt + t²) ¹⁼² =

bulunur. Son iki e¸sitlikte tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n(x) =

olur. Buradan Pn(x)Legendre polinomunun n yinci dereceden bir polinom oldu¼gu kolayca görülebilir.

E¼ger Legendre polinomunun do¼gurucu fonksiyonu olan (4:26) e¸sitli¼ginde x yerine ( x)ve t yerine ( t) al¬n¬rsa; e¸sitli¼gin sol taraf¬de¼gi¸smez. Buna göre

(1 2xt + t²) ¹⁼² = X1 n=0

P_n(x)tⁿ= X1 n=0

P_n( x)( 1)ⁿtⁿ

yaz¬labilir. Burada yine tⁿ nin katsay¬lar¬e¸sitlendi¼ginde,

P_n( x) = ( 1)ⁿP_n(x) (4.28)

elde edilir. Bu e¸sitli¼ge göre n tek tamsay¬oldu¼gunda Pn(x)Legendre polinomu tek, n çift tamsay¬oldu¼gunda Pn(x)Legendre polinomu çift fonksiyon olacakt¬r.

E¼ger (4:26) e¸sitli¼ginde özel olarak x = 1 al¬n¬rsa,

(1 t) ¹ = X1 n=0

P_n(1)tⁿ

olup,

1 1 t =

X1 n=0

tⁿ

¸seklinde yaz¬labilece¼gini biliyoruz. Son iki e¸sitli¼gin sol tara‡ar¬e¸sit oldu¼gundan sa¼g tara‡ar¬da birbirine e¸sit olacakt¬r. Yani,

X1 n=0

P_n(1)tⁿ= X1 n=0

tⁿ

olup, tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n(1) = 1 (4.29)

olarak bulunur. Bu bulunan e¸sitlik (4:28)’de kullan¬l¬rsa,

P_n( 1) = ( 1)ⁿ (4.30)

elde edilir.

¸

Simdi de (4:26) e¸sitli¼ginde x = 0 alal¬m. Bu durumda (4:26) e¸sitli¼gi,

(1 + t²) ¹⁼²= X1 n=0

P_n(0)tⁿ (4.31)

¸sekline dönü¸sür. Di¼ger yandan (3:6)’dan dolay¬,

(1 + t²) ¹⁼² = X1 n=0

( 1)^{n 1}

2 nt²ⁿ n!

olup, (4:31) e¸sitli¼ginde ele al¬nan toplam¬ tⁿ nin üssünün tek ve çift kuvvetlerine göre ay¬r¬rsak,

P_2n+1(0) = 0 ve P_2n(0) = ( 1)^{n 1}

2 n

n!

elde edilir.

4.2.2 Legendre polinomlar¬için diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

P_n(x)Legendre polinomlar¬için diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬elde etmede (4:26) do¼gurucu fonksiyonu kullan¬l¬r. Buna göre,

F (x; t) = (1 2xt + t²) ¹⁼² = X1 n=0

P_n(x)tⁿ

e¸sitli¼ginin her iki yan¬n¬n x e ve t ye göre türevi al¬n¬rsa,

@F (x; t)

@x = t(1 2xt + t²) ³⁼² = X1 n=0

P_n⁰(x)tⁿ (4.32)

ve

@F (x; t)

@t = (x t)(1 2xt + t²) ³⁼² = X1 n=1

nP_n(x)t^{n 1} (4.33)

bulunur. (4:32) ve (4:33) e¸sitlikleri taraf tarafa bölünürse,

@F (x; t)

@t

@F (x; t)

@x

= (x t)(1 2xt + t²) ³⁼²

t(1 2xt + t²) ³⁼² = (x t) t

olup buradan,

t@F (x; t)

@t = (x t)@F (x; t)

@x (4.34)

elde edilir. (4:32) ve (4:33) e¸sitliklerinin sa¼g tara‡ar¬(4:34)’te dikkate al¬n¬rsa,

@F (x; t)

olup, (4:34)’te bulunan son iki e¸sitlik yerlerine yaz¬l¬rsa, X1

olur ki burada tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

nP_n(x) = xP_n⁰(x) P_{n 1}⁰ (x) ; n 1 (4.35)

bulunur.

Di¼ger taraftan (4:32)’nin her iki yan¬n¬(1 2xt + t²)ile çarpal¬m. Bu yap¬ld¬¼g¬nda,

t(1 2xt + t²) ¹⁼² = (1 2xt + t²) X1 n=0

P_n⁰(x)tⁿ

bulunur. Burada Pn(x) polinomunun do¼gurucu fonksiyonunu tan¬mlayan (4:26) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa,

t

olup, gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa, X1

elde edilir. Bu son e¸sitlikte tⁿ⁺¹ in katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n(x) = P_n+1⁰ (x) 2xP_n⁰(x) + P_{n 1}⁰ (x) ; n 1 (4.36)

bulunur. (4:35)’ten xP_n⁰(x) çekilip, (4:36)’da yerine yaz¬l¬rsa,

(2n + 1) P_n(x) = P_n+1⁰ (x) P_{n 1}⁰ (x) ; n 1 (4.37)

¸seklinde bir diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

(4:35) ve (4:37) e¸sitliklerinde P_{n 1}⁰ (x)’in yok edilmesiyle,

xP_n⁰(x) = P_n+1⁰ (x) (n + 1)P_n(x) ; n 0 (4.38)

yaz¬labilir. Ayr¬ca (4:38)’de n yerine (n 1) yaz¬l¬p, (4:35)’ten P_{n 1}⁰ (x) çekilerek burada yerine konulursa,

(x² 1)P_n⁰(x) = nxP_n(x) nP_{n 1}(x) n 1 (4.39)

elde edilir ki bu ba¸ska bir diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬s¬d¬r.

4.2.3 Legendre polinomlar¬için yal¬n rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

(4:35) e¸sitli¼ginin her iki yan¬n¬(x² 1) ile çarpal¬m.

n(x² 1)P_n(x) = x(x² 1)P_n⁰(x) (x² 1)P_{n 1}⁰ (x)

bulunur. Buradaki (x² 1)P_n⁰(x) ve (x² 1)P_{n 1}⁰ (x) yerine (4:39)’daki e¸sitlikleri yerine yaz¬l¬rsa,

(x² 1)P_n⁰(x) = nxP_n(x) nP_{n 1}(x)

(x² 1)P_{n 1}⁰ (x) = (n 1) xP_{n 1}(x) (n 1) P_{n 2}(x)

olup,

n(x² 1)P_n(x) = x [nxP_n(x) nP_{n 1}(x)] (n 1)xP_{n 1}(x) + (n 1)P_{n 2}(x)

elde edilir. Bu son e¸sitlik düzenlenirse Pn(x)’ler için diferensiyel içermeyen

nP_n(x) = (2n 1)xP_{n 1}(x) (n 1)P_{n 2}(x) ; n 2 (4.40)

yal¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilmi¸s olur.

4.2.4 Legendre polinomlar¬için Rodrigues formülü

Legendre polinomlar¬için bilinen (4:27) ba¼g¬nt¬s¬n¬ele alal¬m.

P_n(x) = [ⁿ₂] X

k=0

( 1)^{k 1}_{2 n k}(2x)^{n 2k} k!(n 2k)!

dir. (2:28) e¸sitli¼ginde = 1 ve n = m al¬n¬rsa,

(1)_2m= 2^2m 1

2 _m(1)_m ) (2m)! = 2^2m 1 2 _mm!

elde edilir. Bulunan bu özellik son e¸sitli¼ge uygulanacak olunursa, m = n k için

(2n 2k)! = 2^{2n 2k} 1

2 _{n k}(n k)! ) 2^{2n 2k} 1

2 _{n k} = (2n 2k)!

(n k)!

bulunur. Bu takdirde

P_n(x) = [ⁿ₂] X

k=0

( 1)^k(2n 2k)!x^{n 2k}

2ⁿk!(n k)!(n 2k)! (4.41)

¸seklindedir. m ve n do¼gal say¬lar ve m n olmak üzere, dⁿ

dxⁿx^m = m!x^{m n}

(m n)! (4.42)

oldu¼gundan, m = 2n 2k için dⁿ

dxⁿx^{2n 2k} = (2n 2k)!x^{n 2k}

(n 2k)! (4.43)

yaz¬labilir. Son bulunan bu e¸sitlik (4:41)’de kullan¬l¬rsa,

elde edilir. Burada 0

@ n k

1

A = n!

k!(n k)!

binom katsay¬s¬dikkate al¬narak (4:44) e¸sitli¼gi,

P_n(x) = 1

biçiminde yaz¬labilece¼gi görülür. (4:45) e¸sitli¼ginin sa¼g¬ndaki toplam k = 0 dan k = n ye geni¸sletilebilir. Çünkü, [n=2] < k niçin 0 2n 2k nolup, k n¬n bu de¼gerleri

yaz¬labilir. Di¼ger taraftan, (x² 1)ⁿ in binom aç¬l¬m¬n¬n Xn oldu¼gunu biliyoruz. Buna göre (4:46)’y¬düzenlersek,

Pn(x) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ(x² 1)ⁿ (4.47)

bulunur. (4:47) e¸sitli¼gi Legendre polinomlar¬için Rodrigues formülüdür.

¸

Simdi de (4:47) e¸sitli¼gini düzenleyelim. Çarp¬m¬n n-yinci mertebeden türevi için Leibnitz kural¬ndan dolay¬biliyoruz ki,

dⁿ

dir. O halde (4:47) Rodrigues formülü,

bulunur. (4:42) yard¬m¬yla, d^k

dx^k(x 1)ⁿ = n!(x 1)^{n k}

(n k)! ve d^{n k}

dx^{n k}(x + 1)ⁿ = n!(x + 1)^k k!

yaz¬labilir. Bu bulunanlar son e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rlarsa,

P_n(x) = 1

4.2.5 Legendre polinomlar¬için Bateman do¼gurucu fonksiyonu

Legendre polinomu için (4:48)’de elde edilen Rodrigues formülü,

P_n(x) = Xn k=0

(n!)^{2 1}₂(x 1) ^{n k 1}₂(x + 1) ^k

[(n k)!]²(k!)² (4.49)

¸seklinde yaz¬labilir. Biz iki kuvvet serisinin Cauchy çarp¬m¬n¬n, X1

¸seklinde oldu¼gunu biliyoruz. Buna göre (4:49) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬ tⁿ

bulunur. Burada iki kuvvet serisinin Cauchy çarp¬m¬n¬n özelli¼gi kullan¬l¬rsa, X1

olup hipergeometrik fonksiyonun (3:4) tan¬m¬ndan, X1 elde edilir ki bu Legendre polinomlar¬ için Bateman do¼gurucu fonksiyonu olarak bilinir.

4.2.6 Legendre polinomlar¬için ba¸ska do¼gurucu fonksiyonlar

Legendre polinomlar¬n¬n (4:26) ile ifade edilen F (x; t) = (1 2xt + t²) ¹⁼² do¼gurucu fonksiyonunu ele alal¬m.

X1

bulunur. Yani,

olur. ¸Simdi son e¸sitli¼gin sa¼g k¬sm¬n¬ele alal¬m. Hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬n-dan,

bulunur. Son e¸sitli¼ge bulunan özellik uygulan¬rsa,

(1 xt) ¹ ₁F₀ 1

elde edilir. Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden,

(2k + 1)_n= (2k + n)!

(2k)!

oldu¼gundan son e¸sitlik,

(1 xt) ¹ ₁F₀ 1

¸seklinde yaz¬labilir. Son e¸sitlikte (3:12) özelli¼ginin kullan¬lmas¬yla,

(1 xt) ¹ ₁F₀ 1

k!(2k)!(n 2k)! (4.55)

elde edilir. (2:28) e¸sitli¼ginde = 1 ve n = k al¬nmas¬yla,

(1)_2k = 2^2k 1

2 _k(1)_k ) (2k)! = 2^2k 1 2 _kk!

bulunur. Bu takdirde,

elde edilir. Burada tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n(x) =

oldu¼gu görülür.

¸

Simdi key… bir c sabiti için, (4:57)’nin her iki yan¬n¬(c)_ntⁿ

n! ile çarpal¬m ve n = 0 dan n = 1 a toplam alal¬m. Bu takdirde,

X1

bulunur. Son e¸sitli¼gin ikinci yan¬na (3:13) özelli¼gi uygulan¬rsa, X1

yukar¬da yerine konulursa, X1

oldu¼gu görülür. Hipergeometrik fonksiyonun (3:4) tan¬m¬ndan,

elde edilir. Bulunan ifade bir önceki e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa,

X1 olarak elde edilir.

¸

Simdi de (4:57)’nin her iki yan¬n¬tⁿ

n! ile çarpal¬m ve n = 0 dan 1 a toplam alal¬m. yaz¬labilir. (3:13) özelli¼ginin son e¸sitli¼gin sa¼g yan¬na uygulanmas¬yla,

X1

¸seklinde bir di¼ger do¼gurucu fonksiyon bulunur.

4.2.7 Legendre polinomlar¬n¬n hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesi

P_n(x)Legendre polinomunun (4:26) ile verilen,

(1 2xt + t²) ¹⁼²= X1 n=0

P_n(x)tⁿ

do¼gurucu fonksiyonunu ele alal¬m. Burada (1 2xt + t²) ¹⁼² yi düzenlersek,

(1 2xt + t²) ¹⁼² = (1 t)² 2t(x 1) ¹⁼²

= (1 t) ¹ 1 2t(x 1) (1 t)²

1=2

elde edilir. ¸Simdi Legendre polinomunun do¼gurucu fonksiyon ifadesine dönecek olur-sak,

olup hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan do¼gurucu fonksiyon ifadesi, X1

P_n(x)tⁿ=

X1 ¹_{2 k}2^kt^k(x 1)^k k!(1 t)^2k+1

bulunur. Yine (3:6) e¸sitli¼ginden,

elde edilir. Elde edilen bu ifade son e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa, X1

yaz¬labilir. Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden,

(2k + 1)_n= (2k + 1 + n)

bulunur ki son e¸sitlikte kullan¬l¬rsa, X1

yaz¬labilir. (3:10) özelli¼ginin son e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda uygulanmas¬yla, X1

elde edilir. (2:22)’den

(n + 1)_k= (n + 1 + k)

(n + 1) = (n + k)!

n!

ve (2:27)’den

¸seklindedir. Hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan da, X1 olup, tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

P_n(x) = ₂F₁ n; n + 1; 1;1 x

Simdi (4:27) e¸sitli¼gini ele alal¬m.

P_n(x) =

(n 2k)! yaz¬labilir. Ayr¬ca 1

2 _{n k} =

1

2 n( 1)^k

1 n

¸seklindedir. Bu takdirde,

2 _k oldu¼gundan

P_n(x) = 2^{n 1}_{2 n}xⁿ bulunur. Hipergeometrik polinomun tan¬m¬ndan,

P_n(x) =

Legendre polinomunun bir ba¸ska hipergeometrik formunu elde etmek için (4:49) e¸sitli¼gine bakal¬m.

P_n(x) = Xn k=0

(n!)^{2 1}₂(x 1) ^{n k 1}₂(x + 1) ^k [(n k)!]²(k!)²

Bu e¸sitlikte (2:27) kullan¬l¬rsa,

P_n(x) = bulunur. Hipergeometrik polinomun tan¬m¬ndan,

P_n(x) = x 1

¸

Simdi de (4:57) e¸sitli¼gini ele alal¬m.

P_n(x) = [ⁿ₂] X

k=0

n!(x² 1)^kx^{n 2k} 2^2k(k!)²(n 2k)!

Burada (2.27) e¸sitli¼gini uygulayacak olursak, ( n)2k = n!

(n 2k)!elde edilir. Bulu-nan ifadeyi son e¸sitlikte yerine koyarsak,

P_n(x) = [ⁿ₂] X

k=0

( n)_2k(x² 1)^kx^{n 2k} 2^2k(k!)²

bulunur. (2:28)’den ( n)2k = 2^2k n 2 k

n + 1

2 _kyaz¬l¬r ve hipergeometrik poli-nomun tan¬m¬ndan ,

P_n(x) = xⁿ [ⁿ₂] X

k=0

1 2n

k

n 2 + 1

2 _k(x² 1)^kx ^2k (k!)²

= xⁿ 2F1

n 2; n

2 + 1

2; 1;x² 1

x² (4.64)

elde edilir.

4.2.8 Legendre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklem

Legendre polinomunun,

nP_n(x) = xP_n⁰(x) P_{n 1}⁰ (x) (4.65)

xP_n⁰(x) = P_n+1⁰ (x) (n + 1)Pn(x) (4.66) rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬sa¼glad¬¼g¬n¬biliyoruz. (4:66)’da n yerine n 1 konulursa,

xP_{n 1}⁰ (x) = P_n⁰(x) nP_{n 1}(x) (4.67)

olur. Burada e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n x e göre türevi al¬n¬p düzenlenirse,

xP_{n 1}⁰⁰ (x) + P_{n 1}⁰ (x) = P_n⁰⁰(x) nP_{n 1}⁰ (x)

xP_{n 1}⁰⁰ (x) = P_n⁰⁰(x) (n + 1)P_{n 1}⁰ (x) (4.68)

elde edilir. Di¼ger yandan (4:65)’ten P_{n 1}⁰ (x)çekilir ve (4:65)’in x e göre türevi al¬n¬p buradan da P_{n 1}⁰⁰ (x) çekilirse

P_{n 1}⁰ (x) = xP_n⁰(x) nP_n(x) P_{n 1}⁰⁰ (x) = (1 n) P_n⁰(x) + xP_n⁰⁰(x)

elde edilir ve bunlar¬n her ikisi de (4:68)’de yerine yaz¬l¬rsa,

x [xP_n⁰⁰(x) + P_n⁰(x) nP_n⁰(x)] = P_n⁰⁰(x) (n + 1) [xP_n⁰(x) nP_n(x)] (4.69)

bulunur. (4:69) e¸sitli¼gi düzenlenirse,

(1 x²)P_n⁰⁰(x) 2xP_n⁰(x) + n(n + 1)P_n(x) = 0 (4.70)

Legendre polinomunun sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklem bulunur.

4.2.9 Legendre polinomlar¬n¬n ortogonalli¼gi

P_n(x)’lerin sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklemin (4:70)’teki gibi oldu¼gunu biliyoruz. Buna göre Pn(x)ve Pm(x)’ler Legendre polinomlar¬olmak üzere,

(1 x²)P_n⁰⁰(x) 2xP_n⁰(x) + n(n + 1)P_n(x) = 0 (4.71)

ve

(1 x²)P_m⁰⁰(x) 2xP_m⁰ (x) + m(m + 1)P_m(x) = 0 (4.72) yaz¬labilir. Bu e¸sitliklerden (4:71) Pm(x) ile, (4:72) Pn(x) ile çarp¬l¬p elde edilen

e¸sitlikler taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa,

(1 x²) [P_nP_m⁰⁰ P_mP_n⁰⁰] 2x [P_nP_m⁰ P_mP_n⁰] + [m(m + 1) n(n + 1)] P_mP_n = 0

elde edilir. Son e¸sitlik, d

dx (1 x²) (P_nP_m⁰ P_mP_n⁰) = (n m)(n + m + 1)P_nP_m = 0

¸seklinde düzenlenip, her iki yan¬[ 1; +1] aral¬¼g¬nda integre edilirse,

(1 x²) (PnP_m⁰ PmP_n⁰) ¹₁ = (n m)(n + m + 1) Z1

1

Pn(x)Pm(x)dx

bulunur. E¸sitli¼gin sol taraf¬s¬f¬r oldu¼gundan ve n 6= m için (n m)(n + m + 1)6= 0 olaca¼g¬ndan,

Z1

1

Pn(x)Pm(x)dx = 0 ; m6= n (4.73)

elde edilir. Buna göre Pn(x) Legendre polinomlar¬n¬n kümesi [ 1; +1] aral¬¼g¬nda ortogonal bir sistem te¸skil ederler.

4.3 Hermite Polinomlar¬

4.3.1 Hermite polinomlar¬n¬n do¼gurucu fonksiyonu

H_n(x)ile gösterilen Hermite polinomlar¬, x ve t nin tüm sonlu de¼gerleri için,

exp(2xt t²) = X1 n=0

H_n(x)tⁿ

n! (4.74)

e¸sitli¼gi ile tan¬mlan¬r.

Burada exp(2xt t²) fonksiyonunun kuvvet seri aç¬l¬m¬gözönüne al¬n¬rsa,

elde edilir. Son ifadenin sa¼g yan¬na (3:12) özelli¼gi uygulan¬rsa,

exp(2xt t²) =

bulunur. (4:74) e¸sitli¼gi ve son e¸sitlik birlikte kullan¬l¬rsa,

exp(2xt t²) =

yaz¬labilir. Burada tⁿ nin katsay¬lar¬n¬n e¸sitlenmesiyle,

H_n(x) =

elde edilir. exp(2xt t²)iki de¼gi¸skenli fonksiyonu, Hermite polinomlar¬n¬n do¼gurucu fonksiyonu olarak bilinir.

Ayr¬ca (4:74) e¸sitli¼ginde x yerine ( x) ve t yerine de ( t) al¬n¬rsa,

yaz¬labilir ki, bu takdirde n çift tamsay¬ oldu¼gunda Hn(x) çift fonksiyon, n tek

tamsay¬oldu¼gunda Hn(x) fonksiyonu tek fonksiyon olarak bulunur.

4.3.2 Hermite polinomlar¬için diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

(4:74)’ün s¬ras¬yla t ve x de¼gi¸skenlerine göre türevleri al¬n¬rsa,

(2x 2t) exp(2xt t²) =

elde edilirler. Bu e¸sitlikler taraf tarafa bölünüp düzenlenirse,

(x t)

bulunur. Tüm terimler tⁿ nin katsay¬lar¬na göre düzenlenir ve her iki yandaki tⁿnin katsay¬lar¬e¸sitlenirse,

xH_n⁰(x) = nH_{n 1}⁰ (x) + nH_n(x) ; n 1 (4.79)

¸seklinde Hermite polinomlar¬için rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

¸

Simdi (4:74) ve (4:78) e¸sitliklerini ele alal¬m. (4:78)’de exp(2xt t²)yerine X1

bulunur. Bu son e¸sitlikte H₀⁰(x) = 0 oldu¼gu göz önünde tutulursa ve tüm terimler tⁿ nin katsay¬lar¬na göre düzenlenirse n 1olmak üzere,

H_n⁰(x) = 2nH_{n 1}(x) ; n 1 (4.80)

elde edilir.

(4:79)’da H_n⁰(x)yerine (4:80)’deki e¸siti yerine yaz¬l¬rsa,

H_n(x) = 2xH_{n 1}(x) H_{n 1}⁰ (x) ; n 1 (4.81)

¸seklinde diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

4.3.3 Hermite polinomlar¬için yal¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬

(4:80) ba¼g¬nt¬s¬n¬ele alal¬m. Burada n yerine n 1 al¬rsak,

H_{n 1}⁰ (x) = 2(n 1)H_{n 2}(x)

yaz¬l¬r ve H_{n 1}⁰ (x)’in son e¸sitlikteki ifadesi (4:81)’de yerine konulursa,

H_n(x) = 2xH_{n 1}(x) 2(n 1)H_{n 2}(x) ; n 2 (4.82)

¸seklinde yal¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

4.3.4 Hermite polinomlar¬için Rodrigues formülü

(4:74) ile verilen,

exp(2xt t²) = X1 n=0

H_n(x)tⁿ n!

¸seklindeki do¼gurucu fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬n exp(2xt t²) ba¼g¬nt¬s¬n¬n bir Maclaurin

aç¬l¬m¬oldu¼gu dü¸sünülürse,

H_n(x) = dⁿ

dtⁿexp(2xt t²)

t=0

(4.83)

e¸sitli¼gi vard¬r. exp( x²) fonksiyonu t’den ba¼g¬ms¬z oldu¼gundan,

exp( x²)H_n(x) = dⁿ

dtⁿexp (x t)²

t=0

yaz¬labilir. x t = w dönü¸sümü yap¬l¬rsa,

exp( x²)Hn(x) = ( 1)ⁿ dⁿ

dwⁿexp w²

w=x

bulunur. Burada w’nin bir fonksiyonunun w’ye göre türevi al¬n¬p w = x yazmakla, do¼grudan w = x yazmak ayn¬sonucu verece¼ginden,

exp( x²)H_n(x) = ( 1)ⁿ dⁿ

dxⁿexp x² yaz¬labilir. Buna göre,

H_n(x) = ( 1)ⁿexp(x²) dⁿ

dxⁿexp x² (4.84)

elde edilir. (4:84) ifadesine Hermite polinomlar¬için Rodrigues formülü denir.

4.3.5 Hermite polinomlar¬n¬n bir özelli¼gi

Burada Hermite polinomunun do¼gurucu fonksiyonunun bulunmas¬nda bize yard¬mc¬

olacak bir e¸sitli¼gi elde etmek istiyoruz. Bunun için Hermite polinomunun (4:74) ba¼g¬nt¬s¬nda t yerine t + v konulursa,

exp 2x (t + v) (t + v)² = X1 n=0

H_n(x)

n! (t + v)ⁿ (4.85)

bulunur. Bu e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬na (t + v)ⁿnin binom aç¬l¬m¬yerine yaz¬ld¬ktan sonra

(3:11) kullan¬l¬rsa,

yaz¬l¬r. (4:74) ba¼g¬nt¬s¬nda x yerine x t konularak elde edilen ba¼g¬nt¬

exp 2(x t)t t² = X1 n=0

H_n(x t) n! tⁿ

olup, son e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda kullan¬l¬rsa, X1

bulunur. Burada her iki yandaki v^k

k! in katsay¬lar¬e¸sitlenerek, X1

n=0

H_n+k(x)tⁿ

n! = exp 2xt t² H_k(x t) (4.86)

elde edilir.

4.3.6 Hermite polinomlar¬için ba¸ska do¼gurucu fonksiyonlar

Key… bir c sabiti için, Hn(x)’in (4:75) formunun her iki yan¬(c)_ntⁿ

n! ile çarp¬l¬p n = 0 dan 1 a toplam al¬n¬rsa,

X1

elde edilir. Son e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬na (3:13) özelli¼ginin uygulanmas¬yla, X1

bulunur. Pochhammer sembolünün (2:24) özelli¼ginden,

(c)n+2k = (c)2k(c + 2k)n

oldu¼gundan son e¸sitlik buna göre düzenlenirse, X1 olur ki (2:28)’den

(c)_2k = 2^2k c

¸

Simdi (4:87) e¸sitli¼ginde x yerine x t ve t yerine ty yazal¬m. Buna göre, X1 elde edilir. Bu e¸sitli¼gin önce sol taraf¬ele al¬n¬p, Hk(x t) yerine (4:86)’daki ifadesi yerine yaz¬l¬rsa,

bulunur. Son e¸sitli¼gin ikinci taraf¬na (3:10) uygulan¬rsa, X1

elde edilir. (2:27)’den, ( 1)^k

(n k)! = ( n)_k

yaz¬labilir. Hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan X1

bulunur. E¸sitli¼gin her iki taraf¬exp (2xt t²)ile çarp¬l¬rsa, X1

elde edilir. Bu e¸sitli¼gin ikinci yan¬ndaki seri yerine (4:88)’deki ifadesi yaz¬l¬rsa, X1

n=0

2F₀( n; c; ; y) H_n(x)tⁿ

n! = exp 2xt t² 1 + 2xyt 2yt^{2 c}

2F0

c 2;1

2c + 1

2; ; 4y²t² (1 + 2xyt 2yt²)² bulunur. Bu ise Hermite polinomunun bir do¼gurucu fonksiyonudur.

4.3.7 Hermite polinomlar¬n¬n hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesi

H_n(x)Hermite polinomlar¬n¬n (4:75) formunu ele alal¬m. Buna göre,

Hn(x) = [ⁿ₂] X

k=0

( 1)^k(2x)^{n 2k}n!

k!(n 2k)!

bulunur. Son e¸sitlikte (2:27) ile verilen ( n)2k = n!

(n 2k)! özelli¼gi kullan¬l¬rsa,

H_n(x) = (2x)ⁿ [ⁿ₂] X

k=0

( n)_2k( 1)^kx ^2k 2^2kk!

elde edilir. (2:28) özelli¼ginden ( n)_2k = 2^{2k 1}₂n

k 1 2n + ¹

2 k bulundu¼gundan,

H_n(x) = (2x)ⁿ [ⁿ₂] X

k=0 1

2n _k ¹₂n + ¹_{2 k}( x ²)^k k!

yaz¬labilir. Hipergeometrik polinomun tan¬m¬ndan,

H_n(x) = (2x)ⁿ ₂F₀ 1 2n; 1

2n + 1

2; ; 1

x² (4.89)

elde edilir.

4.3.8 Hermite diferensiyel denklemi

Hermite polinomlar¬için bulunan (4:80) e¸sitli¼ginin her iki yan¬n¬n x de¼gi¸skenine göre türevi al¬n¬rsa,

H_n⁰⁰(x) = 2nH_{n 1}⁰ (x)

elde edilir. (4:81)’den H_{n 1}⁰ (x)çekilip burada yerine yaz¬l¬rsa,

H_n⁰⁰(x) = 2n [ H_n(x) + 2xH_{n 1}(x)]

bulunur. Buradaki Hn 1(x)yerine (4:80)’deki e¸siti yaz¬l¬rsa,

H_n⁰⁰(x) = 2n H_n(x) + 2x H_n⁰(x) 2n olur ki burada terimler yeniden düzenlenirse,

H_n⁰⁰(x) 2xH_n⁰(x) + 2nH_n(x) = 0 (4.90)

¸seklinde Hermite diferensiyel denklemi elde edilir.

4.3.9 Hermite polinomlar¬n¬n ortogonalli¼gi

Hermite polinomlar¬n¬n ortogonalli¼gini gösterebilmek için (4:90)’¬n her iki taraf¬n¬

exp( x²)ile çarpal¬m.

exp( x²) [H_n⁰⁰(x) 2xH_n⁰(x) + 2nH_n(x)] = 0

bulunur. Son e¸sitlik türev kurallar¬na göre düzenlenirse,

exp( x²)H_n⁰(x) ⁰+ (2n) exp( x²)H_n(x) = 0 (4.91)

elde edilir. Hm(x)’ler de Hermite polinomu oldu¼gundan (4:91) e¸sitli¼gini sa¼

glayacak-lard¬r, yani,

exp( x²)H_m⁰ (x) ⁰+ (2m) exp( x²)H_m(x) = 0 (4.92) yaz¬l¬r. Burada (4:91) Hm(x) ile, (4:92) Hn(x)ile çarp¬l¬p elde edilen ifadeler taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa,

2(n m)exp( x²)H_n(x)H_m(x) = H_n(x) exp( x²)H_m⁰ (x) ⁰ H_m(x) exp( x²)H_n⁰(x) ⁰

= d

dx exp( x²)fHⁿ(x)H_m⁰ (x) H_n⁰(x)H_m(x)g bulunur. Buradan her iki yan¬n ( 1; 1) aral¬¼g¬nda integre edilmesiyle,

2(n m) Z1

1

exp( x²)H_n(x)H_m(x)dx = exp( x²)fHⁿ(x)H_m⁰ (x) H_n⁰(x)H_m(x)g ¹₁

elde edilir. x ! 1 ya da x ! 1 için exp( x²)! 0 olaca¼g¬ndan, Z1

1

exp( x²)H_n(x)H_m(x)dx = 0 ; m6= n (4.93)

yaz¬l¬r. Buna göre Hn(x) Hermite polinomlar¬n¬n kümesi, exp( x²) a¼g¬rl¬k fonksi-yonuna göre, ( 1; 1) aral¬¼g¬nda ortogonal bir sistem te¸skil ederler.

4.4 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre Polinomlar¬

4.4.1 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬n¬n do¼gurucu fonksiyonu

negatif olmayan bir sabit olmak üzere L^{( )}n (x)Laguerre polinomlar¬,

L^{( )}_n (x) = (1 + )_n

n! ¹F₁( n; 1 + ; x) (4.94)

¸seklinde tan¬mlan¬rlar. Hipergeometrik polinom tan¬m¬ndan,

L^{( )}_n (x) = (1 + )_n n!

Xn k=0

( n)_kx^k (1 + )_kk!

bulunur. Son e¸sitli¼ge (2:27) ( n)k = ( 1)^k

n!(n k)!nin uygulanmas¬yla,

L^{( )}_n (x) = Xn

k=0

( 1)^k(1 + )_nx^k

k! (n k)! (1 + )_k (4.95)

elde edilir. Bu polinomlar genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬olarak adland¬r¬l¬r-lar. Özel olarak = 0 durumunda ise bu polinom, Laguerre polinomu ya da basit Laguerre polinomu olarak bilinir. = 0 oldu¼gunda genellikle üstteki sembol ihmal edilir. Buna göre,

Ln(x) = L⁽⁰⁾_n (x) = 1F1( n; 1; x) =

Simdi Laguerre polinomunun do¼gurucu fonksiyonunu bulmak için X1

n=0

L^{( )}n (x)tⁿ (1 + )_n

serisini gözönüne alal¬m. Buna göre L^{( )}n (x)’in (4:95)’teki tan¬m¬yerine yaz¬l¬rsa, X1

elde edilir. (3:11) özelli¼ginden, X1 Laguerre polinomlar¬n¬n do¼gurucu fonksiyonu olarak bilinir.

¸

Simdi c key…bir sabit olmak üzere, genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬n¬n (4:95)’teki ifadesinin her iki yan¬n¬ (c)_ntⁿ

(1 + )_n ile çarpal¬m ve n = 0 dan 1 a toplam alal¬m. Buna bulunur. Son e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬na (3:11) e¸sitli¼ginin uygulanmas¬yla,

X1

elde edilir. Pochhammer sembolünün (2:24) özelli¼ginden (c)n+k = (c)k(c + k)n olup, X1

yaz¬labilir. (3:6)’dan dolay¬, X1 n=0

(c + k)_ntⁿ

n! = (1 t) ^(c+k)

bulunur. Bu takdirde, X1

elde edilir. Hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan, X1

¸seklinde genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬ için c key… sabitini içeren do¼gurucu fonksiyon ailesi elde edilir.

(4:98)’de özel olarak c = 1 + seçilirse,

bulunur. Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬taraf¬ndan gerçekle¸stirilen bu do¼ gu-rucu fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬nda = 0 konulursa, Laguerre polinomlar¬için bilinen,

X1 n=0

L_n(x)tⁿ= 1

1 texp xt

1 t (4.100)

¸seklindeki do¼gurucu fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

4.4.2 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için diferensiyel rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

(4:97) ile ifade edilmi¸s olan do¼gurucu fonksiyonu G(x; t) ile gösterelim.

G(x; t) = e^t ₀F₁( ; 1 + ; xt) = e^t X1 n=0

( 1)ⁿxⁿtⁿ

n! (1 + )_n (4.101) do¼gurucu fonksiyonun x ve t de¼gi¸skenlerine göre k¬smi türevleri al¬n¬rsa,

@G(x; t) bulunur. (4:101), (4:102) ve (4:103) e¸sitliklerinden,

x@G(x; t)

@x = t@G(x; t)

@t tG(x; t)

elde edilir. Bu e¸sitlikte G ve türevleri yerine (4:97) aç¬l¬m¬ndaki ifadelerin

yaz¬labilir. Tüm terimler tⁿ

(1 + )_n nin katsay¬lar¬na göre düzenlenir ve her iki yan-daki tⁿ

(1 + )_n nin katsay¬lar¬e¸sitlenirse,

x d

dxL^{( )}_n (x) = nL^{( )}_n (x) ( + n) L^{( )}_{n 1}(x) ; n 1 (4.104)

¸seklinde bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

¸

Simdi L^{( )}n (x)’ler için tan¬mlanm¬¸s (4:99) do¼gurucu fonksiyonunu ele alal¬m. (4:99)’un her iki taraf¬n¬n x de¼gi¸skenine göre türevi al¬n¬rsa,

X1

elde edilir. Yine (4:99) do¼gurucu fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬ndan, X1

bulunur. Tüm terimler tⁿ nin katsay¬lar¬na göre düzenlenir ve her iki yandaki tⁿnin

katsay¬lar¬e¸sitlenirse, genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬ve türevlerini içeren, d

dxL^{( )}_n (x) = d

dxL^{( )}_{n 1}(x) L^{( )}_{n 1}(x) ; n 1 (4.105)

¸seklinde ba¸ska bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.

4.4.3 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için yal¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬

(4:104)e¸sitli¼ginin her iki yan¬x’e bölünürse, d

dxL^{( )}_n (x) = n

xL^{( )}_n (x) ( + n)

x L^{( )}_{n 1}(x) (4.106) elde edilir. Bu son e¸sitlikte n yerine n 1 al¬n¬rsa,

d

dxL^{( )}_{n 1}(x) = n 1

x L^{( )}_{n 1}(x) ( + n 1)

x L^{( )}_{n 2}(x) (4.107)

bulunur. d

dxL^{( )}n (x) ve d

dxL^{( )}_{n 1}(x)’lerin (4:106) ve (4:107)’deki ifadeleri (4:105)’te yerlerine yaz¬l¬p düzenlenirse,

nL^{( )}_n (x) = (2n 1 + x) L^{( )}_{n 1}(x) (n 1 + ) L^{( )}_{n 2}(x) (4.108)

elde edilir. Bu elde edilen ba¼g¬nt¬, genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬ için türev içermeyen bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬d¬r.

4.4.4 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için Rodrigues formülü

Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomunun (4:95)’i, yani

L^{( )}_n (x) = Xn

k=0

( 1)^k(1 + )_nx^k k! (n k)! (1 + )_k

e¸sitli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬biliyoruz. k ve n do¼gal say¬lar olmak üzere, d^{n k}

dx^{n k}xⁿ⁺ = (1 + )_nx^k+

(1 + )_k oldu¼gundan bu ba¼g¬nt¬(4:95)’te yerine yaz¬l¬rsa,

L^{( )}_n (x) =

yaz¬labilir. Bu son e¸sitli¼gin her iki yan¬e^x ile çarp¬l¬r ve d^k

dx^ke ^x = ( 1)^ke ^x oldu¼gu

bulunur. Di¼ger taraftan,

dⁿ

Leibnitz formülünde u = e ^xve v = xⁿ⁺ al¬n¬rsa ve bu formül (4:109)’a uygulan¬rsa,

L^{( )}_n (x) = x e^x n!

dⁿ

dxⁿ e ^xxⁿ⁺ (4.110)

elde edilir. Son e¸sitlik genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için Rodrigues formülü olarak bilinir.

4.4.5 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬n¬n bir özelli¼gi

L^{( )}n (x)’ler genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬olmak üzere, X1

ifadesi sa¼glan¬r. (4:111) ba¼g¬nt¬s¬ genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar için farkl¬

do¼gurucu fonksiyonlar¬n bulunu¸sunda kullan¬lan bir ba¼g¬nt¬d¬r (ERKU¸S 1999).

4.4.6 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için ba¸ska do¼gurucu fonksi-yonlar

Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬ di¼ger bir do¼gurucu fonksiyonu bulmak için, (4:95) ifadesini ele alal¬m. (4:95)’te x yerine y al¬p, sonra elde edilen e¸sitli¼gin her iki yan¬n¬n!L^{( )}n (x)tⁿ

bulunur. Son e¸sitli¼gin ikinci yan¬na (3:11) uygulan¬rsa, X1 elde edilir. Burada parantez içindeki ifade yerine (4:111)’deki de¼geri konulursa,

X1

yaz¬l¬r. Bu son e¸sitli¼gin sa¼g¬ndaki seri, (4:97) ifadesinin sa¼g¬ndaki serinin x yerine

x

1 t; t yerine yt

1 t gelmi¸s halidir. Buna göre (4:97)’den, X1

bulunur ki bu ifade de düzenlenirse, X1 do¼gurucu fonksiyonu bulunur.

¸

Simdi de genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬(4:98) ifadesini ele alal¬m.

Burada x yerine x

1 t; t yerine yt

1 t yaz¬ld¬ktan sonraki e¸sitli¼gin her iki yan¬

(1 t) ¹ exp xt

1 t ile çarp¬l¬rsa,

(1 t) ¹ exp xt

elde edilir. Son e¸sitli¼gin sa¼g¬nda önce (4:111) kullan¬l¬p, sonra toplama (3:10) uygu-lan¬rsa,

bulunur. Burada (2:27)’nin uygulanmas¬yla,

yaz¬l¬r. Bu da istenilen do¼gurucu fonksiyon olacakt¬r.

4.4.7 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre diferensiyel denklemi

(4:104)e¸sitli¼gini ele alal¬m. (4:104)’ten L^{( )}_{n 1}(x)çekilirse, bulunur. Burada e¸sitli¼gin her iki yan¬n¬n x de¼gi¸skenine göre türevleri al¬n¬rsa,

d

dxL^{( )}_{n 1}(x)’lerin (4:114) ve (4:115)’teki de¼gerleri (4:105)’te yerlerine yaz¬l¬rsa, yaz¬l¬r. Son e¸sitlikte düzenlemeler yap¬l¬rsa,

x d²

dx²L^{( )}_n (x) + (1 + x) d

dxL^{( )}_n (x) + nL^{( )}_n (x) = 0 (4.116) bulunur. (4:116) e¸sitli¼gine genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomunun sa¼glad¬¼ g¬diferen-siyel denklem denir.

4.4.8 Genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomunun ortogonalli¼gi

L^{( )}n (x)’lerin sa¼glad¬¼g¬genelle¸stirilmi¸s Laguerre diferensiyel denkleminin,

x d²

dx²L^{( )}_n (x) + (1 + x) d

dxL^{( )}_n (x) + nL^{( )}_n (x) = 0 (4.117) oldu¼gu bilinmektedir. L^{( )}m (x)’ler de genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomu da (4:117) diferensiyel denklemini sa¼glayacakt¬r. O halde,

x d²

dx²L^{( )}_m (x) + (1 + x) d

dxL^{( )}_m (x) + mL^{( )}_m (x) = 0 (4.118) yaz¬labilir. (4:117) ve (4:118) e¸sitliklerinin her iki yan¬ x e ^x ile çarp¬l¬p düzen-lenirse,

d

dx x ⁺¹e ^x d

dxL^{( )}_m (x) + mx e ^xL^{( )}_m (x) = 0 (4.119) ve

d

dx x ⁺¹e ^x d

dxL^{( )}_n (x) + nx e ^xL^{( )}_n (x) = 0 (4.120) elde edilir. (4:120) L^{( )}m (x) ile ve (4:119) L^{( )}n (x) ile çarp¬l¬p elde edilen e¸sitlikler taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa,

(m n) x e ^xL^{( )}n (x)L^{( )}m (x)

= L^{( )}m (x) d

dx x ⁺¹e ^x d

dxL^{( )}n (x) L^{( )}n (x) d

dx x ⁺¹e ^x d

dxL^{( )}m (x)

= d

dx x ⁺¹e ^x L^{( )}m (x) d

dxL^{( )}n (x) L^{( )}n (x) d

dxL^{( )}m (x)

bulunur. Bu son e¸sitli¼gin her iki yan¬(0; 1) aral¬¼g¬nda integre edilirse,

bulunur. Bu son e¸sitli¼gin her iki yan¬(0; 1) aral¬¼g¬nda integre edilirse,

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HİPERGEOMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLAR. Övgü GÜREL YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI (sayfa 42-92)