5.1 Hipergeometrik Fonksiyonlarda Kom¸su Ba¼g¬nt¬lar
; ve reel ya da kompleks parametreler, 2 f0; 1; 2; :::g, z reel ya da kompleks= bir de¼gi¸sken olmak üzere, 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonunu ele alal¬m.
Gauss, 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonunda ; ve parametrelerinden birini bir artt¬rarak veya azaltarak alt¬ tane yeni fonksiyon elde etmi¸s ve bu yeni fonksiyonlara2F1( ; ; ; z)hipergeometrik fonksiyonu ile kom¸su fonksiyonlar ad¬n¬
vermi¸stir. Bunlar,
2F1( + 1; ; ; z) ; 2F1( ; + 1; ; z) ; 2F1( ; ; + 1; z)
2F1( 1; ; ; z) ; 2F1( ; 1; ; z) ; 2F1( ; ; 1; z)
dir. Kolayl¬k olmas¬aç¬s¬ndan,
2F1( ; ; ; z) = F ( ; ; ; z) = F
F + = F ( + 1; ; ; z) ; F = F ( 1; ; ; z)
F + = F ( ; + 1; ; z) ; F = F ( ; 1; ; z)
F + = F ( ; ; + 1; z) ; F = F ( ; ; 1; z)
ile gösterelim.
Gauss, F ( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonuna kom¸su olan fonksiyonlar¬elde et-tikten sonra, hipergeometrik fonksiyon ile kom¸su iki fonksiyonu aras¬nda lineer bir ba¼g¬nt¬n¬n varl¬¼g¬n¬ispatlam¬¸st¬r. Bu olu¸sturulan lineer ba¼g¬nt¬daki katsay¬lar z nin lineer fonksiyonlar¬d¬r. Bu ¸sekilde elde edilen ba¼g¬nt¬lara kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬
ad¬verilir.
¸
Simdi kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬na geçmeden önce baz¬gösterimleri inceleyelim.
n = ( )n( )nzn
( )nn! (5.1)
¸seklinde tan¬mlans¬n. Buna göre (5:1) gösterimi dikkate al¬nd¬¼g¬nda F hipergeo-metrik fonksiyonu,
F ( ; ; ; z) = F = X1 n=0
n
olarak yaz¬labilir. O halde kom¸su fonksiyon tan¬m¬na göre,
F + = F ( + 1; ; ; z) = X1 n=0
( + 1)n( )n ( )n
zn n!
olup, serinin içini ( )n ile çarp¬p bölersek n in tan¬m¬gere¼gi,
F + =
X1 n=0
( + 1)n ( )n n olarak elde edilir. Pochhammer sembolünün
( + 1)n= ( + n) ( )n
özelli¼ginin kullan¬lmas¬yla da F ’nin kom¸su fonksiyonu,
F + =
X1 n=0
( + n)
n (5.2)
olarak yaz¬labilir. Di¼ger kom¸su fonksiyonlar için de ayn¬i¸slemler uyguland¬¼g¬nda,
F + =
X1 n=0
( + n)
n (5.3)
F + =
X1
n=0( + n) n (5.4)
bulunurlar. Benzer ¸sekilde kom¸su fonksiyon tan¬m¬na göre,
F = F ( 1; ; ; z) =
X1 ( 1)n( )n ( )n
zn n!
olup, son bulunan e¸sitli¼gi ( )n ile çarp¬p bölersek,
F =
X1 n=0
( 1)n ( )n n
elde edilir. ( + 1)n = ( + n) ( )n e¸sitli¼ginde yerine 1yazarsak,
( 1) ( )n= ( + n 1) ( 1)n
olup, buradan
F =
X1 n=0
1
1 + n n (5.5)
bulunur. Di¼ger kom¸su fonksiyonlar için de ayn¬i¸slemler uyguland¬¼g¬nda,
F =
X1 n=0
1
1 + n n (5.6)
F =
X1 n=0
1 + n
1 n (5.7)
elde edilir.
¸ Simdi
= z d
dz (5.8)
operatörünü tan¬mlayal¬m. Bu operatöre göre,
(zn) = nzn
yaz¬labilir. O halde (5:8) gözönünde tutularak,
( + ) F = F + F
= X1 n=0
n n+ X1 n=0
n
= X1 n=0
(n + ) n (5.9)
bulunur. (5:2) e¸sitli¼ginden F ( +) = X1 n=0
( + n)
n oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa,
( + ) F = F + (5.10)
elde edilir. Benzer ¸sekilde,
( + ) F = F + (5.11)
( + ( 1)) F = ( 1) F (5.12)
olurlar.
Lemma 5.1 ; ve reel ya da kompleks parametreler, 6= 0; 1; 2::: olmak üzere,2F1( ; ; ; z) = F hipergeometrik fonksiyonu,
( ) F = F + F + (5.13)
( + 1) F = F + ( 1) F (5.14)
[ + ( ) z] F = (1 z) F + 1( ) ( ) zF + (5.15)
(1 z) F = F 1( ) zF + (5.16)
( ) (1 z) F = ( ) F ( ) F (5.17)
kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬n¬sa¼glar.
Ispat: i)· (5:13) e¸sitli¼gini elde etmek için, (5:10) ve (5:11) e¸sitliklerini kullanal¬m.
Buna göre, (5:10) e¸sitli¼ginden,
( + ) F = F + ) F = F + F
(5:11) e¸sitli¼ginden,
( + ) F = F + ) F = F + F
yaz¬labilirler. Bu son iki e¸sitlik taraf tarafa ç¬kar¬l¬rsa,
( ) F = aF + F +
elde edilir ki bu da bizden istenendir.
ii) (5:14)e¸sitli¼gi için ise (5:10) ve (5:12) e¸sitliklerini kullanal¬m.
(5:10)’dan,
( + ) F = F + ) F = F + F
ve (5:12)’den,
( + ( 1)) F = ( 1) F ) ( 1) F = ( 1) F F
elde edilir. Son iki e¸sitlik taraf tarafa ç¬kar¬l¬rsa,
( + 1) F = aF + ( 1) F
bulunur ki, bu da bizden istenilendir.
iii)(5:15)’i ispatlayabilmek için = z d
dz operatörünü kullanal¬m. Bu takdirde,
F = X1 n=1
n ( )n( )nzn
( )nn! (5.18)
e¸sitli¼gi elde edilir. (5:18)’de n yerine n + 1 yaz¬l¬rsa,
F = z X1 n=0
( )n+1( )n+1zn
( )n+1n! (5.19)
yaz¬labilir. Burada (5:1) gösterimi ve ( )n+1 = ( + n) ( )n e¸sitli¼gi gözönünde tu-tulursa,
F = z
X1 ( + n) ( + n)
( + n) n (5.20)
bulunur.
( + n) ( + n)
( + n) = n + ( + ) + ( ) ( )
( + n) oldu¼gundan, son bulunan ifade (5:20)’de kullan¬l¬rsa,
F = z X1 n=0
n n+ ( + ) z X1 n=0
n+( ) ( ) zX1
n=0 + n n elde edilir. = z d
dz oldu¼gu dikkate al¬n¬r ve gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa,
(1 z) F = ( + ) zF + 1( ) ( ) zF + (5.21)
¸seklinde yaz¬labilir.
¸
Simdi (5:10) e¸sitli¼gini (1 z) ile çarpal¬m ve düzenleyelim. Bu takdirde
(1 z) F = (1 z) F + (1 z) F +
elde edilir. (5:21) e¸sitli¼giyle son elde etti¼gimiz e¸sitlik aras¬nda (1 z) F’leri yok edersek,
[(1 z) + ( + ) z] F = (1 z) F + 1( ) ( ) zF +
bulunur. Bu son e¸sitli¼gi düzenlersek,
[ + ( ) z] F = (1 z) F + 1( ) ( ) zF +
¸seklinde istenilen kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.
iv) (5:16)e¸sitli¼gini elde edebilmek için F ( )ifadesini kullanmam¬z gerekir.
F =
X1 n=1
( 1)n( )nzn ( )n(n 1)!
olup, bu son e¸sitlikte n yerine n + 1 yazarsak,
F =
X1 n=0
( 1)n+1( )n+1zn+1
( )n+1n! (5.22)
bulunur. (5:22) e¸sitli¼ginde,
( 1)n+1 = ( 1) ( )n ( )n+1 = ( + n) ( )n
özellikleri kullan¬l¬rsa,
F = ( 1) z
X1 n=0
+ n
+ n n (5.23)
elde edilir.
+ n + n = 1
+ n oldu¼gunun dikkate al¬nmas¬yla da,
F = ( 1) z
X1 n=0
n
( 1) ( ) z X1
n=0 + n n bulunur. Son e¸sitlik n ve F ( +) gözönüne al¬narak yaz¬l¬rsa,
F = ( 1) zF 1( 1) ( ) zF + (5.24)
olur.
Di¼ger yandan (5:10)’da yerine 1 konulursa,
F = ( 1) F ( 1) F (5.25)
elde edilir. (5:24) ve (5:25) e¸sitlikleri aras¬nda F ( )’yi yok edersek ve gerekli
düzenlemeleri yaparsak,
(1 z) F = F 1( ) zF +
bulunur. Bu da bizden istenendir.
v)(5:17)’yi elde etmek için, F hipergeometrik fonksiyonunun (3:7) simetri özelli¼gini kullanaca¼g¬z. (5:16) e¸sitli¼ginin
(1 z) F = F 1( ) zF +
oldu¼gunu biliyoruz. Bu e¸sitli¼ge F = 2F1 in (3:7)’de verilen simetri özelli¼gi uygu-lan¬rsa,
(1 z) F = F 1( ) zF +
bulunur. Son iki e¸sitlikten birincisi ( ) ve ikincisi de ( ) ile çarp¬l¬p taraf tarafa ç¬kar¬l¬rsa,
( ) (1 z) F = ( ) F ( ) F
elde edilir. Bu ise istenilendir.
5.2 Hipergeometrik Fonksiyonlarda Kom¸su Ba¼g¬nt¬lara Örnekler
; ve reel ya da kompleks parametreler, 2 f0; 1; 2:::g, z reel ya da kompleks= bir de¼gi¸sken ve 2F1( ; ; ; z) = F ( ; ; ; z) = F olsunlar. Buna göre,
( + ) F = ( ) F + (1 z) F + (5.26)
[2 + ( ) z] F = (1 z) F + ( ) F (5.27)
[1 + ( 1) z] F = ( ) F ( 1) (1 z) F (5.28)
[ + ( )z] F = (1 z)F + 1( )( )zF ( +(5.29))
( ) F = ( ) F (1 z) F + (5.30)
¸seklinde kom¸su ba¼g¬nt¬lar¬tan¬ml¬d¬r (Rakha vd. 2011).
Yukar¬daki kom¸su ba¼g¬nt¬lar¬na bak¬ld¬¼g¬nda dikkat edilirse hipergeometrik fonksiyo-nun içerisinde bulunan parametrelerden sadece bir tanesinin bir fazlas¬ ya da bir eksi¼gi yer almaktad¬r. A¸sa¼g¬da ifadeleri verilen (5:31)-(5:40) kom¸su ba¼g¬nt¬lar¬n da ise birden fazla parametrenin de¼gi¸sti¼gi durumlar yer almaktad¬r (Rakha vd. 2011).
[( 1) + ( )z] F = ( )( )zF ( +) + ( 1)F ( ; )(5.31) F = (1 z) F + + 1( ) zF +; + (5.32)
F = ( ) F + + F +; + (5.33)
( 1) (1 z) F = ( + 1) F + ( ) F ; (5.34)
( 1) F = ( ) F + ( 1) F ; (5.35)
( 1)F = ( 1)F ( +) + (1 z)F ( +; +)(5.36)
[( ) ( ) z] F = ( ) F + 1( ) zF +; + (5.37)
F = F + 1 zF +; + (5.38)
[( 1) + ( )z] F = ( )F + ( 1)F ( ; ) (5.39)
(1 z) F = 1( + 1) zF + + F ; (5.40)
5.3 2F1( ; ; ; z) Hipergeometrik Fonksiyonu ·Için Kom¸su Ba¼g¬nt¬lar¬n¬n Genelle¸stirilmesi
; ve reel ya da kompleks parametreler, 2 f0; 1; 2:::g olsun. Ayr¬ca=
6= 1; 6= ve 6= 0 olsunlar. Bir önceki k¬s¬mda elde edilen (5:14), (5:16), (5:13) ve (5:17) e¸sitliklerinden s¬ras¬yla F ( ) ; F ( +) ; F + ve F ’leri çekerek
yeniden yazarsak,
F = 1
1 F + + ( 1) F (5.41)
F + =
( ) z F + (z 1) F (5.42)
F + = 1
F + + ( ) F (5.43)
F = 1
( ) F ( ) (1 z) F (5.44)
olurlar.
Bu k¬s¬mda amac¬m¬z yukar¬da elde edilen ba¼g¬nt¬lar¬genelle¸stirmektir. Bunun için önce a¸sa¼g¬daki gösterimleri tan¬mlayal¬m.
k, l ve t 2 N ve j+= + j ve j = j olmak üzere,
F k = F ( k; ; ; z) F l = F ( ; l; ; z) F t = F ( ; ; t; z)
¸seklinde ifade edilsinler.
Lemma 5.2 k2 N ve k =2 f0; 1; 2; :::; k + 1g olmak üzere
F ( k ) = 1 ( k)k
Xk j=0
k
j ( )j( k)k jF ( j+) (5.45)
dir.
Ispat: ·· Ispat¬m¬z¬tümevar¬m hipotezini kullanarak yapal¬m.
k = 1 için (5:41)’den
F ( 1 ) = F ( 1+) + ( 1)F
1 (5.46)
= 1
( 1) X1
j=0
1
j ( )j( 1)1 jF ( j+)
elde edilir. Kabul edelim ki k için teoremimizin hipotezi do¼gru olsun. Biz k + 1 için do¼grulu¼gunu göstermeye çal¬¸sal¬m.
F ( k ) = 1 ( k)k
Xk j=0
k
j ( )j( k)k jF ( j+)
e¸sitli¼ginde yerine 1 yazarsak,
( k ) = k ) ( 1)k = 1 k = (k+1)
bulunur.
F ( (k+1) ) = 1 ( k 1)k
Xk j=0
k
j ( )j( k 1)k jF ( j+; 1 )
olup (5:46)’dan dolay¬F = F ( ; ; ; z)’nin parametresinin j kez artt¬r¬lm¬¸s¬ve parametresinin bir kez azalt¬lm¬¸s hali,
F ( j+; 1 ) = ( + j)F ( (j+1)+) + ( j 1)F ( j+) 1
olacakt¬r. Böylece bu son ikisinden,
F ( (k+1) ) = 1
( 1)( k 1)k
" k X
j=0
k
j ( )j( + j)( k 1)k jF ( (j+1)+)
+ Xk
j=0
k
j ( )j( k 1)k j( j 1)F ( j+)
#
F ( (k+1) ) = 1
+ k + 1
0 ( k 1)k+1F
F ( (k+1) ) = 1
( (k + 1))k+1 Xk+1
j=0
k + 1
j ( )j( (k + 1))k+1 jF ( j+)
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
Lemma 5.3 2 f0; 1; 2; :::; k + 1g olmak üzere,=
F ( k+) = ( )k ( )kzk
Xk j=0
k
j F ( j )(z 1)k j
dir.
Ispat: ·· Ispat¬tümevar¬m hipotezini kullanarak yapal¬m.
k = 1 için (5:42)’den,
F ( 1+) =
( )z[F ( 1 ) + (z 1)F ]
= ( )1 ( )1z
X1 j=0
1
j F ( j )(z 1)1 j
dir. Kabul edelim ki k için teoremimizin hipotezi do¼gru olsun. Biz k + 1 için do¼grulu¼gunu göstermeye çal¬¸sal¬m. k 2 N olmak üzere
F ( k+) = ( )k ( )kzk
Xk j=0
k
j F ( j )(z 1)k j (5.47)
dir. (5:47)’de yerine + 1 yazacak olursak,
( k+) = + k ) ( + 1)k+ = + 1 + k = (k+1)+
bulunur.
elde edilir. (5:42)’den dolay¬ F = F ( ; ; ; z) fonksiyonunda parametresinin j kez azalt¬lm¬¸s ve parametresinin bir kez artt¬r¬lm¬¸s hali
F ( j ; 1+) =
F ( (k+1)+) = ( )k+1
Ispat: ·· Ispat¬tümevar¬m hipotezini kullanarak yaparsak, k = 1 için (5:43) e¸sitli¼ gin-den,
elde edilir. Kabul edelim ki k 2 N için e¸sitlik do¼gru olsun.
F ( k+) = 1
Son e¸sitlikte yerine + 1 yazarsak,
( k+) = + k ) ( + 1)k+= + 1 + k = (k+1)+
olur.
F ( (k+1)+) = 1 ( + 1)k
Xk j=0
k
j ( )jF ( j+; 1+)( + 1 )k j (5.49)
bulunur. F ( j+; 1+)’y¬elde etmek için (5:48)’de ! + j yazarsak,
F ( j+; 1+) =
j+F ( (j+1)+) + ( j+)F ( j+)
= ( + j)F ( (j+1)+) + ( j)F ( j+)
(5.50)
bulunur. (5:50) e¸sitli¼gini (5:49)’da yerine koyacak olursak,
F ( (k+1)+) = 1 ( + 1)k
Xk j=0
k
j ( )j ( + j)F ( (j+1)+)
+ ( j)F ( j+) ( + 1)k j
= 1
( )k+1
" k X
j=0
k
j ( )j+1F ( (j+1)+)( + 1)k j
+ Xk
j=0
k
j ( )jF ( j+)( j)( + 1)k j
#
= 1
( )k+1
"k+1 X
j=1
k
j 1 ( )jF ( j+)( + 1)k j+1
+ Xk
j=0
k
j ( )jF ( j+)( j)( + 1)k j
#
F ( (k+1)+) = 1
elde edilir. Bu da bizden istenen olacakt¬r.
Lemma 5.5 2 f0; 1; 2; :::; k + 1g olmak üzere,=
F ( k ) = 1 ( )k
Xk j=0
k
j ( )j(1 z)j( )k jF ( (k j) )
dir.
Ispat:· Tümevar¬m hipotezinden k = 1 için (5:44) ba¼g¬nt¬s¬kullan¬larak,
F ( 1 ) = 1
[( )F ( 1 ) + ( )(1 z)F ] (5.52)
= 1
( )1 X1 j=0
1
j ( )j(1 z)j( )1 jF ( (1 j) )
bulunur. Kabul edelim ki k için teoremimizin hipotezi do¼gru olsun.
F ( k ) = 1 ( )k
Xk j=0
k
j ( )j(1 z)j( )k jF ( (k j) )
e¸sitli¼ginde yerine 1 yaz¬l¬rsa,
( k ) = k ) ( 1)k = 1 k = (k+1)
F ( (k+1) ) = 1 ( + 1)k
Xk j=0
k
j ( + 1)j(1 z)j( )k jF ( (k j) ; ) bulunur. F ( (k j) ; )’yi elde etmek için (5:52)’de ! (k j) yaz¬l¬rsa,
F ( (k j) ; ) = 1
[( +k j)F ( (k j+1) )+( k +j )(1 z)F ( (k j) )]
(5.53) elde edilir. Böylece
F ( (k+1) ) = 1
( + 1)k
" k X
j=0
k
j ( + 1)j(1 z)j( )k j 1 [(
+k j)F ( (k j+1) ) + ( k + j )(1 z)F ( (k j) )
F ( (k+1) ) = 1
F ( (k+1) ) = 1
elde edilir. Böylece tüm k 2 N ler için
F ( k ) = 1 ( )k
Xk j=0
k
j ( )j(1 z)j( )k jF ( (k j) )
bulunur. Bu da bizden istenen olacakt¬r.
5.4 Kom¸su Ba¼g¬nt¬lardan Yararlanarak Hipergeometrik Fonksiyonlar ·Için Yeni Toplam Formüllerinin Elde Edilmesi
Biliyoruz ki 2F1 = F fonksiyonlar¬ için Gauss, Kummer, Gauss’un ikinci teoremi
¸seklinde toplam formülleri vard¬r.
Gauss Teoremi,
2F1( ; ; ; 1) = ( ) ( )
( ) ( )
Kummer Teoremi,
2F1( ; ; 1 + ; 1) =
(1 + ) 1 +
2
1 + 2 (1 + )
Gauss’un ·Ikinci Teoremi,
2F1 ; ;1
2( + + 1);1
2 =
1
2 2 +
2 + 1 2 2 +1
2 2 + 1
2
¸seklindedir. Bu k¬s¬mda bizim amac¬m¬z2F1 = F hipergeometrik fonksiyonlar¬için verilen kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬ ve bilinen toplam formüllerinden yararlanarak yeni toplam formülleri elde etmektir.
¸
Simdi (5:38) kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬ ele alal¬m. E¼ger (5:38) e¸sitli¼ginin her iki
taraf¬n¬( ) ile çarparsak,
( ) F = ( ) F + 1 ( ) zF +; + (5.54)
elde edilir. (5:37)’den,
( ) F ( ) zF = ( ) F + 1( ) zF +; + (5.55)
bulunur. E¼ger (5:54) ve (5:55) e¸sitliklerinden ( ) F’i yok edersek,
( ) F = ( ) F +; + + ( ) F +; + (5.56)
yaz¬l¬r. Son ifadede = 1
2( + ) ve z = 1
2 al¬rsak,
( + ) F ; ;1
2( + ) ;1
2 = F + 1; ;1
2( + + 2) ;1 2 + F ; + 1;1
2( + + 2) ;1 2
(5.57)
elde edilir. Gauss’un ikinci teoreminden,
F + 1; ;1
2( + + 2) ;1
2 =
1 2
1 2 + 1
2 + 1 1
2 + 1 1
2 +1 2 bulunur. Yine Gauss’un ikinci teoreminde yerine + 1 al¬rsak,
F ; + 1;1
2( + + 2) ;1
2 =
1 2
1 2 + 1
2 + 1 1
2 +1 2
1 2 + 1
yaz¬labilir. Bu bulunanlar (5:57)’de yerlerine yaz¬l¬rsa, elde edilir. Gamma fonksiyonunun (2:8) özelli¼ginden,
2 +
olup, gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa,
F ; ;1
Benzer ¸sekilde (5:56) e¸sitli¼ginde = 1
2( + 1)ve z = 1
yaz¬labilir. (5:58) ifadesinde öncelikle yerine + 1 yazarsak,
fonksiyonunu, daha sonra da yerine + 1 alarak,
F + 1; ;1
fonksiyonunu elde ederiz. Bu bulunanlar (5:59)’da yerine yaz¬l¬rsa ve yine (2:8) özelli¼gi uygulan¬rsa,
1
olup, gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa,
F ; ;1
Ayn¬ i¸slemler yap¬larak z = 1
2 ve = 1
2( + i) i = 2; 3; 4 için de istenilen formüller elde edilebilir.
¸
Simdi (3:15) e¸sitli¼gini ele alal¬m. Burada z ! 1 için limit al¬rsak,
F ( ; ; ; 1) = 2 F ; ; ;1
2 (5.61)
elde edilir. Buna göre (5:61)’de = i, i = 0; 1; 2; 3 ve 4 için2F1hipergeometrik fonksiyonu için yeni toplam formülü elde edebiliriz.
i = 0 için,
F ( ; ; ; 1) = 2 F ; 2 ; ;1
2 (5.62)
olup (5:58) e¸sitli¼gi kullan¬larak F ; 2 ; ;1
2 fonksiyonun de¼geri hesap-lanabilir. Bu takdirde (5:58)’de yerine 2 al¬n¬rsa,
F ; 2 ; ;1
elde edilir. Son e¸sitlik (5:62)’de yerine yaz¬l¬rsa,
F ( ; ; ; 1) = 2 1
2 fonksiyonun de¼geri
hesaplanabilir ki (5:60)’da yerine 2 1 al¬rsak,
bulunur. O halde son bulunan e¸sitlik (5:64)’te yerine yaz¬l¬rsa,
F ( ; ; ; 1) = 2 1
Benzer i¸slemler yap¬larak i = 2; 3 ve 4 için de istenilen toplam formülleri elde edilebilir.
Son olarak, (5:33) kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬ele alal¬m.
( ) F ( ; ; + 1; z) = F ( ; ; ; z) F ( + 1; ; + 1; z)
dir. (5:33) e¸sitli¼ginde = 1 + ve z = 1al¬rsak,
(1 ) F ( ; ; 2 + ; 1) = (1 + ) F ( ; ; 1 + ; 1) F ( + 1; ; 2 + ; 1) (5.66)
elde edilir. Denklemin sa¼g taraf¬ndaki ifadeler Kummer teoremindeki (3:20) e¸sitli¼ gin-den bulunabilir. Buna göre,
F ( ; ; 1 + ; 1) =
(1 + ) 1
2 + 1 1
2 + 1 ( + 1)
¸seklindedir. F ( + 1; ; 2 + ; 1) ise Kummer teoreminde yerine + 1
bulunur. Bu son iki e¸sitli¼gi (5:66)’da yerine yazal¬m ve (2:20) Legendre katlama ba¼g¬nt¬s¬n¬kullanal¬m. Bu takdirde (2:20)’ye göre,
z = 2 + 1 bulunur. O halde,
F ( ; ; 2 + ; 1) =
olarak elde edilir.
E¼ger (5:33)’te = 2 + ve z = 1 al¬rsak,
(2 ) F ( ; ; 3 + ; 1) = (2 + ) F ( ; ; 2 + ; 1)
F ( + 1; ; 3 + ; 1) (5.68)
bulunur. (5:67) e¸sitli¼gi
dikkate al¬n¬p gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa,
F ( ; ; 3 + ; 1) =
elde edilir. Benzer ¸sekilde = i + ; i = 3; 4 içinde hesaplamalar yap¬labilir.
5.5 Hipergeometrik Polinomlar¬n Kom¸su Ba¼g¬nt¬lar¬ndan Yararlanarak Baz¬Rekürans Ba¼g¬nt¬lar¬n¬n Elde Edilmesi
Kesim 5:1 ve Kesim 5:2’de F = 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonu için baz¬ kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬n¬ elde ettik. Bu k¬s¬mda elde etti¼gimiz kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬ndan yararlanarak Laguerre ve Jacobi polinomlar¬ için baz¬
rekürans ba¼g¬nt¬lar¬ elde edece¼giz. Simdi¸ 2F1( ; ; ; z) için buldu¼gumuz kom¸su
fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬n¬benzer yolla 1F1( ; ; z) fonksiyonu için olu¸stural¬m.
( + ) 1F1( ; ; z) = 1F1( + 1; ; z) (5.70) ( + 1) 1F1( ; ; z) = ( 1) 1F1( ; 1; z) (5.71) ( + 1) 1F1( ; ; z) = 1F1( + 1; ; z) ( 1) 1F1( ; 1; z)(5.72)
( + z) 1F1( ; ; z) = 1F1( + 1; ; z) + ( )
z 1F1( ; + 1; z)(5.73)
1F1( ; ; z) = 1F1( 1; ; z) + z
1F1( ; + 1; z) (5.74)
¸
Simdi özel olarak = n, = 1 + ve z = x seçilirse buna göre (5:72) (5:74) kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬,
( n )1F1( n; 1 + ; x)
= n1F1( n + 1; 1 + ; x) 1F1( n; ; x) (5.75)
( n + x)1F1( n; 1 + ; x)
= n1F1( n + 1; 1 + ; x) + (n + + 1) x
1 + 1F1( n; 2 + ; x) (5.76)
1F1( n; 1 + ; x)
=1 F1( n 1; 1 + ; x) + x
1 + 1F1( n; 2 + ; x ) (5.77)
¸seklinde yaz¬labilir. Biz biliyoruz ki,
1F1( n; 1 + ; x) = n!L( )n (x)
(1 + )n (5.78)
¸seklindedir. O halde (5:75) (5:77) ba¼g¬nt¬lar¬ (5:78) e¸sitli¼gi gözönüne al¬narak
düzenlenirse,
L( )n (x) = L( )n 1(x) + L(n 1)(x) (5.79) (n x) L( )n (x) = (n + ) L( )n 1(x) xL( +1)n (x) (5.80) (n + + 1) L( )n (x) = (n + 1) L( )n+1(x) + xL( +1)n (x) (5.81)
¸seklinde L( )n (x) genelle¸stirilmi¸s Laguerre polinomlar¬için rekürans ba¼g¬nt¬lar¬elde edilir.
¸
Simdi kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬ndan yararlanarak Jacobi polinomlar¬için rekürans ba¼g¬nt¬lar¬n¬bulal¬m. Burada 2F1 gösterimi yerine F gösterimi kullan¬lacakt¬r.
K¬s¬m 5:1’deki (5:17) e¸sitli¼gini ele alal¬m. (5:17)’de e¼ger yerine + 1 yazarsak,
( 1 ) F = ( ) F ( ; +) + ( 1 ) (1 z) F ( +) (5.82)
elde edilir. (5:82)’de = n, = 1 + + + n, = 1 + ve z = 1
2(1 x)seçelim.
1
2(2 + + + 2n) (x + 1) F n; 1 + + ( + 1) + n; 1 + ;1 x 2
= (1 + + n) F (n + 1) ; 1 + + + (n + 1) ; 1 + ;1 x 2 + ( + n + 1) F n; 1 + + + n; 1 + ;1 x
2 bulunur. Burada,
Pn( ; )(x) = (1 + )n
n! 2F1 n; 1 + + + n; 1 + ;1 x 2 e¸sitli¼gi de gözönüne al¬n¬rsa,
1
2(2 + + + 2n) (x + 1) Pn( ; +1)(x) = (n + 1) Pn+1( ; )(x) + (1 + + n) Pn( ; )(x) (5.83) biçiminde Pn( ; )(x)Jacobi polinomlar¬için rekürans ba¼g¬nt¬s¬elde edilir.
Benzer ¸sekilde (5:13) kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬ele alal¬m.
( ) F = F + F +
Yine burada = n, = 1 + + + n, = 1 + ve z = 1
2(1 x) seçilirse,
( + + 2n + 1) F n; 1 + + + n; 1 + ;1 x 2
= nF (n + 1) ; 1 + + (1 + ) + (n 1) ; 1 + ;1 x 2 + (1 + + + n) F n; 1 + + ( + 1) + n; 1 + ;1 x
2
elde edilir. Jacobi polinomunun (4:1) özelli¼gi kullan¬l¬rsa ve yerine 1konulursa,
( + + 2n) Pn( ; 1)(x) = ( + + n) Pn( ; )(x) + ( + n) Pn 1( ; )(x) (5.84)
rekürans ba¼g¬nt¬s¬bulunur.
¸
Simdi (5:40) kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬s¬n¬düzenleyelim. Buna göre (5:40);
(1 z) F = ( + 1) zF + + F ; (5.85)
¸sekline dönü¸sür. Benzer ¸sekilde (5:40)’ta = n + 1, = 1 + + + n, = 1 + ve z = 1
2(1 x)al¬n¬rsa,
(1 + ) 1 + x
2 F (n 1) ; 1 + + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ;1 x 2
= 1 x
2 F (n 1) ; 1 + ( + 1) + + (n 1) ; 1 + ( + 1) ;1 x 2 + (1 + ) F n; 1 + + ( 1) + n; 1 + ;1 x
2 (5.86)
elde edilir. Son e¸sitlikte (4:1)’in kullan¬lmas¬yla,
2nPn( ; 1)(x) = (1 + x) ( + n) Pn 1( ; +1)(x) (1 x) Pn 1( +1; )(x) (5.87)
rekürans ba¼g¬nt¬s¬bulunur.
¸
Simdi (5:31) ba¼g¬nt¬s¬ele alal¬m.
[( 1) + ( )z] F = ( )( )zF ( +) + ( 1)F ( ; )
Yine burada = n + 1, = 1 + + + n, = 1 + ve z = 1
2(1 x) al¬rsak,
(1 + ) + ( + n) 1 x
2 F (n 1) ; 1 + + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ;1 x 2
= ( + n) ( + n) 1 x
2 F (n 1) ; 1 + ( + 1) + + (n 1) ; 1 + ( + 1) ;1 x 2 + (1 + ) F (n 1) ; 1 + ( 1) + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ( 1) ; 1 x
2 yaz¬labilir.
(4:1) e¸sitli¼gi son e¸sitli¼ge uygulan¬rsa,
+ ( + n) 1 x
2 Pn 1( ; +1)(x)
= ( + n) 1 x
2 Pn 1( +1; )(x) + ( + n 1) Pn 1( 1; +1)(x) bulunur. Burada n yerine n + 1 al¬rsak,
+ ( + n + 1) 1 x
2 Pn( ; +1)(x)
= ( + n + 1) 1 x
2 Pn( +1; )(x) + ( + n) Pn( 1; +1)(x) (5.88) bulunur.
.
6. KOMPLEKS PARAMETREL·I BAZI H·IPERGEOMETR·IK